1

Cosmos

2

• Défi: établir un isomorphisme entre la géométrie du polyèdre (disque, tore, Peano) et (K3/ )*

• Idée: jumeler le disque avec une "courbe de Peano" dans (K3/ )*

• ( graphe d’une colinéation d’ordre maximal )

Univalence de la géométrie

3

Colinéation d’ordre maximal dans (K3/ )*

zyx

ihg

fed

cba

zyx

Les colinéations de (K3/)* ont la forme:

•Elles sont par millions!•Circonscrire un champ de prospection où dénicher une matrice d'ordre 91•Réduction au cas de la transformation du quadruplet "unitaire" en un quadruplet libre quelconque

DCBAekji 1100

1010

1001

4

Polariser la prospection.

• On lance le quadruplet [i, j, k, e] sur lui-même

•et on le fait dévier … pour voir!

5

On en tire une expression matricielle de la forme

10

01

100

Et le champ de prospection passe de 91×90×81×64 = 42,456,960 essais

à … 81

6

Compilation des résultats (avec une HP 48G)

Ordre 0 1 2 01 11 21 02 12 22

0 3 8 13 91 40 80 91 40 80 1 13 13 6 91 24 80 91 24 80 2 8 4 13 80 91 91 80 91 91

01 91 80 91 8 20 80 10 91 40 11 80 91 80 80 91 12 40 16 5 21 40 91 24 20 7 91 91 8 16 02 91 80 91 10 91 40 8 20 80 12 80 91 60 40 6 5 80 91 12

22 40 91 24 91 8 16 20 7 91

Collecte de 24 matrices d’ordre 91!

7

Lancement en orbite de O = [1, 0, 0 ]

Orbite de [1 0 0] sous l'action de

010

01

100

i

Isomorphisme de Z91 sur (K3/)* = { 0, 1, 3, 9, 27, 49 , 56, 61, 77, 81 }

0 10 00 00 23 12 02 10 46 21 01 10 69 11 11 10 1 00 10 00 24 01 01 10 47 02 21 10 70 21 02 10 2 00 00 10 25 02 20 10 48 11 00 10 71 01 12 10 3 02 10 00 26 20 00 10 49 22 10 00 72 22 21 10 4 00 02 10 27 11 10 00 50 00 22 10 73 11 22 10 5 01 20 10 28 00 11 10 51 12 11 10 74 12 01 10 6 20 01 10 29 21 22 10 52 21 21 10 75 02 02 10 7 02 11 10 30 12 10 10 53 11 01 10 76 01 00 10 8 21 00 10 31 10 10 10 54 02 22 10 77 01 10 00 9 12 10 00 32 10 11 10 55 12 00 10 78 00 01 10 10 00 12 10 33 21 10 10 56 10 10 00 79 02 10 10 11 22 12 10 34 10 22 10 57 00 10 10 80 10 00 10 12 22 11 10 35 12 20 10 58 10 01 10 81 21 10 00 13 21 12 10 36 20 20 10 59 02 12 10 82 00 21 10 14 22 02 10 37 20 12 10 60 22 00 10 83 11 21 10 15 01 02 10 38 22 20 10 61 20 10 00 84 11 20 10 16 01 10 10 39 20 10 10 62 00 20 10 85 20 21 10 17 10 02 10 40 10 21 10 63 20 02 10 86 11 10 10 18 01 21 10 41 11 02 10 64 01 22 10 87 10 12 10 19 11 12 10 42 01 11 10 65 12 22 10 88 22 01 10 20 22 10 10 43 21 11 10 66 12 12 10 89 02 01 10 21 10 20 10 44 21 20 10 67 22 22 10 90 02 00 10 22 20 22 10 45 20 11 10 68 12 21 10

Miracle! Les occurrences des points de la droite <O,f(O)>sont les mêmes que sur le disque: { 0, 1, 3, 9, 27, 49 , 56, 61, 77, 81 }

Les géométries de Peano et de Monge sont isomorphes.

