0 Gestion de portefeuille 3-203-99 Albert Lee Chun Introduction à la théorie moderne de portefeuille Construction de Portefeuilles: Introduction à la théorie

1

Gestion de portefeuilleGestion de portefeuille3-203-993-203-99

Albert Lee ChunAlbert Lee Chun

Construction de Portefeuilles: Introduction à la théorie Introduction à la théorie moderne de portefeuillemoderne de portefeuille

Séance 3Séance 3

18 Sept 2008

2

Plan du cours Plan du cours

Séances 1 et 2 : L’environnement institutionnelSéances 1 et 2 : L’environnement institutionnel Séances Séances 33, 4 et 5 , 4 et 5 Construction de portefeuillesConstruction de portefeuilles SéancesSéances 6 et 7: 6 et 7: Modèles d'évaluation des actifs Modèles d'évaluation des actifs financiers financiers SéanceSéance 8: 8: Efficience de marchéEfficience de marché SéanceSéance 9: 9: Gestion active d'un portefeuille d'actionsGestion active d'un portefeuille d'actions SéanceSéance 10: 10: Gestion de portefeuilles obligatairesGestion de portefeuilles obligataires Séance Séance 11: 11: Mesures de performances des portefeuillesMesures de performances des portefeuilles

Albert Lee Chun Portfolio Management 3

Le risque en fonction du nombre d’actionsLe risque en fonction du nombre d’actions

7-37-3


Diversification du Diversification du portefeuilleportefeuille

7-47-4


w1 = proportion des fonds dans le titre 1w2 = proportion des fonds dans le titre 2E(r1) = rendement espéré du titre 1E(r2) = rendement espéré du titre 2

1wn

1ii

Rendement d’un portefeuille de deux actifsRendement d’un portefeuille de deux actifs

)()()( 2211 rEwrEwrE p

7-57-5


12 = variance du titre 1

22 = variance du titre 2

Cov(r1,r2) = covariance entre le titre 1 et le titre 2

Risque d’un portefeuille de deux actifsRisque d’un portefeuille de deux actifs

)r,r(Covww2ww 21212

22

22

12

12

p

7-67-6


1,2 = Coefficient de corrélation

1 = Écart type des rendements du titre 1

2 = Écart type des rendements du titre 2

CovarianceCovariance

212,121 )r,r(Cov

7-77-7


Ordre des valeurs pour 1,2

+ 1.0 > > -1.0

Si = 1.0, les titres seraient parfaitement corrélés positivement

Si = - 1.0, les titres seraient parfaitement corrélés négativement

Coefficients de corrélationCoefficients de corrélation

7-87-8


Un portefeuille de 3 actifsUn portefeuille de 3 actifs

)()()()( 332211 rEwrEwrEwrE p

),(2

),(2

),(2

3232

3131

2121

23

23

22

22

21

21

2

rrCovww

rrCovww

rrCovww

wwwp

7-97-9


Généralement, pour un portefeuille de n titres:Généralement, pour un portefeuille de n titres:

)()(1

i

n

iip rEwrE

n

kjkjkj

n

k

n

iii

n

kjj

kjkj

n

k

n

iiip

rrCovwww

rrCovwww

),(2

),(

11

22

111

222

7-10

7-10


N

iiip rEwrE

1

)()(

ji )r ,r( Cov ww + w = jiji

n

j=1

n

=1i

2i

2i

n

=1i

2p

jijiji rrCov ,),( ji

jij,i

)r,r(Cov

Statistiques de portefeuilleStatistiques de portefeuille


Aujourd’huiAujourd’hui

Fonctions d’utilité et la courbe d’indifférenceFonctions d’utilité et la courbe d’indifférence Portefeuille de variance minimale (PVM)Portefeuille de variance minimale (PVM) La droite de répartition de capital (CAL)La droite de répartition de capital (CAL) Portefeuille optimal Portefeuille optimal On va illustrer ces concepts dans un univers avecOn va illustrer ces concepts dans un univers avec

