07 Propagation Lignes Transmission

Ondes Electromagnetiques

Propagation sur les lignes de transmission

1 Introduction

Etude theorique :−→E ,

−→H

En pratique on prefere I,VEn haute frequence i(x, t),v(x, t)Le long des lignes de transmission on a un mode TEM, avec Ox la direction de propagation.On peut etablir une analogie avec les lignes bifilaires.Les grandeurs caracteristiques sont :• la self-inductance lineique L (H.m−1), liee a l’energie magnetique.• la capacite lineique C (F.m−1), liee a l’energie electrostatique.• la resistance lineique R (Ω.m−1), liee aux pertes dans les conducteurs.• la conductance lineique G (S.m−1), liee aux pertes dans les dielectriques.On a donc le circuit suivant le long d’un troncon de longeur ∆x

2 Equations generales de propagation

2.1 Mise en equation

Ondes Electromagnetiques- Chap 7: Propagation sur les lignes de transmission– TELECOM 1A (r0ro) Page /

Theorie de Kirchhoff

On pose :

v(x, t) = vi(x, t) = i

v(x + ∆x, t) = v + ∆vi(x + ∆x, t) = i + ∆i

v + ∆v = v −R∆x

2i− L

∆x

2∂i

∂t− L

∆x

2∂(i + ∆i)

∂t−R

∆x

2(i + ∆i)

Au premier ordre on obtient :

∆v = −R∆x

2i− L

∆x

2∂i

∂t− ∆x

2∂i

∂t−−R

∆x

2i

donc

∆v = −R∆xi− L∆x∂i

∂t

De la meme maniere on a :i + ∆i = i−G∆xv − C∆x

∂v

∂tdonc

∆i = −G∆xv − C∆x∂v

∂t∆v

∆x→ ∆x → 0

∂v

∂x,

∆i

∆x→ ∆x → 0

∂i

∂x

∂v

∂x= −Ri− L

∂i

∂t(1)

∂i

∂x= −Gv − C

∂v

∂t(2)

∂(1)∂x

:∂2v

∂x2= −R

∂i

∂x− L

∂2i

∂x∂t∂(2)∂t

:∂2i

∂x∂t= −G

∂v

∂t− C

∂2v

∂t2d’ou∂2v

∂x2= −R(−Gv − C

∂v

∂t)− L(−G

∂v

∂t− C

∂2v

∂t2)

∂2v

∂x2= LC

∂2v

∂t2+ (RC + LG)

∂v

∂t+ RGv

Equation de propagationde meme

∂2i

∂x2= LC

∂2i

∂t2+ (RC + LG)

∂i

∂t+ RGi

Si la propagation se fait sur une ligne sans pertes (R=0, G=0) on aura :∂2v

∂x2= LC

∂2v

∂t2

2.2 Solutions generales des equations de propagation

Cas ideal des lignes sans pertes : v(x, t) = F+(t− x

vp) + F−(t +

x

vp)

F+ est l’onde O+, qui se propage dans le sens des x croissants avec la vitesse de propagation vp =1√LC

F− est l’onde O−, qui se propage dans le sens des x decroissants avec la vitesse de propagation vp =1√LC

3 Solutions generales des equations de propagation en regime har-monique etabli

v(x, t) → V (x) complexev(x, t) = <[V (x)exp(jωt)]i(x, t) → I(x) complexei(x, t) = <[I(x)exp(jωt)]


3.1 Equations de propagation

∂v

∂x= −Ri− L

∂i

∂t∂i

∂x= −Gv − C

∂v

∂t

dV

dx= −RI − jLωI (1)

dI

dx= −GV − jCωV (2)

d2V

dx2= −R

dI

dx− jLω

dI

dx

d2V

dx2= (R + jLω)(G + jCω)V

de meme

d2I

dx2= (R + jLω)(G + jCω)I

Par analogie, on pose Γ2 = (R + jLω)(G + jCω), avec Γ constante de propagation.Γ = α + jβ, α constante de perte, β constante de phase.d2V

dx2= Γ2V ,

d2I

dx2= Γ2I

3.2 Integration des equations

d2V

dx2= (±Γ)2V

V (x) = Ae−Γx + BeΓx

I(x) = − 1R + jLω

(−ΓAe−Γx + ΓBeΓx)

I(x) =Γ

R + jLω(Ae−Γx − ΓBeΓx)

I(x) =

√G + jCω

R + jLω(Ae−Γx − ΓBeΓx)

On pose Zc =

√R + jLω

G + jCω(Ω), avec Zc l’impedance caracteristique de la ligne.

