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1 Des équations de Maxwell à l’optique géométrique..................................... 1
1.1 Équations de Maxwell....................................................................................................11.2 L’optique géométrique...................................................................................................2
1.2.1 L’équation de l’iconale.............................................................................................21.2.2 Le vecteur de Poynting en optique géométrique........................................................41.2.3 Équation des rayons lumineux ..................................................................................5
1.3 Exemple du milieu d’indice n(r) ....................................................................................71.4 Optique géométrique paraxiale ...................................................................................10
2 Intégrale paraxiale de Huygens....................................................................16
2.1 Spectre angulaire d’ondes planes ................................................................................162.2 Faisceau optique...........................................................................................................172.3 Propagation à travers un milieu paraxial ...................................................................202.4 Caractéristiques globales de propagation d’un faisceau ............................................24
2.4.1 Moment d’ordre 1 ..................................................................................................242.4.2 Moment d’ordre 2 ..................................................................................................272.4.3 Invariant de propagation.........................................................................................29
2.5 Rayon de courbure effectif...........................................................................................322.6 Rayon de courbure effectif complexe ..........................................................................35
3 Modes naturels du système optique ABCD .................................................39
3.1 Introduction .................................................................................................................393.2 Divergence minimale d’un faisceau.............................................................................393.3 Propagation du faisceau gaussien................................................................................453.4 Génération d’un faisceau gaussien ..............................................................................48
4 Résonateur optique .......................................................................................52
4.1 Résonateur sphérique ..................................................................................................524.1.1 Analyse de l’optique géométrique...........................................................................534.1.2 Résonateur à modes non confinés (instable)............................................................554.1.3 Résonateur à modes confinés (stable) .....................................................................634.1.4 Résonateur à conjugaison de phase.........................................................................67
4.2 Équations intégrales des résonateurs ouverts .............................................................704.2.1 Résonateurs à modes confinés ................................................................................724.2.2 Solution asymptotique du résonateur à modes non confinés....................................744.2.3 Résonateurs à conjugaison de phase .......................................................................784.2.4 Résonateurs à miroir de réflectivité gaussienne.......................................................80
1
1 Des équations de Maxwell à l’optique géométriqueLa génération et la propagation de la lumière sont régies par les lois de
l’électrodynamique. En particulier, les équations de Maxwell, associées aux conditions auxlimites des champs électrique et magnétique et d’un modèle physique du milieu de propagation,grâce aux équations de constitution, permettent la description exacte de la propagation de lalumière générée par une source. Cependant, sauf pour quelques cas particuliers, une solutionexacte est extrêmement difficile à décrire en termes mathématiques pratiques. C’est pourquoiplusieurs théories approximatives ont été introduites pour décrire simplement la propagation de lalumière.
La plus utilisée, pour décrire la distribution transverse d’un champ scalaire, est, certes, lathéorie de diffraction dérivée sous forme d’une intégrale de propagation à partir de l’équationd’onde. D’autre part, la théorie de propagation la plus simple est la théorie des rayons obtenuedans le cadre de l’approximation de l’optique géométrique. Cette approche permet d’analyser lapropagation des rayons, au travers des systèmes optiques complexes, au moyen de matrices detransfert pour chacun des éléments. Depuis l’invention des lasers et, suite aux nombreusesapplications pratiques de ceux-ci, la propagation de faisceau a été étudiée abondamment. Unethéorie scalaire de propagation, basée sur les matrices de l’optique géométrique et l’intégrale dediffraction, a été développée et est devenue d’usage courant. C’est cette nouvelle théorie depropagation que nous comptons dériver et utiliser dans les chapitres suivants.
Afin de bien situer l’optique géométrique dans le cadre d’une approximation de la théorieélectromagnétique, nous rappelons, dans ce chapitre, les fondements de la théorie des rayons et,en particulier, la théorie matricielle des rayons paraxiaux.
1.1 Équations de MaxwellNous considérons, d’abord, la propagation de la lumière dans un milieu inhomogène,
isotrope, linéaire et sans perte, décrite parfaitement par les équations de Maxwell:
v v
v
∇ × = −(
%∂∂t
. (1.1.1)
vv
v
∇ × = −+
'∂∂t
. (1.1.2)
et les relations de constitution suivantes:
+%vv
0µ= . (1.1.3)
vv
' (= ε 02n . (1.1.4)
Notez qu’ici, l’indice de réfraction n peut dépendre des coordonnées de l’espace: x, y, z(n(x,y,z)).
2
Nous savons qu’une distribution spectrale quelconque, des sources qui génèrent leschamps ( et +, peut s’analyser au moyen de la théorie de Fourier comme une superpositiond’ondes sinusoïdales. Ce qui nous amène à étudier, d’abord, une dépendance sinusoïdale pure deschamps, en introduisant la notation phaseur pour la fréquence angulaire, ω:
{ }tiezyxEtzyx ω),,(Re),,,(vv
=( , (1.1.5)
( ) ( ){ }tiezyxHtzyx ω,,Re,,,vv
=+ (1.1.6)
Les équations de Maxwell, pour les phaseurs v
E et v
H , deviennent:
vv v
∇ × = −E ik H0 0η , (1.1.7)
Ek
inHrvv
0
02
η=×∇ . (1.1.8)
Nous avons introduit, ici, l’impédance du vide, η µ ε0 0 0= , et le nombre d’onde, k c0 = ω ,
afin de se conformer aux usages de l’optique moderne qui préfère spécifier la fréquence de lasource à partir de la longueur d’onde dans le vide λ où k 0 2= π λ .
Ces deux équations vectorielles et couplées, associées aux équations de continuité deschamps parallèles aux interfaces d’un système, permettent, en principe, l’étude complète d’unsystème optique.
1.2 L’optique géométriqueLorsque la longueur d’onde λ de la source est beaucoup plus petite que les dimensions des
éléments formant le système optique, on montre que les équations de Maxwell peuvent sesimplifier grandement. Cependant, une description très partielle de la propagation des champsélectrique et magnétique est obtenue.
1.2.1 L’équation de l’iconaleOn cherche des solutions des équations de Maxwell (1.1.7 et 1.1.8) sous la forme
suivante:
ϑ00
ikeEE −=vv
, (1.2.1)
ϑ00
ikeHH −=vv
, (1.2.2)
où v
E 0 , v
H0 , ϑ et n sont des fonctions de x, y, z. Notez bien que la phase fait intervenir le vecteurd’onde ko du vide et non celui du milieu (k = nko ) où se propage l’onde. Utilisant des identitésvectorielles bien connues, on montre que les équations de Maxwell (1.1.7 et 1.1.8) deviennent:
3
( ) 00
00
2
0
1E
ikH
nE
rvvrv
×∇=+×∇η
ϑ , (1.2.3)
( ) 00
00
2
0
1H
ikE
nH
vvvvv
×∇=+×∇η
ϑ . (1.2.4)
Lorsque la longueur d’onde λ est très petite (ko → ∞) par rapport aux dimensions desfrontières rencontrées, on peut négliger le rotationnel du côté droit des équations de Maxwell quideviennent:
vv v
∇ × − =ϑ ηE H0 0 0 0 , (1.2.5)
000
2
0 =+×∇ En
Hvvv
ηϑ . (1.2.6)
Ces deux équations vectorielles couplées sont, en fait, six équations scalaires homogènes.On sait qu’on peut trouver des solutions non nulles seulement si le déterminant est nul. Pourtrouver le déterminant, on découple les équations en remplaçant la valeur de Ho, obtenue en(1.2.5), dans l’équation (1.2.6) pour obtenir:
( ) 002
0 =+×∇×∇ EnEvvvv
ϑϑ . (1.2.7)
Au moyen de l’équation (1.2.6), on montre:
vv
∇ ⋅ =ϑ E 0 0 . (1.2.8)
Ce résultat permet de simplifier l’équation (1.2.7) et d’écrire que:
[ ] 002 =−∇⋅∇ En
vvv
ϑϑ . (1.2.9)
Puisqu’on s’intéresse à des solutions non triviales (Eo ≠ 0), on doit conclure que lafonction ϑ(x,y,z) obéit à l’équation différentielle suivante:
v
∇ =ϑ2 2n . (1.2.10)
Cette équation est connue sous le nom d’équation de l’iconale (du grec eikon qui signifiepetite image). Cette équation s’écrit explicitement en coordonnées cartésiennes:
∂ϑ∂
∂ϑ∂
∂ϑ∂x y z
n x y z
+
+
=2 2 2
2 ( , , ) .
4
Pour un milieu optique d’indice n(x,y,z), il faut, d’abord, résoudre l’équation iconaleavant de chercher, au moyen des équations (1.2.5 et 1.2.6), les champs Eo et Ho. Cependant,l’optique géométrique consiste à s’intéresser uniquement à cette phase iconale et à négliger lecalcul de Eo et Ho qui serait une solution de premier ordre pour les champs exacts.
1.2.2 Le vecteur de Poynting en optique géométriqueSelon les lois de l’électromagnétisme, la densité de puissance lumineuse se propage selon
le théorème de Poynting:
{ }∗×= HESvvv
Re2
1. (1.2.11)
D’après l’approximation de l’optique géométrique, le vecteur de Poynting moyen s’écrit:
{ }v v v
S E H= × ∗1
2 0 0Re . (1.2.12)
En remplaçant Ho par son expression (1.2.5), on peut réécrire l’équation (1.2.12):
( ){ }*00
*00
0
Re2
1EEEESvvvvvvv
ϑϑη
∇⋅−∇⋅=
En se servant du résultat (1.2.8), on obtient, finalement:
ϑη
∇⟨=⟩vvv 2
002
1ES . (1.2.13)
D’autre part, on sait que la densité moyenne d’énergie magnétique est égale à la densitémoyenne d’énergie électrique. La densité totale d’énergie W peut donc s’écrire:
2
0022
0 2
1
2
1EnEWvv
εε == . (1.2.14)
En terme de cette quantité, le vecteur de Poynting devient:
vv
S Wc
n= ∇
2ϑ ,
où c est la vitesse de la lumière dans le vide. Par ailleurs, on sait que la vitesse de la lumière dansun milieu d’indice n est v = c/n et, en utilisant l’équation de l’iconale (1.2.10), on montre que:
ϑϑ
∇∇=v
v
v
vWS .(1.2.15)
5
Ce résultat nous dit que, selon l’approximation de l’optique géométrique, la puissance
transportée suit une trajectoire perpendiculaire (v
∇ϑ ) à la fonction iconale. Ceci nous amène,alors, à nous intéresser à ces trajectoires que l’on nomme rayons géométriques.
1.2.3 Équation des rayons lumineuxPour trouver la description mathématique représentant la trajectoire des rayons lumineux,
nous allons définir un vecteur unitaire dsrdas
vv = , où drv
désigne l’accroissement du vecteurv
r ,
reliant l’origine des coordonnées à un point du rayon lumineux; ds représente l’accroissement del’arc du rayon (voir figure 1.1).
Figure 1.1 Géométrie utilisée pour l’équation des rayons
Ce vecteur est tangent aux rayons et, donc, par définition, perpendiculaire aux fronts dephase:
( ) ( )v
v
v
v
v
adr
ds ns ≡ =∇
∇=
∇ϑ
ϑ
ϑ,
c’est-à-dire que:
v
v
∇ =ϑ ndr
ds. (1.2.16)
L’équation des rayons s’obtient en prenant le gradient de l’équation iconale (1.2.10), soit:
( ) nn∇=∇∇⋅∇vvv
22 ϑϑ . (1.2.17)
6
Des équations (1.2.16) et (1.2.17), on trouve:
dr
dsn
dr
dsn
v
v
v
v
⋅ ∇
= ∇ . (1.2.18)
On rappelle que la dérivée par rapport à la variable locale s s’écrit:
d
ds
dr
ds= ⋅ ∇
v
v
.
Ce qui permet d’écrire l’équation (1.2.18) sous la forme:
d
dsn
dr
dsn
v
v
= ∇ . (1.2.19)
Cette équation est l’équation de la trajectoire des rayons v
r pour la coordonnée locale s.
L’équation de l’iconale (1.2.10) et l’équation des rayons (1.2.19) sont deuxdescriptions alternatives et complémentaires de l’optique géométrique.
Exercice 1.1
On peut aussi obtenir l'équation de l'iconale en cherchant une solution de l'équationd'onde:
∇ + =2 202 0Ψ Ψn k
et en posant que:
Ψ Ψ ϑ= −0
0e ik
En vous servant d'identités vectorielles et différentielles montrez que l'équation d'ondedevient:
( ) ( ) ( ) 0211
02
02
00
02
20
0 =
Ψ−∇⋅∇−∇⋅Ψ∇+∇Ψ+Ψ∇− n
ikke ik ϑϑϑϑϑ vvvv
Lorsque k0 → ∞, des solutions non triviales de cette équation sont obtenues, seulement si:
v
∇ =ϑ2 2n
7
Exercice 1.2
Pour un milieu homogène (n ≠ n(x,y,z)), montrez que les trajectoires des rayons sont desdroites.
