01- Brochure d'Analyse I Version Entière Pour Forum

7/24/2019 01- Brochure d'Analyse I Version Entire Pour Forum

1/272

BROCHURE D'EXERCICES D'ANALYSE

MATHEMATIQUE I

AVEC RAPPELS DE COURS, ENONCES D'EXERCICES

AVEC REPONSES ET CERTAINS CORRIGES DETAILLES

par

Pr. OSMANOV Hamid et KHELIFATI Saddek (M.C.A)

Anne 2013


2/272

Brochure dexercices danalyse mathmatique I par

OSMANOV H et KHELIFATI S-

2

PREFACE.

Cette premire partie dune brochure est destine aux tudiants de premire anne de tronccommun duniversit qui servira de support pdagogique tant pour ltudiant que pourlenseignant charg des T.D, et ne prtend pas remplacer la diversit des ouvrages existant en lamatire. Elle englobe les chapitres suivants danalyse mathmatique I:

1. Nombres rels.p 0062. Suites numriques.p 0333. Fonctions relles. Fonctions usuelles et lmentaires.p 0744. Limites et continuit.p 1085. Fonctions drivables.p 1636. Formule de Taylor. Dveloppements limits.-p 2127. Etude des fonctions.-p 256

Le nombre dexercices proposs couvre suffisamment le programme danalyse I de premireanne universitaire. Si le nombre dexercices thoriques est plus restreint que ceux caratrecalculatoire, cela est d la nature du tronc commun de premire anne qui regroupe plusieursfilires, savoir: sciences exactes, technologie et informatique; mais cela ne signifie pas que lathorie nest pas importante en technologie et en informatique. Seulement, nous pensons que lestudiants peuvent apprendre tre rigoureux en argumentant les calculs laide des rsultatsthoriques connus. Ceci dune part. Dautre part , lapparition de logiciels informatiques, pouvant

effectuer mme le calcul symbolique, ne doit pas faire oublier que la connaissance des thoriesqui sont la base des mthodes de calcul, est une ncessit pour permettre d abord, de lescomprendre, ensuite de les amliorer; et, pourquoi pas, de les dvelopper ou mme den

concevoir de nouvelles.Cependant ce nest quen rsolvant beaucoup dexercices que ltudiant pourra comprendre

et assimiler la thorie. Ceux qui se limitent la seule thorie ou recopier les solutions desexercices ne retiendront pas grand chose et niront pas loin dans leurs tudes. Car lesmathmatiques se sont avres incontournables dans presque toutes les disciplines scientifiques.

Certains exercices sont plus techniques que thoriques et inversement. La plupart desexercices sont inspirs de certains manuels dexercices, en franais et en russe et de sriesdexercices.

Chaque chapitre se divise en quatre parties:1) rappels du cours sur le chapitre en question,2) noncs des exercices, gnralement suivant le plan du cours,

3) rponses aux exercices,4) corrigs dtaills de certains exercices.

Aussi, nous conseillons ltudiant :1o/ de rviser le cours en question,2o/ de lire attentivement les exercices,3o/ de revoir la ou les parties du cours en relation avec lexercice,4o/ de rsoudre les exercices avant de regarder les rponses ou les corrigs donns, en

respectant les questions poses, cest dire respecter la dmarche propose dans lnonc,5o/ de ne pas se dcourager la premire difficult rencontre,


3/272



3

5o/ dtre rigoureux, cest dire justifier les calculs par les rsultats thoriques connus,6o/ de simplifier si possible les calculs chaque tape tout en respectant les rgles de

simplification ( on a constat que de nombreux tudiants ne simplifient pas les expressionsmathmatiques obtenues, ce qui engendre souvent des erreurs),

7o/ dtre logique et ne pas abuser de lutilisation des doncsans justification,8o/ dviter de raisonner souvent par analogie ou par automatisme, tel que linventionde

nouvelles formules, comme par exemple arctgx arcsinxarccosx , qui est fausse evidemment,

9o/ dessayer de trouver la mthode la plus simple et qui correspond celle demande.

P.S.1) Des erreurs, que se soit sur le plan du texte, des noncs, des rponses ou des corrigs,

peuvent tre releves. Nous prions tout lecteur de les signaler aux auteurs pour une ventuelle

correction.2) Toute suggestion ou remarque pour amliorer cette brochure sont les bienvenues.3) Nous remercions tous les collgues ayant contribu de prs ou de loin la confection de

cette brochure.

Symboles logiques et mathmatiques.

1) : galit, x y : x est gal y

2) : ou, a b : a ou b3) : et, a b : a et b

4) : implication,a b : a implique bou a donc b;

a : condition suffisante de b; pour queb,il suffitab : condition ncessaire dea; pour quea,il fautab

5) : quivalence, a b : a est quivalente b :condition ncessaire et suffisante,pour quea, il faut et il suffit b,

asi et seulementb

6) : appartenance, a A : a appartient A7) : inclusion, A B : A est inclus dans B8) : Contenance, B A : B contient A

9) : intersection, A B : A inter B10) : runion, A B : AunionB11) : vide12) , : ingalits larges,x y : x est infrieur ou gal y13) y x : y est suprieur ou gal x16) , : ingalits strictes,x y : x est strictement infrieur y

y y : y est strictement suprieur x

17) : infini;18) N : ensemble des nombres entiers naturels;19) Z : ensemble des nombres entiers relatifs,20) Q : ensemble des nombres rationnels;

21) R : ensemble des nombres rels;22) R Q : ensemble des nombres irrationnels.


4/272



4

Alphabet grec

: alpha : bta; : gamma ; : phi

; : delta : : Dzta : epsilon : rho : tau; : tta ; : pi; : sigma : n; : lambda : m; : omga ; : Ksi

; : Psi : n


5/272



5

Types de raisonnement mathmatique.

Les principaux types de raisonnement mathmatiques sont les suivants:

1) Raisonnement dductif. Il se base sur le raisonnement logique suivant: si p est uneproposition vraie et si la proposition p qest vraie, alors q est vraie.

Cest le raisonnement le plus utilis qui consiste dduire un rsultat partir daxiomes oude propositions dj dmontres ou supposes vraies, par une suite finie dimplications logiquesde la forme suivante: supposons quon veut dmontrer que la proposition q est vraie sachant quela propositionp, appele hypothse, est vraie, alors la chane des implications suivantes

p p1 p2 . . . pn q,

o p1,p2, . . . . ,pn sont des rsultats vrais intermdiaires, implique en fin de compte queq estvraie.

2) Raisonnement par la contrapose. Il se base sur lquivalence logique suivante:

p q q p.

Ainsi, si on veut dmontrer que la relationp qest vraie, il faut et il suffit de dmontrerla relationq p, appele contrapose de la premire.

3) Raisonnement par labsurde. Il se base sur le principe de tiers exclu, cest dire quen

mathmatiques une proposition est soit vraie, soit fausse. Il consiste, pour dmontrer qu unepropositionp soit vraie, supposer quelle est fausse, cest dire quep est vraie. Alors, par unraisonnement logique, on aboutit une absurdit ou une contradiction avec lhypothse ou avec

un rsultat tabli comme vrai. Dans ce cas p est fausse, doncp est vraie.

4) Raisonnement par rcurrence. Celui-ci permet de dmontrer quune proprositionPn,dpendant de lentiern, soit vraie partir de n 0fix. Il constiste:

i) dmontrer que Pn0est vraie,ii) supposer que Pn, n n0 est vraie et dmontrer que Pn 1est vraie.

Alors, on conclut quePnest vraien n0.


6/272



6

Chapitre I. Nombres rels. Elments de topologie.Rappels de cours.

1. Nombres rels et leurs proprits.

I. 1. Dveloppement dcimal.On rappelle que lensemble desentiers naturelsest not parN 0 ,1, 2, . . . , n , . . . , lensemble des nombresentiers relatifs

par: Z . . . , n, . . . , 2, 1,0,1,2,.. . ,n, . . . 0, 1, 2 , . . . , n, . . . o n vrifielquation n a 0, n N, et lensemble des nombresrationnelsest dfini par

Q r p

q , p, q Z , q 0 p

q , p Z , q N

qui, muni des lois somme et produit, est un corps commutatif dans lequel:x,y Z,

lquationby a xy 0 admet des solutions.On dmontre que tout nombre rationnel

pq peut scrire, en plus de sa forme fractionnaire,

comme un dveloppement dcimal limit de la forme: pq 0,12 . . .n ou illimit priodique

de la forme :pq 0,12 . . .n12. . .m.12. . .m12. . .m...avec 0 N , k,j 0, 1, . . . , 9

et12. . .m tant lapriode.

Dfinition.1. On appelle nombre irrationnel tout dveloppement dcimal illimit non priodique.2. On appelleensemble des nombres rels lensemble, notR, form des nombres

rationnels et irrationnels.

Ainsi, tout nombre rel scrit comme un dvelopppement dcimal illimit, priodique ounon :

x Rdf. x 0,12 . . . , avec0 N et k 0,1,2,.. . ,9, k 1,2,.. .

Voir exercices 1.1 1.5.

Remarque. Il existe dautres mthodes pour dfinir lensemble des nombres rels partir delensemble des rationnels Q, savoir lamthode des coupures ou sectionsde Dedekind, ainsi

que lamthode des suites fondamentalesdans Q. On montre que ces dfinitions aboutissent au

mme ensemble formel des nombres rels.

I.2. Dfinition axiomatique des nombres rels. Lensemble des nombres rels est unensemble, not R, muni de deux lois de composition internes: somme, note " et produit, not., ainsi que dune relation dordre, note, satisfaisant aux axiomes suivants:

A1. x y y x, x, y R commutativit;A2. x y z x y z, x, y, z R associativit;A3 : e R, appellment neutre, note 0, vrifiant :

x 0 0 x x, x R;A4. x R , x R, appellment symtriquede x, notx x,

vrifiant: x x 0;

A5. x.y y.x, x,y R ;A6. x. y.z x.y.z , x,y,z R;


7/272



7

A7. x R,x 0, appel lment unit et notx 1, vrifiant:x. 1 1.x x, x R ;

A8. x R, x 0, x

R, appellment inversede x et notx x1 ou x 1x vrifiant: x.x

1 1;

A9. x. y z x.y x.z, x, y, z R distributivit;A10 x x , x R;A11. x y y x x y;A12. x z z y x y transitivit);A13. x,y R, on a soit x y, soity x ordre totalA14. x y x z y z, z R ;A15. (x y et z 0 x.z y.z ;A16. axiome de coupure ou de continuit).

Si X, Y R tels que x X, y Y, x y, alors c R : x c y

On dfinit la relation dordre stricte par: x y x yet x y.

A partir de laxiomatique, on construit lensemble, N, des nombres dits naturels, lensemble,Z, des nombres dits relatifs et lensemble, Q, des nombres dits rationnels avec N Z Q.

Tout nombre rel qui nest pas rationnel est dit irrationnel.