Pour les lignes sans pertes Zc =

√L

Creelle

V (x) = V +(x) + V −(x)I(x) = I+(x) + I−(x)

Onde O+

V +(x) = Ae−Γx

I+(x) =A

Zce−Γx

∀x,V +(x)I+(x)

= Zc

Onde O−

V −(x) = Be+Γx

I−(x) = − B

Zce+Γx

∀x,V −(x)I−(x)

= −Zc


4 Ondes progressives sur une ligne

4.1 Solution generale

Zc =

√R + jLω

G + jCω, Γ =

√(R + jlω)(G + jCω)

V (x) = Ae−Γx + Be+Γx

I(x) =1Zc

(Ae−Γx −Be+Γx)

4.2 Conditions aux limites

en x = L V (x = L) = ZcI(x = L)

Ae−ΓL + BeΓL =Zc

Zc(Ae−ΓL −BeΓL)

2BeΓL = 0 ⇒ B = 0

V (x) = Ae−Γx

I(x) =A

Zce−Γx

Onde progressive directe sur la ligneen x=0 V (x = 0) = E − ZgI(x = 0)

A = E − ZgA

Zc

A =E

1 + Zg

Zc

= EZc

Zc + Zg

V (x) = EZc

Zc + Zge−Γx

I(x) = E1

Zc + Zge−Γx

5 Ondes pseudo-stationnaires sur une ligne

5.1 Solutions generales


ZR charge quelconque positive : <[ZR] > 0

V (x) = Ae−Γx + Be+Γx

I(x) =1Zc

(Ae−Γx −Be+Γx)

V +(x) = Ae−Γx , I+(x) =A

Zce−Γx = 0+

V −(x) = Be+Γx , I−(x) =−B

Zce+Γx = 0−

∀x V +(x)I+(x)

= Zc = −V −(x)I−(x)

Changement de variable y = L− xV (y) = Ae−ΓLe+Γy + Be+ΓLe−Γy

donc

V (y) = V +(x = L)e+Γy + V −(x = L)e−Γy

I(y) =1Zc

(Ae−ΓLeΓy −Be+ΓLe−Γy)

donc

I(y) = I+(x = L)e+Γy + I−(x = L)e−Γy

5.2 Conditions aux limites - Coefficients de reflexion

en x=L (y=0)V (y = 0) = ZRI(y = 0)V +(x = L) + V −(x = L) = ZR(I+(x = L) + I−(x = L))On definit le coefficient de reflexion en tension

RV =V −(x = L)V +(x = L)

On definit le coefficient de reflexion en courant

RI =I−(x = L)I+(x = L)

= −V −(x = L)Zc

Zc

V +(x = L)RI = −RV

On notera R le coefficient de reflexion en tensionV +(x = L)(1 + R) = ZRI+(x = L)(1−R)

V +(x = L)(1 + R) = ZRV +(x = L)

Zc(1−R)

(1 + R) =ZR

Zc(1−R)

R =ZR − Zc

ZR + Zc

|R| 6 1 si <(ZR) > 0

5.3 Solutions particulieres

V (y) = V +(x = L)(eΓy + Re−Γy)V (y) = V +(x = L)eΓy(1 + Re−2Γy)V (y) = V +(x)(1 + Re−2Γy)de memeI(y) = I+(x)(1−Re−2Γy)Dans le cas particulier des lignes sans pertes Γ = jβV +(x) = Ae−Γx = Ae−jβx

|V +(x)| = |A| = cst|V (y)| = |V +(x)||1 + Re−2jβy||I(y)| = |I+(x)||1−Re−2jβy|


5.4 Repartition de la tension et du courant - Cas des lignes sans pertes

5.4.1 Diagramme de Bergeron

| V (x)V +(x)

| = |1 + Re−2jβy|

Si y = 0 alors | V (x)V +(x)

| = |1 + R| car dans ce cas |1 + Re−2jβy| = |1 + R|2βy = 2π (1 tour)

Pour avoir 22π

λy = 2π on doit avoir : y =

λ

2.

