03. 알고리즘 개요(Part 1) - Kangwoncs.kangwon.ac.kr/~ysmoon/courses/2010_1/alg/03.pdf · 2016-06-02 · 1 알고리즘(Algorithm) 알고리즘알고리즘개요개요(효율,

1

알고리즘알고리즘(Algorithm) (Algorithm) 알고리즘알고리즘 개요개요 ((효율효율, , 분석분석, , 차수차수) Part 1) Part 1

20102010년년 봄학기봄학기

강원대학교강원대학교 컴퓨터과학전공컴퓨터과학전공 문양세문양세

강의강의 내용내용알고리즘: 효율, 분석, 차수 – Part 1

프로그램과 알고리즘

순차검색과 이진검색순차검색과 이진검색

피보나찌 수 구하기

알고리즘 분석

Computer Algorithmsby Yang-Sae MoonPage 2

차수 (O, , ) – Part 2

2

프로그램의프로그램의 설계설계 과정과정알고리즘: 효율, 분석, 차수 – Part 1

문제 알고리즘 프로그램만족?설계 분석 예

문제 알고리즘

아니오

재설계

알고리즘은 주어진 문제를 논리적으로 해결하는 과정이다


알고리즘은 주어진 문제를 논리적으로 해결하는 과정이다.

분석을 통해 작성한 알고리즘의 정확성을 파악할 수 있고, 효율성을 정량적으로 나타낼 수 있다.

(일반적으로) 알고리즘은 프로그래밍 언어에 독립적이다.

알고리즘알고리즘 과목의과목의 학습학습 목표목표알고리즘: 효율, 분석, 차수 – Part 1

Design(설계): 다양한 문제에 대해, 알고리즘을 설계하는 기법을 배운다.

Analysis(분석): 알고리즘을 분석하여 시간/공간 복잡도를 구하는 방법을 배운다.

Computational Complexity(계산 복잡도):문제를 분석하여 계산 복잡도를 구하는 방법을 배운다.


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설계설계((알고리즘알고리즘))가가 없다면없다면 ……알고리즘: 효율, 분석, 차수 – Part 1


알고리즘이란알고리즘이란??

정의:문제에 대한 답(해결책)을 찾기 위해서 계산하는 절차이다.

더 체적인 정의

알고리즘: 효율, 분석, 차수 – Part 1

좀 더 구체적인 정의

• 알고리즘은 단계별로 주의 깊게 설계된 계산 과정이다.

• 알고리즘은 입력을 받아서 출력으로 전환시켜주는 일련의 계산 절차이다.

음…. 결국, 알고리즘이라는 것은 어떤 절차를 기술하는 것이다.

또 한번 음… 주어진 입력이 있을 때, 원하는 해답을 출력하기 위해


서, 어떻게 계산하면 되는지 그 절차를 기술하는 것이다.

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알고리즘의알고리즘의 예예알고리즘: 효율, 분석, 차수 – Part 1

주어진 문제: 전화번호부에서 “홍길동”의 전화번호 찾기

알고리즘(해결책)

• 순차검색(sequential search): 전화번호부의 첫 쪽부터 홍길동이라는 이름이 나( q )올 때까지 순서대로 찾는다.

• (수정된) 이진검색(binary search): 전환번호부는 “가나다”순으로 되어있으

므로 먼저 “ᄒ”이 있을 만한 곳으로 넘겨본 후 앞뒤로 뒤적여가며 찾는다.

분석: 어떤 알고리즘이 더 좋은가?


문제문제(Problem)(Problem)의의 표기표기//표현표현 방법방법알고리즘: 효율, 분석, 차수 – Part 1

문제: 해결책을 찾고자 던지는 질문

매개변수(파라미터, parameter):문제에서 어떤 특정 값이 주어지지 않은 변수(variable)

문제의 사례(instance) = 입력(input):문제에 주어진 파라미터에 특정 값을 지정한 것(예)

사례에 대한 해답(solution) = 출력(output):주어진 사례에 관한 질문에 대한 답


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문제의문제의 표기표기 예예알고리즘: 효율, 분석, 차수 – Part 1

문제: n개의 수로 된 리스트 S에 x라는 수가 있는지 알아내시오.그결과, x가 S에 있으면 “예”, 없으면 “아니오”로 답하시오.