1 titre risqué et 1 titre sans risque1 titre risqué et 1 titre sans risque 2 titres risqués2 titres risqués 2 titres risqués et 1 titre sans risque2 titres risqués et 1 titre sans risque N titres risquésN titres risqués N titres risqués et 1 titre sans risqueN titres risqués et 1 titre sans risque


Fonctions d’utilitéFonctions d’utilité


Aversion au risqueAversion au risque

Si on a deux choix d’actifs avec le même taux de Si on a deux choix d’actifs avec le même taux de rendement, les investisseurs qui ont une aversion rendement, les investisseurs qui ont une aversion au risque vont sélectionner l’actif avec le niveau au risque vont sélectionner l’actif avec le niveau de risque le plus bas.de risque le plus bas.

Les investisseurs qui ont une aversion au risque Les investisseurs qui ont une aversion au risque veulent une compensation pour le risque.veulent une compensation pour le risque.

Le Le rendement excédentaire rendement excédentaire d’un actif risqué (d’un actif risqué (i)i) est est déterminé par déterminé par

la prime de risquela prime de risque = = E(ri) – RfE(ri) – Rf..


La prime de risqueLa prime de risque

Exemple:Exemple:

W2 = 80$

Profit = -20$

W1 = 150$ Profit = 50$

p = .6

100$

Investissement risqué

Bons du Trésor Profit = 5$

Rendement espéré: (50%)(.6) + (-20%)(.4) = 22%

Prime de risque = E(Ri) – RfE(Ri) – Rf = 22%-5% = 17%

1-p = .4


Mesure des préférences de l’investisseurMesure des préférences de l’investisseur

Une Une fonction d’utilité fonction d’utilité représente le niveau de satisfaction représente le niveau de satisfaction de l’investisseur.de l’investisseur.

Plus l’utilité est élevée, plus les investisseurs seront Plus l’utilité est élevée, plus les investisseurs seront contents.contents.

Par exemple, si l’utilité de l’investisseur dépend Par exemple, si l’utilité de l’investisseur dépend seulement de la moyenne (soit seulement de la moyenne (soit µ= E(r)= E(r)) et de la variance ) et de la variance ((2) des rendements, alors nous avons la fonction ) des rendements, alors nous avons la fonction suivante:suivante:

L’ensemble des portefeuilles qui procure le même niveau L’ensemble des portefeuilles qui procure le même niveau d’utilité pour un investisseur est défini par une d’utilité pour un investisseur est défini par une courbe courbe d’indifférenced’indifférence..

U = f ( µ, )


Exemple: la courbe d’indifférenceExemple: la courbe d’indifférence

U = 5

U = 5

L’investisseur est indifférent entre X et Y, aussi bien qu’à tous les points de la courbe. Tous les points de la courbe

ont le même niveau d’utilité (U=5).

(Rp)


Direction de l’utilité croissanteDirection de l’utilité croissante

Rendement espéré

Écart-type

Direction de l’utilité croissante

U1

U2

U3 U3 > U2 > U1


Deux investisseurs différents Deux investisseurs différents

U3

U2

U1

U3’

U2’ U1’

Rendement espéré

Écart type

Quel investisseur a la plus grande aversion

au risque?

U3 > U2 > U1


Utilité quadratiqueUtilité quadratique

L’utilité d’un investisseur est une fonction quadratique seulement L’utilité d’un investisseur est une fonction quadratique seulement si la moyenne et la variance des rendements sont importantes pour si la moyenne et la variance des rendements sont importantes pour l’investisseur.l’investisseur.

A A est constant, ce qui détermine le degré d’aversion au risque: il est constant, ce qui détermine le degré d’aversion au risque: il augmente avec l’aversion au risque de l’investisseur. (Remarquez augmente avec l’aversion au risque de l’investisseur. (Remarquez que 1/2 est juste une constance normalisée)que 1/2 est juste une constance normalisée)

Remarquez que A > 0, cela implique que les investisseurs n’aiment Remarquez que A > 0, cela implique que les investisseurs n’aiment pas le risque. Plus la variance est élevée, plus l’utilité est basse.pas le risque. Plus la variance est élevée, plus l’utilité est basse.