La propagation sur les lignes de transmission est periodique de periode λ2 .

| I(x)I+(x)

| = |1−Re−2jβy|

quand y = 0 on a | I(x)I+(x)

| = |1−R|

5.5 Rapport d’onde stationnaire (ROS)

On pose ρ =Vmax

Vmin=| V (x)V +(x) |max

| V (x)V +(x) |min

=1 + |R|1− |R|

|R| 6 1 ⇒ ρ > 1Si ZR = ZC , R = 0 → ρ = 1 → onde progressive.


5.6 Impedance Z(y) sur la ligne

V (x) = V +(x)(1 + Re−2jβy)I(x) = I+(x)(1−Re−2jβy)

Z(y) = Z(x) =V (x)I(x)

=V +(x)I+(x)

(1 + Re−2jβy

1−Re−2jβy)

Z(y) = Zc1 + Re−2jβy

1−Re−2jβy

avec R =ZR − Zc

ZR + Zc

6 Abaque de Smith

6.1 Preliminaire

Ligne de transmission ZC reelle Γ = jβ

Impedance reduite : z =Z

ZC

6.2 Trace de l’abaque de Smith

Z(y) = ZC1 + R(y)1−R(y)

(R(y) =Z(y)− ZC

Z(y) + ZC)

z =1 + R

1−Rz = r + jxR = a + jb

r + jx =1 + a + jb

1− a− jbr(1− a) + bx = 1 + a (1)r(1− a)− br = b (2)

• On elimine r entre les deux expressions :

(a− 1)2 + (b− 1x

)2 =1x2

On a un cercle de centre (1,1x

), de rayon1|x|

x = 1 cercle de centre (1,1) de rayon 1

x = 2 cercle de centre (1,12) de rayon

12

x = 3 cercle de centre (1,13) de rayon

13...

x = −1 cercle de centre (1,−1) de rayon 1...• On elimine x de (1) et de (2) :

(a− r

1 + r)2 + b2 = (

11 + r

)2

On a un cercle de centre (r

1 + r,0), de rayon

11 + r

r = 0 cercle de centre (0,0) de rayon 1

r = 1 cercle de centre (12,0) de rayon

12


r = 2 cercle de centre (23,0) de rayon

13

6.3 Proprietes de l’abaque de Smith

6.3.1 Inversion d’impedance

z =1 + R

1−R,

1z

=1−R

1 + R

ie1z

=1 + (−R)1− (−R)

1z

est donc l’impedance reduite associee au coefficient de reflexion (−R). C’est l’admittance reduite associeea z.

6.3.2 Transformation d’impedance sur la ligne

z =1 + R

1−R

Coefficient de reflexion au niveau de la charge : RT =ZR − ZC

ZR + ZC=

zR − 1zR + 1

R(y) = RT e−2jβy


λ = 9cmZR = 75 + j150ω, ZC = 50ω

donc zR =ZR

ZC= 1, 5 + 3j

Determinez ZE , l’impedance vue par le generateur est ZE = Z(y = L)Cf abaque 3

2βL = 22π

λL = 2π

L

λL

λ=

13

= 0.33

Periodicite deλ

2


6.4 Annexe : Abaque 1






6.7 Mesures d’impedance sur une ligne a l’aide de l’abaque de Smith

6.7.1 Dispositif experimental

On peut mesurer :-Le rapport d’onde stationnaire sur la ligne :

ρ =Vmax

Vmin

-Detection quadratique VD = kV 2

ρ =√

VDmax

VDmin-Position des minimums de tension sur la ligne, on a besoin d’un court circuit

6.7.2 Mesure de l’impedance

- Ligne fermee par l’impedance inconnue ZR

ROS : ρ =1 + |R|1− |R| (cf 5.5)

ex : on mersure ρ = 4cf abaque 4


On mesure la position des minimums de tension : m1, m2 ...


On peut deduireλ

2= m1 −m0 = m2 −m1 ...

Pour une ligne fermee par un court-circuit :

7 Adaptation d’impedance

7.1 Puissance recue par une charge reelle quelconque

V = EZR

ZR + Zg

I =E

ZR + Zg

P puissance dissipee dans la charge reelle ZR

P =12

E2

(ZR + Zg)2ZR

On cherche Pmax

∂P

∂ZR=

12E2 (ZR + Zg)2 − 2ZR(ZR + Zg)

(ZR + Zg)4∂P

∂ZR=

12E2 Zg − ZR

(ZR + Zg)3∂P

∂ZR= 0 ⇒ ZR = Zg

C’est un maximum

Pmax =12

E2Zg

4Z2g

Pmax =E2

8Zg


7.2 Charge reelle - Adaptation a l’aide d’une resistance

Adaptation d’impedance : le generateur ”sort” avec une impedance egale a son impedance interne.

