04 – Contrat à terme sur titre à revenu fixe Lectures : Chapitre 4 et 6 Hull, 8 th edition GSF-3101 - Introduction aux produits dérivés1

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04 – Contrat à terme sur titre à revenu fixe

Lectures :Chapitre 4 et 6Hull, 8th edition

GSF-3101 - Introduction aux produits dérivés

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Plan de la Séance

• Définitions et concepts de base

• Évaluation d’un Forward Rate Agreement (FRA)

• Titre à revenu fixe

• Contrat à terme sur titre à revenu fixe

• Stratégies de couverture et concept de Durée


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Définitions et concepts de base• Définition :• Contrats à terme sur titres à revenus fixes

– Ce sont des contrats à terme sur des actifs dont le prix est déterminé principalement par les mouvements de taux d’intérêt.

– La particularité de l’évaluation de ces contrats vient du fait que le sous-jacent est lui-même un produit qui dérive sa valeur du niveau des taux d’intérêts

– Exemple : Prix d’une obligation


𝑃=∑𝑡=0

𝑡

𝐶𝑒− 𝑟𝑡+𝑀𝑒−𝑟𝑡𝑃=∑𝑡=0

𝑡 𝐶(1+𝑟 )𝑡

+ 𝑀(1+𝑟 )𝑡

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Définitions et concepts de base• Définition : Obligation zéro-coupon

Prix = M e–rT

– M = Valeur nominale à l’échéance, la maturité– r = Taux d’intérêt spot pour une échéance de T– T = Échéance en années

• Exemple I: Quel est le prix de cette obligation?• M = 100$, r = 6%, T=5ans

P = 100 e-0.06 x 5 = 74.08$

• Exemple II: Quel est le rendement de cette obligation?• P = 60$ et T=6?

si P = M e-rt alors =


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Définitions et concepts de base• Définition : Obligation avec coupon(s)

Prix = Σ C e–rT + M e-rt

– M = Valeur nominale à l’échéance, la maturité– C = % Coupon annuel (versé semestriellement)– r = Taux d’intérêt spot pour une échéance de T– T = Échéance en années

• Exemple I:– Coupon annuel = 10%; échéance = 1.5 années, M = 100$– r6 mois= 6%; r12 mois= 7%; r18 mois= 7.5%

– Quel est le prix de cette obligation?

P = 5 e-0.06x0.5 + 5 e-0.07x1 + 105 e-0.075x1.5 = 103.42$


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Définitions et concepts de base• Définition : Taux d’intérêt spot et Forward

• Le taux spot (zéro rate) pour une maturité T, est le taux d’intérêt obtenu sur un investissement sans risque qui fournit un paiement seulement à T.

• Le taux forward est le taux futur induit aujourd’hui à partir de la structure à terme des taux d’intérêt.– Les taux Forward peuvent être obtenus à partir de la

structure à terme des taux spots donc du prix des obligations en utilisant la méthode du Bootstrap


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– Calcul des taux Forward entre T1 et T2 en taux continu

– Exemple : Structure à terme des taux spot


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1122

TT

TrTrrF

Année Taux en % rf Autres rf

1 10

2 10.5 rf12 = 11%

3 10.8 rf23 = 11.4 rf13 = 11.2

4 11 rf34 = 11.6

5 11.1 rf45 = 11.5 rf35 = 11.55

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– Calcul des taux spots à partir du prix des obligations

• Pour r1.5 P = 4 e-0.10469x0.5 + 4 e-0.10536x1 + 104 e-r x1.5 = 96$

• Isoler r à partir de la formule ci-dessus• Attention, pas de coupon à t = 0.25


Maturité Années Coupon annuel

Prix de l’obligation

R spot

100$ 0.25 0 97.5 0.10127

100$ 0.5 0 94.9 0.10469

100$ 1 0 90 0.10536

100$ 1.5 8 96 0.10681

100$ 2 12 101.8 0.10808

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Définitions et concepts de base• Concepts : Les théories de la structure à terme

des taux d’intérêt

• La théorie des anticipations rationnelles– postule que les taux d’intérêt spot anticipés futurs sont égaux aux

taux Forward.

• La théorie de la prime de liquidité– postule que le taux Forward est plus élevé que le taux spot espéré

futur.

