01 04 PedagPhysTermS CP - lptms.u-psud.frlptms.u-psud.fr/.../enseignement/files/accompagnement-terminale.pdf · Ce document a été rédigé par le groupe d’experts sur les programmes

collection Lycéesérie Accompagnement des programmes

Physique

classe terminale scientifique

Ministère de la Jeunesse, de l’Éducation nationale et de la RechercheDirection de l’enseignement scolaire

applicable à la rentrée 2002

Centre national de documentation pédagogique

Ce document a été rédigé par le groupe d’experts sur les programmes scolaires de physique-chimie :

Président

Jacques TREINER groupe physique

Membres

Hervé BARTHÉLÉMY groupe physique

Dominique DAVOUS groupe chimie

Manuel DUMONT groupe chimie

Jean-Pierre FAROUX groupe physique

Marie-Claude FÉORE groupe chimie

Laure FORT groupe chimie

Robert GLEIZE groupe chimie

Francine GOZARD groupe physique

Jean-Charles JACQUEMIN groupe physique

Roger LEPETZ groupe physique

Marie-Blanche MAUHOURAT groupe chimie

Christiane PARENT groupe physique

Guy ROBARDET groupe physique

Thérèse ZOBIRI groupe chimie

Coordination :

Anne-Laure MONNIER bureau du contenu des enseignements (direction de l’enseignement scolaire)

Suivi éditorial :

Christianne Berthet

Secrétariat d’édition :

Nicolas Gouny

Maquette de couverture :

Catherine Villoutreix

Maquette :

Fabien Biglione

Mise en pages :

Desk

© CNDP, novembre 2002ISBN : 2-240-00784-2

ISSN : 1624-5393

Sommaire

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Tableaux synoptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Mécanique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

Énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

Électrodynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

Optique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Nouveau matériel : liste indicative . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Liste exhaustive du matériel de physique, programme de terminale scientifique*

1

Découpage horaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Enseignement obligatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Propositions de progressions pour l’enseignement obligatoire*

Enseignement de spécialité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

Propositions de progressions pour l’enseignement de spécialité*

Enseignement obligatoire

Introduction à l’évolution temporelle des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

Proposition de séance introductive à l’évolution temporelle des systèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

Proposition complète de séance introductive à l’évolution temporelle des systèmes*

L’alimentation électrique du TGV (F1)*

Le saut à l’élastique (F2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

Le flash d’un appareil photographique jetable*

Propagation d’une onde, onde progressive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Une progression possible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

Qu’est-ce qui distingue une onde mécanique du mouvement d’un mobile ? (A1)*

De quoi dépend la célérité d’une onde ? (A2)*

Comment étudier expérimentalement la propagation d’ondes périodiques ? (A3)*

Comment se comportent les sons ? (A4)*

Diffraction et dispersion (A5). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

Peut-on modéliser la lumière par une onde ? (A6)*

Transformations nucléaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

Comment interpréter l’étrange comportement d’un échantillon de matière radioactive ? . . . . . . . . . . . . 27

Quelles caractéristiques pour la désintégration d’une population de noyaux radioactifs? (B1) . . . . . . . 28

Comment évolue une population au cours du temps? (B2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

Courbe de décroissance radioactive du radon-222 (B3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

Courbe de décroissance radioactive du radon-222, version intégrale (B3)*

Courbe de décroissance radioactive du radon-220 (B4)*

Des poussières radioactives dans l’air (B5)*

1. Les parties marquées d’un astérisque (*) figurent sur le cédérom qui accompagne ce document.

Évolution des systèmes électriques*

Activités sur modèle : un exemple en électrocinétique*

Évolution temporelle des systèmes mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Une progression possible. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

Des lois de Newton à la cinématique (D1)*

À propos de l’étude expérimentale de la chute verticale d’un solide dans un fluide (D2) . . . . . . . . . . . 44

Quel est le mouvement d’un solide en chute dans l’air ? De quoi dépend-il ? (D3)*

Quels sont les paramètres qui influent sur la chute d’un solide dans un liquide ? (D4)*

Comment modéliser la valeur d’une force de frottement fluide ? (D5)*

Comment le mouvement d’un satellite permet de connaître la masse d’un astre ? (D6)*

Étude comparée de deux oscillateurs mécaniques (D7)*

Qu’est-ce que le phénomène de résonance ? (D8)*

Ouverture au monde quantique : l’atome et la mécanique de Newton (D9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Comparaison de diagrammes d’énergie (D10)*

Spectroscopie optique/Spectroscopie électronique (D11)*

Enseignement de spécialité

Produire des sons, écouter. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

Vibrations d’une corde de guitare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Vibration d’une colonne d’air (B2)*

Étude de la réflexion d’une onde progressive sur un obstacle (B3)*

À propos d’analyse spectrale et de sonagramme (B4)*

Produire des signaux, communiquer*

Modulation d’amplitude : expériences dans le domaine sonore (C1)*

À propos de la démodulation d’amplitude : une nouvelle approche du rôle de l’ensemble diode

et circuit RC parallèle pour la détection d’enveloppe (C2)*

Mesure du taux de modulation d’un signal modulé en amplitude : méthode du « trapèze » (C3)*

Annexe

De l’usage des textes documentaires dans l’enseignement des sciences physiques (TG1). . . . . . . . . . . 59

De l’usage des textes documentaires dans l’enseignement des sciences physique, version intégrale (TG1)*

De la simulation… dans/pour l’enseignement de la physique (TG2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

À propos de la méthode d’Euler (TG3) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

Radioactivité – Une convergence entre physique, mathématiques et sciences de la vie et de la Terre (TG4) 75

Variabilité et incertitudes dans les mesures physiques (TG5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

Compléments scientifiques*

Force de frottement fluide et vitesse (CS1)*

Niveaux d’énergie et spectre des atomes (CS2)*

Quantification des niveaux d’énergie et spectroscopie électronique (CS3)*

Ce document propose une aide à la mise en œuvre du programme qui reste placée sous la responsabilité del’enseignant et dont la seule référence officielle est constituée par le programme (BO hors-série n° 4 du 30 août 2001).Son contenu ne préjuge par ailleurs en rien des sujets qui peuvent être posés au baccalauréat : les enseignants sontinvités à se reporter aux textes réglementaires sur les épreuves (voir la note de service n° 2002-243 du6 novembre 2002, BO n° 42 du 14 novembre 2002) et aux exemples de sujets mis en ligne sur le site Internet Éduscol(www.eduscol.education.fr).

Introduction

5

Introduction

Ce document d’accompagnement obéit à la même logique que ceux des classes deseconde et de première : il propose une

mise en œuvre pratique

du programme, qui enexplicite à la fois l’esprit général et en précise certaines intentions particulières. Cettemise en œuvre est effectuée à travers :– des exemples de progression;– des exemples d’activités et d’expériences illustratives et nouvelles;– des exemples de mise en place du questionnement;– des compléments d’informations scientifiques concernant les parties nouvelles duprogramme ou des approches nouvelles de sujets précédemment traités.

En conséquence, ces documents donnent à chaque sujet un volume en rapport à sonaspect

nouveau

plutôt qu’à la durée de son traitement dans le déroulement de l’année.Cet accent mis sur les aspects nouveaux dans l’explicitation du programme fait queles documents d’accompagnement ne se substituent ni à un ouvrage d’élève, ni à celuidu professeur. Ils sont là pour indiquer des pistes aux équipes d’enseignants et auxformateurs, alimenter leur réflexion et les aider à élaborer leurs propres façons defaire. Nul doute que le foisonnement constaté lors de la mise en place du programmede seconde et de celui de première se prolongera avec la mise en place du programmede la classe terminale scientifique.Parmi les aspects nouveaux, une place particulière est donnée dans la version papierdu document aux interfaces de la physique avec d’autres enseignements :– physique et histoire des idées : de l’usage des textes documentaires dans l’enseigne-ment de la physique;– physique et simulation numérique : du bon usage de la simulation dans/pourl’enseignement de la physique;– physique et calcul numérique : de l’utilisation de la méthode d’Euler pour la résolu-tion d’équations différentielles;– physique et statistique : variabilité et incertitudes dans les mesures;– physique, mathématiques et sciences de la vie et de la Terre : une convergence surle thème de la radioactivité.

Il s’agit là d’approches de type interdisciplinaire

1

, mais sous une forme spécifique etnouvelle. L’interdisciplinarité, telle qu’elle est envisagée par exemple dans les TPE,s’appuie sur la coopération de plusieurs professeurs de disciplines différentes. Ici, ils’agit de mettre en place

une vision et une pratique interdisciplinaire au sein même dechaque discipline

, chaque enseignant

sachant

ce que l’enseignant d’une autre disci-pline enseigne sur le même sujet.L’exemple de la radioactivité, en tant qu’

objet de connaissance,

illustre cettedémarche : en

physique

, on valide, au moyen de dispositifs expérimentaux nouveaux,l’équation différentielle gouvernant la loi macroscopique de décroissance radioactive;en

mathématiques

, un modèle physique microscopique de la durée de vie d’un noyauradioactif est validé au moyen d’un traitement probabiliste qui introduit la notion deloi de probabilité à densité continue; en

sciences de la Terre

, on montre que la loi dedécroissance peut être utilisée dans la datation des roches. La partie du documentcorrespondante est

commune

aux enseignants des trois disciplines, ce qui permet, dansles établissements, une préparation commune du sujet à partir de

formations croisées

.Cette approche ne se réduit en rien à une juxtaposition de points de vue. C’est lecontenu même enseigné qui change : ainsi l’accent plus grand mis en cours de mathé-matiques sur les équations différentielles résulte du choix de faire du thème« Évolution temporelle des systèmes » un facteur unifiant du programme de physique.

1. Nous ne nous arrêterons pas ici aux préoccupations sémantiques qui distinguent parfois

pluridisciplinarité, interdisciplinarité, transdisciplinarité, etc.

6

Physique – Classe terminale scientifique

Introduire la fonction exponentielle comme solution d’une équation différentielle, aulieu de l’introduire comme fonction réciproque de la fonction logarithme, résulte égale-ment de la fréquence d’occurrence en physique de phénomènes dans lesquels le tauxde variation d’une grandeur est proportionnel à la grandeur elle-même. L’introductionen mathématiques des lois de probabilité à densité continue dans le contexte

explicite

de la radioactivité et de processus de « mort sans vieillissement » permet une meilleurecompréhension de la physique du phénomène. Elle ouvre également à une interroga-tion fertile sur la nature de l’aléatoire, puisque l’élève constate qu’un processus aléa-toire à l’échelle du noyau conduit à une loi macroscopique déterministe.D’autres sujets dans le programme permettent d’alimenter le dialogue entre enseignantsde différentes disciplines. Ainsi, pour prendre quelques exemples, la méthode d’Euler derésolution des équations différentielles, introduite en classe de première scientifique dansle programme de mathématiques, reprise en terminale en physique et en mathématiques;la simulation numérique qui, en regard de l’expérimentation qui pose la question « Quedit la nature? », interroge, en s’appuyant sur une approche de la modélisation communeà de nombreuses disciplines : « Que dit le modèle? »; l’approche historique de constitu-tion des connaissances scientifiques à travers la lecture de textes judicieusement choisis.Pour ce qui concerne les aspects strictement disciplinaires, insistons sur une considé-ration générale qui permet de mettre les différentes parties du programme en perspec-tive les unes par rapport aux autres : la mécanique est, au lycée, le domaine dephysique dont l’élaboration est la plus complète. Depuis la classe de troisième, en effet,l’ensemble des principes est mis en place et discuté au cours d’un dialogue théorie/expérience équilibré, jusqu’à la terminale où le contenu de ce qu’on appelle le

déter-minisme physique

peut être explicité concrètement, y compris dans ses limites (intro-duction au monde quantique). Tous les autres sujets abordés au lycée représentent des

ouvertures

, qui seront reprises dans leur cadre conceptuel adéquat après lebaccalauréat : électricité, magnétisme, optique, ondes. Ces ouvertures sont conçuestout d’abord comme des ouvertures aux

phénomènes

et un soin particulier a été porté,dans les documents d’accompagnement, à la mise en évidence de ces phénomènes et àce que la formalisation n’anticipe pas sur ce qui est nécessaire à leur compréhension.D’où, par exemple, la progression du chapitre « Ondes » qui, centré sur la notion depropagation, cherche à mettre en regard systématiquement le comportement d’uneonde à celui d’un mobile. La mise en place de notions caractéristiques fondamentalescomme la dispersion et la diffraction ne nécessite aucune représentation mathématiqueintroduisant des fonctions de plusieurs variables. Dans le chapitre de mécanique, laprise en considération des frottements est conçue comme permettant une démarche demodélisation : les cas où ces frottements sont négligeables ne sont donc pas donnés,mais construits. Mais tout développement sur les frottements, en tant qu’objet d’étude(passage à la turbulence, nombre de Reynolds), est évidemment hors programme.Quant à l’enseignement de spécialité, fondé sur une approche expérimentale, le choixde le situer dans le prolongement de celui de tronc commun doit permettre à l’élèved’approfondir et de stabiliser ses connaissances.La conclusion, à ce point, n’a pas lieu de différer de celle de l’introduction du docu-ment d’accompagnement de la classe de première scientifique, qui proposait : « Peut-être pourrait-on résumer ces rapports entre discussion qualitative et formalisation dela façon suivante. La discussion qualitative reste au plus près du phénomène observéet donne toute sa place au raisonnement, un raisonnement pratiqué en quelque sorte

sans filet

, mettant en jeu les seules connaissances et représentations accumulées parcelui qui s’y risque. Le formalisme, lui, présente l’avantage irremplaçable de

penserpar lui-même, et de penser juste

(si l’on respecte les règles de manipulation des sym-boles, c’est-à-dire si l’on ne commet pas d’erreurs de calcul!). Il conduit également sou-vent à des résultats inattendus, donc précieux. […] Lorsque les deux démarchess’alimentent l’une l’autre – et c’est l’art du pédagogue qui est ici en cause – la curiositéreste en éveil, ainsi que le plaisir de la découverte

2

. »

Jacques Treiner,

président du groupe d’experts de physique-chimie, mai 2002

2.

Physique, classe de première scientifique

, Paris, CNDP, 2002, p. 6.

Tableaux synoptiques

7

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issi

on

Dyn

amiq

ue d

e ro

tati

onÉ

tude

qua

ntit

ativ

e de

tout

mou

vem

ent

autr

e qu

e ce

lui d

u ce

ntre

d’in

erti

e

Déc

ompo

siti

on

d’un

e ac

célé

rati

on

dans

le r

epèr

e de

Fr

énet

Étu

de q

uant

itat

ive

d’os

cilla

tion

s am

orti

es, f

orcé

es o

u en

tret

enue

s

Étu

de q

uant

itat

ive

de la

rés

onan

ce :

cour

bes

de

réso

nanc

e, e

tc.

F∑

Ma G

=


9

Éner

gie

Obj

ecti

fsN

otio

nsSi

tuat

ions

pri

vilé

giée

sE

xem

ples

d’a

ctiv

ités

Not

ions

et

acti

vité

s ho

rs p

rogr

amm

e

1

re

ST

rava

il m

écan

ique

et

éne

rgie

Intr

odui

re, à

par

tir

de la

not

ion

de

trav

ail d

’une

forc

e, le

s di

ffér

ente

s fo

rmes

de

l’éne

rgie

Iden

tifi

er le

trav

ail d

’une

forc

e co

mm

e m

ode

de tr

ansf

ert d

’éne

rgie

Mon

trer

que

, sel

on le

s si

tuat

ions

, ce

s di

ffér

ente

s fo

rmes

son

t sus

cep-

tibl

es d

e se

tran

sfor

mer

les

unes

da

ns le

s au

tres

Intr

odui

re le

s au

tres

mod

es d

e tr

ansf

ert d

’éne

rgie

Prog

ress

er v

ers

l’idé

e de

con

serv

a-ti

on d

e l’é

nerg

ie :

l’éne

rgie

ne

peut

êt

re n

i cré

ée n

i dét

ruit

e; si

l’én

ergi

e d’

un s

ystè

me

augm

ente

ou

dim

i-nu

e, c

’est

qu’

il a

reçu

ou

cédé

de

l’éne

rgie

Tra

vail

d’un

e fo

rce

cons

tant

e. T

rava

il du

po

ids

Tra

vail

mot

eur

trav

ail r

ésis

tant

Le

trav

ail :

un

mod

e de

tran

sfer

t de

l’én

ergi

e–

Tra

vail

et é

nerg

ie c

inét

ique

d’u

n so

lide

en tr

ansl

atio

n. R

elat

ion

– T

rava

il et

éne

rgie

pot

enti

elle

d’u

n so

lide

en in

tera

ctio

n av

ec la

Ter

re–

Tra

vail

et é

nerg

ie in

tern

eT

rans

form

atio

n d’

éner

gie

pote

ntie

lle e

n én

ergi

e ci

néti

que

(cas

de

la c

hute

libr

e)Pu

issa

nce

d’un

tran

sfer

t d’é

nerg

ieA

utre

s m

odes

de

tran

sfer

t :–

le tr

ansf

ert t

herm

ique

– le

ray

onne

men

t–

tran

sfer

t d’é

nerg

ie é

lect

riqu

e (

cf.

éle

ctro

dyna

miq

ue)

Étu

des q

uant

itat

ives

des

var

iati

ons d

e la

va

leur

de

la v

ites

se d

u ce

ntre

d’in

erti

e d’

un so

lide

en tr

ansl

atio

n (u

tilis

atio

n de

T

ICE

: vi

déo,

cap

teur

s, lo

gici

els

de tr

ai-

tem

ent d

e l’i

mag

e et

/ou

de m

esur

es) :

– ch

utes

ave

c ou

san

s vi

tess

e in

itia

le–

sate

llite

s en

mou

vem

ent c

ircu

lair

e un

ifor

me

– so

lide

en m

ouve

men

t sur

un

plan

Déf

orm

atio

ns é

last

ique

sV

aria

tion

de

tem

péra

ture

d’u

n co

rps

Cha

ngem

ent d

’éta

t phy

sico

-chi

miq

ue

App

roch

es q

ualit

ativ

es d

u tr

ansf

ert

ther

miq

ue e

t du

rayo

nnem

ent :

– éc

hauf

fem

ent p

ar fr

otte

men

t;

expé

rien

ce d

e Jo

ule

(ou

équi

vale

nte)

– m

ise

en c

onta

ct d

e de

ux c

orps

à

tem

péra

ture

s dif

fére

ntes

: év

olut

ion

vers

l’é

quili

bre

ther

miq

ue. I

nter

prét

atio

n m

icro

scop

ique

– éc

hauf

fem

ent p

ar r

ayon

nem

ent

élec

trom

agné

tiqu

e

Étu

de d

es s

ystè

mes

com

plex

es

(on

s’en

tien

t aux

solid

es sa

uf p

our l

es

défo

rmat

ions

éla

stiq

ues

–

cf.

éne

rgie

in

tern

e)E

xpre

ssio

n de

l’én

ergi

e ci

néti

que

de

rota

tion

d’u

n so

lide

Le

théo

rèm

e de

l’én

ergi

e ci

néti

que

(la

rela

tion

obte

nue

par i

ntég

rati

on d

e la

seco

nde

loi d

e New

ton,

est g

énér

ale,

val

able

en

tous

les c

as e

t san

s res

tric

tion

, ne

peut

êt

re c

onfo

ndue

ave

c le

théo

rèm

e de

l’é

nerg

ie c

inét

ique

)

Not

ion

d’én

ergi

e m

écan

ique

Tou

te e

xpre

ssio

n de

l’én

ergi

e in

tern

eT

oute

étu

de q

uant

itat

ive

relié

e à

l’éne

rgie

inte

rne,

au

tran

sfer

t th

erm

ique

ou

au r

ayon

nem

ent

T

ale

SÉ

volu

tion

de

s sy

stèm

es

élec

triq

ues

Étu

dier

l’év

olut

ion

d’un

sys

tèm

e él

ectr

ique

lors

de

la fe

rmet

ure

(ou

de l’

ouve

rtur

e) d

’un

circ

uit

App

rend

re à

en

dist

ingu

er le

s dif

fé-

rent

s ré

gim

es e

t à le

s ca

ract

éris

er

Éne

rgie

em

mag

asin

ée d

ans

un c

onde

nsat

eur

et d

ans

une

bobi

neIn

terp

réta

tion

éne

rgét

ique

de

la d

écha

rge

osci

llant

e d’

un c

onde

nsat

eur

dans

une

bo

bine

: tr

ansf

ert d

’éne

rgie

, eff

et J

oule

Obs

erva

tion

s de

cir

cuit

s en

fonc

tion

ne-

men

t. R

epér

age

des

effe

ts, d

es li

eux

de

tran

sfer

ts d

’éne

rgie

et d

e la

nat

ure

des

tran

sfer

ts

Dém

onst

rati

on d

es e

xpre

ssio

ns d

es

éner

gies

non

exi

gibl

eT

oute

étu

de fo

rmel

le

de l’

amor

tiss

emen

t dan

s la

déc

harg

e os

cilla

nte

T

ale

SÉ

volu

tion

de

s sy

stèm

es

méc

aniq

ues

Réi

nves

tiss

emen

t des

rés

ulta

ts

obte

nus

par

les

lois

de

New

ton

du

poin

t de

vue

éner

géti

que

afin

de

mon

trer

la c

ohér

ence

des

app

ro-

ches

méc

aniq

ues

et é

nerg

étiq

ues

Tra

vail

d’un

e for

ce ex

téri

eure

app

liqué

e à

un r

esso

rt. É

nerg

ie p

oten

tiel

le é

last

ique

d’

un r

esso

rtÉ

nerg

ie m

écan

ique

des

sys

tèm

esQ

uant

ific

atio

n de

s ni

veau

x et

de

s tr

ansf

erts

d’é

nerg

ie d

ans

l’ato

me,

un

e m

oléc

ule,

un

noya

u

Mou

vem

ents

pla

ns (p

roje

ctile

s,

sate

llite

s et

pla

nète

s)Sy

stèm

es o

scill

ants

. Mod

élis

atio

n d’

un o

scill

ateu

r ré

elO

bser

vati

on e

t int

erpr

état

ion

de

spec

tres

éle

ctro

niqu

es e

t opt

ique

s

Bila

ns q

uant

itat

ifs

d’én

ergi

e da

ns le

s sy

stèm

es o

scill

ants

am

orti

sT

out d

ével

oppe

men

t à c

arac

tère

pr

obab

ilist

e co

ncer

nant

les

élec

tron

s da

ns l’

atom

e

1 2---M

VB2

1 2---M

VA2

–W

AB

∑F

ext

()

=1 2---

MV

B21 2---

MV

A2–

WA

B∑

Fex

t(

)=

10


Élec

tro

dyn

amiq

ue

Obj

ecti

fsN

otio

nsSi

tuat

ions

pri

vilé

giée

sE

xem

ples

d’a

ctiv

ités

Not

ions

et

acti

vité

s ho

rs p

rogr

amm

e

1

re

SÉl

ectr

o-ci

nétiq

ue

La

prob

lé-

mat

ique

de

l’étu

de e

st

celle

de

l’éne

rgie

et

de

sa

cons

erva

tion

Com

pren

dre

qu’il

n’y

a p

as

cont

radi

ctio

n en

tre

–

le tr

ansf

ert d

’éne

rgie

éle

ctri

-qu

e du

géné

rate

ur v

ers l

es ré

cep-

teur

s ave

c la

con

serv

atio

n de

l’é

nerg

ie

–

et l

a ci

rcul

atio

n de

s cha

rges

le

long

du

circ

uit a

vec

la c

onse

rva-

tion

de

ces c

harg

es

Savo

ir in

terp

réte

r le

com

por-

tem

ent g

loba

l d’u

n ci

rcui

t par

la

con

serv

atio

n de

l’én

ergi

e

Éne

rgie

éle

ctri

que

reçu

e pa

r un

réce

pteu

rou

cédé

e par

un

géné

rate

ur (a

ssoc

iée à

I et

U

non

nulle

s)Pu

issa

nce

d’un

tran

sfer

t d’é

nerg

ieE

ffet

Joul

eB

ilan

des t

rans

fert

s d’é

nerg

ie é

lect

riqu

e da

ns u

n ci

rcui

tC

ompo

rtem

ent g

loba

l d’u

n ci

rcui

t :–

just

ific

atio

n én

ergé

tiqu

e des

lois

d’a

ddit

ivit

é de

s ten

sion

s et i

nten

sité

s

–

infl

uenc

e de

E, d

es ré

sist

ance

s et d

e la

st

ruct

ure

du c

ircu

it

Obs

erva

tion

s de

circ

uits

en

fonc

tion

nem

ent :

– re

péra

ge d

es e

ffet

s, d

es li

eux

de tr

ansf

erts

d’

éner

gie

et d

e la

nat

ure

des t

rans

fert

s.

Mes

ures

des

inte

nsit

és e

t de

tens

ions

– ob

serv

atio

ns d

es c

hang

emen

ts d

es e

ffet

s co

nséc

utif

s à d

es m

odif

icat

ions

app

orté

es

au c

ircu

it. M

esur

es d

es I

et U

Inte

rpré

tati

on d

es e

ffet

s par

les l

ois d

e co

nser

vati

on e

t d’a

ddit

ivit

é po

rtan

t sur

les

puis

sanc

es

Car

acté

rist

ique

s de

dipô

les

Loi

s d’O

hm

1

re

SÉl

ectr

o-m

agné

tism

e

Com

pren

dre

le c

oupl

age

élec

trom

écan

ique

(con

vers

ion

d’én

ergi

e él

ectr

ique

en

éner

gie

méc

aniq

ue e

t ré

cipr

oque

men

t)

Intr

odui

re le

con

cept

de

cham

p ve

ctor

iel

Le

cham

p m

agné

tiqu

e : c

arac

tère

vec

tori

el

Cha

mp

mag

néti

que

créé

par

un

cour

ant

Forc

es é

lect

rom

agné

tiqu

es

Cou

plag

e él

ectr

omag

néti

que

Exp

érie

nces

mon

tran

t les

car

acté

rist

ique

s du

cha

mp

mag

néti

que

créé

par

un

cour

ant

Car

acté

rist

ique

s de

la fo

rce

élec

trom

agné

tiqu

e

Obs

erva

tion

du

fonc

tion

nem

ent d

’un

mot

eur,

d’u

ne g

énér

atri

ce, d

’un

haut

-pa

rleu

r, d

’un

mic

roph

one

élec

trod

ynam

ique

Not

ion

de fl

uxÉ

tude

qua

ntit

ativ

e et

form

alis

ée d

es

mili

eux

mag

néti

ques

Tou

t for

mal

ism

e re

lati

f à l’

indu

ctio

n él

ectr

omag

néti

que

(seu

l le

phén

omèn

e es

t obs

ervé

)T

oute

étu

de q

uant

itat

ive

sur l

es

mot

eurs

et g

énér

ateu

rs

T

ale

SÉv

olut

ion

des

syst

èmes

él

ectr

ique

s

La

prob

lé-

mat

ique

de

l’étu

de e

st

celle

de

l’évo

lutio

n te

mpo

relle

de

s sy

stèm

es

Étu

dier

l’év

olut

ion

d’un

sy

stèm

e él

ectr

ique

lors

de

la

ferm

etur

e (o

u de

l’ou

vert

ure)

d’

un c

ircu

it

App

rend

re à

dis

ting

uer

les d

iffé

rent

s rég

imes

et

à le

s car

acté

rise

r

Com

pren

dre

que

les l

ois d

es

cour

ants

con

tinu

s s’a

ppli-

quen

t à c

haqu

e in

stan

t à u

n sy

stèm

e él

ectr

ique

qu

elco

nque

Éta

blis

sem

ent e

t évo

luti

on d

e la

tens

ion

aux

born

es d

’un

cond

ensa

teur

(dip

ôle

RC

)É

tabl

isse

men

t et é

volu

tion

de

l’int

ensi

té d

u co

uran

t dan

s une

bob

ine

(dip

ôle

RL

)É

quat

ions

dif

fére

ntie

lles a

ssoc

iées

. R

ésol

utio

ns a

naly

tiqu

es

Déc

harg

e os

cilla

nte

d’un

con

dens

ateu

r da

ns u

ne b

obin

e : r

égim

es p

seud

o-pé

riod

ique

et a

péri

odiq

ueÉ

quat

ion

diff

éren

tiel

le a

ssoc

iée

Mod

élis

atio

n pé

riod

ique

dan

s le

cas d

’un

amor

tiss

emen

t nég

ligea

ble

(dip

ôle

LC

) :

réso

luti

on a

naly

tiqu

e. P

ério

de p

ropr

e

Com

para

ison

vis

uelle

, à l’

étab

lisse

men

t du

cour

ant,

de

l’écl

aire

men

t d’u

ne la

mpe

mis

e en

séri

e ave

c une

rési

stan

ce o

u un

cond

ensa

-te

ur, o

u un

e bo

bine

alim

enté

s en

cont

inu

Stoc

kage

de

l’éne

rgie

:–

pri

ncip

e du

flas

h

–

dis

posi

tif d

e pr

oduc

tion

d’é

tinc

elle

s (a

llum

age

dans

un

mot

eur à

exp

losi

on)

Vis

ualis

atio

n de

tens

ions

à l’

osci

llosc

ope

et/

ou a

u m

oyen

d’u

n sy

stèm

e d’

acqu

isit

ion

info

rmat

isé

avec

trai

tem

ent d

e l’i

nfor

ma-

tion

(cas

des

dip

ôles

RC

, RL

et d

e déc

harg

es

osci

llant

es a

mor

ties

)

Tou

t dév

elop

pem

ent s

ur la

tech

nolo

gie

des c

onde

nsat

eurs

Ass

ocia

tion

s de

cond

ensa

teur

s

On

s’en

tien

dra

aux

disp

osit

ifs l

es p

lus

sim

ples

: ut

ilisa

tion

d’u

n éc

helo

n de

te

nsio

n et

non

de

tens

ions

en

crén

eaux

Étu

de d

e l’I

nduc

tion

et d

e l’a

uto-

indu

ctio

n; f

.é.m

. ass

ocié

esM

odèl

e éq

uiva

lent

de

la b

obin

e

Étu

de fo

rmel

le d

e l’a

mor

tiss

emen

tÉ

tude

théo

riqu

e du

dis

posi

tif

d’en

tret

ien

des o

scill

atio

ns


11

Op

tiq

ue

Obj

ecti

fsN

otio

nsSi

tuat

ions

pri

vilé

giée

sE

xem

ples

d’a

ctiv

ités

Not

ions

et a

ctiv

ités

hor

s pr

ogra

mm

e

2

de

Expl

orat

ion

de l’

espa

ce

Se r

epér

er d

ans

l’uni

vers

qui

no

us e

ntou

re, d

e l’a

tom

e au

x ga

laxi

es, p

ar la

mes

ure

des

dim

ensi

ons

et d

es d

ista

nces

Uti

liser

la lu

miè

re p

our

obte

nir

des

rens

eign

emen

ts

sur

la m

atiè

re

Mes

ure

et c

ompa

rais

on d

es lo

ngue

urs

Prop

agat

ion

rect

ilign

e de

la lu

miè

re

Réf

ract

ion.

Dis

pers

ion

par

le p

rism

e

Car

acté

risa

tion

d’u

ne r

adia

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m

onoc

hrom

atiq

ueL

umiè

re b

lanc

heA

ppro

che

du p

rinc

ipe

de l’

anal

yse

spec

tral

e

Tec

hniq

ue d

e la

vis

ée. M

étho

de d

e la

pa

ralla

xeU

tilis

atio

n du

dia

mèt

re a

ppar

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Uti

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12


■

Programme de terminale scientifique. Liste indicative pour un établissement (LEGT)

Cette liste indique uniquement le

nouveau

matériel de physique requis pour la mise enœuvre du nouveau programme de terminale scientifique. Par ailleurs, elle concerne leslycées possédant déjà le matériel nécessaire à l’étude des ondes mécaniques et sonoresenseignées dans les programmes antérieurs. Un équipement complémentaire est néces-saire pour les lycées récents (voir la liste exhaustive sur le cédérom).

1

Physique – Enseignement obligatoire

Physique – Enseignement de spécialité

1. La détention de sources de radioactivité contenant du césium-137, contenu notamment dans le

matériel CRAB, est soumise à une réglementation particulière (décret n° 2002-460 du 4 avril 2002).

Notions au programme Nature du matériel Quantité

A. Propagation d’une onde; ondes progressives

Petite cuve à ondes sans stroboscope, pour TP et accessoires Montage montrant l’influence de l’inertie et de la rigidité du milieu

61

B. Transformations nucléaires

Carte (N, Z)Valise pour la mesure de la radioactivité naturelle (Radon

1

)1 1

C. Évolution des systèmes électriques

D. Évolution temporelle des systèmes mécaniques

Matériel d’étude de la chute des solides dans un fluide Moteur à vitesse réglable avec système excentré pour la résonance mécaniqueMatériel pour réaliser un dispositif à force constante

12

11

ExAO et TICE

Ordinateur multimédia (128 Mo de RAM), avec prise USBInterface et capteurs pour les grandeurs mesurées dans le programmeTable à digitaliser, logiciel et accessoiresWebcam et logicielsLogiciels de simulation dans les domaines du programme

12

1211212

Notions au programme Nature du matériel Quantité

A. Produire des images, observer

Rétroviseur Lunette astronomique de démonstrationTélescope de démonstration

111

B. Produire des sons, écouter

Sonomètre avec cordes métalliques de longueuret tension variables sur caisse de résonance et aimants en U Tuyau, haut-parleur et microphone à électret pour TP

12 12

C. Produire des signaux, communiquer

Dispositif pour la transmission d’un signal sonore par un faisceau lumineux 12

Logiciels de simulation

Logiciel optique (version établissement)Logiciels analyseur de spectre, synthétiseur, sonagramme (version établissement)

1

1

N ouveau matériel : liste indicative

Découpage horaire

13


■

Année scolaire : 30 semaines.Cette proposition de répartition est basée sur :– 28 semaines de cours (par semaine : 1 TP et 3 HCE), soit 28 TP (14 en physique) et 84 HCE (50 en physique);– 2 semaines pour bac blanc et évaluation des capacités expérimentales.

