29
4. Suites 1.1 Je connais mon cours Définition d’une suite numérique : Une suite est croissante (décroissante) lorsque : Algorithme de calcul des n premiers termes d’une suite définie par ( + = 1 n n u f u et la donnée de 0 u : Données : f, u 0 , n Algorithme de calcul de la somme des premiers termes (de u 0 à u n ) d’une suite définie par ( + = 1 n n u f u et la donnée de 0 u : Données : f, u 0 , n Comportement à l’infini : on considèrera qu’une suite ( n n u converge vers une limite l si est seulement si Algorithme permettant de dire si une suite u n converge probablement vers une limite l : Données : f, u 0 , n

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4. Suites

1.1 Je connais mon cours

Définition d’une suite numérique :

Une suite est croissante (décroissante) lorsque :

Algorithme de calcul des n premiers termes d’une suite définie par ( )+ =1n nu f u et la donnée de 0u :

Données :

f, u0, n

Algorithme de calcul de la somme des premiers termes (de u0 à un) d’une suite définie par ( )+ =1n nu f u et la

donnée de 0u :

Données :

f, u0, n

Comportement à l’infini : on considèrera qu’une suite ( ) ∈ℕn nu converge vers une limite l si est seulement si

Algorithme permettant de dire si une suite un converge probablement vers une limite l :

Données :

f, u0, n

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2 Activités mathématiques Première S

Définition d’une suite arithmétique :

Sens de variation :

Limites :

Calcul du terme uq d’une suite arithmétique de premier terme up, de raison r :

Calcul du terme u0 et de la raison r d’une suite arithmétique dont on connait deux termes up et uq :

Calcul de la raison d’une suite arithmétique dont on connait trois termes consécutifs a, b et c :

Algorithme de calcul d’une suite arithmétique d’un rang p à un rang q :

Méthode de calcul de la somme des n premiers nombres entiers : 1+2+3+…+n =

Somme des termes d’une suite arithmétique :

Définition d’une suite géométrique :

Sens de variation :

Limites

Calcul du terme un d’une suite géométrique de premier terme up, de raison q :

Calcul du terme u0 et de la raison q d’une suite géométrique dont on connait deux termes un et up :

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4. Suites 3

Calcul de la raison d’une suite géométrique dont on connait trois termes consécutifs a, b et c :

Algorithme de calcul d’une suite géométrique d’un rang p à un rang q :

Méthode de calcul de la somme −+ + + + + +2 3 11 ... n nq q q q q :

Somme des termes d’une suite géométrique :

Limites :

Représentation graphique d’une suite de la forme ( )+ =1n nu f u dont on connaît le premier terme u0 et

interprétation :

Exemple : ( ) = + 11f x

x ; u0=0,5 puis u0=3.

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4 Activités mathématiques Première S

1.2 Exercices de base

1.2.1 Calculs simples

1. (un) désigne une suite arithmétique de premier terme u0 = –10 et de raison 4.

a. Calculer u1, u2, u3.

b. Donner l’expression de un en fonction de n et calculer u19.

c. Calculer la somme des termes de la suite (un) depuis u10 jusqu’à u50.

d. Préciser le sens de variationde (un) ainsi que sa limite.

e. Écrire les algorithmes de calcul pour

Terme n° q d’une suite arithmétique de premier terme up, de raison r

Somme des termes d’une suite arithmétique de up à uq.

2. (vn) désigne une suite géométrique de premier terme v0 = 81 et de raison –1/3.

a. Calculer v1, v2, v3.

b. Donner l’expression de vn en fonction de n et calculer v10.

c. Calculer la somme des 10 premiers termes de la suite (vn).

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4. Suites 5

d. Préciser le sens de variationde (vn) ainsi que sa limite.

Terme n° r d’une suite géométrique de premier terme up, de raison q ainsi que la limite quand elle existe

Somme des termes d’une suite géométrique de up à uq ainsi que la limite quand elle existe

1.2.2 Calculs moins simples

1. La somme des termes d’une suite un de u10 à u32 vaut 5000, celle des termes de u5 à u20 vaut 3000. (un) peut-elle être arithmétique ? géométrique ?

2. La somme de n termes d’une suite arithmétique de premier terme –15 et de raison 1/2 vaut 1000. Combien de termes dans la somme ?

3. En ajoutant les termes d’une suite géométrique on s’aperçoit qu’au bout d’un moment l’écart entre deux termes consécutifs de la somme devient inférieur à 10–10. La suite semble tendre vers –8. Donner des valeurs plausibles pour u0 et q.

1.2.3 Fastoche…

(un) est la suite géométrique de premier terme u0 = 8 et de raison q = 12

.

1. Calculer les termes u1, u2, u20.

2. Montrer que la somme = + + +0 1 20...S u u u est égale à −21

17

2 1

2

1.2.4 Suite arithmétique

Soit ( ) ≥0n nu une suite arithmétique. On sait que =5 125u et =16 48u .

1. Calculer la raison et le premier terme de cette suite.

2. En déduire nu en fonction de n .

3. Pour quelle valeur de n a-t-on = −127nu ?

4. A partir de quel rang a-t-on ≤ −250nu ?

5. Calculer la somme = + + +1789 1790 2007...S u u u .

1.2.5 Somme de termes

Soit ( ) ≥1n nu la suite arithmétique de raison 4 et de premier = −1 5u . Calculer la somme ( )=

= +∑25

1k

k

S u k

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6 Activités mathématiques Première S

1.2.6 Machine

La location d'une machine coûte 60 € la 1ère journée.

La 2ème journée de location coûte 65 € et chaque journée supplémentaire 5 € de plus que la précédente.

Combien de jours pourra-t-on utiliser la machine avec un budget de 3570 € ?

1.2.7 Entretien de machines

Un chef d’entreprise paie 60 000 € par an pour l’entretien de ses machines.

Lors du renouvellement du contrat pour les dix prochaines années, une société lui propose deux formules :

Contrat A : Le contrat augmente de 5% par an.

1. Exprimer en fonction de n le montant un du contrat lors de la n-ième année.

2. Calculer le montant du contrat pour la 10e année.

3. Au bout de combien d’années le contrat dépasserait-il le double du contrat initial ?

4. Calculer la somme payée, au total, au bout de ces 10 années.

Contrat B : Le contrat augmente de 3500 € par an.

1. Exprimer en fonction de n le montant vn du contrat lors de la n-ième année.

2. Calculer le montant du contrat pour la 10e année.

3. Calculer la somme payée, au total, au bout de ces 10 années.

4. Quel est le contrat le plus avantageux ?

1.2.8 Working Time

D’après Bac L, Centres étrangers, juin 2002

L’INSEE (Institut National de la Statistique et des Etudes Economiques) répartit la population française de plus de 15 ans en plusieurs catégories. Parmi elle, on désignera par « actifs » la catégorie des personnes ayant effectivement un emploi et par « inactifs » la catégorie regroupant les scolaires, les étudiants, les retraités et les personnes sans emploi ou ayant un emploi à temps très réduit. Les données relatives à ces deux catégories sont répertoriées dans les tableaux 1 et 2 fournis ci-dessous.

Tableau 1 : Découpage de la journée moyenne des Français en 1987 et en 1999.

Champ : Personnes de 15 ans et plus en France métropolitaine. D’après l’enquête « emploi du temps 1987–1999 », INSEE (périodicité = 10 ans).

Définitions : les temps sont exprimés en minutes.

Temps physiologique : sommeil, toilette, repas, ….

Temps professionnel : profession, trajets liés au travail, études, …

Temps domestique : ménage, cuisine, courses, linge, soins aux enfants, …

Temps libre : pratiques sportives, culturelles ou ludiques, bricolage, jardinage, …

Hommes Femmes

Actif occupé Inactif Actif occupé Inactif

1987 1999 1987 1999 1987 1999 1987 1999

Temps physiologique 683 682 772 760 693 695 762 757

Temps professionnel* 394 382 115 92 313 301 59 59

Temps domestique 112 119 165 175 229 227 317 288

Temps libre 224 339 375 169 183 264 301

Autre 33 49 38 36 34 38 35

Total 24 h 24 h 24 h 24 h 24 h 24 h 24 h 24 h

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4. Suites 7

*La prise en compte des samedis et dimanches pour le calcul de ces moyennes explique ces temps professionnels journaliers relativement faibles.

Tableau 2

Répartition de la population française de plus de 15 ans selon le sexe et l’activité :

Actifs occupés Inactifs

Hommes 14 369 489 8 701 877

Femmes 12 172 992 12 826 991

Source : Recensement de la population 1999.

Partie 1 – Analyse de la journée des hommes

1. En 1987, le temps libre des hommes actifs représentait 15% d’une journée de 24 heures ou 1440 minutes. Déterminer, en minutes, cette durée.

2. Exprimer, en pourcentage de la durée d’une journée de 24 heures, le temps consacré aux tâches domestiques par les hommes inactifs en 1987. On donnera ce pourcentage arrondi au centième.

3. A l’aide des tableaux 1 et 2, calculer le temps professionnel moyen dont disposent les hommes de plus de 15 ans en 1999 (actifs et inactifs). On donnera le résultat arrondi à la minute.

Partie 2 – Evolution de la durée quotidienne de temps libre des femmes françaises actives

1. Déterminer, en pourcentage, la variation de temps libre dont disposent les femmes actives entre 1987 et 1999. On arrondira le résultat au dixième.