• La théorie des marchés segmentés– postule que les taux d’intérêt sont déterminés de façon

indépendante par l’offre et la demande pour des maturités différentes.


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Évaluation d’un Forward rate agreement - FRA• Définition :

– Un FRA est un contrat Forward dans lequel les deux parties s’engagent à appliquer un certain taux pour une période future donnée.

– Un FRA est un engagement équivalent à échanger un taux d’intérêt prédéterminé contre le taux du marché

• Cela implique un gain ou une perte…

– En pratique, le règlement du contrat se fait au net, en argent, au début de la période où le taux garanti s’applique


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Évaluation d’un Forward rate agreement - FRA• Évaluation du FRA : rk, le taux auquel est prêté un

montant de T1 à T2• Les flux monétaires pour le prêteur sont de:

0 -Q Q erk(T2-T1) |---------------|---------------|0 T1 T2

• À t0, aucun flux monétaire n’est échangé, donc la valeur du FRA doit être de zéro

V0 = -Q e–r1T1 + Q erk(T2-T1) e–r2T2 = 0• On isole rk :


12

1122

TT

TrTrrK

12

Évaluation d’un Forward rate agreement - FRA• Graphiquement :


Position de l’emprunteur

Position du prêteur

Le prêteur paie la valeur du FRA à l’emprunteur

L’emprunteur paie la valeur du FRA au prêteur

Valeur du FRA

Taux d’intérêt r12

Taux du FRA : rk

0

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Évaluation d’un Forward rate agreement - FRA• Évaluation du FRA : Le FRA est réglé à T1

• Valeur du FRA à T1

VT1 = -Q + Q erk(T2-T1) e–r12(T2-T1)

Ou encore VT1 = Q [e(rk–r12) (T2-T1) – 1]

• Avec r12, le taux observable sur les marchés entre T1 et T2

• Attention : le livre présente une autre formule avec une estimation des intérêts en taux discret, utiliser celle-ci-dessus svp pour conserver une cohérence dans le cours– Le résultat de l’exercice ch4.15 pour un FRA à t3 pour 1 an– VT3 = Q [e(rk–r34) (T4-T3) – 1] =VT3 = 1M$ [e(0.057–0.05) 1– 1] = 7024.55$


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Évaluation d’un Forward rate agreement - FRA• Exemple : Deux banques s’entendent pour un FRA dans 3

mois pour 3 mois d’un montant notionnel de 1M$ • Quel est la valeur du FRA si le spot dans 3 mois est de

8.5% et si les taux aujourd’hui sont de :

Rk = 10%et Vt0.25 = -1 + 1 e(0.1-0.085)(0.5-0.25) = 3 757$


Flux échangés - 1M$ +1 erk(t2-t1)

0 T1 T2

0 0.25 0.5

Taux spot 8% 9%

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Titre à revenu fixe• Catégories de titre à revenu fixe

– Bon du trésor ou Treasury bills (T-Bill)– Maturité de un an ou moins, pas de coupon

– Note du trésor ou Treasury Note (Note)– Maturité au-delà d’un an à 10 ans (avec et sans coupon)

– Obligation du trésor ou Treasury Bonds (Bonds)– Maturité au-delà de 10 ans (plus souvent avec coupon)

– Obligation corporative ou Corporate bonds– Toutes maturités, plus souvent avec coupon


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Titre à revenu fixe• Intérêts gagné entre deux dates :

• Convention :

– Nombre exact / 360 : Treasury bills– Nombre exact / nombre exact : Treasury bonds– 30 / 360 : Corporate bonds


référence de période la dans gagnéintérêt référence de période la dans jours de nombre

datesdeux entre jours de nombre

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Titre à revenu fixe• Cotation des T-Bills• Les T-Bills sont cotés avec un Discount rate

– Le Discount rate est l’intérêt qu’il reste a gagner pour obtenir la valeur de maturité

• Il se calcul à partir du Prix coté, le Quote price P observable sur les marché

– Le prix payé Y , le Cash Price est une fonction du Quote price


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Titre à revenu fixe• Exemple : T-bills de 91 jours

– Quote Price ou prix Côté : P = 8• P = 8 il reste 8% à gagner pour une valeur final de 100$ dans 91

jours

• Calculer le Discount rate : P = 8, on utilise r = 0.08

• Calculer le Prix payé : P=8, on utilise P=8P =

• Calculer le rendement gagné sur l’investissement


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Titre à revenu fixe• Cotation des Obligations• Les obligations sont cotées en dollar et 32eme de dollar

