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1 3. L’échantillonnage des signaux C’est une nécessité pour le traitement numérique : On ne sait traiter que des données quantifiées Comment reconstituer le signal à temps continu (« analogique ») à partir des échantillons ? Les conditions de Nyquist/Shannon 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1.5 0 1.5 . quelques diapos d’illustration (mouvement stroboscopique) temps

1 3. Léchantillonnage des signaux Cest une nécessité pour le traitement numérique : On ne sait traiter que des données quantifiées Comment reconstituer

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3. L’échantillonnage des signaux

C’est une nécessité pour le traitement numérique :On ne sait traiter que des données quantifiées

Comment reconstituer le signal à temps continu (« analogique ») à partir des échantillons ?

Les conditions de Nyquist/Shannon

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5

0

1.5

.

quelques diapos d’illustration (mouvement stroboscopique)

temps

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2image sous échantillonnée : ‘moiré’ image haute définition

illustration d’un échantillonnage insuffisamment dense en numérisation d’image

http://en.wikipedia.org/wiki/Nyquist%E2%80%93Shannon_sampling_theorem

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Représentation correcte du signal échantillonné(cohérence avec les formalismes mathématiques)

C’est une suite d’impulsions de Dirac modulées en amplitude

ATTENTION : Ne pas confondre avec la sortie d’un bloqueur d’ordre 0 (interprétation erronée courante en traitement d’images !)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5

0

1.5

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5

0

1.5

.

temps

temps

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3.1 Interprétation de l’échantillonnage dans le domaine des fréquences

- Conditions pour que l’information contenue dans le signal ne soit pas perdue :

Théorème de Nyquist Shannon

- Méthode de reconstruction du signal à temps continu : Interpolation idéale à partir des échantillons

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T période fixe d’échantillonnage

dtTnttxTnx ).()().(

Formalisation de l’opération d’échantillonnage en utilisant les impulsions de Dirac

).(.).()( TntTnxtyn

produit de x(t) et de s(t)

n

Tntts ).()(

)().()( tstxty

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5

0

1.5

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5

0

1.5

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160.5

0.5

1.5

.

s(t)

x(t)

y(t)x(t)

t

t

t

T

T

suite régulière d’impulsions de Dirac (‘peigne de Diracs’))(ts

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n

Tntts ).()(

D’après la définition de l’impulsion de Dirac, la transformée S() de s(t) est une fonction périodique de la fréquence : harmoniques de même amplitude aux fréquences multiples de 2/T

k T

kS

..2)(

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160.5

0.5

1.5

.

s(t)

t

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160.5

0.5

1.5

.

S()

2/T

T

dtT

tkt

T

kS

T

T)

...2exp()()

..2(

2/

2/

s(t) : séquence périodique d’impulsions de Dirac (‘peigne’) ;

Calcul de la transformée de Fourier du peigne d’impulsions

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).()..()( TntTnxtyn

produit de x(t) et de s(t) n

Tntts ).()( )().()( tstxty

Dans le domaine temporel

dans le domaine des fréquences, le produit se traduit par une convolution

dSXY )()()(

k T

kS

..2)(

transformée de Fourier

Calcul de la transformée de Fourier du signal échantillonné

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dans le domaine temporel : produit de x(t) par le peigne d’impulsions de Dirac s(t)

dans le domaine des fréquences : convolution de leurs transforméesde Fourier X() et de S()

la convolution de X() par une impulsion (-) décalée de est X(-)

la convolution par le peigne d’impulsions de Dirac (somme d’impulsions décalées) est la somme des répliques décalées : la T.F. du signal échantillonné est la périodisation de la T.F. X() du signal x(t)

X()

(-)

X(-)

X(-)

S()

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9

La transformée de Fourier du produit est une convolution

dSXY )()()(

dT

kXY

k

..2)()(

on remplace S() par son expression

dT

kXY

k

..2)()(

d’après la définition de l’impulsion de Dirac

k T

kXY

..2)(

La transformée de Fourier d’un signal échantillonné est la sommedes répliques décalées de la transformée de Fourier du signal à temps continu

k T

kS

..2)(

Interprétation de l’échantillonnage dans le domaine des fréquences

X(-)

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128 96 64 32 0 32 64 96 1280

2

4

6

.

128 96 64 32 0 32 64 96 1280

1.5

.

128 96 64 32 0 32 64 96 1280

0.2

0.4

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5

0

1.5

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 161.5

0

1.5

.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 160.5

0.5

1.5

.

temps fréquence

impulsions d’échantillonnage T.F. de l’opérateur d’échantillonnage

T.F. périodique du signal échantillonnésignal échantillonné

signal à temps continu T.F. du signal à temps continu

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analyse de l’échantillonnage effet stroboscopique

comment observer un mouvement rapide périodique :en ne visualisant qu’une image sur N

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fréquence faibleFréquence de la rotation

24 fois plus petite que la fréquence

d’échantillonnage

0 1 2 24 Hz.

tempsfréquence

0 1 s

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Mouvement à fréquence positive (convention du sens des aiguilles)

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Changement de signe : fréquence négative

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fréquence moitiéFréquence de la rotation 2 fois plus petite que la fréquence

d’échantillonnage

0 1 2 12.

tempsfréquence

Le sens de rotation n’apparaît plus

0 1 s24 Hz

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16Le sens de rotation n’apparaît plus

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un peu en dessous de la fréquence d ’échantillonnage