2. D’après une autre étude, on peut faire l’hypothèse que le temps libre des femmes actives a augmenté de 2% tous les 3 ans sur la période 1987–1999.

Pour tout entier ≥ 0n , on appelle tn le temps libre (exprimé en minutes) dont disposent les femmes actives en +1987 3n (on arrondira tous les résultats à la minute).

a. Déterminer les temps libres t1 et t2 des femmes actives en 1990 et 1993.

b. Quel terme de la suite correspond au temps libre dont dispose les femmes actives en 1999 ? Quelle est la durée en minutes de ce temps libre ?

c. Exprimer tn+1 en fonction de tn. En déduire la nature de la suite (tn).

d. Exprimer tn en fonction de t0 et n.

e. On suppose que cette tendance (augmentation de 2% tous les 3 ans) se poursuit au moins jusqu’en 2014. Calculer le temps libre quotidien dont disposeraient les femmes actives en 2014.

1.2.9 Water Lily

Au pays des plantes géantes, les nénuphars poussent en doublant chaque jour leur surface. Un matin un nénuphar éclôt au centre d'un étang circulaire d'un rayon de 100 m ; le nénuphar mesure alors 1 cm de rayon.

1. Exprimer la surface Sn du nénuphar après n jours en fonction de l'entier n.

2. À l'aide de la calculatrice, déterminer le jour au cours duquel le nénuphar recouvrira tout l'étang.

3. Montrer que le rayon rn du nénuphar, après n jours, est le terme général d'une suite géométrique dont on

précisera la raison.

4. Deux nénuphars éclosent un certain jour à une distance de 20 m l'un de l'autre. L'un mesure 1 cm de rayon, l'autre 2 cm. A l'aide d'une calculatrice, déterminer le jour au cours duquel leurs feuilles se chevaucheront.

1.2.10 The Pine Tree

On suppose qu'un pin d'un âge compris entre 15 et 30 ans a une croissance régulière annuelle de 40 cm de hauteur. On note ( )h n la hauteur en mètres du pin à l'âge n (pour n tel que ≤ ≤15 30n ).

1. En supposant dans cette question que h(15) = 22, calculer h(16) et h(17).

2. Montrer que la suite ( )h n (pour n tel que ≤ ≤15 30n ) est une suite arithmétique.

3. On suppose qu'un pin de 15 ans a une hauteur de 17 m. Quelle sera sa hauteur lorsqu'il aura 30 ans ?

4. On suppose qu'un pin de 28 ans a une hauteur de 28 m. Quelle était sa hauteur lorsqu'il avait 18 ans ?

5. Représenter graphiquement pour n compris entre 15 et 30 la hauteur d'un pin qui mesure 20 m à 15 ans.

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8 Activités mathématiques Première S

1.2.11 The Trader is Back

Les résultats seront donnés au centime d'euro près.

Le jour anniversaire de ses 18 ans, Maria posséde 1 700 € d'économies et décide de placer son argent. Une banque lui propose deux sortes de placements :

* placement A : la totalité du capital est placée sur un livret d'épargne au taux de 3,5 % par an à intérêts composés (les intérêts sont accumulés sur le compte et sont donc eux-mêmes porteurs d’intérêts) ;

* placement B : 1 300 € sont placés sur un livret «Jeune» au taux de 4,5 % par an à intérêts composés et les 400 € restants sur un compte courant non rémunéré.

Par la suite, on suppose qu’elle ne fait plus aucun retrait ou versement.

1. On note Cn le capital qu'elle aura acquis au bout de n années si elle choisit le placement A.

a. Calculer C1 et C2.

b. Démontrer que Cn est une suite géométrique et exprimer Cn en fonction de n.

c. Au bout de combien d’années aura-t’elle sur son compte le double de ce qu’elle a déposé initialement ?

2. On note Tn le capital qu’elle aura acquis au bout de n années si elle choisit le placement B.

a. Calculer T1 et T2.

b. Exprimer Tn en fonction de n.

c. Au bout de combien d’années aura-t’elle sur son compte le double de ce qu’elle a déposé initialement ?

3. Le livret «Jeune» n'est possible que jusqu'à l'âge de 25 ans.

a. Compléter le tableau suivant :

n 1 2 3 4 5 6 7

Cn

Tn

b. En déduire, en fonction du nombre d'années, le placement le plus avantageux.

c. Refaire le graphique en changeant les taux des livrets « A » et « Jeune » à leur valeur actuelle ; prolonger le livret « Jeune » après les 25 ans de Maria et le transformer en « Livret A ».

4. Écrire les algorithmes nécessaires au calcul précédent et les utiliser pour répondre aux questions précédentes avec des taux divers et variés.

1.2.12 Coefficient multiplicateur

Le texte qui suit provient en partie de « Promenades mathématiques » du même auteur, éditions Ellipses.

À la mort de Louis XIV, la situation financière de la France paraît désespérée ; la dette publique s’élève, en capital, à 1 milliard 200 millions de livres, et le déficit annuel se monte à 77 millions – déficit supérieur, à celui qui, soixante-quatorze ans plus tard, devait contraindre Louis XVI à convoquer les états généraux. Par le jeu des « anticipations », les revenus du Trésor pour 1716-1717 ont été consommés à l’avance. Les 600 millions de billets d’État ont perdu de 80 à 90 % de leur valeur nominale et le crédit public est ruiné.

En 1716 un Ecossais du nom de John Law (prononcer « lass ») propose au Régent de créer une banque privée qui deviendra publique par la suite. Celle-ci créera la Compagnie des Indes et petit à petit s’imposera comme l’acteur économique principal de la France, percevant les impôts et battant monnaie. Malheureusement une baisse rapide de confiance entraînera la banqueroute de la Banque en 1720 et interdira aux gouvernements ultérieurs la création d’une Banque centrale et ce jusqu’à Napoléon. La France se retrouvera avec un siècle de retard sur l’Angleterre. Une partie du phénomène qui mena Law à la faillite est d’ordre purement mathématique comme nous allons le voir.

Imaginons que nous ayons une seule banque, le Crédit Mathématique (s’il y en a plusieurs le raisonnement est le même) qui prête de l’argent à ses clients. Lorsque Mr A emprunte, il achète quelque chose à Mr B avec cet argent, Mr B s’empresse de déposer cet argent à la banque qui va le prêter à Mme C, qui va le dépenser chez Mme D qui va déposer l’argent à la banque, etc.

On voit immédiatement que le Crédit Mathématique pourrait prêter l’intégralité des dépôts, mais le jour où quelqu’un veut retirer de l’argent la banque n’a plus rien. Donc la banque va mettre de côté une partie des dépôts.

Mettons ça sous forme de tableau : quand un client dépose de l’argent, la banque en met t (en décimal : 2 % sera en réalité le décimal 0,02) de côté et prête donc (1 – t).

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4. Suites 9

client n° 0 1 2 3 … n

Dépôt S (1 – t)S (1 – t)2S (1 – t)3S … (1 – t)nS

Prêt (1 – t)S (1 – t)2S (1 – t)3S (1 – t)4S … (1 – t)n+1S

Réserve tS t(1 – t)S t2(1 – t)S t3(1 – t)S … tn(1 – t)S

La banque reçoit donc au total 11 (1 )

(1 ) ... (1 )1 (1 )

nn t

D S t S t S St

+− −= + − + + − =− −

et quand n devient grand, D

tend vers 1

St

car 1 – t<1 ; de même elle prête +

+ − −= − + − + + − = −− −

12 1 1 (1 )

(1 ) (1 ) ... (1 ) (1 )1 (1 )

nn t

P t S t S t S t St

et P tend

vers 1 t

St

−. La réserve est la différence entre les deux, soit quand n est grand

1 1.

tR S S S

t t

−= − =

Alors ça c’est pas mal ! Quelque soit le pourcentage mis de côté par la banque, quand le nombre de clients est important, il restera toujours S, c’est-à-dire la somme minimale nécessaire pour rembourser n’importe lequel des clients.

Le coefficient 1 t

t

− est appelé multiplicateur de crédit dont le nom indique bien que la banque crée de

l’argent avec toujours la même somme S.

Dans le cas de Law, le manque de réserve a fait que devant un afflux soudain de demandes de remboursements la banque n’a pu rembourser ses clients.

En fait la loi oblige les banques à déposer leurs réserves à la Banque Centrale de manière à couvrir au moins les premiers besoins. Dans les années 1960 - 1970 la Banque de France jouait sur le coefficient de réserve des banques pour « ouvrir » ou « fermer » le robinet du crédit, à l’heure actuelle où la banque centrale est européenne ce ne serait plus trop possible.

Un dernier aspect de ce phénomène est le mécanisme de crise (crises de 1929, 2008) : que fait la banque quand un client vient réclamer S ? Elle peut tirer sur sa réserve, mais en général elle préfère se faire rembourser ce qu’elle a prêté à un autre client. Imaginons que plusieurs clients veuillent retirer leur argent et que les débiteurs de la banque ne puissent pas la rembourser, il y a crise ! En fait c’est surtout une crise de liquidités au départ, il « suffit » en général d’injecter de l’argent au « bon » endroit pour que la machine reparte, chose qui ne s’est pas faite en 1929 mais que le Fonds Monétaire International (FMI) fait régulièrement maintenant (crise asiatique, crise russe…) ainsi que les principaux gouvernements.