1.3 Exemple du milieu d’indice n(r)Un système optique possède souvent un profil d'indice à symétrie circulaire n(r). Citons
comme exemples: la fibre optique à profil d'indice, les composants optiques de type GRIN et, enparticulier, les éléments SELFOC.
Afin de solutionner l'équation des rayons (1.2.19), on introduit le rayon vecteur v
r encoordonnées cylindriques:
zr azarrvvv += , (1.3.1)
et sa dérivée par rapport à s:
zr ads
dza
ds
dra
ds
dr
ds
rd vvv
v
++= φφ
(1.3.2)
puisque da
ds
d
dsar
v
v= φφ ,
et da
ds
d
dsar
v
vφ φ= −
.
L'équation des rayons (1.2.19) devient alors:
( ) rzr adr
dnrna
ds
dzn
ds
da
ds
dnr
ds
d
ra
ds
dnr
ds
drn
ds
d v
v
vvv
=∇=
+
+
−
φφφ 2
21
(1.3.3)
Le gradient de n(r) étant seulement dans la direction radiale v
ar , on trouve deux constantes de la
trajectoire r(φ,z) en égalant à zéro la composante v
aφ :
n r rd
dsC( ) 2
1
φ= , (1.3.4)
et la composante v
az :
8
n rdz
dsC( ) = 2 . (1.3.5)
La composante radiale v
ar nous amène l'équation suivante:
d
dsn
dr
dsnr
d
ds
dn
dr
−
=
φ 2
. (1.3.6)
La relation (1.3.5) permet d'introduire l'opérateur nd
dsC
d
dz= 2
, qui change l'équation (1.3.6),
après l'élimination du terme dds
φ
, grâce à la relation (1.3.4), en l'équation suivante:
Cd r
dz
C
r
dn
dr22
2
212
3
21
20− − = . (1.3.7)
En combinant les relations (1.3.4) et (1.3.5), on montre que:
d
dz
C
C r
φ=
1
22
1. (1.3.8)
Ces deux dernières équations différentielles définissent la trajectoire r(φ,z), des rayons dumodèle de l'optique géométrique, indépendamment de la coordonnée locale s de la trajectoire.Pour un n(r) donné, on solutionne l'équation (1.3.7) pour r(z) et, par la suite, on obtient ladépendance φ(z) au moyen de l'équation (1.3.8). Les deux constantes de la trajectoire des rayons
C1 et C2 peuvent se calculer en spécifiant les valeurs de d
ds
φet de
dz
ds pour un rayon donné en un
plan de référence (e.g. z = 0). En particulier, si d
ds
φ
= 0 en un plan, on a que C1 = 0 et, ainsi,
d
dz
φ= 0. C'est-à-dire que φ demeure constant pour tout plan z; on a alors un rayon méridien. De
plus, si, dans un plan z particulier, r = 0, la relation (1.3.4) nous donne C1 = 0. Dans ce cas, nousaurons nécessairement un rayon méridien. En optique géométrique, on s'intéresse généralement
aux rayons méridiens d
ds
φ=
0 et non aux rayons hélicoïdaux
d
ds
φ≠
0 . La constante C2 peut
s'écrire en terme de l'angle θ, fait par un rayon méridien, au moyen de la relation:
cosθ =dz
ds. (1.3.9)
En particulier, si on évalue la constante C2 en un plan z où le rayon méridional fait un angle θ0 àune hauteur r0, on obtient:
C n r2 0 0= ( ) cosθ , (1.3.10)
et, l'équation des rayons méridionaux s'écrit, finalement:
9
n rd r
dz
dn
dr2
02
0
2
2
21
20( ) cos θ − = . (1.3.11)
Afin de bien visualiser ce résultat, on analyse le cas du milieu d'indice parabolique:
n r n r202 2 21( ) ( )= − α . (1.3.12)
On montre alors que la solution de l'équation des rayons s'écrit comme:
r rz
F
F z
F= +0 cos tan sin
ππ
θπ
, (1.3.13)
où Fn r
n=
π θα
( ) cos0
0
. (1.3.14)
Figure 1.2 Rayons méridionaux d’un profil parabolique
Figure 1.3 Rayons méridionaux d’un profil SELFOC
La figure 1.2 nous montre la trajectoire des rayons méridionaux pour la condition initiale
r0= 0, et différentes conditions dr
dz z
=
=00tanθ pour la pente du rayon à l'entrée. On note que le
rayon rencontre l'axe z à des distances différentes, pour des pentes initiales θ0 différentes. Ceci
10
est une conséquence de la dépendance du paramètre F sur l'angle θ0 (1.3.14). Il s'ensuit alorsqu'un point source n'est pas parfaitement imagé par un composant optique parabolique. D'autrepart, un composant optique de profil n r n h r( ) sec ( )= 0 α permet de réaliser un élément optiquestigmatique (voir figure 1.3) qui image parfaitement un point source (voir exercice 1.3).
Exercice 1.3
Montrez que le profil d'indice SELFOC n r n h r( ) sec ( )= 0 α permet d'imager parfaitement
un point source à une distance F =πα
.
Exercice 1.4
Montrez que la hauteur maximum rmax atteinte par un rayon méridien de pente θ0 sur l'axe,peut être calculée au moyen de la relation suivante:
n r n( ) cosmax = 0 0θ
1.4 Optique géométrique paraxialeNous sommes particulièrement intéressés à l’étude de la propagation de faisceaux laser.
Un faisceau est caractérisé par un pinceau de lumière dont la divergence est faible. Les rayons del’optique géométrique, correspondants à ce type de distribution, seront caractérisés par des anglesdr
dz faibles et seront concentrés au voisinage de l’axe, lors de leur propagation. La description
géométrique d’un faisceau se fera donc, essentiellement, par un ensemble de rayons méridionauxde pente θ suffisamment petite, de sorte que les approximations tgθ ≈ θ et cosθ ≈ 1 soientjustifiées. L’équation de ces rayons méridionaux (1.3.11) s’écrira donc:
n rd r
dzn r
dn
dr2
0
2
20( ) ( )− = . (1.4.1)
De plus, pour un faisceau paraxial, les rayons s’éloignent très peu de l’axe de propagation,de sorte que, l’approximation n r n r n n( ) ( ) ( )≈ ≈ =0 00 est valide. Ceci permet de simplifierdavantage l’équation des rayons qui devient:
nd r
dz
dn
dr0
2
20− = . (1.4.2)
Cette dernière équation est l’équation des rayons paraxiaux pour un milieu d’indice cylindriquen(r). Pour un milieu d’indice plus général n(x,y,z), on note que l’équation des rayons paraxiauxpeut s’obtenir de l’équation (1.2.19), en supposant l’approximation ds ≈ dz.
11
Puisqu’on veut, ici, limiter l’analyse aux rayons paraxiaux, il faut s’assurer que le milieuoptique de propagation supporte cette condition. C’est-à-dire qu’il faut exiger que n(r)corresponde à un milieu paraxial. Le milieu optique le plus général, qui satisfait cette condition,est le milieu d’indice parabolique:
n r n r( ) = −
0
221
2
α. (1.4.3)
En effet, puisqu’on exige que les rayons demeurent proche de l’axe, le milieu optique peut, entoute généralité, être décrit par un développement en série de son indice n(r), limité au deuxièmeordre. Pour ce milieu d’indice parabolique, l’équation des rayons (1.4.2) devient:
d r
dzr
2
22 0+ =α . (1.4.4)
La solution de cette équation différentielle, avec les conditions aux limites r(0) = r0 etdr
dz z
==0
0θ , s’écrit simplement:
r r z z= +00cos( ) sin( )α θ
αα . (1.4.5)
La trajectoire des rayons est donc décrite par des fonctions sinusoïdales, selon une trajectoireidentique à celle de la figure (1.3). Notez qu’en fait le milieu parabolique est le milieu parfait(stigmatique) lorsque le point source ne contient que des rayons paraxiaux (θ0 très petit).
Dans le cadre de l’optique géométrique, on est intéressé à suivre la trajectoire d’un rayon
caractérisé par sa hauteur r et sa pente θ = dr
dz. Pour le milieu parabolique, la pente, dérivée de
l’équation (1.4.5), devient:
)cos()sin( 00 zzr αθααθ +−= . (1.4.6)
Il est d’usage, en optique géométrique, de définir le rayon au moyen du vecteur r
θ
, de
sorte que les équations de propagation (1.4.5) et (1.4.6) s’expriment comme le produit matricielsuivant:
( ) ( )( ) ( )
r z z
z z
r
θα
αα
α α α θ
=
−
cos sin
sin cos
10
0
. (1.4.7)
12
Notez que le déterminant de la matrice est égal à un.Puisque le milieu d’indice parabolique est le milieu le plus général en optique paraxiale,
la propriété matricielle (1.4.7) est tout à fait générale et, on peut conclure que tout système
optique paraxial peut se décrire en terme du vecteur d’entrée, r
entré eθ
, et du vecteur de sortie,
r
sortieθ
, de ses rayons géométriques, au moyen de l’équation matricielle:
r A B
C D
r
sortie entré eθ θ
=
. (1.4.8)
Par exemple, une translation dans un milieu d’indice constant no correspond au milieuparabolique lorsque le paramètre α = 0. On obtient alors la matrice de translation:
1
0 1
z
.
Cependant, si la translation se fait à partir d’un milieu d’indice n1, dans un milieu d’indiceno sur une distance z,, avec sortie du rayon dans un milieu d’indice n2, il faut appliquer la loi deSnell sous sa forme paraxiale (n1θ1 = n2θ2). Par exemple, si on cherche la matrice de transfert dusystème optique, décrit à la figure (1.4), on trouve que:
r rzn
n2 11 1
0
= + θ,
n n2 2 1 1θ θ= .
(1.4.9)
Figure 1.4
Afin de garder, pour tout système optique, la propriété simple AD - BC = 1, il est d’usagede définir le vecteur du rayon en termes de sa pente réduite, nΘ, où n est l’indice du milieu où estmesuré l’angle. La forme matricielle de l’équation (1.4.9) devient alors:
13
r
n
z
nr
n2
2 20
1
1 1
1
0 1θ θ
=
. (1.4.10)
Pour ce vecteur, avec pente réduite, la matrice du milieu parabolique s’écrira:
( ) ( )( ) ( )
r
n
zn
z
n z z
r
nθα
αα
α α α θ
=
−
cos sin
sin cos
1
0
0
0
0 0
. (1.4.11)
La matrice de transfert d’une lentille mince peut, à la rigueur, s’obtenir de la matrice d’unmilieu parabolique d’épaisseur z → 0 mais, de paramètre α → ∞. Cependant, il est plus simple dela calculer au moyen des lois habituelles de l’optique paraxiale. La table (1.1) nous décrit lesmatrices de transfert ABCD des éléments optiques les plus usuels qui servent à composer unsystème optique général. Notez qu’une matrice globale de transfert, d’un système formé deplusieurs éléments représentés par une matrice correspondante, s’obtient par calcul matriciel.Cela simplifie grandement l’analyse de tel système. De plus, puisque le déterminant d’un produitde matrices est égal au produit des déterminants de chacune d’elles, il s’ensuit que la propriétéAD - BC = 1 est conservée pour la matrice globale du système.
Table 1.1Matrices de propagation, pour un faisceau paraxial, dans différents éléments optiques
(a) Propagation dans le vide, indice no, longueur L
1
0 10L n/
(b) Lentille mince, longueur focale f
1 0
1 1−
/ f
14
(c) Miroir courbe, rayon R, incidence normaleR > 0 pour un miroir concave
1 0
2 1−
/ R
(d) Miroir courbe, incidence arbitraireRe = R cosθ dans le plan d’incidence (tangentiel)Re = R / cosθ ⊥ au plan d’incidence (sagittal)
1 0
2 1−
/ Re
(e) Interface diélectrique courbe, incidence normaleR > 0 pour une surface concave
1 0
12 1( ) /n n R−
(f) Interface courbe, incidence arbitraire, plan tangentielR > 0 pour une surface concave; n1 sinθ1 = n2 sinθ2
∆ne = (n2 cosθ2 - n1 cosθ1) / cosθ1 cosθ2
cos
cos
/cos
cos
θθ
θθ
2
1
1
2
0
∆n Re
15
(g) Interface courbe, incidence arbitraire, plan sagittalR > 0 pour une surface concave; n1 sinθ1 = n2 sinθ2
∆ne = n2 cosθ2 - n1 cosθ1
1 0
1∆n Re /
(h) Région d’indice et de gain variables radialementn(x) = no - ½ n2 x
2 ; α2 = n2 / no
cos ( ) sin
( ) sin cos
α α αα α α
z n z
n z z0
1
0
−
−
16
2 Intégrale paraxiale de Huygens
2.1 Spectre angulaire d’ondes planesNous cherchons, maintenant, à déterminer une intégrale de propagation (propagateur)
pour l’amplitude scalaire U(x,y,z) d’un champ électromagnétique se propageant dans un systèmeoptique. L’amplitude du champ U obéit à l’équation de Helmholtz:
∂∂
∂∂
2
2
2
22 0
U
x
U
zk U+ + = k =
2πλ
. (2.1.1)
L’axe z correspond à l’axe optique de propagation. Nous limitons le problème, dans unpremier temps, à un champ ayant une dépendance transverse selon la variable x seulement, et ce,dans le but de simplifier l’analyse.