파라미터: S, n, x

입력의 예1: S = [10,7,11,5,3,8], n = 6, x = 5

출력의 예1: “예”

입력의 예2: S = [10,7,11], n = 3, x = 5

출력의 예2: “아니오”


알고리즘의알고리즘의 표기표기((기술기술))알고리즘: 효율, 분석, 차수 – Part 1

자연어: 한글 또는 영어 (부정확하고 모호함)

프로그래밍언어: C, C++, Java, Pascal 등(특정 언어에 의존적이어서 일반적인 알고리즘 기술에 부적합)

의사코드(Pseudo-code):직접실행할 수 있는 프로그래밍언어는 아니지만, 실제 프로그램에

거의가깝게 계산과정을 표현할 수 있는 언어

알고리즘은 보통 의사코드로 표현한다.

본강의에서는 C++(혹은 C)에 가까운 의사코드를 사용한다.


( )

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프로그래밍프로그래밍 언어언어 vsvs 알고리즘알고리즘//자료구조자료구조알고리즘: 효율, 분석, 차수 – Part 1


C++C++와와 의사코드의의사코드의 차이점차이점 (1/3)(1/3)알고리즘: 효율, 분석, 차수 – Part 1

배열인덱스의 범위에 제한 없음

• C++는반드시 0부터 시작

• 의사코드는임의의 값 사용가능 (예: int x[5..10];)

프로시저의 파라미터에 2차원 배열 크기의 가변성 허용

• 예: void pname(A[][]) { … }

• C++에서는다음과 같이제한이 필요함: void pname(A[][10]){ … }

지역배열에 변수 인덱스 허용


• 예: keytype S[low..high];

• C++에서는숫자 인덱스만가능함

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C++C++과과 의사코드의의사코드의 차이점차이점 (2/3)(2/3)알고리즘: 효율, 분석, 차수 – Part 1

수학 표현식 및 간단한 자연어 허용

• low <= x && x <= high

low x high

• temp = x; x = y; y = temp;• temp = x; x = y; y = temp;

exchange x and y;

C++에 없는 타입 사용 가능

• index: 첨자로 사용되는 정수 변수

• number: 정수(int) 또는 실수(float) 모두 사용가능

b l “ ”나 “f l ” 값을 가질 수 있는 변수


• bool: “true”나 “false” 값을 가질 수 있는 변수

• 이외에도 잘 알려진 키워드(예: record, list)는 별도 정의 없이 사용

C++C++과과 의사코드의의사코드의 차이점차이점 (3/3)(3/3)알고리즘: 효율, 분석, 차수 – Part 1

제어 구조

• repeat (n times) { … }

프로시저와 함수의 구분

• 프로시저: void pname(…) {…}

• 함수: returntype fname (…) {… return x;}

참조 파라미터(reference parameter)를 사용하여 프로시저의 결과

값 전달 방법 (call by reference를 설명하고 있음)


• 배열: (기본적으로) 참조 파라미터로 전달

• 나머지: 데이터 타입 이름 뒤에 &를 붙임

• const 배열: 전달되는 배열의 값이 불변

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알고리즘 분석


차수 (O, , ) – Part 2

순차검색순차검색 (Sequential Search) (1/3)(Sequential Search) (1/3)알고리즘: 효율, 분석, 차수 – Part 1

문제: 크기가 n인 배열 S에 x가 있는가?

입력(파라미터): (1) 양수 n, (2) 배열 S[1..n], (3) 키 x

출력: x가 S의 어디에 있는지의 위치, 만약 없으면 0출력: x가 S의 어디에 있는지의 위치, 만약 없으면 0

알고리즘(자연어): • x와같은 아이템을 찾을때까지 S에있는 모든아이템을 차례로검사한다.

• 만일 x 와같은 아이템을 찾으면 S에서 해당위치를 출력하고, S 를모두 검사하고도찾지 못하면 0을 출력한다.

자연어 알고리즘은 문제를 풀기는 하였으나 프로그램으로 전환하


자연어 알고리즘은 문제를 풀기는 하였으나, 프로그램으로 전환하

기에는 용이하지 않다.