8

Projets d’espionnage

• Importer de (K3/ )* en géométrie de Peano

• L’orthogonalité, «» • La métrique • Les points cycliques

• La structure vectorielle «» de (K3/)*• etc

9

Le rapt de la structure vectorielle de (K3/)*

• Installer une métrique suppose qu'on sache diffuser une longueur dans toutes les directions, ce qui pourrait être possible si on détient un "cercle" ou si on possède une relation ""

10

Cercle de

(K3/)*

Conique des auto-conjugués

11

Genome

12

Analyse stellaire,

Après avoir recherché les actions les plus puissantes cherchons les plus fines, les plus discrètes …

les «quanta»

afin d’analyser les actions complexes

13

Étincelles- "atomes d'action"par métaphore nous dirons des quanta

Axe

Graphe d'étincelle

14

Étincelles primitives• Étincelles dont l’axe et le centre appartiennent au repère.

Quelles sont les actions engendrées par ces 6 étincelles ?

15

Puissance des étincelles …

• Comment la mesurer?

• En examinant la transitivité dans

Action sur les atomes

• Sur les couples

• Sur les triplets

• Sur les n-uplets

• etc

16

Caractère ludique des études de transitivité!

Il s’agit par exemple de propulser un point du bord en l’un des sommets …

La manière: transformer un quadruplet libre en une cible …

17

"Base". Système de générateurs

minimal.-

Expression matricielle des étincelles

=

100

020

002

i

i

=

100

010

001 i

=

100

010

001

i

=

100

2220

2022

ii

ii

=

i

i

i

01

01

001

=

i

i

i

10

010

01

18

Fission nucléaire!

• Un quantum se décompose en d’autres.

L'étincelle , par exemple,

peut être reconstituéeau moyen de et .

D’où l’élimination de l’une d’entre elles.

19

• La puissance de l'ensemble des étincelles , , , et , est totale

• Chacune des quelque 42 millions de colinéations projectives peut être régénérée à l'aide de cinq étincelles.

• Un des beaux exemples est certainement celui de la courbe de Peano.

Cosmos énergétique!

20

Génome de la colinéation, , de Peano

= 5 o 2 o 4 o 2 o 3 o 7 o 2 o o o 2

(Nombreux pas)

21

Harmonie cosmique.-• Les millions d'actions possibles dans l'univers

géométrique se décomposent en étincelles {., , , , , }

• Malgré son extrême sobriété, ce système de générateurs est surabondant et peut se réduire à cinq étincelles seulement.

• Ainsi nous est accordée la possibilité de représenter toute action géométrique par une mélodie écrite sur les 5 lignes d'une portée musicale:

• Nous rejoignons ainsi l'harmonie des sphères proposée par Platon dans sa vision du Cosmos.

22

Le rêve de von Staudt

23

Le rêve de von Staudt.-

• «The question arises as to whether or not a pure geometric approach might be made to these imaginary points … The older geometers, Poncelet and Steiner, were never clear on this point.» Klein

24

Réalisations insuffisantes aux yeux de von Staudt:

90

7374

7576

7778

79 80 8182

83 84 85 86 87 89

88

5556

57

5859

6061

62636465666768

69

707172

3536373839404142434445

46

47

48

49

50

51

5253

54

1718

1920212223242526

2728

2930

3132

3334

0 1 2 3 4 5 67

89

1011

1213

141516

25

La matière primitive originale

• Les 13 atomes de la géométrie arguésienne

• donnent lieu à 78 paires,

• donc avec 13+78=91 éléments.

Les 9 points du tic-tac-to.

26

: site de von Staudt• Nouveau substrat: • Les 91 ensembles {x, y} où x, y

viennent de la géométrie arguésienne.

• Si x=y, ce sont les éléments "réels" • Si xy, ce sont les "imaginaires".

• [Analogue pour les droites]

27

Double défi!

1) Importation par isomorphisme depuis (K3/)*

• Il existe 13! = 6 227 020 800 bijections

• possibles avec les 91 éléments de (K3/)*

• Comment choisir?

2) Création directe d’une structure géométrique intrinsèque sur

28

Charge d'une droite réelle.

4 points 6 points doubles

«imaginaires»

29

Charge d'une droite imaginaire.-

Un point réel

9 imaginaires ou points doubles

30

Charge d'un point imaginaire.

Un point imaginaire (double) et sa droite réelle

Les 9 droites imaginaires (doubles) par une point double

31

La droite par 2 points imaginaires(le noir et le rouge)

Un cas plus subtil

32

Conjuguée d’une droite imaginaire