2

2

1 AU


Les Les courbescourbes d’indiffd’indifféérencerence

E(Rp) (Rp) Utility = E(Rp) – ½ A*VAR(Rp) 0.10 0.200 0.10 – ½ 4 0.2002 = 0.02 0.15 0.255 0.15 – ½ 4 0.2552 = 0.02 0.20 0.300 0.20 – ½ 4 0.3002 = 0.02 0.25 0.339 0.25 – ½ 4 0.3992 = 0.02

Fonction d’utilité quadratique de A = 4.

Voici un exemple des points de l’indifférence pour un investisseur avec une fonction d’utilité quadratique. Remarquez qu’une plus haute variance est accompagnée d’un plus haut taux de rendement pour compenser la nature de l’aversion au risque

de l’investisseur.


L’équivalent certain L’équivalent certain

Certains taux de rendement sans risque offrent aux investisseurs Certains taux de rendement sans risque offrent aux investisseurs le même niveau d’utilité qu’un taux de rendement risqué. le même niveau d’utilité qu’un taux de rendement risqué.

L’investisseur est indifférent entre un rendement risqué et ses L’investisseur est indifférent entre un rendement risqué et ses équivalents.équivalents.

Exemple: Supposons qu’un investisseur a une utilité Exemple: Supposons qu’un investisseur a une utilité quadratique de quadratique de A = 2A = 2. Un portefeuille risqué offre un . Un portefeuille risqué offre un E(R) égal E(R) égal à 22% et un écart type de 34%. L’utilité de cette fonction à 22% et un écart type de 34%. L’utilité de cette fonction est:est:

U = 22% - ½U = 22% - ½××22××(34%)(34%)² = 10.44%² = 10.44% L’équivalent certainL’équivalent certain est égal à est égal à 10.44%10.44% parce que l’utilité parce que l’utilité

d’obtenir un certain taux de rendement de 10.44% est:d’obtenir un certain taux de rendement de 10.44% est:

U = 10.44% - U = 10.44% - ½ ½ ×× 2 2××(0%)(0%)² ² = 10.44%= 10.44%

risqué

sans risque


Les courbes d’indifférence de risque neutreLes courbes d’indifférence de risque neutreE(RP)E(RP)

PP

U4U4

U3U3

U2U2

U1U1

Ça représente une attitude neutre envers le risque. L’investisseur estÇa représente une attitude neutre envers le risque. L’investisseur est indifférent entre les différents niveaux d’écart type.indifférent entre les différents niveaux d’écart type.Ça représente une attitude neutre envers le risque. L’investisseur estÇa représente une attitude neutre envers le risque. L’investisseur est indifférent entre les différents niveaux d’écart type.indifférent entre les différents niveaux d’écart type.

U3 > U2 > U1Direction de l’utilité croissante


La pente de la courbe d’indifférence La pente de la courbe d’indifférence

Une courbe d’indifférence abrupte coïncide avec une Une courbe d’indifférence abrupte coïncide avec une forte aversion au risque.forte aversion au risque.

La pente de la courbe d’indifférence correspond à la La pente de la courbe d’indifférence correspond à la compensation nécessaire pour chaque unité de risque compensation nécessaire pour chaque unité de risque additionnel.additionnel.

Cette compensation est mesurée en unités de Cette compensation est mesurée en unités de rendement espéré pour chaque unité d’écart type. rendement espéré pour chaque unité d’écart type.

Une haute aversion au risque implique un haut degré Une haute aversion au risque implique un haut degré de compensation pour prendre une unité de risque de compensation pour prendre une unité de risque additionnelle et est représentée par une pente abrupte. additionnelle et est représentée par une pente abrupte.