Par séparation des variables x et z, on obtient les solutions élémentaires de l’équation(2.1.1) sous la forme:
( ) [ ]zkxkie
zxezxU +−=, . (2.1.2)
avec la condition k k kz x2 2 2= − .
La solution générale s’obtient suite à une superposition de ces ondes élémentaires, pourles diverses constantes de propagation transverses kx d’amplitude S(kx):
( ) ( )∫∞
∞−
−+−
= x
zkkxki
x dkekSzxUxx22
2
1,
π. (2.1.3)
On suppose, maintenant, que l’amplitude du champ est connue en un plan z particulier.On choisit ce plan à z = 0, ce qui est tout à fait général, et on obtient:
U x U x S k e dkxik x
xx( , ) ( ) ( )0
1
20= =
−∞
∞−∫π
. (2.1.4)
On constate qu’en ce plan z = 0, l’amplitude U0(x) correspond à la transformée de Fourierde l’amplitude spectrale S(kx). Puisque U0(x) est supposée connue, on obtient par transformée deFourier inverse l’amplitude spectrale:
S k U x e dxxik xx( ) ( )=
−∞
∞
∫1
20 0 0
0
π. (2.1.5)
Combinant, maintenant, les équations (2.1.3) et (2.1.5):
17
U x z U x e e dk dxi x x k i k k zx
x x( , ) ( ) ( ) ²= − −
−∞
∞− −
−∞
∞
∫∫1
2 0 0 00
2
π. (2.1.6)
On obtient, ainsi, une solution de l’équation d’Helmholtz pour l’amplitude du champ, entout plan z, à partir de sa valeur à z = 0.
Les solutions élémentaires de l’équation (2.1.2) peuvent s’analyser comme des ondesplanes se propageant dans une direction θ par rapport à l’axe z, en posant:
k kx = sinθd’où k kz = cosθ . (2.1.7)
On peut donc écrire:
U x z eeik x z( , ) ( sin cos )= − +θ θ . (2.1.8)
Figure 2.1
On interprète, alors, le résultat de l’équation (2.1.6) comme une superposition d’ondesplanes ayant des directions de propagation θ dans le plan (x,z) (voir la figure 2.1). Notez que cesangles θ vont non seulement de −π/2 à +π/2 mais, qu’on doit, aussi, tenir compte d’anglesimaginaires correspondants à des ondes évanescentes.
2.2 Faisceau optiqueNous sommes intéressés à développer des outils mathématiques simples qui nous
permettraient de suivre, dans un système optique courant, un champ électromagnétique générépar des sources habituelles comme, par exemple, des lasers. Ces sources génèrent, normalement,un champ électromagnétique qui se propage dans l’espace libre en conservant son intensité prèsd’un axe rectiligne. En d’autres mots, ces sources possèdent généralement une faible divergence(e.g. laser à gaz, θD ≅ mrad; diode, θD ≅ 2°). On comprend, donc, que leur contenu spectral soit
18
formé d’ondes planes ayant des angles θ petits; c’est-à-dire que l’amplitude de spectre S(kx)décroîtra très vite avec l’augmentation de kx pour ce type de source. Nous qualifions de faisceauoptique ce type de champ électromagnétique.
Puisqu’un faisceau optique possède un spectre ayant presque uniquement des angles petits(θ << π/2), on peut se permettre de faire l’approximation suivante sur les ondes planesélémentaires de l’équation (2.1.2):
kx << k,
et k k kk
kxx2 221
2− ≅ − .
(2.2.1)
La solution formelle de l’équation d’Helmholtz, obtenue à l’équation (2.1.6), devient:
( ) ( )( )
∫ ∫∞
∞−
∞
∞−
−−−
−= x
kk
zkxxi
ikz dkdxexUezxUxx
02
00
20
2
1,
π. (2.2.2)
Ce dernier résultat se simplifie grandement en utilisant l’intégrale suivante:
( )e dxp
ep x qx
q
p− +
−∞
∞
∫ =2 2
2
24π, (I1)
Cette intégrale nous servira si souvent que nous la référerons comme équation (I1).
pour effectuer l’intégration sur kx. On obtient ainsi:
U x z ei
zU x e dxikz
i
zx x
( , ) ( )( )
= −
−∞
∞ −−
∫λ
πλ
0 0 0
02
. (2.2.3)
L’équation (2.2.3) est un propagateur simple qui nous donne la solution de l’équationd’Helmholtz en tout plan z et ce, à partir d’une distribution donnée du champ à z = 0, sous lacondition que le faisceau initial soit paraxial, i.e. que son spectre angulaire ne contienne que desangles très petits.
L’intégrale de l’équation (2.2.3) est connue sous plusieurs appellations. En particulier, onrencontre souvent l’appellation l’intégrale de Kirchhoff-Fresnel puisqu’elle peut aussi êtredérivée au moyen du formalisme de Kirchhoff pour la solution de l’équation de Helmholtz, en yajoutant l’approximation, suggérée par Fresnel, du chemin optique parabolique (i.e. paraxial).D’autre part, la formulation de Kirchhoff étant la confirmation formelle de l’idée des ondelettesde Huygens, on appelle encore cette intégrale l’intégrale de Huygens.
19
Ici, nous avons, au cours de sa dérivation, montré clairement que cette intégrale est unebonne approximation sous la condition que le champ soit un faisceau paraxial, au sens du contenude son spectre angulaire. Nous l'appellerons donc l’intégrale paraxiale de Huygens.
Il est d’usage de poser:
U x z e u x zikz( , ) ( , )= − . (2.2.4)
L’amplitude du faisceau u(x,z) est alors donnée par:
u x zi
zu x e dx
i
zx x
( , ) ( )( )
=−∞
∞ −−
∫λ
πλ
0 0 0
02
. (2.2.5)
Notez, alors, que cette forme n’est plus une approximation représentant des ondelettes deHuygens. C’est pourquoi nous appellerons l’intégrale de l’équation (2.2.5) le propagateurparaxial.
L’équation d’Helmholtz (2.1.1), pour l’amplitude u(x,z), devient:
∂∂
∂∂
∂∂
2
2
2
22 0
u
xik
u
z
u
z− + = . (2.2.6)
Cependant, vous pouvez montrer rapidement que l’équation différentielle satisfaisant le résultatde l’équation (2.2.5) s’écrit:
∂∂
∂∂
2
22 0
u
xik
u
z− = . (2.2.7)
On doit alors conclure que l’approximation paraxiale du spectre du faisceau, que nous avonseffectuée pour obtenir l’équation (2.2.5), peut être obtenue en négligeant le terme ∂2u/∂z² devantles deux termes, c’est-à-dire:
∂∂
∂∂
2u
zk
u
z²<< ,
et ∂∂
∂∂
2u
z
u
x²
²
²<< .
(2.2.8)
Par contre, les relations (2.2.8), a priori, ne définissent pas clairement le type de champqui possède ces propriétés. Notre analyse spectrale nous a, cependant, clairement indiqué que lepropagateur (2.2.5) s’applique pour un champ électromagnétique formé par un ensemble d’ondesplanes se propageant près de l’axe z.
20
Exercice 2.1
Faisceau gaussien
La sortie d’un laser monomode possède souvent une distribution, à sa sortie, représentablepar une gaussienne:
u x u ex
w0 00
02
( )²
=−
où w0 est la largeur type.
1) Calculez l’amplitude de ce faisceau pour tout plan z.2) Montrez que les approximations de l’équation (2.2.8) seront respectées si w0 >> λ.3) Calculez le spectre S(θ) de ce faisceau au moyen de l’équation (2.1.5).
4) Montrez que la largeur type du spectre s’écrit θ λπD w
=0
lorsque w0 >> λ.
Cet exercice vous permettra de faire un lien direct et simple entre les approximations courantes(2.2.8) et l’approximation paraxiale du spectre.
2.3 Propagation à travers un milieu paraxialComme nous l'avons déjà montré, un système optique paraxial se décrit simplement au
moyen d'une matrice de transfert (ABCD), pour un rayon défini par sa hauteur x et sa pente θ.Notre objectif, maintenant, est de généraliser le propagateur paraxial de l'espace libre (2.2.5),pour la propagation d'un faisceau u1(x). Après son passage à travers un système optique général(ABCD), ce faisceau sera décrit par une distribution u2(x) (Figure 2.2).
Figure 2.2
Nous savons qu'un faisceau U(x) peut se décomposer en une somme d'ondes planes ayantdes directions de propagation θ. L'amplitude de ces ondes planes et paraxiales (sinθ ≈ θ) secalcule au moyen de la transformée de Fourier (2.1.5) soit, pour l'approximation paraxiale:
S U x e dxik x( ) ( )θπ
θ=−∞
∞
∫1
2. (2.3.1)
21
Pour calculer la transformation du faisceau U1(x) après son passage à travers un système optique(ABCD), il suffit d'appliquer la loi de transformation du système à chacune de ces ondes planeset de reconstruire, à la sortie, le nouveau faisceau U2(x).
L'amplitude de chaque onde plane de l'entrée S1(θ1) est changée, à la sortie, en uneamplitude S2(θ2). Cette amplitude, S2(θ2), sera proportionnelle à l'amplitude S1(θ1) mais, aurasubit un changement de phase relié au chemin optique parcouru. On écrit donc:
( ) ( ) ( ) ( )211122
xxikeScteS Φ−= θθ . (2.3.2)
La loi de transformation du système ABCD s'écrit:
x A B
C D
x2
2
1
1θ θ
=
, (2.3.3)
ce qui permet de relier l'angle θ1 aux coordonnées de sortie de l'onde plane (θ2,x2) au moyen de larelation:
θ θ1 2 2= −A Cx . (2.3.4)
D'autre part, un tel système paraxial conserve l'énergie i.e.:
S d S d1
2
1 2
2
2θ θ−∞
∞
−∞
∞
∫ ∫= . (2.3.5)
Cette dernière relation fixe la constante de proportionnalité de l'équation (2.3.2) à A . Cetteéquation devient donc:
( ) ( ) ( )2122122
xxikeCxASAS Φ−−= θθ . (2.3.6)
Le chemin optique, parcouru par une onde entrant en un point x1 avec un angle θ1 dans unsystème optique et, sortant en un point x2 et un angle θ2, est donné (voir exercice 2.2) par:
Φ( ) ( )x x L x xo1 2 2 2 1 1
1
2= − −θ θ , (2.3.7)
où Lo est la longueur du chemin optique sur l'axe. Notez que cette longueur Lo doit être spécifiée,en plus des éléments ABCD, pour définir complètement un système paraxial. En utilisantl'équation matricielle (2.3.3), on montre que Φ( )x x1 2 peut s'écrire en termes des variables desortie x2 et θ2:
Φ = − + −L CDx AB BCxo
1
222
222
2 2( )θ θ . (2.3.8)
22
L’amplitude du faisceau de sortie U2(x) peut maintenant être reconstituée, à partir de son spectre,au moyen de la relation:
( ) ( )∫∞
∞−
−= 2222222
2θθ
πθ deS
kxU ikx . (2.3.9)
En remplaçant S2 par son expression (2.3.6), on écrit:
( ) ( ) ( )∫∞
∞−
−+− −= 2
22
22122
2222
22
0
2θθ
πθθ
deCxASeAk
xUADxABCDx
ikikL . (2.3.10)
Comme indiqué précédemment, le spectre S1 peut s'écrire en terme du faisceau incident,au moyen de l'équation (2.3.1) qui devient:
( ) ( ) ( )∫∞
∞−
−=− dxexUCxAS xCxAik 221221
2
1 θ
πθ . (2.3.11)
En combinant les équations (2.3.11) et (2.3.10) et, après avoir effectué l'intégrale sur θ2, aumoyen de l'intégrale (I1), on obtient finalement, pour l'amplitude du faisceau u2(x):
( ) ( ) ( )∫∞
∞−
+−−= 1
2
1122
22121
dxexuB
ixu
DxxxAxB
i
λπ
λ. (2.3.12)
Alors que l'amplitude du champ électromagnétique correspondante est U x e u xikLo2 2 2 2( ) ( )= − .