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알고리즘(의사코드)

void seqsearch(int n, // 입력(1)const keytype S[], // 입력(2)keytype x // 입력(3)keytype x, // 입력(3)index& location) // 출력

{location = 1;while (location <= n && S[location] != x)

location++;if (location > n)

location = 0;


}

while-루프: 아직 검사할 항목이 있고, x를 찾지 못하였나?

if-문: 모두 검사하였으나, x를 찾지 못했나?돌아가기


순차검색 알고리즘으로 키를 찾기 위해서 S에 있는 항목을 몇 개나

검색해야 하는가?• 키와같은 항목의 위치에따라 다름

최악의경우• 최악의경우: n

• 평균의경우: n/2

좀더 빨리 찾을 수는 없는가?• 더이상 빨리찾을 수 있는알고리즘은 존재하지않는다.

• 배열 S에 있는 항목에대한 정보가전혀 없는상황에서, 모든 항목을검색하지 않


고임의의 항목 x를 항상 찾을수 있다는보장이 없기때문이다.

• 만약, 배열 S가 정렬되어 있다는정보가 존재한다면? 이진검색

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순차검색순차검색 ---- C ProgramC Program알고리즘: 효율, 분석, 차수 – Part 1

실제 C 프로그램을 봅시다.

알고리즘과는 어떤 차이가 있는지 확인합시다.


이진검색이진검색 (Binary Search) (1/3)(Binary Search) (1/3)알고리즘: 효율, 분석, 차수 – Part 1

문제: 크기가 n인 정렬된 배열 S에 x가 있는가?

입력: (1) 양수 n, (2) 배열 S[1..n], (3) 키 x

출력: x가 S의 어디에 있는지의 위치, 만약 없으면, 0출력: x가 S의 어디에 있는지의 위치, 만약 없으면, 0

순차검색의 문제와 다른 점은 배열 S가 “정렬”되어 있다는 정보

를알고 있다는 점이다.

순차검색의 문제가 보다 일반적이므로, 순차검색을 사용하여 이 문

제를풀 수 있다


제를풀 수 있다.

그러나, 순차검색을 사용하면 “정렬”되어 있다는 정보를 사용하

지못하는 것이 된다.

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알고리즘(의사코드)

이진검색이진검색 (Binary Search) (2/3)(Binary Search) (2/3)

void binsearch(int n, // 입력(1)const keytype S[], // 입력(2)keytype x, // 입력(3)keytype x, // 입력(3)index& location) // 출력

{index low, high, mid;low = 1; high = n;location = 0;while (low <= high && location == 0) {

mid = (low + high) / 2; // 정수나눗셈if (x == S[mid]) location = mid;


else if (x < S[mid]) high = mid – 1;else low = mid + 1;

}}

while-루프: 아직 검사할 항목이 있고, x를 찾지 못하였나?


비교횟수를 (개략적으로) 분석해 본다.• 배열의크기가 32라면 6번의비교가 필요하다. 이때, 6 = lg 32 + 1이다.

• 배열의크기가 64라면 7번의비교가 필요하다. 이때, 7 = lg 64 + 1이다.

배열의크기가 2k라면 k+1번의비교가 필요하다 이때 k+1 l 2k + 1이다

이진검색이진검색 (Binary Search) (3/3)(Binary Search) (3/3)

• 배열의크기가 2k라면 k+1번의비교가 필요하다. 이때, k+1 = lg 2k + 1이다.

• …

이분검색 알고리즘으로 키를 찾기 위해서 S에 있는 항목을 몇 개나

검색해야 하는가?• while 문을 수행할 때마다 검색 대상의 크기가 절반으로 감소하기 때문에 최악의 경우라


도 lg n + 1번만 비교하면 된다.

• 상기횟수 분석에서 n = 2k라 하면, 비교횟수는 lg n + 1이 된다.

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알고리즘: 효율, 분석, 차수 – Part 1순차검색순차검색 vs. vs. 이진검색이진검색

배열의크기 순차검색 이진검색 비고

n n lg n + 1n n lg n + 1

두방법모두최악의경우에

대한비교횟수임

128 128 8

1,024 1,024 11

1,048,576 1,048,576 21


4,294,967,296 4,294,967,296 33





알고리즘 분석


차수 (O, , ) – Part 2

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피보나찌 수열의 정의

피보나찌피보나찌(Fibonacci) (Fibonacci) 수열수열

0 01

ff

예: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, …

1

1 2

1

, for 2n n n

f

f f f n


알고리즘: 효율, 분석, 차수 – Part 1자연계의자연계의 피보나찌피보나찌 수열수열


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문제: n번째 피보나찌 수를 구하라.