– Exemple : 90-12 = 90 + 12/32 = 90,375 $• Les futures sur Bonds seront coté de manière identique

• 90.375 $ est le prix coté, le clean Price

• Le prix a payer pour le Bonds, le Cash Price ou Dirty Price inclu les intérêts accumulés

Cash Price = Clean Price + Accrued interestPrix payé= Prix côté + intérêts courus


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Titre à revenu fixe• Cotation des Obligations sans intérêts courus


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Titre à revenu fixe• Exemple : Obligation, 11%, 96-50• Nous sommes le 5 mars 2010, • L’échéance est le 10 juillet 2018

– Calculer le clean price :

– Calculer les intérêts courus :

– Calculer le Cash price :


10 janv 5 mars 10 juillet

0 54 jours 181 jours

C = 5.5$ C = 5.5$

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Contrat à terme sur titre à revenu fixe• Contrats à terme sur T-Bill (sans coupon)

– Porte sur la livraison de bons de maturité 89, 90 ou 91 jours

– Les Bons du Trésor ont généralement une valeur à l’échéance de 10 000$ pouvant aller jusqu’à 1M$

• Prix d’un contrat : F x 10 000$

– Le sous-jacent pour le contrat à terme est un T-Bill de 3 mois (à la date d’échéance du Futures) avec une valeur à l’échéance de 1M$.


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Contrat à terme sur titre à revenu fixe• Contrats à terme sur T-Bill (sans coupon)

– Prix Future comptant du T-Bill:

F = 100 – (100-Fc)×(n/360)

– Où Fc est le prix coté du Future en $

– TraditionnellementF= 100 e-rf(T2-T1)


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Contrat à terme sur titre à revenu fixe• Exemple : Contrats à terme sur T-Bill de 90 jours

(sans coupon)• Calculer les paramètres à t0 d’un Future sur T-Bill

de 90 jours à t1

F|--------------------|--------------------|0 T1 T2

• Pour t 1 : T-bill au prix de 96.950 avec échéance de 56 jours• Pour t2 : T-Bill au prix de 95.389 avec échéance de 146 jours

• Calculer r1, r2, rf, le prix du Future F, le prix coté Fc


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Contrat à terme sur titre à revenu fixe• Contrats à terme sur obligation avec coupons

Prix cash F = (prix coté F x fc) + intérêts courus

– Où fc = facteur de conversion de l’obligation– Attention : Le prix Futures coté ne correspond donc pas au prix de livraison réel ($

reçu par le short)

• Le sous-jacent est un T-bond hypothétique– Maturité de plus de 15 ans– Sans option avant 15 ans– Valeur finale de 100000$ – Coupon de 6% (payé semestriellement)– Livraison tous les 3 mois: sept, déc, mars, juin– Livraison peut être faite n’importe quand durant le mois de livraison (valeur

option)– Plusieurs obligations différentes peuvent être livrées (valeur option)


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Contrat à terme sur titre à revenu fixe• Facteur de conversion

– Le facteur de conversion rend égal le prix coté d’une obligation à une autre obligation le premier jour du mois de livraison avec un taux de 6%

– La durée et les paiements de coupons sont arrondis au 3 mois le plus proches

• Calculer le facteur de conversion– Exemple I : Obligation 20 ans 2 mois avant maturité,

10% de coupon.– Exemple II : Obligation 18 ans et 4 mois, 8% de coupon


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Contrat à terme sur titre à revenu fixe• Cheapest to Deliver – Obligation la moins chère à

livrer– Parce que :

• Livraison peut être faite n’importe quand durant le mois de livraison (valeur option)

• Plusieurs obligations différentes peuvent être livrées (valeur option)

• Celui qui a vendu le contrat Futures (short) livrera l’obligation qui lui coûtera le moins cher


Profit du short

= Prix Futures coté

x Facteur de conversion

+ Intérêt couru

- Prix d’achat (coté) de l’obligation

+ intérêt couru

Profit du short

= Prix Futures coté

x Facteur de conversion

- Prix d’achat (coté) de l’obligation

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Contrat à terme sur titre à revenu fixe• Cheapest to Deliver – Obligation la moins chère à

livrer• Exemple :

– La partie Short du Future décide de livrer une obligation, mais laquelle choisir?

