04 - Pression Des Terres - Solutionnaire

Cours de Mcanique des sols II t 2013 M. Karray & F. Ghobrial

Pression des Terres, Murs de Soutnement et Palplanches Page 1 de 26

CC HH AA PP II TT RR EE 0044 PP RR EE SS SS II OO NN SS DD EE SS TT EE RR RR EE SS ,, MM UU RR SS DD EE SS OO UU TT NN EE MM EE NN TT EE TT PP AA LL PP LL AA NN CC HH EE SS

Note gnrale : toutes les forces sont par mtre longitudinal.

Les principales hypothses de Rankine:

1. Le sol est isotrope et homogne.

2. La surface de rupture est plane.

3. Le mur est lisse et vertical.

4. Le coin de rupture est rigide et subit une translation.

Problme 4.1

Dans un dpt de sable homogne, dune profondeur de 8 m, on a mesur un indice de

pntration standard moyen N=30. La nappe phratique se trouve la surface et le poids

volumique total de ce sable est 20kN/m.

(a) tablir le diagramme des contraintes effectives horizontales au repos dans ce sol.

(b) tablir le diagramme des contraintes totales horizontales au repos dans ce sol.

Solution

Supposons que le sable soit grossier et ayant une densit relative dense

N=2645 =4050

= 40 + (30 26)(45 26) (50 40) = 42,1,Soit = 42

Ko=1-sin=1-sin42=0,33

(a) Contrainte effective horizontale

= 1: = (20 10) 0 0,33 = 0 2: = (20 10) 8 0,33 = 26,4

(b) Contrainte totale horizontale

= + 1: = 0 + (10 0) = 0 2: = 26,4 + (10 8) = 106,4



Si le sable est fin =38 Ko fin=0,38 1: = 0

= 0 2: = 30,4

= 110,4

Si le sable est moyen =39 Ko moyen=0,37 1: = 0

= 0 2: = 29,6

= 109,6



Problme 4.2

Dterminer les diagrammes des pressions verticales et horizontales devant et derrire le mur

illustr ci-dessous.

Solution

Supposons que le mur soit lisse On peut utiliser la thorie de Rankine

(a) coefficient de la pousse et de la bute des terres

1: =1 1 + =

1 301 + 30 =

13

2: =1 1 + =

1 251 + 25 = 0,406

: =1 1 + =

1 01 + 0 = 1

=1 + 1 =

1 + 01 0 = 1



(b) Calcul des pressions des terres

: = 2; : = + ()

: = + 2; : = + ()

1: = (19 10) 0 = 0 = 0 1 3 01 3 = 0 = 10 0 = 0 = 0 + 0 = 0

2: = (19 10) 3 = 27 = 27 1 3 01/3 = 9 = 10 3 = 30 = 9 + 30 = 39

3: = (19 10) 3 = 27 = 27 0,406 00,406 = 10,96 = 10 3 = 30 = 10,96 + 30 = 40,96

4: = 27 + (18 10) 3 = 51 = 51 0,406 00,406 = 20,71 = 10 6 = 60 = 20,71 + 60 = 80,71

5: ( ) = 19 3 + 18 3 = 111 = 111 1 2 201 = 71

6: ( ) = 111 + 16 3 = 159 = 159 1 2 201 = 119

7: ( ) = 16 0 = 0 = 0 1 + 2 201 = 40

8: ( ) = 16 3 = 48 = 48 1 + 2 201 = 88



Extra-problme

Pour le mur lisse illustr ci-dessous, dterminer la pousse des terres ainsi que la rsultante des

forces et son point dapplication.