Propositions de découpage horaire

13 TP (plus 1 TP évalué) – 50 HCE

TP HCE Total

Introduction à l’évolution temporelle des systèmes

1 1 TP

A. Propagation d’une onde; ondes progressives1) Les ondes mécaniques progressives

1.1) Introduction…1.2) Onde progressive à une dimension…

2) Ondes progressives mécaniques périodiques3) La lumière, modèle ondulatoire

Contrôles

1

1

12222

2 TP9 HCE

B. Transformations nucléaires1) Décroissance radioactive2) Noyaux, masse, énergie

Contrôles

2 322

2 TP7 HCE

C. Évolution temporelle des systèmes électriques1) Cas d’un dipôle RC

1.1) Le condensateur1.2) Dipôle RC

2) Cas du dipôle RL

2.1) La bobine2.2) Dipôle RL

3) Oscillations libres dans un circuit RLC sérieContrôles

1

11

12

1222

3 TP10 HCE

D. Évolution temporelle des systèmes mécaniques1) La mécanique de Newton2) Étude de cas

2.1) Chute verticale d’un solide– Chute verticale avec frottement– Chute verticale libre

2.2) Mouvements plans– Mouvements de projectiles dans un champ de pesanteur uniforme…– Satellites et planètes

3) Systèmes oscillants

3.1) Présentation de divers systèmes oscillants mécaniques3.2) Le dispositif solide ressort3.3) Le phénomène de résonance

4) Aspects énergétiques5) L’atome et la mécanique de Newton : ouverture au monde quantique

Contrôles

1

1

1

1

1

3

12

22

121224

5 TP22 HCE

E. Évolution temporelle des système et mesure du temps

2 2 HCE

D écoupage horaire

14



■

Année scolaire : 30 semaines.Cette proposition de répartition est basée sur :– 28 semaines, à raison d’une séquence expérimentale de 2 heures par semaine, classe dédoublée;– 2 semaines pour les évaluations théoriques et expérimentales.Les séquences de deux heures comprennent le cours, les TP, les TP-cours, la recherche d’exercices et la correction des contrôles. Un contrôle au moins est prévu par partie.

Proposition de découpage horaire

14 séquences de 2 heures

Séquence de 2 h

Total

A. Produire des images, observer1) Formation d’une image

1.1) Image formée par une lentille mince convergente1.2) Image formée par un miroir sphérique convergent

2) Quelques instruments d’optique

2.1) Le microscope2.2) La lunette astronomique et le télescope de Newton

Contrôles

11

11,50,5

5

B. Produire des sons, écouter1) Production d’un son par un instrument de musique2) Modes de vibration

2.1) Vibration d’une corde tendue entre deux points fixes2.2) Vibration d’une colonne d’air

3) Interprétation ondulatoire

3.1) Réflexion sur un obstacle fixe unique3.2) Réflexions sur deux obstacles fixes : quantification des modes observés3.3) Transposition à une colonne d’air excitée par un haut-parleur

4) Acoustique musicale et physique des sonsContrôles

0,25

10,25

0,51

0,51

0,5

5

C. Produire des signaux, communiquer1) Les ondes électromagnétiques, support de choix pour transmettre des informations

1.1) Transmission des informations1.2) Les ondes électromagnétiques1.3) Modulation d’une tension sinusoïdale

2) Modulation d’amplitude

2.1) Principe de la modulation d’amplitude2.2) Principe de la démodulation d’amplitude

3) Réalisation d’un dispositif permettant de recevoir une émission de radio en modulation d’amplitude

Contrôles

0,250,250,25

10,75

10,5

4



17

Proposition de séance introductive à l’évolution temporelle des systèmes

En classe terminale scientifique, divers phénomènes mettant en jeu des grandeurs quiévoluent au cours du temps, vont être étudiés dans des domaines variés : la propa-gation d’une onde, les désintégrations nucléaires, l’évolution de quelques systèmesélectriques et mécaniques.Au cours de l’année, les élèves découvriront l’existence de similitudes dans l’étude del’évolution temporelle des différents systèmes rencontrés.Lors de la séance d’introduction, un questionnement et une réflexion pourront êtremenés à partir de documents (textes, vidéos, logiciels…). Chaque fois que possible, onpourra essayer de proposer une expérience simple suscitant un début de questionne-ment sur les grandeurs pertinentes pour l’étude de l’évolution du système faisantl’objet du document étudié, les paramètres qui interviennent dans cette évolution, ceuxqui n’interviennent pas, les temps caractéristiques, etc. Des exemples illustrant cettedémarche sont proposés dans le cédérom d’accompagnement.Ainsi un tableau, tel que celui ébauché ci-dessous

1

, comportant uniquement lapremière ligne (qui représente le programme annuel) et la première colonne (dont lecontenu serait élaboré pendant cette première séance expérimentale) pourra êtredistribué aux élèves.Avec l’aide du professeur, après l’étude plus approfondie de chaque phénomène, ceux-ci pourront le compléter graduellement et l’exploiter méthodiquement au cours del’avancement du programme. Sa construction progressive montrera qu’il est possiblede clarifier, ordonner, structurer les notions, concepts et grandeurs rencontrés autourde rubriques bien identifiées.

1. On trouvera un exemple de ce tableau complètement rempli sur le cédérom dans la version intégrale

de la présente fiche.

A. Propagation d’une onde; ondes progressivesB. Transformations

nucléairesEtc.

A.1. Ondes mécaniques

A.2. Ondes mécaniques progressives

A.3. Ondes lumineuses

périodiques sinusoïdales

Grandeurs dépendant du tempsParamètres qui interviennent dans l’évolution temporelle du phénomèneConditions initialesTemps caractéristiqueRégimeAutres paramètres

Introduction à l’évolution temporelle

des systèmes

18


Le saut à l’élastique (F2)

Le saut à l’élastique n’est pas un exercice sans danger. Il faut choisir judicieusementl’élastique! Les descriptifs publicitaires en témoignent.

Données techniques

– Hauteur sol/téléphérique : 140 mètres.– Longueur des élastiques : 28 mètres.– Types d’élastiques : trois suivant les différentes gammes de masses exprimées enkilogrammes (40-65, 65-95, 95-130).– Nombre de fibres latex : en moyenne, suivant la masse du sauteur, 1000.– Masse de l’élastique : 40 kg.– Hauteur du saut : 120 mètres (arrêt au 1

er

rebond à 20 mètres du sol).– Remontée au 1

er

rebond : 85 %.– Vitesse maxi de chute (suivant la masse et la position du sauteur) : 180 km/h.– Temps de chute au 1

er

rebond : 6 secondes.

Repères

Au fur et à mesure des réponses des élèves (ou après qu’ils auront répondu à toutesles questions), on pourra les aider à construire le tableau qui figure à la page suivanteet à remplir ses cases. L’ordre de remplissage correspond aux numéros ajoutés dansle texte et dans le tableau. Cette indication est uniquement destinée au professeur.La réalisation expérimentale nécessite un élastique de faible raideur et un objet assezmassif.Le mouvement du voltigeur est complexe, il ne s’agit pas ici d’étudier toutes lesphases du mouvement mais de distinguer les deux phases principales :– la chute;– le mouvement oscillatoire.La première phase n’est pas une chute libre, la masse intervient donc dans les deuxphases du mouvement.

Un saut à l’élastique à partir de lacabine d’un téléphérique

(une analyse des renseignementsfournis par l’organisateur

pourrait s’avérer pertinente)


19

Exemples de questions

1) Description du

saut

En vous appuyant sur les données du texte décrivez sur des schémas annotés, le saut(sens du mouvement, altitudes, vitesses, durée).

2) Transposition expérimentale d’un saut à l’élastique

Vous disposez sur votre paillasse du matériel nécessaire à cette illustration expéri-mentale. Réalisez un saut. Retrouvez les deux principales phases du mouvement duvoltigeur

[1]

.

3) La variable temps

Le système « voltigeur » évolue au cours du temps. Quelles sont les grandeurs perti-nentes dont les variations témoignent de l’évolution du système au cours du temps?Donner des exemples pour chacune des phases du mouvement.

[2]

et

[3]

4) Évolution du système

En vous appuyant sur les données du texte que vous préciserez, identifiez pourchacune des phases les paramètres qui peuvent intervenir dans l’évolution du système.

[4]

et

[5]

5) Conditions initiales

Pour chacune des phases, identifiez les conditions initiales et précisez leur influencesur l’évolution du système.

[6]

et

[7]

6) Régimes

Parmi les adjectifs suivants, choisissez celui ou ceux qui caractérisent chacune desphases du mouvement du voltigeur : monotone, varié, périodique, oscillant, oscillantamorti.

[8]

et

[9]

7) Rôle de la masse

Dans quelle(s) phase(s) du mouvement la masse du voltigeur peut-elle intervenir? Querisquerait-il de se passer si les élastiques étaient mal choisis?

[10]

et

[11]

Repères

Phénomène étudié

Chute du voltigeur [1]

Mouvement oscillatoire du voltigeur [1]

Grandeurs dépendant du temps [2]

Position x(t), y(t), z(t)

[3]

Vitesse v(t)

[3]

Position z(t)

[3]

Vitesse v(t)

[3]

Paramètres qui interviennent dans l’évolution temporelle du phénomène [4]

Champ de pesanteur

[5]

Masse du voltigeurChamp de pesanteurMasse, longueur, nature de l’élastiqueTension de l’élastique

[5]

Conditions initiales [6]

Position initialeVitesse initiale

[7]

Position en fin de chute libreVitesse en fin de chute libre

[7]

Régime [8]

Monotone et varié

[9]

Oscillant amorti

[9]

Autres paramètres [10]

Masse

[11] [11]

20


Une progression possible

Les ondes en tant que

phénomène

sont omniprésentes et familières, mais leur consti-tution comme phénomène

physique

pose des difficultés bien connues dues à leurnature pour ainsi dire insaisissable : « quelque chose » se déplace, qui contient del’information et de l’énergie, mais ce n’est pas de la

matière

. Comment caractériser cephénomène physique? Quelles grandeurs physiques lui associe-t-on? Quels sont lescomportements génériques des ondes? Dans cette première approche du phénomène,le formalisme est réduit au minimum, l’accent étant mis sur la phénoménologie.

Qu’est-ce qui distingue la propagation d’une onde du mouvement d’un mobile?

■

Fiche A1 du cédérom

Des études effectuées auprès d’élèves de lycée et d’étudiants ont montré que leursraisonnements concernant les phénomènes de propagation se rapprochaient beaucoupde ceux qu’ils effectuaient communément en mécanique du solide. Pour eux, méca-nique du signal et mécanique de l’objet matériel en mouvement s’identifient l’un àl’autre : un capital dynamique dû à la source et localisé dans l’objet mobile déterminesa vitesse et s’épuise en cas de force contraire.L’introduction expérimentale de la notion d’onde doit permettre à l’élève de s’appro-prier le phénomène par comparaison et contraste avec le déplacement d’un mobile.Notons que la définition de l’onde adoptée dans le programme s’appuie sur lapropriété de propagation d’une perturbation d’un milieu (relativement à un étatd’équilibre local) sans transport de matière. Elle ne suppose aucun caractère pério-dique de cette perturbation. Ainsi, par exemple, les rides provoquées à la surface del’eau par le lancer d’une pierre sont représentables par une onde, à l’évidence nonpériodique.On montre que la vitesse de propagation, qu’on désignera par « célérité » afin de bienla distinguer de la vitesse d’un mobile, est indépendante de l’amplitude de la pertur-bation (milieux linéaires) et qu’elle dépend du milieu et de son état physique (tempé-rature, tension d’une corde, rigidité…). Le but de la première activité est donc demettre l’accent sur le fait que la propagation d’une onde n’obéit pas aux mêmes loisque le mouvement d’un solide comme le montre le tableau comparatif suivant :

Propagation d’une onde,

onde progressive

Propagation d’une onde, onde progressive

21

De quoi dépend la célérité d’une onde?

■


L’objectif de cette étude est de montrer sur un exemple concret comment les caracté-ristiques physiques d’un milieu sont susceptibles d’influer sur la célérité d’une onde.La séquence se propose d’étudier l’influence de l’inertie et de l’élasticité d’un milieu àune dimension sur la célérité d’une onde progressive longitudinale et de contribuer parlà même à la construction du concept d’onde progressive. Un modèle de l’ondeprogressive longitudinale est proposé en conclusion de la séquence. Il sera utilisé ulté-rieurement pour l’étude des sons et leur représentation par des ondes.

1

2

Le dispositif expérimental est constitué d’une dizaine de petits chariots reliés par desressorts identiques (figure ci-dessous). La masse m des chariots peut être modifiée enfixant sur ceux-ci des masses additionnelles. Les ressorts peuvent être remplacés pard’autres de même dimension mais de coefficients de raideur k différents.

On montre aux élèves qu’une action (de poussée ou de traction) sur le premier chariotse propage de proche en proche. Le phénomène est visible à l’œil nu mais il gagne,pour l’étude, à être enregistré au moyen d’une caméra vidéo puis observé au ralentiou bien image par image. Des comparaisons de vitesses de propagation sont ainsi trèsfacilement réalisables à partir d’enregistrements vidéo. Ceux-ci permettent l’observa-tion et l’étude quantitative du phénomène de propagation d’une onde mécaniquelongitudinale dans le cas d’une excitation par impulsion.

Le mouvement d’un mobile La propagation d’une onde

se décrit à l’aide d’une trajectoirese fait, à partir d’une source, dans toutes les directions possibles

correspond à un transport de matière ne correspond pas à un transport de matière

est ralenti par les frottements avec le milieu matérieldans un milieu matériel une onde peut être amortie mais cet amortissement porte davantage sur son amplitude que sur sa célérité

1

s’effectue plus facilement dans le vide que dans un gaz et plus facilement dans un gaz que dans un liquide; le mouvement dans les solides est impossible

est impossible dans le vide; sa célérité est plus grande dans les liquides que dans les gaz et fréquemment plus grande dans les solides que dans les liquides

est modifié par un choc avec un autre mobile (modi-fication de la vitesse, de la trajectoire, de l’énergie cinétique, déformation du solide…)

conserve ses caractéristiques après la rencontre avec d’autres ondes

2

(même célérité après la rencontre, même forme des surfaces d’ondes, même fréquence pour une onde périodique…)

se fait à une vitesse qui dépend des conditions initiales (vitesse et accélération initiales)

se fait à une célérité qui, pour de faibles amplitudes, ne dépend pas du mouvement initial de la source

s’effectue à une vitesse qui lui est propre et qui dépend des conditions initiales du mouvement

s’effectue à une célérité qui dépend essentiellement du milieu de propagation (

cf

. indice de réfraction d’un milieu transparent)

1. Par suite de la mise en œuvre de divers processus dissipatifs le milieu devient tout à la fois dispersif

et absorbant.

2. Pour toutes les ondes se propageant dans la matière, cette propriété n’est plus valable pour des

amplitudes élevées pour lesquelles les ondes interagissent entre elles.

22


Comment étudier expérimentalement la propagation d’ondes périodiques?

■


Remarque concernant la notion de fréquence –

Dans l’enseignement obligatoire, lanotion de fréquence n’est utilisée que pour des ondes progressives sinusoïdales ce quiest le cas en optique. Dans l’enseignement de spécialité, on montre que la décomposi-tion spectrale d’un signal périodique non sinusoïdal fait apparaître des fréquencesmultiples. Le terme de fréquence, pour un tel signal, se réfère donc traditionnellementà la fréquence de son fondamental.

Période ou longueur d’onde?

Cette activité expérimentale exige que les notions de longueur d’onde et de périodeaient été introduites auparavant. Elle contribue à dépasser l’obstacle constitué par laconfusion fréquemment faite par les élèves entre période spatiale et période tempo-relle. Elle s’appuie sur la définition suivante de la longueur d’onde donnée en courspour une onde périodique sinusoïdale : « La longueur d’onde est la plus petite distanceséparant deux points du milieu de propagation qui vibrent en phase

3

. »Le travail s’effectue ici autour du concept de propagation d’une onde périodique trans-versale dans un milieu à deux dimensions. On utilise des enregistrements vidéo effec-tués sur une cuve à onde à partir desquels les élèves doivent effectuer des mesures delongueur d’onde, de période et de célérité. La mesure de la longueur d’onde se faitdirectement en arrêt sur image. Celle de la célérité se fait en suivant image après imagela crête d’une ride circulaire. La mesure de la période temporelle se fait en comptant,image par image, le nombre de rides qui défilent pendant une durée donnée en un pointquelconque de la surface de l’eau.Au cours de l’activité, les élèves sont invités à décrire leurs méthodes de mesure enprécisant quelles sont les précautions prises pour obtenir des résultats aussi précis quepossible. Les techniques expérimentales de mesure devant être imaginées par les élèves,le rôle du professeur pourra consister à les aider à trouver des solutions acceptablesLa validité des méthodes utilisées par les élèves et leur précision est contrôlée encomparant les valeurs mesurées de

λ

avec le produit

des valeurs également mesuréesde

v

et

T.

Comment mesurer expérimentalement la période et la longueur d’onde d’une onde sonore ou ultrasonore?

Dans cette seconde partie de l’activité, les élèves sont invités à effectuer des mesuresde périodes et de longueurs d’ondes sur des ondes ultrasonores en s’inspirant de cequ’ils viennent de faire avec des ondes à la surface de l’eau. Ils disposent, pour cela,d’une source d’ultrasons, de deux détecteurs et d’un oscilloscope. L’intérêt de cetteétude consiste à mettre l’accent sur des analogies de méthodes et à s’appuyer sur lesobservations et mesures effectuées sur la cuve à onde pour comprendre celles que l’oneffectue sur les sons.

Comment se comportent les sons?

■


Les enfants et adolescents interprètent généralement les phénomènes sonores à l’aidede conceptions de types mécanistes. Ainsi, pour un certain nombre d’entre eux, de lamême façon qu’un projectile tombe sur le sol en fin de course, les sons ne franchissentpas une certaine distance et si les sons puissants sont entendus de plus loin que lesautres, c’est qu’ils ont été « lancés » plus fort, plus vite… Dans le même esprit, les sonsforts se déplaceraient plus rapidement que les sons faibles, les sons stridents plus vite

3. La longueur d’onde est ainsi définie comme la périodicité spatiale du phénomène sans référence à

la célérité et à la période d’où la proposition de mesurer indépendamment

λ

,

v

et

T

. Et la proposition

selon laquelle la longueur d’onde est la distance parcourue par l’onde pendant une période est alors

une propriété et non une définition.


23

que les sons sourds, etc. De même qu’en mécanique, les milieux peuvent offrir d’autantplus de résistance au mouvement qu’ils sont denses, les sons se déplacent moinsrapidement dans les solides que dans les liquides. Dans un même milieu, toujours enraison des résistances, les sons ralentiraient en s’éloignant de leur source pour s’épuiseret ainsi devenir inaudibles. S’appuyant sur la connaissance que les sons ne se propa-gent pas dans le vide, des élèves disent parfois que les sons ont besoin d’air pourpasser; ils en déduisent alors que la transmission sera d’autant meilleure que le milieucontiendra plus d’air, ou qu’il y aura plus de place entre les atomes ou entre les molé-cules car ils confondent parfois le vide avec l’air. Il s’agit donc ici de montrer que lessons ne sont pas représentables par des schémas de type balistique mais, qu’enrevanche, un modèle ondulatoire permet de rendre compte des principales propriétésdes sons.Cette activité, qui peut trouver sa place au début de l’enseignement de ce module surles ondes aussi bien qu’à la fin ou comme accompagnement de celui-ci, devrait contri-buer à une meilleure distinction des propriétés des phénomènes sonores de celles desmouvements de solides et par là même permettre une meilleure compréhension ducaractère ondulatoire des sons.

Diffraction et dispersion

■

Fiche A5 du cédérom et page suivante

Les deux études effectuées sur une cuve à ondes peuvent être conduites soit avec desondes circulaires, soit avec des ondes rectilignes soit avec les deux types d’ondes.Dans l’une, les élèves sont invités à prévoir ce qu’ils observeront si la surface de l’eaude la cuve est limitée par une fente. Ils comparent ensuite leurs prévisions avec lephénomène observé et constatent que la fente se comporte comme une deuxièmesource vibrant à la même période que celle de la source principale. Ils vérifient alorsque, toutes choses restant égales par ailleurs, il y a identité entre les longueurs d’onde,les périodes et les célérités des ondes incidentes et diffractées. La comparaison deseffets obtenus selon la largeur de la fente montre que le phénomène est d’autant plusmarqué que la largeur de la fente est plus faible.Dans l’autre étude, les élèves sont amenés à étudier l’influence de la fréquence desvibrations sur la célérité des ondes à la surface de l’eau. La mise en évidence de cetteinfluence confirme le caractère généralement dispersif du milieu de propagation.L’importance du phénomène dépend de la hauteur de l’eau dans la cuve.

Peut-on modéliser la lumière par une onde?

■


La séance commence une discussion conduite par l’enseignant relative aux hypothèsessur la lumière, corpusculaire formulée par Newton et ondulatoire émise par Huygens

4

.Une comparaison est effectuée avec les observations effectuées sur la cuve à onde afinde relever les arguments militant en faveur de chacune des deux hypothèses.À la fin du débat, on décide de soumettre à l’observation expérimentale l’existence ounon des phénomènes de dispersion et de diffraction concernant la lumière.

4. Chez Huygens comme dans le programme, le mot « ondulatoire » ne préjuge pas que l’onde soit

sinusoïdale ni même périodique.

24


Diffraction et dispersion (A5)

Les deux études, effectuées sur une cuve à ondes, peuvent être conduites soit avec desondes circulaires, soit avec des ondes rectilignes, soit avec les deux types d’ondes.Dans l’une, les élèves sont invités à prévoir ce qu’ils observeront si la surface de l’eaude la cuve est limitée par une fente. Ils comparent ensuite leurs prévisions avec lephénomène observé et constatent que la fente se comporte comme une deuxièmesource vibrant à la même période que celle de la source principale. Ils vérifient alorsque, toutes choses restant égales par ailleurs, il y a identité entre les longueurs d’onde,les périodes et les célérités des ondes incidentes et diffractées. La comparaison deseffets obtenus selon la largeur de la fente montre que le phénomène est d’autant plusmarqué que la largeur de la fente est plus faible.Dans l’autre étude, les élèves sont amenés à étudier l’influence de la période des vibra-tions sur la célérité des ondes à la surface de l’eau. La mise en évidence de cetteinfluence confirme le caractère généralement dispersif du milieu de propagation.L’importance du phénomène dépend de la hauteur de l’eau dans la cuve. Il reste faiblesi la hauteur d’eau reste voisine de 8 mm.

Que devient la propagation d’une onde au passage par une fente? Une propriété caractéristique des ondes : la diffraction

Prévisions

Pour une fréquence fixée, à votre avis, qu’observera-t-on à la surface de l’eau dans lapartie gauche de la cuve si l’on monte dans celle-ci une paroi munie d’une fente confor-mément aux figures ci-dessous?

On peut alors raisonnablement s’attendre de la part des élèves à des prévisionss’appuyant sur la propagation rectiligne de types ci-dessous :

??.


25

Observation

Les élèves sont ensuite invités à comparer leur prévision à l’observation de se qui sepasse dans la cuve (voir figure ci-dessous).

Résultat

Une onde périodique circulaire apparaît au niveau de la fente (et non pas de la source).C’est le phénomène de

diffraction

.Des mesures effectuées sur un enregistrement vidéo permettent de vérifier que l’ondediffractée et l’onde incidente ont même période et même longueur d’onde. Elles sepropagent avec la même célérité.Ce phénomène est caractéristique des ondes progressives.

Influence de la largeur de la fente

Si l’on modifie la largeur de la fente, on constate que le phénomène est bien observableà l’intérieur d’un angle d’autant plus grand que la largeur de la fente est plus faible.

Étude d’un phénomène étonnant : la dispersion

On frappe la surface de l’eau d’une cuve à onde au moyen d’une règle de manière àobtenir une perturbation rectiligne. On constate alors qu’en se propageant, il apparaîtplusieurs rides qui se séparent.

26


Si nous examinons finement le phénomène, nous observons quelques rides trèsproches (figures du haut à gauche). Au fil du temps, ces rides se propagent en s’écar-tant les unes des autres (figures de droite et du bas) : tout se passe comme si elles nese propageaient pas à la même vitesse à la surface de l’eau, les plus resserrées se propa-geant plus vite!On fait remarquer aux élèves que cette observation pose un problème : la céléritéd’une onde ne dépendrait donc pas uniquement du milieu de propagation.

Exemple de question

Comment pourrait-on savoir si la célérité d’une onde périodique dépend de la périodede la source? Et si oui, comment en dépend-elle?

Repères

Les élèves ont à leur disposition de petites cuves à ondes munies d’un dispositif géné-rateur d’ondes périodiques circulaires et/ou rectilignes à la surface de l’eau. Lapériode est réglable et sa valeur peut être lue sur le générateur. Une caméra permetd’observer, en arrêt sur image, les rides obtenues à un instant t (ou un dispositif stro-boscopique simple permet d’en donner l’illusion

5

). On attend des élèves qu’ilsproposent de mesurer la longueur d’onde obtenue pour différentes valeurs de lapériode, de calculer la valeur de la célérité pour différentes périodes et éventuelle-ment qu’ils tracent la courbe donnant la célérité en fonction de la période.

Résultat

L’étude quantitative du phénomène montre que

la célérité des ondes dépend de lapériode. Ce phénomène est appelé phénomène de dispersion.

Retour à l’expérience initiale

On montre que le résultat précédent permet d’interpréter le phénomène observé initia-lement sur la cuve à onde : l’étalement est dû à des différences de célérité.On précisera que le phénomène de dispersion est général

6

et que son importancedépend du milieu de propagation et de la zone de fréquences choisies. Lorsqu’il estinobservable, on dit que le milieu n’est pas dispersif (exemple : cas des ondes acousti-ques dans l’air jusqu’au GHz).

Pour en savoir plus

– A

LONSO

M., F

INN

E.J.,

Physique générale.

Tome II :

Champs et ondes

, trad.G. Weill, Paris, Inter Éditions, 1977, p. 276-279.– G

ATECEL

J., « Pour un emploi rationnel de la cuve à ondes »,

Bulletin de l’Union desphysiciens

,

mars 1986, n° 682, p. 645-665.– G

IANCOLI

,

Physique générale.

Tome III :

Ondes, optique et physique moderne

,trad. F. Gobeil, Montréal, De Boeck Université, 1993, p. 25-26 et 144-175.– G

YR

M., « Comment construire une cuve à ondes pour moins de vingt euros »,

Bulletin de l’Union des physiciens

, mars 2002,

n° 842.

5. Il suffit, par exemple d’éclairer la cuve au moyen d’un DEL de forte luminosité reliée au GBF

commandant les vibrations de la source. Voir

Bulletin de l’Union des physiciens

, mars 2002, n° 842.

6. Les ondes électromagnétiques, lumineuses en particulier, se propagent cependant dans le vide sans

dispersion.

Transformations nucléaires

27

Comment interpréter l’étrange comportement d’un échantillon de matière radioactive ?

L’étude de la radioactivité va, une nouvelle fois, permettre aux élèves d’aborder lescorrespondances entre les niveaux microscopique et macroscopique de la matière. Dèsla seconde, les élèves ont abordé cette question fondamentale pour le physicien. Ils ontpris conscience, à propos de l’étude du fluide gazeux, de la difficulté d’appréhender lemouvement de chaque particule au niveau microscopique, tandis que des grandeursmacroscopiques telles que la température ou la pression pouvaient parfaitementrendre compte de l’état d’un système gazeux. Cet aller-retour entre niveau microsco-pique et niveau macroscopique, qui s’est poursuivi en première, trouve en terminaleune illustration intéressante avec l’étude des transformations radioactives. Alors qu’ilest impossible de déterminer, à l’échelle microscopique, l’instant où un noyau va setransformer, on peut, à l’échelle macroscopique, utiliser le suivi des transformationsd’un grand nombre de noyaux pour obtenir la datation de l’échantillon qui lesrenferme!Trois séquences peuvent être proposées pour réfléchir à l’évolution dans le temps d’unéchantillon de matière radioactive :– La première mène en parallèle l’analyse statistique d’une série de comptages desdésintégrations au sein d’un échantillon de césium-137 et une analyse similaire portantsur des jets de dés. La valeur de la demi-vie du césium-137 (30 ans), permet de consi-dérer que, sur la durée du TP, toutes les mesures qu’on peut faire correspondent à descomptages pour un

∆

t pris à la même date t. Ce TP permettra de poser comme hypo-thèse, à vérifier par la suite, que la désintégration d’un noyau radioactif est un phéno-mène aléatoire : chaque noyau a une certaine probabilité de se désintégrer dans unintervalle de temps donné.– La deuxième propose de pousser un peu plus loin la réflexion : comment évolue unepopulation qui ne se renouvelle pas en fonction du temps, qu’il s’agisse d’une popu-lation humaine soumise à une épidémie, au simple vieillissement, ou encore d’unepopulation de dés, « tués » de façon aléatoire, sans vieillissement.

– La troisième abordeenfin l’évolution d’unepopulation de noyauxradioactifs : évolue-t-elle comme un de cesmodèles? L’utilisation,cette fois, d’un échan-tillon de demi-vie bienplus courte que celle ducésium-137

1

va per-mettre de tracer lacourbe de décroissanceradioactive et conclure

1. Soit du radon-222 (t

1/2

= 3,8 j), soit du radon-220 (t

1/2

= 55 s), soit encore des descendants du

radon-222 (t

1/2

= quelques dizaines de minutes).


37376,037362,0 37364,0 37366,0 37368,0 37370,0 37372,0 37374,00,0

10,0

20,0

30,0

40,0

50,0

60,0

70,0

80,0

37360,0

décroissanceradioactive

fluctuationsdes observationsà une date donnée

28


à la pertinence d’un modèle de « mort aléatoire sans vieillissement ». Mais, si ladésintégration radioactive est un phénomène aléatoire et qu’on ne peut pas dire quandun noyau, pris individuellement, va se transformer, on peut cependant établir une loimacroscopique d’évolution au cours du temps qui a un caractère tout à faitdéterministe.

Quelles caractéristiques pour la désintégration d’une population de noyaux radioactifs? (B1)

Le grand intérêt des compteurs d’événements radioactifs tels que le CRAB est de pouvoirse placer dans des conditions telles que l’on peut faire mesurer, par chaque groupe d’élè-ves, un nombre d’événements qui montre d’énormes fluctuations, tandis que la mise encommun de tous les comptages des différents groupes d’élèves permet de s’apercevoirque l’on peut atteindre des mesures qui prennent sens grâce aux lois de la statistique.Il existe des logiciels d’acquisition qui permettent d’automatiser cette étude, mais dansun premier temps, il est important que les élèves fassent des relevés « à la main » pourbien s’approprier le caractère aléatoire du phénomène ainsi que la loi de distribution.Le professeur se souviendra de ce que le compteur ne détecte pas tous les événementssurvenus au sein de l’échantillon pendant la durée du comptage. D’une part, la sourceémet dans toutes les directions mais seules les particules reçues par le compteur peu-vent être comptées; d’autre part, l’efficacité de ce compteur n’est pas égale à 100 %!Il faudra donc faire admettre aux élèves que, pour une distance constante de la sourceau compteur, le nombre affiché par le compteur est proportionnel au nombre denoyaux

∆

N qui se sont désintégrés pendant la durée du comptage.Le TP qui suit pourrait éventuellement être proposé aux élèves après qu’ils auront vules différents types de transformations radioactives, l’étude de la forme de la courbede décroissance radioactive, etc. Mais il peut paraître intéressant de le placer tout audébut de l’étude des transformations radioactives. Il ne demande que des éléments deconnaissance sommaires :– une transformation radioactive se produit quand le noyau d’un atome se transformespontanément et l’événement peut être détecté par un compteur;– une source radioactive simple est constituée par un échantillon de matière contenantun nombre N très grand de noyaux radioactifs identiques.

Il faudra faire remarquer aux élèves que l’étude n’est possible que parce que le nombrede noyaux qui se sont désintégrés pendant la durée de la séance expérimentale est négli-geable par rapport au nombre de noyaux radioactifs présents dans l’échantillon. Onpeut alors considérer que la diminution du nombre N de noyaux radioactifs de cettesource est négligeable pendant la séance. On pourra revenir sur ce point et effectuer descalculs lorsque la loi de décroissance aura été étudiée ainsi que la notion de demi-vie.

Matériel

Un dispositif CRAB

2

qui comprend :– un compteur de radiations, de type Geiger, capable de détecter des

β

et des

γ

;– une source de césium-137

3

, émettrice

β

et

γ

4

;– des écrans de plomb, qui absorbent une partie des

γ

(et tous les

β

).

La source est placée par exemple à 6 cm du compteur, entre deux écrans de plomb.Dans ces conditions, le compteur va enregistrer une fraction convenable (voir plusloin) des

γ

émis par la source. Pour une durée de comptage

∆

t = 5 s, le nombre nd’événements est d’environ 30. Les réglages choisis, quels qu’ils soient, ne devront pasvarier, en tous cas pas pendant la durée de l’expérience.

2. La détention de sources de radioactivité contenant du césium-137, contenu notamment dans le

matériel CRAB, est soumise à une réglementation particulière (décret n° 2002-460 du 4 avril 2002).

3. On trouvera en annexe (page 34) le schéma de désintégration du césium-137.

4. Afin de travailler dans une situation simple, on pourra choisir d’utiliser la face de la source qui

bloque les

β

et ne laisse passer que les

γ

.


29

Prévisions

On se trouve en présence d’un nouveau phénomène qui possède des caractéristiquesbien particulières que le professeur pourra affirmer ou faire découvrir aux élèves parune activité documentaire : il ne varie ni en fonction de la température, d’un quel-conque catalyseur, on ne peut l’accélérer, ni l’arrêter. Est-ce alors quelque chosed’immuable?On présente aux élèves l’appareil et la source radioactive; on leur explique que chaquegroupe d’élèves va venir mesurer le nombre n d’événements détectés par le compteurpendant

∆

t = 5 s, dans les mêmes conditions expérimentales.« À votre avis, que peut-on prévoir de la comparaison des différentes mesures de nréalisées par chaque groupe? Pourquoi? »On peut penser que la majorité des élèves va prévoir que les résultats seront compa-rables aux incertitudes de mesure près, puisque les conditions expérimentales sont lesmêmes. L’obtention de comptages dont les valeurs peuvent varier du simple au doubleva infirmer cette hypothèse naturelle.