• Le dernier « settlement price » du future est 93-08


Obligation Quote Price Conversion Factor

1 99.50$ 1.0382

2 143.50$ 1.5188

3 119.75$ 1.2615

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Contrat à terme sur titre à revenu fixe• Contrats à terme sur obligation avec coupons• Exemple

– L’obligation la moins chère à livrer a pour coupon 10% et un facteur de conversion de 1.3

– la livraison aura lieu dans 270 jours– les coupons sont payables par semestre, le dernier coupon

a été versé il y a 50 jours, le prochain sera versé dans 132 jours, et le suivant dans 315 jours

– le taux d’intérêt continu est de 7% par année– la valeur marchande (ou prix coté) de l’obligation est de

115-00

• Quel sont le prix Futures F et le prix coté FC?


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Stratégies de couverture et concept de Durée• Stratégie de couverture avec des taux spot

• Exemple – Vous allez recevoir 1M$ dans un an et vous souhaitez

garantir le taux auquel vous pourrez placer votre argent entre l’année 1 et l’année 2

– Supposons que nous observons les taux suivants:• 5% pour un an• 6% pour deux ans

– Définir une stratégie de placement qui garantirait le taux forward


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Stratégies de couverture et concept de Durée• Stratégie de couverture basée sur la durée

• Parallèle et motivation : – Couverture d’un portefeuille d’action:

• Ratio de couverture avec le b• Le b est le facteur de risque

– Couverture d’un portefeuille d’obligation• Ratio de couverture avec la durée• La durée est une approximation de la sensibilité du prix

d’une obligation lorsque le taux d’actualisation change• Le risque vient du changement de taux d’intérêt


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Stratégies de couverture et concept de Durée• Le concept de la durée est une mesure liée au temps

– la durée est une moyenne pondérée de chacune des dates des flux monétaires d’une obligation

– le poids wt de chaque date correspond à la valeur présente du flux monétaire au temps t, divisée par la somme des valeurs présentes de tous les flux monétaires, soit le prix de l’obligation à t0


N

tt twD

1

)(

)(

obligationPrix 1

obligationPV

CFPVy)(

CF

w tt

t

t

33

Stratégies de couverture et concept de Durée• Concept de Durée

– Le concept de la durée a été développé en 1938 par Macaulay et on peut voir la durée de Macaulay comme la date moyenne de paiement de tous les flux monétaires évalués en valeur présente.

– où P0 est le prix de l’obligation et y le taux de rendement.


N

ttt

y

CFt

PD

10 1

1

34

Stratégies de couverture et concept de Durée• Concept de Durée• le concept de la durée constitue également une

approximation de la sensibilité de valeur du prix de l’obligation pour un changement de taux de rendement donné.

– où ΔP0 = P1 - P0 = variation de prix en $ quand le taux de rendement varie de y0 à y1

• Cela correspond à la dérivé du prix par rapport à y


n

ttt

y

CFt

yy

P

1

0

11

1

35

Stratégies de couverture et concept de Durée• Concept de Durée• Le prix et la dérivé du prix d’une obligation

• La dérivé nous donne une variation en $, il est difficile de la comparer pour des obligations de valeurs différentes


Py

nM +

ynC

.+ . .+ y

C +

yC

ydy

PdP

y

M +

y

C .+ . .+

y

C +

y

CP

nn

nn

)1()1()1(2

11

1

1/

)1()1()1(1

2

2

36

Stratégies de couverture et concept de Durée• Concept de Durée


Taux de rendement (ou d’intérêt)

y

Prix de l’obligation

La durée (D) correspond à la pente de la ligne droite qui est tangente au taux d’intérêt (y) de départ. Comme la pente est négative, c’est pour cela qu’il y a un signe négatif dans l’expression pour le changement de prix de l’obligation.

P0

La relation du prix de l’obligation est une courbe convexe parce que lorsque le taux d’intérêt augmente, la valeur présente de chaque flux est plus petite, mais les coupons sont réinvestis à un taux plus élevé. C’est l’inverse lorsque les taux baissent.

Il y a deux effets contraires qui expliquent que la relation n’est pas linéaire.

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Stratégies de couverture et concept de Durée• Concept de Durée Modifié• Durée modifiée:

– Dm est directement reliée à la variation du prix en % due à une petite variation du taux de rendement.