Les courbes d’indifférence Les courbes d’indifférence

E(RP)E(RP)

PP

U4U4

U3U3

U2U2

U1U1

U3 > U2 > U1Direction de l’utilité croissante

Plus un investisseur est averse au risque, plus fortes sont les pentes de ses courbes d’indifférence.


Deux différents investisseursDeux différents investisseurs

U3

U2

U1

U3’

U2’ U1’

Rendement espéré

Écart type

Quel investisseur a une aversion au

risque plus élevé?

Plus averse au risque

Moins averse au risque


Dominance stochastiqueDominance stochastiquePréfère n’importe quel portefeuille de Z1 à X.

Préfère X à n’importe quel portefeuille dans Z4.

Les ordres entre les portefeuilles Z2 ou Z3 et

X dépendent des préférences de l’investisseur

σσXX < < σσpp


Imaginez un univers avec Imaginez un univers avec 1 titre sans risque et 1 titre risqué1 titre sans risque et 1 titre risqué


1 titre sans risque et 1 titre risqué1 titre sans risque et 1 titre risqué

)()1()( AAfAp rEwrwrE

00 w = 2A

2A

2p

La variance d’action sans risque est 0, et la covariance entre un actif sans risque et un actif risqué est naturellement égale à 0.

Supposons que nous construisons un portefeuille P ayant un actif sans risque f et un actif risqué A

w = AAp


Un actif sans risque et un actif risquéUn actif sans risque et un actif risqué

Supposons WR = .75

E(rA) = 15%

rf = 7%

A

f

E(rP) = 13%P

0 P =16.5% A =22%

E(rP) = .25*.07+.75*15=13% p = .75*.22 = 16.5%


P

fP

A

fA r - )rE(r - )rE(

fpA

fAp r

rrErE

*

)()(

E(rA)

rf

0

A

f

P

E(rP) P

A

La droite de répartition de capitalLa droite de répartition de capital

Pente de CAL

Équation

Intersection

Capital Allocation Line (CAL)


Choix d’une répartition optimaleChoix d’une répartition optimale

Si l’investisseur a une utilité quadratique, quelle est la Si l’investisseur a une utilité quadratique, quelle est la répartition optimale de portefeuille?répartition optimale de portefeuille?

22

1)( PP ArEU Utilité:

Rendement espéré et variance:

L’objectif de chaque investisseur est de maximiser son utilité. Comment fait-on?

,)1()()(222

AP

fAP

w

rwrwErE


Normally a Bear Lives in a Cave, that is Normally a Bear Lives in a Cave, that is Concave,Concave,

then to find the top of the cave

(i.e. or to maximize a concave function),

prenez les dérivées et mettez le tout égal à 0.

A concave A concave function has a function has a

negative negative second second

derivative.derivative.


However, if the Bear is Swimming in a Bowl, However, if the Bear is Swimming in a Bowl, that is Convex,that is Convex,

then to find the bottom of the bowl

(i.e. or to minimize a convex function),

prenez les dérivées et mettez le tout égal à 0.

A convex A convex function has a function has a

positive positive second second

derivative.derivative.


Maximiser l’utilité de l’investisseurMaximiser l’utilité de l’investisseur

2A

fA*

A

r - )rE( = w

- )1()(

)(22

21

22

1

AfA

PP

AwrwrwE

ArEU

0)()( 2 AfA AwrrE

dw

wdU

w* est l’allocation optimale.

Prenez les dérivées de U par rapport à w et mettez le tout égal à 0.


Exemple 1Exemple 1

Supposons E(rSupposons E(rAA) = 15%; ) = 15%; (r(rAA) = 22% et r) = 22% et rff = 7%. = 7%.