입력: 양수 n

출력: n 번째 피보나찌 수

피보나찌피보나찌 수수 구하기구하기 –– 재귀재귀 알고리즘알고리즘 (1/4)(1/4)


재귀(recursive) 알고리즘:

int fib(int n){if (n <= 1)return n;

else


return (fib(n-1) + fib(n-2));}


분석: 피보나찌 수 구하기 재귀 알고리즘은 수행속도가 매우 느리다.• 이유: 같은피보나찌 수를 중복하여계산한다.

• 예: fib(5) 계산을위해서는 fib(2)를세 번이나중복 계산한다.


함수 fib(5) 호출 시의 재귀 트리 (recursive tree)


실제호출되는 상황을 봅시다!

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fib(n) 함수 호출 횟수 계산

• T(n) = fib(n)을 계산하기위하여 fib() 함수를 호출하는횟수

• 즉, T(n)은재귀 트리 상의마디의 개수


2

3

(0) 1;

(1) 1;

( ) ( 1) ( 2) 1 for 2

2 ( 2) since ( 1) ( 2)

2 ( 4)

T

T

T n T n T n n

T n T n T n

T n


3

/2

/2

2 ( 6)...

2 (0)

2

n

n

T n

T


정리: 재귀적 알고리즘으로 구성한 재귀 트리의 마디의 수를 T(n)이라하면, n 2인 모든 n에 대하여 T(n) > 2n/2이다.

증명: (n에 대한 수학적 귀납법으로 증명)


Induction base: T(2) = T(1) + T(0) + 1 = 3 > 2 = 22/2

T(3) = T(2) + T(1) + 1 = 5 > 2.83 23/2

Induction hypothesis:

2 m < n인모든 m 에대해서 T(m) > 2m/2 이라가정

Induction step: T(n) > 2n/2임을보인다.

T(n) = T(n - 1) + T(n - 2) + 1


T(n) T(n 1) T(n 2) 1

> 2(n - 1)/2 + 2(n - 2)/2 + 1 [귀납가정에의하여]

> 2(n - 2)/2 + 2(n - 2)/2

= 2 2(n / 2)-1

= 2 n/2

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문제: n번째 피보나찌 수를 구하라.

입력: 양수 n


피보나찌피보나찌 수수 구하기구하기 –– 반복반복 알고리즘알고리즘 (1/2)(1/2)


반복(iterative) 알고리즘:

int fib2 (int n){

index i;int f[0..n];

f[0] = 0;if ( 0) {


if (n > 0) {f[1] = 1;for (i = 2; i <= n; i++)f[i] = f[i-1] + f[i-2];

}return f[n];

}


분석: 반복 알고리즘은 수행속도가 훨씬 더 빠르다.

• 이유: 재귀알고리즘과는 달리 중복계산이 없다.

피보나찌피보나찌 수수 구하기구하기 –– 반복반복 알고리즘알고리즘 (2/2)(2/2)

계산하는 항(f[i])의 총 개수

• T(n) = n + 1

• 즉, f[0]부터 f[n]까지 단한번씩만 계산한다.


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노드하나(혹은 항 하나) 계산에 1 ns 걸린다고 가정하자.

피보나찌피보나찌 수수 구하기구하기 –– 재귀재귀 vs. vs. 반복반복 (1/2)(1/2)

n n+1 2n/2 반복 재귀(하한)

40 41 1 048 576 41ns 1048s40 41 1,048,576 41ns 1048s

60 61 1.1109 61ns 1s

80 81 1.11012 81ns 18min

100 101 1.11015 101ns 13days

120 121 1.21018 121ns 36years


160 161 1.21024 161ns 3.8 107years

200 201 1.31030 201ns 4 1013years


재귀알고리즘 보다는 반복 알고리즘이 항상 효율적이다?꼭 그렇지만은 않다. 특히, 설계 단계에서 재귀 알고리즘은 매우 유용하다.

피보나찌피보나찌 수수 구하기구하기 –– 재귀재귀 vs. vs. 반복반복 (2/2)(2/2)

피보나찌 수 구하기의 재귀 알고리즘은 Ch. 2에서 다루는 분할정복

(Divide & Conquer)의 전형적인 예이다.