Questions

1. Comparez les sommes en livres avec leur « équivalent » en euros.

2. Étudiez les variations de P. Commentez.

3. Essayez d’expliquer le principal mécanisme ayant conduit à la crise financière de 2008.

4. Quel est le mécanisme de la fraude (Chaîne de Ponzi) de B. Madoff ?

5. Expliquez ce que sont des « options », des « dérivés de crédit », des « CDS ». Quel rôle jouent-ils dans l’économie moderne ?

1.2.13 The Boss

Une entreprise, propose pour recruter un nouvel employé deux types de rémunération :

Type 1 : Salaire initial de 1 200 € par mois avec augmentation annuelle du salaire mensuel de 100 €.

Type 2 : Salaire initial de 1 100 € par mois avec augmentation annuelle du salaire mensuel de 8 %.

1. Dans le cas de la rémunération de type 1, on note u0 le salaire mensuel initial et un le salaire mensuel après n années. Donner les valeurs de u0, u1, u2.

2. Dans le cas de la rémunération de type 2, on note v0 le salaire mensuel initial et vn le salaire mensuel après n années. Donner les valeurs de v0, v1, v2.

3. Donner une expression générale de un et vn en fonction de n. Calculer u5 et v5 ; u8 et v8.

4. Le nouvel employé compte rester 15 ans dans l'entreprise. Quelle est la rémunération la plus avantageuse au total ?

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10 Activités mathématiques Première S

1.2.14 Bactéries

Dans cet exercice on assimile le nombre de bactéries A et B au bout de n semaines à des suites respectivement géométrique et arithmétique.

Les nombres de bactéries sont des nombres entiers, mais les termes de la suite géométrique ne le sont en général pas. On peut utiliser la fonction, Entier() ou Floor[] des parties entières de un et observer les valeurs ainsi obtenues pour déterminer le nombre de bactéries A.

Une culture de 4 500 bactéries A augmente chaque semaine de 2,5% par rapport à la semaine précédente.

Une culture de 5 000 bactéries B augmente de 140 bactéries par semaine.

On note un le nombre de bactéries A et vn le nombre de bactéries B au bout de n semaines.

1. Calculer le nombre de bactéries A et le nombre de bactéries B au bout de quatre semaines et au bout de dix semaines.

2. Déterminer au bout de combien de semaines le nombre de bactéries A dépasse celui de bactéries B.

On a commencé à déterminer les valeurs de un et vn avec un tableur :

1 A B C D E F

2 n un vn Un Vn Q

3 0 4500 5000 4500 5000 0,10

4 1 4612,5 5140

5 2

6 3

7 4

8 5

9 6

a. Expliquer par quelle formule recopiable vers le bas on passe de la valeur de la cellule B3 à celle de la cellule B4, puis de la valeur de la cellule C3 à celle de la cellule C4.

b. À l’aide d’une calculatrice ou du tableur, déterminer à partir de combien de semaines il y a plus de bactéries A que de bactéries B (justifier !).

c. Au bout de combien de semaines le nombre de bactéries A augmente-t-il de 25% par rapport au nombre initial de bactéries de la culture A ? Expliquer et justifier la réponse.

3. En fait dans les deux cas un certain nombre de bactéries meurent au cours du temps, soit 10 % de chaque population représentés par la cellule F3.

a. Calculer dans les colonnes D et E les nouvelles suites, notées Un et Vn, correspondant réciproquement aux suites un et vn. Reprendre les questions 2.b. et 2.c avec Un et Vn.

b. Donner un expression de Un+1 et Vn+1 en fonction de Un et Vn respectivement. A-t’on affaire à des suites géométriques ? Arithmétiques ? Si oui donner l’expression de la suite en question en fonction de n.

1.2.15 Training

D’après Bac L, France, juin 2004 (c)

Ali, Blandine et Corto décident de faire un entraînement à vélo chaque samedi pendant 15 semaines. À l’aide d’un tableur, chacun a établi son programme d’entraînement. Ils parcourent 20 km la première semaine et souhaitent effectuer ensemble une sortie la quinzième semaine.

Voici l’état final de la feuille de calcul utilisée. La valeur de certaines cellules a été masquée.

A B C D

1 Programme d'entraînement

d'Ali Programme d'entraînement

de Blandine Programme d'entraînement

de Corto

2 Pourcentage d'augmentation 4

3 13,50% 5,00%

4 Distance U(n) parcourue par Ali Distance V(n) parcourue par Distance W(n) parcourue par

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4. Suites 11

la semaine n (en km) Blandine la semaine n (en km) Corto la semaine n (en km)

5

6 semaine 1 20 20,000 20,000

7 semaine 2 27 22,700 25

8 semaine 3 34 25,7645 30,250

9 semaine 4 41 29,2427075 35,7625

10 semaine 5 48 33,190 41,551

11 semaine 6 55 37,671 47,628

12 semaine 7 62 42,757 54,010

13 semaine 8 69 48,529 60,710

14 semaine 9 76 55,080 67,746

15 semaine 10 83 62,51622556 75,1328216

16 semaine 11 90 70,95591601 82,889

17 semaine 12 97 80,535 91,03393581

18 semaine 13 104 91,4071849 99,586

19 semaine 14 111 103,747 108,565

20 semaine 15 118 117,753 117,993

21

22 Distance totale

parcourue 1035 841,849 957,856

23 Distance moyenne 69 56,123 63,85709059

0

20

40

60

80

100

120

140

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

semaine

distance en km

Partie A : Programme d’entraînement d’Ali

La distance parcourue par Ali chaque semaine est représentée sur le graphique et certaines distances figurent dans la colonne B du tableau. On note U(n) la distance parcourue la n-ième semaine.

1. En utilisant des valeurs de la colonne B et le graphique :

a. Quelle est la nature de la suite des nombres U(n) ?.

b. Exprimer U(n) en fonction de n pour tout entier n compris entre 1 et 15.

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12 Activités mathématiques Première S

2. Calculer la distance totale parcourue par Ali de la première à la dixième semaine.

3. Quelle formule, recopiable vers la droite, a-t-il saisi dans la cellule B23 pour calculer la distance moyenne parcourue par chacun au cours des entraînements ?

Partie B : Programme d’entraînement de Blandine

Blandine parcourt 20 km la première semaine. Elle veut augmenter chaque semaine d’un même pourcentage la distance parcourue de telle sorte que la distance parcourue à la quinzième semaine soit, à l’unité près, 118 km. Pour cela elle a testé différents pourcentages écrits dans la cellule C3.

1. Quelle formule a-t-elle saisie dans la cellule C7 puis recopiée vers le bas de C8 à C20, sachant que les résultats se sont actualisés automatiquement lorsqu’elle a modifié le pourcentage d’augmentation hebdomadaire ?

2. Les essais lui ont permis de trouver qu’une augmentation hebdomadaire de 13,5 % convient.

On note V(n) la distance parcourue par Blandine la n-ième semaine.

a. Quelle est la nature de la suite des nombres V(n) ?

b. Exprimer V(n) en fonction de n pour tout entier n compris entre 1 et 15.

c. Quelle distance Blandine parcourt-elle à la dixième semaine ?

3. Calculer le pourcentage d’augmentation de la distance parcourue entre la première et la quinzième semaine.

Partie C : Programme d’entraînement de Corto

Corto parcourt 20 km la première semaine. Pour calculer les distances parcourues les semaines suivantes, il a saisi dans la cellule D7 la formule :

= D6*(1+$D$3)+$D$2

et l’a recopiée vers le bas de D8 à D20.

1. La valeur figurant dans la cellule D7 a été masquée. Quelle est cette valeur ?

2. Quelle est la formule contenue par la cellule D8 ?

3. On note W(n) la distance parcourue par Corto la n-ième semaine. La suite des nombres W(n) est-elle arithmétique ? Est-elle géométrique? Justifier les réponses.

4. Calculer la distance moyenne parcourue par Corto au cours de ses entraînements.

1.2.16 The Mathematical Times

D’après Bac L, Pondichery, juin 2002

Un journal, vendu exclusivement sur abonnement, possède 25 000 abonnés au début de l’année 2000.

Le service des abonnements estime que, d’une année sur l’autre, d’une part, 80% des lecteurs renouvellent leur abonnement et, d’autre part, qu’il y aura 20 000 nouveaux abonnés.

On note 0 l’année de référence 2000. Les années suivantes sont notées 1, 2, …

1. Dans le tableau ci–dessous :

a. Vérifier que le nombre estimé d’abonnés en 2001 sera de 40 000.

b. Compléter la ligne 2 du tableau, donnant le nombre d’abonnés.

A B C D E F G

1 Année n 0 1 2 3 4 5

2 Abonnés Un 25 000 40 000

3 Vn 75 000

4 Vn/Vn–1

c. Si l’on utilisait ce tableur pour compléter le tableau précédent, quelle formule devrait–on écrire dans la cellule C2 et recopier vers la droite jusque en G2 ?

2. On note Un le nombre estimé d’abonnés durant l’année n.

a. Exprimer Un+1 en fonction de Un.

b. Cette suite (Un) est–elle arithmétique ? Géométrique ?

3. Le directeur souhaite 100 000 abonnés pour équilibrer ses comptes. Il calcule alors, pour chaque année à venir la différence Vn entre son objectif, 100 000, et le nombre estimé Un d’abonnés.

a. Exprimer Vn en fonction de Un. Calculer V0.

b. Dans la cellule B3, quelle formule doit–on écrire, puis recopier vers la droite dans le tableau de la question 1, pour compléter la ligne 3 ?