I.3. Puissance, exponentielle et logarithme dun nombre rel. En plus des oprationssomme et produit, on dfinit la puissance entire dun nombre relx 0 par:

x0 1, xn xn1.x, n 1,et on dmontre que la racine n-ime dun nombre rel positifa, a 0, existe toujours dans

Ret elle est unique, cest dire il existe un seul x 0 tel que xn a. On note dans ce cas

x n a ou x a1n .

De mme, on dmontre que:

i) sia 0, a 1 etx R, alors il existe un seul nombre rely, not y ax, appelpuissance dea avec exposant rel ouexponentiellede basea de x;

ii) sia 0, a 1 et y 0, alors il existe un seul nombre relx, not x logay, appellogatithmede y de basea.

En rsum, si a 0 et a 1 :

y ax, x R x logay, y 0.

Le nombrea R tel que logaa 1 est appel nombre de Nper, dsign par a e(e 2,718281829... . Dans ce cas, on note lexponentielle par ex ou expx

et logex logx ou lnx, appel logarithme nprien.

Proprits de lexponentielle et du logarithme. a 0, a 1i) x,y R : axy axay;

ii) x R : ax 1ax

,

iii) x,y R : axy axy;

iv) x R, b 0, b 1 : ab

x ax

bx;

v)x,y 0 : logaxy logax logay;vi)x,y 0 : loga

xy logax logay;

vii)x 0 : logax logx

loga;

viii)si a 1, alorsx x

ax

ax

et logax logax

.


8/272



8

I.4. Valeur absolue dun nombre rel.On dfinit la valeur absolue dex R par

|x| xsi x 0,

xsi x 0.

Voir exercices 1.11. 1.17.

I.5. Intervalles de R. Une partieI R est un intervalle si et seulement si elle vrifie laproprit suivante:x,y I, x y, alorsz R : x z y z I.

On montre que les intervalles de R sont de la forme suivante:

i.Intervalles borns dextrmits aet b a b :a) a, b x R : a x b, b) a, b x R : a x b,c) a, b x R : a x b ; d a, b x R : a x b,ii. Intervalles non borns dextrmit a R :a) a, x R : x a, b) a, x R : x a,c) , a x R : x a, d) , a x R : x a,

e) , R x R x .f) , R x R x .

I.6. Bornes suprieure et infrieure dun ensemble de R.Dfinition 1.On dit que lensemble X R est :1) major ou born suprieurement sil existe un nombre M R,

appelmajorantde X tel quex X, on ait x M;

2) minor ou born infrieurementsil existe un nombre rel m R,

appelminorantde X, tel quex X, on ait x m;3) bornsil est la fois major et minor.Sil existex 0 Xtel que M x0 ou m x0, alors on aM maxXou m minX.

Dfinition 2.On appelle borne suprieure(resp.borne infrieure) de lensemble X, le pluspetit des majorants, notsupXresp. le plus grand des minorants, notinfX.

Les deux thormes suivants sont vrais:

Thorme 1.i)Les bornes suprieure et infrieure dune partie de R, si elles existent, sont uniques.

ii) Toute partie de R majore (resp. minore) possde une borne suprieure (resp.infrieure).

Remarque. La proprit ii) du thorme 1, appele proprit de la borne suprieure, nestpas vraie dans lensemble des nombres rationnels Q. (Voir exercice 1.26).

Thorme 2.i). Si X est un ensemble major de R et M R, alors:

M supX 1 M est un majorant de X,

2 0, x X : M x M.

ii). Si X est un ensemble minor de R et m R, alors:


9/272



9

m infX 1 m est un minorant de X ,

2 0, x X : m x m .Voir exercices 1.16 1.25.

I.7. Proprit dArchimde et ses consquences.On dmontre que lensemble R vrifie leprincipe dArchimdesuivant:

x R, n N : n x.Cette proprit scrit aussi comme suit:

h 0, x R, n Z : nh x.

Comme premire consquence du principe dArchimde, on montre quex R, n Z : n x n 1.

Dfintion.Le nombre entier n Z vrifiant la relation prcdente est appelpartie entirede x.

Cest le plus grands des entiers infrieurs x.

Par exemple: E0,21 0, E 2 1, E1,23 2.Voir exercice 1.28.Comme deuxime consquence du principe dArchimde, on peut dmontrer le lemme

suivant:

Lemme. (Proprit de densit):i) Pour tous nombres rels a, b a b, il existe un nombre rationnel r

tel que a r b.

ii) Pour tous nombres rels a, b a b, il existe un nombre irrationnel s

tel que a s b.Voir exercice 1.27

I.8. Approximations dun nombre rel.Soit x0 la valeur exacte dune grandeur numriquequelconque et xune valeur approche dex 0. La quantit x x0 x est appeleerreur et|x| |x0 x |, erreur absolue.

On note alors x0 x. Le nombre x est ditevaleur approche par dfaut si x x0 ou six 0 etvaleur approche par excs si x x0 ou x 0. Par exemple six 0 2 , alors

x 1, 414 est une valeur approche par dfaut etx 1,415, par excs, car

1,414 2 1,415.On montre, (daprs le lemme prcdent) quon peut toujours approcher un nombre rel par

un nombre rationnel avec une prcision aussi grande quon veut. En effet, soit le nombre relpositif

x 0,12 . . .n . . . , o 0 N, 1,2, . . . 0,1,2, . . . ,9.Posons :

xn 0,12. . .n et yn 0,12. . . n 1 0,12. . .n 110n

.

Dans ce cas, on a xn,yn Q et xn x yn. Le nombre rationnel xn est ditevaleur

approche par dfautde x, et yn, valeur approche par excs. Comme |xn y n | 110n

,

alors on a:

|x x n | 110n

et |x y n | 110n

.

Dfinition.On appelleerreur relative absoluedune valeur approche le rapport de l

erreurabsolue sur le module de la valeur approche, note


10/272



10

x |x0 x |

|x|

|x|

|x| .

I.9.Raisonnement par rcurrence.Le raisonnement par rcurrence consiste en ce qui suit:soit pnune relation mathmatique dpendant du nombre entier n N. Pour tablir que cetterelation est vraie pour tout n n0, il suffit de montrer que:

1o pn0est vraie;2o si pnest vraie pour n n0, alors pn 1est vraie.Dans ces conditions,pnest vraien n0.Voir exercices 1.30 1.36.

2.Elments de topologie dans R

I.10. Ensembles ouverts, ferms dans R. Comme gnralisation de la notion dintervalleouvert, on a celle densemble ouvert.

Dfinition.i) Un ensemble O R est ditouvertsi pour tout x O, il existe un intervalle ouvert I R

contenu entirement dans O et contenant lui-mme le point x;

ii) un ensemble F R est ditfermsi son complmentaire dans R est ouvert.Exemples.1) Les intervalles a, b, , a, a, , , sont des ouverts.2) Les intervallesa, , , a, , sont des ferms. Ainsi, R est la fois ouvert et

ferm. De mme pour lensemble vide. En fait, on montre que ce sont les seuls ensembles de R

la fois ouverts et ferms.

I.11. Notion de voisinage dun point.Aprs la notion douvert, celle dun voisinage est trsimportante dans ltude de la convergence ou de limite.

Dfinition Soit x R. On appellevoisinagedu point x tout sous-ensemble V de Rcontenant un ouvert O contenant lui-mme le point x.

Exemples.1) Lintervalle ouvertI a, best un voisinage de tout x Iet tout ensemble de la forme

x ,x , 0, est dit voisinagede x.2) Lintervalle fermE a, best un voisinage de tout point x a, b, mais il nest pas un

voisinage des pointsa et b. En effet, x a, b, on aa, b Eet x a, b, mais, daprs la

dfinition dun intervalle, il nexiste aucun intervalle ouvert contenanta ou bet contenu dansa, b.

3)Les ensembles N, Z et Q ne sont des voisinages daucun de leurs points.

I.12. Points adhrents, points daccumulation, points isols. Certains points de R jouentun rle particulier par rapport certains sous-ensembles.

Dfinition.Soit E R. On dit que le point x 0 R est :i) unpoint adhrentde E si tout intervalle ouvert contenant x 0 rencontre E;ii)un point daccumulationde E si tout intervalle ouvert contenant x 0 rencontre E en un

point autre que x0;

iii) unpoint isolde E sil est adhrent E mais il nest pas un point daccumulation de E.Lensemble des points adhrents deEest notE, appeladhrencede E, tandis que

lensemble des points daccumulation deEest notE, appelensemble drivde E.


11/272



11

Exemples.

1) Soit E 0, 1 2. Dans ce cas, lensemble des points adhrents Eest lensembleE 0, 1 2. Tout point x 0, 1 Eest un point daccumulation et lensemble despoints daccumulation estE 0, 1. Le point x0 2 Eest un point adhrent E, mais cenest pas un point daccumulation. Cest un point isol. De mme les points x 0, x 1 sontdes points daccumulation, donc adhrents, mais ils nappartiennent pas E.

2) Soit E 0,1, 12

, . . . , 1n, . . . . Alors, dans ce cas,E E, cest dire que lensemble

des points adhrents Eest gal Eet lensemble des points daccumulation est lensemble unseul point0, E 0.

3) Tous les points relatifs de Z sont isols dans Z.Voir exercices 1.38 43.

I.13. Densit de Q dans R.

Dfinition.On dit que lensemble A R estdensedans R si tout intervalle ouvert ( ouensemble ouvert) de R rencontre A, et on note A R.

Cela signifie que:A R a, b R : a b a, bA .Lemme.Lensemble des rationnels Q est dense dans R, Q R.

3.Sous-ensembles de R.

I.14. Ensembles dnombrables.Une des proprits des ensembles est la notion de

"quantit" de ses lments.Dfinition 2. On dit que deux ensembles A et B sontquipotentssil existe une bijection f de

A sur B, cest dire:b B, !a A : b fa.

Dfinition 2. On dit quun ensemble A R estfinisil existe un nombre n N tel que Asoit quipotent lensemble1,2, . . . , n. A est ditinfinisil nest pas fini.

SiA est fini, il scrit sous la forme A x1,x2, . . . ,xn et il est clair que le nombre de seslments est gal n. On note, alors CardA n. Les ensembles N, Z, Q, R sont infinis.

Parmi les ensembles infinis, les ensemles dnombrables jouent un rle particulier.

Dfinition 3. Un ensemble A est ditdnombrablesil est quipotent lensemble desnombres naturels N.

Dans ce cas, tout ensemble dnombrable peut se mettre sous la forme dun ensemblenumrot ou indx par les nombres naturels, cest dire

A x1,x2, . . . ,xn,xn1, . . . .On dit aussi queA est un ensemblediscret. On note dans ce cas, CardA CardN a.Par exemple, lensemble des nombres naturels pairs (resp. impairs) est dnombrable.

I.15. Ensembles de puissance continue. Le lemme suivant est vrai:

Lemme.Lensemble des points du segment 0, 1 n

est pas dnombrable.