Réalisation et exploitation des mesures

Si chaque groupe d’élèves fait 25 mesures, on obtiendra pour une demi-classe en TP,un nombre total de mesures

dépassant les 200. Cela suffira pour obtenir un échan-tillon largement satisfaisant pour l’étude statistique. On constatera d’abord que lesrésultats des mesures individuelles peuvent varier du simple au double autour d’unevaleur qui tourne autour de 30 événements environ. L’opposition manifeste entre lesrésultats et les prévisions doit interpeller les élèves et les motiver pour la suite de laréflexion.On leur propose alors de mutualiser leurs résultats et de les exploiter à l’aide d’untableur-grapheur. Les résultats attendus sont :– un graphe montrant l’évolution de la moyenne et de l’écart type au fur et à mesurede l’augmentation de la taille de l’échantillon des mesures prises en compte;– un graphe en bâtons de la fréquence

5

des résultats de comptage pour 50, 100 et200 mesures.

On pourra aussi éventuellement faire calculer aux élèves l’écart type pour leur série de25 mesures et le comparer avec celui qui correspond à l’ensemble des mesures de laclasse. Les élèves pourront ainsi constater que plus le nombre de mesures augmente,plus l’encadrement de la valeur moyenne se réduit.La figure 1 montre la courbe de la moyenne en fonction du nombre de comptages; lafigure 2 montre l’évolution correspondante de l’écart type :

5. On rappelle que la fréquence est le rapport du nombre d’occurrences d’un résultat de comptage et

du nombre total de comptages; ainsi, si on obtient 20 fois le résultat n = 18 sur 200 comptages, la

fréquence de n = 18 est f = 0,1. Cette notion est étudiée en mathématiques par les élèves dès la classe

de cinquième. Son utilisation, ici, permet de réinvestir des connaissances mathématiques.

30


Figure 1.

Évolution de la moyenne des comptages

Figure 2.

Évolution de l’écart-type

Les figures 3, 4, 5 et 6 montrent l’évolution de la fréquence pour 50, 100, 200 et500 mesures.

Figure 3.

Statistique sur 50 comptages

Figure 4.

Statistiques sur 100 comptages

Figure 5.


Figure 6.


Remarque

– Si l’on souhaite pousser plus loin l’étude de la convergence des résultats,un logiciel d’acquisition permet d’obtenir ces courbes pour des nombres de mesuresencore plus grands.

Analyse des résultats

– « À votre avis, les fluctuations des comptages peuvent-elles s’expliquer par desincertitudes de mesure? »– « À quoi cela sert-il de multiplier les mesures? »

200 300 400 500 60010023,5

24

24,5

25

25,5

26

26,5

27

27,5

28

28,5

29

0

moyenne écart-type

100 200 300 400 500 6002

2,5

3

3,5

4

4,5

5

5,5

6

0

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

fréquence

1 3 5 7 9 1113 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 490

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

fréquence

0

0,01

0,01

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,1

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

fréquence

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49

fréquence


31

Remarque

– Il se peut que les élèves évoquent la possibilité d’événements extérieurs(rayons cosmiques…) pour expliquer la dispersion des résultats. On pourra alors réaliserquelques comptages après avoir éloigné la source radioactive de la salle de travail. On cons-tatera que le nombre de tels événements, pendant les 5 secondes du comptage varie autourde 1 ou 2, au maximum : cela ne peut pas expliquer la grande dispersion des résultats.La discussion à partir de ces questions amènera la classe à conclure que la désintégra-tion d’un ensemble de noyaux radioactifs est un phénomène qui présente des fluctua-tions pour les résultats de comptages, mais que ces fluctuations peuvent êtrecaractérisées pourvu que l’on multiplie les observations. On trouvera ci-dessous unesuperposition des résultats pour 500 comptages avec la représentation de la loi dePoisson correspondante (on rappelle que la loi binomiale se réduit à la loi de Poissonlorsque la probabilité d’un résultat positif est très faible, ce qui est bien le cas ici). Avecles élèves, on se contentera de remarquer que, pour un intervalle de temps donné,lorsque le nombre d’observations augmente, la distribution des fréquences se régula-rise et la valeur moyenne du nombre de désintégrations et l’écart type se stabilisent.

Figure 7.

Statistique sur 500 comptages

Comparer avec un tirage aléatoire

Repères

En seconde, les élèves ont réalisé en mathématiques plusieurs activités sur des phéno-mènes aléatoires : lancers de dés, jeu de pile ou face et simulations à l’aide d’unecalculatrice ou d’un ordinateur. Ils ont été amenés à constater lors de ces activitésla fluctuation des fréquences en comparant plusieurs échantillons de mesure et laconvergence des résultats statistiques à mesure que la taille de l’échantillon augmente.On peut imaginer profiter de ce que les élèves sont en attente d’aller observer lesnombres de désintégrations au CRAB pour leur remettre en mémoire les résultatsstatistiques d’un tirage aléatoire et comparer les graphes obtenus avec ceux de lamanipulation. Aussi, peut-on imaginer que les élèves remarqueront la ressemblanceentre les résultats de ces activités et les résultats des comptages radioactifs et qu’ilspourront envisager comme une hypothèse possible que la transformation radioactivepuisse posséder un caractère aléatoire, ce qui devra être étudié ultérieurement

6

.

Pendant qu’un groupe travaille avec le CRAB, les autres élèves pourront utiliser leurcalculatrice ou un tableur pour simuler des séries de jets de dés et construire les courbessimilaires aux précédentes concernant, par exemple, la fréquence du résultat 6 dansdes jets de 200 dés. Après chaque tirage on actualise la moyenne du nombre de 6 sortis.On trouvera page suivante le graphe d’un exemple d’évolution de la moyenne et celuides fréquences portant sur 260 jets simulés à l’aide d’un tableur

7

.

6. Au sens strict, on ne peut parler de phénomène aléatoire que lorsqu’on peut définir une variable

aléatoire caractérisée par une loi de probabilité (voir document d’accompagnement de mathématiques

pour la première scientifique). On ne cherchera bien sûr pas à l’établir en physique.

7. Les groupes obtiendront des graphes très différents dans leur première partie, mais qui tendront

tous vers la même valeur limite. Il sera intéressant d’interpréter ces similitudes et ces différences.

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

1 3 5 7 911 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59

fréquenceloi de Poisson

32


Figure 8.

Évolution de la valeur moyenne

Figure 9.

Fréquence du résultat 6

Analyse des résultats et comparaison avec les graphes expérimentaux

La comparaison des graphes obtenus pour la désintégration du césium et pour lesséries de jets de dés montre une ressemblance frappante. On peut demander aux élèvesd’analyser les résultats obtenus et de poser des hypothèses à partir de cette analyse.– Quelles réflexions vous suggèrent la comparaison des graphes obtenus pour lesséries de comptages de la désintégration du césium et pour les séries de jets de dés?– Pouvez-vous poser une hypothèse pour ce qui concerne le caractère de la désintégra-tion radioactive?

Conclusion

On pourra alors conclure l’activité : la désintégration d’un ensemble de noyaux radioac-tifs est un phénomène qui présente des fluctuations. Mais, en multipliant les comptagespour un temps d’observation donné, on peut caractériser le résultat par sa moyenneet son écart type. Par analogie avec des séries de jets de dés, on peut envisager

commehypothèse à vérifier

que la désintégration radioactive est un phénomène aléatoire :– on ne peut savoir quand un noyau va se transformer;– on ne peut attribuer à chaque noyau qu’une probabilité de se désintégrer dans letemps de la durée d’un comptage, ce qui pourrait expliquer les fluctuations qui ont étéconstatées au cours de cette activité.

0

0,02

0,04

0,06

0,08

0,1

0,12

0,14

0,16

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59

27

28

29

30

31

32

33

34

35

0 50 100 150 200 250 300

valeur de la moyenne


33

Annexe : la désintégration du césium-137

Comment évolue une population au cours du temps? (B2)

Cette activité supplémentaire pourrait soit terminer le TP qui vient d’être proposé, soitêtre demandée aux élèves à la maison ou lors d’une séance de classe ultérieure. Elle sepropose de prolonger la réflexion afin de mettre en place les hypothèses qui fixerontles enjeux du second TP sur la radioactivité, qui portera, cette fois, sur l’évolution dansle temps d’une population de noyaux radioactifs. Quelle allure peut présenter le graphequi représentera cette évolution dans le temps? La réflexion des élèves portera sur lemodèle adapté à l’étude de l’évolution du nombre de noyaux pères au cours du temps.

Poser des hypothèses

Peut-on trouver une simulation pour modéliser l’évolution dans le temps d’une popu-lation donnée N

0

de noyaux radioactifs à partir d’une date t = 0? Pour être guidé parl’intuition, on se pose la question de l’évolution d’une population humaine donnée(sans renouvellement), dont les âges sont supposés, pour simplifier, être répartisuniformément

8

. Trois situations peuvent être explorées :

a) Une épidémie mortelle sévit dans cetéchantillon : comment le nombre d’indi-vidus évolue-t-il en fonction du temps?On aidera les élèves à proposer le grapheci-contre indiquant l’allure de |dN/dt|=f(t)et d’en déduire l’évolution N = f(t).

b) Il n’y a pas d’épidémie et les individusmeurent à un âge donné : comment lenombre d’individus évolue-t-il en fonc-tion du temps? On obtient facilement lesgraphes ci-contre.

c)Un tyran fou décide de la mort des indi-vidus en jouant aux dés : à intervalle de temps régulier, il lance autant de dés que d’indi-vidus restants; chaque fois que le dé tombe sur 6, l’individu est éliminé : on peut parlerde « mort aléatoire sans vieillissement ». Comment le nombre d’individus évolue-t-il enfonction du temps?Cette situation est la plus difficile à modéliser et fait l’objet des simulations qui suivent.

Simulations dans le cas de l’hypothèse c

On réalise des tirages sans remise : on lance N

0

dés; on retire, par exemple, tous ceuxqui sont tombés en montrant une face donnée; on note le nombre de dés restants; onrecommence jusqu’à ce qu’il ne reste plus aucun dé. On considère que les lancers sonteffectués à intervalles de temps réguliers

∆

t. Il y a plusieurs manières de procéder :

8. On pourra aussi s’appuyer sur des courbes statistiques réelles.

β- (0.514 MeV)

( 93 % )

β- (1.176 MeV)

( 7 %)

γ ( 662 keV )

(10/11 )

émission d'électronsde la couche K

(1/11)

Cs13755

Ba13756

*13756 Ba

N

t

|dN/dt|

t

|dN/dt|

t

N

t

34


a) On peut utiliser un ensemble de petits cubes

9

dont on a peint une face en rouge, parexemple, et une plaque de contreplaqué munie de deux guides comme ci-dessous.

On jette les dés une première fois; on cale contre le guide de gauche tous les dés quisont tombés avec leur face rouge vers le haut. On ramasse les dés restants et on recom-mence pour caler une seconde colonne de dés contre la première : elle est moins haute.Petit à petit, on verra se construire avec les dés une évolution décroissante, marquéepar de fortes fluctuations, qui représente |

∆

N/

∆

t|= f(t). Par ailleurs, en ayant comptéle nombre de dés restants après chaque tirage, on peut tracer aussi le graphe de N(t)dont l’allure est modélisable par une exponentielle.

b) On décide que l’on va simuler les jets de dés à l’aide de la touche

random

de lacalculatrice Les élèves ont effectué ce type d’activité en mathématiques dans les classesprécédentes : on peut par exemple noter la suite de chiffres obtenus en considérant quechaque chiffre représente le résultat d’un jet de dé, à condition que le chiffre soit com-pris entre 1 et 6

10

. Ainsi si on a obtenu 0.9

3362613

97 suivi de 0.89

1624

8

51

, onnotera

3362613162451

. Le graphe ci-dessous montre le résultat obtenu à partir deN

0

= 200.

Figure 1.

Nombre de dés éliminés en fonction du temps

Figure 2.

Évolution du nombre de dés

9. On peut débiter une longueur de bois à section carrée.

10. On peut aussi considérer que chaque chiffre correspond au résultat d’un jet de dé à neuf faces.

Plaque decontreplaquéGuide de

gauche

Guide dubas

0

5

10

15

20

25

30

35

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33

nombre de dés éliminés

0

100

50

150

200

250

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

nombre de dés qui restent


35

c) On utilise une simulation produite par un programme informatique; on peut, parexemple, diviser une surface de l’écran en petits carrés auxquels on attribue une couleuraléatoire et on demande au programme de « tuer » les carrés noirs et de compter le nom-bre de carrés restants avant de redistribuer aléatoirement les couleurs.

Dans tous les cas, la moyenne d’un grand nombre de simulations permet de lisser lesfluctuations de

∆

N/

∆

t et conduit à des graphes similaires pour l’évolution de N et|

∆

N/

∆

t|. On sera donc amené à s’interroger sur la nature de la fonction qui corres-pond à cette évolution de « mort aléatoire sans vieillissement ». Cela suggère unerelation du type |dN/dt| = k·N. D’ailleurs, cette relation est assez naturelle dans cettesituation : le résultat des jets de dés étant aléatoire, si on double le nombre de désjetés, on peut logiquement s’attendre à ce que le nombre de résultats positifs doubleégalement. Les élèves ont justement étudié en mathématiques la fonction qui possèdela propriété y’ = k·y : c’est la fonction exponentielle. On pourra donc poser quel’hypothèse de « mort aléatoire sans vieillissement » correspond à une courbed’évolution de type exponentielle décroissante. On pourra confirmer ce résultat ensuperposant au graphe N = f(t) une modélisation exponentielle que l’on ajustera auxvaleurs obtenues par la simulation.

Poser des hypothèses pour l’évolution d’un échantillon de noyaux radioactifs

On l’a vu dans le TP « Quelles caractéristiques pour la désintégration d’une populationde noyaux radioactifs ? », les compteurs radioactifs donne des comptages qui sont, àune constante près, des représentations de |

∆

N/

∆

t| = f(t). On dispose à la fin de cetteactivité de trois hypothèses d’évolution correspondant à trois situations différentes :

a) Mort par épidémie, donc avec interaction entre les individus de la population restante.b) Mort avec vieillissement.c) Mort aléatoire sans vieillissement.

L’évolution d’un échantillon de noyaux radioactifs répond-elle à un de ces modèlesd’évolution? L’expérimentation proposée par l’activité « Courbe de décroissanceradioactive du radon-222 » permettra de répondre. Si on obtient une évolution de typeexponentielle décroissante, on pourra alors dire que dN/dt = –

λ

·N et que N = N

0

·e

–t/

τ

.Si c’est le résultat obtenu, on pourra aussi dire que la désintégration radioactive corres-pond à un processus aléatoire sans vieillissement d’une population de noyaux sansinteraction.

Courbe de décroissance radioactive du radon-222 (B3)

La radioactivité naturelle et le radon

Les sources d’exposition de l’homme à la radioactivité sont de deux ordres : interneet externe.Sur le plan interne, le corps humain présente une radioactivité naturelle (de l’ordre de8 kBq pour un adulte de 70 kg) due principalement aux atomes de potassium-40(4,5 kBq) qui se transmutent en calcium-40 et de carbone-14 (3,7 kBq) qui se trans-mutent en azote-14. Les rayonnements émis sortent peu du corps humain, ils sontabsorbés par les tissus.Issu de la désintégration de l’uranium et du radium présents dans la croûte terrestre,le radon est la principale source externe d’exposition de l’homme à la radioactiviténaturelle. De numéro atomique Z = 86, le radon est un élément chimique de la colonnedes gaz rares dans la classification périodique. Découvert en 1900 par Dom puis isoléen 1908 par Gray et Ramsay, c’est un gaz inerte, incolore et inodore. Le radon-219,le radon-220 et le radon-222 en sont les trois principaux isotopes.Le radon-222, de demi-vie 3,82 jours, se désintègre lui-même en éléments radioactifsdont certains sont solides. Après inhalation avec l’air respiré, ces solides se déposentdans les poumons. Des études épidémiologiques menées sur des populations detravailleurs dans les mines d’uranium, mais aussi sur des personnes ayant respiré du

36


radon à forte dose, ont montré que le radon, par ses descendants émetteurs

α

decourtes demi-vies, accroît les risques de cancer du poumon chez ces personnes.L’Institut de radio-protection et de sûreté nucléaire (IRSN, ex-IPSN) développe unecampagne nationale de mesure de l’exposition domestique au radon-222. Cettecampagne a pour objectif la connaissance de la distribution des nombres de désinté-grations par seconde et par unité de volume (activité volumique exprimée en becque-rels par mètre cube) dans l’habitat. L’exposition moyenne de la population varie selonles départements. Les sols granitiques libèrent en effet plus de radon que les terrainssédimentaires car ils contiennent davantage d’uranium.Pour diminuer les concentrations de radon dans les habitations, une première solutionconsiste à aérer et ventiler celles-ci. Il est aussi nécessaire d’améliorer l’étanchéité desmurs et des planchers car le radon, présent dans le sous-sol, surtout s’il est granitiqueou volcanique, diffuse par les fissures et les fractures du sol et s’accumule dans lesespaces clos. Ainsi, l’Union européenne préconise la mise en œuvre d’actions correc-tives lorsque la concentration moyenne annuelle en radon dans un bâtiment est telleque le nombre de désintégrations par seconde rapporté à l’unité de volume dépasse400 Bq/m

3

. En France, on observe une grande variabilité des taux mesurés : enmoyenne, de 22 Bq/m

3

à Paris à 264 Bq/m

3

en Lozère. Pour l’ensemble du territoire,la moyenne des mesures était, en janvier 1997, de 66 Bq/m

3

.

Remarque –

En France, le cancer du poumon est responsable de 22000 décès par an,essentiellement du fait du tabagisme. La consommation d’un paquet de cigarettes parjour pendant toute une vie multiplie le risque du cancer du poumon par un facteurd’environ dix à vingt. Cette augmentation du risque correspond par comparaison àvivre toute sa vie dans une atmosphère contenant environ 3000 Bq/m

3

(source IRSN).

Objectifs de l’activité

Pour replacer cette activité dans un cadre général, on pourra se reporter au complémentscientifique TG4 intitulé « La radioactivité : une convergence thématique entrephysique, mathématiques et sciences de la vie et de la Terre ».Les principaux objectifs sont ici l’observation de la décroissance au cours du temps del’activité d’une population d’atomes radioactifs, le tracé d’une courbe de décroissanceradioactive et la mesure d’un temps de demi-vie.Les élèves utilisent ici un compteur de scintillations et réalisent des séries de comptagesrelatifs à la désintégration d’un échantillon de radon prélevé dans une fiole fermée. Ladispersion de chaque série de mesure sera caractérisée par l’écart type, notion que lesélèves ont rencontrée dans le cours de mathématiques de première (voir « Probabilitéset statistique ») et utilisée dans les activités B1 et B2.Au passage, ce peut être aussi l’occasion d’écrire l’équation d’une réaction nucléairepour une émission

α

ou

β

–

. En appliquant les deux lois de conservation du programme(conservation du nombre de nucléons et conservation de la charge électrique), lesélèves pourront s’exercer sur quelques-uns des noyaux rencontrés dans la familleradioactive naturelle de l’uranium-238 à laquelle appartient le radon-222.Conformément aux objectifs de cette activité, les élèves sont amenés ici à confronter à desrésultats expérimentaux les prédictions d’un modèle théorique : celui de la désintégrationradioactive. On s’attachera à bien séparer l’aspect théorique de l’aspect expérimental.Pour l’aspect théorique, l’hypothèse d’une loi de décroissance exponentielle d’unepopulation macroscopique N d’atomes radioactifs a été émise et discutée lors d’uneactivité précédente. Cette loi d’évolution temporelle N = N

0

exp(–

λ

t) est caractériséepar la constante de temps

τ

= 1/

λ

. D’où le temps t

1/2

, appelé demi-vie, au bout duquel lamoitié du nombre initial N

0

d’atomes s’est désintégrée (soit N(t

1/2

) = N

0

/2) : t

1/2

=

τ

ln2.La fonction exponentielle est connue des élèves ainsi que ses propriétés. À ce stade, ilsera admis que la dérivée d’une exponentielle est une exponentielle (ce qui a été vu parles élèves en mathématiques dans leur cours d’analyse). Dans ces conditions, l’activitéd’un ensemble d’atomes radioactifs, sur une durée

∆

t est donnée par A = |

∆

N|/

∆

t =

λ

N.Cette activité est une fonction exponentielle du temps de même constante de tempsque la fonction exponentielle précédente.


37

Expérimentalement, pour détecter les particules

α

émises par les noyaux de radon quise transmutent, on utilise un « compteur à scintillations » constitué d’un photomulti-plicateur sur la fenêtre duquel on vient poser des fioles scintillantes. Le radon estprélevé dans une fiole de verre cylindrique, étanche, de 120 cm

3

et dont les parois laté-rales et supérieure ont été opacifiées. Une feuille imprégnée de sulfure de zinc tapissela paroi latérale interne de la fiole. Le sulfure de zinc est fluorescent : chaque fois qu’ilabsorbe l’énergie d’une particule

α

reçue, il restitue cette énergie en émettant une gerbede photons dans le visible. La fiole dont le fond est transparent est placée sur la fenêtred’un photomultiplicateur qui détecte alors les scintillations du sulfure de zinc.Le photomultiplicateur est associé à un compteur qui totalise pendant une duréed’intégration

∆

t (par exemple 60 s) le nombre total N

d

d’événements détectés. Unehorloge interne à l’appareil permet de définir des durées d’intégration

∆

t variables.Dans ces conditions, le rapport N

d

/

∆

t mesure un « nombre d’événements détectés »par unité de temps.Il est important de remarquer que ce « compteur à scintillations » ne mesure ni lenombre N d’atomes radioactifs présents dans la fiole, ni le nombre

∆

N d’atomes quise désintègrent durant la durée

∆

t. Son efficacité inférieure à l’unité peut toutefois êtresupposée constante pendant toute la durée des mesures. Par ailleurs les émissions departicules

α

sont isotropes : elles s’effectuent dans toutes les directions de l’espace sansqu’il y ait une direction privilégiée. Pour ces raisons, le nombre d’événements détectéspendant une durée fixe est proportionnel au nombre de particules

α

émises durantcette même durée.Les particules

α

sont émises par les divers éléments radioactifs

α

présents dansl’enceinte. Au début de l’expérience le nombre d’émetteurs

α

augmente par filiationradioactive, un équilibre s’établit et l’émetteur qui a la plus longue durée de demi-vieimpose celle-ci (voir l’annexe 5 dans le texte intégral de cette activité situé sur lecédérom d’accompagnement : « Cas d’une cascade de transformations nucléaires »).Dans le cas de la famille du radon-222, le radon-222 (période 3,82 jours) et le polo-nium-218 (3,05 min) sont émetteurs

α

coup sur coup. Puis après une chaîne

β

–

(de26,8 min et de 19,9 min), le polonium-214 (1,65 s) est aussi émetteur

α

. Le plomb-210 de demi-vie beaucoup plus grande (22,2 ans) bloque la chaîne qui, au bout dequelques heures, est dominée par le radon-222 (voir l’annexe 4 dans le texte intégralde cette activité, située sur le cédérom d’accompagnement : « L’uranium-238 et sesdescendants (famille radioactive naturelle de l’uranium-238) »).En conclusion, on peut considérer que le rapport m = moy(N

d

)/

∆

t est bien propor-tionnel au nombre de noyau d’atomes de radon qui se désintègrent par unité de tempsc’est-à-dire à

∆

t. Le tracé expérimental de ce rapport m en fonction du temps permetdonc de valider l’hypothèse formulée précédemment d’une loi de décroissance expo-nentielle d’une population macroscopique N d’atomes radioactifs. Puisque la dérivéed’une exponentielle est une exponentielle de même constante de temps on peut aussidéduire de l’évolution temporelle du rapport m le temps de demi-vie du radon-222.Tant pour ce tracé que pour le calcul du temps de demi-vie, l’utilisation d’unecalculatrice graphique ou d’un tableur-grapheur est recommandée.

38


Une progression possible

Cette partie constitue l’aboutissement de l’enseignement de mécanique commencée enclasse de seconde. L’appropriation des lois de Newton, à travers les exemples demouvements étudiés, permet aux élèves de pratiquer les différents aspects de ladémarche scientifique :– modéliser un système et lui appliquer les lois de la dynamique pour

prévoir

son compor-tement, en utilisant une résolution analytique et/ou une méthode numérique itérative;– réaliser des mesures quantitatives et les confronter aux prédictions d’une théorie,dans le but éventuel d’améliorer la modélisation.

La variété des systèmes étudiés illustre la généralité de la théorie.Conformément à l’esprit du programme, les lois de Newton sont posées au débutcomme principes fondateurs qui seront justifiés ensuite par leur pertinence dans laprévision des événements. Remarquons que, contrairement à l’habitude, les études dedynamique ne sont pas précédées par des activités ou par un cours de cinématique. Lechoix est ici délibéré de

n’introduire les connaissances de cinématique que lorsqu’ellessont nécessaires

pour résoudre un problème donné ou pour comprendre la signi-fication d’une loi. Ainsi, le vecteur accélération est introduit avec la seconde loi deNewton tandis que, par exemple, la relation donnant l’accélération normale ne le seraqu’ultérieurement à l’occasion de l’étude du mouvement des satellites et des planètes.

Des lois de Newton à la cinématique

■

Fiche D1 du cédérom

L’idée est d’utiliser la simulation numérique pour étudier des situations d’applicationde la seconde loi de Newton et introduire ainsi une description cinématique : connais-sant la force qui s’exerce sur un objet (et la masse de celui-ci), la seconde loi de Newtonpermet de déterminer l’accélération (du centre d’inertie). Mais connaissant l’accéléra-tion, il est possible de déterminer la nouvelle vitesse, et connaissant la vitesse, on peutcalculer la nouvelle position. Ce calcul peut être répété autant de fois que l’on veut, etc’est sur ce principe que différents logiciels simulent des mouvements. On peut ainsivisualiser toutes les grandeurs cinématiques avant d’en donner des définitions précises.Par ailleurs, on a évité de privilégier implicitement les situations « canoniques » tropparticulières (mouvements rectilignes, forces constantes, etc.). Le travail d’investigationporte donc d’emblée sur des cas « complexes » (force électrostatique, par exemple).

Étude expérimentale de la chute d’un solide dans un fluide

■

Fiches D2 à D5 du cédérom

En règle générale, le mouvement de chute d’un corps dans un fluide est complexe dufait de la conjugaison de l’action de la pesanteur et de celle du fluide. De plus, au coursde la chute, le corps est susceptible de se déformer (cas d’une feuille de papier dansl’air par exemple). Il est cependant possible de choisir le matériau, la masse, la tailleet la forme d’un solide afin que son mouvement de chute soit pratiquement unetranslation rectiligne d’axe vertical.

Évolution temporelle

des systèmes mécaniques

Évolution temporelle des systèmes mécaniques

39

Le but de l’étude est de montrer que, dans ce cas, la chute d’un tel solide dans un fluidegazeux ou liquide peut être caractérisée par des grandeurs (vitesse limite et tempscaractéristique) qui dépendent de la nature du fluide et des caractéristiques du solide.Ces activités se plaçant après l’étude de la seconde loi de Newton, on peut imaginerque les élèves seront capables d’inventorier les actions en jeu et de modéliser celles-cipar des forces colinéaires : le poids, la poussée d’Archimède et une force de frottement.Sans qu’il soit nécessaire qu’ils émettent des hypothèses sur la manière de calculer lavaleur de cette dernière, l’idée de modéliser les frottements fluides par une force desens contraire à la vitesse et qui augmente avec elle, est suffisamment familière pourqu’il soit inutile de donner plus d’indications

1

. Par conséquent, la présence d’unevitesse limite devrait être assez facilement trouvée.Il est probable également que les élèves proposent comme caractéristique de l’évolu-tion un temps qui correspond à la rapidité avec laquelle la vitesse limite est atteinte.Si les activités abordées depuis le début de l’année n’ont pas suffi pour que les élèvessoient familiarisés avec la détermination d’un temps caractéristique, l’étude desenregistrements est alors l’occasion de revenir sur cette notion.

À propos de l’étude expérimentale de la chute verticale d’un solide dans un fluide

Fiche D2 du cédérom et page 44

Dans cette fiche, on trouvera l’ensemble de la démarche proposée. Les fiches D3, D4et D5 du cédérom présentent des exemples avec plus de détails.L’étude complète de la chute d’un corps dans un fluide peut se dérouler en deuxséances.La première est consacrée à l’étude expérimentale de la chute d’un solide dans l’air et/ou dans divers fluides. Cette activité fait appel à l’utilisation de moyens vidéo et àl’usage d’un logiciel adéquat pour pointer les coordonnées d’un point mobile imagepar image.La seconde séance se propose de modéliser les frottements du fluide sur le solide dontla chute à été précédemment enregistrée.

Quel est le mouvement d’un solide en chute dans l’air? De quoi dépend-il?


Dans cette activité, on enregistre le mouvement de chute pour des objets de masses etde volumes différents (un objet par groupe)

2

. Les images vidéo obtenues sont traitéesau moyen d’un logiciel adapté de manière à obtenir les coordonnées successives d’unpoint de l’objet en chute. Ces coordonnées sont ensuite copiées dans une feuille detableur. Après avoir calculé les valeurs successives de la vitesse les élèves sont invitésà reporter dans le plan (t, v) les points correspondants. Une discussion des proposi-tions des différents groupes concernant les valeurs caractéristiques de v et de t est alorsorganisée. On choisit comme valeur limite de la vitesse la valeur de l’asymptote hori-zontale et pour le temps caractéristique l’abscisse du point de concours de cetteasymptote avec la tangente à l’origine.

Quels sont les paramètres qui influent sur la chute d’un solide dans un liquide?


Le mobile choisi ici est une fiche banane mâle à reprise arrière qu’on peut lester avecdu plomb, par exemple, et le liquide est de l’eau, puis de l’eau mélangée à un produitde nettoyage. L’enregistrement se fait avec une caméra vidéo. Une fiche techniquedonne en annexe de la fiche D4 tous les détails de mise en œuvre de l’expérimentation.

1. Au cas où on jugerait qu’un travail préparatoire est indispensable, on pourra utiliser l’activité sur

le texte de Huygens : « Comment et pourquoi l’air ou l’eau ralentissent-ils la chute des corps? »

2. Une fiche technique, donnée en annexe de la fiche D3, précise les méthodes utilisées dans la première

séance pour réaliser une manipulation capable de mettre en évidence les diverses phases du mouvement.

40


Le déroulement proposé est le suivant. Les élèves prennent connaissance du matérielpour procéder à l’enregistrement de la chute d’un mobile sans vitesse initiale dans unliquide, afin d’extraire, des données recueillies, la courbe d’évolution de la vitesse dumobile en fonction du temps. On précise que la forme du mobile a été choisie de façonà ce que la trajectoire soit rectiligne, verticale. Les élèves sont alors invités à prévoircomment va évoluer la vitesse du mobile, à proposer une allure probable de la courbetraduisant cette évolution et à imaginer, au vu du graphe de v = f(t), quelles grandeursla caractérisent. Ils doivent ensuite indiquer quels paramètres de l’expérimentationinfluent, à leur avis, sur l’évolution de la vitesse. Puis l’étude expérimentale esteffectuée et les prévisions confrontées aux résultats.

Comment modéliser une force de frottement?


Cette séance fait suite aux études expérimentales des chutes dans des fluides. Le butest ici d’utiliser les données expérimentales obtenues pour construire un modèleempirique de la force de frottement fluide. Pour cela on utilise un outil de résolutionnumérique, ici la méthode d’Euler.À partir de la lecture d’un texte d’Huygens, on formule différentes hypothèses plausiblesconcernant la forme de la relation liant la valeur de la force de frottement f à la vitesse vdu solide en mouvement dans le fluide. L’application de la deuxième loi de Newton ausolide en mouvement permet alors d’établir une équation différentielle dont la fonctioninconnue est la vitesse v(t). La résolution numérique de cette équation différentielle parla méthode d’Euler fournit une courbe représentative de la fonction cherchée.Pour construire le modèle de la force de frottement fluide, on raisonne alors de lamanière suivante : si l’hypothèse de départ concernant l’expression de la force de frot-tement est valide, une courbe théorique obtenue par la méthode d’Euler doit passerau plus près des points expérimentaux. Si, au contraire, il est impossible d’obtenir unrecouvrement acceptable, l’hypothèse de départ doit être abandonnée. Une nouvellehypothèse est alors testée de la même manière. Dans cette activité, les élèves sontconduits à examiner successivement les hypothèses f = k·v et f = k’·v

2

.

Comment le mouvement d’un satellite permet de connaître la masse d’un astre

■


Cette activité sur document vise à montrer comment, par application des lois deNewton, on peut déterminer la masse d’un astre. Elle fait appel à la réflexion des élèvesen les amenant à construire puis à résoudre un problème mettant en œuvre aussi biendes capacités calculatoires et théoriques que des compétences relatives à la mesure età la détermination graphique d’une valeur.Un premier exercice, porte sur la détermination de la masse de la Terre connaissant lemouvement de la Lune, la même démarche est ensuite utilisée concernant la planèteJupiter et ses satellites. L’application à la Lune de la deuxième loi de Newton conduitles élèves à s’interroger sur la relation donnant l’accélération du mouvement circulaireuniforme. Cette activité permet au professeur d’introduire la relation a = v

2

/R.Pour le cas de Jupiter, on utilise une série de clichés photographiques permettant dedéterminer par une méthode graphique les caractéristiques du mouvement de l’un deses satellites (ici, Ganymède).

Étude comparée de deux oscillateurs mécaniques

■


On se propose ici de conduire de manière similaire, et simultanée, l’étude du mouve-ment d’un pendule pesant et de celui d’un dispositif solide-ressort. L’objectif est dedégager des similitudes et des différences dans leurs mouvements et d’identifier lesparamètres susceptibles d’intervenir dans ceux-ci. On cherche à définir et à mesurerun temps caractéristique pour chacun des deux oscillateurs. On étudie l’influence desparamètres identifiés précédemment.