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4. Suites 13

c. Compléter la ligne 3 du tableau de la question 1.

4. Dans cette question, on étudie la nature de la suite (Vn).

a. Compléter la ligne 4 du tableau de la question 1.

b. Que peut–on conjecturer pour la suite (Vn) ? Prouvez votre conjecture.

c. Donner l’expressiond e Vn en fonction de n ; En déduire Un en fonction de n.

d. Combien d’abonnés peut–on estimer en 2010 ?

1.2.17 Croissance de la population terrestre

« Avant d’inventer le concept de taux de croissance, il a fallu se familiariser avec la série géométrique. . . »

La premier calcul de croissance démographique connu est dû à W. Petty et date de 1680.

Petty calcule ici la croissance de la population depuis la sortie de l’arche de Noé. Il raisonne non pas à l’aide de taux de croissance, mais à partir de périodes de doublement de la population.

Voici un tableau et une représentation graphique établis d’après ses résultats.

n désigne le nombre d’années écoulées depuis la sortie de l’arche de Noé,

po la population en nombre de personnes,

pe la période de doublement de la population en années.

Le début de l’ère chrétienne correspond à 2 700 années écoulées.

n po pe n po pe

0 8 170 65 536 30

10 16 10 200 131 072 30

20 32 10 240 262 144 40

30 64 10 290 524 288 50

40 128 10 350 1 048 576 60

50 256 10 420 2 097 152 70

60 512 10 520 4 194 304 100

70 1 024 10 710 8 388 608 190

80 2 048 10 1 000 16 777 216 290

90 4 096 10 1 400 33 554 432 400

100 8 192 10 1 950 67 108 864 550

120 16 384 20 2 700 134 217 728 750

140 32 768 20 3 700 268 435 456 1 000

4 900 536 870 912 1 200

1. Faire une représentation graphique de po en fonction de n.

2. Pour chacune des périodes suivantes, préciser si la croissance est exponentielle (due à la présence d’une suite géométrique) ou non et justifier. Dans le cas d’une croissance exponentielle, décrire cette croissance en utilisant un taux de croissance.

a. De 0 à 100 années après la sortie de l’arche.

b. De 420 à 3 700 années après la sortie de l’arche.

c. De 0 à 140 années après la sortie de l’arche.

3. L’auteur propose des valeurs intermédiaires sur la période 3 700 – 4 900. Pour obtenir ces valeurs intermédiaires, il fait une interpolation linéaire.

a. Vérifier que les valeurs proposées pour la population en 3 700, 4 000 et 4 300 correspondent bien à une croissance linéaire. Préciser les calculs nécessaires.

b. Avec la même hypothèse de croissance linéaire sur cette période, calculer la valeur manquante (population en 4 600). Détailler le calcul.

n po

3 700 268 436 456

4 000 335 544 320

4 300 402 653 184

4 600

4 900 536 870 912

4. Quel est le taux d’évolution de la population sur la période 3 700 − 4 900. Justifier.

5. Si Petty avait raisonné en termes de croissance exponentielle sur la période 3 700 − 4 900, il aurait pu calculer le taux d’évolution sur la période 3 700 – 4 300 à partir du taux d’évolution sur la période 3 700 – 4 900, en calculant un « taux moyen d’évolution ».

a. Calculer le taux d’évolution sur la demi-période (entre 3 700 et 4 300 ou entre 4 600 et 4 900). Justifier.

Donner le résultat sous deux formes : la valeur exacte puis un arrondi, sous forme de pourcentage, avec deux chiffres après la virgule.

n po

3 700 268 436 456

4 000 319 225 354

4 300

4 600 451 452 825

4 900 536 870 912

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14 Activités mathématiques Première S

b. En déduire la population en 4 300. Détailler le calcul. Arrondir ce résultat comme les autres valeurs du tableau.

c. Faire une représentation graphique faisant apparaître les deux types de croissance.

1.2.18 Datation par le Carbone 14

D’après Bac L, Polynésie, sept. 2003

La technique de « datation par le Carbone 14 » permet, en mesurant la radioactivité naturelle de certains échantillons, d’en donner l’âge. Par exemple, les peintures des grottes de Lascaux en France ont ainsi pu être datées à 13 500 ans avant Jésus Christ.

La radioactivité est produite par des atomes « instables » se désintégrant de manière imprévisible mais régulière en moyenne. Celle utilisée ici est celle de l’isotope instable C14 du Carbone (Zmoyen=12).

Cette technique repose sur deux principes :

* Tout organisme présente, de son vivant, la même radioactivité que le gaz carbonique (CO2) atmosphérique. Nous l’appellerons radioactivité normale. On suppose cette radioactivité constante.

* À sa mort, la radioactivité de l’organisme étudié est divisée par 2 tous les 6 000 ans environ. Cette durée de 6000 ans est appelée une demi-vie.

Partie A

La radioactivité d’un échantillon sera exprimée en pourcentage de la radioactivité normale. On définit ainsi le taux de radioactivité de cet échantillon.

Par exemple un morceau de bois fraîchement coupé a un taux de radioactivité de 100 %. Ce même morceau de bois, 6 000 ans après, aura un taux de radioactivité de 50 %.

Nous utilisons une feuille de calcul d’un tableur pour obtenir d’autres taux :

A B C D E F G H I J

1 Âge de l’échantillon

(en demi-vies) 0

2 Âge de l’échantillon

(en années) 0

3 Taux de

radioactivité (en %) 100

1. Compléter le tableau en donnant les formules à utiliser en C1, C2 et C3 que l’on recopiera sur la droite jusqu’à la colonne J.

2. Représenter la suite des taux de radioactivité en fonction de l’âge de l’échantillon en années. On prendra comme unités : 1 cm pour 2 000 ans en abscisse et 1 cm pour 10% en ordonnée.

3. À l’aide de la courbe constituée des segments de droite joignant les points successifs, déterminer graphiquement, à 1 000 ans près, l’âge d’un site archéologique, sachant que le taux de radioactivité d’un échantillon représentatif de ce site est de 20%.

4. Quelle est la nature de la suite des taux de radioactivité ? Donner son expression en fonction de l’âge de l’échantillon.

Partie B

Dans cette partie, nous nous intéressons plus particulièrement à la datation d’échantillons qui ont au plus 200 ans et qui peuvent être datés par la technique de datation du carbone 14.

Pour simplifier les calculs, nous considérons que nous sommes en l’an 2010.

1. Sur une période de 200 ans, montrer que le taux de décroissance de la radioactivité est de 2,3%.

2. Calculer le taux de radioactivité d’un échantillon représentatif de l’an 1810.

3. Quel taux de radioactivité devrait contenir un échantillon représentatif d’un tableau impressionniste réalisé en 1870 ? Pour simplifier les calculs certains utilisent une interpolation linéaire entre les années 1810 et 2010. Pensez-vous que c’est une bonne idée ?

4. On situe la période impressionniste du peintre Jean Renoir entre 1870 et 1880 ; il meurt en 1919.

Lors d’une expertise, un tableau impressionniste attribué à Jean Renoir a été analysé avec un taux de radioactivité de 99,1% en l’an 2010, grâce au prélèvement d’un échantillon de peinture qui a pu être daté par la technique de datation du carbone 14. Retrouver l’année de création du tableau et commenter le résultat.

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4. Suites 15

1.2.19 Suite homographique

Soit la suite (un) définie par u0 = 1 et + =+12

2 3n

nn

uu

u.

1. Calculer les termes u1 et u2.

2. La suite (un) est-elle arithmétique ? géométrique ?

3. Représenter graphiquement les premiers termes de un (n en abscisse, un en ordonnée). Quelles conjectures émettez-vous ?

4. On admet que, pour tout n, un n’est pas nul. On pose = + 21n

n

vu

.

a. Calculer v0, v1, et v2.

b. Calculer vn+1 en fonction de vn. En déduire que (vn) est une suite arithmétique.

c. Exprimer vn en fonction de n. En déduire un en fonction de n.

d. Pouvez vous valider vos conjectures ?

1.2.20 Ouaip, c’est une suite mon gars !

On considère la suite ( )nu définie par =1 1u et ++

=+1

41

nn

nuu

n.

1. Calculer 2u .

2. Démontrer que la suite ( )nv définie par =n nv nu est une suite arithmétique dont on précisera le premier

terme et la raison de ( )nv .

3. En déduire l’expression de nv en fonction de n , puis l’expression de nu en fonction de n .

4. En déduire que la suite ( )nu est strictement monotone et bornée. Limite ?

1.2.21 Tour Eiffel

On laisse tomber une super-balle d’une hauteur de 300 mètres. À chaque rebond elle rebondit des 3/4 de la hauteur d’où elle est tombée.

1. On note nu la hauteur atteinte au nième rebond.

Calculer la hauteur atteinte au 2ème rebond, au 10ème, au 1000ème.

2. À quel rebond la hauteur atteinte est elle inférieure à 10−12 mètre ?

Quelle est alors la distance totale parcourue par la balle ?

1.3 Exercices intermédiaires

1.3.1 Y fait chô

On admet que si on mélange un litre d'eau à la température T et un litre d'eau à la température T’, on obtient

deux litres d'eau à la température + '2

T T.