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Fréquence de la rotation légèrement pluspetite que la fréquence d’échantillonnage :

le mouvement apparaît inversé

0 1 2-1

.

temps

fréquence

0 1 s

24 Hz

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Au lieu de la fréquence ,

on observe la fréquence - ech

qui est négative

- ech

voir l’effet stroboscopiquecinema télévision

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référencesEffet stroboscopique : Plateau, von Stampfer (1830)Analyse du mouvement, Chronophotographie : Muybridge, Marey (1870)Cinématographe : Edison, Lumière (1890)Théorie de l’échantillonnage pour les transmissions : Nyquist (1928), Shannon (1948)

Consultez les différents sites qui leur sont consacrés !

http://www.essi.fr/~leroux/listen_to_aliasingUne illustration sonore du repliement

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Joseph Antoine Ferdinand Plateau Simon von Stampfer

persistance rétinienne

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Jules Janssen, astronome, 1874Le revolver photographique

Etienne Jules Marey, 1881

Louis Aimée Augustin LE PRINCE 1888

Eadweard J. Muybridge, 1878

Roundhay Garden Scene

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Reconstitution idéale du signal à temps continu

128 96 64 32 0 32 64 96 1280

2

4

6

.

128 96 64 32 0 32 64 96 1280

0.2

0.4

.

éliminer les répliques par filtrage passe bas

condition : elles ne doivent pas se chevaucher

X()=0 pour ||> fréquence d’échantillonnage (signaux réels)

plus généralement largeur du support inférieure à la fréquenced’échantillonnage (signaux complexes)

Théorème de Nyquist Shannon (whittaker, kotelnikov)

remarque : phénomène de Gibbs si le filtrage crée une discontinuité dans la T.F du signal

fréquence

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La fréquence d’échantillonnage est insuffisanteles répliques de X() se chevauchent

X()

Y()

l’augmentation de la fréquence d’échantillonnage va supprimerce chevauchement des répliques et permettre la reconstructiondu signal à temps continu

Y()

ech

ech

transformée de Fourierdu signal échantillonné

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128 96 64 32 0 32 64 96 1280

2

4

6

.

128 96 64 32 0 32 64 96 1280

0.2

0.4

.

réalisation du filtre passe bas dans le domaine temporel

sa réponse impulsionnelle est la transformée de Fourier inversedu créneau

t

tdtjth

.

.sin)..exp(.1

2

1)(

(cas où la période ‘échantillonnage vaut 1)

fréquence

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Réponse impulsionnelle du filtre : transformée inverse du créneau

ech

ech

Tt

Ttth

/.

)/.sin()(

n

echechech

echech nTxTTnt

TTnttx )(.

/)..(

/).(sin)(

16 14 12 10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 160.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

.

reconstitution du signalà temps continu

le résultat du filtrage est une somme de fonctions h(t) décalées de nTech

et modulées en amplitude par les valeurs des échantillons x(nTech)

temps

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n

echechech

echech nTxTTnt

TTnttx )(.

/)..(

/).(sin)(

Aux instants d’échantillonnage nTech

toutes les composantes de la somme sont nulles sauf une qui a pour valeur celle de l’échantillon x(nTech)

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 80.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

.

reconstitution du signalà temps continu

temps

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En pratique

bloqueur d’ordre zéro, interpolation linéaireinterpolation plus élaborée (splines, courbes de Bézier, etc ...)

8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 80.4

0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

.

Inconvénients : Coût, convergence lente

temps

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4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.2

0

0.2

0.4

0.6

DISTORSION APPORTEE PAR DIFFERENTES INTERPOLATIONS

RECONSTRUCTION EXACTE (SINC)

BLOQUEUR (CRENEAU)

INTERPOLATION LINEAIRE (TRIANGLE)

temps

fréquence

½ fréquence d’échantillonnage

période d’échantillonnage

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Echantillonnage d’un signal sinusoïdal

difficulté à interpréter l’allure temporelle d’un signal échantillonné « complexe » sauf parfois dans le domaine des basses fréquences (variations très lentes)

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 501

0

1

.

Ceci est une sinusoïde de fréquence 0.97(les conditions de Shannon sont vérifiées)

on y voit plutôt le battement avec la 1/2 fréquenced’échantillonnage et guère la forme originale

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

0.93

0

.

temps

temps

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Quantification (p. ex. complément à 2), précision

128 bits (jeux video) permettent de mesurer (en angströms =10-10 m) le diamètre de l’univers visible (13,7×109 x 2 années-lumière (1,3×1026 m) )

écart type de l’erreur de quantification pour une précision q : 0.29xq

100

101

110

111

000

001

010

011

offset qerreur de quantificationaprès soustraction del’offset

valeurs quantifiées

diamètre de l'univers visible en angstrom

30 109 3 10

8 365 24 3600 1010 2.838 10

36 . 2128

3.403 1038 .

donnée analogique

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codage en virgule fixe

entiers ? fractionnaires ?

multiplication de 2 nombres de N bits : résultats sur 2.N bits

On n’en conserve que N

poids fort : fractionnaires (entre -1 et +1)

poids faibles : entiers

x

xx

,,

,

,,

,

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codage en « double » IEEE

64 bits

mantisse m 53 bits (avec signe) exposant E 11 bits

x=m*2E

permet d’éviter les débordements au détriment de la précision

attention à l’addition de deux nombres d’ordres de grandeur très différents et à la soustraction de deux nombres très proches

précision 10-15 dynamique 10 300