Solution

(a) coefficient de la pousse des terres

=1 1 + =

1 301 + 30 =

13

(b) Calcul des pressions des terres

: = 2; : = + ()

1: = 20 0 = 0 = 0 1 3 01 3 = 0 = 0 = 0 + 0 = 0

2: = 20 1.5 = 30 = 30 1 3 01/3 = 10 = 0 = 10 + 0 = 10

3: = 30 + (20 10) 3.5 = 65 = 65 1 3 01/3 = 21,67 = 10 3,5 = 35 = 21,67 + 35 = 56,67

(c) Calcul des forces et le point dapplication de la rsultante

Force Bras de levier

= 10 1,5 0.5 = 7,5/. . =3,5+1,5/3=4m = 10 3,5 = 35/. . =3,5/2=1,75m = (56,67 10) 3,5 0,5 = 81,67/. . =3,5/3=1,17m = 7,5 + 35 + 81.67 = 124,17/. . =Z



Moment de la rsultante autour du pied du mur = Moments des forces autour du pied du mur

= (7,5 4) + (35 1,75) + (81,67 1,17)124,17 = 1,5



Problme 4.3

Dterminer le diagramme des pressions sexerant sur le mur illustr ci-dessous ainsi que la

rsultante (considrer deux cas : sans la nappe et avec la nappe).

Solution

Pour =30et =20 , KA=0,414 (du tableau des valeurs de KA de Rankine)1

(a) Sans prsence de la nappe deau

1: = 20 = = 0 0,414 = =

2: = 20 8 = 160 = 160 0,414 = 66,24 =

= 66,24 8 0,5 = 264,96/. .

1Les valeurs de KA et KP de Rankine (pour un mur vertical et lisse, et la surface du terrain est incline)

sont dtermine laide de = cos

et = cos , respectivement.



(b) Avec prsence de la nappe deau

1: = (20 10) = = 0 0,414 = = 10 0 =

2: = (20 10) 8 = 80 = 80 0,414 = 35,28 = 10 8 = 80

= 33,12 8 0,5 = 132,48/. .

= 80 8 0,5 = 320/. .



Problme 4.4

Dterminer le diagramme des pressions sexerant sur le mur illustr ci-dessous ainsi que la

rsultante.

(a) Sans prsence de la nappe deau,

(b) Avec prsence de la nappe deau.

Solution

Pour =30et =10 , KA=0,35 (du tableau des valeurs de KA de Rankine)

(a) Sans prsence de la nappe deau

1: = 20 = = 0 0, 35 = () = 100 0,35 = 35 =

2: = 20 8 = 160 = 160 0,35 = 56 () = 100 0,35 = 35 =



= 56 8 0,5 = 224/. .

= 35 8 = 280/. .

(b) Avec prsence de la nappe deau

1: = 20 = = 0 0,35 = () = 100 0,35 = 35 =

2: = 20 4 = 80 = 80 0,35 = 28 () = 100 0,35 = 35 =

3: = 80 + (20 10) 4 = 120 = 120 0,35 = 42 () = 100 0,35 = 35 = 10 4 = 40

= 28 4 0,5 = 56/. .



= 28 4 = 112/. . = (42 28) 4 0,5 = 28/. . = 35 8 = 280/. . = 40 4 0,5 = 80/. .



Problme 4.5

Compte tenu de la gomtrie et des conditions du sol au contact du mur illustr ci-dessous

(a) Dterminer le coefficient de scurit contre le renversement du mur (ngliger leffet de la

bute au pied du mur).

(b) Dterminer le coefficient de scurit contre le glissement si le coefficient de frottement

entre le sol de fondation et la base du mur est de 0,5 (ngliger leffet de la bute au pied

du mur).

Solution

(a) Rankine

Le mur est lisse =0 (mur vertical =0)

Pour = 32 = 15 = 0,341

OU

= cos cos cos cos cos + cos cos = cos 15

cos 15 cos 15 cos 32cos 15 + cos 15 cos 32 = 0,341



Pour = 32 = 10 = 3,25

OU

=1 + 1 =

1 + 321 32 = 3,25

=12

=12 17 5

0,341 = 72,46 . .

=12

=12 17 1

3,25 = 27,63 . .