On dispose d'un litre d'eau à la température T0 = 80 °C ; on lui ajoute un litre d'eau à la température 20 °C ; on obtient deux litres à la température T1.

On prélève alors un litre sur les deux obtenus, auquel on ajoute un litre d'eau à la température 20 °C ; on obtient deux litres d'eau à la température T2.

On répète le processus : on prélève un litre sur les deux obtenus, auquel on ajoute un litre d'eau à la température 20 °C ; on obtient deux litres à la température T3.

1. On fabrique ainsi une suite (Tn) telle que Tn+1 est la température du mélange d'un litre d'eau à la

température Tn et d'un litre d'eau à la température 20°C.

a. Calculer T1, T2 et T3.

b. Exprimer Tn+1 en fonction de Tn.

2. Soit la suite (un) telle que pour tout n, un = Tn − 20.

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16 Activités mathématiques Première S

a. Démontrer que la suite (un) est une suite géométrique.

b. Exprimer un en fonction de l'entier n.

c. En déduire que pour tout n, = + 6020

2n n

T .

d. À l'aide d'une calculatrice, déterminer le premier rang n à partir duquel ≤ 21nT .

1.3.2 Centre de gravité ?

Soit an et bn les suites définies pour tout n entier naturel par :

+

+

= = = + = +

0 0

1

1

2, 31

(3 2 )51

(2 3 )5

n n n

n n n

a b

a a b

b a b

1. Soit (un) la suite de terme général = +n n nu a b . Montrer que un est constante et calculer un.

2. Soit (vn) la suite de terme général = −n n nv a b . Montrer que vn est une suite géométrique. En déduire

l'expression de vn en fonction de n.

3. Exprimer an et bn en fonction de un et vn puis en fonction de n. Calculer →+∞ →+∞

lim et limn nn n

a b .

4. Faire une simulation du comportement des suites an et bn à l’aide de GeoGebra (consulter le chapitre GeoGebra pour une aide). On pourra dessiner les points de coordonnées ( );n na b per exemple.

1.3.3 The show must go on (c)

En traversant une plaque de verre teintée, un rayon lumineux perd 23% de son intensité lumineuse.

1. Soit I0 l’intensité d’un rayon lumineux à son entrée dans la plaque de verre et I1 son intensité à la sortie. Exprimer I1 en fonction de I0.

2. On superpose n plaques de verre identiques ; on note In l’intensité du rayon à la sortie de la n-ième plaque.

a. Exprimer In en fonction de −1nI .

b. Quelle est la nature de la suite In ? Déterminer l’expression de In en fonction de n et de I0.

c. Quel est le sens de variation de In ?

3. Quelle est l’intensité initiale d’un rayon dont l’intensité après avoir traversé 4 plaques est égale à 15 ?

4. Calculer le nombre minimum de plaques qu’un rayon doit avoir traversé pour que son intensité sortante soit inférieure ou égale au quart de son intensité entrante ?

1.3.4 Give me some Money back

On place un capital S de 10 000 € au taux de 6% par an en capitalisant les intérêts.

1. De combien dispose-t-on au bout d’un an ? de 2 ans ? de n ans ?

2. Au bout de combien d’années le capital initial sera-t-il doublé ?

3. On place S à T% par an.

Sachant qu’au bout de 10 ans ce capital est doublé quel est le taux annuel des intérêts ?

4. On rajoute au capital détenu une somme fixe R tous les ans, au taux T par an (T en décimal : par exemple 5 %=0,05).

a. Écrire un algorithme donnant la valeur du capital détenu Cn au bout de n années puis compléter le tableau suivant :

Entrée des données : S, R, T et n.

Application numérique : C=10 000 €, S=1000 €, t = 4 %.

n 0 1 2 3 4 5 6 7

Cn

b. Montrer que pour tout n entier, ( )+ = + +1 1n nC T C R .

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4. Suites 17

c. Soit Z le nombre = − RZ

T. Montrer que la suite = −n nu C Z est géométrique de raison +1 T ; déduisez-en

l’expression de nu puis celle de Cn en fonction de n.

d. Contrôlez avec les résultats obtenus au 4. a.

5. La formule précédente sert, entre autres, au calcul des remboursements d’emprunt : la banque prête une somme S à un taux T annuel sur une durée de N mois.

Quelle somme R doit-on rembourser mensuellement ?

Marche à suivre :

- calcul du taux d’intérêt mensuel t à partir du taux annuel T ;

- on appelle Cn la somme restant due à la banque au mois n : exprimer Cn+1 en fonction de Cn et des autres paramètres ;

- trouver l’expression de Cn en fonction de n, t, R et S ;

- exprimer le fait que S est remboursée au bout des N mois ; en déduire R.

Vérifiez à l’aide d’un calculateur d’emprunts sur internet

(par exemple http://dba.accesimmo.net/outils/outilscalcemp.asp)

1.3.5 Eh bien non, la vie des bactéries n’est pas rose…

D’après Bac L, Liban, juin 2004

Partie A : Évolution d’une population de bactéries

Dans un laboratoire de microbiologie, on étudie la croissance d’une population de bactéries de la façon suivante : au départ, on injecte dans un milieu nutritif une quantité p0 de bactéries et on la laisse se développer ; on mesure ensuite toutes les heures son développement en relevant la quantité pn de bactéries présentes dans le milieu au bout de la n-ième heure (n étant un entier naturel).

En reliant les points de coordonnées (n ; pn) relevées dans les colonnes A et B du tableau ci-dessous, on obtient la courbe de croissance de cette population, notée C.

A B C D E

1 n Population (pn) Pourcentage

d’augmentation Suite (un) Suite (vn)

2 0 73 73

3 1 82

4 2 149

5 3 341

6 4 612

7 5 982

8 6 1 587

9 7 1 644

10 8 1 659

11 9 1 668

12 10 1 670

On note p la fonction numérique définie sur l’intervalle [0 ; 10] et représentée par la courbe C.

1. Tracer la courbe C.

Les microbiologistes définissent le temps de latence de la population comme le temps nécessaire pour que la population atteigne la valeur 200. Déterminer graphiquement ce temps de latence à un quart d’heure près.

2. La population de bactéries prend alors son essor et se multiplie à grande vitesse. Dans la colonne C du tableau, on veut calculer le pourcentage d’augmentation de la population d’une heure à l’autre.

Donner la formule que l’on doit insérer dans la cellule C3 pour obtenir le premier pourcentage d’augmentation, sachant que cette formule sera recopiée vers le bas et que les cellules de la colonne C sont en format pourcentage.

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18 Activités mathématiques Première S

Compléter alors la colonne C de la ligne 4 à la ligne 12 par les valeurs que donnerait le tableur en arrondissant les résultats affichés à deux chiffres après la virgule.

3. Lorsque la nourriture ne suffit plus à satisfaire l’ensemble de la population, la croissance ralentit. On considère qu’il y a surpopulation dès que le pourcentage d’augmentation de la population est inférieur à 1%.

Au bout de combien de temps peut-on parler de surpopulation ? Justifier la réponse.

Partie B : Comparaison avec un premier modèle mathématique

On veut comparer l’évolution de la population des bactéries vue en partie A avec celle d’une population théorique dont l’effectif au bout de la n-ième heure est noté un (n étant un entier naturel). On suppose que, pour cette population, u0 = 73 et que l’effectif augmente du pourcentage de croissance moyen calculé d’après les pourcentages obtenus de la ligne 3 à la ligne 8.

1. Calculer u1, u2, u3 (on arrondira le résultats à l’unité).

2. Donner la nature de la suite (un) puis compléter les cellules vides de la colonne D du tableau (on arrondira les résultats à l’unité).

3. Placer sur la figure les points de coordonnées (n ; un). Utiliser le graphique et le tableau pour donner :

a. l’intervalle de temps où le modèle théorique considéré sous-évalue la réalité ;

b. l’heure à partir de laquelle le modèle théorique (un) s’éloigne avec l’observation (pn).

4. a. Exprimer le terme un en fonction de n et de u0.

b. Quelle expression de pn en fonction de n (valable pour tout entier n inférieur ou égal à 6) peut-on proposer en utilisant le modèle considéré ?

Partie C : Comparaison avec un deuxième modèle mathématique

Pour tenir compte de la surpopulation, le mathématicien belge P. F. Verhulst a proposé d’utiliser une suite nv

de la forme

( )+ = −1 1n n nv av bv

où = +1a r est un coefficient de croissance à déterminer et ( )=+1

rb

P r où P la population maximale

atteignable par la colonie de bactéries : P est déterminé expérimentalement.

En prenant P = 1700 déterminer à l’aide du tableur une valeur de r qui rende compte de l’évolution de la population de bactéries. Représenter les points ( ), nn v .

Conclure sur la validité de ce modèle.

1.4 Pour chercher

1.4.1 Réussir 2009

Olympiades 2009, Lille, ES-L-T

On construit successivement des nombres de la façon suivante :

On débute avec le nombre 4 et on lui applique au choix l’une des règles suivantes :

– on le divise par 2 (cette règle ne peut être appliquée que si le résultat est entier)

– on le multiplie par 10

– on le multiplie par 10 et on ajoute 4.

On réitère le processus autant de fois que l’on veut.

Par exemple on construit la suite de nombres : 4 – 2 – 20 – 204 – 102 – 51 – 510 ….