Ce propagateur (2.3.12) est l'outil mathématique moderne pour décrire la propagation d'unfaisceau paraxial, au travers un système optique paraxial décrit au moyen de la matrice desrayons ABCD. On doit réaliser, ici, l'importance de comprendre la théorie des rayons et del'appliquer, d'abord, à tout système que l'on entreprend d'étudier. Ce résultat a d'abord été dérivépar S.A. Collins (J. Opt. Soc. Am. 60, 1168, 1970) au moyen de la théorie de l'Iconale et, ensuite,par A.E. Siegman au moyen d'une généralisation heuristique des ondelettes d'Huygens (A.E.Siegman, Lasers, University Science Book, Mill Valley, California, 1986). Ici, nous avons dérivéce résultat fondamental en nous servant de concepts physiques bien établis (e.g. les ondes planes)et, en indiquant clairement que ce propagateur est limité à une onde électromagnétique paraxiale,c'est-à-dire à un faisceau optique.
Pour un faisceau général possédant une distribution en (x,y), le propagateur paraxial del'équation (2.3.12) se généralise directement au moyen d'une intégrale double sur x et y, tout enintroduisant les éléments de matrice appropriés pour les axes x et y. Si le faisceau possède unesymétrie circulaire, on peut le décomposer en série de Fourier selon l'angle polaire φ :
( ) ( ) ( )( )
= ∑∞
= φφ
αφl
lzruzru
lll sin
cos,,,
0
. (2.3.13)
23
On montre, ensuite, que la partie radiale du faisceau se propage selon:
( ) ( ) ( )1112
2
1
0
1
2
22 2221
21
12drrrr
BJeru
B
iru l
DrrrArB
ix
l
l
l
=
+−−∞+
∫ λπ
λπ λ , (2.3.14)
où JO�est une fonction de Bessel d'ordre O.
Exercice 2.2
La longueur du chemin optique, décrit par l'équation (2.3.7), a été obtenue au moyen de lacondition des sinus n1x1θ1 = n2x2θ2, pour un point source et un point image. On a supposé, ici,que l'indice n des deux milieux était le même. Selon le principe de Fermat, pour ce type depoints, le chemin optique est le même quel que soit la trajectoire (x,θ). Il s'ensuit que, pour deuxpoints quelconque, l’un à l'entrée (x1,θ1) et l’autre à la sortie (x2,θ2), le chemin optique estproportionnel à cette différence (x1θ1 - x2θ2), comme décrit par l'équation (2.3.7).
Dérivez ce résultat (2.3.7) explicitement, en vous inspirant de l'approche de Siegman(Lasers, p.779), qui considère deux points conjugués par un système ABCD.
Exercice 2.3
On vient de dériver un propagateur qui nous permet de relier l'amplitude du faisceau à lasortie, à l'amplitude du faisceau à l'entrée (2.3.12). On sait qu'un faisceau peut, aussi bien, êtrecaractérisé par son spectre angulaire d'ondes planes. Montrez que le propagateur, qui relie lespectre à la sortie S2(θ2) du système ABCD au spectre à l'entrée S1(θ1), s'exprime:
( ) ( ) ( )1
2
1122
2122
22 θθ
λθ
θθθθλπ
deSC
iS
DAC
i+−∞
∞−∫
−=
Exercice 2.4
Étudiez la propagation d'un faisceau laser gaussien:
u x u ex
w1 0
2
02
( ) =−
après un passage au travers un système optique ABCD.
24
2.4 Caractéristiques globales de propagation d’un faisceauL'étude de la propagation d'un faisceau quelconque, au moyen du propagateur (2.3.12)
que nous venons de développer, se fait généralement par une solution numérique de l'intégrale. Ilexiste, cependant, quelques exemples de distribution qui peuvent se solutionner sous formefermée. En particulier, la distribution gaussienne (voir exercice 2.1) conduit à une solutionanalytique simple et, vu l'importance de ce type de faisceau laser, nous en ferons une étudecomplète au chapitre suivant. L'analyse numérique ne permet pas de dégager des propriétésparticulières d'un phénomène, à moins d'être très exhaustive. Ici, nous souhaitons, dans unpremier temps, comprendre l'évolution d'un faisceau après un passage au travers un systèmeoptique. En particulier, on veut quantifier son étalement spatial et le changement de sa divergenceangulaire. Ce type d'information globale peut se définir au moyen des moments mathématiquesde la distribution spatiale u(x) et de la distribution spectrale S(θ). Nous montrons, dans les deuxsous-sections suivantes, qu'il est possible aussi de dériver les lois de propagation des momentsimportants pour une caractérisation globale d'un faisceau.
2.4.1 Moment d’ordre 1Le moment d'ordre un de l'intensité:
x
x u x dx
u x dx
= −∞
∞
−∞
∞
∫
∫
( )
( )
2
2, (2.4.1)
nous informe sur la position transverse du centre de masse de la distribution u(x). D'autre part, lemoment d'ordre un de la distribution spectrale:
θθ θ θ
θ θ= −∞
∞
−∞
∞
∫
∫
S d
S d
( )
( )
2
2, (2.4.2)
nous donne la direction principale de propagation du faisceau. En utilisant la loi de propagationpour u(x), donnée à l'équation (2.3.12), on peut dériver une loi générale pour la propagation deces deux caractéristiques globales <x> et <θ>, après leur passage au travers un système optiqueABCD.
Afin d'obtenir rapidement ces lois de transformation, on considère d'abord l'équation(2.3.12) après l'avoir multipliée par x2:
( ) ( ) ( )1
2
211222
2122
21
dxexexuB
ixux
xxB
iDxAx
B
i
= ∫
∞
∞−
+−λ
πλπ
λ, (2.4.3)
qui peut s'écrire:
25
( ) ( ) ( )1
2
111222
2122
21
2dxe
xexu
B
i
i
Bxux
xxB
iDxAx
B
i
∂∂
= ∫
∞
∞−
+−λ
πλπ
λπλ
. (2.4.4)
En intégrant par partie et, en ajoutant la condition normale pour un faisceau, à savoiru(±∞) → 0, on montre que:
( ) ( ) ( ) ( )1
2
1111
11222
2122
212
2dxeexux
B
iA
dx
xdu
B
i
i
Bxux
xxB
iDxAx
B
i
−
= ∫
∞
∞−
+−λ
πλπ
λπ
λπλ
. (2.4.5)
Ce résultat nous permet d'écrire:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )01
2
0*1111
1
112
22
10
22
21
1
2
2
dxdxdxeB
xuexuxB
iA
dx
xduBidxxux
xxxB
i
xxB
Ai
×
−
=
∫
∫ ∫∫∞
∞−
−−
∞
∞−
∞
∞−
−−∞
∞−
λπ
λπ
λ
λπ
πλ
. (2.4.6)
D'autre part, la conservation d'énergie:
u x dx u x dx2
2
1
2( ) ( )=
−∞
∞
−∞
∞
∫ ∫ , (2.4.7)
nous conduit à la définition suivante, pour la fonction delta de Dirac du noyau de notre opérateurintégral:
( ) ( )∫∞
∞−
−−=− dxe
Bxx
xxxB
i10
2
10
1 λπ
λδ . (2.4.8)
Ce qui nous permet de conclure que:
x u x dx A x u x dxi B
u xdu
dxdx2
2
1
2
11
2( ) ( ) ( )= + ∗
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
∫∫∫λπ
. (2.4.9)
Il est possible, ici, de montrer que le deuxième terme du membre de droite estproportionnel au moment de la distribution spectrale. En effet, on sait que (2.3.9):
u xk
S e dikx( ) ( )= −
−∞
∞
∫2π
θ θθ , (2.4.10)
d'où:
26
du
dx
ikS e dik x= − −
−∞
∞
∫2
2πθ θ θθ( ) . (2.4.11)
Suite à l'utilisation de la fonction delta de Dirac, on montre que:
u xdu
dxdx ik S d∗
−∞
∞
−∞
∞
= − ∫∫ ( ) ( )2 2θ θ θ . (2.4.12)
D'autre part, il y a conservation de l'énergie entre la distribution spatiale u(x) et un spectre S(θ),c'est-à-dire:
u x dx k S d( ) ( )2 2
=−∞
∞
−∞
∞
∫∫ θ θ . (2.4.13)
L'équation (2.4.9), combinée avec l'équation (2.4.12) et normalisée selon les résultats deséquations (2.4.7) et (2.4.13), nous permet de conclure:
x A x B2 1 1= + θ . (2.4.14)
La loi de propagation, pour l'angle de divergence moyen <θ>, peut se dériver selonl'équation (2.4.12), en considérant d'abord la dérivée de u2(x) selon sa loi de propagation (2.4.12).Cela nous conduit, en utilisant les mêmes arguments mathématiques qu'auparavant, à la relation:
udu
dxdx
iD
Bx u x dx
i
Bx u x dx2
22
2
1
22 2∗
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
= − + ∫∫∫ πλ
πλ( ) ( ) . (2.4.15)
Suite à la définition de <θ>, selon les équations (2.4.2) et (2.4.12), cette dernière relation s'écrit:
θ 2 2 1
1= −
D
Bx
Bx . (2.4.16)
Enfin, en remplaçant le déplacement <x2> selon la loi (2.4.14), on peut conclure que:
θ θ2 1 1= +C x D , (2.4.17)
puisque AD - BC = 1.
On peut maintenant, grâce aux équations (2.4.14) et (2.4.17), définir un vecteur x
θ
des
moments qui obéit à l'équation matricielle des rayons géométriques:
x A B
C D
x2
2
1
1θ θ
=
. (2.4.18)
27
Ceci est le résultat principal de cette section, à savoir que la position moyenne d'unfaisceau <x> (2.4.1) et sa direction moyenne <θ> obéissent à la même loi que les rayonsgéométriques, lors du passage au travers du même système optique, caractérisé par les élémentsde matrice ABCD. Ce résultat n'est pas surprenant si on considère la dérivation que nous avonsfaite pour obtenir l'intégrale de propagation de Huygens pour un système ABCD. En effet, nousavons décomposé le champ électromagnétique en un spectre angulaire d'ondes planes et, nousavons appliqué la loi de propagation de la matrice ABCD à chacune de ces ondes. Cettesuperposition étant linéaire, on devrait escompter le résultat final de l'équation (2.4.18). Nousavons tenu, ici, à dériver formellement cette loi de propagation (2.4.18) parce que, d'abord, peuconnue dans la littérature et, surtout, pour nous familiariser avec l'approche mathématiquenécessaire à cette dérivation, puisqu'elle est la même que pour la dérivation plus complexe desmoments d'ordre deux.
2.4.2 Moment d’ordre 2Les moments d'ordre un nous ont donné une information importante sur le déplacement dufaisceau et sur le changement de la direction de propagation du faisceau, après un passage autravers un système optique ABCD. Le moment d'ordre deux de la distribution spatiale:
x
x u x dx
u x dx
2
2 2
2= −∞
∞
−∞
∞
∫
∫
( )
( )
, (2.4.19)
quantifiera l'élargissement (ou le pincement) du faisceau, alors que le moment d'ordre deux de ladistribution spectrale:
θθ θ θ
θ θ
2
2 2
2= −∞
∞
−∞
∞
∫
∫
S d
S d
( )
( )
, (2.4.20)
définira le changement de la divergence moyenne du faisceau. Notez que ces définitions sontuniverselles et qu'elles ne souffrent pas des lacunes attribuées à des définitions plus courantes,telles que la largeur du faisceau à la demi-hauteur ou au point 1/e etc.
On dérive, d'abord, la loi de propagation <x2>, en utilisant les équations (2.4.5) et (2.4.8)qui permettent d'écrire:
x u x dx A x u x dxi BA
x u xdu
dxu
du
dxdx2
2
2 2 21
2
11
11
2( ) ( ) ( )= + −
∗ ∗
∗
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
∫∫∫ λπ
+
−∞
∞
∫λπB du
dxdx
2
21
2
.