Dfinition. Un ensemble A de R est dit depuissance continuesil est quipotent au segment


12/272



12

0, 1. On noteCardA Card0, 1 c.On montre que tous les intervalles de R borns ou non ont la puissance du continu.

Voir exercices 1.42 et 1.43.


13/272



13

Enoncs des exercices du chapitre I.

Exercice 1.1.i)Dmontrer que les nombres suivants ne sont pas rationnels:1 2 ; 2 3 ; 3 2 3; 4 np ptant premier et n 1;

5 log105; 6 2 3 ; 7 log3p p tant premier;8

2 n, n Z.

ii) Montrer que les nombres a 3 7 5 2 3 7 5 2

et b 313 5 17

2 3

13 5 172

sont rationnels.

Exercice 1.2.Trouver les dveloppements dcimaux des nombres rels suivants:

1 154

; 2 1; 3 137

; 4 2 ; 5) 1000 ( pour ces deux derniers nombres,

donner quelques dcimales); 6 3117

; 7 215

.

Exercice 1.3.Dmontrer que tout nombre de la forme p

2s5r admet un dveloppement

dcimal limit.

Exercice 1.4.Ecrire sous forme fractionnaire les dveloppements dcimaux suivants:1 1, 2; 2 0, 9; 3 3,003; 4 0, 312; 5 2, 340.Gnralisation:donner la formule gnrale permettant dcrire un dveloppement dcimal

positif sous sa forme fractionnaire.

Exercice 1.5.Soient aet b deux entiers naturels premiers entre eux tels quea b. Dmontrer quil existe des entiers naturels a0,a 1, . . . , an tels que:

ab

a0 1

a1 1

a2 1. . .

. . . 1

an1 1an

.

Exercice 1.6.A partir du systme daxiomes, dmontrer:i)que les lments neutre, symtrique, unit et inverse sont uniques;ii) les proprits suivantes de R: x, y, z, w R :1) lquation x a y admet une solution unique a R;2) si x 0, alors lquation x. a y admet une solution unique a R;3) x. 0 0.x 0;4) x 1x; xy xy x.y, 1x x, xx x.x;5) x.y 0 x 0 y 0 ;6) x y y z x z; 7) x y y z x z;8) x y x z y z;9)x yet z w x z y w mme chose pour lingalit stricte);

10) x y w z x w y z;11) x y y x en particulier x 0 x 0;


14/272



14

12) x y y xen particulier x 0 x 0;13) x y z 0 xz yz;

14) i) x 0 y 0 x.y 0, ii x 0 y 0 x.y 0,iii) x 0 y 0 x.y 0, iv)x 0 y 0 x.y 0;

15) x y z 0 x.z yz; 16) x 0 x2 x.x 0 ;

17) x 0 x1 1x 0 ; 18) 0 x y 0 1y

1x ;

19) 0 1;20) i) 0 x 1 0 xn xm 1 si n m n, m N;

ii) x 1 xn xm 1 si n m n, m N;21) 0 x y 0 xn yn, n N;

Exercice 1.7.Dmontrer que les propositions suivantes sont vraies dans R:

1)x y x x y

2 y;

2 a R : a y x a x y;3 ( 0, x y x y;4)si x 1 y1, x2 y2, . . . ,xn yn, alors:

i)

n

k1

xk n

k1

yk,

ii) x i 0, i 1, 2, . . . , n 0 n

k1

xk n

k1

yk. .

Exercice 1.8.Soit x R. Dmontrer les relations suivantes::

1 x,y R : x2

y2

2xy et en dduire quex R

, x 1x 2;2 x,y,z R : x y2 4xyet en dduire la relation:

x yy zz x 8xyz;

3) x,y,z R : x y z 1 1x 1y

1z 9 .

Exercice 1.9.Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses dans R :1 x, y : x y 3;2 y, x : x y 3;3 x, y : x y 3;4 x, y : x y 3;

5 x, y : x y x y 0;6 x, y : x y z : x z y ;

7 x, y : x2 2y2;8 x : x2 x x 1 x 0 ;9 x : x 2 x 3 2 x 3;

10 x : x2 x;11 a, b, c : x : ax2 bx c 0 b2 4ac 0;12 b, a, x : x2 ax b 0;13 b, a, x : x2 ax b 0;14 a, b, x : x2 ax b 0 .

Exercice 1.10.Etablir le sens exact des propositions suivantes et les crire laide desymboles logiques, ainsi que leurs ngations.:


15/272



15

1 le nombre x0 est une solution de lquation fx 0;2 le nombre x0 est la solution unique de lquation fx 0;

3 lquation fx 0 admet une solution relle;

4 lensemble X R est major;5 le nombre m est le plus petit lment de X;6 lensembleXadmet un plus petit lment;7 le nombre m Z est un diviseur du nombre n Z;8 si le nombre n Z est divisible par 2 et par 3, alors il est divisible par 6;9 le nombre p N est premier.

Exercice 1.11.Dmontrer les relations suivantes: x,y R,

1 |x y | |x| |y|; en gnraln

k1

xi n

k1

|x i |

2) ||x| |y|| |x y |;3)||x a | |y b || |x y | |a b |;4 |x| y y x y;

5 x 0 1x 1|x|

;

6 a x b et a y b |x y | b a;

7 |x y |

1 |x y |

|x|1 |x|

|y|

1 |y|;

8 x2 y 2 |x| |y|;

9 |x y | |x| |y| ;

10)|ax by | a b2x y2 .

11 |x y | |x| |y| x.y 0;12 x y z z y x |x y | |y z | |x z |;13)x 2 y 2 0 |x| |y| 0 x y 0;14) ( 0, |x| x 0.

Exercice 1.12Rsoudre dans R les quations suivantes:

1 |3x 4| 12

; 2 x2 x 3 0; 3 |x2 2x 3| 1;

4 x 22 x 2; 5 2x 1x 1

1; 6 |x 1| |x 1 | 2;

7) |x 1| |x 1| |x 3|.

Exercice 1.13.Rsoudre dans R les inquations suivantes:1 |x 1| 0,01; 2 |x 2| 5; 3 |x 2| |x|;4 |2x 1| |x 1|; 5 |x 1| |x 1| 10; 6||x 1| |x 1 || 1;7 |x1 x | 0,05; 8)|x 1| |x 1| |x 3 |.

Exercice 1.14. Soient X x1,x2, . . . ,xn et Y y1,y2, . . . ,yn deux parties finies de R.Dmontrer les ingalits suivantes:

1

i1

n

x iyi2

i1

n

x i2 .i1

n

y12 (ingalit de Cauchy-Schwartz);

2i1

n

x i y i2 i1

n

xi2 i1

n

y i2 (ingalit de Minkowski).


16/272



16

Exercice 1.15.Soient x,y R. On appelledistanceentre les points x et y le nombre,

not dx,y, dfini par:dx,y |x y |.Montrer que la distance vrifie les proprits suivantes: x,y,z R,1 dx,y 0 et dx,y 0 x y; 2 dx,y dy,x;3 dx,y dx,z dz,y.Ces trois proprits dfinissent en gnral une distance. Les nombres dx,ysuivants

dfinissent-ils une distance? Sinon, quelles sont les proprits non vrifies:

i dx,y max|x|, |y|; ii dx,y |x| |y|; iii dx,y x2 y 2 .

Exercice 1.16. Soientx,y R. Dmontrer les relations suivantes:1 maxx, y minx,y; 2 minx, y maxx,y;3 x y max|x|, |y| x y max|x|, |y|;

4 minx,y 12

x y |x y |; 5 maxx,y 12

x y |x y |.

Exercice 1.17.Soient X x1,x2, . . . ,xn et Y y1,y2, . . . ,yn deuxsous-ensembles finis de R tels que y i 0, i 1,2, . . . , n. On pose m minX et

M maxX. Montrer que:

1 |maxx i maxyi | max|x i y i | n

i1

|x i y i |;

2) m x1y1 x 2y2 . . . xnyn

y1 y 2 . . . yn M ;

3 en dduire que: inf x1

y1,

x2y2

, . . . , xnyn

x1 x 2 . . . xny1 y 2 . . . yn

sup x1

y1,

x2y2

, . . . , xnyn

.

Exercice 1.18.Soient X et Ydeux parties non vides de R. Montrer que:1 si X Y et Y est major, alors supX existe et supX sup Y;2 si X Y et X est minor, alors infY existe et infY infX.Donner des exemples o on a des galits.3 Si X, Y sont bornes, alors X Y est borne et on a :

i supX Y maxsupX,sup Y,ii infX Y mininfX,infY;

4 Si Xet Ysont bornes, alors X Y est borne et on a:i maxinfX,infY infX Y supX Y,ii supX Y minsupX,sup Y.

Exercice 1.19. Soient X, Y deux parties bornes non vides de R. On dsigne par:X x,x X, X Y x y, x X, y Y ,

X Y x y, x X, y Y et XY xy, x X, y Y .

Montrer que:1 infX supX; 2 supX infX;3 infX Y infX infY; 4 supX Y supX sup Y;5 supX Y supX infY;6 X, Y R infXY infX.infY et supXY supX.sup Y.

Exercice 1.20. Soit x R. Posons x maxx, 0 et x minx, 0. Montrer alors que:x x x et |x| x x .


17/272



17

Exercice 1.21.Pour chacun des ensembles suivants, dterminer la borne suprieure, la borne

infrieure, le plus grand lment et le plus petit lment sils existent:1 E1 1,

12

, 13

, . . . , 1n, .. . ; 2 E2 2 1n, n N

;

3 E3 1n 35n

, n N ; 4 E4 1 2n

3 n , n N ;

5 E5 1

m 1n, m, n N

;

6 E6 1

2

n2n 1

, 12

n2n 1

, n N ;

7 E7 m

n , m, n N, m n ;

8)E9 0, 3; 9 E10 0, 2;

10 E11 a, b c c b a; 11 E12 1x , 1 x 2 ;

12 E13 1

x

, 1 x 2 ; 13 E14 1

x

, 1 x 2 .

Exercice 1.22.Soit X un ensemble non vide et born de R etY y R : y2 X ety 0 . Montrer que:

1 Yest born; 2 sup Y supX; 3 infY infX.

Exercice 1.23. Soit Xun ensemble non vide et born de R.On pose Y |x|, x X . Montrer que:

1)Yest born; 2)sup Y max|infX|, |supX|;3) 0 infY min|infX|, |supX|.

Exercice 1.24. Soient X etYdeux ensembles non vides et borns de R tels que :i) x X, y Y : x y. Montrer que supX infY;ii) x X, y Y : x y. Montrer que supX sup Y;

Exercice 1.25.Soit Xun ensemble non vide et born de R.1) Montrer que sup|x y | : x,y Xexiste. On notedXce nombre quon appelle

diamtre deX.

2) Montrer que dX supX infX.3) Montrer que: 0, x,y X : |x y | supX infX .4)En dduire que:dX supX infX.