Force Verticale Force Horizontale Bras de levier

MR MS

(kN /m.l.) (kN/m.l.) (m) (kN.m/m.l.) (kN.m/m.l.) P1 22x(0,6x5) =66 - 2,4 158,4 P2 22x(0,5x5x2,1) =115,5 - 1,4 161,7 P3 17x(0,5x1x0,42) =3,57 - 0,14 0,5 PAv 72,46sin15 =18,75 - 2,7 50,63 PAh - 72,46cos15 =70.0 1,67 116,9 PP - =27,63 0,33 9,2

Facteur de scurit contre le glissement



. . () = ( + + ) = ( + , + , ) ,

=(, ) ,

. . () = , < 1,5

. . () = ( + + + ) +

= (66 + 115,5 + 18,75 + 3,57) 0,5 + 27,6370

. . () = 1,85 < 2,0

Si lon nglige la force P3 (qui est trs petite), le F.S.(Avec bute)=1,83

Facteur de scurit contre le renversement

. . () = = , + , + ,

, =, , = , > 1,5

. . () = = 158,4 + 161,7 + 50,63 + 0,5 + 9,2

116,9 =380,43116,9 = 3,25 > 2,0

(b) Coulomb

Le mur est rugueux tan==0,5 26,6 (0,83)

Pour =32, A=15, 26,6 et A=0

=12

=12

( )

cos( + ) 1 + sin( + ) sin( )cos( + ) cos( )

=12 17 5

0,34

= 72,3/. .

Pour =32, P=0, 26,6 et P=22,78

=12

=12

( + )

cos( ) 1 sin( + ) sin( + )cos( ) cos( )



=12 17 1

4,39

= 37,32/. .

Force Verticale Force Horizontale Bras de levier MR MS

(kN /m.l.) (kN.m/m.l.) (m) (kN.m/m.l.) (kN.m/m.l.)

P1 22x(0,6x5) =66 - 2,4 158,4

P2 22x(0,5x5x2,1) =115,5 - 1,4 161,7

PAv 72,3sin26,6 =32,37 - 2,7 87,41

PAh - 72,3cos26,6 =64,65 1,67 107,96 -

PPv 37,32cos(86,18) =2,49 0,14 0,35

PPh - 37,32sin(86,18) =37,24 0,33 12,29

Facteur de scurit contre le glissement

. . () = ( + + ) = ( + , + , ) ,

, = , > ,

. . () = ( + + ) + +

. . () = (66 + 115,5 + 32,37) 0,5 + 37,2464,65 + 2,49 0,5 = 2,19 > 2,0



Si lon nglige la force PPV (qui est trs petite), le F.S.(Avec bute)=2,23

Facteur de scurit contre le renversement

. . () = = , + , + ,

, = , > ,

. . () = = 158,4 + 161,7 + 87,41 + 12,29

107,96 + 0,35 = 3,88 > 2,0

Rankine Coulomb

PA 78,00 kN/m.l. 72,30 kN/m.l.

PP 27,63 kN/m.l. 37,32 kN/m.l.

F.SG (Sans bute) 1,43 1,65

F.SG (Avec bute) 1,85 2,19

F.SR (Sans bute) 3,17 3,77

F.SR (Avec bute) 3,25 3,88

En gnral, on remarque que lutilisation de la thorie de Rankine est plus critique que celle de

Coulomb.

(c) Capacit portante (en utilisant les pressions de Rankine sans bute)

*Lexcentricit (e)

= 2 =

2,72

370,73 116.9200,25 = 0.08

*Contrainte maximale et minimale (qmax et qmin)

= 1 +

6 =

200.252.7 1 +

6 0.082.7 = 87.35

= 1

6 =

200.252.7 1

6 0.082.7 = 61

*Calcul de la capacit portante (charge incline + excentricit)



= + + 0.5

Pour =32 Nq=24, N=22.6

Semelle filante Sq=1.0, S=1.0

= 1 90

= 1 19,27

90 = 0,62

= 1

= 1 19,27

32 = 0,16

= tan 70200,25 = 19,27

B=2,7-2x0.08=2.54m

= 0 + 17 1 24 1 0,62 + 0,5 17 2,54 22,6 1 0,16

= 252,96 + 78,07 = 331,03

= =

(70,0) + (200,25)2,54 =

212,132,54 = 83,52

. . = =331,0383,52 = 4 > 3

. . = =331,0387,35 = 3,79 > 3



=

=

= 2 12

=

= 2 12

= 1 6



Problme 4.6

Une palplanche sera simplement encastre au pied dans un sable. Dterminer la longueur de

fiche requise et la section de la palplanche.