(2.4.21)
28
Le premier terme à droite de l'équation pourra être relié directement au moment d'ordre deux dela distribution initiale u1(x). Les deux autres termes du membre de droite semblent, à priori,limiter la dérivation d'une loi simple. Afin de continuer le développement, on note que letroisième terme peut être relié au moment d'ordre deux du spectre. En effet, en utilisant l'équation(2.3.1), on montre, après une intégration par partie, que:
θ θπ
θSi
k
du
dxe dxik x( ) =
−∞
∞
∫2
. (2.4.22)
Après utilisation de la fonction delta de Dirac, on obtient:
θ θ θλπ
2 23 2
2S d
du
dxdx( ) =
−∞
∞
−∞
∞
∫∫ . (2.4.23)
Ceci nous amène à écrire l'équation (2.4.21) sous la forme:
x A xi BA
x udu
dxu
du
dxdx
u dx
B22 2
12
11
11
1
2
212
2= +
−
+
∗∗
−∞
∞
−∞
∞
∫
∫λ
π θ . (2.4.24)
De plus, l'équation (2.4.23) nous indique comment calculer, après dérivation de l'équation(2.3.12), la loi de propagation pour <θ2
2>. Nous laissons aux lecteurs le soin de montrer que lerésultat s'écrit:
θλ
π θ22 2
12
11
11
1
2
212
2= +
−
+
∗∗
−∞
∞
−∞
∞
∫
∫C x
i CDx u
du
dxu
du
dxdx
u dx
D . (2.4.25)
Ici encore, la même expression intégrale apparaît au deuxième terme du membre de droite. Ilnous faut donc comprendre la signification de ce terme. On considère donc, ici, l'expression
xudu
dxdx∗
−∞
∞
∫ . En dérivant l'équation (2.4.10), et après avoir remplacé le résultat dans cette
expression, on constate que:
( )xudu
dxdx
iS e xu d dxikx∗ − ∗
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
= −
∫∫∫
2
2 2
ππλ θ θ θθ( ) ( ) , (2.4.26)
ce qui nous indique que ce terme est proportionnel à un moment d'ordre deux mixte. On définitdonc, ici, ce moment que l'on note:
29
x xi
x udu
dxu
du
dxdx
u dx
θ θλπ= =
−
∗∗
−∞
∞
−∞
∞
∫
∫4 2
. (2.4.27)
On réécrit, maintenant, les équations (2.4.24) et (2.4.25) sous la forme:
x A x AB x B22 2
12
1 12
122= + +θ θ , (2.4.28)
et θ θ θ22 2
12
1 12
122= + +C x CD x D . (2.4.29)
Ces deux lois de propagation sont d'un intérêt limité puisqu'il nous faut calculer, pour les utiliser,le moment mixte <x1θ1> (2.4.27), ce qui nous empêche de suivre les caractéristiques globales<x2> et <θ2> dans un système en cascade. Pour éviter cette limitation, il nous reste à trouver la loide propagation du moment mixte. En utilisant les mêmes méthodes mathématiques que pour lesdérivations précédentes, on montre que le moment mixte obéit à la loi suivante:
x AC x AD BC x BD2 2 12
1 1 12θ θ θ= + + +( ) . (2.4.30)
Maintenant, l'ensemble des équations (2.4.28), (2.4.29) et (2.4.30) forme un système fermé quinous permet de suivre ces trois moments d'ordre deux dans une cascade de systèmes optiques,après leur évaluation pour une distribution initiale donnée.
2.4.3 Invariant de propagationLe système des trois équations de propagation des moments d'ordre deux peut s'écrire sous
la forme matricielle suivante:
x x
x
A B
C D
x x
x
A B
C D
T
22
2 2
2 2 22
12
1 1
1 1 12
θθ θ
θθ θ
=
. (2.4.31)
Le déterminant de la matrice A B
C D= 1 puisqu'on a toujours, dans un système optique, AD-BC
=1. On sait que le déterminant d'un produit de matrices est égal au produit des déterminants dechacune d'elle; on doit donc conclure, ici, que les déterminants des matrices de sortie et d'entréedes moments d'ordre deux sont égaux, c'est-à-dire:
x x x x22
22
2 2
2
12
12
1 1
2θ θ θ θ− ≡ − . (2.4.32)
On vient, finalement, de démontrer que la quantité x x2 2 2θ θ− est un invariant dupropagateur paraxial (2.3.12) et, aussi, de l'équation d'onde paraxiale. On notera cet invariantMp
2, tel que défini par:
30
x x M p2 2 2 2
2
4θ θ
λπ− =
. (2.4.33)
Cet invariant permet de réduire à deux le nombre de caractéristiques du deuxième ordre.
En pratique, on caractérise un faisceau par rapport à son centre de gravité au moyen de lavariance σx:
σx x x2 2 2= − . (2.4.34)
De même pour la variance angulaire σθ, on doit soustraire la déviation totale du faisceau donnépar le premier moment <θ>:
σ θ θθ2 2 2= − . (2.4.35)
La variance mixte σxθ sera alors donnée par:
σ θ θθx x x2 = − . (2.4.36)
On peut montrer facilement, à l'aide des lois de propagation des moments d'ordre un (2.4.18) etdes moments d'ordre deux (2.4.31), que la loi de propagation des variances est de la même formeque celle des moments d'ordre deux, soit:
T
x
xx
x
xx
DC
BA
DC
BA
=
22
22
22
22
111
111
222
222
θθ
θ
θθ
θ
σσσσ
σσσσ
. (2.4.37)
Encore ici, on peut obtenir une relation d'invariance entre ces trois variances:
( )σ σ σλπθ θx x QM2 2 2 2 2
2
4− =
. (2.4.38)
On note cet invariant MQ2 pour des raisons de notation qui deviendront évidentes plus loin. En
particulier, cet invariant est une signature unique du comportement de la propagation du faisceauet, plus loin, il servira à définir un facteur de qualité.
31
Exercice 2.5
Soit un faisceau gaussien à l'entrée d'un système optique u x u ex
w1 0
2
02
( ) =−
. Calculez ses troisvariances après leur propagation sur une distance z dans l'espace libre. Vérifiez la relationd'invariance (2.4.38) et déterminez le facteur de propagation MQ
2 pour ce faisceau.
Exercice 2.6
Montrez qu'une relation existe entre les deux invariants Mp2 (2.4.33) et MQ
2 (2.4.38) etqu’elle s'écrit:
M Mx x
p Qx
x
x x
4 4
2
2
2
2
2
12
= + + −
θσ σ
σσ σ σ
θσθ
θ
θ θ
Cette relation nous permettra plus loin de définir un critère de stabilité à l'alignement (<θ>,<x>)pour un faisceau.
Exercice 2.7
La matrice des variances (2.4.37) σ σσ σ
θ
θ θ
x x
x
2 2
2 2
est une matrice symétrique. On peut donc l'écrire
comme le produit d'une nouvelle matrice fois sa transposée:
σ σσ σ θ θ θ θ
θ
θ θ
x x
x
Tx x x x2 2
2 21 2
1 2
1 2
1 2
=
Montrez que les vecteurs xi
iθ
où i = 1, 2 peuvent être considérés comme deux rayons
géométriques effectifs qui obéissent à la loi de propagation:
x A B
C D
xi
i sortie
i
i entréeθ θ
=
Établissez le lien entre ces rayons effectifs et la valeur des trois variances. Écrivez la relationd'invariance (2.4.38) en terme de ces rayons principaux. Discutez de l'utilité potentielle de cettenotion de rayon effectif.
32
2.5 Rayon de courbure effectifLa relation d’invariance (2.4.38), entre les trois variances d’ordre deux, nous permet
d’éliminer une des trois lois de propagation (2.4.37). Cela simplifiera l’analyse descaractéristiques de propagation d’un faisceau. Nous avons intérêt, ici, à garder les deuxcaractéristiques qui décrivent davantage des quantités directement mesurables. D’abord, lavariance spatiale σx décrit l’élargissement de la distribution de l’intensité du faisceau qui estfacilement mesurable. De plus, cette caractéristique est d’utilité courante lors des applicationspratiques de transport et de focalisation d’un faisceau laser. D’autre part, la variance spectrale σθ
nous donne la divergence du faisceau. Cette quantité, σθ, est, certes, essentielle pour caractériserun faisceau; cependant, elle est aussi accessible suite à une mesure de la variance spatiale. Eneffet, si on considère la propagation dans l’espace libre (A = D = 1, C = 0, B = z), la loi depropagation (2.4.37) nous donne:
222
12 θθθ σσσ == . (2.5.1)
C’est-à-dire que cette caractéristique est conservée pour la propagation libre. De l’équation(2.4.38), on montre aussi que lorsque z → ∞, la variance spatiale devient:
σ σ θx z→∞ =2 2² . (2.5.2)
Il s’ensuit que la variance spectrale d’un faisceau peut s’obtenir directement d’une mesure de lavariance spatiale dans le champ lointain. Ceci nous indique que la variance spectrale pourrait êtreéliminée comme caractéristique principale si l’autre quantité, la variance mixte σxθ est plusintéressante. Un faisceau est décrit par une amplitude complexe u(x). Il faut donc s’intéresser nonseulement à son étalement spatial en intensité mais, aussi, à caractériser globalement l’évolutionde sa phase, c’est-à-dire son front d’onde Φ(x). On écrit donc:
u x x ei
x( ) ( )
( )=
−ψ
πλ2
Φ. (2.5.3)
Notez qu’il n’est pas possible, généralement, de définir directement le moment du front de phaseparce que cette quantité n’a pas, physiquement, à être intégrable (e.g. un front d’onde sphérique).Cependant, la variance mixte σxθ est une caractéristique du front d’onde Φ(x). Utilisant leséquations (2.4.1), (2.4.2), (2.4.27), et (2.5.3), on montre que:
σψ
ψ
ψ
ψ
ψ
ψθx
x xx dx
dx
x dx
dx
dx
dx
2
2
2
2
2
2
2
=
−
−∞
∞
−∞
∞−∞
∞
−∞
∞−∞
∞
−∞
∞
∫
∫
∫
∫
∫
∫
Φ Φ. (2.5.4)
Cette équation nous indique que la variance mixte σxθ caractérise la dérivée du front dephase selon un poids proportionnel à l’intensité du faisceau. Par exemple, une onde cylindriqueen approximation paraxiale possède une phase qui s’écrit:
33
Φ( )²
x zx
Rx
= +2
,
où Rx est le rayon de courbure de l’onde. Pour cet exemple, on calcule:
σψ
ψ
σθx
x
x
xR
x dx
dxR
221= =−∞
∞
−∞
∞
∫
∫
² ²
²
.
Cet exemple nous indique que le rayon de courbure effectif d’un faisceau peut être défini selon larelation suivante:
1 2
2Rx
x
x
≡σσ
θ . (2.5.5)
Les calculs numériques nous indiquerons que ce rayon de courbure représente, effectivement, lacourbure parabolique du front d’onde, lors de sa propagation. De plus, l’exercice 2.8 établiraclairement qu’en optique paraxiale, on ne peut corriger que cette courbure effective d’un front dephase.
On choisira donc, généralement, le rayon de courbure effectif Rx et la variance spatiale σx
pour caractériser globalement la propagation d’un faisceau. Cependant, l’usage veut que l’ondéfinisse la largeur type d’un faisceau selon:
Wx x= 2σ . (2.5.6)
Pour un faisceau gaussien, cette largeur type correspond au point 1/e. Utilisant les lois depropagation (2.4.37) et la loi d’invariance (2.4.38), on obtient les deux lois fondamentales pour lapropagation de la largeur type:
2
2
22
2
2
111
2
+
+=
x
Q
xx
x
W
BM
R
BA
W
W
πλ
, (2.5.7)
et pour le rayon de courbure effectif:
( )2
2
2
22
2
11121
2 11
++++=
x
Q
xxxx
x
W
BMBD
R
BD
RBCADAC
RW
W
πλ
. (2.5.8)
Si on considère la propagation, dans l’espace libre, d’un faisceau caractérisé, en son planz1, par Wx1 et Rx1, on montre que ce faisceau possède une largeur minimum,
( )[ ]110 0
22 1 xxx RzWW += , pour Rx1< 0 (front d’onde convergent), où la distance z0 est donnée par:
34
zR
M R
W
x
Q x
x
02
2
21
1
1
1
=−
+
λπ
.
Le rayon de courbure effectif au plan de la largeur type minimum est infini, c’est-à-dire1 00R zx ( ) = . Notez, encore ici, que Rx(z0) = ∞ ne veut pas dire nécessairement que le frontd’onde est plan à z0 = 0, mais bien que la courbure effective, selon la définition reliée à l’équation(2.5.4), est nulle. Si on écrit les relations de propagation (2.5.7) et (2.5.8) pour l’espace libre àpartir de la position z0 = 0, on a:
W Wz
zx xR
2 220
1= +
², (2.5.9)
R zz
zxR= +2
, (2.5.10)
où on a introduit le paramètre zR:
zW
MRx
Q
=
πλ
0
2
2 . (2.5.11)
À la distance z = zR, on a W Wx x= 20 et, à cette distance z = zR, Rx est minimum, (Rx)min = 2zR.
Cette distance zR est nommée la distance de Rayleigh et elle définit la séparation entre le champproche et le champ lointain.
35
Figure 2.3
Exercice 2.8
On considère un faisceau de largeur type Wx1 et de rayon de courbure effectif, Rx1> 0,incident sur une lentille convergente de distance focale F. Montrez que, pour que le faisceau soitcollimé immédiatement de l’autre côté de la lentille (Rx = ∞ et Wx = minimum), la distance focalede la lentille doit être Rx1 (Rx1 = F).