Exercice 1.26. Montrer que lensemble X r Q : r2 2 nadmet pas de borne

suprieure dans Q.

Exercice 1.27. Montrer quea, b R, a b :1) r Q : a r b (ind. utiliser le principe dArchimde);

2)s R Q : a s b ind. poser a2

, b

2et utiliser 1).

Exercice 1.28. Soient x, y R. Dmontrer les rsultats suivants:

1) x 1 Ex x;2 Ex y Ex Ey avec 0 ou 1;

3 Ex y Ex Ey avec 0 ou 1;4 Ex Ex 1n Ex

2n . . . Ex

n 1n Enx;


18/272



18

5 E Enx

n Ex; 6) Rsoudre lquation x Ex.

7) A-t-onE2x

2Ex?

Dans la suite des exercices, on considre la dfinition suivante:

Cnk

n!k!n k!

, 0 k n.

Exercice 1.29.i)Montrer que: 1 Cn

k Cnnk; 2 Cn

k Cnk1 Cn1

k .

ii) Calculern

k0

Cnk

k1;

Exercice 1.30.

i) Dmontrer par rcurrence la formule suivante, appele binme de Newton:a, b R, n N,

a bn

n

k0

Cnkankbk.

ii) En dduire les sommes suivantes:

1

0in

Cni ; 20in

1iCni ; 30in

1i

2i Cn

i .

Exercice 1.31. Calculer les expressions suivantes

1

n

k1 1kk 1; 2

n

k1 1kk 1k2;

3

n

k1

1 1k 12

; 4

n

k1

1 2k 13 1

;

5

n

k1

k 1Cnk; 6n

k1

k 1Cnk;

7

n

k1

C2n2k; 8n

k0

Cnk2; 9n

k1

kCnk.

Exercice 1.32. Dmontrer par rcurrence sur n N les galits suivantes:

1)n

k1

k nn 12

; 2)n

k1

k2 nn 12n 16

;

3)

n

k1

k3 n

k1

k2

; 4)

n1

k0

2k 2n 1;

5)

n

k1

2k2 2nn 12n 13

; 6)

n

k1

2k3 2n2n 12;

7)

n

k1

k.k! n 1! 1;

8)

n

k1 12k 12k 1 n2n 1; 9)

n

k1 2k 12 C2n13 ;


19/272



19

10)

n

k1

kk 1 nn 1n 23

;

11)n

k1

k4 nn 12n 13n2 3n 1

30 ;

12)

n

k1

1k1k2 1n1 nn 12

.

Exercice 1.33.i Dmontrer la formule suivante:

n

k1

kk 1. . . k m 1 1m 1

nn 1. . . n m

ii) En appliquant cette formule calculer les sommes suivantes:1 1. 2 2. 3 . . . n. n 1; 2) 1. 2. 3 2. 3.4 . . . nn 1n 2;3) 1.2.3.4 2.3. 4. 5 . . . nn 1n 2n 3.

Exercice 1.34.i) Montrer quen Netx R : 1 x n 1 x1 x x 2 . . . xn1

ii) En dduire que:

1 1 12

14

. . . 12n

2;

2 a R, b R : an b n a ban1 a n2b a n3b2 . . . abn2 b n1.

iii) Montrer que n N, a 0 : 1 1 a1

n 1a 1 n a 1 a 1n .

Exercice 1.35.Soient x1,x2. . . ,xn des nombres rels de mme signe, suprieurs -1.Dmontrer lingalit suivante, appeleingalit de Bernoulli:

1 x 11 x 2. . . 1 x n 1 x 1 x 2 . . . xn.

En dduire lingalit: 1 xn 1 nx si x 1 et n N.

Exercice 1.36.. Dmontrer par rcurrence sur n N les ingalits suivantes:

1 n 2n; 2 n 2n 1

n1

2, n 0;

3 n! n 12

n

, n 1, voir 2; 4 2!4!... 2n! n 1!n, n 0;

5 12 34 . . . 2n 12n 12n 1 , n 0;

6 1 1

2

1

3. . . 1

n n , n 2;

7 nn1 n 1n, n 3; 8 2n! 22n. n!2;

9

2n1

k1

1n k

1; 10 2n! 4nn 1

n!2.

Exercice 1.37.Soit X x1,x2, . . . ,xn une partie finie de R. Les nombres rels suivants:

X x1 x 2 . . . xn

n , X 1

1

x1

1

x2. . . 1

xn

et X n x1x2. . .xn

si x i 0, i 1 , 2, . . . , n, sont appeles respectivement moyenne arithmtique, moyenne


20/272



20

harmonique et moyenne gomtrique.Soient m minX, M maxX.

i Montrer que si m 0, alors:1 m X M; 2 m X M; 3 m X M.

Montrer quon a des galits si et seulement si x1 x2 . . . xn.

ii Dsignons par logX logx1,logx2, . . . , l ogxn , 1

X

1x1

, 1x2, . . . , 1xn

Montrer que:

1 1X

1X

; 2 1X

1X

; 3 logX logX.

iii Montrer que si Y y1,y2, . . . ,yn et x i, y i 0, i 1 ,2, . . . , n, alors, on a:1 XY X Y; 2 XY X.Y.

iv Dmontrer les ingalits:

X X nX

, xi 0, i 1 ,2, . . . , n.

Montrer quon a des galits si x1 x2 . . . xn.

Exercice 1.38.Soient a, b, c, d R, a b, c d. Etablir tous les cas possibles o larunion et lintersection de lintervalle dextrmits a et b avec lintervalle dextrmitsc et d

sont des intervalles en prcisant leur nature topologique.

Exercice 1.39. Dmontrer les proprits suivantes:1) Toute runion dun nombre fini ou infini douverts est un ouvert.2) Toute intersection dun nombre fini douverts est un ouvert.3) Toute intersection dun nombre fini ou infini de ferms est un ferm.

4) Toute runion dun nombre fini de ferms est un ferm.

Exercice 1.40. Donner un exemple:1) dune intersection infinie douverts qui ne soit pas un ouvert;2) dune runion infinie de ferms qui ne soit pas un ferm.

Exercice 1.41. Montrer lensemble F 0,1, 12

, 13

, . . . , 1n, . . .

1) est ferm;2) admet un seul point daccumulation savoir x0 0.

Exercice 1.42.Montrer que les ensembles suivants: lensemble des nombres pairs,

lensemble des nombres impairs, lensemble Z et lensemble Q sont dnombrables.

Exercice 1.43. Montrer que le segment0, 1nest pas dnombrable. (Utiliser le thormedes segments embots ou les dveloppements dcimaux).


21/272



21

Rponses aux exercices du chapitre I.

Exercice 1.1. ii) a 2, b 1.Exercice 1.2. 1 3,75; 2 0, 9; 3 1, 857142; 4 1,4142...;5 31,623...; 6 1, 8235294117647058; 7 4,2.

Exercice 1.4. 1 119

; 2 1; 3 901300

; 4 103330

; 5 2338999

.

Gnralisation: 0,12. . .n12. . . 0 12. . .n12. . . 12. . .n

99...9

n

00...0si

0.

Exercice 1.9. 1 Vraie; 2 Fausse; 3 Vraie; 4 Fausse; 5 Vraie;6 Vraie; 7 Fausse; 8 Vraie; 9 Vraie; 10 Fausse;11 Vraie; 12 Fausse; 13 Vraie; 14 Fausse.

Exercice 1.12. 1 32

, 76

; 2 1, 0; 3 ; 41, 2; 5 0, 2; 6 0;

7)1, 5.Exercice 1.13. 1 1,01 x 0,99; 2x 3et x 7; 3 1 x;

4 0 x 23

; 5 5 x 5; 6 12

x 12

;

7 5 30

10 x

5 2010

et 5 20

10 x

5 30

10 ; 8)x 1, 5.

Exercice 1.15. i oui; ii oui; iii oui.Exercice 1.21. 1 supE1 maxE1 1, infE1 0, minE1nexiste pas;2 supE2 2, maxE2 nexiste pas, infE2 minE2 1 n 1;

3 supE3 maxE3 13

10

n 2, infE3 1, minE3 nexiste pas;

4 supE4 2, maxE4nexiste pas, infE4 minE4 14

n 1;

5 supE5 maxE5 2 m n 1, infE5 0, minE5nexiste pas;

6 supE6 maxE6 5

6, inf E2 minE2 1

2 n 1;

7 supE7 1, maxE7nexiste pas , infE7 0, minE7nexiste pas;8) supE9 maxE9 3, infE9 0, minE9 nexiste pas;9 supE10 maxE10 2, infE10 minE10 0;10 supE11 maxE11 c, inf E11 minE11 a;

11 supE12 maxE12 1 x 1, inf E12 minE12 12

x 2;

12 supE13 1, maxE13 nexiste pas, infE13 1

2, minE13nexiste pas;

13 supE14 maxE14 12 x 2, inf E14 minE14 1 x 1.

Exercice 1.28. 6)x Z; 7 non. Exercice 1.29. ii) 1n 1

2n1 1.

Exercice 1.30. ii) 1) 2n; 2 0; 3 12n

.

Exercice 131. 1 1 1n 1

; 2 12

12

1n 1n 2

; 3 12

n 2n 1

;

4 23

1 1n 1n 2

; 5

n

k1

k 1Cnk n2n1 2 n 1;

6

n

k1

k 1Cnk n2n1 2 n 1; 7 22n1; . 8 C2nn .

Exercice 1.33. ii) 1 13nn 1n 2 m 2;


22/272



22

2) 14

nn 1n 2n 3 m 3;

3) 1

5nn 1n 2n 3n 4 m 4.

Exercice 1.38 On a des intervalles si a c b d :1) ouvert: a, bc, d a, d; 2) semi-ouvert: a, b c, d a, d;3) semi-ouvert: a, bc, d a, d; 4) ferm: a, bc, d a, d.

Exercice 1.40. 1) On 1n, 1

n , 2)Fn 1

n, 1 , n 1,2,.. .


23/272



23

Corrigs de certains exercices du chapitre I.

Exercice 1.1.1 2 Q? Montrons que si (a, b N N et a, bpremiers entre-eux,

alors 2 ab

. Raisonnons par labsurde, cest dire supposons que

2 ab

Q, a Z, b Z avec aet b premiers entre-eux et trouvons une

contradiction. En levant au carre, on obtient lgalit : 2b2 a2 , cest dire que a 2 estun entier pair, et dans ce cas a est aussi pair. Soit alorsa 2k. En remplaant dans lgalit (*)et aprs simplification, on obtient b2 2k2, cest dire queb 2 est un entier pair, et dans ce cas,best aussi pair. Ceci contredit le fait que a et b sont premiers entre-eux. Donc lhypothse que

2 Q est fausse, cest dire 2 Q.

Remarque. On peut faire dautres dmonstrations.