I =E

Zg + R + ZR

PZR =12ZR

E2

(Zg + R + ZR)2

PZR=

12

3E2

4Z2g

=18

E2

Zg

350

PZR=

350

ZR

7.3 Charge reelle - Adaptation quart-d’onde

Adaptateur : on veut ZE = Zg

Inconnue : ZC

Z(y) = ZCZR + jZC tan(βy)ZC + jZR tan(βy)

ZE = Z(y = L)

βL =2π

λ

λ

4=

π

2

ZE =Z2

C

ZR

ZR =ZR

ZC→ vers le generateur ZE =

ZE

ZC

L =λ

4⇒ zE =

1zR

ZE

ZC=

ZC

ZR→ ZE =

Z2C

ZR

On veut ZE = Zg =Z2

C

ZR, on choisit ZC =

√ZRZg


7.4 Charge quelconque - Adaptation quart-d’onde

On a ZB1 l’impedance equivalente du troncon vu du point B (impedance d’entree). On doit determiner L1

et ZC

En partant de zA et en se deplacant deL1

λvers le generateur on obtient zB1 , or zA = 0 donc

ZB1 = Z(y = L1) = Z ′CZA + jZ ′C tan(βL1)Z ′C + jZAtan(βL1)

ZB1 = jZ ′C tan(βL1), zB1 = j tan(βL1) ∈ jRRemarqueL’impedance d’entree d’un troncon de ligne termine par un court circuit ou un circuit ouvert est imaginairepure. (Troncon termine par un court circuit ou circuit ouvert = stub en anglais).

On choisit L1 telle que tan(βL1) = −X on a alors ZB = ZR + ZB1 , ce qui nous donne le schema electriqueequivalent :

puis on realise l’adaptation quart d’onde ZC =√

ZgR, on obtient une adaptation ”bande etroite”.


7.5 Adaptation a un stub

On a zR =ZR

ZCen se deplacant de

L2

λvers le generateur on a zB2

On a aussi zA =ZA

ZCen se deplacant de

L1

λvers le generateur on a zB1

On a une connexion en parallele en B, on va donc travailler sur les admittances : on part de yR et on se

deplace deL2

λvers le generateur et on obtient yB2 , on part de yA et on se deplace de

L1

λvers le generateur et

on obtient yB1 .On a donc le schema equivalent suivant :

YB = YB1 + YB2 , yB = YBZC = yb1 + yb2

On fait l’adaptation d’impedance ZE = Zg, et on choisit le cas ou ZC = Zg (dans le cas le plus courant

ZC = Zg = 50Ω). On peut alors en deduire que zE =Zg

ZC= 1.

On part de zE et on se deplace deL

λvers la charge et on obtient zB , on en deduit alors que zB = 1∀L (zE

est place au centre de l’abaque, si l’on tourne deL

λvers la charge il ne bouge pas, donc zB = zE).

Notre but est toujours de calculer L1 et L2

yB1 = jX (yB1 ∈ jR car zB1 ∈ jR)yB = yB1 + yB2 = 1 par consequent yB2 = 1− jX (on trace sur l’abaque le cercle qui represente l’ensemble

des points de partie reelle 1 ”1er lieu de yB2”)On prend par exemple comme valeurs numeriques ZC = 50ω, ZR = 150− j100ω, zR = 3− j2On place alors 3 − j2 sur l’abaque ”zR”, on construit alors yR symetrique de zR par rapport au centre de

l’abaque. Le cercle de centre le centre de l’abaque et passant par yR est le ”2eme lieu de yB2”. On a donc deux


possibilites pour yB2 (les points d’intersection des deux cercles). On choisit arbitrairement l’une des solutions.(ici on lit yB2 = 1 + j1.7).

On avait yB obtenu en partant de yR et en se deplacant deL2

λvers le generateur, on lit alors l’angle normalise

sur l’abaque (towards generator) entre yR et yB , on obtientL2

λ= 0.158, on en deduit alors L2 = 0.16λ + m

λ

2Pour calculer L1 on suit le meme procede en se deplacant de yA vers yA soit en parcourant

L1

λvers le

generateur. (on obtient ici L2 = 0.085λ + nλ

2).


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