41

Chacun de ces deux oscillateurs est modélisé :– le premier, par un point matériel oscillant sous l’effet de la pesanteur sur un arc decercle centré sur un point fixe et symétrique par rapport à la verticale passant par cepoint (modèle dit « du pendule simple »);– le second, par un point matériel oscillant sous l’effet d’une force de rappel élastique,de part et d’autre d’un point fixe sur un segment de droite centré sur ce point (modèledit « du pendule élastique »).

Des hypothèses sont alors formulées concernant la forme que peut prendre danschaque cas l’expression du temps caractéristique.Une analyse dimensionnelle permet de déterminer l’expression de la période des petitesoscillations du pendule simple. L’application des lois de Newton permet de déterminercelle des oscillations du pendule élastique.On remarque que la période des petites oscillations du pendule simple dépend de lavaleur de l’intensité de la pesanteur mais non de la masse du pendule.Celle des oscillations du pendule élastique, en revanche, ne dépend pas de l’intensitéde la pesanteur mais de sa masse.

Qu’est-ce que le phénomène de résonance?

■


L’étude des courbes de résonance n’est pas au programme. Seul le phénomène de réso-nance est ici abordé dans le cadre de l’étude des systèmes oscillants et avant celle desaspects énergétiques. Il s’agit essentiellement de comprendre par une étude qualitative,que ce phénomène peut être observé lorsqu’un oscillateur est excité périodiquement àune fréquence voisine de sa fréquence propre. Lorsqu’un régime permanent est établi,une énergie est alors emmagasinée dans l’oscillateur (cette énergie a été progressive-ment communiquée à l’oscillateur durant le régime transitoire qui précède ce régimepermanent). L’énergie ainsi emmagasinée est alors bien supérieure à celle qui est, àchaque période, communiquée par l’excitateur à l’oscillateur.Lorsque la fréquence d’excitation s’écarte par excès ou par défaut de celle de la réso-nance, le phénomène diminue jusqu’à disparaître.

Pour conduire cette étude, nous avons choiside recourir à un dispositif très simple et pro-che de situations de la vie courante : l’excita-teur est un moteur muni d’un balourd.L’oscillateur est constitué par une lameflexible et le moteur au milieu de laquelle ilest solidement fixé. Le moteur est alimentépar une source de tension réglable, ce quipermet de faire varier sa vitesse de rotation.La lame peut être solidement fixée soit àses deux extrémités (première photo) soiten un point voisin de son milieu (secondephoto).

42


Ouverture au monde quantique : l’atome et la mécanique de Newton

■

Fiches D9 à D11 du cédérom

L’objectif essentiel de l’activité est de sensibiliser les élèves aux limites de la mécaniquenewtonienne et de montrer que certaines données considérées comme « allant de soi »telles que, par exemple, l’identité de dimension des atomes d’un même élément oucertains phénomènes liés, par exemple, à la lumière ne sont pas interprétables dans lecadre newtonien.Ainsi que le précise le texte du programme, il s’agit simplement ici d’une ouverture aumonde quantique et non pas d’une introduction à la physique quantique. Le tempsconsacré à cette réflexion, volontairement limité à deux heures en classe entière, nedoit pas pour autant conduire à en négliger l’importance avec les élèves : voilà qu’à lafin d’une étude de la mécanique patiemment élaborée au cours de quatre années, lathéorie est étudiée sous l’angle de ses limites, montrant par là que la mécanique newto-nienne, si belle et si puissante soit-elle, ne répond pas à toutes les questions.Les activités proposées sur le cédérom permettent d’introduire la problématiqueci-dessus à partir de véritables spectres aussi bien électroniques qu’optiques.

L’atome et la mécanique de Newton : ouverture au monde quantique

Fiche D9 du cédérom et page 48

– Quels problèmes le modèle atomique de Rutherford rencontre-t-il?Dans le modèle de l’atome tel que l’avait imaginé Rutherford, les électrons sont enorbite autour du noyau comme les planètes autour du Soleil, ou comme des satellitesautour de la Terre. La conséquence immédiate serait que tous les atomes de mêmenombre d’électrons devraient prendre des tailles différentes et variables au gré deschocs reçus. Ainsi, en prenant pour exemple les atomes les plus simples, ceux del’hydrogène, nous devrions, dans une même population donnée de substance hydro-génée, trouver statistiquement des atomes d’hydrogène de tailles fort différentes. Or,les mesures effectuées sur ces atomes montrent que tous les atomes d’hydrogène sontsemblables : à chaque type d’atome correspond une taille déterminée dans l’étatfondamental.La conséquence s’impose : ces résultats sont en contradiction avec les lois de Newtonbien que les deux lois d’interaction soient en 1/r

2

. Celles-ci ne peuvent donc expliquercomplètement le comportement de la matière à l’échelle microscopique.

– Les expériences de Franck et HertzSi tous les atomes d’une même espèce (l’hélium par exemple) sont identiques, celasignifie que l’énergie interne de chacun d’eux est unique. Mais que se passe-t-il si l’ontente de modifier directement cette énergie? Franck et Hertz ont montré, en 1914,qu’en bombardant les atomes d’un gaz avec des électrons d’énergie connue (de l’ordrede quelques eV), on pouvait accroître l’énergie interne des atomes et que cela s’effec-tuait par paliers définissant ainsi autant d’états dits « excités ».

– Que devient un atome excité

3

?L’activité consiste à observer en classe quelques lampes spectrales en fonctionnement.C’est l’occasion de constater qu’il existe différents moyens d’exciter des atomes(décharges électriques notamment) et que les atomes se désexcitent en émettant de lalumière.Les élèves observent au spectroscope les spectres d’émission de la lumière produite parchaque lampe. On leur indique alors que chacune des raies d’un spectre correspond àl’émission d’un rayonnement par un atome. (Différents spectres peuvent être observés;les spectres d’émission des atomes de la classification périodique sont donnés dans lelogiciel

Spectres

inclus sur le cédérom.)

3. On pourra se reporter utilement au complément scientifique du document d’accompagnement,

intitulé « CS2 – Niveaux d’énergie et spectre d’un atome ».


43

Comparaison de diagrammes d’énergie


Cette activité s’appuie sur le texte et les diagrammes d’énergie « CS2 – Niveauxd’énergie et spectre d’un atome » de la partie « Compléments scientifiques » (textedestiné aux professeurs et non pas aux élèves).En réalisant cette activité les élèves pourront :– se familiariser avec les notions de quantification et de niveaux d’énergie à partird’exemples réels;– calculer des énergies à partir des longueurs d’onde des radiations émises dans le videet mieux comprendre le principe de la spectroscopie optique;– comparer des diagrammes pour trouver que pour des noyaux différents et un mêmecortège électronique, il existe une relation entre les énergies de l’atome et la composi-tion du noyau; et que, pour un même noyau, les énergies de l’atome dépendent ducortège électronique.

Spectroscopie optique, spectroscopie électronique


Cette activité permet de montrer aux élèves, à partir de la spectroscopie électronique,qu’il existe d’autres techniques que la spectroscopie optique pour connaître lesniveaux d’énergie d’un atome ou d’un ion. Les élèves ont à leur disposition lediagramme d’énergie de l’atome d’hélium obtenu par spectroscopie optique et lespectre électronique. Ces documents sont extraits des compléments scientifiques« CS2 – Niveaux d’énergie et spectre d’un atome » pour le diagramme d’énergieobtenu par spectroscopie optique, et « CS3 – Quantification des niveaux d’énergie etspectroscopie électronique » pour le spectre électronique. En comparant ces deuxdocuments, les élèves pourront vérifier que pour un même niveau d’énergie, les deuxtechniques donnent le même résultat.

44


À propos de l’étude expérimentale de la chute verticale d’un solide dans un fluide (D2)

Quels que soient les objets et les fluides utilisés pour cette étude, celle-ci se déroule sur

deux séances expérimentales

:– la première est consacrée à l’étude expérimentale de la chute d’un solide dans un fluide;– la seconde va permettre d’explorer différents modèles pour la force de frottementfluide

4

: f = k·v ou f = k’·v

2

.

La suite de ce document aborde les problèmes liés à l’expérimentation et au traitement desrésultats expérimentaux. Différents exemples avec questionnement, expériences, traite-ment et modélisation figurent dans les fiches D3, D4 et D5 du cédérom d’accompagnement.

Étude expérimentale de la chute d’un solide dans un fluide

Le but de l’étude est de montrer que :– la chute d’un solide dans un fluide met en évidence des grandeurs caractéristiques(vitesse limite et temps caractéristique), que le fluide soit gazeux ou liquide;– les grandeurs caractéristiques, pour un même fluide et des solides de mêmes formeet volume, dépendent de la masse de ce solide.

Le solide

Le solide peut avoir une forme quelconque mais sa chute doit être une translationverticale. Les exemples donnés ci-dessous ont donné à cet égard satisfaction. Pour ladeuxième partie de cette étude, sa masse et son volume devront être connus. On doitdisposer de plusieurs solides de forme identique mais de masses différentes. Les quel-ques exemples qui ont été utilisés avec succès sont indiqués dans le tableau ci-dessous.Cette liste n’est pas limitative.Pour des raisons de repérage sur l’enregistrement vidéo et de conditions pour atteindrela vitesse limite, le solide sera différent pour la chute dans l’air d’une part et dans desliquides d’autre part.Dans le texte de complément scientifique « CS1 – Force de frottement fluide etvitesse », on trouvera quelques exemples de diamètres de billes et de choix du fluidepermettant de mettre en évidence les différents modèles de la force de frottement fluide.Dans le cas de la chute dans l’eau pure d’une bille dont le diamètre est de l’ordre dumillimètre, la force de frottement fluide est proportionnelle au carré de sa vitesse.

4. On pourra se reporter au texte de complément scientifique du cédérom d’accompagnement « CS1 –

Force de frottement fluide et vitesse ».

Exemples Comment faire varier la masse?

Boule de pâte à modeler Inclure au centre un petit solide

Perle (axe bouché avec de la pâte à modeler)Fondre plus ou moins de plombdans l’axe

Ballons de baudruche de couleurs différentes,chacun renfermant environ quatre litres d’air. Ilsdoivent être le plus rond possible pour que l’onpuisse aisément déterminer leur volume. Deuxdes ballons sont moins gonflés que les deux autres

Accrocher des masses au pointcentral où sont attachés les quatreballons

Fiche banane électrique mâle, à reprise arrière,bouchée

Ajouter du plomb ou de la pâte àmodeler dans la partie creuse

Tube à hémolyse lesté avec un petit agitateurmagnétique (pour pouvoir le récupérer facile-ment à l’aide d’un aimant)

Remplir plus ou moins le tube avecun liquide ou un solide en poudre

Sens dela chute

Sens dela chute

Sens dela chute


45

Le fluide

Le fluide est l’air, puis un liquide tel que l’eau, la glycérine, du détergent liquideincolore…Un mélange d’eau et de détergent liquide en proportions variables permet d’agirfacilement sur la viscosité et remplace avantageusement l’huile.

L’enregistrement vidéo

Prise de vue

La chute du solide dans un fluide est enregistrée à l’aide d’une caméra vidéo ou d’unewebcam. Pour ne pas déformer les images, le choix doit se porter si possible sur delongues focales. Un fond uni permet une meilleure précision lors du traitement del’image. Il faut penser à disposer un repère étalonné à la même distance de la caméraque la trajectoire de chute.L’éclairage doit être le plus possible constant. Il est conseillé d’utiliser un éclairage àincandescence pour éviter l’effet stroboscopique. Si l’on ne peut éviter l’éclairage parles tubes fluorescents, la fréquence de prise de vues ne doit pas être un sous-multiplede 50 Hz (ce qui est impossible avec un caméscope qui ne peut filmer qu’à 25 imagespar seconde).Le film doit débuter avant la chute du solide afin que l’on puisse repérer avec le plusde précision possible l’instant initial de cette chute. Il existe toujours une incertitudesur cette date, laquelle est due à la fréquence des prises de vues. Elle est inférieure à ladurée entre deux images consécutives.Dans le cas des liquides on peut utiliser une éprouvette graduée si la viscosité dufluide est importante. Dans le cas de l’eau, un récipient plus haut est nécessaire(hauteur de l’ordre du mètre). Pour une meilleure prise de vue, on peut faire cons-truire des éprouvettes à base carrée.

Traitement de l’image

Il existe différents logiciels de pointage gratuits qui permettent de repérer un point del’objet à des intervalles de temps égaux. Plusieurs sont proposés sur le cédérom dudocument d’accompagnement de première scientifique.On peut aussi, à partir de l’enregistrement réalisé avec une caméra, utiliser un magné-toscope (celui-ci doit posséder quatre têtes de lecture et une molette pour la lectureimage par image – à ne pas confondre avec l’arrêt sur image). On relève, par exemplesur un papier transparent fixé sur l’écran, les différentes positions du solide en faisantdéfiler l’enregistrement image par image. Dans ce cas, un chronomètre numériqueaura dû être filmé en même temps afin d’obtenir facilement un repérage des images.

Calcul

Le but du traitement précédent est d’obtenir, à l’aide de l’ordinateur, la vitesse dumobile aux différentes dates où il a été pointé et de tracer v(t).Cette courbe permet d’obtenir la

vitesse limite

et le

temps caractéristique

associés à lachute.

Déroulement possible de l’étude expérimentale

Influence de la nature du fluide

Laisser tomber, sans vitesse initiale, un même objet dans l’air et dans un liquide (obser-vations qualitatives). Recommencer avec un autre liquide et le même objet. Deuxgroupes d’élèves peuvent travailler avec le même objet mais deux fluides liquidesdifférents. Dans ce cas, faire tracer v(t) et déterminer la vitesse limite et le tempscaractéristique.Les résultats expérimentaux permettent de conclure que la courbe v(t) d’un solide enchute verticale dans un fluide gazeux ou liquide peut être caractérisée par deuxgrandeurs : la vitesse limite et le temps caractéristique. Pour un même solide, lesvaleurs de ces grandeurs dépendent de la nature du fluide.

46


Influence de la masse de l’objet

Recommencer cette étude dans un même fluide avec des objets de même volume mais demasses différentes. On peut, comme précédemment, partager le travail entre les groupes.Les résultats expérimentaux permettent de conclure que pour des solides de mêmeforme, de même volume et de masses différentes, en chute verticale dans un mêmefluide, les valeurs des grandeurs caractéristiques dépendent de la masse.

Validation de l’expression de la force de frottement fluide en utilisant la méthode d’Euler

Le but de cette séance est, à partir des données expérimentales obtenues précédem-ment, de valider un modèle de la force de frottement fluide. Pour cela on utilise uneméthode d’approximation numérique, ici la méthode d’Euler

5

(cette méthode est laseule exigible). L’utilisation d’un tableur grapheur est utile. Le modèle est validélorsque la courbe théorique (les grandeurs caractéristiques) correspond à celle obtenueexpérimentalement.Une organisation possible de la séance est de faire travailler chaque groupe sur unedes courbes expérimentales obtenues précédemment.

Étude dynamique

Elle peut se faire à partir d’un diagramme objet/interactions qui conduit à la représen-tation des forces ci-contre

6

.Le solide, dans le référentiel lié à la terre (galiléen), est soumis à son

poids , la poussée d’Archimède , la force de

frottement fluide .La deuxième loi de Newton appliquée à la bille :

,

donne, en projetant sur l’axe z’z :,

soit : ,

ou encore : .

En posant , on a , soit finalement :

.

On remarque que V, m, g et

ρ

sont des données connues ou déterminées expérimen-talement et que l’on peut donc calculer A.

Première hypothèse : la force de frottement est proportionnelle à la vitesse, f = k · v

Les élèves pourront être sollicités pour trouver cette première hypothèse

7

. L’équation

différentielle est alors de la forme , soit encore .

5. Les élèves ont étudié la méthode d’Euler en mathématiques en classe de première scientifique. Ils ont

revu cette méthode au début de l’année de terminale lors de l’introduction de la fonction exponentielle.

Des compléments sur la méthode d’Euler sont donnés, dans le document d’accompagnement, dans la

fiche « TG3 – À propos de la méthode d’Euler » (voir page 69).

6. La règle de schématisation adoptée est celle proposée dans le document d’accompagnement de

première scientifique.

7. Le texte de Huygens, « Comment et pourquoi l’air ou l’eau ralentissent-ils la chute d’un corps » peut

être étudié par les élèves avant cette séance. Il est proposé dans le document « TG1 – De l’usage des textes

documentaires dans l’enseignement des sciences physiques » (voir page 59).

z

P

Πf→

→

→

z’P m g⋅= Π ρ V g⋅ ⋅–=

f

P Π f + + m a ⋅ =

P Π– f– m a⋅=

m g⋅ ρ V g f–⋅ ⋅– m a⋅=

g ρVgm

-----------– fm----– a=

A g ρVgm

-----------–= A fm----– a=

dvdt------ A f

m----–=

dvdt------ A k v⋅

m----------–= dv

dt------ A B v⋅–=


47

Détermination de B à partir de la courbe expérimentale v(t)

On trouve la valeur de B lorsque , d’où .

La valeur de la vitesse v

lim

a été trouvée à la séance expérimentale précédente.

Test de l’hypothèse par la méthode d’Euler

Principe de la méthode numérique d’Euler

a

n

= A – Bv

n

.v

n+1

= v

n

+ a

n

·

∆

t.

Application

Le calcul « à la main » pour les trois ou quatre premières valeurs de t et v peutpermettre aux élèves de se remémorer la méthode d’Euler. Le choix du pas

∆

t doit êtretel que la vitesse limite soit atteinte en une durée de l’ordre de 100

∆

t. Pour les expé-riences réalisées, on peut généralement choisir

∆

t = 0,01 s. L’expérience montre quel’on peut également prendre pour « pas » la durée entre deux photos lors de la prisede vues.

Utilisation d’un tableur-grapheur pour tracer la courbe théorique v(t) correspondant à l’hypothèse

Suivant le niveau des élèves ce travail peut être plus ou moins guidé. À cette époquede l’année, tous les élèves devraient savoir utiliser un tableur-grapheur pour réaliserles calculs demandés.On peut vérifier que les premières lignes du tableau correspondent bien à celles calcu-lées précédemment. Puis on trace la courbe théorique d’évolution de la vitesse de labille et on la compare à la courbe réelle.Pour que le modèle de la force de frottement fluide soit validé, il faut que la courbeexpérimentale et la courbe théorique soient en bon accord. Ce n’est généralement pasle cas : le modèle de la force de frottement f = k·v n’est alors pas validé. Remarques

– Le modèle f = k · v s’applique aux faibles vitesses, lorsque l’écoulement du fluideautour du corps est laminaire (sans turbulences).– Cette première partie de l’étude a permis aux élèves de se familiariser avec laméthode d’Euler et de revoir l’utilisation d’un tableur. C’est son seul intérêt car lesélèves savent résoudre mathématiquement l’équation différentielle proposée.

Deuxième hypothèse : la force de frottement est proportionnelle à la vitesse au carré, f = k’ ·v

2

L’équation différentielle est de la forme , soit encore .

On trouve la valeur de C lorsque , d’où .

On va de nouveau appliquer la méthode d’Euler en utilisant un tableur. Le modèle dela force de frottement f = k’ · v

2

est généralement meilleur

8

.

8. En général, les deux hypothèses simples envisagées ne peuvent être départagées à coup sûr par la

seule expérience de chute dans un fluide. Pour obtenir un résultat plus probant, il serait nécessaire de

s’interroger sur la nécessité de prendre en compte dans l’établissement de l’équation différentielle,

outre les frottements visqueux, l’inertie du fluide au contact de l’objet en chute. Cette modélisation

plus difficile et hors de portée pour un élève de terminale ne sera pas envisagée ici.

dvdt------ 0 m s 2 – ⋅ = B A

vlim---------=

dvdt------ A k ′v2

m-----------–= dv

dt------ A Cv2–=

dvdt------ 0 m s 2 – ⋅ = C A

vlim2---------=

48


Remarques

– Le modèle f = k’ · v

2

s’applique aux vitesses plus élevées (la turbulence du fluide dansle sillage du solide est importante).– L’application de la méthode d’Euler dans ce cas prend toute sa valeur car les élèvesde terminale scientifique ne savent pas résoudre en mathématique cette équation diffé-rentielle.– L’objectif de cette séance est seulement que l’élève comprenne ce qu’est une modé-lisation physique. La méthode d’Euler est la plus simple des méthodes numériquesitératives, et la seule exigible, mais elle ne donne pas toujours des résultats précis. Onpourra lui faire remarquer que les méthodes itératives des logiciels commerciauxutilisés sont plus élaborées et donnent des résultats plus précis. L’influence du « pas »dans la méthode d’Euler n’est pas l’objectif de cette séance.

Ouverture au monde quantique – L’atome et la mécanique de Newton (D9)

L’objectif essentiel de l’activité est de sensibiliser les élèves aux limites de la mécaniquenewtonienne et de montrer que certaines données considérées comme « allant de soi »telles que, par exemple, l’identité de dimension des atomes d’un même élément oucertains phénomènes liés, par exemple, à la lumière ne sont pas interprétables dans lecadre newtonien.Ainsi que le précise le texte du programme, il s’agit simplement, ici, d’une ouvertureau monde quantique et non pas d’une introduction à la physique quantique. Le tempsconsacré à cette réflexion, volontairement limité à deux heures en classe entière, nedoit pas pour autant conduire à en négliger l’importance avec les élèves : voilà qu’à lafin d’une étude de la mécanique patiemment élaborée au cours de quatre années

9

, lathéorie est étudiée sous l’angle de ses limites, montrant par là que la mécanique newto-nienne, si belle et si puissante soit-elle, ne permet cependant pas de répondre àcertaines questions simples.Pour approcher la problématique quantique, une activité de réflexion et de débatautour d’un texte simple, librement inspiré du PSSC, est proposée. Le texte, un peulong, aura été distribué aux élèves pour être lu et préparé à la maison en vue de nourrirun travail collectif en classe. Une discussion sur le texte est suivie d’un travail en classesur les spectres optiques.

L’atome et la mécanique de Newton

Quels problèmes rencontre le modèle atomique de Rutherford?

Dans le modèle de l’atome tel que l’avait imaginé Rutherford, les électrons gravitentautour du noyau comme les planètes autour du Soleil ou des satellites autour de laTerre. Nous savons bien que si une action perturbatrice quelconque s’exerce, parexemple sur un satellite artificiel (lors d’un choc avec une météorite ou par l’actiond’un moteur de propulsion), son mouvement s’en trouvera modifié. Les lois deNewton expliquent bien les changements de vitesse et de trajectoire qui sont alorsobservés. Et leur application est à la source des « corrections de trajectoire » couram-ment effectuées sur les satellites artificiels. Ainsi, nous savons bien qu’un même objetpeut être satellisé sur des trajectoires différentes autour de la Terre et qu’à chaquetrajectoire, circulaire par exemple, correspond une valeur donnée de la vitesse et del’énergie du système satellite-Terre.À une toute autre échelle, nous savons également que la matière est constituéed’atomes et que ces atomes, dans les solides, les liquides mais aussi dans les gaz inte-ragissent continuellement les uns avec les autres. Si les électrons des atomes se compor-taient comme les satellites, l’agitation désordonnée modifierait continuellement leurstrajectoires. La conséquence immédiate serait que tous les atomes de même nombre

9. La mécanique de Newton est abordée dès le collège, en classe de troisième.


49

d’électrons devraient prendre des tailles différentes et variables au gré des chocs reçus.Ainsi, en prenant pour exemple les atomes les plus simples, ceux de l’hydrogène, nousdevrions, dans une même population donnée de substance hydrogénée, trouver statis-tiquement des atomes d’hydrogène de tailles fort différentes. Or, les mesures effectuéessur ces atomes montrent que tous les atomes d’hydrogènes sont semblables; il en estde même de tous les atomes d’oxygène, d’hélium ou de n’importe quel autre atome :à chaque type d’atome correspond une taille déterminée dans l’état fondamental.La conséquence s’impose : ces résultats sont en contradiction avec les lois de Newtoncar les deux lois d’interaction sont en 1/r

2

. La mécanique de Newton ne peut doncexpliquer complètement le comportement de la matière à l’échelle microscopique.

Les expériences de Franck et Hertz

Si tous les atomes d’une même espèce (l’hélium par exemple) sont identiques, celasignifie que l’énergie interne de chacun d’eux est unique. Mais que se passe-t-il si l’ontente de modifier directement cette énergie? James Franck et Gustave Hertz ontmontré, en 1914, qu’en bombardant les atomes d’un gaz avec des électrons d’énergieconnue (de l’ordre de quelques eV), on pouvait accroître l’énergie interne des atomeset que cela s’effectuait par paliers. Ils reçurent, pour l’ensemble de leurs travaux, leprix Nobel en 1925.

Quelle était la problématique de cette expérience?

Lors d’une collision entre un électron et un atome, il doit y avoir un transfert d’énergiede telle sorte que l’énergie interne de l’atome (cinétique des électrons et potentielleinterne) doit augmenter au détriment de celle de l’électron-projectile. Si, l’hypothèsede Rutherford est bonne, c’est-à-dire si les atomes conçus selon un modèle planétaireobéissent à la mécanique de Newton, les variations de leur énergie initiale consécutivesaux chocs doivent pouvoir prendre n’importe quelle valeur. Dans le même temps, ilrésulte du principe de conservation de l’énergie que les électrons-projectiles doiventsubir des pertes tout aussi quelconques de leur énergie cinétique. Mais si l’hypothèsede Rutherford est fausse, et donc si les atomes n’obéissent pas aux lois de Newton,alors l’étude des énergies des électrons après collisions dans le gaz doit nous fournirdes renseignements précieux sur la façon dont se sont produits les éventuels transfertsd’énergie entre les électrons-projectiles et les atomes-cibles.

La figure ci-contre représente le schéma de principe d’une expérience voisine de celle que réalisèrent Franck et Hertz

10

.

Le canon à électron donne aux électrons-projectiles une énergie cinétique réglable E

in.

En quittant le canon, les électrons pénètrent par une petite ouverture dans unechambre contenant le gaz-cible. La plupart d’entre eux traversent la chambre sanssubir de collision. Pour éviter de les détecter, l’ouverture de sortie est légèrementdécalée. Les électrons qui se présentent à l’ouverture de sortie ont généralementeffectué dans la chambre une collision avec un atome du gaz.

10. Il s’agit en fait d’une expérience simplifiée, plus difficile à réaliser mais plus facile à interpréter.

Pour plus de précision on pourra se reporter à la fiche intitulée « Spectroscopie électronique ».

VA

Atomes

du

gaz-cible

Régionde mesuredes énergiesdes électronsaprèscollision

Canon àélectrons

50


Dans cette expérience, on augmente progressivement l’énergie cinétique d’entrée E

in

.Pour différentes valeurs de E

in

, on mesure celles des énergies cinétiques E

out

à la sortieet on compare E

out

à E

in

.

Qu’apprend-on de ces mesures?

Prenons l’exemple précis de l’hélium.Tant que l’énergie cinétique des électrons injectés est inférieure à 19,8 eV, on constateque celle des électrons à la sortie est pratiquement égale à celle qui leur a été commu-niquée à l’entrée (E

in

= E

out

). Ce résultat montre que ces électrons ont simplementrebondi sur des atomes d’hélium en conservant pratiquement toute leur énergie ciné-tique (les atomes d’hélium sont environ huit mille fois plus lourds que les électrons).Lorsque E

in

dépasse 19,8 eV, on constate que les valeurs de E

out

chutent brutalementde… 19,8 eV! Et cette différence se maintient tant que E

in

reste inférieure à 20,6 eV.Autrement dit, dans cette plage de valeurs de E

in

, une énergie constante de 19,8 eV aété transférée à chaque atome d’hélium ayant subi une telle collision. Qu’est devenuel’énergie cinétique ainsi cédée par les électrons-projectiles? Ici encore il n’y a pas euaccroissement sensible de l’énergie cinétique des atomes-cibles, la température du gazn’augmentant pratiquement pas. Le transfert d’énergie de 19,8 eV se fait au bénéficequasi-intégral de l’énergie interne du système noyau-électrons de l’atome d’héliumbombardé. On dit que l’atome d’hélium est passé de son

état fondamental

à un

étatexcité

11

.Lorsque la valeur deE

in

atteint et dépasse20,6 eV, la différenceE

out

– E

in

passe bru-talement à 20,6 eV etcela se maintient tantque E

in

reste infé-rieure à 21 eV, etc.L’énergie interne desatomes bombardéspasse alors brutale-ment à 20,6 eV,autre état excité.Le diagramme ci-contre représenteles valeurs trouvéespour la différenceE

out

– E

in

en fonc-tion de E

in

.

On constate que lesénergies transférées à un atome d’hélium lors d’un choc avec un électron ne sont pasquelconques mais qu’elles ne peuvent prendre, au contraire, que des valeurs bienprécises et toujours les mêmes pour tous les atomes d’hélium. On dit qu’il y a

quanti-fication

des états excités.Ce résultat est généralisable à tous les atomes avec simplement, des valeurs d’énergiedifférentes. Cette quantification de l’énergie interne d’un atome ne peut être expliquéepar les lois de la mécanique de Newton. Selon ces dernières, au contraire, lors d’unchoc avec un électron, la différence E

out

– E

in

devrait pouvoir prendre toute valeurcomprise entre 0 et E

in

!

11. Il ne reste pas dans l’état excité et revient ultérieurement, en une ou plusieurs étapes, à l’état

fondamental, cédant alors l’énergie interne emmagasinée. C’est la raison pour laquelle on observe

corrélativement un spectre optique d’émission.


51

Peut-on augmenter indéfiniment le nombre des états excités possibles c’est-à-dire lesvaleurs quantifiées de l’énergie correspondant aux états excités?La réponse est négative. À partir d’une valeur de E

in

appelée énergie d’ionisation, letransfert d’énergie suffit à arracher un électron à l’atome qui devient ion positif. Dansle cas de l’hélium, on obtient un ion He

+

et cela se produit à 24,6 eV.En conclusion, notre expérience a permis d’identifier, pour l’atome d’hélium, les étatsexcités suivants

12

(donnés en eV) : 19,8; 20,6; 21,0; 21,2; 22,9; 23,1; 23,7 et 24,0.On dit que l’énergie d’un atome est

quantifiée

.Le même résultat peut être observé avec les autres atomes. Par exemple, les principauxétats excités du césium sont 1,38 et 2,30 eV. L’ionisation du césium a lieu pour3,87 eV. Ceux du mercure sont (en eV) : 4,86; 5,44; 6,67; 7,71 et 8,84. L’ionisationdu mercure a lieu pour un transfert d’énergie de 10,4 eV.

Proposition de questions

1) Que représentent les points tracés dans le diagramme ci-dessus? Pourquoi n’y a-t-ilpas de points avant l’abscisse 19,8 eV?

2) Un tel diagramme, tracé pour d’autres atomes que ceux de l’hélium, serait-il identiqueou similaire à celui-ci, et, dans ce dernier cas, en quoi consisterait, selon vous, les diffé-rences et les similarités?

3) Commentez la phrase : « Ici encore n’y a pas eu accroissement sensible de l’énergiecinétique des atomes-cibles, la température du gaz n’augmentant pratiquement pas. »

4) Quelle serait la valeur de la vitesse acquise par un atome d’hélium auquel un électroncéderait une énergie de 19,8 eV si le transfert se faisait sous forme d’énergie cinétiqueet selon les lois de la mécanique de Newton?

On donne :Charge élémentaire : e = 1,6

×

10

–19

C.Constante d’Avogadro : N = 6,02

×

10

23

mol

–1

.Masse molaire de

l’hélium : 4,0 g · mol

–1

.

Après discussion autour du texte et des réponses données par les élèves aux questionsprécédentes, le professeur pourra orienter la suite du travail avec la classe autour dela question suivante :

Que devient un atome excité

13

?

L’activité consiste alors à observer en classe quelques lampes spectrales en fonction-nement (Na, Hg, Cd, He, etc.). C’est l’occasion de constater qu’il existe différentsmoyens d’exciter des atomes (décharges électriques notamment) et que les atomesexcités émettent de la lumière.Les élèves observent ensuite au spectroscope les spectres d’émission de la lumièreproduite par chaque lampe. On indique alors aux élèves que chacune des raies d’unspectre correspond à l’émission par un atome d’un rayonnement. (Différents spectrespeuvent être observés; les spectres d’émission des atomes de la classification pério-dique sont donnés dans le logiciel

Spectres

inclus sur le cédérom.)On interprète cette émission de lumière par le fait qu’un atome excité retourne, dansles instants qui suivent, spontanément et directement, à son état fondamental ou à unétat excité d’énergie plus faible. Ce faisant, il cède d’un seul coup toute l’énergie quisépare les niveaux de départ et d’arrivée.

12. D’autres états excités de l’atome d’hélium sont possibles et peuvent être identifiés expérimentale-

ment

; les valeurs des énergies d’excitations sont toujours les mêmes, quantifiées et inférieures à

24,6 eV.

13. On pourra se reporter utilement au texte de complément scientifique intitulé « CS2 – Niveaux

d’énergie et spectre d’un atome » du cédérom d’accompagnement.

52


On pose alors que cette variation d’énergie est directement liée à la longueur d’onde

dans le vide du rayonnement émis selon la relation .

La quantification de l’énergie des états excités de l’atome rend compte du caractèrediscontinu des spectres d’émission atomiques.Le travail proposé ensuite aux élèves vise à leur faire comprendre la signification decette relation et de son utilisation. On revient, pour cela, à l’exemple de l’hélium.

On fait alors constater aux élèves que le spectre d’émission de l’hélium contient, parmid’autres, trois raies particulièrement intenses : une raie bleue (B) de longueur d’onde502 nm, une raie jaune (J) à 588 nm et une raie rouge (R) à 668 nm.On invite alors les élèves à calculer les variations d’énergies d’excitation responsablesde ces trois émissions. Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :

Sachant que ces émissions correspondenttoutes à un état excité initial d’énergieégale à 23,1 eV, on demande aux élèves dedéterminer le niveau final de désexcitationcorrespondant à chacune des trois raiesprécédentes du spectre et de représenterces changements d’énergie dans lesatomes d’hélium par des flèches (une pourchaque raie) par un diagramme tel quecelui ci-contre.