Solution

Kp=Kp/1,5 Kp=3/1,5=2,0



(1) Dtermination des pressions des terres

= 0 1 3 = 0

= 18(3 + ) 1 3 = (18 + 6)

= 0 2 = 0

= (18 ) 2 = 36

(2) Calcul des forces

= (18 + 6)( + 3) 0,5= (3 + 18 + 27)/. .

= (36)() 0,5 = (18)/. .

(3) Somme des moments autour O (M@O=zro)

M@ = (3 + )3 3 = 0

(3 + 18 + 27) (3 + )3 18 3 = 0

+ 3 + 6 + 18 + 9 + 27 6 = 0

5 + 9 + 27 + 27 = 0

= 3,671

= 1,2 4,40

(4) Dtermination de la position o V=zro

=

3 + 18 + 27 = 18

15 18 27 = 0

= 2,07



(5) Calcul de Mmax

= (3 + 18 + 27) (3 + )

3 18

3

= 5 + 9 + 27 + 27

= 5(2,07) + 9(2,07) + 27(2,07) + 27

= 77,105./. .

(6) Conception de la section de la palplanche

Acier A328, fy=265MPa

= 0,67 =77,105

0,67 265 10 = 434,27 10

= 434.27 10

Du tableau, utiliser section no PDA-27



Problme 4.7

Dterminer la dimension D, la tension dans le tirant et la section de palplanche utiliser pour

la construction du mur illustr ci-dessous. Faire lhypothse dun appui simple au pied.

Solution

(1) Dtermination des coefficients des pressions des terres

: =1 1 + =

1 301 + 30 =

13

: =1 1 + =

1 341 + 34 = 0,283

=1 + 1 =

1 + 341 34 = 3,537

=1,5 =

3,5371,5 = 2,358



(2) Dtermination des pressions des terres

= 17 0 1 3 = 0

= 17 7 1 3 = 39,667

= 17 7 0,283 = 33,677

= (17 7 + 19 ) 0,283 = (33,677 + 5,377)

= 19 0 2,358 = 0

= (19 ) 2,358 = 44,802

(3) Calcul des forces

= 39,667 7 0,5 = 138,835/. .



= 33,677 = (33,677)/. .

= 5,377 2 = 2,689

/. .

= 44,802 2 = 22,401

/. .

(4) Dtermination de D et force de tirant FA

M@ = + + +

(5.5 + ) = 0

138,835 + 323,947 + 16,839 6,571 5,5 = 01

F = 0 + + = 0

= 138,835 + 33,677 19,712 .2

2113,141 + 91,578 185,224 439,646 = 0

= 2,722

= 84,452/. .

(5) Dtermination de la position o V=zro

>

= (17 13)

2

= 176 = 84,452 = 5,46 < 7,0 . .

Note : Dans les notes de cours, on avait le cas contraire (PA1 < FA) ce qui nous a amens

dterminer une position (V=0) sous la ligne de dragage.

Dans le cas prsent, si on essaie de dterminer le point d'effort tranchant nul sous la ligne de

dragage, on rsout l'quation suivante (somme des forces horiz. nulle):

54,39 + 33,677D' 19,713 D'2 = 0



(D' tant la distance entre la ligne de dragage et le point V=0)

On obtient D'=2,72 m donc D'=D. Ce n'est donc pas le point retenir pour calculer le moment

Max.

(6) Calcul de Mmax

() = 17 1,5 13

1,52

1,53 = 3,188./. .

( = 0) = 3 ( 1,5)

= 84,452 5,453 84,452(5,46 1,5)

= 180,727./. .

= 180,727./. .

(7) Conception de la section de la palplanche

Acier fs=220MPa

=

= 180,727220 10 821,5 10

= 821,5 10

Du tableau, utiliser section no PZ-27

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