3 2

3 Q? Dans cet exercice, on utilise le rsultat de 1). En effet, supposons que2 3 r Q. Daprs le fait que la somme est une opration interne dans et que 3 Q,

alors on aurait 2 r 3 Q. Ce qui contredit le rsultat de lexercice 1). Donc 2 3 Q.

ii) En levant lgalit a 3 7 5 2 3 7 5 2 la puissance 3, et aprs simplification

et arrangement des termes, on obtient lquation suivante:

a3 3a 14 0, dont les solutions sont a 2, a 1 i 6 et a 1 i 6 . Commea R, alorsa 2 Q.

Mme dmonstration pour b 313 5 17

2 3

13 5 172

1.

Exercice 1.2. 2 Premire mthode laide de la srie gomtrique. Sachant que

1 q q 2 . . . qn q n1 . . . 11 q

si 0 q 1, alors

0,999...99... 910

9102

9103

. . . 910n

9

10n1 . . .

9 110

1102

1103

. . . 110n

1

10n1 . . . 9 1

1 110

1 1.

Deuxime mthode. Posonsx 0,99...9.... En supposant que la mutiplicaion par 10 n

signifie dplacer la virgule de n places vers la droite, on obtient10x 9,99...9... et, alors

9x 10x x 9,99...9... 0,99...9... 9 x 1.

Exercice 1.6. i)- Montrons que llment neutre est unique pour lopration somme dans la dfinition

axiomatique. Soient 01et 02deux lments neutres, mais alors, on auraient, en utilisant unepremire fois 01comme lment neutre, ensuite 02, comme lment neutre: 02 0 1 02 et01 0 2 01, et comme 02 0 1 01 0 2, daprs la commutativit (axiome i), on conclut que01 02.

- Montrons que llment symtrique est unique pour lopration somme dans la dfinitionaxiomatique. Soientx 1 et x 2deux lments symtriques de x R, mais alors, on auraient, enutilisant les axiomes A3, A 4et A2

x1 x1 0 x1 x x 2 x1 x x 2 0 x 2 x2, cest direx 1 x2.Pour lunicit des lments unit et inverse, les dmonstrations sont analogues aux deux


24/272



24

prcdentes.

ii)Dmontrons pour lexemple les proprits 3), 10) et 20). 3) Soitx R. On a, daprs les axiomesA 3,A 7, etA 9.

x x. 0 x. 1 x. 0 x1 0 x. 1 x,doncx. 0 est un lment neutre pour la loi somme, comme celui-ci est unique, alorsx. 0 0.

6) Commey z y z, alors par transitivit (axiome A12), on a

x yet y z x yet y z x z.

Si x z, alors on aurait, z yet y z, cest dire que z y, ce qui contredit la conditiony z. Doncx z.

11) Soitx y. Daprs les axiomes A 1,A 2,A 3,A4, etA 14, on dduit les relations suivantes:

x y x x y x x x y y x y

0 y 0 x y x.

Si y 0, alors on a:x 0 0 x.19) Supposons que 1 0. Daprs laxiomeA 7et la proprit 14) ii) (suppose

dmontre), on a 1 0 et

1 0 1 0 1 1. 1 0,

cest dire 1 0. Ce qui contredit lhypothse. Donc 0 1.

Exercice 1.7.Dmontrons les relations 1) et 2).1 On a, daprs la proprit 8 de lexercice 1.6:

x y x x y x et x y y y 2x x y et x y 2y

2x x y 2y 2x2

x y

2

2y2

x x y

2 y.

2 Utilisons le raisonnement par la contrapose, cest dire sip et q sont deux propositions,alors

p q q p .

Considrons p a R : a y x a et q x y . Supposons que

q y x est vraie. Alors, daprs la relation 1) prcdente, il existe a x y

2 :y a x,

cest dire a R : a y et a x . Donc q p .

Exercice 1.8. Dmontrons les relations 1) et 2):

1 On a 0 x y2 x2 y 2 2xy x2 y 2 2xy.2 Daprs 1), on a x 2 y 2 2xy x y2 x2 y 2 2xy 4xy, on obtient alors, en

faisant le produit

x y2 4xy

y z2 4yz

z x2 4zx

x y2y z2z x2 64.x2y2z2.

Comme,x,y,z 0, en prenant la racine carre, on obtient le rsultat.

Exercice 1.11.Dmontrons les relations 2) et 11).

2) Daprs la relation 1), on a|x| |x y y | |x y | |y| |x| |y| |x y |.


25/272



25

De la mme manire, en inversant les rles entre x et y, on obtient

|y| |x| |y x | |x y |, ces deux ingalits signifient que||x| |y|| |x y |.

11 On a: |x y | |x| |y| x y2

|x| |y|2

xy |x|. |y| |xy| xy 0.

Exercice 1.14.1 Pour tout R, on a

0

i1

n

xi y i2 i1

n

x i2 2i1

n

xiy i2

2

i1

n

y12

qui est une inquation toujours 0, R. Comme

i1

n

y12 0, alors son discriminant doit

tre 0, cest dire que

i1

n

xiy i

2

i1

n

x i2

i1

n

y12

0.

Ce qui est quivalent lingalit demande.2 Indication: utiliser 1)

Exercice 1.16. Dmontrons les relations 1) et 4).

1 Six y, alors1 maxx, y y,

2 y xet minx,y y,,

et doncy maxx, y minx,y.2) Dmonstration analogue.

4) Supposonsx y. Alors on a minx,y xet|x y | y x, par consquentminx,y x 1

2x y y x 1

2x y |x y |.

Exercice 1.17. 1 Il est facile de voir que

max|x i y i | n

k1

|x i y i | i 1,2, . . . , n.

Dmontrons que: |maxxi maxy i | max|x i y i | , i 1 ,2, . . . , n. On axi x i y i y i max|x i y i | maxyi, 1 i n.

De cette ingalit, on dduit que

maxxi maxy i max|x i y i |, 1 i n 1De la mme faon, on montre que i i 1 ,2, . . . , n

yi

yi x i

x i max|x i y i |

max|x i | maxy i maxxi max|x i y i | 2En combinant1et 2on obtient

max|xi y i | maxx i maxy i max|xi y i | , 1 i n.Et donc |maxxi maxyi | max|x i y i |, 1 i n.

Exercice 1.18.Dmontrons 1).1 SiYest major alors M R, y Y, y M.CommeX Y, alorsx X, x Yet x M.Donc lensembleXest major et supXexiste daprs le thorme dexistence de la bornesuprieure. En particulier, commey Y

, y

supY

, alorsx X Y

x

supY

,donc sup Yest un majorant deX, do supX sup Y.


26/272



26

Exercice 1.19. Dmontrons 2), 4) et 5).

2 On a(x X, x X et x supX x X, supX x,

donc supX infX, car supXest un minorant de X. Ce qui est quivalent supX infX. Inversement, on a :

x X, infX x x X, x infX,donc supX infX, car infXest un majorant de X. Les deux ingalits impliquent

que supX infX.4) On a x X, x supX et y Y, y supY et, alors

x X, y Y, x y supX sup Y,

cest dire que M supX sup Yest un majorant deXY. Montrons que Mest en fait le

plus petit majorant de lensemble X Y. Supposons quil existe un majorantM1de X YtelM1 M. Dans ce cas, on a M M1 0 et, daprs la dfinition de la borne suprieure pour

M M1

2 0, x X et y Ytels que:

x supX M M1

2 , y supY

M M12

. Mais alors, en faisant la somme de ces deux

ingalits, on obtient x y X Y et x y supX supY M M1 M1. Celasignifie queM1 nest pas un majorant de lensembleXY. Ce qui contredit lhypothse surM1.

5 On a, daprs 1) et 4) supX Y supX supY supX infY supX infY.

Exercice 1.21. 2) E2 2 1n, n N

On a E2 1, 32

, 53

, 74

,. . . . . Il est facile de voire que

1 2 1n 2 , n N.

Cest--dire lensemble E2est born et 2 est le majorant de cet ensemble . Montrons queSupE2 2.

Pour cela il faut montrer que 0, n , t.q. 2 1n 2 . Do on obtient que

n 1.

Alors 0, n N , par exemple premier natureln verifiant lingalit

n 1 nexiste puisque

R est archimedien) t.q. 2 1n 2 . Ainsi , on trove que SupE2 2 et 2 E2. Cela

singfie que il

nexiste pas maxE2. Le plus petit lment de l

ensembleE2est 1. Donc

minE2 infE2 1.

4) E4 1 2n

3 n ,n N

On reprsent lensembleE4comme suit:

E4 2 73 n

, n N . Alors n N, 2 73 n

2, c..d. lensemble E2 est major

par 2.Montrons que supE4 2.

supE4 2 n N, 2 7

3 n 2

0, n N, t.q. 2 7

3 n 2

Nous allons choisirn partir de lingalite 2 73 n

2 . Do on trouve que


27/272



27

n 3.

Alors au lieu de n , on peut prendre le premier naturel verifiant lingaliten 7 3.

Do il vient que

supE4 2. Il est facile de voire que n N, 1 2n

3 n 1

4 et pourn 1,

1 2n3 n

1

4.

Alors minE4 infE4 1

4.

11).E12 1

x , 1 x 2 .

Do 1x 1

2 ,1 . Alors maxE12 supE12 1 et minE12 infE12

12

.

Exercice 1.26. Montrons que lensemble X x Q : x2 2 nadmet pas de borne

suprieure dans Q. En effet, on a X x Q : 2 x 2 et supposons que

c supXexiste dans Q. Considrons lensemble

Y y Q : y 2 .

Il est clair que x X, y Y, on a x y et x c. Montrons quec X et c Y.Supposons quec X, cest direc 2 . Comme Q est archimdien, alors il existen N tel

que 1n 2 c 2

2c 1, et donc

c 1n2

c2 2cn 1n2

c2 2c 1n 2,

ce qui signifie que c 1n X et c c 1n, or ceci contredit le fait que x X, x c.

Supposons maintenant que c Y, cest dire que c 2 . Il existe alors m N tel que

1m c

2

22c , et donc

c 1m2

c2 2cm 1m2

c2 2cm 2,

ce qui signifie que c 1m Yet c c 1m, or ceci contredit le fait que y Y, c y.

Ainsi les ingalits c 2 et c 2 sont impossibles, donc c 2 . Ceci montre aussilexistence de nombres irrationnels.

Exercice 1.27.1) Commea b, alors b a 0. Daprs la proprit dArchimde, il

existe n N tel que 0 1n b a. Soit h 1

n. Pour x a, il existe, daprs la deuxime

forme du principe dArchimde,m Z tel que: m 11n a m

n . Montrons que

mn b. Supposons que mn b, alors on aura m 11n a b mn , qui implique que

b a 1n. Ceci contredit lingalit 1

n b a. Et lon conclut quea m

n b.