피보나찌 수 구하기의 반복 알고리즘은 Ch. 3에서 다루는 동적 프로


그래밍(Dynamic Programming)의 간단한 보기이다.

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알고리즘 분석


차수 (O, , ) – Part 2


시간복잡도(Time Complexity) 분석

• 입력크기에 따라서 단위연산이 몇번 수행되는지결정하는 절차

알고리즘의알고리즘의 분석분석(analysis)(analysis)

표현척도

• 단위연산(basic operation): 비교문(comparison), 지정문(assignment) 등

• 입력크기(input size): 배열의 크기, 리스트의길이, 행렬에서 행과열의 크기, 트리에서꼭지점과 에지의 수


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모든경우 분석(Every-case analysis)

• 복잡도는입력 크기에만 종속(dependent)적임

• 입력값과는 무관(independent)하게 복잡도는 항상일정

분석분석 방법의방법의 종류종류 (1/2)(1/2)

• 예: 평균을구하라.

최악의 경우 분석(Worst-case analysis)

• 복잡도는입력 크기와 입력값 모두에종속

• 단위연산이수행되는 횟수가 최대(최악)인경우 선택



평균의 경우 분석(Average-case analysis)

• 입력크기와 입력 값모두에 종속

• 모든입력에 대해서 단위연산이수행되는 기대치(평균)

분석분석 방법의방법의 종류종류 (2/2)(2/2)

• 각입력 값에대해서 확률 할당이가능

확률에 따라기대치가 다르게계산될 수있음

• 일반적으로최악의 경우보다 계산이복잡

최선의 경우 분석(Best-case analysis)입력크기와 입력 값모두에 종속


• 입력크기와 입력 값모두에 종속

• 단위연산이 수행되는 횟수가최소(최선)인 경우선택

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문제: 크기가 n인 배열 S의 모든 수를 더하라.

입력: 양수 n, 배열 S[1..n]

출력: 배열 S에 있는 모든 수의 합

배열배열 덧셈덧셈 알고리즘알고리즘

출력: 배열 S에 있는 모든 수의 합

알고리즘:number sum (int n, const number S[]){

index i;number result;

result = 0;


result = 0;for (i = 1; i <= n; i++)

result = result + S[i];return result;

}

알고리즘: 효율, 분석, 차수 – Part 1배열배열 덧셈덧셈 알고리즘알고리즘: : 시간시간 복잡도복잡도 분석분석

단위연산: 덧셈

입력크기: 배열의 크기 n

단위연산: 지정문 (for-루프

의첨자 지정문 포함)

입력크기 배열의 크기모든경우 분석:

• 배열내용에상관없이 for-루프가

n번반복된다.

• 각 루프마다덧셈이 1회수행된다.

• 따라서, n에대해서덧셈이수행

되는총횟수는 T(n) = n 이다.

입력크기: 배열의 크기 n

모든경우 분석:

• 배열내용에 상관없이 for-루프가 n번 반복된다.

• 따라서, 지정문이

T(n) = n + n + 1번수행된다.


( ) 행

기본동작을다르게함으로써, 시간복잡도가다르게나왔다.그러나, 사실둘모두는같은복잡도카테고리에속한다.

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문제: 비내림차순으로 n개의 키를 정렬

입력: 양수 n, 배열 S[1..n]

출력: 비내림차순으로 정렬된 배열

버블버블 정렬정렬(Bubble Sort) (Bubble Sort) 알고리즘알고리즘

출력: 비내림차순으로 정렬된 배열

알고리즘:

void exchangesort (int n, keytype S[]){

index i, j;

for (i = 1; i <= n-1; i++) for (j = i+1; j <= n; j++)


for (j i+1; j < n; j++) if (S[j] < S[i])

exchange S[i] and S[j];}

for(j = 1;j <= (n-i); j++)if (S[j] > S[j+1])

exchange S[j] and S[j+1];


단위연산: 조건문 (S[j]와 S[i]의 비교)