Pour un investisseur avec A = 4:Pour un investisseur avec A = 4: w* = (0.15-0.07)/[4*(0.22)^2] w* = (0.15-0.07)/[4*(0.22)^2]

= 0.41 < 1

L’allocation optimale est 41% de son capital dans le portefeuille risqué A et 59% dans l’actif sans risque. Par conséquent:

E(Rp) = 0.59*7%+0.41*15%=10.28%

et

(rp) = 0.41*0.22=9.02%

2A

fA*

A

r - )rE( = w

w = Ap *

)(**)1()( Afp rEwrwrE


Exemple 2Exemple 2

Supposons E(rSupposons E(rAA) = 15%; ) = 15%; (r(rAA) = 22% et r) = 22% et rff = 7%. = 7%. Pour un investisseur avec Pour un investisseur avec A = 1A = 1,,

w* = (0.15-0.07)/[1*(0.22)w* = (0.15-0.07)/[1*(0.22)22] ] == 1.65 1.65 > 1 > 1 Cet investisseur voudra placer Cet investisseur voudra placer 165%165% de son capital dans de son capital dans AA et il et il

va emprunterva emprunter 65%65% de son capital au taux sans risque de 7%, de son capital au taux sans risque de 7%, alors:alors:

E(RE(Rpp) = 1.65(0.15) + -0.65(0.07)= 20.2% ) = 1.65(0.15) + -0.65(0.07)= 20.2%

(r(rpp) ) = 1.65*0.22= 0.363 = 36.3%= 1.65*0.22= 0.363 = 36.3%

U = 0.202 – 0.5*1*(0.363U = 0.202 – 0.5*1*(0.36322) = ) = 0.13610.1361


Prêteur ou Emprunteur?Prêteur ou Emprunteur?

A

E(r)

7%Ex1: Prêteur

Ex2: Emprunteur

p = 22%

Chaque investisseur se placera à un point différent sur la CAL. La proportion investie dans l’actif risqué va dépendre de l’aversion au risque.

w*> 1 nécessité d’emprunteur.

L’allocation optimale est le point de tangence entre CAL et la fonction d’utilité de l’investisseur.


Différents taux d’empruntDifférents taux d’emprunt

Si le taux d’emprunt est plus élevé que le taux de Si le taux d’emprunt est plus élevé que le taux de placement, qu’est-ce qui se passe?placement, qu’est-ce qui se passe?

E(r)

9%

7%

A

p = 22%w* = (0.15-w* = (0.15-0.090.09)/[1*(0.22)2] = )/[1*(0.22)2] = 1,241,24

1.241.24 < 1.65 < 1.65


Différents taux d’empruntDifférents taux d’emprunt

Supposons E(rSupposons E(rAA) = 15%; ) = 15%; (r(rAA) = 22% et le taux de placement est ) = 22% et le taux de placement est rrpp = 7%, mais le taux dèmprunt est r = 7%, mais le taux dèmprunt est ree = = 9%. 9%. Pour un investisseur Pour un investisseur avec A = 1: avec A = 1:

w* = (0.15-w* = (0.15-0.090.09)/[1*(0.22)2] = )/[1*(0.22)2] = 1.241.241.241.24 < 1.65 < 1.65

Cet investisseur voudra placer 124% de son capital dans le titre Cet investisseur voudra placer 124% de son capital dans le titre AA. . Il aura besoin d’emprunter 24% de son capital au taux Il aura besoin d’emprunter 24% de son capital au taux d’emprunt de d’emprunt de 99%. Le coût plus élevé de l’emprunt force %. Le coût plus élevé de l’emprunt force l’investisseur à diminuer la proportion qu'il alloue au titre risqué. l’investisseur à diminuer la proportion qu'il alloue au titre risqué. Par conséquent: Par conséquent:

E(RE(Rpp) = 1.24(0.15) + -0.24(0.09)= 16.44% ) = 1.24(0.15) + -0.24(0.09)= 16.44%

(r(rpp) ) = 1.24*0.22= 27.28%= 1.24*0.22= 27.28%

Plus le taux d’emprunt est élevé, plus son utilité diminue:Plus le taux d’emprunt est élevé, plus son utilité diminue: U = 0.1644 – 0.5*1*(0.27282) = .1272 < .1361