Bibliographie

– H

ABER

-SCHAIM U., CROSS J.B., DODGE J.H., WALTER J.A. et TOUGAS P., Physique –PSSC, troisième édition, Montréal, Centre éducatif et culturel, 1974, p. 526-538.

Couleur λ (en nm) ∆E (en J) ∆E (en eV)

Bleu 502 3,96 × 10–19 2,47

Jaune 588 3,38 × 10–19 2,11

Rouge 668 2,97 × 10–19 1,86

Efinale Einitiale– hν hcλ

------= =

24.6 eV

B J R


Produire des sons, écouter

55

■

Le cédérom d’accompagnement contient plusieurs exemples de fiches correspondantaux parties « B – Produire des sons, écouter » et « C – Produire des signaux, commu-niquer » du programme.

Vibrations d’une corde de guitare

Le thème du son musical vient approfondir la partie « Ondes » de l’enseignement obli-gatoire et est abordé par la présentation d’instruments de musique. Aussi on utiliseune guitare comme support de la corde vibrante, et, à rebours de l’ordre proposé parle programme, on commence par étudier le son produit en pinçant une corde, c’est-à-dire les oscillations libres d’une corde pincée, avant d’observer l’excitation de cettecorde par un signal « monochromatique ».Ainsi l’utilisation normale de l’instrument est privilégiée. Pour des observations plusfines, surtout en excitation forcée, un matériel de démonstration spécialement conçu(sonomètre) peut être utilisé.

Montage électromagnétique d’étude des vibrations d’une corde

Dispositif d’étude des oscillations libres

Travailler avec comme seul instrument l’oreille est insuffisant pour une analysefréquentielle. Aussi peut-on utiliser des cordes métalliques de guitare électrique et unaimant en U d’entrefer très réduit à cheval sur la corde à étudier. On obtient ainsi uncapteur électromagnétique sensible à la vitesse de la portion de corde sise dansl’entrefer. En effet, une tension est induite dans la corde en raison de son mouvementeffectué dans un plan perpendiculaire au champ magnétique.Pour enregistrer la tension induite (typiquement de quelques dizaines de millivolts),on relie les extrémités de la corde par deux fils munis de pinces crocodiles à un ampli-ficateur de tension, de coefficient d’amplification de l’ordre de quelques dizaines. Unsystème d’enregistrement (oscilloscope à mémoire ou système d’acquisition) doit êtreassocié à ce montage pour conserver la trace de la tension induite, fugace par nature,et permettre des mesures de fréquences.

On peut utiliser en complément de ce montage un GBF muni d’un écouteur, afind’avoir une comparaison auditive entre le son produit par la guitare et un son « pur ».


Amplificateur

aimant en U

Excitation verticale

Systèmed'enregistrement

56


Dispositif d’étude des oscillations forcées

On remplace l’amplificateur par un générateur basse fréquence, associé à un fréquen-cemètre, suivi d’un amplificateur de puissance capable de délivrer 1 watt dans une impé-dance d’au plus quelques ohms. On alimente ainsi la corde par un courant sinusoïdalde fréquence connue. La force de Laplace qui s’exerce sur la portion de corde situéedans l’entrefer pourra exciter les modes propres de vibration de la corde. Les nœudset ventres de vibrations seront observés à l’œil pour les modes de plus basses fréquences.Aux fréquences élevées le son produit est un meilleur indicateur de la résonance.

Remarque –

L’aimant ne doit pas se trouver sur un nœud de vibration d’un mode proprepour pouvoir le détecter (lors des oscillations libres) ou le créer par excitation sinusoï-dale forcée.

Approche musicale : écoute et visualisation des oscillations libres de la corde

Si les circonstances s’y prêtent, on peut chercher à l’oreille, à l’aide du GBF muni d’unécouteur, la hauteur du son en procédant par comparaison.

Notion de fondamental

En excitant la corde, selon la façon de la pincer et selon l’endroit où on la pince, letimbre du son produit est différent : on produit un son complexe. À partir de l’obser-vation des oscillogrammes de la vibration de la corde, considérée comme périodiquepour quelques oscillations, on peut déterminer sa période. Dans tous les cas, onobserve la même période de vibration mais la forme du signal est différente :

On peut alors dégager la notion de

fondamental

: l’inverse de cette période est appeléalors fréquence du

mode fondamental

de la vibration; elle est dans la suite notée f

1

.Une table de correspondance entre fréquences et notes de musique peut alors êtreutilisée pour étiqueter ce fondamental

1

.

Notion d’harmoniques

En excitant de la même façon la corde, puis en posant délicatement son doigt au milieude la corde, sans l’écraser, on entend (faiblement mais distinctement) un son plus aigu.

1. Il sera éventuellement nécessaire de modifier la tension de la corde pour que f

1

corresponde à une

note de la gamme : on accorde la corde de la guitare.

Aimant

Systèmed'enregistrement

Amplificateur


57

L’enregistrement que l’on peut faire à ce moment de la vibration montre un signalquasi sinusoïdal ayant une fréquence double de celle du fondamental.L’interprétation attendue est que cette vibration était présente dans la vibrationd’origine, qui contenait donc cet

harmonique

de fréquence 2f

1

. Par la même techniqueon peut ne laisser vibrer que les harmoniques de fréquence 3f

1

(doigt posé au tiers dela corde), 4f

1

(doigt posé au quart de la corde), 5f

1

(doigt posé au cinquième de lacorde).Il est souhaitable de vérifier par analyse spectrale la présence de ces harmoniques (etd’autres) dans le signal électrique induit par la vibration de la corde et enregistré aprèsacquisition par ordinateur. Cela permet une approche plus quantitative qui montresans ambiguïté que les fréquences décelées sont quantifiées et multiples de celle dufondamental.

Excitation forcée sinusoïdale

Le but recherché est ici de retrouver, sur le même dispositif, par une méthode derésonance, les modes propres et leurs fréquences. De plus, c’est ici que les notions denœuds et de ventres s’introduisent naturellement. On sera aidé dans la recherche desrésonances par la connaissance des fréquences notées précédemment.Les observations qui peuvent être faites ici étant peu spectaculaires, l’étude seraavantageusement complétée par le montage dit de la corde de Melde.

Quelques précisions techniques

– L’entrefer de l’aimant est réduit à l’aide de plaquettes de ferrite aimantées. Une valeurde cet entrefer d’environ 5 mm permet d’augmenter notablement le champ (d’un fac-teur dépassant 5). Ceci procure des signaux d’amplitude suffisante dans le cas desoscillations libres puis une excitation forcée sinusoïdale utilisant un courant d’inten-sité, typiquement de l’ordre de 0,25 A, ne créant pas un effet Joule trop important.– Les cordes utilisées sont constituées d’un simple fil d’acier d’un diamètre de 20 à30 centièmes de millimètres, soit, chez les fournisseurs de cordes de guitares, des« plain steel strings 0.008 » ou « 0.012 » (pouces).– L’utilisation d’une guitare répond, comme cela a été évoqué, au désir de présenterun dispositif sonore usuel. Un modèle d’initiation pour jeune guitariste n’est, de plus,pas trop coûteux.

De l’usage des textes documentaires… (annexe)

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De l’usage des textes documentaires dans l’enseignement des sciences physiques (TG1)

Plusieurs arguments militent en faveur de l’utilisation de textes documentaires commesupports d’activités ou d’évaluation, qu’ils soient issus de l’histoire de notre discipline(articles de revues, scientifiques ou non, sites Internet), voire du roman, du théâtre oude la poésie. L’apprentissage d’une gestion rationnelle de la masse d’informationsdisponibles à notre époque, une certaine connaissance de la façon dont la scienceélabore le savoir, une première approche de l’histoire de la discipline : autant dedimensions qui doivent accompagner la pratique des disciplines scientifiques tout enoffrant une réflexion sur leur sens.

Informations et connaissances

Le volume du savoir, en sciences, s’accroît à une vitesse considérable. On estime qu’enbiologie, par exemple, ce volume double tous les cinq ans

1

. Parallèlement, l’intervallede temps séparant les découvertes de leurs applications industrielles se raccourcit, sibien que les

effets

de la science parcourent et transforment la société avant que ladimension culturelle de la science, ce que celle-ci nous dit des rapports de l’hommeavec la nature et des moyens qu’elle invente pour transformer ces rapports, ait le tempsde pénétrer la culture tout court. L’émergence récente de comités d’éthique diverstémoigne de la nécessité de prendre en charge la réflexion sur cet écart entre la scienceet ses effets, et tenter de le traiter.Les innombrables effets de la science sont à la source d’une masse gigantesque d’

infor-mations

de tous ordres, depuis la publicité jusqu’à la vulgarisation scientifique, tandisque la science demeure toujours la source des

connaissances et des savoirs

de l’époque.Une information est donnée ou reçue, tandis que le savoir s’acquiert et conduit à lamaîtrise d’un champ de la connaissance, aussi modeste soit-il. Ce couple information/connaissance pose à l’école un problème plus aigu que par le passé, lorsqu’elle cons-tituait le lieu privilégié où les élèves trouvaient des informations et où ils constituaientleurs savoirs. Il est clair que l’école n’est plus le seul, ni même le principal canal parlequel circulent les informations. Nous baignons ainsi que nos élèves dans un monded’informations de plus en plus abondantes et toujours plus facilement accessibles.Savoir trier, sélectionner, évaluer, hiérarchiser ces informations en fonction desconnaissances acquises deviennent autant de conditions de leur utilisation rationnelle,et l’école se doit de contribuer à la maîtrise de ces compétences. La pratique de l’étudede textes divers peut être un outil efficace pour cet objectif.

Comment la science construit le savoir

L’enseignement des sciences ne se limite pas à une transmission de contenus. Il s’agitégalement d’illustrer, à travers chaque séquence d’enseignement,

comment

la scienceinterroge la nature, quels sont les protocoles théoriques et expérimentaux qu’elle meten place pour valider les réponses obtenues. Savoir élaborer un modèle relatif à unphénomène et le confronter à des résultats expérimentaux est au cœur de la discipline,et la valeur de la démarche s’étend à bien d’autres domaines de la connaissance. Lesprogrammes de sciences physiques proposent aux élèves des activités qui tendent àleur apprendre à se former une opinion argumentée, à porter un regard critique, à oserdéfendre une hypothèse et imaginer des protocoles pour la tester, etc. L’étude detextes, quelle que soit leur origine, actuelle ou passée, peut aussi être une excellenteoccasion pour analyser comment procède la science.

1. Giordan A.,

Apprendre

, Belin, 1998, p. 247.

Cette annexe propose une série de points de vue sur l’enseignement de la physique-chimie en classe terminale scientifique. Ils apparaissent sur le cédérom d’accompa-gnement sous la rubrique « Textes généraux pour l’enseignant ».

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On peut penser que faire comprendre comment la science « fabrique » du savoir nefait pas partie de la mission de l’enseignant de science et que ce champ de la connais-sance doit être laissé à la philosophie. L’initiation des futurs enseignants de sciencesphysiques à l’épistémologie et à l’histoire des sciences ne fait que commencer. À défautde telles approches, l’image de la science auprès des futurs enseignants est bienpauvre : « La science découle des faits et données empiriques, considérés comme desdescriptions neutres de situations objectives, existant en dehors de tout cadrethéorique

2

. » « Nous sommes donc face à des étudiants dont la vision de la sciences’apparente au positivisme empirique… Leur « science » est une science d’observa-tion, expérimentale, rigoureuse, objective : elle valide peu, elle ne met jamais en doute,elle ne connaît ni erreur ni limite

3

. » La façon dont un scientifique rend compte de sesdécouvertes peut être, de ce point de vue, très éclairante. Lorsqu’un chercheur publiele résultat de ses travaux, c’est sous la forme la plus élaborée, la plus achevée possible.Les hésitations, les fausses pistes, les erreurs, les brouillons n’ont pas leur place danscette présentation, qui vise à la transmission la plus universelle possible. Mais s’il s’agitde transmettre à un public plus large ce qu’est le quotidien de l’activité scientifique,de lui restituer sa dimension humaine, il n’est pas possible de se contenter de la relationdes succès. Si la science constituée est faite de « réponses », la recherche vivante estfaite de « questions ». Le chercheur est constamment confronté à un savoir qui, aussilarge soit-il, est insuffisant, ou n’est pas le bon, puisqu’il ne lui permet pas de répondreà la question qu’il se pose. L’instant de la résolution est en général bref (mais intense !)au regard du temps de la recherche et une réponse trouvée amène une nouvelle ques-tion qui relance le processus. L’ouvrage bien connu de James Watson,

La DoubleHélice

, montre tout ce que la relation de cette situation existentielle, lorsqu’elle estréussie, peut ajouter à la compréhension du développement d’un sujet… Dans son« Éloge des théories fausses », Jean-Marc Lévy-Leblond indique pour sa part : « Letravail scientifique réel consiste pour sa majeure partie en un examen d’hypothèses quise révèlent fausses… L’enseignement scientifique ne peut contribuer, comme il leprétend, à la formation de l’esprit critique que s’il favorise la critique dans la scienceelle-même et lui offre donc des cibles pertinentes

4

. »

La science dans l’histoire et la société

Le caractère cumulatif des sciences dites « dures » implique qu’elles procèdent àl’actualisation permanente des connaissances qu’elles produisent. L’ancien est sanscesse réinterprété à la lumière du nouveau, et une discipline relativement jeune commela biologie se présente assez différemment à vingt ans d’intervalle. Au cours de ceprocessus de mise à jour et d’épuration des connaissances, c’est l’

histoire

de la disci-pline qui est intégrée, digérée, incorporée, et une discipline scientifique peut ainsitoujours, du point de vue technique, s’enseigner

au présent

. Il n’est pas

nécessaire

de

2. Roletto E., Cros D. et Lefranc B., « La nature de la science : conceptions d’enseignants et de futurs

enseignants », in

Que savons-nous des savoirs scientifiques et techniques?

, actes des XVII

e

journées

de Chamonix, 27-31 mars 1995, p. 41.

3. Berthou-Geydan G. et Favre D. , « Les attitudes cognitives de la démarche scientifique sont-elles

compatibles avec les représentations majoritaires actuelles de la science? », in

Que savons-nous des

savoirs scientifiques et techniques?

,

ibid.

, p. 319.

4. Lévy-Leblond J.-M., « Éloge des théories fausses », in

L’Esprit de sel

,

Seuil, 1996, coll. « Point

Sciences ». On remarquera que, dans le

Bulletin officiel

de juin 2000, le texte qui annonce un plan de

rénovation des sciences à l’école primaire assigne aux maîtres comme un des objectifs de l’enseigne-

ment des sciences l’apprentissage du doute. Faut-il aller dans ce sens jusqu’à l’éloge de l’erreur de

calcul ou de raisonnement? On ignore souvent que Galilée a produit dans sa jeunesse plusieurs

versions de la démonstration du théorème de la poussée d’Archimède comportant une grossière erreur

de raisonnement sur le volume de fluide déplacé; comme il connaissait le résultat auquel il désirait

aboutir, une seconde erreur vint rattraper la première…

De l’usage des textes documentaires… (annexe)

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passer par l’histoire de l’élaboration des principes de la mécanique au

XVIIe

siècle pourl’enseigner; il faut probablement éviter de faire repasser les étudiants et les élèves parles modèles mécaniques du champ magnétique et électrique dont Maxwell s’est servi;enseigner la thermodynamique dans l’ordre historique compliquerait bien la tâche desélèves et des enseignants : les processus irréversibles en premier (Fourier et la conduc-tion de la chaleur), puis second principe (avec Carnot d’abord, puis Kelvin et Clausiustrente ans plus tard), puis premier principe (avec Mayer, Joule et Clausius).Pourtant, s’il s’agit de restituer la science comme une aventure humaine, une premièreapproche, au lycée, de ce qu’est le

débat scientifique

est indispensable et permet derestituer la dimension historique de la science. Si Galilée écrit ses ouvrages en italienet non en latin, sous la forme de dialogues plutôt que sous la forme de traités, c’estparce qu’il entend placer la

controverse

au centre de la constitution de la sciencenouvelle

5

. La constitution des sociétés savantes au cours du

XVIIe

siècle eurent pourfonction première de constituer un

public

témoin des démonstrations d’expériencesintéressantes et d’assurer la communication des résultats à travers l’Europe. La librecirculation et la confrontation publique des idées sont demeurées, depuis, le modeprivilégié par lequel la connaissance scientifique progresse, qu’il s’agisse de séminaires,de conférences, d’articles de revues, d’ouvrages de vulgarisation

6

.La controverse scientifique a pris récemment une nouvelle dimension, sociale cettefois. Le développement scientifique ne procède évidemment pas de la seule logiqueinterne des disciplines et beaucoup a été écrit notamment sur les liens entre le finan-cement des sciences et les besoins du « complexe militaro-industriel », notammentdans la période de la Guerre froide. Plus récemment, apparaissent de plus en plusfréquemment des questions de société dans lesquelles la science est directement impli-quée. Les scientifiques sont ainsi de plus en plus souvent sollicités dans des fonctionsd’

expertise

, laquelle se trouve être une pratique de la science, entre savoir et décision,assez différente de celle du laboratoire

7

. Au laboratoire, le chercheur est maître, dansune certaine mesure, du système qu’il étudie. Il en contrôle les paramètres, les condi-tions d’étude, les techniques d’investigations, etc. Dans une fonction d’expertise, cen’est généralement plus le cas. Lorsqu’un conseil général demande une expertise surl’eau de la rivière voisine, lorsque la société s’interroge sur les effets à long terme del’introduction dans certains organismes de modifications génétiques, ou sur les effetsde l’activité propres aux sociétés les plus développées économiquement sur le réchauf-fement possible de la planète, l’expert (les experts, faudrait-il dire) est placé en situa-tion de se prononcer sur des systèmes dont il ne maîtrise pas, ou mal, un certainnombre de paramètres. L’expert rend donc un avis caractérisé par une part inévitabled’

incertain

,

voire d’aléatoire, qui doit nécessairement donner lieu à controversepublique et débat contradictoire, et les décisions, qui engagent la population dans sonensemble,

doivent

être prises dans ce contexte d’incertitude.Dans cette perspective, la lecture et l’étude de textes qui donnent à voir la sciencecomme une construction sociale vivante peut contribuer non seulement à motiver lesélèves, mais aussi à donner chair à une culture dont la science serait partie prenante.Pourtant, on peut s’appuyer sur les arguments développés précédemment et proposerla mise en activité des élèves autour de documents écrits afin de poser des questionsqui se donnent des objectifs :

5. Son

Discours sur les corps flottants

, publié en 1612, a été réédité de son vivant tant les polémiques

à son sujet ont été vives!

6. Même dans un contexte aussi extrême que celui de la fabrication de la bombe pendant la seconde

guerre mondiale aux États-Unis, scientifiques et militaires se sont opposés quant à la libre circulation

des idées entre les différents centres impliqués, les premiers répondant aux craintes de fuite des seconds

que l’absence d’échanges et de confrontations entre chercheurs serait bien plus préjudiciable à la réali-

sation du projet que l’éventuelle transmission d’informations à l’ennemi.

7. Roqueplo P.,

Entre savoir et décision, l’expertise scientifique

, INRA éditions,

1997.

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Les quelques propositions qui suivent correspondent au programme de physique determinale. Elles ne prétendent pas à être exhaustives, ni à se donner comme modèle.Elles seront prises comme de simples exemples. Le plus important, dans ces exemples,est sûrement constitué par les suggestions d’exploitation ; chacun saura adapter le ques-tionnement des élèves au contexte de sa classe et aux objectifs qu’il entend poursuivre.

Objectifs d’ordre didactique

comme :

Textes, questions proposés

Motiver T 2 (Q 4), T 6, T 7

Chercher à repérer les obstacles cognitifs T 2 (Q 2)

Changer le statut de l’erreur pour en faire le moteur de la connaissance T 4 (Q 5)

Mener une « archéologie » des concepts et des terminologies T 1 (Q 5, 6)

Reconstituer des expériences et des objets scientifiques importants T 3, T 4

Initier l’élève aux activités documentaires T 1, (Q 1), T 7 (Q 2, 5, 6)

Pallier à l’impossibilité d’une véritable activité de recherche T 3

Initier à la démarche scientifique T 1 (Q 6)

Objectifs d’ordre culturel

comme :

Textes, questions proposés

Les rapports entre la science, la technique et la société T 5, T 6, T 7

L’influence des idéologies, de la politique, de l’économie T 3 (Q 3)

Le rôle des scientifiques dans la société et les problèmes d’éthique

La science comme une aventure humaine, une approche du monde parmi d’autres T 5

L’importance des ruptures dans l’histoire des sciences

Le rôle des controverses T 1 (Q 3, 4)

L’histoire d’un concept mort ou vivant

La vision que les scientifiques portent sur le « réel », la « vérité », leurs « pratiques », les « modèles »

T 1 (Q 2), T 2 (Q 3), T 4 (Q 2)

De la simulation… (annexe)

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De la simulation… dans/pour l’enseignement de la physique (TG2)

Que ce soit en électronique des circuits, en mécanique des fluides ou en cosmologie, lasimulation numérique sur ordinateur a depuis longtemps acquis ses lettres de noblesse.Son utilisation dans l’enseignement, secondaire en particulier, n’est pas non plus uneidée nouvelle

8

mais reste source de controverse. Parmi les arguments à son encontre,ceux de voir la simulation remplacer l’expérience et de voir les élèves confondre réel etvirtuel, sont les plus souvent cités. Quant aux arguments favorables, ils se limitent sou-vent à l’évocation de cas où la situation serait irréalisable. Nous voulons ici montrerque les enjeux et les risques associés à l’utilisation de la simulation dans l’enseignementde la physique au lycée ne sont pas ceux qui viennent d’être évoqués et que les poten-tialités en termes d’activités des élèves sont particulièrement riches. Ce texte vise à mettreen avant quelques éléments de réflexion et à attirer l’attention sur des points délicats.

Simulation support d’activités scientifiques

Modélisation et expérimentation sur modèle

Si l’on considère que l’activité du physicien, et par là même le souci de l’enseignant dephysique, est de mettre en relation les théories et modèles avec le monde réel, alors ladistinction de ces deux « mondes » doit être admise. Dès lors, tout comme l’expérienceest là pour répondre à la question : « Que dit le réel? », la simulation est l’un desmoyens pour répondre à la question duale dans le champ théorique : « Que dit lathéorie? » De même que, pour un élève, la manipulation des objets et instruments peutêtre propice aux apprentissages, la « manipulation des modèles » grâce à la simulationpeut l’être tout autant

9

.Ceci sous-entend que ce que nous considérons ici sous le terme « simulation » fait réfé-rence à des utilisations transposées de la physique et non à l’utilisation du mot dansson sens courant, « faire semblant ». En d’autres termes, si dans le langage courant,« simuler » c’est faire apparaître un effet sans aucune cause (simuler la maladie, parexemple), la simulation scientifique traduit en fait

la substitution du réel par unmodèle

.

Le lien avec le modèle est donc constitutif de la simulation.

Sont donc horsde notre propos certaines animations purement figuratives d’objets ou de phénomènes(spectres « de limaille de fer » au voisinage d’un fil parcouru par un courant, ampoulequi « brille » à la fermeture d’un interrupteur, etc.). Par nature, les questions auxquelles on essaie de répondre grâce à la simulation sontdonc d’abord théoriques. Théoriques, parce que, en regard du réel, elles se formulenten termes de « quel modèle permet d’interpréter tel phénomène », mais aussi parceque la simulation ouvre sur des questions d’origine non expérimentale : la question dela charge d’un condensateur dans un circuit purement résistif ou celle de sa déchargedans un circuit comportant une inductance, peuvent en effet être posées d’abord d’unpoint de vue théorique

10

. De façon générale, on peut considérer trois niveaux d’exten-sion complémentaires dans les

activités qui peuvent être proposées aux élèves

.

Premier niveau : la modélisation

Nous voulons désigner ici l’activité d’élaboration-construction d’un modèle« physique

11

». Avec de nombreux logiciels, il est en effet possible, partant d’une

8. Les premiers travaux sur l’introduction de l’ordinateur dans l’enseignement des sciences physiques,

au début des années 1980, portaient précisément sur cet aspect.

9. Bien évidemment, l’efficacité en termes d’apprentissage est fortement dépendante des guidages mis

en place par l’enseignant, mais cette remarque s’applique également aux activités « sur paillasse ».

10. Voir l’exemple correspondant sur le cédérom d’accompagnement : « Activités sur modèle : un

exemple en électrocinétique ».

11. « Modélisation » n’a donc pas le sens utilisé en ATIDEX (acquisition et traitement informatique

de données expérimentales) où le terme désigne la recherche d’une expression mathématique descrip-

tive de mesures.

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« page vide », de construire par association d’objets un système mécanique (pendulepesant, système à deux corps, etc.), un dispositif optique (lunette de Galilée, télescope,doublets, etc.) ou encore un circuit électronique (montage amplificateur avec AO,circuit RLC, etc.).

La caractéristique de l’activité réside alors dans les questions dechoix des propriétés des objets et de leurs relations

:

choix d’un pendule simple (ounon) et des forces de frottement, choix de modèles de lentilles (minces ou non), choixde modéliser un circuit par des composants « parfaits », etc. Indiquons ici que leguidage doit être cohérent et permettre l’exercice d’un choix pour l’élève (il n’est doncpas une succession de consignes de manipulation du logiciel).

Deuxième niveau : la manipulation de modèle

Nous voulons ici désigner l’activité sans doute la plus courante : le modèle est expli-cité, sa mise en fonctionnement est programmée et l’activité vise l’obtention de résul-tats (numériques ou graphiques) fournis par le modèle, avec lesquels il convient de sefamiliariser. Ainsi, par exemple, l’équation générale de la trajectoire parabolique d’unobjet dans le champ de pesanteur peut donner lieu à des activités où l’on modifiera lesparamètres initiaux pour étudier l’altitude, les variations d’énergie, etc. De même, àun niveau supérieur, la modélisation des interférences à l’infini par

N

sources conduità une expression mathématique explicite qui peut être manipulée pour voir l’effet dela valeur de

N

. De même encore, l’association de résistances en réseau

R-2R

peut-elleêtre étudiée au niveau du modèle.

Troisième niveau : l’investigation de modèle ou l’expérimentation sur modèle

On peut en effet aller au-delà de la situation décrite précédemment : la mise en fonc-tionnement du modèle

via

le logiciel permet d’en explorer les propriétés, mais passeulement celles « préprogrammées », mais aussi

celles qui en découlent

. Un modèlemicroscopique (modèle particulaire avec interactions plus ou moins complexes) peutêtre programmé, mais l’activité vise l’étude de propriétés macroscopiques (pression,volume et température

12

). De même, la programmation d’une simulation reposant surles équations différentielles locales (dans l’espace et dans le temps) conduit à descalculs de positions et vitesses qui ne « contiennent » pas les intégrales dumouvement : vérifier alors que la trajectoire est une ellipse et que T

2

/a

3

est une cons-tante nécessite le relevé de valeurs puis quelques calculs spécifiques… Il s’agit-là d’uneactivité scientifique, où « mesures sur modèle » et calculs peuvent être nécessaires àl’analyse

13

. Notons qu’il y a lieu ici d’être vigilant sur la cohérence

entre l’activité etle fonctionnement du logiciel : quel sens y aurait-il, par exemple, à faire découvrir laconservation de la quantité de mouvement et de l’énergie sur une appliquette simulantun choc par application même de ces lois, à découvrir le principe d’inertie avec unlogiciel fondé sur la résolution numérique de la seconde loi de Newton ou à rechercherune relation entre angles d’incidence et de réfraction à l’aide d’un programme dont lescalculs utilisent les lois de Descartes?Remarquons ici que, si une activité de modélisation peut conduire à l’élaboration d’unmodèle qui fera l’objet ensuite d’une activité de manipulation ou d’investigation, ellepeut aussi être menée de façon indépendante : les objectifs de l’activité peuvent porterprécisément sur les activités d’invention, de choix, de test d’hypothèse, sans que« l’objet » final constitue en soi un objet d’apprentissage. La situation n’est pas diffé-rente d’activités sur paillasse où la réalisation d’une série de mesures peut avoir pour

but

la détermination d’une grandeur, alors que les

objectifs

d’apprentissage concernentla méthode. De même, la manipulation d’un modèle peut être proposée sans que l’étaped’élaboration « informatique » n’ait été confiée aux élèves et peut ne pas conduire àune recherche de nouvelles propriétés : l’objectif peut être l’aide à la mémorisation ouà l’élaboration de représentations mentales. Nous y reviendrons dans la suite.

12. Ceci sous-entend que ces grandeurs sont définies et ce de façon à être reliées au modèle microscopique.

13. L’exploration peut ne pas se limiter à l’étude de cas « standards » : l’application de lois de forces

imaginaires permet de montrer les paramètres qui président aux différentes propriétés des

mouvements; de même l’augmentation de la constante de gravitation peut-elle permettre de mieux

comprendre certains effets.


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Ne pas confondre la réalité, le modèle et… son implantation informatique

Il est donc clair que la manipulation d’un système simulé n’est que la manipulation dumodèle et rien d’autre. « Lancer un objet » dans une simulation en mécanique, c’est enfait manipuler le théorème du centre d’inertie (au moins), « faire passer un rayon dansun prisme », c’est manipuler les lois de Descartes, « étudier le courant dans un circuitcomposé de deux résistances », c’est explorer les conséquences de la loi d’Ohm, etc.

14

Encore faut-il le bien faire comprendre aux élèves. Ainsi, la première condition requiseest-elle

d’informer les élèves du modèle qui est mis en fonctionnement

. Ceci requiertque la documentation scientifique du logiciel soit suffisante, une explicitation complètedu modèle étant évidemment la situation la meilleure. Ainsi, en classe terminale scienti-fique, les lois de la mécanique sont connues et l’on peut, avec certains logiciels, bienmontrer qu’elles fondent la simulation. Si le modèle s’avère être trop complexe pour lesélèves, il convient néanmoins de leur faire comprendre ce qui est à la base, quels sont lesparamètres sur lesquels on joue. En l’absence d’un minimum d’information, les élèvespourraient ne pas savoir ce qu’ils sont en train de faire : le jeu sur les valeurs initialesd’un mouvement entraînant la modification du tracé de la trajectoire calculée point parpoint par une intégration numérique des équations différentielles du mouvement,pourrait-il ne pas être interprété comme l’application du théorème du centre d’inertie,mais simplement perçu comme un résultat purement cinématique (paramétrage des loishoraires

y

(

t

) et

x

(

t

)), comme une modification de l’équation de la trajectoire (

y

(

x

)) ouencore comme le tracé d’un faisceau de courbes purement mathématiques

15

.En second lieu, il faut également avoir à l’esprit que, si l’on manipule les représenta-tions symboliques et les valeurs des paramètres, ce n’est pas directement le modèlephysico-mathématique qui pilote les simulations et représentations sur l’écran, mais

son implémentation informatique

. La discrétisation des calculs et l’évidente limite deprécision qui en résulte peut ne pas être sans influence sur les résultats que l’on obtient.En d’autres termes

si, dans tous les cas

,

on obtient bien les résultats des calculs, il fauts’assurer que ce sont bien ceux du modèle

… L’explicitation de méthodes de calcul, aumoins dans leur principe, est donc aussi nécessaire. Ainsi, la présentation de laméthode d’Euler est-elle requise (celle-ci devant, de plus, contribuer à donner du sensaux équations différentielles) et la question du choix de la méthode ou du pas du calculpeut-elle être abordée si besoin. L’obtention de trajectoires non fermées dans unchamp newtonien, d’une énergie mécanique croissante au cours du mouvement d’unoscillateur ou l’observation d’un objet semblant passer à travers une paroi ne sont eneffet pas impossibles avec des paramètres de calcul mal choisis… En d’autres termes,dire que la simulation est en liaison étroite avec la modélisation théorique, c’est direégalement qu’elle n’est ni le modèle, ni la théorie.La question de la

validation de la simulation

apparaît alors comme cruciale (c’estd’ailleurs la question centrale des travaux de recherche sur les méthodes numériqueset leurs applications à la modélisation de systèmes complexes). Cette validation doiten principe être faite en référence à la théorie « pure » (résolution analytique, parexemple) ou à l’expérience, mais, notamment dans l’enseignement secondaire, l’expé-rience n’est parfois pas réalisable (amplificateur non idéal, frottements non nuls, duréetrop longue, etc.) et le calcul théorique inaccessible aux élèves… On voit alors que lavalidation du résultat peut ne reposer que sur deux éléments : la confiance faite aulogiciel et l’autorité de l’enseignant qui validera les résultats obtenus

16

… Il y a doncun intérêt à proposer

des activités initiales de prise en main du logiciel où le bonfonctionnement est alors constaté sur des cas connus

.

14. On remarquera à ce propos que les

représentations figuratives

proposées par certains logiciels

(dessins réalistes de composants électriques, images photographiques d’instruments, accompagne-

ments sonores de simulations de mouvements, etc.), tout en étant une source de motivation évidente,

peuvent précisément constituer un piège…

15. Le risque à la clé étant de laisser croire que, pour paraphraser des commentaires d’élèves et

d’étudiants, « de toutes façons, la solution est déjà dans le logiciel ».