1. Montrer que l’on peut obtenir 3 en 5 étapes.

2. Comment obtenir le nombre 100 ?

3. Peut-on obtenir 2009 ?

4. Peut-on obtenir 2009 si la première règle est remplacée par : « on le divise par 3 », les autres règles étant inchangées ?

1.4.2 Moyennes de puissances de 2

Olympiades 2009, Versailles, S

Dans cet exercice, on dit qu’un entier naturel non nul est joli s’il peut s’écrire comme la moyenne d’un certain nombre de puissances de 2, non nécessairement distinctes.

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4. Suites 19

Par exemple, 92 est joli, car + + + + + + +=

7 7 7 7 7 5 5 52 2 2 2 2 2 2 292

8 ; on a aussi

+ +=8 4 22 2 2

923

.

1. a. Montrer que si n est joli, alors n +1 est joli.

b. Quel est l’ensemble des entiers jolis ?

c. Donner une décomposition de 2009 comme moyenne arithmétique d’un certain nombre de puissances de 2.

2. On dit qu’un entier naturel non nul est superbe s’il peut s’écrire comme moyenne arithmétique d’un certain nombre de puissances de 2, deux à deux distinctes.

Par exemple, 92 est superbe, puisque + +=

8 4 22 2 292

3.

a. Prouver que 7 est superbe.

b. Prouver que l’entier n est superbe si et seulement si 2n est superbe.

c. Prouver que 13 n’est pas superbe (on pourra admettre que, pour tout entier k supérieur ou égal à 7, < −13 2 1kk ).

1.4.3 Aire

Première partie

On considère la courbe (C) de la fonction inverse : =֏1

( )x f xx

pour ≤ ≤1 2x . On voudrait trouver une valeur

approchée de l’aire comprise entre (C), l’axe (Ox) et les droites d’équations x = 1 et x = 2.

Pour cela on découpe l’intervalle [1 ; 2] en n intervalles de même amplitude. Pour les trois questions suivantes on aura intérêt à faire un essai avec une petite valeur de n (par exemple n = 6, voir figure) et généraliser ensuite.

1. Donner les valeurs x0, x1, …, xn des bornes des intervalles.

2. Déterminer les images de ces valeurs par f.

3. En considérant les aires des n rectangles dont l’un des sommets est sur la courbe (C), déduire, en fonction de n, un encadrement de l’aire cherchée.

4. Écrire l’algorithme de calcul permettant d’effectuer cet encadrement.

Note : On a très facilement ces résultats avec GeoGebra ; on utilisera les commandes

SommeInférieure[fonction, a, b, n] et SommeSupérieure[fonction, a, b, n]

Deuxième partie

On considère la suite (un) définie par : =

=

= + + + =+ + +∑…

1

1 1 1 11 2 2

i n

n

i

un n n n i

, pour tout n de ℕ *, et la suite (vn)

définie par : = −

=

= + + + =+ − +∑…

1

0

1 1 1 11 2 1

i n

n

i

vn n n n i

, pour tout n de ℕ *.

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20 Activités mathématiques Première S

1. Déterminer u1, u2, u3, u4, v1, v2, v3, v4 et en donner des valeurs approchées à 10–2 près.

2. Représenter les points correspondants sur une droite.

3. Démontrer que la suite (un) est croissante et la suite (vn) est décroissante.

4. Calculer vn – un et déterminer à la machine à calculer →+∞

− =lim 0n nn

v u .

5. Quelle conjecture peut-on faire pour les suites (un) et (vn) ?

6. En réutilisant l’algorithme précédent, donner une valeur approchée à 10−3 près de u50 et v50 puis de u150 et v150.

Les utilisations de cette méthode sont innombrables…

1.4.4 Approximation décimale

Une petite astuce pour convertir un nombre décimal x de développement décimal périodique en fraction : cette technique peut être écrite sous forme d’algorithme bien sûr…

Instructions Exemple

Prendre la partie décimale de x et repérer la période, soit N la longueur de la période ; =

= �����9

9,876543219876543219876...N

x

Multiplier x par 10N =

= �����9

9

10 9876543219,876543219...N

x

Soustraire −10N x x : les parties décimales des deux nombres s’annulent car elles sont de longueur infinie ; il reste donc un entier p.

= − =910 999 999 999p x x x

= − =9876543219,... 9,... 9876543210p

Diviser p par = −10 1Nq et conclure. = 987654321099999999

x . Il faut trouver les facteurs premiers

de 987654321 (= 32 × 172 × 379 721) et

999 999 999 (=34 × 37 × 333667) pour simplifier…

Une question

Peut-on dire que le nombre 0,999… de période 9 vaut 1 ? Et le nombre 1,0000…01 où il y a une infinité de 0 ?

On considère les suites (un) et (vn) définies par : −= −1 10 nnu et −= +1 10 n

nv pour tout n de ℕ .

1. Donner les valeurs de u0, v0, u1, v1, u2, v2, u3, v3, u4, v4.

2. Démontrer que les suites (un) et (vn) sont convergentes vers une même limite.

3. Que peut-on dire du nombre dont l’écriture décimale est 0,9999… ?

Preuves

On considère un nombre x décimal périodique de la forme − − −= 1 2 1 1 2 1 1 2 1, ... ... ... ...N N N N N Nx m a a a a a a a a a a a a où

les ia sont des chiffres quelconques : on peut écrire = + 0, ...x m PPPPP où P est un nombre de N chiffres.

1. Soit le nombre = �����nombres

0, ...nn P

x PPPPP P ; montrer que nx est la somme des termes d’une suite géométrique de

raison 10–N. Donner une autre écriture de nx .

2. Quelle est la limite de nx quand n tend vers l’infini ?

3. Montrer que = +−10 1N

Px m .

4. Application : trouver la fraction irréductible correspondant au nombre 0,12345678901234567890... ;

pouvez vous trouver une fraction irréductible égale au nombre 0,10200300040000500000600... ?

au nombre 0,123456789101112131415161718192021... ? (nombre de Champernowne)

au nombre 2 ?

De très nombreux développements sont possibles : par exemple regardez les périodes des fractions 1/7, 2/7, …,6/7, c’est très curieux…

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4. Suites 21

1.4.5 Suite linéaire et aires de triangles

Soit la suite (un) définie par son premier terme u1=258

et par la relation + = +13 254 8n nu u .

Partie A

1. Calculer les cinq premiers termes de la suite (un).

2. En utilisant une représentation graphique adaptée émettre quelques conjectures sur le comportement de (un) : sens de variation, limite.

3. Soit la suite (vn) définie par = − 252n nv u .

a. Montrer que (vn) est une suite géométrique.

b. Déterminer le terme général vn en fonction de n.

c. En déduire le terme général un en fonction de n.

4. Etudier la limite de la suite (un).

Partie B

On considère un triangle ABC isocèle rectangle tel que BA = BC = 5.

On divise ce triangle en 4 triangles isocèles rectangles obtenus en joignant les milieux des côtés et on numérote 1 le triangle central (Étape 1).

Chacun des 3 triangles non numérotés est alors divisé en 4 triangles isocèles rectangles obtenus comme précédemment et on numérote 2 le triangle central comme précédemment. Il y a donc 3 triangles numérotés 2 (Étape 2).

Après trois étapes, on obtient la figure ci-dessous contenant 1 triangle numéroté 1, 3 triangles numérotés 2 et 9 triangles numérotés 3.

Pour tout entier n différent de 1, on désigne par an l’aire de la surface totale de tous les triangles numérotés de 1 à n après n étapes.

1. Calculer l’aire du triangle ABC.

2. a La différence a2 − a1 représente l’aire des triangles numérotés 2. La différence − 1252

a représente l’aire

restante (non numérotée) à l’étape 1. Combien vaut le rapport −

2 1

1252

a a

a

?

b. La différence a3 − a2 représente l’aire des triangles numérotés 3. La différence − 2252

a représente l’aire

restante (non numérotée) à l’étape 2. Combien vaut le rapport −

3 2

2252

a a

a

?

3. En déduire alors que + = +13 254 8n na a .

4. En déduire la limite vers laquelle tend l’aire numérotée lorsqu’on poursuit à l’infini le numérotage.

Ce type de figure est une « fractale » et se retrouve dans de nombreuses situations.

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22 Activités mathématiques Première S

1.5 Vrai - Faux

1.5.1 Fesic 2000, Exercice 11

Soit (an), ∈ℕn et (bn), ∈ℕn , deux suites réelles définies par leur premier terme a0 = 2, b0 = 4 respectivement, et les relations, pour tout entier naturel n,

+ = +11

( 3 )4n n na a b et + = +1

1(3 )

4n n nb a b .

On désigne par An et Bn les points de l'axe orienté (Ox) d'abscisses an et bn respectivement.

a. La suite un = an + bn est constante.

b. La suite vn = an – bn est une suite géométrique convergente.

c. Pour tout ∈ℕn , les segments [AnBn] ont le même milieu I, qui est le point de (Ox) d'abscisse 3.

d. Pour tout ∈ℕn , on a : = − 13

2n na et = + 1

32

n nb .

1.5.2 Fesic 2000, Exercice 12

Soit (un), ∈ℕn , une suite géométrique de raison 13

et de premier terme u1 = 2.