Imaginez un univers avec deux titres risquésImaginez un univers avec deux titres risqués


Rendement espéré et écart type avec Rendement espéré et écart type avec divers coefficients de corrélationdivers coefficients de corrélation

7-427-42


Portefeuille de rendement espéré en fonction des proportions Portefeuille de rendement espéré en fonction des proportions d’investissementd’investissement

7-437-43


Portefeuille d’écart type en fonction des proportions Portefeuille d’écart type en fonction des proportions d’investissementd’investissement

7-447-44


En retournant En retournant à un portefeuille de deux titresà un portefeuille de deux titres

2211p rwrw)r(E

)r,r(Covww2ww 21212

22

22

12

12

p

et

, ou

)r,r(Covww2ww 21212

22

22

12

1p

Question: que se passe-t-il si nous utilisons plusieurs combinaisons, c.-à-d. si nous varions ?

7-457-45


Portefeuille de rendement espéré en fonction des Portefeuille de rendement espéré en fonction des proportions d’écarts typesproportions d’écarts types

7-467-46


Corrélation parfaite Corrélation parfaite

-

0.05

0.10

0.15

0.20

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12

E(R)

ρDE = +1.00

D

EAvec deux actifs parfaitement corrélés, c’est seulement possible de créer un portefeuille avec un rendement-risque selon la ligne entre les deux.

Avec vent à découvert.


Parfaite CorrélationParfaite Corrélation

= +1= +1

)()()( EEDDP REwREwRE

) w + w ( =

w w 2 + w + w = 2

EEDD

EDED2E

2E

2D

2D

2p

1

w w= EEDDp

DEDE rrCov ),(

que Rappelez


Corrélation zéroCorrélation zéro

f

-

0.05

0.10

0.15

0.20

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12

E(R)

ρDE = 0.00

ρDE = +1.00

f

gh

ij

kD

E

Avec des actifs non corrélés, c’est possible de créer un portefeuille moins risqué que des actifs orignaux..

w + w = 2E

2E

2D

2D

2p


Corrélation zéroCorrélation zéro

= 0= 0

DEDE rrCov ),(

que vous-Rappelez

w + w =

w w 2 + w + w = 2E

2E

2D

2D

EDED2E

2E

2D

2D

2p

0

w + w= 2E

2E

2D

2Dp


Corrélation positiveCorrélation positive

-

0.05

0.10

0.15

0.20

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12

E(R)

ρDE = 0.00

ρDE = +1.00

ρDE = + 0.50

f

gh

ij

kD

EAvec des actifs corrélats, c’est possible de créer un portefeuille de deux actifs entre les deux premières courbes

EDDEED2E

2E

2D

2D

2p ww2 + w + w =


Corrélation négativeCorrélation négative

-

0.05

0.10

0.15

0.20

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12

E(R)

ρDE = 0.00

ρDE = +1.00

ρDE = -0.50

ρDE = +0.50

f

gh

ij

kD

E

Avec des actifs corrélés négativement, c’est possible de créer un portefeuille beaucoup moins risqué.

EDDEED2E

2E

2D

2D

2p ww2 + w + w =

Négatif


Corrélation parfaitement négativeCorrélation parfaitement négative

-

0.05

0.10

0.15

0.20

0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12

E(R)

ρDE = 0.00

ρDE = +1.00

ρDE = -1.00

ρDE = + 0.50

f

gh

ij

kD

E

Avec des actifs corrélés parfaitement négatifs, c’est possible de créer un portefeuille sans risque.


Corrélation parfaitement négativeCorrélation parfaitement négative

) w - w ( =

ww 2 - w + w = 2

EEDD

EDED2E

2E

2D

2D

2p

| w - w=| EEDDp

0 =

+

= w et +

= w

P

ED

DE

ED

ED

alors

= -1= -1

Il existe des pondérations tel que

le risque total est nul.