입력크기: 정렬할 항목의 수 n


버블버블 정렬정렬 알고리즘알고리즘: : 시간시간 복잡도복잡도 분석분석 II


• j-루프가수행될 때마다조건문을 1번씩수행

• 조건문의총 수행횟수

i = 1 : j-루프 n – 1 번 수행

i = 2 : j-루프 n – 2 번 수행

i = 3 : j-루프 n – 3 번 수행


i 3 : j 루프 n 3 번 수행

i = n – 1 : j-루프 1 번 수행

따라서 ( 1)( ) ( 1) ( 2) 1

2n n

T n n n

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단위연산: 교환하는 연산 (exchange S[j] and S[i])

입력크기: 정렬할 항목의 수 n

최악의 경우 분석:

버블버블 정렬정렬 알고리즘알고리즘: : 시간시간 복잡도복잡도 분석분석 IIII


• 조건문의결과에 따라서 교환연산의 수행여부가결정된다.

• 최악의경우 = 조건문이 항상참(true)이 되는 경우

= 입력 배열이거꾸로 정렬되어있는 경우

( 1)( )

2n n

T n


( )2


단위연산: 배열의 아이템과 키 x와 비교 연산 (S[location] != x)

입력크기: 배열 안에 있는 아이템의 수 n


순차순차 검색검색 알고리즘알고리즘: : 시간시간 복잡도복잡도 분석분석(1/4)(1/4)


• x가배열의 마지막 아이템이거나, x가배열에 없는경우, 단위 연산이 n번수행된다.

• 따라서, ( )W n n

순차검색알고리즘의경우입력배열의값에따라서검색하는횟수가달


라지므로, 모든경우(every-case)의시간복잡도분석은불가능하다.

순차검색알고리즘보기

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가정:배열의 아이템이 모두 다르다.

평균의 경우 분석(경우 1): x가 배열 S안에 있는 경우만 고려

• 에 대해서 x가배열의 k번째있을확률 = 1/n

• x가배열의 k번째있다면, x를 찾기위해서 수행하는단위연산의 횟수 = k

• 따라서

1 k n


• 따라서,

1 1

( 1)1 1 1 1( )

2 2

n n

k k

n n nA n k k

n n n


평균의 경우 분석(경우 2): x가 배열 S안에 없는 경우도 고려

• x가배열 S안에 있을확률을 p라고하면,

x가배열에 있을 확률 = p (x가배열의 k번째있을확률 = p/n)


x가배열에 있을 확률 p (x가배열의 k번째있을확률 p/n)

x가배열에 없을 확률 = 1 – p

• 따라서,

1

( ) (1 )

( 1) 1(1 ) (1 )

2 2

n

k

pA n k n p

np n n n

n p p n pn


• 참고:

12 2p p

n

1 ( ) ( 1)/2

1/2 ( ) 3 /4 1/4

p A n n

p A n n

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최선의 경우 분석:

• x가 S[1]일 때, 입력의 크기에상관없이 단위연산이 1번만 수행된다.

• 따라서, B(n) = 1



최악, 평균, 최선의 경우 분석 방법 중에서 어떤 분석이 가장

정확한가?(분석 자체야 모두 정확해야 한다.)

계산계산((시간시간) ) 복잡도복잡도: : 어떤어떤 것을것을 사용하지사용하지??

최악, 평균, 최선의 경우 분석 방법 중에서 어떤 분석을 사용할

것인가?(응용에 따라 다르나, 대개 최악/평균을 사용한다.)


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알고리즘이 의도한 대로 수행되는지를 증명하는 절차

(즉, 알고리즘이 정확하게 수행되는지를 증명하는 절차)

정확도정확도 분석분석??

정확한 알고리즘이란?어떠한 입력에 대해서도 답을 출력하면서 멈추는 알고리즘

정확하지 않은 알고리즘이란?• 어떤입력에 대해서 멈추지않거나, 또는


• 틀린답을 출력하면서 멈추는알고리즘

정확도분석은프로그램증명(Program Verification)과마찬가지로

매우이론적인분야로서, Dijkstra 등에의해서연구되었다.

알고리즘: 효율, 분석, 차수 – Part 1Who is Who is DijkstraDijkstra??


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03. 알고리즘 개요(Part 1) - Kangwoncs.kangwon.ac.kr/~ysmoon/courses/2010_1/alg/03.pdf · 2016-06-02 · 1 알고리즘(Algorithm) 알고리즘알고리즘개요개요(효율,