Pour tout entier ≥ 1n , on pose =n nv u .

a. Pour tout ≥ 1n , on a : = 2

3n nu .

b. La suite (vn) est géométrique, de raison 13

.

c. Pour tout ≥ 1n , on a =

+=

= + + + = −

∑ 1 2 11

1... 3 1

3

k n

k n nk

u u u u .

d. Pour tout ≥ 1n , on a = =

= =

=∑ ∑1 1

1 1k n k n

k k

k k

v un n

.

1.5.3 Fesic 2001, Exercice 10

On considère la suite ( ) ∈ℕ*Sn n définie, pour tout entier naturel n non nul, par

=

= = + + +∑ 2 2 2 21

1 2S ...

n

n

k

k n

n n n n.

a. Pour tout entier n>0 , on a : += 1

S .2n

n

n

b. Pour tout entier n>0 , on a : ≤ ≤ 10 S .

2n

c. On a : →+∞

=lim S 0.nn

d. La suite ( ) ∈ℕ*Sn n est croissante.

1.5.4 Fesic 2002, Exercice 9

Pour tout entier naturel ≥ 2n , on considère la fonction nf définie sur ℝ par

= − +3( ) 2 1nf x x nx .

a. Pour tout ≥ 2n , la fonction nf est strictement décroissante sur l’intervalle [0, 1].

b. Pour tout ≥ 2n , l’équation =( ) 0nf x admet une unique solution dans +ℝ .

On note nu l’unique solution dans l’intervalle [0, 1] de l’équation =( ) 0nf x .

c. Pour tout ≥ 2n , on a : ≤ ≤ 10 nu

n.

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4. Suites 23

d. On a : →+∞

=lim 0.nnu

1.5.5 Fesic 2002, Exercice 10

On considère la suite ( ) ∈ℕn nu définie par =0 0u , =1 1u et, pour tout n ∈ ℕ ,

+ += +2 11 23 3n n nu u u .

On définit les suites ( ) ∈ℕn nv et ( ) ∈ℕn n

w par += −1n n nv u u et += +123n n nw u u .

a. La suite ( ) ∈ℕn nv est arithmétique.

b. La suite ( ) ∈ℕn nw est constante.

c. Pour tout n ∈ ℕ , on a : ( )= −35n n nu w v .

d. La suite ( ) ∈ℕ*n nu n’a pas de limite finie.

1.5.6 Fesic 2003, Exercice 6

a. 17 + 20 + 23 + · · · + 62 = 632.

b. + + + + = ×

4 5 6 101 1 1 1 1 127...

2 2 2 2 8 128.

c. Soit ∈ℕ *n . On considère la fonction f définie sur ]1 ; +∞ [ par : +−=

11( )

1

nxf x

x.

f est dérivable sur ]1 ; +∞ [ et pour tout x > 1, on a : ( )′f x = 1+2x + 3x2 + 4x3 + · · · + nxn−1.

d. Si une suite n’est pas arithmétique, alors elle est géométrique.

1.5.7 Fesic 2003, Exercice 7

On considère les suites (un) et (vn) définies sur ℕ par :

= + + + +1 1 11 ...

1! 2! !nun

et = − + 11

!n nv un

.

a. Pour ∈ℕn , un est la somme des n premiers termes d’une suite géométrique de premier terme 1 et de raison

+1

1n.

b. La suite (un) est décroissante.

c. La suite (vn) est croissante.

d. Les suites (un) et (vn) ont même limite.

1.5.8 Fesic 2005, Exercice 10

Pour tout entier n, ≥ 3n , on désigne par nu le nombre de diagonales d’un polygone convexe ayant n côtés. On

appelle u la suite ainsi définie pour ≥ 3n , de terme général nu .

a. =5 6u et =6 10u .

b. Pour tout entier n, ≥ 3n , on a + = + −1 1n nu u n .

c. La suite u est une suite arithmétique de raison − 1n .

d. Pour tout entier n, ≥ 3n , on a : −

=( 3)

2n

n nu .

1.5.9 Fesic 2005, Exercice 11

On considère les suites u et v définies pour ∈ℕn par : + ++ +

= = = =+

0 0 1 12

1, 2, ,2 1 2

n n n nn n

u v u vu v u v .

a. Soit w la suite définie pour ∈ℕn par : = −n n nw v u . La suite w est une suite géométrique de raison −32

2.

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24 Activités mathématiques Première S

b. Quel que soit ∈ℕn , ≤n nu v .

c. La suite v est décroissante.

d. Les deux suites u et v convergent et ont la même limite.

1.5.10 Fesic 2006, Exercice 12

On considère la suite u définie pour ∈ℕ *n par : =1 1u et + = +

1 2

1 1n nu u

n n.

a. Pour ∈ℕ *n , on a ( )

=− 1 !nn

un

.

b. La suite u est croissante.

c. Quelque soit ∈ℕ *n , si on a ≥ 2n , alors on aura : −

≤ ≤ ×

230 2

4

n

nu .

d. La suite u est convergente et de limite nulle.

1.5.11 Fesic 2007, Exercice 10

On considère les trois suites u, v et w définies respectivement par :

+

=

+=

0

1

03 2

5n n

n

u

u vu

, +

=

+=

0

1

52 3

5n n

n

v

u vv

et = −n n nw v u .

a. La suite w est une suite géométrique de raison 15

.

b. La suite u est croissante.

c. Les suites u et v sont convergentes.

d. Quelque soit ∈ℕn , +≤ ≤1n n nu u v .

1.5.12 Fesic 2007, Exercice 11

On considère les suites u et v définies par : +

= − =

0

1

32

23n

n

u

uu

et −

=−

21

nn

n

uv

u.

a. Quelque soit ∈ℕn , on a : < <1 2nu .

b. La suite u est convergente.

c. v est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme = −0 1v .

d. Pour tout ∈ℕn , on a : = ++1

11 2

n nu .

1.5.13 Fesic 2008, Exercice 11

Soit f la fonction définie sur +ℝ par : ( ) = −+4

32

f xx

.

On considère la suite u définie pour ∈ℕn par : ( )+

= =

0

1

4

n n

u

u f u. On admettra que la suite u est bien définie.

a. f est croissante sur +ℝ .

b. u est croissante.

c. Quel que soit ∈ℕn , ≥ 2nu .

d. u est convergente.

1.5.14 Fesic 2008, Exercice 12

Soit f la fonction définie sur +ℝ par : ( ) = −+4

32

f xx

.

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4. Suites 25

On considère les suites u et v définies pour ∈ℕn par : ( )+

= =

0

1

4

n n

u

u f u et

+=

−12

nn

n

uv

u.

On admettra que les suites u et v sont bien définies.

a. v est géométrique de raison 4.

b. =

−= ×∑15 10

55

4 13k

k

v v .

c. Pour tout ∈ℕn , +

=−

2 11

nn

n

vu

v.

d. La suite u converge vers −1.

1.5.15 Fesic 2009, Exercice 12

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB = 4 et BC = 8.

On définit la suite des points (Hn) ainsi :

=0H B et +1nH est le projeté orthogonal de Hn sur (AC) si n est pair et sur (BC) si n est impair.

On définit les suites ( )nl et ( )nL par :

+= 1n n nl H H et = + + +0 1 ...n nL l l l .

a. = =1 1 2 2l H H .

b. Quel que soit ∈ℕn , le triangle

+ +1 2n n nH H H est un demi-triangle équilatéral.

c. La suite ( )nl est géométrique.

d. Quand n tend vers +∞ , Ln tend vers un nombre fini inférieur à 30.

1.6 Informatique

1.6.1 Coccinelles

On sait tous qu’il y a des années à coccinelles et d’autres sans ! On se propose d’étudier l’évolution d’une population de coccinelles à l’aide d’un modèle utilisant la fonction numérique f définie par

f(x) = kx(1 − x),

k étant un paramètre qui dépend de l’environnement (k réel).

Dans le modèle choisi, on admet que le nombre des coccinelles reste inférieur à un million.

L’effectif des coccinelles, exprimé en millions d’individus, est approché pour l’année n par un nombre réel un, avec un compris entre 0 et 1. Par exemple, si pour l’année zéro il y a 300 000 coccinelles, on prendra u0 = 0,3.

On admet que l’évolution d’une année sur l’autre obéit à la relation un+1 = f(un), f étant la fonction définie ci-dessus.

Le but de l’exercice est d’étudier le comportement de la suite (un) pour différentes valeurs de la population initiale u0 et du paramètre k.

1. Démontrer que si la suite (un) converge, alors sa limite l vérifie la relation f(l) = l.

2. Supposons u0 = 0,4 et k = 1.

a. Etudier le sens de variation de la suite (un).

b. Montrer par récurrence que, pour tout entier n, ≤ ≤0 1nu .

c. La suite (un) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?

d. Que peut-on dire de l’évolution à long terme de la population de coccinelles avec ces hypothèses ?

3. Supposons maintenant u0 = 0,3 et k = 1,8.

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26 Activités mathématiques Première S

a. Etudier les variations de la fonction f sur [0 ; 1] et montrer que ∈

1 10 ;

2 2f .

b. En utilisant éventuellement un raisonnement par récurrence,

– montrer que, pour tout entier naturel n, ≤ ≤ 10

2nu ;

– établir que, pour tout entier naturel n, un+1 > un.

c. La suite (un) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?

d. Que peut-on dire de l’évolution à long terme de la population de coccinelles avec ces hypothèses ?