DEDE rrCov 1),(

que Remarquez


Portefeuille de variance minimalePortefeuille de variance minimale


Le portefeuille à variance minimaleLe portefeuille à variance minimale

DEDD2E

2D

2D

2D

2p )w-(1w2 + )w-(1 + w = Min

0 = ) 2 - (2 - ) 4 - 2 + (2 w =

)w 4-(2 + )w-2(1 - w2 = w

DE2EDE

2E

2DD

DED2ED

2DD

D

2p

w - 1 = w

2 - +

- =

2 - +

- = w

DE

EDDE2E

2D

EDDE2E

DE2E

2D

DE2E

D

minmin

min


Le portefeuille à variance minimale (PVM)Le portefeuille à variance minimale (PVM)

ED

E2

ED

DEE

ED2E

2D

ED2E

D +

= ) + (

) + ( =

2 + +

+ = wmin

+

0 - +

0 - = w 2

E2D

2E

2E

2D

2E

D

min

2 - +

- = w

DE2E

2D

DE2E

D

min1>1> > -1 > -1

= -1= -1

= 0= 0

= 1= 1S’il n’y pas de ventes à découvert,

alors le PVM est égal à l’actif avec le minimum de variance*. *Avec des ventes *Avec des ventes à découvert,

c’est possible d’avoir 0 variance.c’est possible d’avoir 0 variance.


• La relation dépend du coefficient de corrélationLa relation dépend du coefficient de corrélation

-1.0 -1.0 << << +1.0 +1.0• Plus la corrélation est négative, plus la réduction Plus la corrélation est négative, plus la réduction

potentielle de risque est grande.potentielle de risque est grande.• SiSi= +1.0, aucune réduction de risque (sauf avec = +1.0, aucune réduction de risque (sauf avec

des ventes à découvert.) des ventes à découvert.)

L’effet de la corrélation L’effet de la corrélation

7-587-58


Exemple 1: PVMExemple 1: PVM

Exemple:Exemple: Supposons qu’il y a seulement deux actifs A et B::

AA BB A,BA,B

E(r)E(r) 10%10% 14%14%

0.20.2 15%15% 20%20%

Trouvez le portefeuille de variance minimale?Trouvez le portefeuille de variance minimale?

w - 1 = w 2 - +

- = w AB

BA2B

2A

BA2B

Aminminmin


Exemple 1: PVMExemple 1: PVM


Exemple 2: Exemple 2: = .3 = .3

• Supposons que notre univers d’investissement comprend deux titres de la Table 7.1:

DD EE D,ED,E

E(r)E(r) 8%8% 13%13%0.30.3

12%12% 20%20%

• Quelles sont les pondérations de chaque titre dans un portefeuille de variance minimale?

7-617-61


Exemple 2Exemple 2: : = .3 = .3

2

2 2

( , )

2 ( , )E D E

DD E D E

Cov r rw

Cov r r

• En minimisant le problème, nous obtenons:

• Numériquement:2

2 2

(20) 720.82

(20) (12) 272Dw

1 0.18E Dw w

7-627-62


L’utilité de l’investisseurL’utilité de l’investisseur

E(r)E(r)

Investisseurs ayant une forte aversion au risque

Investisseurs ayant une forte aversion au risque

U’U’

U’’U’’

U’’’U’’’Investisseurs ayant moins d’aversion au risque

Investisseurs ayant moins d’aversion au risque


Maximisez l’utilité de l’investisseurMaximisez l’utilité de l’investisseur

22

1)( ArEU

)()()( EEDDP rEwrEwrE

) 2 - + ( A

) - A( + )rE( - )rE( = w

DE2E

2D

DE2EED*

D

DEDD2E

2D

2D

2D

2p )w-(1w2 + )w-(1 + w =

Devoir: montrez que la solution est:


ExempleExemple

Exemple:Exemple: Supposons qu’il n’y a que deux portefeuilles::