2) Soient, R, . Posonsa 2

etb

2. Daprs 1), il existe un nombre

rationnelrvrifiant a r b. Ceci implique r 2 et le nombre r 2 est irrationnel,car le produit dun nombre rationnel par un nombre irrationnel est irrationnel.

Exercice 1.28. Soient x, y R. Dmontrons 1), 5) et 7).

1) Daprs la dfinition de la partie entire dun nombre rel, on a Ex x Ex 1 et,alors Ex x et Ex x 1. En combinant ces deux ingalits, on trouve

x 1

Ex x.5 Dune part, on a , par dfinition Ex x Ex 1. En multipliant parn lingalit de


28/272



28

gauche, on obtient nEx nx nEx Enx, car nEx Z. Donc

Ex Enx

n Ex E Enx

n 1.

Dautre part, Enx nx Enx

n x E Enx

n Ex 2. Les ingalits (1) et

(2) impliquent que E Enx

n Ex.

7) LgalitE2x 2Exnest pas vraie en gnral . Par exemple, si x 12

alors

E2. 12

E1 1 et 2.E12

20 0.

Exercice 1.29. Dmontrons2). On a

Cnk Cn

k1 n!

k!. n k!

n!k 1!. n k 1!

n!k 1!. n k! 1k 1n k 1

n!

k 1!. n k!n 1

kn k 1

n 1!

k!. n k 1! Cn1

k .

Exercice 1.30.i) Dmonstration par rcurrence. Dsigons la formule parPn On trouve pour

n 1 : a b 1

m0

C1ma1mbm C10a1b0 C11a0b1 a b.

Donc la propositionP1est vraie.Supposons que la propositionPnest vraie et dmontronsquePn 1est vraie aussi. Nous avons :

a bn1 a bna b

n

m0Cn

manmbm. a b

n

m0 Cn

man1mbm

n

m0

Cnmanmbm1 Cn0an1b0 n

m1

Cnman1mbm n1

m0

Cnmanmbm1

Cnna0bn1 an1

n

m1

Cnm Cnm1an1mbm b n1

an1

n

m1

Cn1m an1mbm b n1 n1

m0

Cn1m an1mbm.

Nous avons dmontr que la proposition Pn 1est vraie.AlorsPnest vraie pourn 1.ii) Dmontrons1). Pour cela posons x 1 dans la formule du binme de Newton,

1 xn n

k0

Cnk1nkxk. On obtient alors 1 1n 2n n

k0

Cnk1nk. 1k.

Exercice 1.31.. Calculons 1), 2) 4) et 9).

1) Application de la formule:

n

k1

ak a k1 a1 a n1. On a

n

k1

1kk

1

n

k1

1k

1

k

1


29/272



29

1 12

1

2 1

3

13

14

. . . 1n 1

1n1n

1n 1

1 1n 1

,

car tous les autres termes se neutralisent ( en se tlscopant

).2) Mme dmonstration que dans 1). On a

n

k1

1kk1k 2

1

2

n

k1

k 2 kkk1k 2

1

2

n

k1

1kk 1

12

n

k1

1k1k 2

1

2

n

k1

1k

1k1

12

n

k1

1k 1

1k2

1

21 1

n 1 1

2 1

1 1

1n 2

1

2 1

2 1

n 1n 2.

4) On a

P

n

k1

1 2k 13 1

n

k1

k 13 1

k 13 1

n

k1

kk 1k 2 1k 2k 1k 1

1. 2. 3 1. 2. 3. 4 1. 3. 4. 5 1. . n 1nn 1 1n. n 1n 2 1

32. 1 1. 43. 2 1. 54. 3 1. . . n 1nn 1 1n 2nn 1 1

1.2.3... n 2n 1nn 1n 2 1

3.3.4.5... n. n 1n 2

2n 1n 2 13n 1n 2

2

n 1n 2.

n 1n 2 13

.

9 On a:

kCnk

k. n!k!n k!

n!

k 1!n k! n

n 1!k 1!n k!

nCn1k1 .

Alorsn

k1

kCnk n

k1

nCn1k1 n. 2n1, carn

k1

Cn1k1 2n1.

Exercice 1.32.Dmontrons 2) et 8).

2 Dsignons parPn la proposition: 12 2 2 . . . n2 nn 12n 16

. Pourn 1 :

on a: 12 11 11 2

6 1. Alors la propositionP1est vraie.

Supposons quePnest vraie et dmontrons Pn 1. Nous avons :

12 2 2 . . . n2 n 12 nn 12n 1

6 n 12

n 1n2n 1

6 n 1 n 12n

2 7n 66

n 1n 22n 3

6 .

Donc la propositionPnest vraien 1.7) Pourn 1 on trouve :1.1! 1 1! 1 1 1. Supposons quePnest vraie et

dmontronsPn 1. On a:


30/272



30

n1

k1

k. k! n

k1

k. k! n 1. n 1! n 1! 1 n 1n 1!

n 1!1 n 1 1 n 2! 1,

donc pn 1est vraie.

Exercice 1.33. Par rcurrence. Dsignons parPn la proposition:n

k1

kk 1. . . k m 1 1m 1

nn 1. . . n m.

Pourn 1, on a:

1.2... 1 m 1 1

m 1

.1.2.. . 1 m 11 m 1.2... m 1.2... m

AlorsP1est satisfaite. Supposons quePnest vraie et dmontrons que Pn 1est vraieaussi. On a

n1

m1

kk 1. . . k m 1 n

m1

kk 1. . . k m 1 n 1n 2. . . n m

1m 1

nn 1. . . n m n 1n 2. . . n m

n 1n 2. . . n m nm 1

1 1m 1

n 1n 2. . . n mn m 1.

On a montr quePn 1est vraie. AlorsPnest vraien 1.

Exercice 1.35. Soientx 1,x2, . . . ,xn des nombres rels de mme signe suprieure -1.Dmontrons lingalit1 x 11 x 2. . . 1 x n 1 x 1 x 2 . . . xn par recurrence.Pourn 1, on trouve 1 x 1 1 x 1. Supposonsvraie pourn , dmontrons la pourn 1.On a, en utilisant la formule (*) et les facteurs sont 0, pourn 1. 1 x 11 x 2. . . 1 x n1 x n1 1 x 1 x 2 . . . xn1 x n1

1 x 1 x 2 . . . xn x n11 x 1 x 2 . . . xn 1 x 1 x 2 . . . xn x n1 x n1x1 x 2 . . . xn

1 x 1 x 2 . . . xn x n1, car le dernier facteur est 0.Donc lingalit de Bernoulli est vraien N.En posantx 1 x2 . . . xn x 1, on

dduit que 1 xn 1 nx.

Exercice 1.36.Dmontrons les ingalits 5) et 9).

5 Pourn 1, on a 12

1

3 3 2. Ce qui est vrai. Supposons lingalit vraie

pourn et dmontrons la pourn 1. On a

12

34

. . . 2n 12n

. 2n 1 1

2n 1

1

2n 1. 2n 1

2n 2

2n 1

2n 2

1

2n 3

2n 3 2n 1

2n 2

1

2n 3,

car

2n 3 2n 1

2n 2 1 ( qui est facile dmontrer). Donc lingalit est vraien N

.9) Pourn 1, on a 1

1 1

11 2

11 3

13

12 1. Supposons lingalit vraie pour


31/272



31

net dmontrons la pour n 1. On a,2n11

k1 1n 1 k

2n3

k1 1n 1 k

1n 2

1n 3

. . . 13n 1

13n 2

13n 3

13n 4

.

En ajoutant et en retranchant 1n 1

, on obtient

2n11

k1

1n 1 k

2n

k0

1n 1 k

1n 1

13n 2

13n 3

13n 4

1 13n 2

13n 3

13n 4

1n 1

1,

car on montre facilement que1

3n 2

13n 3

13n 4

1n 1

2

33n 2n 13n 4 0

Exercice 1.39.1) Soit O

O une runion, finie ou infinie, douverts et x0 O. Il

existe alors tel que x0 O. Comme O est un ouvert, il contient un intervalle ouvertcontenantx 0 et Ix0 O O. Donc la runion O est un ouvert.

2) Elle dcoule du fait que lintersection dun nombre fini dintervalles ouverts contenant x0est un intervalle ouvert contenant x0.

3)Elle dcoule de la relation CR

F

CRF,et de la proprit 1).

4) Elle dcoule de la relation CR

n

i1

Fi n

i1

CRFi et de la proprit 2).

Exercice 1.40. 1) Exemple douverts dont lintersection infinie nest pas un ouvert. Soient

les ouverts On 1n, 1

n , n 1,2, . . . , alors leur intersection nest pas un ouvert. En effet,

on a

n1

On

n1

1n, 1n 0,

qui est un ensemble ferm.

2) Exemple de ferms dont la runion infinie nest pas un ferm. Soient les ferms

Fn 1

n, 1 , n 1,2,..., alors leur runion nest pas un ferm. En effet, on a

n1

Fn 0, 1, qui nest pas ferm. En effet,x 0, 1, n N tel que 1n x, et alors

x 1n, 1 0, 1

n1

Fn. Inversement,Fn 0, 1

n1

Fn 0, 1.

Exercice 1.41.Dmontrons 1) On aCF , 01, 12

12

, 13

. . . 1, qui est une

runion dintervalles ouverts, donc le complmentaire de Fest, daprs lexercice 1.40, 1),ouvert. Et, donc,F CCF est ferm.


32/272



32

Exercice 1.43.Supposons que 0, 1 est dnombrable, donc il scrit sous la forme

x1, x2, x3, . . . ,xn, . . . . Partageons le segment 0, 1en trois parties gales par les points 1

3et 2

3. On obtient, alors trois segments 0, 1

3 , 1

3, 2

3 , 2

3, 1 dont, au moins lun deux

ne contient pas x1. Dsignons par I1ce segment et partageons le en trois parties gales, et,comme prcdemment, lun deux ne contient pas x2. Soit I2ce segment. On rpte la mmeopration pour ce segment en le partageant en trois segments gaux dont lun, quon dsigne par

I3, ne contient pas x3. En poursuivant indfiniment ce processus, on obtient une suite desegments embots I1 I2 I3 . . . In ...tels que la longueur de chaque segment|In |

vrifie |In | 13n

, n 1,2,3,...etx n In an, bn , n 1,2,3,.. . Daprs le thorme

des segments embots, il existe un seul pointc

n1

In, cest dire que c In, n 1,

doncc xn, n 1. Commec 0, 1, on conclut que0, 1nest pas dnombrable.Remarque. On peut dmontrer cet exercice en utilisant les dveloppements dcimaux des

nombres rels. Supposons que0, 1est dnombrable. Il scrit donc sous laforme0, 1 x1,x2, . . . ,xn, . . . avec

x1 0,112

1. . .n1. . . ;

x2 0,122

2. . .n2. . . ;

. . . . . . . . . . . . . . .

x2 0,1n2

n. . .nn. . . ; . . .

Cependant le nombre x 0,12. . .n... avec n N : 0 n 9 et n nn,

appartient 0, 1mais x xn, n N.