16. Ces deux cas de figure sont « classiques » dans l’enseignement.

66


AN

NEX

E

La simulation comme instrument de représentation

La source de représentations mentales

Avec les environnements actuels de simulation, l’activité de l’élève s’appuie directementsur l’obtention de représentations graphiques : schématisation-symbolisation de systè-mes, obtentions de visualisations-animations de phénomènes, obtention de courbes devariations de grandeurs, etc. Le premier impact que l’on peut évoquer à ce propos estcelui de l’aide à la construction de représentations mentales par l’élève. Les exemplessont nombreux et variés.Ainsi, en optique géométrique, le bon positionnement de lentilles sur une paillassenécessite de se représenter le faisceau lumineux et ses transformations. La possibilité detracer des représentations de nombreux rayons et de faisceaux, et de les modifier defaçon « interactive », permet une observation attentive et détaillée du comportementdu modèle, et la mémorisation des principales propriétés géométriques. Sur le plan deconnaissances plus théoriques, ces mêmes environnements de simulation permettent devisualiser, par exemple, les notions de champ d’une lunette, de cercle oculaire ou encorele stigmatisme approché de lentilles modélisées par deux dioptres sphériques.L’exemple ci-dessus évoque le cas d’objets que l’élève manipule par ailleurs : objet maté-riel macroscopique (la lentille), objet théorique représentable sur une feuille (le rayon).Mais la puissance de la simulation réside aussi dans l’étendue des visualisationspossibles : étendue du point de vue des échelles (on peut représenter des phénomènes quise situent à l’échelle microscopique ou à celle de l’univers), étendue du point de vue de ladimension temporelle (simulation d’évolutions temporelles et ce, là encore, à des échel-les qui peuvent être très différentes). Citons à titre d’exemple l’application de modèlesparticulaires : la simulation de l’agitation des particules et de leurs chocs sur les paroispermet de visualiser la traduction d’une variation de température ou de volume. Le jeusur les masses des particules permet d’étudier des situations de diffusion de deux gaz ou,plus marquant encore, de visualiser l’effet de l’agitation de particules légères et nom-breuses sur des particules dix fois ou cent fois plus massives : le mouvement brownien…

La mise en relation des représentations

Le jeu des représentations évoqué ci-dessus peut également être considéré comme unenjeu didactique. On peut en effet considérer que, en référence à l’expert qui passesans difficulté d’une propriété mathématique à sa représentation graphique et satraduction en langage naturel, des activités fondées sur

la mise en relation des diffé-rents modes de représentation

peuvent contribuer à une meilleure compréhension etstructuration des connaissances chez l’élève. On cherchera donc à élaborer des guidesd’activité articulant les différents « registres » de représentation :

langage naturel

(énoncé verbal de lois, théorèmes, propriétés),

formalisme mathématique

(expressionsphysico-mathématiques),

représentations figuratives

(illustrations),

représentationssymboliques

(schémas),

valeurs numériques

(tableaux de valeurs, constantes),

courbeset graphiques

(représentations graphiques de mesures, de propriétés, etc.)

17

.

À titre de conclusion

La simulation numérique apparaîtrait donc comme l’instrument permettant des acti-vités de manipulation de modèles, ainsi concrétisés, dont on peut faire l’hypothèsequ’elles sont favorables à l’acquisition de connaissances théoriques.Le premier intérêt de ces activités de simulation est en fait très général et de mêmenature que celui des activités expérimentales « sur paillasse » : les élèves sont actifs,c’est-à-dire acteurs et donc intellectuellement impliqués. Mais ceci n’est pas pour autant« automatique » : l’implication de l’élève, le travail d’évocation des théories et modèlesdoivent être suscités par une planification spécifique de l’activité par l’enseignant.

17. Voir conférence lors du séminaire national TICE et sciences physiques, Bordeaux, 2000.


67

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E

Pour ce qui concerne les aspects plus spécifiques, on peut tenter de résumer un certainnombre de conditions pour une intégration de la simulation dans la panoplie des outilsd’investigation scientifique comme suit :– Considérer les environnements de simulation comme un domaine distinct des plansthéorique et empirique : l’activité y a donc un statut spécifique.– Utiliser un tel outil en fonction des éléments de physique requis pour l’intelligibilitédu modèle : les conditions doivent faire partie des connaissances des élèves.– Bien expliciter le modèle qui est utilisé et s’assurer que les étudiants en ont biencompris la nature et le mode de prise en compte dans le logiciel.– Penser à une appropriation-familiarisation par la pratique : il doit être utilisé au plustôt, si possible dès le début des activités sur un domaine, et son utilisation doit passerpar l’exploration sur des cas connus des élèves ou étudiants.– Donner les informations sur le fonctionnement du modèle « informatisé » et, sibesoin, donner les explications relatives au principe de programmation de la résolu-tion des équations.

Pour aller plus loin…

Les utilisations de la simulation dans l’enseignement de la physique-chimie, et plus géné-ralement celle des méthodes numériques, ont donné lieu à de nombreuses publications,sous forme d’ouvrages, d’articles de revues d’actes de colloques ou encore de dossiers élec-troniques accessibles

via

Internet. Nous donnons ci-dessous une première série de référen-ces aisément accessibles, dont la plupart contiennent des références complémentaires.

Bibliographie

Livres

– B

EAUFILS

D., J

OURNEAUX

R.,

Physique et informatique

, Versailles, CRDP-CARFI,1990.– B

EAUFILS

D., R

ICHOUX

H.,

Intégration de l’ordinateur outil d’investigation scienti-fique dans l’enseignement des sciences physiques au lycée

, INRP, coll. « Document ettravaux de recherche en éducation, n° 20 », 1996.– D

EPONDT

Ph.,

Physique numérique. Le calcul numérique sur ordinateur au servicede la physique : une introduction

, Vuibert, 1998.– G

IRAULT

B.,

Des clés pour l’électronique. Travaux dirigés illustrés par simulation

,Ellipses, 1998.– INRP-UdP,

Les Outils informatiques d’investigation scientifique dans l’enseigne-ment des sciences physiques

, INRP-UdP, 1995.–

Intégration d’outils informatiques dans l’enseignement des disciplines : physique-chimie

, Caen, CRDP, 1998.

Articles

– B

UTY

C., G

AIDIOZ

P., « Formation optique des images : modélisation informatiqueet expériences de physique », in

Actes des VIII

e

journées nationales Informatique etPédagogie des sciences physiques

, UdP-INRP, 1998, p. 171-174.– D

URANDEAU

J.-P., S

ARMANT

J.-P., « De l’expérience à la simulation », in Actes desVIIe journées nationales Informatique et Pédagogie des sciences physiques, UdP-INRP, 1996, p. 25-32.– JOUBERT R., REBMANN G., « L’atelier-schéma d’optique géométrique : un micro-monde et son environnement d’apprentissage », in Actes des VIIIe journées nationalesInformatique et Pédagogie des sciences physiques, UdP-INRP, 1998, p. 183-186.– MEHEUT M., « Enseignement d’un modèle particulaire cinétique de gaz au collège.Questionnement et simulation », Didaskalia, 1996, n° 8.– MILOT M.-C. (coord.), « De nouveaux outils supports de modélisation et desimulation : Stella, Interactive Physique », in Actes des VIIIe journées nationalesInformatique et Pédagogie des sciences physiques, UdP-INRP, 1998, p. 75-84.

68 Physique – Classe terminale scientifique

AN

NEX

E InternetÉducnet :– liste de logiciels de simulation RIP : www.educnet.education.fr/phy/logiciel/simul.htm– PNF, « Apport de la simulation dans les apprentissages expérimentaux » :www.educnet.education.fr/phy/simulation/intropnf.htm– PNF, « Intégration des technologies de l’information et de la communication enphysique-chimie et mathématiques : approche interdisciplinaire » : www.educnet. education.fr/pnf/lyon98/

Éduscol :– L’enseignement des mathématiques en liaison avec les autres sciences (J. Treiner) :www.eduscol.education.fr/D0030/k0d02x.htm– Les TIC dans les nouveaux programmes de sciences physiques (J. Treiner) :www.eduscol.education.fr/D0030/k0d01x.htm– Théorie, modèle et approximation en physique (J. Treiner) : www.eduscol.education.fr/D0030/k0d05x.htm

INRP-TECNE :– Utilisation de la simulation dans l’enseignement de la physique et de la chimie etdifférents exemples de logiciels (mécanique et optique, notamment) : www.inrp.fr/Tecne/Acexosp/Actsimul/Introsim.htm– Exposé sur la simulation dans l’enseignement de la physique : www.inrp.fr/Tecne/Savoirplus/Rech40123/simulation/intro.htm

Séminaire TICE et sciences physiques, IUFM de Bordeaux :– Les TIC dans les nouveaux programmes de sciences physiques (J. Treiner) :www.aquitaine.iufm.fr/fr/14-actualite/01-seminaires/03-scphy/gtd/treiner.pdf– Des logiciels de simulation pour modéliser et expérimenter sur modèle : quels enjeuxpour les apprentissages? (D. Beaufils) : www.aquitaine.iufm.fr/fr/14-actualite/01-seminaires/03-scphy/

À propos de la méthode d’Euler (annexe) 69

AN

NEX

EÀ propos de la méthode d’Euler (TG3)

Le programme de classe terminale scientifique inclut la présentation d’une méthodesimple de traitement numérique d’équations différentielles : la méthode d’Euler. Nousproposons ici quelques éléments de réflexion sur l’intérêt de ce type de méthodes, tantdu point de vue du scientifique que de celui de l’enseignement, et quelques informationstechniques illustrées par l’utilisation d’un tableur.

Initiation aux méthodes numériques en physiqueExprimé dans la langue naturelle, le déterminisme appliqué à un système physiquepeut se formuler ainsi : l’état du système à un instant donné dépend de son état àl’instant antérieur et des actions qui s’exercent sur lui.L’expression mathématique de ce déterminisme, dans le cadre du programme determinale scientifique, c’est l’ensemble constitué par une équation d’évolution, c’est-à-dire une équation différentielle, et les conditions initiales.Ces notions sont nouvelles pour les élèves, de même que la notion d’état. En réalité,comme on va le voir, c’est le cadre théorique dans lequel on travaille qui détermine cequ’est un état. Cette mise en place du déterminisme date de l’élaboration des lois dela mécanique par Newton. Elle se généralise à d’autres évolutions temporelles(systèmes électriques, décroissances radioactives).La méthode d’Euler est, dans son principe, une méthode générale de résolution d’équa-tions différentielles. Elle constitue un outil particulièrement intéressant pour concré-tiser les différentes notions en jeu et leur donner du sens. En outre, c’est la méthode laplus simple pour obtenir une solution approchée de l’équation d’évolution, pourlaquelle il n’existe en général pas de solution analytique, c’est-à-dire s’exprimant àl’aide de fonctions simples. La qualité de l’approximation doit évidemment êtrediscutée à chaque fois.

Le principe de la méthode consiste à travailler avec des différences finies. Ainsi, dansle cas de l’équation de la dynamique appliquée à un objet de masse M, de taille négli-geable, se déplaçant sur une droite x’x et soumis à une force portée par cette droite onécrit : fx = Max, où fx est une fonction connue de la coordonnée x et ax désigne ladérivée de la vitesse, ax = dvx/dt.

La méthode d’Euler, appliquée à ce problème, consiste à remplacer cette équation parle couple d’équations dites « aux différences finies » :

fx = M∆vx/∆t, vx = ∆x/∆t,

où l’intervalle de temps ∆t est « petit » en un sens qu’il faut préciser, compte tenu dela précision demandée.Si l’on connaît la position et la vitesse à l’instant t, on progresse dans le temps enchoisissant un pas en temps ∆t et en calculant de façon itérative les quantités :

∆vx = fx∆t/M, ∆x = vx∆t,

qui permettent de déterminer la nouvelle vitesse et la position à l’instant t + ∆t :vx(t + ∆t) = vx(t) + ∆vx, x(t + ∆t) = x(t) + ∆x, et ainsi de suite de proche en proche.

On voit bien, dans la mise en œuvre pratique de la méthode, qu’on ne peut progresserque si l’on connaît position et vitesse à l’instant t. Dans ce cas, l’état du système estdéfini par ce couple (position, vitesse). L’action, c’est la force. À chaque instant,position et vitesse jouent le rôle de conditions initiales, mais il suffit de se les donnerune seule fois, à l’instant initial, pour que la progression temporelle soit calculable àtout instant ultérieur. Le principe de la méthode se généralise immédiatement à deuxdimensions (mouvement de projectile, trajectoire de planète). Dans ce cas, lesconditions initiales sont constituées de quatre nombres (deux coordonnées de posi-tion, deux coordonnées de vitesse). L’équation de la dynamique, projetée sur deuxaxes de coordonnées, donne deux équations différentielles.

En cohérence avec les notations utilisées en cours de mathématiques, l’indice 1 déno-tera la composante sur l’axe x’x, l’indice 2 la composante sur l’axe y’y.


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NEX

E La méthode d’Euler consiste à progresser en calculant pas à pas positions et vitesses :∆v1 = f1 ∆t/M. ∆v2 = f2 ∆t/M.∆x = v1 ∆t. ∆x = v2 ∆t.

Remarquons que dans le cas d’équations différentielles du premier ordre, il suffit de sedonner une seule condition initiale. L’état du système sera donc défini par la donnée dela valeur d’une seule grandeur. Ce sera le cas dans l’étude d’une désintégration radioac-tive ou dans celle de circuits électriques simples.Nous allons à présent considérer plusieurs exemples concrets et mettre en œuvre laméthode à l’aide d’un tableur. Les exemples traités ici impliquent des équations diffé-rentielles du premier ordre. D’autres exemples sont donnés dans le document d’accom-pagnement de physique, en liaison avec la chute d’un corps dans un fluide visqueux.

« Résoudre » numériquement une équation différentielle?La résolution d’une équation différentielle est souvent perçue par les élèves commeune question abstraite et ardue. La méthode d’Euler permet de ramener cette résolu-tion à l’application de simples opérations d’addition et de multiplication.Le remplacement d’une relation différentielle à une équation aux différences finiesimplique que le résultat n’est pas, strictement parlant, une solution de l’équationdifférentielle : la fonction solution (si elle existe) n’est pas trouvée. On obtient seule-ment ici une série de valeurs numériques et ces valeurs sont calculées avec une approxi-mation (qu’il faut évidemment contrôler).La nécessité d’articuler les utilisations en physique et la présentation de la méthode(donc sa validité) en mathématiques est alors évidente. Outre le passage d’uneméthode abstraite à des opérations simples, l’approche numérique permet de concré-tiser les équations différentielles : des exemples simples peuvent être étudiés quipeuvent faire comprendre ce que peut signifier, par exemple, qu’une dérivée dépendde la valeur de la fonction dont elle dépend… C’est ce point de vue que nous adoptonsici, en présentant l’exemple de la décroissance radioactive d’un échantillon.

Exemple : désintégration d’un radio-élément

Le phénomène de radioactivité s’interprète en considérant que nombre de désin-tégrations observées pendant une courte durée ∆t dans un échantillon de matièrecomportant un très grand nombre N d’atomes d’un radio-élément X donné, esten moyenne proportionnel à la fois à N et à ∆t. Le nombre moyen de noyauxN(t) varie donc d’une quantité ∆N(t) donnée par ∆N(t) = – λN(t) ∆t [1].

Le modèle mathématique de référence (modèle macroscopique) du phénomèneradioactif consiste à passer à la limite continue, ce qui conduit à l’équation diffé-rentielle N’(t) + λN(t) = 0 [2].

Dès lors, si à une date donnée on connaît le nombre de noyaux, l’expression [1]permet de calculer le nombre de ceux qui disparaissent pendant la durée ∆t. Onconnaît donc la nouvelle valeur du nombre de noyaux (N – ∆N), qui à son tour,permet de calculer la nouvelle diminution…À partir d’une valeur initiale Nn, on calcule une suite de valeurs de N aux temps∆t, 2∆t, 3∆t, etc. selon le schéma suivant : N0 → ∆N0 → N1 → ∆N1 → N2…

Le calcul n’est alors qu’une itération de multiplications et de soustractions quipeut être facilement programmée, à l’aide d’un tableur18 par exemple. La procé-dure à itérer est la suivante :

∆Ni = – λNi ∆t [3]. Ni+1 = Ni + ∆Ni [4].

Nous donnons ci-contre, à titre d’exemple, les éléments d’un tel calcul effectué tousles 0,3 j pour la désintégration d’un échantillon contenant initialement 106 atomes deradon-222 (dont la constante radioactive λ vaut 0,18 jour–1).

18. Remarquons ici que le recours au tableur n’est pas obligatoire. Un travail sur calculette ou même à la

main est bien sûr toujours possible. L’intérêt du tableur (dont ne disposait pas, à l’évidence, Euler) réside

ici dans sa commodité d’emploi et dans sa bonne adéquation avec la méthode de calcul imaginée par Euler.

= A2+0.3

= 0.18*B2*0.30

= B2+C2


AN

NEX

EOn commence par reporter dans les cases des premières lignes (A2 et B2), les valeurs ini-tiales t0 et N0, puis dans les cases (C2 et B3) respectivement les formules correspondantaux relations [3] et [4] ci-dessus. On construit dans la colonne A une échelle des temps. Onrecopie alors vers le bas le contenu de ces cellules sur environs deux cents à trois centslignes. Le tableur effectue alors les calculs successifs de N toutes les ∆t secondes.

Nous pouvons ensuite obte-nir le tracé représentatif desvaleurs de N(t) au cours dutemps (figure ci-dessous).L’allure de la représentationpeut alors faire l’objet d’unretour sur la significationdes calculs : le taux de dispa-rition étant proportionnelau nombre, plus le nombreest faible, plus le taux est fai-ble, ce qui peut être inter-prété de façon graphique surla « courbe » et sa tangente.

Précision de la méthodeNous avons indiqué que la méthode numérique consistait en un calcul fondé sur une« approximation » et que le pas de l’itération devait être « suffisamment petit ». Laquestion de la qualité des résultats fournis par une méthode numérique est cruciale enparticulier pour établir la confiance que l’élève peut accorder à ce type de méthode. À cetégard, on ne peut que souligner à nouveau l’importance d’une introduction coordonnéeavec l’enseignement de mathématiques. Rappelons à ce sujet que la méthode d’Euler estintroduite dans le cours de mathématiques de la classe de première scientifique.Dans l’exemple que nous avons choisi ici, la question de la précision peut être discutéeen comparant les résultats à la solution analytique ici connue et calculable. On peutraisonnablement penser que les deux méthodes donneront des résultats d’autant plusvoisins que ∆t sera choisi proche de zéro. Cela peut facilement être vérifié sur les figuresci-dessous qui correspondent respectivement à ∆t = 0,1 j; 1 j et 2 j et pour lesquelles ona tracé, à côté des points fournis par la méthode d’Euler, la courbe représentative de lasolution analytique N(t) = N0 · e

–λt de l’équation différentielle.

On constate bien que la superposition des points obtenus par la méthode d’Euler etde la courbe exponentielle est quasi parfaite pour la première et que la qualité de cettesuperposition se dégrade lorsque ∆t devient trop grand. Les résultats de l’étude précé-dente montrent qu’elle reste acceptable pour ∆t < 0,3 j.Dans certaines situations, la solution analytique n’existe pas ou n’est pas du niveaudes élèves. Il reste alors un test qui peut être facilement réalisé et compris : on modifiele pas du calcul (en le multipliant ou le divisant par deux, par exemple). Si le résultatnumérique peut être considéré comme inchangé, alors le résultat peut également êtreconsidéré comme fiable. Sinon, on choisit un pas plus petit (dix fois plus faible parexemple) et on effectue de nouveau le test.


AN

NEX

E Par ailleurs, la méthode d’Euler, en tant que méthode au premier ordre, est d’uneprécision insuffisante pour le traitement de modèles plus complexes : systèmes d’équa-tions différentielles couplées, équations différentielles du second ordre, notamment.D’autres méthodes, dites d’Euler-Cauchy ou de Runge-Kutta, plus précises mais demême nature, ont été élaborées et constituent une amélioration évidente de la méthodede départ. La première consiste, par exemple, à utiliser la valeur de la dérivée en unpoint milieu et l’approximation est alors à l’ordre 2. Bien que cette méthode soit demême nature que celle utilisée par les élèves pour déterminer la vitesse moyenne en unpoint (en calculant l’accroissement entre le point précédent et le point suivant), celle-ci n’est pas au programme tout comme la méthode de Runge-Kutta (ordre 2 ou 4).Ce sont ces méthodes qui sont utilisées dans les logiciels qui permettent de simuler dessystèmes mécaniques, comme Interactive Physique par exemple.

Domaines possibles d’utilisation des méthodes numériques?Le programme de terminale scientifique offre plusieurs sujets permettant d’appliquerla résolution numérique d’une équation différentielle : charge ou décharge d’uncondensateur, établissement ou rupture d’un courant dans une bobine inductive, chuted’un objet dans un fluide. Une remarque s’impose cependant dans ces cas : à la diffé-rence de la désintégration radioactive qui s’appréhende au départ comme unphénomène discret et microscopique, l’équation différentielle rend compte d’unemodélisation macroscopique; elle est directement accessible par la théorie et laméthode consiste alors à passer de cette équation à la forme approchée discrète. Ainsi,par exemple, l’étude de l’établissement du courant dans une bobine inductive (d’induc-tance L et de résistance R) satisfait à l’équation différentielle suivante portant sur lafonction i(t) :

dans laquelle E représente la f.é.m. du générateur.

Le traitement numérique sera conduit à partir de la relation approchée

et reposera sur le calcul des suites de valeurs (in, ∆in) :

, in + 1 = in + ∆in,

avec i0 = 0.Lorsque l’analyse peut se ramener à une équa-tion différentielle du premier ordre comme c’estle cas ci-dessus, l’utilisation explicite de laméthode d’Euler est à privilégier.Par ailleurs, et ce de façon générale, les thèmesprécédents peuvent donner lieu à des activitésdifférentes : la résolution numérique d’une équa-tion différentielle peut en effet être un outild’analyse modélisante de données expérimen-

tales ou un outil de pure simulation (manipulation d’un modèle théorique), ce derniercas n’excluant pas le retour à l’expérience pour confrontation19.

Modélisation de l’évolution temporelle d’un système étudié expérimentalement

Un exemple de cette activité est présenté dans la partie « Enseignement obligatoire »(page 44). Il concerne la chute verticale d’un objet abandonné sans vitesse initiale dansl’air ou dans un liquide. Dans un premier temps, une étude expérimentale de la chuteest effectuée au moyen de l’enregistrement vidéo du mouvement. L’exploitation de cetenregistrement permet d’obtenir les coordonnées d’un point de l’objet pour chacune

19. On pourra se reporter au texte général sur la simulation intitulé « TG2 – De la simulation… dans/

pour l’enseignement de la physique » (page 63).

Ldidt----- Ri+ E=

L∆i∆t------ Ri+ E=

∆in E Rin–( )∆tL------=


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NEX

Edes images enregistrées. Le report de ces coordonnées dans un tableur permet decalculer les valeurs successives de la vitesse de l’objet en chute puis de tracer dans leplan (t, v) les points expérimentaux représentant l’évolution temporelle de la vitessede ce point.Des hypothèses sont alors émises concernant la relation liant la force de frottementvisqueux à la vitesse de l’objet. Chacune d’elles conduit à la formulation d’uneéquation différentielle. La résolution numérique de chaque équation fournit alorsautant de courbes théoriques. L’hypothèse retenue est celle qui donne la meilleuresuperposition entre courbe théorique et points expérimentaux.

Simulation de l’évolution temporelle d’un système

L’évolution temporelle des systèmes est, de façon très générale, gouvernée par deséquations différentielles qui traduisent des propriétés locales dans l’espace et dans letemps. Au niveau de l’enseignement secondaire, les élèves rencontrent plusieurséquations de ce type20 en mécanique et en électricité, notamment. Et dès lors que laou les équations différentielles d’un système sont connues, une méthode numériquetelle que celle d’Euler permet d’obtenir une représentation temporelle de l’évolutiondes grandeurs qui caractérisent le système.Les logiciels permettent alors de faire les tracés correspondants en simulant le dérou-lement du temps : diminution progressive du nombre de « noyaux », mouvement d’unobjet dans l’espace (dans le champ de pesanteur ou de gravitation), oscillation del’intensité dans un circuit LC, etc.Cette simulation peut alors donner lieu à une exploration ou investigation du modèle.L’activité aussi peut donner lieu à des observations qui suggèrent alors une expérienceou la recherche de documents scientifiques : l’étude d’un circuit RLC peut, parexemple, être faite d’abord du point de vue théorique et justifier le retour àl’expérience sur la question du régime critique (voir texte général sur la simulation,page 63).De même que l’on attirera l’attention des élèves sur la valeur du pas du calcul, onpourra montrer, lorsque le logiciel le permet, les possibilités de choix de la méthodede calcul, ceci devant contribuer à bien expliciter le fonctionnement du logiciel(voir texte général sur la simulation, page 64).

Le chien de Leonhard Euler

La méthode d’Euler permet de résoudre d’autres types de problèmes, comme celui duchien et de son maître. Il s’agit d’une petite application amusante pour laquelle on nedispose pas d’une solution analytique accessible aux élèves.

20. À un niveau supérieur, on peut traiter des sujets décrits par des équations différentielles d’espace

(tracés de ligne de champ) ou par des équations aux dérivées partielles couplant temps et espace.

C

M

α

vC

vM

x

y

M

?

C

S

O


AN

NEX

E Le maître, en l’occurrence Leonhard Euler, marche d’un pas régulier le long d’unchemin rectiligne en pensant à une méthode d’approximation pour résoudre des équa-tions différentielles. Son chien l’aperçoit et se lance à sa poursuite. En admettant qu’ilcourt à vitesse constante en valeur, quelle va être sa trajectoire?Nous pouvons programmer notre problème en coordonnées cartésiennes. Laprogrammation à l’aide d’un tableur ne pose pas de difficulté particulière. Soient vMet vC les valeurs des vitesses du maître et du chien. La composante selon x’x de lavitesse du maître est constante, celle selon y’y est nulle : vM1 = – vM et vM2 = 0.Pour le chien, il suffit d’écrire les composantes de la vitesse du chien en fonction del’orientation de CM.

. .

Les calculs itératifs sont programmés au moyen des relations suivantes :Tn + 1 = tn + ∆t. .

. .

On trace ensuite les positions correspondant auxcoordonnées (xM ; yM) (points bleus) et (xC; yC)(points roses) et l’on obtient les chronophotogra-phies des mouvements du maître et de son chien.

BibliographieInternet– Académie de Marseille : http://pedagogie.ac-aix-marseille.fr/physique/sciences_physiques/Menu/Simulation/Tableur_equations_differentielles/resol_equa_diff.htm– INRP : www.inrp.fr/Tecne/Acexosp/Savoirs/Methnum.htm#equadif– Jean-Paul Quelen, membre du GE de math, a développé sur le site suivant denombreux exemples d’utilisation de la méthode d’Euler en liaison avec le cours demathématiques de première et de terminale scientifique : http://perso.wanadoo.fr/jpq/– Université de Provence : www.up.univ-mrs.fr/~laugierj/euler_up/– Université Pierre-et-Marie-Curie : www.lmcp.jussieu.fr/enseignement/ye/licence/methodes_num/cours/chap5/Livres– BEAUFILS D., JOURNEAUX R., Physique et informatique, une approche programma-tique, Versailles, CARFI, 1990.– BEAUFILS D., SCHWOB M. (coord.), Les Outils informatiques d’investigation scienti-fique dans l’enseignement des sciences physiques, INRP-UdP, 1995.– DEPONDT Ph., Physique numérique. Le calcul numérique sur ordinateur au servicede la physique : une introduction, Vuibert, 1998.Articles– SERRA G., « Résolution des équations différentielles par les méthodes de l’analysenumérique », Bulletin de l’Union des physiciens, n° 815, 1999, p. 965-976.– TRIGEASSOU J.-C., BEAUFILS D., « Analyse de données, méthodes numériques etsciences physiques », Bulletin de l’Union des physiciens, n° 731, 1991, p. 297-308.– Exposés de synthèse des VIIe journées Informatique et Pédagogie des sciences physi-ques (Bordeaux, 1996), UdP, fascicule 5, code INF-P39.– Exposés de synthèse des VIIIe journées Informatique et Pédagogie des sciences physi-ques (Montpellier, 1998), UdP, fascicule 1, code INF-P42 et fascicule 2, code INF-P43.Logiciel– Logiciel Union des physiciens, n° 10, « Les méthodes numériques de résolutiond’équations différentielles ». Résumé et bon de commande dans le n° 787 (1996) duBulletin de l’Union des physiciens.

vC1 vC αcos⋅ vCxM xC–

CM---------------------= = vC2 vC αsin⋅ vC

yM yC–

CM--------------------= =

xMn 1+xMn

vM1n+ ∆t=

xCn 1+xCn

vC1n+ ∆t= yCn 1+

yCnvC2n

+ ∆t=

Radioactivité… (annexe) 75

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ERadioactivité – Une convergence entre physique, mathématiques et sciences de la Terre

Parmi les quatre interactions fondamentales qui structurent le monde naturel, gravi-tation, interaction électromagnétique, interaction forte et interaction faible, troissont à l’œuvre dans le noyau de l’atome, les deux dernières l’étant de façon spécifique.Curieusement, la première information en est venue, il y a un siècle, non à partir desnoyaux les plus stables qu’elles sont susceptibles d’édifier, mais au contraire desnoyaux à la limite de stabilité, les noyaux dits radioactifs. De l’origine de l’énergiesolaire au maintien d’une Terre chaude et dynamiquement active, de l’origine des élé-ments chimiques à celle des rayons cosmiques, de la fabrication d’armes terrifiantes àla production d’énergie, de la gestion des déchets nucléaires à l’imagerie médicale oula médecine curative, les phénomènes nucléaires ont modifié notre vision du monde etpénétré nombre d’activités humaines. Il est important que les élèves de lycée en aientune première perception, en ce qui concerne tant le phénomène physique que ses appli-cations technologiques et géologiques. Le présent document propose une convergence thématique sur la radioactivité, entre laphysique, les mathématiques et les sciences de la Terre. À un premier niveau, la fonctionexponentielle, que les élèves découvrent en terminale, s’enrichit à l’évidence d’apparaîtredans une expression qui permet d’obtenir l’âge des roches les plus anciennes de la Terreet d’autre planètes du système solaire. De plus, en cours de physique de terminale S, onmesure en diverses occasions des grandeurs physiques dont le taux de variation estproportionnel à la grandeur elle-même : décroissance radioactive, charge et décharged’un condensateur, effet d’une bobine à induction dans un circuit à courant variable,chute d’un mobile en présence de forces de frottements etc. Il est intéressant que les élèvesassocient directement cette propriété à la fonction exponentielle. Ceci suggère d’introduire la fonction exponentielle à partir de l’équation différentielley’ = y. La progression dans le programme de mathématique s’en trouve modifiée, parrapport à la façon de faire traditionnelle où l’exponentielle est introduite comme fonc-tion réciproque du logarithme ou à partir de l’extension des fonctions puissances. Lanotion d’équation différentielle, c’est-à-dire d’une équation où l’inconnue est une fonc-tion est nouvelle pour les élèves et sera introduite tôt dans l’année. Cette introductionest justifiée par l’exemple de la loi macroscopique de la désintégration radioactive à lafois simple et riche dans ses applications. C’est ce que propose le nouveau programmede mathématiques et que développe le présent document. Du point de vue stricte-ment mathématique, les diverses façons d’introduire la fonction exponentielle sontéquivalentes. Elles ne le sont pas du point de vue de la physique et de l’intuition.

Le thème « Radioactivité » conduit naturellement à aborder en mathématiques lanotion de loi de probabilité à densité continue. La physique aborde la question sousl’angle macroscopique (et empirique) du nombre moyen de noyaux radioactifs sedésintégrant dans l’unité de temps. Mais la mise en place du modèle qui, partant deshypothèses de base concernant la désintégration d’un noyau individuel, permet d’éta-blir la loi de probabilité de la durée de vie d’un noyau radioactif est effectuée dans leprogramme de mathématiques. À l’issue du parcours, on peut voir comment unprocessus fondamentalement aléatoire peut conduire à un comportement macro-scopique déterministe. Si les découpages disciplinaires ont certes leur fonction (après tout, ils correspondentpour une part à la structuration de la nature et à notre façon de l’appréhender),l’exemple de la radioactivité illustre en quoi une recomposition des connaissances rela-tives à des champs disciplinaires différents accroît les possibilités de compréhension.L’interdisciplinarité est une pratique nécessitant un approfondissement de chacune descomposantes, le plus souvent préalable ; il se trouve que le thème radioactivité est l’unde ceux où un travail peut être fait en attaquant le problème de tous les côtés à lafois, sans l’écueil de la superficialité.


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E La loi macroscopique de désintégration radioactivePourquoi certains noyaux sont-ils instables ?

La structure des noyaux atomiques (A nucléons dont Z protons et N = A-Z neutrons)résulte de la compétition entre les deux interactions existant entre les constituants :1) L’interaction forte, attractive, entre nucléons, qu’ils soient neutrons ou protons ; elleest intense, mais de courte portée : éloignés de plus de 3 ou 4 femtomètres (fm, 1 fm = 10–15 m), deux nucléons ne se « voient » plus par interaction forte. Cette inter-action, pour des raisons que l’on n’explicitera pas ici, privilégie les noyaux avec unnombre égal de protons et de neutrons (un signe de cette caractéristique peut être décelédans le fait que le noyau de deutérium, isotope lourd de l’hydrogène (un proton + unneutron) est stable, alors que le « di-neutron » et le « di-proton » n’existent pas).2) L’interaction électrique (dite « coulombienne ») entre charges électriques de mêmenature, en l’occurrence les protons. Aux distances en jeu dans le noyau, elle est envi-ron dix fois moins intense que l’interaction forte, mais elle est de longue portée :chaque proton interagit avec tous les autres. Sa contribution à l’énergie totale du noyauest proportionnelle au nombre de couples de protons, soit Z(Z – 1)/2. Comme Z estde l’ordre de A/2, le nombre de couples est de l’ordre A2. Le potentiel coulombien entredeux charges variant comme l’inverse de leur distance, la contribution à l’énergie estramenée en fait à une dépendance en A5/3.Il résulte de ces caractéristiques que l’interaction forte attractive contribue à l’énergiedu noyau par un terme proportionnel au nombre total A de nucléons (chaque nucléonn’interagissant qu’avec ses proches voisins), alors que l’interaction coulombiennerépulsive contribue par un terme proportionnel à A5/3 : l’interaction coulombienne,bien que moins intense que l’autre, finit par l’emporter lorsque A augmente. Au-delàd’un certain nombre de protons, les noyaux deviennent instables, et le tableau deMendeleiev s’arrête. Les valeurs numériques particulières des constantes caractéris-tiques des interactions expliquent que ce nombre maximum est 92, et qu’ainsi letableau périodique de Mendeleiev s’arrête, pour les éléments naturels, à l’uranium.