AA BB A,BA,B

E(r)E(r) 10%10% 14%14%

0.20.2 15%15% 20%20%

Trouvez le portefeuille optimal pour un investisseur ayant une Trouvez le portefeuille optimal pour un investisseur ayant une utilité quadratique de A = 3?utilité quadratique de A = 3?

w w

2 - +A

- A+rE - rE = w *

A*B

BA2B

2A

BA2BBA*

A 1 ,


Exemple Exemple

59.01

,41.015.0*2.0*2.0*15.02.03

15.0*2.0*2.02.0314.010.022

2

ww

2 - +

- + - = w

*A

*B

*A


Imaginez un univers avec Imaginez un univers avec 2 titres risqués et 1 titre sans risque2 titres risqués et 1 titre sans risque


Deux CALsDeux CALs

7-687-68


Avec un actif sans risqueAvec un actif sans risque

E(r)E(r)

CAL 1CAL 1

CAL 2CAL 2

CAL 3CAL 3

Le portefeuille optimaleest le portefeuille tangentLe portefeuille optimaleest le portefeuille tangent

Intuition : la solution est le CAL qui maximise la pente!

Intuition : la solution est le CAL qui maximise la pente!

EE


Le CAL optimaleLe CAL optimale

7-707-70


Le portefeuille optimalLe portefeuille optimal

7-717-71


Exemple: Le portefeuille optimalExemple: Le portefeuille optimal

7-727-72


Pondérations d’un portefeuille optimalPondérations d’un portefeuille optimal

p

fpp

r - )rE( = S

)()()( EEDDP rEwrEwrE

DEDD2E

2D

2D

2D

2p )w-(1w2 + )w-(1 + w =

*D

*E

DEfEfD2DfE

2EfD

DEfE2EfD

D

ww

rrEr rE rrE+ r rE

rrE-rrE = w

1

*

Devoir: Si vous êtes ambitieux, essayez de montrer que la solution optimale ait :


Investisseurs A et BInvestisseurs A et B

P

E(r)

rf

i

jCAL

2P

fP*

A

r - )E(r = w

La proportion investie dans le portefeuille P va dépendre de l’aversion

au risque.


Différents taux d’emprunt et de placementDifférents taux d’emprunt et de placement

E(r)E(r)

rfrf

P1P1

P2P2

Bfr


Imaginez un univers avec une multitude de Imaginez un univers avec une multitude de titres risquéstitres risqués


Le problème de MarkowitzLe problème de Markowitz

1i

iiw

p REwREMaxi

N

i

N

jpijjiww

1 1

*

N

iiw

1

1

Soumis à la contrainte

de:


E(r)

Efficientfrontier

Frontière de variance minimale

7-787-78

Frontière de variance minimaleFrontière de variance minimale

Portefeuille de variance minimale


E(r)

Efficientfrontier

Frontière efficiente

7-797-79

Frontière efficienteFrontière efficiente

Portefeuille de variance minimale


Frontière efficienteFrontière efficiente

7-807-80


• La combinaison optimale correspond au plus bas La combinaison optimale correspond au plus bas niveau de risque pour un rendement donnéniveau de risque pour un rendement donné

• Le <<trade-off>> optimal est décrit comme Le <<trade-off>> optimal est décrit comme l’efficiente frontière.l’efficiente frontière.

Prolongement du conceptProlongement du concept

7-817-81


Pour la prochaine semaine, imaginez un Pour la prochaine semaine, imaginez un univers avec une multitude de titres risqués et univers avec une multitude de titres risqués et

1 titre sans risque1 titre sans risque


LecturesLectures

Lectures pour d'aujourd'hui : Lectures pour d'aujourd'hui :

Chapitre 7Chapitre 7

Si vous nàvez pas suivi le cours Placement, Si vous nàvez pas suivi le cours Placement, vous devez lire le Chapitre 6.vous devez lire le Chapitre 6.

Lectures pour les 2 prochaines semaines :Lectures pour les 2 prochaines semaines :

Chapitre 7 (incluant l'appendice A)Chapitre 7 (incluant l'appendice A)

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