– Le signe négatif rappelle qu’il existe une relation inverse entre le prix et le taux de rendement.

– La durée modifiée est une meilleure mesure de la volatilité que la durée de Macaulay.

– La Durée modifiée donne le changement relatif au prix en %, elle est plus facile à comparer entre obligation


dy

PdPD

y

DD

m

m

/

1

38

Stratégies de couverture et concept de Durée• Propriété de la Durée

– La durée d’une obligation zéro-coupon est égale à son échéance.

– Pour une même échéance et un même taux de rendement, la durée augmente quand le taux de coupon diminue.

– Pour un même taux de coupon et un même taux de rendement, la durée augmente quand l’échéance augmente.

– Pour une même échéance et un même taux de coupon, la durée augmente quand le taux de rendement diminue


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Stratégies de couverture et concept de Durée• Propriété de la Durée (coupon annuel)


Obligation Échéance Coupon y Prix D DM1 1 7% 6% 100.94 1.00 0.94

2 1 6% 6% 100.00 1.00 0.94

3 5 7% 6% 104.21 4.40 4.15

4 5 6% 6% 100.00 4.47 4.21

5 10 4% 6% 85.28 8.28 7.81

6 10 8% 6% 114.72 7.45 7.02

7 20 4% 6% 77.06 13.22 12.47

8 20 8% 7% 110.59 11.05 10.32

9 50 6% 6% 100.00 16.71 15.76

10 50 0% 6% 5.43 50.00 47.17

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Stratégies de couverture et concept de Durée• Utilisation de la Durée Modifié Dm

– La durée modifiée nous permet d’approximer simplement le changement de prix d’une obligation (et par extension, un portefeuille) pour un changement de taux de rendement donné

– Dp0 = changement du prix en $– Dm =Durée modifié en période de coupon– Dy = très faible changement du taux


yDPyy

DPP M

000 1

41

Stratégies de couverture et concept de Durée• La Convexité

– La durée, comme mesure de sensibilité du prix d’une obligation par rapport à un changement des taux d’intérêt, n’est précise que si les changements sont peu importants.

– Pour des changements plus importants, il faut considérer la convexité (ou degré de courbure) de la relation entre le prix d’une obligation et le taux d’intérêt

• La Durée est la dérivé première du prix, la pente de la courbe de prix

• La convexité mesure le degré de courbature de la courbe de prix, graphiquement, la dérivée seconde d2P/dy2 mesure le changement de la pente de la fonction de prix pour un faible changement de y

• La convexité est mesurée en période de coupon au carré


42

Stratégies de couverture et concept de Durée• La Convexité

– En mathématique, le degré de courbature d’une fonction est relié à sa dérivée seconde


P

yyCMnn

+yy

Cnyy

C

C

Py

Mnn+

yCtt

C

dy

PPd

Pdy

PdC

nnn

n

n

tt

2123

21

2

2

2

2

2

)1()/)(1(

)1(2

)1(1

12

)1()1(

)1()1(

/1

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Stratégies de couverture et concept de Durée• La Convexité, Propriétés

– La convexité est toujours positive.– Pour une échéance et un taux de rendement donné, la

convexité augmente quand le taux de coupon diminue.

– Pour un taux de coupon et un taux de rendement donné, la convexité augmente quand l’échéance augmente.

– Pour une échéance et un taux de coupon donné, la convexité augmente quand le taux de rendement diminue.


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Stratégies de couverture et concept de Durée• La Convexité, Propriétés (coupon annuel)


Obligation Échéance Coupon y Prix DM Convex.1 1 7% 6% 100.94 0.94 1.78

2 1 6% 6% 100.00 0.94 1.78

3 5 7% 6% 104.21 4.15 22.47

4 5 6% 6% 100.00 4.21 22.92

5 10 4% 6% 85.28 7.81 75.89

6 10 8% 6% 114.72 7.02 65.17

7 20 4% 6% 77.06 12.47 211.53

8 20 8% 7% 110.59 10.32 157.93

9 50 6% 6% 100.00 15.76 440.04

10 50 0% 6% 5.43 47.17 2269.5

45

Stratégies de couverture et concept de Durée• Utilisation de la Durée et de la Convexité

– On peut estimer la variation de prix à l’aide de l’approximation (quadratique) de Taylor