Cet exercice vous indiquera qu’un composant optique paraxial, comme une lentille, ne peutcompenser que la courbure effective, tel que défini ici par Rx, d’un faisceau.
2.6 Rayon de courbure effectif complexeLes deux équations des caractéristiques d’un faisceau (2.5.7) et (2.5.8) peuvent s’écrire en
une seule équation complexe, en reliant les deux quantités Wx et Rx sous forme d’un nombrecomplexe unique. En particulier, si on introduit le nombre complexe:
1 12
2Q R
i M
Wx x
Q
x
= −λπ
, (2.6.1)
on montre que cette quantité obéit à la loi de propagation suivante:
QAQ B
CQ Dx
x
x2
1
1
=++
, (2.6.2)
c’est-à-dire que le paramètre complexe Qx obéit à la loi simple de propagation des rayons dans unsystème optique, décrit par des éléments de matrice ABCD.
Afin d’ajouter un peu de rationnel à cette introduction arbitraire du paramètre Qx, on peutconsidérer, ici, les rayons effectifs définis à l’exercice (2.7). La loi de propagation matricielle,pour un rayon de courbure d’une onde cylindrique (Rx)entrée, transformé par un système optiqueABCD, s’écrit:
36
( )( )
( )R
A R B
C R Dx sortiex entré e
x entré e
= ++
, (2.6.3)
où le rayon de courbure de l’onde cylindrique est défini par sa pente et sa hauteur selon:
1
R xx
= θ. (2.6.4)
Chacun des rayons de courbure effectifs associés aux rayons ( , )x1 1θ et ( , )x2 2θ obéit àla loi (2.6.3). De même, si on suit le parcours de ces deux rayons effectifs, à travers un systèmeABCD, en introduisant, pour les distinguer, le nombre imaginaire i, au moyen du rayon decourbure complexe suivant:
1 1 2
1 2Q
i
x ixx
=++
θ θ, (2.6.5)
on aura nécessairement que ce rayon de courbure complexe obéit à la loi des rayons:
( )( )
( )Q
A Q B
C Q Dx sortiex entré e
x entré e
=++
. (2.6.6)
L’équation (2.6.5) peut s’écrire:
1 1 2 1 2
12
22Q
i x ix
x xx
=+ −
+( )( )θ θ
,
soit,
1 1 1 2 2
12
22
1 2 2 1
12
22Q
x x
x xi
x x
x xx
=++
+−+
θ θ θ θ( ). (2.6.7)
Suite au résultat de l’exercice (2.7), cette dernière équation devient:
1
4
2
2
2
2Q
i M
x
x
x
Q
x
= −σσ
λπσ
θ . (2.6.8)
Enfin, en introduisant la définition du rayon de courbure effectif (2.5.5) et la définition de lalargeur type (2.5.6), l’équation (2.6.8) devient:
1 12
2Q R
i M
Wx x
Q
x
= −λπ
.
37
On retrouve donc le résultat anticipé de l’équation (2.6.1) qui est maintenant la définitiond’usage d’un rayon de courbure complexe pour un faisceau. L’avantage de cette définition réside,naturellement, entre la similitude de la propagation du rayon de courbure de l’onde cylindriqueet, de celle du rayon de courbure complexe qui lui, nous donne des informations sur la largeureffective et le rayon de courbure effectif d’un faisceau. Bien qu’élégante, la loi de propagation del’équation (2.6.2) est la même que les deux lois de propagation données aux équations (2.5.7) et(2.5.8). Celles-ci servent pour les calculs, lors d’étude de systèmes optiques proposés.
En coordonnées circulaires, lorsque la distribution peut se décomposer selon la relation(2.3.13), la largeur type devient:
W
u r r dr
u r rdr
²
( ) ³
( )
=
∞
∞
∫
∫
22
0
2
0
l
l
, (2.6.9)
et le rayon de courbure effectif s’écrit:
12
0
0
R
rdu
dru dr
r u dr
=
∞
∞
∫
∫
² ²
³ ²
l
l
l
. (2.6.10)
Il est souvent utile de calculer le facteur de propagation d’un faisceau en supposantconnue sa distribution u0 à son étranglement minimum σ x0
. On a alors que σ θx0 00= et, de
l’équation (2.4.38), on obtient:
00
42θσσ
λπ
xQM = . (2.6.11)
Ce qui peut se calculer pour une distribution u0 (x) selon:
M
du x
dxdx x u x dx
u x dx
Q4
0
22
0
2
0
2
2
4
=
−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
∫ ∫
∫
( )( )
( )
.
(2.6.12)
En coordonnées circulaires, on doit évaluer l’expression suivante:
38
( ) ( ) ( )
( )2
0
20
0 0
20
3202
22
0
4
+
=
∫
∫ ∫∞
∞ ∞
drru
drrurrdrrur
l
dr
rdu
M
l
lll
Q ,
où l = 0, 1, 2, ... est l’indice de la symétrie angulaire.
(2.6.13)
Exercice 2.9
Calculez la largeur type W0 d’un faisceau gaussien u r u er
w( )²
=−
002
circulaire. Évaluez son
facteur de propagation M Q2 .
39
3 Modes naturels du système optique ABCD
3.1 IntroductionNous avons montré, au chapitre précédent, qu’un faisceau optique pouvait être
globalement caractérisé par ses moments d’ordre un et deux. En particulier, nous avons vu que,dans l’espace libre, la largeur type Wx du faisceau augmentait selon la distance de propagation z(e.g. équation (2.5.9)), à partir de sa valeur minimale Wxo. Nous sommes, maintenant, intéressé àla recherche d’un faisceau « idéal », c’est-à-dire d’un faisceau dont les caractéristiques desmoments satisfont des propriétés extrêmes. Naturellement, nous pouvons déjà exiger que cefaisceau soit parfaitement aligné avec l’axe optique z et le demeure; ceci implique que lesmoments d’ordre un de ce faisceau soient nuls. Nous montrerons que le faisceau gaussien estcelui qui possède une divergence minimale. De plus, nous montrerons que les fonctions Gauss-Hermite forment un ensemble orthogonal et complet de solutions qui permettent de définir lesmodes de l’espace libre et, ainsi, les modes propres d’un système ABCD.
3.2 Divergence minimale d’un faisceauNous considérons un faisceau optique défini par son amplitude complexe u0(x) à son
minimum de largeur type Wxo. La loi de propagation (2.4.37) de la divergence σ x2 pour l’espace
libre (A = D = 1, C = 0, B = z) s’écrit:
σ σθ θ2 2
0≡ , (3.2.1)
c’est-à-dire que, lors d’une propagation libre, la divergence du faisceau est conservée. On saitcomment écrire la variance angulaire σθ en fonction de l’amplitude complexe u(x) (équations(2.4.23) et (2.4.20)), soit:
σ λπθ 0
22
0
2
0
22=
−∞
∞
−∞
∞
∫
∫
du x
dxdx
u x dx
( )
( )
. (3.2.2)
Nous cherchons donc à optimiser ce rapport (3.2.2) pour des faisceaux ayant
naturellement la même énergie u dx0
2
−∞
∞
∫ et la même largeur spatiale σ x
x u dx
u dx0
2
20
2
0
2
= −∞
∞
−∞
∞
∫
∫. Cette
optimisation peut se faire en introduisant deux multiplicateurs de Lagrange Λ12 et Λ2 (pour la
variance et l’énergie), comme pour un problème variationnel:
40
δdu
dxdx x u dx u dx0
2
12 2
0
2
2 0
20+ −
=−∞
∞
−∞
∞
−∞
∞
∫∫∫ Λ Λ . (3.2.3)
Intégrant par partie le premier terme de cette équation, on obtient:
δ ud u
dxu x u dx0
20
2 2 0 12 2
0 0* + −
=−∞
∞
∫ Λ Λ . (3.2.4)
La solution de ce calcul est immédiate, suite à la contrainte sur l’énergie. Il suffit, en effet,de poser le crochet de l’intégrale (3.2.4) égal à une constante. Cette constante peut, en toutegénéralité, être nulle puisqu’elle peut être absorbée dans la constante Λ2. Un faisceau ayant unedivergence optimale doit donc satisfaire l’équation différentielle suivante:
d u
dxu x u
20
2 2 0 12 2
0 0+ −
=Λ Λ . (3.2.5)
Les solutions, finies à l’origine et intégrables de -∞ à ∞, de cette équation sont bien connues.Elles sont données par:
u x e H xx
n02
1
1 12( ) ( )
²
=− Λ
Λ , (3.2.6)
sous la condition que:
Λ Λ2 1 2 1= +( )n où n = 0,1,2,... (3.2.7)
Tableau 3.1Fonctions Gauss-Hermite
[ ]ψ
πnx
nxn
e H xn( )!
( )²=
−2 1
22
14
212
ψ ψ δn m n mx x dx( ) ( ) ,=−∞
∞
∫
[ ]ψ ψn nn x" ( ) ²+ + − =4 2 4 0
ψ ψ ψn n nn x’= −−2 21
ψ ψ ψn n nn n’ ( )= − +− +1 11
41
2 1 1x n nn n nψ ψ ψ= + ++( )
H xn
nF xn
n n
2 1 122
112
( )( )!
!( )= −
−: polynômes d’Hermite
H xn
nx F xn
n n
2 1 1 122 1
1 232
+
−= + −
( )
( )!
!( ) ( ) : polynômes d’Hermite
Le multiplicateur de Lagrange Λ1 peut être relié à la variance minimale, pour cettedistribution uo(x):
Λ1
12
2
0
= +( )n
xσ. (3.2.8)
La divergence de ce faisceau, telle que définie par la variance spectrale, devient:
σ λπ σθ 0
0
22 2
24
2 1=
+( )n
x
. (3.2.9)
Le minimum absolu de divergence est donc obtenu lorsque n = 0 et que σxo est fixé:
( )σ λπ σθ 0
0
22
24
1min
=
x
. (3.2.10)
Ce résultat peut s’écrire, aussi, en terme du facteur de propagation (2.4.38):
M nQ2 2 1= +( ) . (3.2.11)
La valeur minimale du facteur de propagation est atteinte pour le faisceau gaussien:
( )MQ2 1
min= . (3.2.12)
Notez que le problème d’optimisation que nous avons fait pour la divergence σθ auraittout aussi bien pu se faire pour le facteur de propagation MQ
2. En effet, selon l’équation (2.4.38),pour une variance spatiale fixée à son minimum, σθ et MQ
2 sont directement proportionnels. Le
faisceau gaussien pur (3.2.6), ( )u x x x024
0( ) exp ²= − σ , est donc le faisceau qui possède une
divergence σθo minimale et, par conséquent, il est le faisceau ayant le facteur de propagation,MQ
2 =1, minimum. Il est d’usage de définir le facteur d’échelle de ce faisceau W x02 24
0= σ , qu’on
écrit:
42
( )u x C ex
w
0 002
( )min
²
=−
. (3.2.13)
Ce faisceau possède une largeur type (2.5.6):
W w0 0= . (3.2.14)
Ici, on distingue le facteur d’échelle wo de la largeur type Wo bien qu’ils soient les mêmespour le faisceau gaussien, afin de se conformer à l’usage et aussi pour éviter toute confusion avecd’autres faisceaux. La divergence de ce faisceau optimal est:
( )σ λπθ 0 2 0
min=
w, (3.2.15)
et sa distance de Rayleigh (2.5.11):
zw
R = πλ
02
. (3.2.16)
Il existe aussi d’autres faisceaux, les fonctions Gauss-Hermite, qui présentent unedivergence locale minimale. Pour le même facteur d’échelle wo ces faisceaux s’écrivent:
u x C e Hx
wn n
x
w
00
02
2( ) ( )²
=
−
. (3.2.17)
La largeur type de ces faisceaux devient:
W n w0 02 1= +( ) , (3.2.18)
leurs divergences:
( )σ λπθ 0 2
2 10
=
+
wn( ) , (3.2.19)
et la distance de Rayleigh:
zw
R =π
λ02
, (3.2.20)
alors que leur facteur de propagation est donné à l’équation (3.2.11).
Ces faisceaux forment un ensemble orthogonal et complet (voir tableau 3.1) et, parconséquent, ils peuvent servir de base intéressante pour l’analyse d’un faisceau en général.
43
Pour une distribution en symétrie circulaire, le faisceau optimal devient:
( ) ( ) 20
2
00w
r
ll eCru−
= . (3.2.21)
Les solutions d’ordre supérieur s’écrivent en termes des fonctions orthogonales de Gauss-Laguerre (voir tableau 3.2):
( ) ( )
=
−
20
2
0ln00
220
2
w
rLe
w
rCru l
nw
rl
l
où l = 0,1,2,...et n = 0,1,2,...