4. On a représenté sur les feuilles annexes la fonction f dans les deux cas étudiés ci-dessus ainsi que la droite d’équation y = x. Le troisième graphique correspond au cas où u0 = 0,8 et k = 3,2.

a. Illustrer sur les deux premiers graphiques les résultats trouvés en 1. et 2. en laissant les traits de construction et en faisant apparaître en abscisse les valeurs successives u0, u1, u2,. . .

b. En utilisant la même méthode, formuler une conjecture sur l’évolution de la population dans le troisième cas.

1er cas : u0 = 0,4 et k = 1.

2e cas : u0 = 0,3 et k = 1,8.

3e cas : u0 = 0,8 et k = 3,2.

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4. Suites 27

1.6.2 Les lettres de Gaston (c)

On définit la suite ( )nu par += = +0 13

2000, 2004n nu u u .

1. Dans un repère de votre choix, représenter les droites d’équation respectives =y x et = +3200

4y x , puis les

premiers termes de la suite ( )nu .

2. On pose, pour tout n, = − 800n nv u .

Montrer que la suite ( )nv est géométrique. En déduire l’expression de nu en fonction de n et la limite de ( )nu .

Au bout de combien de temps a-t-on < 810nu ?

3. Gaston L, garçon de bureau aux éditions Dupuis, se plaint à sa dulcinée :

– Voyez-vous, m’oiselle Jeanne, tous les jours je sais traiter le quart de mon courrier en retard, mais il m’arrive 200 lettres de plus chaque matin.

– Monsieur Gaston, vous arriverez bien à trouver une solution, vous êtes si intelligent…

Oui, mais quelle solution, sachant qu’hier soir il y avait 2000 lettres sur le bureau de notre héros ? À vous de jouer.

4. La question 4. a. est indépendante de ce qui précède.

a. Si ( )nx est une suite croissante, on définit ( )ny par + +

=+

0 1 ...1

nn

x x xy

n, la moyenne arithmétique des termes

de ( )nx .

Montrer que ( )ny est croissante et que pour tout n on a ≤n ny x .

Que peut-on dire pour une suite ( )nx décroissante (on ne justifiera pas ses affirmations).

b. On appelle nM la quantité de lettres qu’il y a eu en moyenne sur le bureau de Gaston pendant les n premiers jours (en comptant comme jour 0 le soir où il y avait 2000 lettres).

Exprimer nM en fonction de n.

Quel est le sens de variation de ( )nM . La suite ( )nM est-elle convergente ?

1.6.3 Le nombre d’or

1. Définition du nombre d’or

Le nombre d’or est le nombre irrationnel noté par la lettre grecque ϕ (prononcer phi) et égal à ϕ += 1 52

.

a. Donner une valeur approchée à 10 – 6 près du nombre d’or ϕ .

b. Donner une valeur approchée à 10 – 20 près du nombre d’or ϕ .

2. Construction géométrique du nombre d’or

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28 Activités mathématiques Première S

a. Construire un carré ABCD de côté 1 et marquer le milieu I de [AB].

Tracer le cercle de centre I et de rayon IC ; il coupe la demi-droite [AB) en E. Construire le rectangle AEFD.

b. Calculer la valeur exacte de IC puis démontrer que += = 1 5

AE DF2

.

c. Le rectangle AEFD est appelé rectangle d’or car le rapport entre sa longueur et sa largeur est égal au nombre d’or. Démontrez-le.

3. Le nombre d’or solution d’une équation

a. Montrer que le nombre d’or ϕ est solution de l’équation − − =2 1 0x x .

b. Démontrer alors que l’inverse de l’opposé de ce nombre ϕ est aussi solution de cette équation.

4. Fractions en cascade

On considère la suite de fractions : = = + = + = +++

1 2 3 43

1 1 12 ; 1 ; 1 ; 1 ; ...

12 112

F F F FF

a. Simplifier ces fractions sous forme irréductible et en donner une valeur approchée à 10 – 6 près.

b. Reprendre les calculs en remplaçant 2 par 1.

c. Construire la suite de fractions Fn à l’aide d’un tableur ou de Geogebra.

d. Calculer la suite de fractions Fn à l’aide d’un algorithme sur votre calculatrice.

Observer les décimaux obtenus et comparer au nombre d’or.

e. La valeur de F1 a-t-elle une influence sur le résultat ?

5. La suite de Fibonacci

Léonard de Pise, plus connu sous le pseudonyme de Fibonacci (1175-1250), était un commerçant et un grand voyageur. Son livre Liber abbaci, qui est principalement consacré aux calculs commerciaux, est aussi un recueil de petits problèmes dont un très célèbre sur l’évolution d’une population de lapins qui l’amène à introduire la suite un de nombres entiers suivants :

- les deux premiers termes sont u0=0 et u1=1,

- chaque terme suivant est la somme des deux termes précédents : + += +2 1n n nu u u .

a. Déterminer les 20 premiers termes de la suite (un algorithme de calcul serait le bienvenu).

b. Calculer les quotients des termes consécutifs : +1n

n

u

u. Que constate-t-on ?

c. Quel est le lien avec la question 4. ?

6. Les puissances de ϕ

a. Vérifier que ϕ ϕ= +2 1 .

b. Montrer que ϕ ϕ= +3 2 1 en partant de l’égalité ϕ ϕ ϕ= ×3 2 et en remplaçant ϕ2 par ϕ + 1 . Montrer de la

même façon que ϕ ϕ= +4 3 2 .

c. Exprimer de la même façon ϕ5 , ϕ6 et ϕ7 en fonction de ϕ .

d. Montrer que ϕ ϕϕ

−= = −111 ; exprimer de même ϕ−2 , ϕ−3 et ϕ−4 en fonction de ϕ .

Quelques aspects « amusants » de la suite de Fibonacci : http://promenadesmaths.free.fr/Fibonacci.htm

1.6.4 Polynômes de Bernoulli

1. Rappeler la démonstration de : +

= + + + + =1( 1)

1 2 3 ...2

n nS n .

2. Vérifier à l’aide d’algorithmes appropriés que

+ += + + + =2 2 2

2( 1)(2 1)

1 2 ...6

n n nS n et = + + + =3 3 3 2

3 11 2 ...S n S .

L’obtention de ces formules n’a rien d’évident : la première était connue d’Euclide, la deuxième d’Archimède car il s’en sert pour calculer des volumes, la troisième des Arabes, et la formule générale a été obtenue par Jakob Bernoulli vers 1720.

Page 29: 04 1S suites - laroche.lycee.free.frlaroche.lycee.free.fr/1S/1S2_10_11/04_1S_suites.pdf · Un chef d’entreprise paie 60 000 € par an pour l’entretien de ses machines. Lors du

4. Suites 29

3. On regarde une méthode de calcul de volume utilisant la formule pour S2. Cette méthode est appelée méthode d’exhaustion (mise en forme un peu plus moderne…) et était utilisée par Archimède.

On veut calculer le volume d’un cône ; pour cela on le découpe en n tranches de hauteur h

n où h est la hauteur

SO. Soit R le rayon du cercle de base (Oa0), le volume du cône sera compris entre une série de tranches plus larges que lui et une série de tranches moins larges que lui. On note mk et pk les extrémités de la base de la tranche n° k.

a. Calculer le volume de la tranche extérieure numéro k et celui de la tranche intérieure en fonction de h, k, n, R et la largeur de la base k km p .

b. Montrer que = −

2 1k k

km p R

n.

boao

p

qn

m

S

O

c. Appelons un la somme des tranches supérieures, vn celle des tranches inférieures et V le volume cherché :

≤ ≤n nu V v avec ( )π − −= + + +2 2 20 0 1 1 1 1...

4n n nh

u m p m p m pn

et ( )π= + + +2 2 21 1 2 2 ...

4n n nh

v m p m p m pn

. Montrer

que π π + + ++ + + + + = − + = − +

2 2 22 2

2 3 2

( 1)(2 1) ( 1)1 2 ... 1 2 ...2 1 .

6n

n n n n nh n nv R n R h

n nn n n

d. En déduire que π= 213

V R h .

4. Pour S3 le mathématicien arabe Al-Karagi (10e siècle ap. J.-C.) utilise la méthode suivante : on note = + + + +1 2 3 ...na n et dans un repère orthonormal

( ; , )O u v on construit les carrés n n nOA B C de côté na .

a. Faire la figure et représenter les carrés pour n = 1, 2, 3 et 4.

b. Calculer l’aire du carré n n nOA B C puis celle du polygone − − −1 1 1n n n n n nA A B C C B .

c. Conclure.

5. Une méthode presque générale : nous allons calculer = + + +4 4 44 1 2 ...S n en utilisant une méthode qui peut

se réemployer, mais qui ne donne pas vraiment de formule générale (en fait, il y en a une mais elle est vraiment compliquée).

a. Déterminer un polynôme P de degré 5 tel que + − = 4( 1) ( )P x P x x .

b. En écrivant la relation + − = 4( 1) ( )P k P k k pour toutes les valeurs de k entre 0 et n puis en ajoutant toutes ces relations, montrer que 4S s’exprime à l’aide de S1, S2 et S3.

c. Donner l’expression de S4 en fonction de n.

La blague du chapitre : une infinité de mathématiciens arrive dans un bar pour fêter la nouvelle année. Ils se dirigent vers le barman. Le premier demande une pinte de bière. Le barman se tourne vers le suivant qui demande la moitié de ce qu'il vient de servir. Le troisième lui fait la même demande.

Le barman répond : « Vous êtes tous des idiots » et servit deux pintes.