221

221

22

2

22

2

)(

)(

)(1

2

11

)(2

1

yCyDP

P

dyCdyDP

dP

dyPdy

Pddy

Pdy

dP

P

dP

dydy

Pddy

dy

dPdP

m

m

46

Stratégies de couverture et concept de Durée• Utilisation de la Durée et de la Convexité

– Pour l’obligation suivante:• Prix : 100$• Coupon : 6%• Taux : 6%• Échéance : 10 ans

– Si le taux augmente de 1.5%, calculer:• La Durée (avec le fichier Excel)

• La Convexité (avec le fichier Excel)

• La variation de prix avec la durée et la convexité (approximation quadratique).

• La variation de prix La durée seulement (approximation linéaire).

• Le vrai prix.


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Stratégies de couverture et concept de Durée• Hypothèses importantes

• Le concept fait l’hypothèse qu’il y a un changement parallèle de la structure à terme, elle-même horizontale– Le changement de taux sera le même pour toutes les échéances.– En réalité, ce n’est jamais le cas, mais les approximations demeures assez

bonnes pour de faibles changements de taux.

• La durée et la convexité sont valides pour des obligations standards. Elles ne s’appliquent pas toujours lorsqu’il y a des clauses optionnelles.

• En particulier, l’objectif de la durée est de mesurer la sensibilité du prix par rapport au taux d’intérêt.

• La durée correspond à une moyenne pondérée des échéances presque exclusivement pour des obligations standards


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Stratégies de couverture et concept de Durée• Durée et Convexité effectives

– Il est possible d’approximer la durée modifiée et la convexité pour obtenir des mesures valides pour n’importe quel type d’obligations et n’importe quelle forme de la structure à terme des taux.

– Les mesures obtenues sont appelées la durée et la convexité effectives


20

0

0

)(

2

))((2

yP

PPPC

yP

PPDm

49

Stratégies de couverture et concept de Durée• Stratégie de couverture• Principe : couverture d’un portefeuille obligataire

à l’aide de contrats Futures• Le portefeuille total V sera constitué

– Une position longue dans les obligations du portefeuille S

– Une position courte dans un certain nombre N de contrats Futures F

• La valeur du portefeuille global V peut donc s’exprimer comme suit: V = S – (N x F)


50

Stratégies de couverture et concept de Durée• Calcul du nombre de contrats optimal N

– Si on veut éliminer toute variation lorsque les taux bougent:

– Notez que le ratio DS/DF sera le même avec la durée et la durée modifiée, assurez-vous de prendre les mêmes


y

FN

y

S

y

V

0

F

S

DF

DS

yFyS

N

0

0

F

S

DF

DSN

0

0

51

Stratégies de couverture et concept de Durée• Principes :• Le ratio des durées joue le même rôle que le bêta dans un

portefeuille d’actions. – C’est un indice de sensibilité aux taux d’intérêts– Augmenter la durée modifiée DM est un peu comme augmenter le bêta!– Si on augmente la durée modifiée, on augmente la sensibilité de notre

portefeuille à un changement de taux d’intérêt– L’inverse est vrai si on réduit la durée modifiée– Utiliser le ratio N revient à ramener la Durée du portefeuille à 0

• Le Future de couverture a pour sous-jacent une obligation qui varie en fonction des taux d’intérêts.

• L’obligation est donc un produit dérivé dont le sous-jacent est le taux d’intérêt.


52

Stratégies de couverture et concept de Durée• Choix de la Durée du portefeuille

– Si l’on veut diminuer la durée modifiée du portefeuille que l’on détient, il faut prendre une position courte dans N* contrats Futures:

– Si l’on veut augmenter la durée modifiée du portefeuille que l’on détient, il faut prendre une position longue dans N* contrats Futures:


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Stratégies de couverture et concept de Durée• Stratégie de couverture : Exemple

– Taille du portefeuille d’obligation = 8 M$– La durée modifiée du portefeuille est DS= 6.2 années– Le prix futures sur obligation est de 92-120

• Le contrat porte sur une obligation ayant une valeur nominale de 1000$ à l’échéance

– La durée modifiée de l’obligation la moins chère à livrer est DM= 7.8 années

• Quelle stratégie adopter pour immuniser ce portefeuille?

• Quelle Stratégie adopter pour ramener la Durée de ce portefeuille à 4 ans?


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