(3.2.22)
Les caractéristiques globales de ces faisceaux deviennent:
W n w0 02 1= + +( )l , (3.2.23)
σ λπθ 0 2
2 10
=
+ +
wn( )l , (3.2.24)
zw
R =π
λ02
, (3.2.25)
M nQ2 2 1= + +( )l . (3.2.26)
Tableau 3.2Fonctions Gauss-Laguerre
( ) ( ) ( )22
2!
!2 2
ρρρψ ρ ln
ll
ln Le
ln
n −+
+=
où l = 0,1,2,...et n = 0,1,2,...
( ) ( ) mnlm
ln d ,
0
δρρρψρψ =∫∞
( ) 041241
2
22 =
−−+++′+′′ l
nl
nl
n
lln ψ
ρρψ
ρψ
( ) ( )( ) ln
ln
ln
ln lnnlnn 11 11 +− ++++−+−=′ ψψψψρ
44
( ) ( ) ( )( ) ln
ln
ln
ln lnnlnlnn 11
2 11122 +− +++−++++−= ψψψψρ
( )L xn
nF xn
nl
l
l
l( )
( )!! !
= ++−
1 1 1: polynômes de Laguerre
Exercice 3.1
On peut démontrer la loi de propagation de la largeur type W(z) au moyen dudéveloppement en modes Gauss-Laguerre. Par exemple, pour une distribution symétrique (O = 0),on écrit:
u r zA
w ze e
r
w zn
i r
R zi n tg
z
zn
n
( , )( ) ( )
²
( )( )
=
− +
=
∞ −
∑π
λ ψ2 1
0
0
1
0
où le facteur d’échelle, w z wz
z² ( )
²= +
0
2
021
avec zw
002
=π
λ.
En utilisant les propriétés des fonctions Gauss-Laguerre (tableau 3.2), montrez que:
[ ] [ ]W z w
n A n A A
A
z
z
n A n A A
A
n n nn
nn
n n nn
nn
² ( )( ) ( )
²( ) ( )
=+ − +
++ + +
+=
∞
=
∞
+=
∞
=
∞
∑
∑
∑
∑02
21
0
2
0
02
21
0
2
0
2 1 2 1 2 1 2 1,
où les Aw
u rr
wrdrn n=
∞
∫1
00
0
00
( , )ψ .
Si on choisit le facteur d’échelle wo des fonctions Gauss-Laguerre, on peut démontrer larelation suivante pour le facteur de propagation:
MnA
AQ
nn
nn
4
2
1
2
0
14
= + =
∞
=
∞
∑
∑.
45
3.3 Propagation du faisceau gaussienNous venons de démontrer que le faisceau gaussien est celui qui possède la divergence,
définie selon sa variance, la plus faible de tout l'ensemble des faisceaux de même énergie et demême largeur type W0. Ce faisceau sert donc de référence idéale pour l'étude des résonateurslaser et la propagation de leur sortie. Il est donc nécessaire d'étudier, tout d'abord, la propagationde ce faisceau dans l'espace libre. Le propagateur paraxial (2.3.12):
u xi
Bu x e dx
i
BAx xx Dx
( ) ( )( )
=− − +
−∞
∞
∫λ
πλ
0 0
2
0
02
02
, (3.3.1)
a déjà été utilisé à l'exercice (2.4) pour évaluer la propagation d'une distribution gaussienne:
u xw
ex
w0
02
1
422
02
( ) =
−
π , (3.3.2)
après un passage au travers un système optique ABCD. Le résultat obtenu s'écrivait:
u xw
Ai B
w
i xC
i D
w
Ai B
w
( ) exp=
−−
−
−
2 1
02
1
4
02
202
02
π λπ
πλ
λπλ
π
.(3.3.3)
Pour la propagation dans l'espace libre, on a C = 0, A = D = 1 et B = z. On obtient alorspour l'amplitude du champ électromagnétique ( )U x e u xikz( ) ( )= − :
U xw
e
z
z
e e
x
wz
z
R
ik zx
zz
z
itg
z
zR
R
R( ) =
+
−+
− +
+
−
2
102
1
41
2
2
1
4
22
2
02
2
2
2
21
π. (3.3.4)
On a, ici, pour faciliter l'écriture du résultat, utilisé la distance de Rayleigh (3.2.16) zR:
zw
R =π
λ02
, (3.3.5)
puisque pour le faisceau gaussien la largeur type W0 = w0 et MQ2 = 1.
Ce résultat nous annonce que l'intensité du faisceau gaussien demeure une distributiongaussienne lors de sa propagation. Le facteur d'échelle du module de l'amplitude w(z) obéit à lamême loi que la largeur type Wx(z) (2.5.9), soit:
46
w z wz
zR
202
2
21( ) = +
, (3.3.6)
d’où on a:
( )u xw z
ex
w z( )( )
=
−22
1
42
2
π . (3.3.7)
Le terme de phase du champ électromagnétique U(x) est le même que celui d'une onde
cylindrique selon l'approximation paraxiale e eikRik z
x
R−− +
≈
2
2 . On doit alors reconnaître ce champcomme une onde cylindrique de rayon de courbure:
R z zz
zR( ) = +2
. (3.3.8)
Selon l'analyse du chapitre précédent, on doit aussi reconnaître que le rayon de courbure effectif(2.5.10) du faisceau gaussien devient le rayon de courbure exact de l'onde cylindrique dedistribution gaussienne. Notez, toutefois, que ce rayon de courbure cylindrique (3.3.8) n'obéit pasà la loi habituelle (R = z) du rayon de courbure d'une onde cylindrique uniforme qui se propagedans le vide. En effet, ce rayon de courbure passe de -∞ à +∞ lorsque z varie de -∞ à +∞, de plusil devient aussi ∞ à z = 0. Comme on peut le visualiser sur la figure (3.1), le centre de courburedu front d'onde cylindrique varie durant sa propagation. Enfin, le terme résiduel de phase
1
21tg
z
z R
−
doit être associé à une anomalie de propagation de ce type d'onde cylindrique
gaussienne, si on compare à la propagation de ce type d'onde cylindrique uniforme. En fait, ceterme est indicatif de la focalisation du faisceau, lors de sa propagation de -∞ à +∞, puisque pourune telle situation on doit s'attendre à un saut de phase de π, dit de Guoy, pour tout faisceau. Ici,
de -∞ à +∞, la différence de phase annoncée par 1
21tg
z
z R
−
est de
π2
; cependant, pour une
distribution en (x,y), le saut de phase prédit est bien de π.
Figure 3.1
47
Il est habituel d'introduire un rayon de courbure complexe, afin de suivre à la fois lalargeur de la gaussienne w et son rayon de courbure cylindrique R, selon:
1 12q R
i
w= −
λπ
, (3.3.9)
à z = 0 et R(0)→ ∞. On a donc:
qi w
izR002
= =πλ
. (3.3.10)
La loi de propagation dans l'espace libre devient simplement:
q z z izR( ) = + . (3.3.11)
Naturellement, le rayon de courbure complexe Qx, définit précédemment à (2.6.1), devient, pourun faisceau gaussien, identique à q (Qx ≡ q). Le faisceau gaussien est, d'ailleurs, le seul àposséder cette propriété, à savoir que son rayon de courbure complexe décrit exactementl'évolution de sa propagation.
Le rayon de courbure complexe est fort utile pour simplifier l'écriture, par exemple,l'équation (3.3.3) peut s'écrire simplement :
u xw
q
Aq Be
i x
q( ) =
+
−2
02
14
0
0
2
π
πλ , (3.3.12)
où q est le rayon de courbure complexe du faisceau gaussien, après son passage au travers unsystème optique ABCD, soit :
qAq B
Cq D=
++
0
0
. (3.3.13)
Ici, on a propagé un faisceau gaussien à partir de sa largeur minimum (w0, R0 → ∞). Cependant,on peut monter que les résultats (3.3.12 et 3.3.13) sont aussi exacts si on remplace q0 par q1, où q1
est le rayon de courbure complexe d'un faisceau gaussien ayant une largeur type w1 et un rayonde courbure R1.
On a mentionné, à la section précédente, que les fonctions de Gauss-Hermite (3.2.17)formaient un ensemble orthogonal. Il est possible de montrer que la fonction Gauss-Hermitesuivante :
u x e Hx
w
i x
qn1
1
2
12
( ) =
−πλ , (3.3.14)
48
où 1 1
1 1 12q R
i
w= −
λπ
, R1 étant le rayon de courbure cylindrique, se transforme, après son passage
au travers un système optique ABCD, en:
u x
AB
q
e Hx
wn
i x
qn2
1
1
2 2
1 22
2( ) =
+
+
−πλ , (3.3.15)
où qAq B
Cq D21
1
=++
.
Ce résultat se démontre facilement en utilisant la fonction génératrice des polynômes d'Hermiteet la relation d'orthogonalité (voir tableau 3.1). On remarque que le rayon de courbure cylindriquede chacun de ces modes supérieurs (n) est le même que pour la distribution fondamentale (n = 0)gaussienne.
Pour une distribution en symétrie circulaire, on montre que le faisceau Gauss-Laguerresuivant:
( )
=
−
21
2
1
21
2
w
rLerru l
nq
ri
l λπ
, (3.3.16)
devient, après son passage à travers un système optique ABCD (2.2.14):
( )
+
=−
++ 21
2
12
1
2
212
2
w
rLer
q
BA
ru ln
q
ri
lln
λπ
. (3.3.17)
Ce résultat se démontre facilement en utilisant le propagateur (2.2.14) et une fonction génératricedes polynômes de Laguerre (voir tableau 3.2).
3.4 Génération d’un faisceau gaussienNous connaissons, maintenant, les propriétés intéressantes des faisceaux Gauss-Hermite
(ou Laguerre), ainsi que leurs lois simples de propagation. Nous montrerons, ici, comment cetype de faisceau peut être généré dans un résonateur laser.
Nous avons vu que les fronts d’onde de ces faisceaux étaient sphériques (ici, on discutedu cas à symétrie circulaire) en tout plan de propagation. Si on remplace deux de ces frontsd’ondes sphériques par deux miroirs optiques (figure 3.2) dont les côtés réfléchissants se fontface, on forme un résonateur optique. On peut alors anticiper que le type d’onde qui pourra êtreemprisonné dans le résonateur sera celui dont les fronts d’onde épouseront la forme des miroirsen ces deux plans. En effet, une onde qui possède un front de phase sphérique, de même rayon de
49
courbure que le miroir, est conjuguée par celui-ci, c’est-à-dire qu’elle retourne exactement surson parcours d’incidence. Si, sur son retour, cette onde rencontre un autre miroir et, que le rayonde courbure de ce miroir est encore le même que le front d’onde en ce plan, l’onde retourneraencore sur elle-même vers le premier miroir. On comprend, alors, que cette onde demeureraprisonnière du résonateur optique ouvert. D’autre part, toute onde dont le front d’onde n’a pascette propriété de s’adapter aux deux miroirs sphériques subira, inévitablement, après un certainnombre d’aller-retour, un grandissement et se retrouvera à l’extérieur du résonateur ouvert.
Les fronts d’onde des faisceaux Gauss-Hermite (Laguerre), que nous venons d’étudier,satisfont exactement cette exigence. Par exemple, tel qu’indiqué à la figure 3.2, on remplace lefront d’onde plan d’un faisceau gaussien par un miroir plan situé au plan de référence z = 0 et, auplan z = -L, on place un miroir sphérique concave de rayon de courbure Ro.
Figure 3.2
Maintenant, pour ce résonateur ouvert, on cherche le faisceau gaussien qui a commepropriété d’avoir, en ces deux plans, les mêmes rayons de courbure que ces deux miroirs. Il estévident que le minimum wo devra être situé à z = 0 puisque, selon la loi de propagation (3.3.8),en ce plan, R = ∞. D’autre part, cette même loi de propagation (3.3.8) permet d’écrire que lerayon de courbure du faisceau gaussien à z = -L devrait être donné par la relation:
R L R Lz
LR( )− = − = − +
−0
2
, (3.4.1)
d’où zw
L R LR2 0
2 2
0=
= −π
λ( ) .
Il est d’usage d’introduire le paramètre géométrique du résonateur selon:
gL
R= −1
0
, (3.4.2)
et ainsi, on écrit le résultat:
50
wL g
g02
1=
−λπ
. (3.4.3)
On conclut, donc, que ce résonateur, formé de ces deux miroirs, peut générer un faisceaugaussien de largeur type wo, donnée par la relation (3.4.3). En particulier, wo sera minimum pourg = ½ (Ro = 2L) et égal à ( ) ( )minw L0
2 = λ π . Par exemple, à λ = 633 nm, et avec un résonateur delongueur L = 10 cm, on obtient une largeur type (wo)min= 0,15 mm. On comprend qu’il suffirad’avoir des miroirs de diamètres de quelques millimètres pour bien contenir ce faisceau gaussienà l’intérieur du résonateur ouvert.