33/272



33

Chapitre II.SUITES NUMERIQUES.

Rappels de cours.

II.1. Limite dune suite numrique. On dit que la suite numrique u 1, u2, . . . , un,...admet lalimite R (ou converge vers ) si

0, n N, n : n n |un | .On note alors

nlim un .

II.2. Limite infinie.Lcriture symbolique

n

lim un signifie que

A 0, nA N, n : n nA |un | A.

Plus particulirement:

nlim un A 0, nA N, n : n nA un A;

nlim un A 0, nA N, n : n nA un A.

Dfinition 1. i) La suiteunest dite infiniment grande sinlim un .

ii) La suiteunest dite infiniment petite sinlim un 0.

Dfinition 2. La suiteunest dite divergente si elle nadmet pas de limite finie.

Terminologie: on dit quune propritPn, dpendant den N, est vraie pourn assezgrand ou patir dun certain rang sil existe q N tal que n N : n q Pnestvraie).

II.3. Critres dexistence de la limite.Critre n 1:Toute suite croissante majore (resp. dcroissante minore) admet une limite.Critre n 2:Critre de Cauchy. Pour quune suite numrique soit convergente, il faut et il

suffit quelle vrifie le critre de Cauchy suivant:

0, n N, p, q N : p n, q n |up u q | .ou bien

0, n N, n : n n, p 1 |unp u n | .

Critre 3: (thorme des trois suites). Soientxn, ynet zntrois suites vrifiant:i)y n xn zn, partir dun certain rang,ii)

nlim yn

nlim zn ,

alorsnlim xn

Critre n 4: (de comparaison). Soientxnet yndeux suites vrifiant:

i) yn xn, partir dun certain rang,

ii)nlim yn resp.

nlim xn .


34/272



34

Alorsnlim xn , resp.

nlim yn .

II.4. Ingalits et oprations sur les limites. Si les suitesxnet ynconvergent, alors on ai) xn yn n n0

nlim xn

nlim yn;

ii)nlim xn y n

nlim xn

nlim yn;

iii)nlim xnyn

nlim xn.

nlim yn;

nlim xn

nlim xn R;

iv)nlim

xnyn

n

lim xn

nlim yn

sinlim yn 0;

v)nlim |xn |

nlim xn ;

II.5. Limites remarquables.Les relations suivantes sont vraies:i) la limite

nlim 1 1n

n existe, note e o la limitee est appele

nombre de Nperavec 2 e 3.ii) suite gomtrique

nlim qn

0 si |q| 1,

si |q| 1

1 si q 1,

nexiste pas si q 1.

Les thormes suivants sont vrais:

Thorme 1. Si un 0 n 1 etnlim un 0, alors R, on a

nlim un

nlim un

.

En particulier:m N, on a

nlim m un m

nlim un m

avec un 0 sim est pair et un quelconque sim est impair. (voir exercice 2.5).Thorme 2. Si a 0,a 1, un 0 n 1 et 0, alors on a

nlim logaun loga

nlim un loga.

Thorme 3. Si a 0 etnlim un , alors

nlim aun an

lim u n a.

Remarque. On admettra les formules suivantes souvent utilises dans le calcul des limites desuites:

i)nlim xn a 1,

nlim yn b

nlim xn

yn ab;

ii)nlim xn 1,

nlim yn ,

nlim xn

yn en

limy nxn1.

II.6. Suites adjacentes. On dit que deux suitesunet vnsont adjacentes si lune est


35/272



35

croissante, lautre dcroissante etnlim un v n 0.

Proposition. Deux suites adjacentes sont convergentes et ont mme limite.

II.7. Suites extraites. Soitunune suite numrique. La suite unkest une sous-suite ousuite extraite deunsi la suite des indicesnkest strictement croissante et u nk un, cest dire que n1 n2 . . . nk . . . e tu nk un, n 1 . On note unk un.

Les thormes suivants sont vrais:

Thorme 1. Siunest convergente vers R, alors toute sous-suite deunconvergeaussi vers .

Thorme 2. Si les deux sous-suitesu2net u2n1de la suiteunconverge vers la mme

limite , alorsunconverge aussi vers .Voir exercices: 2.3 et 2.25. i), a).

II.8. Suites rcurrentes. Soitf : D R D. On dit que la suite unest une suitercurrente dfinie parf si u1 est donn et un1 fun, n 1.

Proprits.i)Si fest croissante, alors:

a un est croissante si fu1 u 1 0,

b unest dcroissante si fu1 u 1 0.

ii)Si fest dcroissante, alors la quantit un1 u n est alternativement positive et ngative.

Thorme. Soit une suite rcurrenteundfinie parf : D D.Si

nlim un R et sifest continue, alors la limite vrifie lquation

f .

II.9. Limite infrieure et limite suprieure dune suite. Soitunune suite numrique. Ondit que le nombrea R est une valeur dadhrence deunsil existe une sous-suiteunk unconvergente versa.

Lensemble des valeurs dadhrence de la suiteunest not Adun R.Dfinition.On appelle limite suprieure (resp. infrieure) de la suiteunla borne suprieure

( resp. la borne infrieure) deAdun quon note limun (resp. limun.En fait, on a limun maxAdun R et limun minAdun R.Exemple. Soit la suiteundfinie par

un

13

si n 3k,

1 1k

si n 3k 1,

2 si n 3k 2.

La suiteuncontient trois sous-suites convergentes, savoiru3k, u3k1et u3k2qui

convergent respectivement vers 13

, 1 et 2. Donc les nombres 13

, 1 et 2 sont des valeurs

dadhrences de la suiteunqui est divergente.


36/272



36


37/272



37

Enoncs des exercices du chapitre II.Partie corrige.

Exercice 2.1. En appliquant la dfinition de la limite dune suite, dmontrer que chacune dessuitesun suivantes converge vers la limite indique:

i)

1 un 1

n, 0; 2 un 1n, 0; 3 un

1n1

n , 0;

4 un 2 1n

n , 0; 5 un 1 1n

n , 0

(expliquer sur un dessin le sens de la convergence de chacune de ces cinq suites);

ii)

6 un 4n 1

2n 1, 2 ; 7)u n

5n2 17n2 1

, 57

8 un n2

n 22n2 3n 1 , 12; 9 un n

2 1n , 1;

10 un n 2 n 1 , 0; 11)u n n

k0

qn |q| 1 , 11 q

;

12)u n loglog n, ; 13) un

n fois 1

0,11...1, 19

;

14)u n cos n3 3n 7

n2 5, 0; 15) un

n!nn

, 0;

16)u n n a a 1, 1; 17)u n 2 n , .

Exercice 2.2. i) Soit la suiteundonne par la formule gnraleun

2n 1n

2n , n N.

Montrer quenlim un 1. Pour quelles valeurs den, lcart entreu n et sa limite est-il en

valeur absolue infrieur 0et infrieur 104.

ii) Soit la suiteundonne par la formule gnrale un n2 a 2

n , n N.

Montrer quenlim un 1. Pour quelle valeur den, lcart entreu n et sa limite est-il en

valeur absolue infrieur 0.

Exercice 2.3. Montrer que si les suites vnet wnconvergent vers la mme limite , alors la

suite alternev 1, w1, v2, w2, . . . , vn, wn,... converge aussi vers .

Exercice 2.4. Soit une suite numrique un. Montrer que

i)nlim un

nlim 1n

n

k1

uk .

ii) En dduire que si vnest une suite numrique tellenlim vn1 v n , alors

nlim

vnn .

iii) La rciproque de la question i) est-elle vraie?

Exercice 2.5. Soit une suiteuntelle que : un 0, n 1 etnlim un . Dmontrer que

nlim p un p p N.


38/272



38

Exercice 2.6. En utilisant le thorme des trois suites, calculer

n

lim un si:

1) un ncos n sin n

n 12 ; 2 un n n 1 n ;

3) un n 1k n k 0 k 1; 4) un n

k1

nn2 k

;

5 un

n

k1

nn3 k

; 6) un

n

k1

1k n 2

;

7) un 1n2

n

k1

Ekx; 8) un n 3n 2 ;

9 un nan

a 1; 10 un n 2n 3 ;

11) un an

1 a1 a 2. . . 1 a n a 0.

Exercice 2.7. Dmontrer les galits suivantes:

1nlim n

2n 0, (gnralisation:

nlim n

k

an 0 a 1, k N;

2nlim 2

n

n! 0, gnralisation:

nlim a

n

n! 0 a R;

3nlim nqn 0 |q| 1;

4nlim n a 1 a 0, (gnralisation:

nlim n ap 1, p N;

5n

lim logan

n 0 a 1 (gnralisationn

lim logan

n 0, 0;

6nlim n np 1 p N;

7nlim 1

n n! 0 indication: montrer que n! n

3

n

;

8)nlim n!

nn 0.

Commenter ces rsultats.

Exercice 2.8. Soit a1, a2, . . . , am des nombres rels strictement positifs et A i1...m

max ai .

Montrer quenlim na 1

na 2

n. . . am

n A.

Exercice 2.9. Calculernlim un o:

1) un n 53 nn 72

n2 ; 2 un

n2 12n 1

3n2

16n 1

;

3) un n 14 n 14

n2 12 n2 12;

4 un n 1m n 2m . . . n km

nm1 kn k, m N;

5)u n 1 2 . . . n

n2 ; 6) un n2 2n 5 n;

7) un n2 n n; 8 un 2n2 n 1

3n 1n n 4;

9)u n 3 n3 2n2 n; 10 un n2

31 2n 1 ;


39/272



39

11)u n n2 1 n

3 n2 n n; 12 un

n3

3 31

3n3

1 ;

13) un 3 n2 n

n 2 ; 14u n

n2 3 n5 2n

n2 n5 1;

15) un 3 n 1 3 n ; 16) un n

k1

1kk 1

;

17)u n 11. 3

13. 5

. . . 12n 12n 1

; 18) un n

k1

1kk1k 2

;

19) un 12 2 2 . . . n2

n3 ; 20) un

n

k1

2k 1n 1

2n 12

;

21) un n3/2 n3 1 n3 1 ; 22 un 2n5n 1

cos n3n 1

;

23)u n 1 2 3 . . . n

n 2 n

2; 24)u n 1

n 1n1

n2 1n

;

25) un 1 13

132

. . . 1n

3n ; 26) un

12n

32n

. . . 2n 12n

;

27)u n 1

n 2n

3n . . . 1

n1 nn ; 28)un

1 2 3 4 5. . . 2n

n2 1 4n2 1;

29)u n 12

n3

32

n3 . . .

2n 12

n3 ;

30) un 1 a a 2 . . . an

1 b b 2 . . . bn |a| 1, |b| 1;

31)u n a 1n 1

a 1n

1

a 1; 32) un 2n 1n

3n n

;

33) un 2n2 3 n3

2n 3 n ; 34) un

1n6n 5 n1

5n 1n16n1;

35)u n n3 3 n

n 3 n1; 36)u n

2n 3 n

2n1 3 n1;

37)u n 2

1n 1

21n 1

; 38) un 2n

n 2!;

39)u n 5n n 1!