Remarques1) L’énergie d’un noyau comprend d’autres contributions. Par exemple un terme desurface, lié à ce que le nombre de voisins est plus petit en surface qu’en volume, unterme lié à ce que le nombre de neutrons N n’est pas strictement égale à Z, etc.L’argument ci-dessus concerne les deux contributions principales et répond doncqualitativement à la question posée. 2) Un neutron isolé est une particule instable. Sa liaison dans un édifice nucléaireempêche sa désintégration.3) On sait synthétiser en laboratoire des éléments dits « super lourds » ; le recordactuel est Z = 112. Ces éléments ont des durées de vie trop faibles pour êtreobservées ; leur formation est attestée par l’identification des produits de leurdésintégration.4) Les étoiles à neutrons, résidus d’explosions de supernovae, semblent contredire leraisonnement présenté ci-dessus, puisqu’il s’agit de boules de matière nucléaire d’en-viron 10 km de rayon, ayant en gros la masse du Soleil. Plusieurs considérations sontà prendre ici en compte : d’une part, une étoile à neutrons, contrairement à un noyauatomique, est électriquement neutre ; d’autre part, à l’échelle d’une étoile, la gravita-tion, loin d’être négligeable comme dans un noyau, devient l’interaction dominante.Elle est également de longue portée, et toujours attractive : c’est elle qui fait qu’uneétoile à neutrons forme un système « lié » (stable).


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EIl est commode de représenter les noyaux atomiques dans le plan (N,Z).

Un noyau est représenté par un point de coordonnées entières. Les noyaux légers sontgroupés autour de la droite N = Z, c’est un effet mentionné de l’interaction forte. Lesquelques caractéristiques développées ci-dessus permettent de comprendre où se trou-vent les noyaux radioactifs dans ce plan : puisque l’interaction nucléaire privilégie lesnoyaux avec N ≅ Z, les noyaux avec « trop » de protons ou « trop » de neutrons sontinstables. Avec trop de protons, ils peuvent être émetteurs β+ (un proton se transformespontanément en neutron dans le noyau avec émission d’un positron) ou capturer unélectron du cortège ; avec trop de neutrons, ils sont émetteurs β– (un neutron se trans-forme spontanément en proton dans le noyau avec émission d’un électron). Ces deuxprocessus sont gouvernés par l’interaction faible. Enfin ceux qui sont « trop » lourds,vers la fin du tableau de Mendeleiev, sont émetteurs α : ils se transforment spontané-ment en noyaux plus légers en émettant un noyau d’hélium. La radioactivité γ est uneémission de rayonnement électromagnétique, provenant de la désexcitation de noyauxqui ne sont en général pas produits dans leur état d’énergie fondamental.

La loi de désintégration radioactive

L’expérience suggère que, si l’on considère une population macroscopique de noyauxradioactifs (c’est-à-dire dont le nombre est de l’ordre du nombre d’Avogadro, soit6 × 1023), le nombre moyen de noyaux qui se désintègrent pendant un intervalle detemps ∆t à partir d’un instant t, rapporté au nombre total de noyaux N(t) présents àl’instant t et au temps d’observation ∆t, est une constante λ caractéristique du noyauen question. On peut donc écrire :

A priori, la constante λ pourrait dépendre du temps. Ce serait le cas si un processusde vieillissement était en cause, comme, par exemple, si l’on s’intéresse au nombre dedécès dans une population donnée. Le fait que λ ne dépende pas du temps s’inter-prète comme un processus de « mort sans vieillissement ». En passant à la limite pour un intervalle de temps devenant arbitrairement petit, onécrira l’équation ci-dessus dN(t)/N(t) = – λdt, ou encore dN(t) = – λN(t)dt. On écriraaussi : N’(t) = – λN(t).Les activités expérimentales proposées dans le programme (mesure de la radioacti-vité du radon, observation de la décroissance temporelle) sont décrites dans la partiedu document d’accompagnement propre à la physique. Dans ce texte, l’accent est mis sur la synergie nécessaire entre physique et mathéma-tiques pour une bonne compréhension du phénomène, en particulier concernant lesdeux aspects suivants : (i) l’étude empirique de la désintégration radioactive conduit

∆N(t)N(t)

= −λ∆t

Figure 1


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E à considérer un objet mathématique nouveau pour les élèves, appelé équation diffé-rentielle et (ii) on établit un modèle physique microscopique de la désintégration, quirend compte de la loi macroscopique observée pour l’évolution de la valeur moyennedu nombre de noyaux existant à un instant donné.

Fonctions vérifiant f’ = kf

L’équation f’ = kf est une équation où l’inconnue est une fonction : c’est un objet nou-veau pour l’élève de terminale. La ou les solutions, si elles existent, sont des fonctions. Il faut remarquer ici que le seul fait de poser une équation n’implique pas qu’elle aitdes solutions. Par exemple, les élèves peuvent facilement vérifier qu’aucune fonctionpolynôme, et plus généralement aucune des fonctions connues à leur entrée en termi-nale n’est solution de l’équation. On peut donc s’interroger sur l’existence et l’unicitéde la solution qui prend une valeur donnée en un point donné.Une première approche peut consister à mettre en œuvre une méthode numérique pourapprocher une solution de l’équation, en s’assurant empiriquement de la convergence dela méthode. Dans le cas présent, les équations différentielles sont implicitement abordéesdans le programme de mathématiques de première S : on construit à l’aide de la méthoded’Euler une approximation d’une fonction f telle que f’ = g, où g est une fonction don-née, par exemple g(t) = 1/(1 + t2) (aucune question théorique n’est soulevée à ce niveau).

En continuité avec le travail fait en première, on peut utiliser la méthode d’Eulerpour avoir l’allure du graphe sur l’intervalle [0,t] de la fonction dérivable ϕ vérifiantϕ’ = ϕ, ϕ (0) = 1. Pour cela, on discrétise l’intervalle [0,t] en n intervalles d’amplitudet/n, et on trace entre 0 et t le graphe d’une fonction affine par morceaux, obtenu enreliant par des segments les points (kt/n, yk), k = 0,…,n, avec :

y0 = 1 et

soit :

, k = 0,…, n en particulier

(On peut voir une mise en œuvre de la méthode d’Euler sur le site : http://perso.wanadoo.fr/jpq)

Du point de vue mathématique, la méthode d’Euler lie donc la valeur de ϕ(t) à celle dela limite éventuelle de la suite de terme général (1 + t/n)n : cette question est traitéedans l’annexe 1, où l’on déduit, de façon rigoureuse, quelques propriétés de ϕ. Onpasse ensuite à l’étude des équations f’ = kf ; on caractérise les solutions de ces équa-tions ayant pour valeur 1 en 0. Ce sont les fonctions dérivables transformant lessommes en produits. Diverses propositions sont établies, dont les démonstrations sontl’occasion d’approfondir la notion de dérivée, de manipuler cette nouvelle fonction ϕet de justifier la notation ϕ(t) = et.Il est important de noter à ce sujet que la seule résolution numérique ne permettrait enaucun cas d’établir ces propriétés !

Loi microscopique de désintégration radioactive

Ce paragraphe utilise des résultats du cours de mathématiques de terminale : propriétésde la fonction exponentielle, de l’intégrale d’une fonction continue et de la loi binomiale.En physique, l’expérience a permis de poser l’équation suivante :

N’(t) = – λ N(t).Où N(t) représente la moyenne du nombre de noyaux présents à l’instant t. On endéduit la loi d’évolution :

N(t) = N(0) e–λt.

On remarquera que pour toute valeur de t et t0, on a aussi :N(t + t0) = N(t0) e

–λt.Autrement dit, l’origine des temps importe peu dans l’étude de ce phénomène : on peut« repartir de 0 » quand on veut, l’équation modélisant l’évolution du nombre moyend’atomes est toujours la même.

yn = 1 + tn

n

yk = 1 + tn

k

yk+1 = yk 1 + tn


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EConsidérons maintenant ce qui se passe à l’échelle des noyaux et cherchons à établirun modèle microscopique de la désintégration. L’observation montre que le nombrede noyaux qui se désintègrent pendant un intervalle de temps t est une quantité aléa-toire et on fera donc l’hypothèse que la durée de vie d’un noyau d’une substance radio-active donnée est elle aussi une quantité aléatoire. Le taux de désintégration N’(t) est proportionnel au nombre de noyaux présents :une interprétation est que les désintégrations des noyaux sont indépendantes les unesdes autres. Le taux de désintégration des noyaux, rapporté au nombre de noyaux présents, soitN’(t)/N(t), est constant au cours du temps. Les noyaux, en quelque sorte, ne «s’usent»pas, ne « vieillissent » pas : leurs propriétés demeurent constantes au cours du temps.On peut alors, pour une substance radioactive donnée, proposer un modèle micro-scopique de désintégration des noyaux fondé sur les hypothèses suivantes :1) La durée de vie d’un noyau est modélisée par une loi de probabilité, la même pourtous les noyaux d’une même substance radioactive. 2) La désintégration d’un noyau n’affecte pas la désintégration d’un autre noyau.3) Un noyau se désintègre sans avoir « vieilli ».La durée de vie est une quantité aléatoire, qui peut-être modélisée par une loi de pro-babilité sur l’ensemble des nombres réels positifs. Les élèves ont vu en première lanotion de loi de probabilité sur un ensemble fini, loi caractérisée par la probabilité dechaque élément ; la généralisation de cette notion de loi de probabilité à des intervallesde �, bornés ou non, est délicate. On trouvera dans le document d’accompagnementde mathématiques une approche pour la classe terminale scientifique de la notion deloi de probabilité à densité continue. Nous cherchons dans ce paragraphe une telleloi P pour modéliser la durée de vie des noyaux d’une même substance radioactive. On notera F(t) la probabilité pour que la durée de vie d’un noyau soit comprise entre0 et t, soit F(t) = P([0,t]). La loi de probabilité P étant à densité continue, on peut écrire :

et ,

où f est une fonction continue positive sur �+, appelée densité de P. Pour tout intervalleI = (a,b), a < b, que les bornes a et b soient incluses ou non dans I, on a P(I) = F(b) – F(a). On remarque que F(t) désigne aussi la probabilité pour qu’un noyau se désintègre entreles instants 0 et t. La probabilité qu’il ne soit pas désintégré à l’instant t est donc 1 – F(t).L’hypothèse (3) sera interprétée à partir de la considération suivante du non vieillis-sement pour un organisme : ne pas vieillir, c’est avoir à tout âge la même probabilitéde vivre encore s années. Soit :La probabilité qu’a un noyau non désintégré à l’instant t de se désintégrer dans les s uni-tés de temps suivantes ne dépend que de s ; en particulier, comme cette probabilité nedépend pas de t, elle est égale à la probabilité de se désintégrer entre les instants 0 et s. Soit encore : La probabilité pour un noyau de se désintégrer entre les instants t et t + s, sachant qu’iln’est pas désintégré à l’instant t, est égale pour tout t à la probabilité de se désinté-grer entre les instants 0 et s.Cela s’écrit :

PIt(]t,t + s]) = F(s), où It est l’événement « le noyau n’est pas désintégré à l’instant t ». La probabilité deIt est, comme indiqué ci-dessus, 1 – F(t) ; or :

P(]t,t + s]) = (1 – F(t)) × PIt(]t,t + s]),(la probabilité de se désintégrer entre t et t + s est égale à la probabilité de ne pas sedésintégrer entre 0 et t multipliée par la probabilité conditionnelle de se désintégrerentre t et t + s sachant que le noyau existe encore à l’instant t). Comme P(]t,t + s]) = F(t + s) – F(t), il s’ensuit que :

F(t + s) – F(t) = F(s)(1 – F(t)).En posant G(t) = 1 – F(t), il vient :

G(t + s) = G(t)G(s).La fonction G est dérivable, elle transforme une somme en produit et vérifie G(0) = 1. D’après les résultats de l’annexe (propriété 3), c’est une fonction expo-

limt→+∞

F(t) = 1F(t) = f (t)dt0

t

∫


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E nentielle : G(t) = eat. Comme F est positive et bornée par 1, G est bornée par 1, eton peut écrire a = – α, où α est strictement positif. D’où G(t) = e–αt et F(t) = 1 – e–αt. La densité f est la dérivée de F ; la densité de la loi de probabilité modélisant la duréede vie d’un noyau qui meurt sans vieillir (on peut dire aussi qui ne s’use pas) est doncdonnée par f(t) = αe–αt, où α est un paramètre strictement positif. On dit que P est uneloi de probabilité exponentielle.

Du microscopique au macroscopique La loi de probabilité du nombre de noyaux qui se désintègrent entre les instants 0 et t, tfixé, est une loi binomiale B(n, p) avec n = N(0) et p = F(t) = 1 – e– αt. L’espérance(moyenne théorique) de cette loi est donnée par le produit np, soit ici nF(t) = N(0)(1 – e–αt);cette espérance peut aussi s’écrire N(0) – N(t), où N(t) est l’espérance du nombre denoyaux à l’instant t. On a donc :

N(0) – N(t) = N(0) (1 – e–αt).D’où :

N(t) = N(0) e–αt

On en déduit que :α = λ,

où λ est la constante apparaissant dans la loi empirique de désintégration.

Remarques1) La probabilité qu’a un noyau existant à l’origine de se désintégrer entre t et t + s est donnée par :

P([t,t + s]) = e–αt(1 – e–αs) = e–αtP([0,s]). Cette probabilité dépend de t et tend vers 0 lorsque t tend vers l’infini : c’est normal, car la probabilitéde se désintégrer entre 0 et t tend vers 1 lorsque t tend vers l’infini.En particulier, P(]n ; n + 1]) = (1 – p)np, où p est la probabilité de désintégration en une unité de temps,soit p = 1 – e–α.2) Un exemple d’absence d’usure dans le cas discret :On lance un dé toutes les secondes : par analogie avec le cas de la radioactivité, on dira que s’il tombesur 6, il se désintègre, et l’on arrête. L’absence d’usure (ou le non-vieillissement) est ici très intuitive:sachant que le dé n’est pas désintégré à la seconde n, la probabilité qu’il se désintègre à la seconde n + 1vaut toujours p = 1/6 ; la probabilité qu’il se désintègre à la seconde n + 1 est P(n + 1) = (1 – p)np. Laloi de probabilité définie sur �* par P(n) = (1 – p)n–1p est appelée loi de probabilité géométrique.3) L’espérance (moyenne théorique) d’une loi de probabilité (p1,…,pN) sur E = {e1,.,eN} est µ = ∑piei.

On définit de même, si elle existe, l’espérance ou moyenne théorique µ d’une loi de probabilité sur �+

de densité f, par : µ = tf(t)dt. Pour f(t) = αe–αt, une intégration par parties montre que µ = 1/α ; on

peut écrire f(t) = (1/µ)e–t/µ. Autrement dit, si on mesure les durées de vie d’un grand nombre de

noyaux, la moyenne de ces durées sera voisine de 1/α. La médiane τ de la loi de probabilité P, appelée ici temps de demi-vie, est égale à µ ln(2).

0

+∞

∫

Remarques 1) L’échelle microscopique est ici celle des noyaux ; l’échelle macroscopique est, à un instant t fixé,celle du nombre N(t) de noyaux non désintégrés de la substance radioactive considérée (N(t) est del’ordre de 1023). On peut aussi dire qu’à l’échelle macroscopique les hypothèses du paragraphe précédent permettentd’appliquer la loi des grands nombres : La proportion X(t)/N(0) du nombre exact de noyaux qui se désintègrent pendant un intervalle de tempst est proche de la probabilité F(t) de désintégration d’un noyau entre les instants 0 et t. Soit :

, où F(t) = (1 – e–λt).X(t)N(0)

≈ F(t)


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DatationsLes demi-vies des noyaux radioactifs couvrent une gamme étonnamment large devaleurs, comme le montrent les quelques cas suivants :Uranium-238 4,5 × 109 ansPlutonium-239 2,4 × 104 ansCarbone-14 5 730 ansIode-131 8 joursRadon-222 3,8 joursRadon-220 56 sPolonium-213 4 × 10–6 sBeryllium-8 1 × 10–16 ans

Remarque – On peut se demander comment il est possible de mesurer des demi-viesde l’ordre du milliard d’années. Un calcul d’ordre de grandeur des taux dedésintégration escomptés permet de fixer les idées. Considérons un échantillon de238 g d’uranium-238. Il contient environ 6,02 × 1023 noyaux d’uranium. Le tauxde désintégration (par émission α) – dN/dt = λN(t) = N(t)ln2/τ1/2 est donc de l’ordrede 500 000 par seconde. En mesurant ∆N(t)/∆t, on peut donc avoir accès à τ1/2. Lessources d’incertitude proviennent bien sûr de la détection.

Cette variété de valeurs des demi-vies est une chance, car elle permet d’effectuer desdatations pour toutes les échelles de temps nécessaires. Décrivons brièvement laméthode de datation dite « au carbone-14 ».

Datation au carbone-14

Le carbone-14 est produit en haute atmosphère lors de réactions nucléaires induitespar des protons rapides d’origine galactique. Lors de ces réactions, des neutronsrapides sont libérés, qui peuvent être capturés par les noyaux d’azote de l’air selonle schéma :

. 714N + n→ 6

14C + p

On peut quantifier ceci, en approchant la loi binomiale par une loi normale ; ainsi, si N(0) = 1023 etF(t) = 10–3 :

Probabilité !

Les fluctuations de X(t) sont négligeables par rapport à son espérance, i.e. devant N(0)F(t) (dans lamesure où N(0)F(t)est suffisamment grand, soit λt pas trop petit, pour que cette phrase ait un sens). Ladésintégration des noyaux est un phénomène aléatoire, mais au niveau macroscopique, on peut dansce cas négliger les variations ; ainsi, le même phénomène (la désintégration des noyaux), suivant l’échelleoù on l’observe, fait l’objet d’un modèle probabiliste (échelle microscopique) ou déterministe (échellemacroscopique) où on ne raisonne plus que sur des espérances (moyennes théoriques).2) Il est normal que la traduction au niveau microscopique de l’absence d’usure observée au niveaumacroscopique permette de retrouver l’équation N(t) = N(0)e–λt, mais encore fallait-il le vérifier. Du pointde vue épistémologique, le cheminement est semblable à celui qui va des équations de la mécanique àl’établissement des lois que Kepler a établies empiriquement sur la base des observations de Tycho Brahé.Mais il est légitime de vouloir aller plus loin, et de chercher à comprendre pourquoi « les noyaux meurentsans vieillir », autrement dit, de chercher pourquoi leur désintégration ne résulte pas d’un processus devieillissement. C’est Gamow qui le premier, en 1928, a utilisé la toute nouvelle mécanique quantique pourcomprendre l’émission α : il s’agit d’une traversée de barrière d’énergie potentielle (d’origine coulom-bienne) par « effet tunnel ». La mécanique quantique, théorie irréductiblement probabiliste, conduit àla fois à la loi exponentielle et à la détermination de la valeur de la constante λ, à partir des caractéris-tiques de la barrière de potentiel. Elle permet de comprendre également la variété des valeurs de λ, d’unnucléide à un autre : en effet, la transmission à travers une barrière par effet tunnel est très sensible (expo-nentiellement sensible, en réalité) à des petites différences dans l’allure de cette barrière.

1 − 1F(t)

X(t)N(0)

> 10−9

< 10−15


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E Ce carbone-14 est produit régulièrement. Il est en proportion à peu près constante etconnue dans les environnements terrestres où l’on trouve du carbone en contact avecl’atmosphère : gaz carbonique, plantes, corps humain. La proportion est de 1,3 × 10-12

noyaux de carbone-14 pour 1 noyau de carbone-12. Lorsqu’un individu ou une plantemeurt, son métabolisme cesse et son carbone n’est plus renouvelé. Par conséquent lecarbone-14 qu’il contient se désintègre, en redonnant un noyau d’azote-14, et ceci avecune demi-vie de 5 730 ans. Il suffit de mesurer la proportion dans les restes (os, che-veux, bois) pour connaître l’époque de la mort. On peut ainsi dater des événements quise sont déroulés il y a plus de quelques milliers d’années. Au-delà de 30 000 à 35 000 ans,la plus grande partie des noyaux de carbone-14 ont été désintégrés et le comptage nepeut plus se pratiquer.

Exemple

Dans 1 g de carbone naturel actuel, de masse molaire moyenne 12 g, il y a6,02 × 1023/12 ≅ 5 × 1022 noyaux. Parmi ceux-ci, environ 5 × 1022 × 1,3 × 10-12 ≅6,5 × 1010 sont des noyaux de carbone-14. Le taux de désintégration – dN/dt =λN(0) est donc de ln(2) × 6,5 × 1010/(5730 × 3 × 107) ≅ 0,26 par seconde (il y a eneffet environ 3 × 107 secondes dans une année). Au bout de deux fois la demi-vie,soit 11 460 ans, ce taux est réduit d’un facteur exp(2ln2) = 4. Le taux de comptagemesuré est beaucoup plus faible : il tient compte de la fenêtre d’entrée du détecteuret de l’efficacité de celui-ci.

La méthode suppose que le taux de production du carbone-14 en haute atmosphère n’apas varié entre l’instant initial et le présent. On a pu montrer récemment que ce n’étaitpas tout à fait le cas, et qu’il fallait effectuer des corrections aux datations obtenues parcette méthode, pour tenir compte des variations des échanges océan-atmosphèred’origine climatique et des variations du champ magnétique terrestre agissant sur lerayonnement cosmique. Le rayonnement cosmique et l’activité solaire ont pu égalementvarier au cours des quelques milliers d’années passées. Depuis la révolution industrielle,l’activité humaine a fortement modifié le taux de carbone-14 présent dans l’atmosphère(combustion d’hydrocarbures d’origine fossile, dépourvus de carbone-14) et lesdatations doivent bien sûr en tenir compte.

Datation par la méthode rubidium-strontium

Rutherford, il y a un siècle, fut le premier à avoir l’intuition que la radioactivité,présente dans les roches, pouvait servir à déterminer l’âge de celles-ci.Les roches provenant de l’intérieur de la Terre et métamorphiques (transformées sousl’effet des hautes températures et pressions internes) sont formées de minéraux. Cesminéraux sont composés de constituants majeurs non radioactifs (K, Al, Na, Ca, Si,O, etc.), mais des éléments plus rares susceptibles de présenter des désintégrationsradioactives (le rubidium par exemple) peuvent s’insérer dans le réseau cristallin à laplace des constituants majeurs (strontium et rubidium à la place du potassium parexemple). Une roche cristallise en une durée très courte à l’échelle géologique, et l’onpeut donc considérer que ce processus est instantané. La méthode rubidium-strontium de datation des roches repose sur la désintégrationdu rubidium-87 en strontium-87. Un neutron du noyau de rubidium se transformespontanément en proton (le noyau de rubidium devient ainsi un noyau de stron-tium), avec éjection d’un électron (conservation de la charge) et d’un anti-neutrino :

.

On dit qu’il s’agit d’une radioactivité de type β–. La demi-vie est de 50 × 109 ans, valeurbien adaptée à la datation de roches cristallisées lors de la formation de la Terre. À partir de la date de cristallisation, date de « fermeture » des minéraux (instant t0 quel’on prendra comme origine des temps) les éléments radioactifs subissent une évolu-tion indépendante dans chacun des minéraux de la roche. Considérons différents miné-raux d’une roche datant de la même époque géologique, contenant du strontium-86et 87, non radioactifs, et du rubidium-87, radioactif.

3787Rb→38

87Sr+−10e + υe


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EÀ l’instant initial t0, le rapport isotopique N(87Sr)/N(86Sr)initial est le même pour tous lesminéraux de la roche, car les deux isotopes ont les mêmes propriétés chimiques. Enrevanche la quantité de rubidium et le rapport d’abondance N(87Rb)/N(86Sr)initial varied’un minéral à l’autre. Ces valeurs initiales sont toutes deux inconnues. Au cours dutemps, le nombre d’atomes de strontium-87 augmente en raison de la désintégration desnoyaux de rubidium. Comment dater ces roches sans connaître les compositions initiales ?

Soient N(87Sr) et N(86Sr) les nombres d’atomes de strontium-87 et de strontium-86présents dans un morceau de roche, et N(87Rb) le nombre d’atomes de rubidium-87.Conformément à la loi de désintégration, pour chaque morceau de roche, on aura àl’instant t (en prenant l’instant initial t0 comme origine des temps) :

N(87Rb) = N(87Rb)initial × exp(– λt) [1]

Le nombre d’atomes de strontium-87 formés est égal au nombre d’atomes de rubidiumdésintégrés soit :

N(87Rb)initial [1 – exp(– λt)],

Figure 2

ou encore, en utilisant la relation [1] :N(87Rb) × [exp (λt) – 1].

Le nombre total d’atomes de strontium-87, somme des atomes présents initialementet de ceux provenant de la désintégration du rubidium, est donné par :

N(87Sr) = N(87Sr)initial + N(87Rb) × [exp (λt) – 1]On a donc, en divisant par le nombre d’atomes de strontium-86 présents dans l’échan-tillon actuellement, la relation :

[2]

On reporte les valeurs mesurées à l’instant t (actuel) pour les rapports isotopiquesdans différents minéraux dans un plan de coordonnées {x = N(87Rb)/N(86Sr), y = N(87Sr)/N(86Sr)}. L’équation ci-dessus est celle d’une droite, de pente exp(λt) – 1.

Pour pouvoir tracer la droite, et en déduire l’âge t de la cristallisation de la roche, ilest nécessaire d’avoir au moins deux échantillons. Les abondances sont déterminéespar spectrométrie de masse. Les points expérimentaux s’alignent sur une droite (voirles étoiles dans la figure 2) dont l’extrapolation à l’origine donne le rapport isotopiqueN(87Sr)/N(86Sr) à l’instant initial de formation (fermeture) de la roche.

N87 SrN86Sr

mesuré

= exp(λt) − 1[ ] N87 SrN86Sr

mesuré

+ N87 SrN86Sr

initial


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E Remarque – La pente de la droite, exp(λt) – 1, augmente au cours du temps. Elle estnulle à t = 0. Lorsque le temps s’écoule, la droite pivote autour de l’ordonnée à l’ori-gine. Si l’on choisit les mêmes unités en abscisse et en ordonnée, les points représen-tatifs des différents échantillons décrivent des segments de droite à 45°, car à chaquefois qu’un noyau de rubidium-87 se désintègre, il apparaît un noyau de strontium-87(voir figure 3).

Figure 3

La formule (2), qui permet d’obtenir l’âge du Système solaire, est d’une étonnantesimplicité : quelques mesures de rapports isotopiques, le tracer d’une droite, et l’âgeen découle. Cette simplicité remarquable est à mettre en regard de la somme deconnaissances que la formule représente.Il existe de nombreux autres couples d’isotopes utilisés pour la radio-chronologie. Sansêtre exhaustif, on peut citer le potassium-40 (radioactif β+) qui se désintègre en argon-40 avec une demi-vie de 1,2 × 109 ans. L’uranium-238 et l’uranium-235, dont les demi-vies sont respectivement de 4,5 × 109

et 0,7 × 109 années, sont chacun à l’origine d’une « famille radioactive » qui se ter-mine pour l’une avec le plomb-206, pour l’autre avec le plomb-207, deux isotopesstables. Celle du thorium-232, dont la demi-vie est de 14 × 109 années, se termineégalement avec le plomb-208.À cause de l’altération et de la tectonique des plaques, il n’existe plus aucune roche dontl’origine soit contemporaine de la formation de la Terre et les roches terrestres les plusvieilles datent de 4,1 milliards d’années. Cependant, grâce aux chutes de météorites etaux missions spatiales Apollo, nous disposons d’abondants échantillons planétaires(Lune, Mars, Vesta) qui permettent de dater le Système solaire avec précision. Les âgesdéterminés à partir de la datation des météorites sont remarquablement cohérents,d’une méthode de datation à l’autre, autour de la valeur de 4,56 milliards d’années.


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EComplément : une introduction de la fonction exponentielle

Existence d’une solution de l’équation f’ = f vérifiant f(0) = 1

Théorème : L’équation différentielle f’ = f admet une solution prenant la valeur 1 en 0.

La démonstration de ce théorème repose, pour x fixé, sur la fabrication de deux suites adjacentes, l’une

croissante, (un(x)), l’autre décroissante, (vn(x)), dont la limite commune définit une fonction vérifiant

l’équation différentielle. La suite (un(x)) apparaît lors de l’application de la méthode d’Euler à f’ = f.

et .

Les démonstrations qui suivent font appel à la propriété � suivante :

� : pour tout réel x > –1 et tout entier naturel n, (1 + x)n ≥ 1 + nx.

Cette propriété � se démontre soit par récurrence, soit en étudiant la fonction de (1 + x)n – nx et en

montrant que ses valeurs sont toujours supérieures à 1.

On considérera des valeurs de n supérieures à x .

Pour tout x, la suite (un (x)) est croissante.

Comme :

et , on obtient en reportant :

l’inégalité étant obtenue par application de la propriété �. D’où un + 1(x) ≥ un(x).

Pour tout x, la suite (vn(x)) est décroissante.

On a : 1/vn(x) = un(– x) ; la suite (un(– x)) étant croissante à partir d’un certain rang, la suite (vn(x)) est

décroissante.

Les suites un(x) et vn(x) sont adjacentes.

En effet, (voir la propriété �), d’où : .

Donc : 0 < vn(x) – un(x) < [vn(x)]x2/n, et (un(x) – vn(x)) tend vers 0.

Les deux suites ont donc même limite.

On note exp la fonction qui à x fait correspondre la limite commune des suites (un(x)) et (vn(x)).

On a exp(0) = 1.

Il reste à étudier la dérivée de cette fonction ; pour cela, étudions la limite du rapport

lorsque h tend vers 0, x étant fixé, et montrons qu’elle est égale à exp(x).

L’idée est de faire apparaître exp(x) dans exp(x + h), et pour cela d’écrire :

On suppose h < 1 et n + x > 1. En utilisant la propriété �, on a ,

soit, en passant à la limite : exp(x + h) ≥ exp(x)(1 + h).

On change h en –h, puis x en x + h. Il vient : exp(x + h) � .exp(x)1 − h

1 + x + hn

n

≥ 1 + xn

n

1 + h

1 + xn

1 + x + hn

n

= 1 + xn

n

1 + h

n 1 + xn

n

exp(x + h) − exp(x)h

1 − x2

n≤ un (x)

vn (x)≤ 1

un (x)vn (x)

= 1 − x2

n2

≥ 1 − x2

n

un +1(x) = 1 + xn + 1

n +1

1 − x

n n + 1( ) 1 + xn

n +1

≥ 1 + xn

n +1

1 − x

n 1 + xn

= 1 + xn

n

1 + xn

− xn

= un (x)

1 + xn + 1

= 1 + xn

− x

n n + 1( )un +1(x) = 1 + xn + 1

n +1

vn (x) = 1 − xn

−n

un (x) = 1 + xn

n

n


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E

Quelques propriétés

Soit ϕ une fonction vérifiant ϕ’ = ϕ et ϕ(0) = 1. D’après le paragraphe précédent, il enexiste au moins une.

Propriété 1 : La fonction ϕ ne s’annule pas.Soit F la fonction définie par F(x) = ϕ(x)ϕ(–x). Sa dérivée est nulle en tout point, car ϕ’ = ϕ.F est donc constante et vaut toujours 1, qui est la valeur de ϕ en 0. D’où le résultat.De plus, ϕ(–x) = 1/ϕ(x).

Propriété 2 : Soient a et λ deux réels. Il existe une solution et une seule de l’équationf’ = λf vérifiant la condition initiale f(0) = a.La fonction f définie pour tout réel x par f(x) = aϕ(λx) satisfait les deux propriétés.Supposons qu’il existe une autre fonction g qui les satisfasse également. FormonsF(x) = g(x)ϕ(–λx). On vérifie que F’(x) = 0, donc F est constante. Comme F(0) = a, ona F(x) = a. D’où g(x) = a/ϕ(–λx) = aϕ(λx) = f(x).En prenant λ = 1 et a = 1, on voit qu’il n’existe qu’une seule fonction égale à sa dérivéeet prenant la valeur 1 en 0. C’est donc la fonction exp.

Propriété 3 : Soit f une fonction dérivable sur � telle que f(0) = 1. Les deux proposi-tions suivantes sont équivalentes :i) il existe une constante λ telle que f vérifie f’ = λf ;ii) pour tous réels a et b : f(a + b) = f(a)f(b).Montrons que (i) implique (ii).Soit g définie par g(x) = f(a + x) ; g vérifie g’ = λg et g(0) = f(a).Soit h définie par h(x) = f(a)f(x) ; h vérifie h’ = λh et h(0) = f(a) ;D’après la propriété 2, les deux fonctions g et h sont égales.Montrons que (ii) implique (i).On a f(a + x) = f(a)f(x) ; en dérivant par rapport à x, on trouve f’(a + x) = f’(a)f’(x) ;en prenant x = 0 dans cette dernière égalité, on trouve que, pour tout a, f’(a) = λf(a),soit f’ = λf, avec λ = f’(0).

Corollaire : Pour tout nombre réel x, ϕ(x) > 0. On sait déjà que ϕ ne s’annule pas. Le résultat découle alors de : ϕ(x) = ϕ(x/2 + x/2) =ϕ(x/2)2

Une notation pour la fonction exponentielle (fonction exp).On montre par récurrence en utilisant la propriété 3 ci-dessus que pour tout nombrea et tout entier (positif ou négatif) n :

exp(an) = (exp(a))n.On convient de noter e le nombre exp(1). On peut alors écrire exp(n) = en. La fonctionexponentielle prolonge à � la fonction définie sur � par :

et garde la propriété de transformer une somme en produit. On convient d’écrire, pourtout réel x :

exp(x) = ex.On remarque que, la fonction étant strictement positive, sa dérivée est partoutstrictement positive, d’où e > 1. Une valeur approchée de e = lim(1 + 1/n)n est2,7182818284590452353.

x xa e

n a exp(n)

La combinaison des deux inégalités permet d’écrire :

– pour h > 0 : exp(x) � � .

– pour h < 0 : � � exp(x).

d’où le résultat annoncé en passant à la limite pour h tendant vers 0.


exp(x)1 − h

exp(x)1 − h


Variabilité et incertitudes… (annexe) 87

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EVariabilité et incertitudes dans les mesures physiques (TG5)Mesurer, c’est faire une expérience où l’on compare une grandeur à une autre grandeurde même nature prise comme étalon.

Les objectifs

Parmi les objectifs d’enseignement que l’on peut assigner à la pratique de la mesuredans les sciences expérimentales, il en est deux qui paraissent fondamentaux :

– Comprendre que la variabilité associée à la mesure est un phénomène objectif. Sil’on répète plusieurs fois la mesure d’une grandeur, on obtient en général des résultatsdifférents et cette dispersion des résultats est un phénomène normal. À partir d’unensemble de mesures, on peut calculer une valeur moyenne et un écart type empiri-ques, ce dernier caractérisant la dispersion. Constater que répéter plusieurs fois unemême opération, dans des conditions apparemment identiques, conduit à des résultatsdifférents est surprenant. La surprise appelle explication. On peut chercher l’originede la variabilité dans trois directions :• la grandeur que l’on cherche à déterminer;• l’instrument et la méthode de mesure;• l’expérimentateur.

– Constater que la valeur moyenne de N mesures tend à se stabiliser lorsque Naugmente. Faire une mesure, c’est réaliser une expérience qui comporte une partd’aléatoire : chaque mesure est un tirage dans l’ensemble (en général infini) des résul-tats possibles; il y a fluctuation d’échantillonnage d’une série de mesure à une autre.La valeur moyenne d’une série de mesures est elle-même sujette à fluctuation d’unesérie à une autre. On constate cependant expérimentalement que l’écart type de lavaleur moyenne de N mesures est plus petit que l’écart type associé à une mesure dans

un rapport de l’ordre de .Ce second aspect peut être abordé à diverses occasions, mais sa formalisation relèvede l’après-baccalauréat. Seul le premier objectif peut constituer un ensemble deconnaissances exigibles au lycée.

Les lignes qui suivent cherchent à justifier ces objectifs, tout en proposant un vocabu-laire simple. En particulier :– On s’abstiendra de toute référence à la notion de « valeur exacte » au profit de lanotion de « valeur de référence » ou de « valeur admise ». Il convient ici de distinguerle contexte d’un laboratoire de métrologie des autres contextes. Un laboratoire demétrologie a pour mission, entre autres, de déterminer les valeurs de référence decertaines grandeurs. C’est donc lui qui détermine les valeurs qui deviendront les« valeurs admises » par les utilisateurs, qui les utilisent pour étalonner leurs appareils.– On réservera le terme « erreur » aux erreurs systématiques ou aux fautes du mani-pulateur. Le mot sera utilisé ainsi avec un sens proche du sens courant : une erreur,c’est ce qu’on peut éviter ou corriger.– Le terme « incertitude » a une connotation négative, à cause de son contraire« certitude ». Les termes « variabilité » et « dispersion » ne possèdent pas cetteconnotation et sont en réalité plus fondamentaux, car ils renvoient au caractère aléa-toire de la mesure. On partira donc de ces notions pour « construire » la notiond’incertitude de mesure.– Il convient de distinguer soigneusement les notions empiriques des notions théori-ques : par exemple, à l’issue d’une série de mesures, il est possible de caractériser ladispersion des résultats en calculant un écart type empirique s. Un écart type théoriqueσ suppose d’avoir choisi un modèle, c’est-à-dire ici une loi de probabilité. Dans lamesure du possible, on détermine l’écart type empirique de façon qu’il soit un bonestimateur de l’écart type théorique.

1 N⁄


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E Variabilité des mesures

Les principales sources de variabilité des mesures

Explorons brièvement les trois directions repérées en introduction.

La grandeur à mesurer

En général, elle n’a pas une valeur unique, mais elle est distribuée sur un ensemble devaleurs voisines. Cette distribution ne doit pas alors être considérée comme une erreur,mais comme un fait qui contient de l’information, éventuellement intéressante. Il s’agitlà d’une dispersion intrinsèque.Prenons quelques exemples.

a) La taille d’un individu : chez un adulte, cette taille varie d’environ un centimètreentre le lever et le coucher (effet de tassement diurne). Elle dépend donc de la précisiondemandée pour son évaluation. À un mètre près, la grande majorité des adultes mesu-rent deux mètres. Au millimètre près, il faudra préciser le moment du jour où la mesureest faite. La variable « taille d’un individu en France à notre époque » est une variablealéatoire dont la taille de chaque individu est une réalisation. Le carnet de santé donnela distribution des résultats en fonction du temps, de la naissance à l’âge adulte, etfournit une indication de leur dispersion.

b) La largeur d’une table : une table n’est pas un objet mathématique, c’est une tableréelle, dont la « largeur » varie selon l’endroit où on la mesure. Cette variation résultedu processus de fabrication lui-même, mais aussi du vieillissement du bois, qui secontracte ici, se dilate là, et se gauchit. On pourra noter les différentes valeurs mesu-rées, effectuer leur moyenne et observer la distribution des valeurs mesurées autour decette valeur moyenne. Elle est sûrement plus grande pour une table ancienne que pourune table récente fabriquée en usine, donc la distribution des valeurs est significative.Il y a certes des situations où seule la seule valeur moyenne est pertinente (par exemplesi l’on s’intéresse au prix du bois de la table21).

c) La température et la pression : ce sont, par construction, des grandeurs qui ont unedispersion. La température, par exemple, est proportionnelle à l’énergie cinétiquemoyenne des particules du milieu. Or l’énergie cinétique totale, proportionnelle à unesomme de variables aléatoires (le carré des vitesses des particules), est une variablealéatoire et sa moyenne également. Pour un système macroscopique, la dispersion est

totalement négligeable (elle est en , si N est le nombre de molécules). Elledevient cependant perceptible si l’on diminue le nombre de constituants, comme dansles noyaux atomiques ou les petits agrégats moléculaires ou atomiques. À l’échelled’une particule, le concept de température n’a plus de sens. Où se situe la transition?Bonne question, sur laquelle des chercheurs travaillent en ce moment même, enétudiant notamment la signature des transitions de phase connues dans des systèmesde petite taille.

d) Le nombre d’habitants d’un pays : on a l’impression qu’il s’agit d’un nombre entierparfaitement défini. Il l’est effectivement, à chaque instant, mais quelle est l’échelle detemps de sa variation? Il y a sans arrêt des gens qui meurent, disons 600000 par anen France, à peu près autant qui naissent (un peu plus), et des gens qui se font natu-raliser (peu) ou dénaturaliser (encore moins). Ca fait de l’ordre de 1,2 à 1,3 millionsde signaux + 1 et – 1 à distribuer dans l’année. Pour obtenir un ordre de grandeur,

21. Parler de « table » n’a de sens que si l’on est capable d’isoler cet objet de son environnement. Or,

si l’on se place à l’échelle moléculaire, c’est la notion même de frontière nette entre la table et le reste

du monde qui disparaît. On passe de façon continue de l’intérieur de la table à l’extérieur (sur une

échelle de quelques distances moléculaires), et d’ailleurs si un bois possède une odeur, c’est bien parce

que des molécules le quittent sans arrêt, pour aller poursuivre leur vie dans les narines des promeneurs

émerveillés. La notion usuelle de « largeur » perd donc son sens en deçà de l’échelle de quelques molé-

cules, ce qui ne pose pas de difficulté pour la vie quotidienne. Mais notons qu’on met là le doigt sur

le fait qu’un concept n’est pertinent qu’à une certaine échelle d’appréhension du monde.

1 N⁄


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Esupposons que cela se fasse de façon uniforme22. Comme il y a environ 30 millions deseconde dans une année, le nombre d’habitants fluctue sur une échelle de 25 secondes.Si l’on trace le nombre d’habitants en fonction du temps, on obtient donc une courbeen dents de scie (non régulière, car les naissances et les décès ne se répartissent enréalité pas de façon uniforme!). Si l’on effectue une moyenne du nombre d’habitantssur une échelle de temps de quelques dizaines de minutes, on obtient une courbe lissée,et l’on pourra caractériser l’amplitude de la dispersion du nombre d’habitants enconsidérant la différence entre la courbe vraie et la courbe lissée. Cette dispersion n’estni une erreur ni une incertitude, elle peut contenir de l’information. Par exemple, yvoit-on des effets systématiques, comme par exemple l’alternance des jours et desnuits? Meurt-on plus la nuit que le jour? C’est possible. Si, en revanche, on ne s’inté-resse pas à cette échelle de temps, on prendra une moyenne sur un intervalle de tempsplus grand. Il restera alors une autre courbe lissée, qui fera apparaître la lente dérivecroissante, l’effet des guerres, des épidémies, de l’accroissement de la longévité, etc.

Remarquons que dans cette discussion, la question de la détermination expérimentaledu nombre d’habitants a été laissée de côté. Il est intéressant d’y venir. Le nombred’habitants à un instant donné existe bien, mais il est cependant impossible à déterminerpratiquement, car le processus de mesure (le recensement) s’effectue sur une échelle detemps bien supérieure à celle des fluctuations qui, comme on l’a vu, est de l’ordre de25 secondes. On est dans un cas où le temps de réponse de l’appareil est plus lent que letemps caractéristique des variations de la grandeur mesurée. Et ce n’est pas tout. Il restela question du comptage, nécessairement entaché d’erreurs, des vraies erreurs cette fois(là, c’est de l’expérimentateur qu’il s’agit). Comme on l’a vu dans les élections américai-nes de 2001, cela peut conduire à des effets rocambolesques, car la décision à prendrerequiert une précision plus grande que l’erreur.

e) Les raies spectrales : elles ont toujours une « largeur » qui, via la quatrième relationde Heisenberg, est reliée à la durée de vie des états excités. On attribue du reste unelargeur en énergie aux états eux-mêmes (qu’il s’agisse de l’échelle atomique, nucléaire,ou de l’échelle des particules dites élémentaires).

f) La radioactivité : ce phénomène fournit peut-être le meilleur exemple, en classe determinale, de phénomène physique présentant une variabilité intrinsèque dont la signi-fication est profonde. Le taux de comptage, dans des conditions expérimentalesdonnées, produit par un compteur Geiger ou un photomultiplicateur en présenced’une source radioactive varie de façon aléatoire. L’aléatoire du taux de comptages’explique par le caractère aléatoire de la durée de vie d’un noyau radioactif et par leprocessus de « mort sans vieillissement » qui le caractérise (et dont la mécaniquequantique rend compte). Mais la valeur moyenne du taux de comptage, pour un inter-valle de temps d’observation donné, et sa dispersion peuvent être déterminés avectoute la précision voulue. La dispersion, ici, n’est en aucune façon une « imprécision »,elle constitue une des caractéristiques du phénomène23.

Notons enfin qu’une dispersion de la grandeur à mesurer peut également résulter del’influence de paramètres dont on ne contrôle pas la variation : pression ou tempéra-ture lors de la mesure d’un volume, température lors de la mesure d’une résistance,variation temporelle, etc.

L’instrument de mesure

Il est caractérisé par :– son temps de réponse;– son exactitude, qui se décline en justesse (pas d’erreurs systématiques) et fidélité(caractérisant la variance des résultats qu’il permet d’obtenir);– sa sensibilité.

22. Certains prétendent que ce n’est pas le cas et qu’il y a plus de naissances les soirs de pleine Lune,

mais cela ne semble pas être confirmé par l’examen des chiffres dans les maternités!

23. Pour le cas particulier de la radioactivité, on se reportera aux documents d’accompagnement rela-

tifs à la partie « Radioactivité » du programme de terminale scientifique, ainsi qu’au document

commun physique, mathématiques et sciences de la Terre.


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E Faire une mesure, c’est toujours mettre en interaction un appareil avec le système àétudier, c’est donc enregistrer la réponse de l’appareil à une excitation produite par lesystème.La réponse de l’instrument de mesure met un certain temps à s’établir, c’est le tempsde réponse. Pour un phénomène qui varie dans le temps, il faut s’assurer que le tempsde réponse de l’appareil est nettement plus petit que l’échelle de variation temporellede la grandeur à mesurer (voir plus haut le cas du recensement d’une population).

Quelques exemples :– Une chauve-souris évalue les distances d’obstacles ou de proies par émission-réception d’ultrasons. Le système n’est efficace que parce que l’intervalle de temps aucours duquel un train d’onde est émis, renvoyé par l’obstacle, reçu par l’animal etdécodé par son cerveau est suffisamment bref pour que la position de l’animal pendantce temps ait peu varié. Sinon, c’est la collision assurée ou l’impossibilité de se nourrir :exit la chauve-souris de la diversité des espèces!– Certaines jauges de pression fonctionnent par déformation d’une membrane quiconstitue l’une des armatures d’un condensateur. La mesure de la capacité de cecondensateur est reliée à la pression exercée sur la membrane. Pour pouvoir suivre desvariations temporelles de la pression, le temps de réponse de la membrane (réponsemécanique) doit être petit devant l’échelle de temps de variation de cette pression.– Lors d’un titrage acide-base, après chaque ajout de réactif titrant, le temps mis pouratteindre le régime permanent d’échange ionique au niveau de l’électrode de verre estbien supérieur à celui de la transformation chimique.

Un appareil de mesure fonctionne bien dans une certaine plage de valeurs de la gran-deur à mesurer. Dans la mesure du possible, il faut faire fonctionner un appareil là oùsa sensibilité est maximale, c’est-à-dire dans un domaine où une variation de la gran-deur à mesurer produit la plus grande variation de l’indication de l’appareil.Dans le cas de la jauge de pression cité plus haut, les limites extrêmes du domaine sont,vers les basses pressions, une déformation de la membrane trop petite pour êtremesurée, vers les hautes pressions, la limite d’élasticité de la membrane.Il faut distinguer sensibilité et justesse. Un appareil peut être sensible sans être juste(par exemple s’il est mal calibré). Dans le cas où la grandeur à mesurer à une dispersionintrinsèque négligeable, on dira qu’une mesure est d’autant plus exacte que l’appareilest juste et sa dispersion faible.Les constructeurs fournissent des indications concernant la précision de leurs appa-reils sous forme d’incertitudes à attribuer aux mesures effectuées (par un opérateursupposé compétent) et il faut se reporter aux notices de fabrication pour connaître lesens précis… de la « précision » indiquée. Les incertitudes sont de nature très variée.Prenons l’exemple d’une boîte de résistances fournie avec une « précision » affichéede 0,5 %. Cette précision recouvre un aspect d’échantillonnage (le fabricant fabriquedes milliers de boîtes dont les résistances varient nécessairement un peu d’un exem-plaire à l’autre) et un aspect de fonctionnement (la résistance change avec la tempéra-ture du fil, qui dépend elle-même de l’intensité du courant qui le parcourt). Lefabricant donne une limite à l’effet de ces différents facteurs sur la valeur des résis-tances de la boîte, en moyenne (en moyenne sur l’ensemble des échantillons qu’ilfabrique).

L’expérimentateur

La dernière cause de variation des résultats de la mesure d’une grandeur physiqueréside dans les appréciations de l’opérateur lui-même. On ne refait jamais la mesureexactement dans les mêmes conditions, parce que l’appréciation de l’opérateur changed’une mesure à la suivante : erreur de parallaxe dans le repérage d’un trait de jauge,effets de ménisque dans une pipette, fatigue, etc. D’une mesure à l’autre, pour un appa-reil de précision donnée, le résultat varie.On pourra parler de mesure juste si l’opérateur a évité toute erreur systématique. Unemesure peut ainsi être fidèle (dispersion petite) sans être juste (comportant des erreurssystématiques) ou juste (pas d’erreur systématique) sans être fidèle (grande dispersion).


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ERemarque – Une mesure comporte en général plusieurs opérations dont chacune peutêtre source de variabilité. Il est important de savoir distinguer les sources de variabilitéimportante de celles qui sont négligeables : dans le premier cas, il faudra répéter plu-sieurs fois l’opération, dans le second cas ce ne sera pas nécessaire. S’il faut, par exemple,prélever un liquide avec une pipette et en effectuer la pesée, la source principale de varia-bilité sera souvent dans l’utilisation de la pipette : on prélèvera plusieurs fois du liquidedont on n’effectuera qu’une seule pesée.

Approche de la variabilité et de la dispersion des mesures : une stratégie possible

Dans la conduite d’une expérience, on est souvent amené à étudier une relation entredifférentes grandeurs, soit qu’il s’agisse d’établir une loi empirique, soit qu’il s’agisse,connaissant une loi, de l’utiliser pour déterminer une grandeur inconnue. Ainsi, onpeut chercher à établir la relation entre pression et volume pour un gaz à températureconstante, utiliser la relation entre tension et courant électrique pour l’étude de larésistance d’un fil conducteur, déterminer la variation de la vitesse d’un mobile aucours du temps, etc. Le résultat d’un ensemble de mesures fournit un tableau devaleurs dont on peut faire une représentation graphique. Cette représentationgraphique est un excellent outil pour sensibiliser l’élève à la question de la dispersiondes mesures et pour élaborer une progression dans sa compréhension. En effet :– L’ensemble des points obtenus, reporté sur un graphique, suggère le plus souventune courbe régulière, mais qui ne passe en général pas par tous les points : elle peutmême ne passer par aucun! Cette constatation peut amener un premier questionne-ment. Étant entendu que le phénomène peut (doit?) être représenté par une courbecontinue, faut-il faire passer cette courbe par tous les points obtenus, au prix d’intro-duire des irrégularités à petite échelle, ou faut-il au contraire chercher une courbe régu-lière qui passe « au mieux » par l’ensemble des points mesurés, et donc considérer queles écarts relèvent de l’aléatoire du mesurage? (Les guillemets signalent que les termes« moyen » et « au mieux » sont utilisés ici dans leur acception intuitive; les élèves nedisposent pas des outils permettant de quantifier ces notions, mais la question poséepeut cependant être comprise.) Cette question amène naturellement à reprendre quel-ques points de mesure, pour vérification. On s’aperçoit alors que les nouveaux résultatssont différents des premiers : il y a variabilité d’une mesure à l’autre. Cette constatationdoit naturellement amener la réponse suivante à la question posée : il faut rechercherune courbe régulière, qui ne passe pas nécessairement par tous les points mesurés.– Se pose alors la question de la « distance » des points mesurés à la courbe. Si unpoint est très éloigné, faut-il en tenir compte ou cela signale-t-il une erreur demanipulation? Et que signifie l’expression « très éloigné »? Si les mesures présententune variabilité, il est clair que la situation idéale serait d’effectuer, pour chaque valeurde la grandeur portée en abscisse, un nombre suffisant (20, 50?) de mesures de l’autregrandeur. On serait ainsi conduit à reporter sur le graphique la valeur moyenne de lagrandeur mesurée et l’écart type correspondant aux valeurs mesurées (comme carac-térisant la dispersion de la grandeur). Une courbe moyenne qui passe dans tous lesintervalles ainsi déterminés peut être considérée comme satisfaisante24. On voit que lanotion « d’éloignement » d’un point de la courbe moyenne est relative à l’incertitudeexpérimentale qui est associée à ce point.– L’étape supplémentaire dans la progression est de s’apercevoir que la dispersion dela valeur moyenne d’un ensemble de valeurs est plus petite que la dispersion desvaleurs elles-mêmes. Comme la plupart du temps, il n’est pas possible (ni souhaitableà ce niveau d’enseignement) d’obtenir pour chaque point une statistique de mesuressuffisante, cet aspect pourra être discuté lors de la mise en commun, lorsque le travailexpérimental s’y prête, des résultats des divers groupes d’élèves. Cette mise encommun doit être assortie de précautions : elle n’a de sens que si les appareils demesure ont des caractéristiques voisines (statistiquement identiques).

24. On pourra remarquer que la grandeur portée en abscisse est elle aussi sujette à variabilité, si bien

que le résultat des mesures apparaît sous forme d’un ensemble de petits rectangles et que la courbe

recherchée doit passer « au plus près » de ces rectangles.


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NEX

E – Même lorsque l’on ne dispose que d’une mesure par point, une évaluation de ladispersion expérimentale ressort naturellement de la comparaison avec la courbemoyenne. Par un retournement de perspective, l’écart entre les points mesurés et lacourbe moyenne permet d’évaluer cette dispersion.– Lorsqu’on utilise un logiciel pour déterminer par exemple les paramètres d’une rela-tion affine entre grandeurs, on obtient des valeurs assorties de valeurs d’écart type.Ces écarts types sont calculées par propagation des erreurs tenant compte des écartsentre points expérimentaux et courbe moyenne.

Valeur moyenne et écart type empiriquesPlaçons-nous dans le cas où l’on effectue des mesures répétées d’une même grandeur.Soit X la grandeur mesurée et xi, i = 1 à N, un ensemble de valeurs mesurées dans lesmêmes conditions. On peut tracer un histogramme de ces valeurs, qui permettrad’apprécier leur dispersion.On peut aussi faire des moyennes partielles. Par exemple, on groupe les valeurs mesu-rées par paquet de cinq dont on calcule la moyenne, et l’on trace l’histogramme de cesvaleurs moyennes mi(5) (il y en a environ N/5) : on constate alors que les valeursmoyennes sont plus regroupées que les mesures originelles. Si l’on calcule lesmoyennes de dix valeurs au lieu de cinq, on constate que la dispersion des mi(10) està son tour plus petite que celle des mi(5), etc. Il n’est évidemment besoin d’aucunethéorie pour faire ces observations empiriques. Elles donnent à penser que d’unemesure à l’autre les causes de variabilité se compensent, et que par conséquent lamoyenne de plusieurs valeurs est « meilleure » (au sens de sa reproductibilité) que lerésultat d’une mesure unique.Il est souhaitable de traiter quantitativement un cas où l’on verra que l’écart type demi(N) diminue lorsque N augmente (précisons qu’il faut pour cela réaliser plusieursfois N mesures de la grandeur d’intérêt).On affirmera qu’il en est toujours ainsi, et que la théorie sera faite au-delà dubaccalauréat25.On affirmera donc que si m est la valeur moyenne de N mesures et s l’écart type deces N mesures :

et ,

l’écart type de la valeur moyenne est voisin de .

Expression du résultat d’un mesurage. Notion d’incertitudeS’il est devenu clair pour l’élève que l’opération de mesure, ou mesurage, est une expé-rience où la grandeur est modélisée par une variable aléatoire, le résultat de cetteopération ne peut simplement s’exprimer par un seul nombre : il est nécessaire decaractériser la dispersion de cette variable aléatoire.On appelle « incertitude » l’estimation quantitative de la dispersion des mesures.Dans la pratique, plusieurs cas sont à considérer.

25. L’expérience que constitue une mesure est modélisée par une loi de probabilité P sur l’ensemble

des valeurs qu’elle peut prendre (le plus souvent une loi gaussienne). Soit µ la moyenne théorique et

σ l’écart type. La loi de probabilité de la moyenne arithmétique m de N mesures est une loi entièrement

déterminée par P. Par linéarité de la moyenne, l’espérance de m est µ ; comme les mesures sont indé-

pendantes, la variance de leur somme est la somme des variances, soit Nσ2; en divisant la somme des

mesures par N, on divise la variance par N2; la variance de la moyenne arithmétique est donc

et l’écart type, . Ces considérations sont hors programme du lycée.

σ2 N⁄σ N⁄

m 1N----- yi∑= s2 1

N 1–-------------- yi m–( )2∑=

s N⁄


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ECas d’un ensemble de mesures uniques : détermination d’incertitudes à partir de la modélisation mathématique d’une relation entre grandeurs

C’est le cas le plus fréquent dans la pratique expérimentale au lycée, où l’on étudiesouvent un phénomène qui s’exprime par une relation : angle d’incidence et angle deréfraction, courant électrique et tension, vitesse de chute et temps, etc. On fixe l’unedes grandeurs à différentes valeurs et l’on mesure les valeurs correspondantes del’autre grandeur. Une estimation de l’incertitude sur chaque point ressort de la compa-raison entre les valeurs mesurées et les valeurs correspondantes sur la courbe repré-sentant au mieux les points expérimentaux. Le cas de la régression linéaire, qui figuredans les calculettes et logiciels scientifiques, est présenté dans l’annexe, où l’on abordeégalement la procédure de détermination des incertitudes sur les coefficients obtenuslors de cette régression.

Cas d’un ensemble de N mesures identiques

Soit m la valeur moyenne des N résultats et s l’écart type. Le résultat de la mesure estprésenté sous la forme :

Valeur moyenne m, incertitude .

Remarques – Il est important de distinguer l’incertitude sur chacune des mesures indi-viduelles (dont la dispersion est caractérisée par s) de celle portant sur la moyenne.

Il est important également de noter que l’écriture (m, ) ne signifie pas queles valeurs déterminées pour la moyenne sont comprises dans l’intervalle

. Des résultats peuvent être en dehors de cet intervalle. Lanotion d’intervalle de confiance n’étant pas au programme du lycée, nous ne ladiscuterons pas ici.

Cas d’une grandeur calculée

Soit Y une grandeur fonction connue d’une autre grandeur X : Y = f(X). La grandeurX est mesurée, mais pas la grandeur Y. X est modélisée par une variable aléatoire devaleur moyenne a et d’écart type σx. Si l’on connaît la loi de probabilité de X, celle deY est déterminée. Il est cependant commode de remplacer Y par son approximationY � f(a) + f ’(a)(X – a).Y est donc approximé par une variable aléatoire de valeur moyenne f(a) et d’écart typeσy = |f’(a)|σx.L’approximation est d’autant meilleure que σx/a est petit devant 1.

La grandeur Z peut être une fonction de plusieurs variables. Prenons le cas d’unesomme de variables aléatoires indépendantes : Z = X + Y.

Dans ce cas, les valeurs moyennes s’ajoutent, ainsi que les variances, qui sont les carrés

des écarts types. On a donc .

Le cas d’une somme de la forme Z = α +βX + γY s’en déduit immédiatement. On a

.

La généralisation au cas d’une relation quelconque Z = f(X, Y), où les grandeurs X etY sont mesurées et la grandeur Z est calculée, peut alors être faite. Soient a et b lesvaleurs moyennes estimées de X et Y. L’incertitude sur Z est donnée par l’expression

où apparaissent les dérivées partielles de f par rapport aux variables X et Y respecti-vement prises en a et b26.

26. On remplace la variable aléatoire Z par son approximation obtenue en développant f au voisinage

des valeurs moyennes a et b : , où ε et ε’ désigne deux variables

aléatoires indépendantes de valeurs moyennes nulles et d’écart type σx et σy. On se ramène donc à la

somme de variables aléatoires.

s N⁄

s N⁄

m s N⁄– m s N⁄+,( )

σZ σX2 σY

2+=

σZ β2σX2 γ2σY

2+=

σz f ′x a b,( )[ ] 2σx2 f ′y a b,( )[ ] 2σy

2+=

Z f a b,( ) ∂f a b,( )∂x

---------------------ε ∂f a b,( )∂y

---------------------ε′+ +≅


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E Ce résultat, non démontré aux élèves, peut être pris pour évaluer l’écart type empi-rique sz sur Z à partir des écarts types empiriques sx et sy sur X et Y, en remplaçantdans la formule les σ par les s.

Remarque – Cette estimation de l’écart type diffère de ce que l’on obtiendrait en faisantun « calcul d’erreur », lequel conduit à l’expression : ∆z =|f’x(a, b)|∆X + |f’x(a, b)|∆Y.

Chiffres significatifsLe nombre de chiffres significatifs à donner dans un résultat dépend de l’évaluationde l’incertitude. Ne donner l’incertitude qu’avec un chiffre significatif revient à estimerque cette incertitude n’est estimée qu’à 50 % près. En général, l’incertitude est estiméeà quelques pour cents, ce qui signifie qu’on peut la donner avec deux chiffres signifi-catifs. Ceci détermine du même coup le nombre de chiffres significatifs de la grandeurelle-même.C’est donc l’incertitude sur l’incertitude qui fixe le nombre de chiffres significatifs.

Lors des séances de TP, les appareils couramment utilisés au lycée n’excèdent pas uneprécision de 1 %, ce qui justifie l’utilisation de deux ou trois chiffres significatifs. Ilest important de faire comprendre à l’élève que l’expression d’un résultat dépend desdonnées fournies et nécessite souvent un raisonnement.

N.B. – Le calcul du défaut de masse nucléaire par exemple, ne peut évidemment passe résoudre à trois chiffres significatifs.

Complément – À propos de la régression linéaire et de la méthode des moindres carrésLa régression linéaire, cas particulier d’une régression par « moindres carrés »,contient des conditions sur les incertitudes qu’il convient de respecter si l’on utilisecette méthode dans le cadre d’une détermination expérimentale de valeurs de gran-deurs physiques. Dans ce cas, le calcul permet en effet de connaître l’incertitude quiporte sur chacune des mesures portées en ordonnée et de donner les valeurs des deuxparamètres avec l’incertitude correspondante.Les éléments théoriques ci-dessous ne constituent pas un ensemble de connaissancesà faire acquérir aux élèves. Toutefois, l’usage de la régression linéaire ou de fonctionslogicielles d’optimisation par moindres carrés étant répandu dans la pratique, ilconvient d’indiquer aux élèves le principe de cette détermination en leur donnantl’expression de l’écart quadratique moyen. De là, le raisonnement qualitatif permet-tant de comprendre les conditions d’utilisation et la prise en compte – de fait – desincertitudes expérimentales, leur est accessible.

Les conditions d’application

Ces conditions proviennent du fondement de la méthode : la minimisation d’un écartquadratique simple. Cherchant à trouver une fonction y = f(x) passant au plus prèsd’un ensemble de N points (xi, yi), on peut chercher à minimiser l’écart moyen suivant :

avec yi, th = f(xi).1N----- yi th, yi–( )2∑


L’écart entre le modèle y = f(x) et les mesures est compté selon l’ordonnée : pourchaque valeur xi, on calcule la différence yi – f(xi).

Ce critère simple contient visiblement des conditions d’utilisation. En effet, l’expres-sion ne fait intervenir que l’écart compté sur l’axe « des y »; ceci signifie que l’incer-titude considérée n’est que celle qui concerne y soit, en d’autres termes, quel’incertitude sur la grandeur portée en abscisse est négligeable. De plus, la sommationconsidère tous les points de la même manière; cela signifie que l’incertitude sur « y »est la même pour tous les points.

Pour une fonction de la forme y = a.x + b, le minimum de l’écart, considéré commefonction de a et b, se détermine par l’annulation des dérivées partielles puis la résolu-tion du système d’équations; ceci conduit à des expressions du type :

.

L’information sur les incertitudes

La méthode revient à considérer que l’écart résiduel qui reste lorsqu’on a ainsi fait « aumieux » résulte donc de l’incertitude expérimentale sy sur la grandeur portée enordonnée. Il est clair alors que l’information sur cette incertitude est contenue dans lavaleur minimale de l’écart quadratique. On notera que a et b sont des fonctionslinéaires des yi. On peut donc calculer par propagation les estimations sa et sb desécarts-types σa et σb affectant les paramètres a et b (voir plus haut le cas d’une variablealéatoire somme de variables aléatoires indépendantes). Les tableurs donnentd’ailleurs l’ensemble de ces résultats. Ainsi, la commande « DROITEREG » dutableur Excel donne-t-elle un résultat « matriciel27 » :

Dans le cas présent, le coefficient de corrélation r est voisin de 1.

a b

sa sb

r2 sy

27. Pour utiliser une formule dite « matricielle », il faut sélectionner la zone d’affectation de

2 × 3 cellules et valider la fonction DROITEREG() par « Ctrl + Entrée ».

aN xiyi∑ xi∑ yi∑–

N xi2∑ xi∑( )2–

---------------------------------------------------= byi xi

2∑∑ xi∑ xiyi∑–

N xi2∑ xi∑( )2–

------------------------------------------------------------=


Remarques– Ces éléments développés à propos de la régression linéaire valent pour toute modé-lisation par la méthode des moindres carrés simple (non pondérée).– L’écart entre un point et la courbe théorique n’a, dans le cas général, pas de valeuren soi : c’est sa valeur rapportée à l’incertitude du point qui est intéressante, savoir sic’est dans la « norme » ou non… Rapporter l’écart à l’incertitude, c’est-à-dire estimer(y – f(x))2/σy

2 est donc la méthode à utiliser dans le cas d’incertitudes sur la grandeurportée en ordonnée non constantes.

Quelques repères bibliographiquesBEAUFILS D. et RICHOUX H., « Régression linéaire et incertitudes expérimentales »,Bulletin de l’Union des physiciens, n° 796, 1997, p. 1361-1376.CORTIAL Y., « À propos de la méthode des moindres carrés », Bulletin de l’Union desphysiciens, 1990, n° 725.CORTIAL Y., « Optimisation de modèles : la prise en compte des incertitudes », in LesOutils informatiques d’investigation scientifique dans l’enseignement des sciencesphysiques, Paris, UdP-INRP, 1995, p. 61-96.GIÉ H. et MOREAU R., « Le calcul des incertitudes », Bulletin de l’Union des physi-ciens, n° 691, 1987, p. 159-208.SÉRÉ M.-G., « Le déterminisme et le hasard dans la tête des élèves ou de l’utilité dutraitement statistique des séries de mesures », Bulletin de l’Union des physiciens,n° 740, 1992, p. 87-96.TAYLOR J., Incertitudes et analyse des erreurs dans les mesures physiques, MassonSciences, 2000.TRIGEASSOU J.-C., Recherche de modèles expérimentaux assistée par ordinateur,Tec & Doc Lavoisier, 1988.VELAY B., « Statistiques appliquées à l’exploitation des mesures », in Les Outils infor-matiques d’investigation scientifique dans l’enseignement des sciences physiques,Paris, UdP-INRP, 1995, p. 99-114.

Imprimé sur les presses de l’Imprimerie nationale

27, rue de la Convention

75732 Paris Cedex 15

Dépôt légal : décembre 2002

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01 04 PedagPhysTermS CP - lptms.u-psud.frlptms.u-psud.fr/.../enseignement/files/accompagnement-terminale.pdf · Ce document a été rédigé par le groupe d’experts sur les programmes