3n n 2!; 40)u n

4n n 22n 1n4 n!2

;

41) un 1

0, 3n. n!; 42) un

3n2n

n3!;

43) un 2n

2 n 1!n3n n!

; 44) un n3n 1

n! 1 ;

45) un 10n n!2n n 1!

; 46)u n 0,

n fois 3

233...3;

47)u n n 2! n 1!

n 3! , 48)u n 3

n 1!2

2n 1! ;

49)u n 2 4 2 8 2 . . . 2n 2 ;

50) un n n an b a, b 0;

51)u n n4

2n 1 n 2 2n 1.

Exercice 2.10. Parmi les suites suivantes, montrer celles qui sont bornes


40/272



40

1 un n1n

; 2 un 2 1n

2 1n;

3)u n n 1

n cos2 n

4 ; 4)u n 100 n 3

n2 1 ;

5) un

n

k0

1k!

; 6) un n 1n

3n 1 ;

7)u n ncos n; 8)u n n 1n;

9)u n

n

k0

1kk1

; 10 un nqn

|q| 1;

11)u n 1nn 25

n2 4; 12) un n2 1 n ;

13) un 25 n 3

n

2

10

; 14 un

n

k1

1k n

.

Exercice 2.11.i)Soit une suiteunet un relk 1. On suppose quil existen 0 N

tel queu n1 kun, n n0. Montrer quenlim un .

ii) Soitunune suite de rels strictement positifs telle que

nlim

un1un

1. Montrer quenlim un .

Exercice 2.12.Considrons les suites un 3n 3n

3n et

vn 3

n 3

n

5n , n 1. Montrer que la suiteunne possde pas de limite tandis que lasuitevnconverge et prciser sa limite.

Exercice 2.13. Etudier la nature de la suite dfinie par un n2

k1

nn2 2k

.

Exercice 2.14. Etudier la monotonie des suites suivantes et en dduire eventuellement leurnature:

1) un 1n 1n; 2 un n3 1

n4 ;

3)u n n

k1

1n k

; 4)u n n

k1

1kn

;

5) un 12 2 2 . . . n 2

n2 ; 6) un

n

k1

1kp

, p 2,3, . . . ;

7) un

n

k1

1k n 2

; 8) un

n2

k1

1n2 2k

;

9) un

n

k1

1k

; 10) un

n

k1

1k!

;

11) un n!

1.3.5... 2n 1

; 12) un 1.3.5... 2n 1

2.4.6... 2n

.


41/272



41

13 un n 1!

1 1 1 2 . . . 1 n ; 14) un 1n n;

15) un 10n

2n 1!; 16)un n

2 kn en fonction dek.

Exercice 2.15.Soient les suites:

un 1 1n

n

et vn 1 1n

n1

, n 1 ,2, . . . .

i Dmontrer que la suite un est strictement croissante , majore et quela suite yn est dcroissante, minore.

iiEn dduire quenlim un

nlim vn .

Cette limite est dsigne pare , appele nombre de Nper, c..d. que:

n

lim 1 1nn

e.

Exercice 2.16.Dmontrer les ingalits suivantes:

1 nen

n! e n2

n

; 2) 1 1nn

e 1 1nn1

;

3 en dduire que 1n 1

log 1 1n 1

n n N;

Exercice 2.17.Sachant quenlim 1 1n

n

e,

i)montrer quenlim 1 1

1!

12!

. . . 1n!

e.

ii) En dduire la formule:e 2 1

2!

1

3!

. . . 1

n!

n

n!. n

avec 0 n 1 et que le

nombre e est irrationnel.

iii)Calculer le nombree 105 prs.

Exercice 2.18Gnralisation de la formulenlim 1 1n

n

e.

Soientunet vndeux suites arbitraires telles quenlim un ,

nlim vn et un, vn nappartiennent pas lintervalle1, 0.

Montrer alors que

nlim 1 1un

un

nlim 1 1vn

vn e.

Remarque. On supposera dans la suite que la proposition suivante est vraie: sinlim xn

etnlim yn R, alors

nlim 1 1xn

xnyn e.

Exercice 2.19. Calculernlim un si:

1) un 1 1n k

n

; 2) un 1 knn

k N;

3) un 1 1n

2n

; 4) un n 1

n 3

n2

;

5) un 2n 1

2n

2n

; 6) un 2n 3

2n

1

n2

;

7) un n2 1

n2 2

n2

; 8) un 1 1

nn 1

n

;


42/272



42

9) un n2 nn2 2n 2

n

; 10) un n2 n 1

n2 n 1

n

.

Exercice 2.20.En appliquant le critre de Cauchy tudier la nature des suites suivantesdfinies par:

1) un

n

k1

cos kak

a R, 2; (indication: 1n2

1n 1

1n;

2) un

n

k1

akk || 1, |ak| M k N;

3) un

n

k1

1k!

; 4) un

n

k1

1k

2, N; 5) un cos 1n;

6) un

n

k1

1k; 7)u n n

k1

1k; 8) un

n

k2

1log k;

9) un 1 12

1 14

. . . 1 12n

.

Exercice 2.21.Soit la suite xn vrifiant la condition:|xn1 x n | an 0 a 1 .Montrer que xn est une suite de Cauchy.

Exercice 2.22.i) a) Soit un une suite telle que les deux sous-suites u2n et u2n1 soient

convergentes vers la mme limite . Montrer que la suite un converge aussi vers .b) Soit un une suite telle que les trois sous-suites (u2n1, u2n et u3n soient

convergentes. Montrer que:nlim u2n

nlim u2n1. Conclure.

ii) a) On considre la suite un dfinie par:

un 1 12!

14!

. . . 1n 12n!

, n 1.

Montrer que les deux sous-suites u2n1 et u2n sont adjacentes . Conclure.b) On considre la suite un dfinie par:

u1 2, un1 2 u n n 1.

1) Etudier la monotonie de u n, n 2.2) Etudier ensuite les deux sous-suites u2n1 et u2n. Conclure.

Exercice 2.23.

a) Soient les suites unet vndfinies par: un

n

k1

1k!

et vn un 1n. n!

.

i) Montrer queunet vnsont adjacentes.ii) En dduire que n N, on a un e vn.iii) En prenant n 5 trouver une valeur approch de e, puis valuer lerreur commise.b) Montrer que les suitesunet vnsont adjacentes si:

1) un

n

k1

1k2k 12

et vn un 13n2

, n 2;

2) un

n

k1

1kp et vn un 1np1 , p 2, n 2.


43/272



43

Exercice 2.24. Trouver le terme gnral de chacune des suites suivantes:

1 xn nxn1 et x1 1;2 xn est dfinie comme suit :x 2n nn 1x2n1, x2n1 1

2nx2n et x1 x2 1.

Exercice 2.25.Soit la suiteundfinie par:

un 1 12

13

14

. . . 1n1

n , n 1.

iMontrer que les suites u2k et u2k1 sont adjacentes.iiEn dduire la nature de un.

Exercice 2.26.Soit la suiteundfinie paru1 a,

un1 6 u n, n 1.i) Montrer que la suiteunest strictement croissante dans le cas a 0 et strictement

dcroissante dans le cas a 4.

ii) En dduire sa nature poura 0 et si elle converge, alors calculer sa limite.

Exercice 2.27.Soit la suiteundfinie paru1 0,

un1 un 1un

, n 1.

Montrer quenlim un . (Raisonner par labsurde).

Exercice 2.28.Etudier la nature de la suite dfinie paru1 1,

un1 1 1un

, n 1.

et calculer sa limite si elle existe. (Utiliser lexercice 2.25 i a)).

Exercice 2.29. Soit la suite rcurrente

u1 a, a 1,

un1 un2

12n

, n 1.

i) Montrer quen 1, un 1.ii) Montrer queunest convergente.

iii) Calculer de deux manires diffrentesn

k1

uk12 u k2.

iv)En dduire queunconverge et calculer sa limite.v)SoitE un, n 1 . Dterminer supEet infE.

Exercice 2.30. ( autre formulation de lexercice 2.29). Soit la suite rcurrente

u1 a, a 1,

un1 un2

12n

, n 1.

i) Montrer quen 1, un1 un 12n1 . Dduire queun est convergente (utiliser le

critre de Cauchy).


44/272



44

ii) Etudier la suiteun2. En dduire la limite deun.

Exercice 2.31.. On considre une suiteunde nombres rels telle que|un1 u n | k|un u n1 |, n n0 n N

, 0 k 1.

i) Monter quen 1, |un1 u n | kn|u2 u 1 |.ii) Montrer que pour tous entiers p, qvrifiant 0 q p, on a

|up u q | kq

1 k|u2 u 1 |.

iii) En dduire la nature deun.iv) Dmontrer dune autre manire que la suite unest convergente ( utiliser le critre de

Cauchy).

v)Application: quelle est la nature de la suiteundfinie par

u1 b R,un1 a sin un b, n 1 a, b R, 0 a 1.

(Ind. On admettra que|sinx| |x|, x R.

Exercice 2.32. Soit la suite rcurrente

u1 a , a 0,

un1 unun

23a

3un2

a, n 1.

i) Montrer quen 2, un a .ii) Montrer queunconverge et calculer sa limite.

Exercice 2.33.Soit la suite rcurrente dfinie paru1

12

,

un1 un2

316

, n 1.

i) Montrer quen 1, 14

un 3

4.

ii) Etudier la nature de la suiteunet calculer sa limite si elle est convergente.iii) SoitE un, n 1 . Dterminer supEet infE.

Exercice 2.34.Soit la suite numrique dfinie par0 u1 1,

un1 1 u n

2 u n, n 1.

i) Montrer quen 1, 0 un 1.ii) Montrer queunest monotone en prcisant les valeurs deu 1pour lesquellesunest

croissante, respectivement dcroissante.

iii) Montrer que la suite unest convergente. Sa limite dpend-elle de u 1?

Exercice 2.35. Soientunla suite dfinie paru1 0,

un1 1

2u n 1, n 1.

etvnla suite dfinie par: vn un a, n 1, a R.


45/272



45

i) Dterminera pour que la suitevnsoit une suite gomtrique de raison 12

.

ii)Calculer la limite deun, ainsi que celle devn.

Exercice 2.36.

1)Soit la suite numrique dfinie paru1 ,

un1 2 u n, n 1.

Etudier la nature de la suite undans les cas suivants:i) 1, ii 2, iii 3 et calculer sa limite si elle existe. Tracer son graphe.

2) Mmes questions siunest dfinie paru1 ,

un1 4

3u n u n

2, n 1,

dans les cas: i) 1

6, ii 1

2 , iii 7

6.Tracer leurs graphes.

Documents

01- Brochure d'Analyse I Version Entière Pour Forum