D’autre part, les lois de propagation des faisceaux Gauss-Hermite (Laguerre) nous ontmontré que les fronts d’onde sont les mêmes quelque soit l’ordre (n, O) des polynômes d’Hermiteou de Laguerre. On anticipe, alors, que le résonateur sphérique peut aussi supporter toutes cesdistributions. Il s’ensuit que ce résonateur optique sera multimode. On sait que la largeur type est
W n w0 02 1= + +l , pour les distributions Gauss-Laguerre. On anticipe, ainsi, que les modessupérieurs du résonateur occuperont une dimension transverse de plus en plus importante. Afinde diminuer le nombre de modes, on limite donc cette dimension en plaçant, à l’intérieur durésonateur, un diaphragme qui entraîne des pertes pour les modes d’indice (n, O) élevé. Celaempêche ainsi ces derniers d’atteindre le seuil d’oscillation laser. Cependant, le diaphragmeperturbera aussi le mode fondamental (n = O = 0) gaussien, et c’est pour cette raison que nouscontinuerons l’analyse des résonateurs au chapitre suivant, en tenant compte de la diffraction et,aussi, de la saturation du milieu amplificateur.
Exercice 3.2
Analysez le résonateur sphérique, formé de deux miroirs de rayons de courbure R1 et R2 séparésd’une distance L, illustré à la figure 3.3
Figure 3.3
51
1) Montrez que:
wL g g g g
g g g g02 1 2 1 2
1 2 1 2
1
2=
−+ −
λπ
( )
( )².
2) Calculez : Lo, w1 et w2.
3) Montrez que la fréquence de résonance des modes Gauss-Laguerre est donnée par:
[ ]ω πq
c
Lq n l g gln ( )cos= + + + −2 1 1
1 2 ,
où c est la vitesse de la lumière et q, un entier.
Notez que ce résultat est une conséquence de l’anomalie de phase subie par le faisceauGauss-Laguerre lors de sa propagation.
52
4 Résonateur optique
4.1 Résonateur sphériqueCe chapitre est consacré à l’étude des résonateurs optiques sphériques. Ces résonateurs sont
passifs et sans pertes. Cependant, l’analyse de leurs modes de résonance est essentiel pour mieuxcomprendre le comportement des résonateurs actifs qui seront étudiés au chapitre suivant.L’analyse géométrique nous permettra de distinguer deux classes de résonateurs sphériques: lerésonateur à modes confinés (stable) et le résonateur à modes non confinés (instable). Cesrésonateurs seront, par la suite, analysés au moyen d’équations intégrales. Une troisième classede résonateurs optiques sera introduite à la fin de ce chapitre: le résonateur à modes conjugués,un type de résonateur qui trouve de plus en plus d’utilisation.
Les résonateurs lasers sont généralement des résonateurs ouverts, afin de diminuer lenombre de modes pouvant osciller et, ainsi, générer une sortie optique plus cohérente. Cesrésonateurs sont, habituellement, des résonateurs dits sphériques, puisque formés par deuxmiroirs sphériques de rayon de courbure RM1 et RM2 se faisant face et séparés par une distance L(figure 4.1). En pratique, l’un des miroirs est partiellement transparent afin d’assurer un couplagede l’énergie vers l’extérieur.
Figure 4.1
On suppose, dans cette première analyse théorique, que la dimension transverse desmiroirs est infinie et qu’ainsi, il n’y a pas de pertes. Notre objectif est de chercher lesdistributions d’amplitude complexe qui s’auto-reproduisent suite aux aller-retours des ondeslumineuses présentes dans le résonateur. Ces distributions stationnaires formeront l’ensemble desmodes du résonateur.
L’analyse des modes du résonateur sphérique s’effectue directement en remplaçant le
résonateur par un canal équivalent de lentilles de distance focale FRM
11
2= et F
RM2
2
2= , séparées
par la même distance L (figure 4.2).
53
Figure 4.2
Les distributions modales du résonateur sont, en effet, les mêmes que celles qui s’auto-reproduisent sur F1 ou F2, après une très longue distance de propagation z. Cependant, ce modèlede propagation ne nous donnera pas, à priori, les fréquences de résonances. De plus, il faudra serappeler que ce modèle nous donnera simplement la distribution modale de l’onde progressiveselon z. Les modes du résonateur devront être, par la suite, analysés en supposant une ondestationnaire formée de la somme des ondes progressives selon +z et -z.
4.1.1 Analyse de l’optique géométriqueL’analyse de l’optique géométrique du résonateur sphérique consiste à chercher le
comportement stationnaire d’un rayon v
rr
=
θ
qui se propage dans le résonateur, ou dans le
canal de lentilles. Nous savons comment suivre un tel rayon au moyen de la matrice (ABCD) detransfert des rayons:
v v
rA B
C Dr1 0=
. (4.2.1)
Si on effectue notre analyse à partir du miroir RM1, la matrice de transfert de F1 à F1 ou de RM1 àRM1 s’écrit:
A B
C D
L
R
L
R
L
R
L
RM M M M
= − −
− −
12
12
12
12
1 1 2 2
, (4.2.2)
soit
et
A g= −2 12 ,B Lg= 2 2 ,D g g g= − −4 2 11 2 2 ,
AD BC− = 1.
54
Notez que si le résonateur de la figure 4.1 contenait d’autres éléments optiques paraxiaux, ceux-ciseraient inclus dans la calcul de A, B, C, D. C’est pourquoi nous continuerons notre analyse avecla notation A, B, C, D pour être général et nous discuterons, lorsque utile, le cas particulier durésonateur vide correspondant aux valeurs données en (4.2.2).
Nous nous intéressons, maintenant, au comportement de ce rayon v
r0 , après un grand
nombre de passes v
rn . Ceci nous conduit à l’équation:
v v
rA B
C Drn
n
=
0 . (4.2.3)
On peut finalement élever une matrice 2×2 à la puissance n, après avoir trouvé ses valeurs etvecteurs propres. Les valeurs propres Λ sont calculées en exigeant que le déterminant soit nul:
A B
C D
−−
=Λ
Λ0 .
Ce qui s’écrit:
Λ Λ2 1 0− + + =( )A D . (4.2.4)
On obtient ainsi les deux valeurs propres Λ+ et Λ-:
Λ ± = +
± +
−A D A D
2 21
2
. (4.2.5)
Ici, on doit distinguer deux possibilités:
A D+
2
2
> 1 alors les deux valeurs propres et les vecteurs propres sont réels,
et
A D+
2
2
< 1 où les valeurs et vecteurs propres deviennent complexes.
Ces deux cas conduisent à des distributions modales fort différentes. Il convient donc de biendistinguer ces deux géométries de résonateur sphérique.
55
4.1.2 Résonateur à modes non confinés (instable)
La première géométrie définie par la relation A D+
2
2
> 1 conduit, comme nous le
verrons, à des distributions modales très larges qui tendent à sortir de l’axe z au fur à mesure deleur propagation. C’est pourquoi on qualifie ce type de distribution de modes non confinés. Pourle résonateur sphérique vide de la figure 4.1, cette condition devient:
oùg1g2 > 1g1g2 < 0.
La figure 4.3 permet de visualiser ces diverses géométries.
Figure 4.3
Tous les résonateurs à modes non confinés se retrouvent à l’extérieur de la partiehachurée du diagramme.
Les valeurs propres pour ces résonateurs peuvent s’écrire:
Λ + = M et Λ − = 1
M,
(4.2.6)
où MA D A D= +
+ +
−
2 21
2
,
56
et M > 1.
Les deux vecteurs propres correspondants v
rr
++
+=
θ
et v
rr
−−
−=
θ
peuvent s’écrire en termes de
leurs rayons de courbure respectifs, R1+ et R1
- soit:
Rr B
M A1+ +
+
= =−θ
, (4.2.7)
Rr B
MA
1 1− −
−
= =−θ
. (4.2.8)
Notez que ces rayons de courbure sont reliés entre eux par la relation:
1 1
1 1R R
D A
B+ −+ = −
. (4.2.9)
On peut, maintenant, poursuivre l’analyse géométrique en décomposant le rayon initial v
r0
en termes des deux vecteurs propres:
−−++ += rrrvvv αα0 . (4.2.10)
Après n passages de la cellule unitaire (F1-F1) par le canal de lentille (fig. 4.2), on obtient:
−−++
+
= r
DC
BAr
DC
BAr
nnvvv αα0 .
Puisque r+ et r- sont des vecteurs propres, on peut réécrire cette dernière équation de la façonsuivante:
−−
++ += rM
rMrn
n vvvαα0 . (4.2.11)
Lorsque le nombre de passages n augmente, M étant > 1, le vecteur propre v
r− s’atténue de plus
en plus et, finalement, pour n → ∞, on a:
++→ rMr nn
vv α . (4.2.12)
On nomme le paramètre M le grandissement puisque, dans cette géométrie, un rayon situé à unedistance r de l’axe se retrouve, à chaque passe à une distance M × r.
57
On conclut donc que pour ce type de géométrie, un rayon initial se retrouve très loin horsde l’axe, après un grand nombre de passes. Puisque les rayons de l’optique géométrique décriventla trajectoire du vecteur de Poynting moyen, on doit anticiper que ce type de résonateur posséderaun mode fondamental qui occupera tout l’espace transverse disponible. C’est pourquoi on nommecette géométrie résonateur à modes non confinés. Historiquement, cette géométrie était nomméerésonateur instable parce que le rayon géométrique sortait, effectivement, de plus en plus hors del’axe. Cependant, ce type de résonateur est intrinsèquement stable aux perturbations; c’estpourquoi, aujourd’hui, on tente de changer son appellation, bien qu’elle soit solidement ancrée.
Puisque le vecteur propre dominant vr+ est unique et réel, on peut lui associer une onde
sphérique de rayon de courbure R1+ (4.2.7), ayant son centre situé sur l’axe z, à une distance
dB
M A1 =−
.
Figure 4.4
D’autre part, comme indiqué à la figure 4.4, cette onde sphérique, vue par le miroir RM2,s’image en un point source situé à une distance, d2, du miroir RM2 et, résulte en une ondesphérique de rayon de courbureR2
+ sur le miroir RM2. Le mode du résonateur sera donc décritcomme la superposition de ces deux ondes sphériques provenant de ces deux points sources, d1 etd2.
Pour le résonateur sphérique vide de la figure 4.1, on obtient, pour la distance d1:
( )[ ]d
Lg
g g g g g g g1
2
1 2 1 2 1 2 2112
=− + −
. (4.2.13)
Le rayon de courbure R2+ peut se calculer en propageant le vecteur propre vr+ du miroir RM1 au
miroir RM2, selon:
58
( ) ( )122
2 12/2
1++
−−
= rgR
Lr
M
vv
,
et on trouve:
1 1 2
2 1 2R L R RM+ +=
+− . (4.2.14)
Le centre de courbure de cette onde est situé à une distance d2 du miroir RM2 correspondant à:
( )[ ]d
Lg
g g g g g g g2
1
1 2 1 2 1 2 1112
=− + −
. (4.2.15)
En fait, cette solution d’ondes sphériques, obtenue pour ce type de résonateur sphérique, peuts’obtenir (voir exercice 4.1) simplement en cherchant les conditions pour que deux points sourcessoient auto-imagés par deux miroirs se faisant face.
Le résonateur à modes non confinés (instable) s’avère très utile pour les lasers de trèsgrandes puissances. En fait, on peut assurer le couplage en utilisant un miroir RM2 de diamètreplus petit que celui du miroir RM1. La sortie du laser est alors formée par une distributionannulaire de l’énergie qui déborde du miroir RM2. Il est alors utile d’exiger que la sortie soitcollimée, i.e. que le rayon de courbure de l’onde de sortie, ici R1
+ , soit infini. Pour le résonateur
sphérique vide, cette condition (d1 → ∞) se résume à la relation:
2 1 2 1 2g g g g= + , (4.2.16)ce qui s’écrit, aussi:
R RLM M1 2
2 2+ = . (4.2.17)
Cette dernière relation implique que le foyer (RM / 2) de chacun des miroirs est situé au mêmepoint. On nomme ce type de résonateur, les résonateurs confocaux généralisés.
59
Figure 4.5
À la figure (4.5), on montre les deux branches distinctes de la relation (4.2.16), soit labranche négative qui comprend le résonateur confocal, g1 = g2 = 0, et la branche positive quicomprend le résonateur plan parallèle, g1 = g2 = 1, comme cas limite. La figure (4.6) nous montrela géométrie type de ces deux branches. On reconnaît alors que ces résonateurs sont,essentiellement, des télescopes de type Cassegrain.
60
Figure 4.6
En résumé, l’analyse géométrique des résonateurs à modes non confinés, A D+
>2
12
,
nous conduit à une solution sous forme d’ondes sphériques divergentes. Il s’ensuit que l’énergiequi se retrouve près de l’axe s’étale à chaque passe, suite au grandissement M. En termes desrayons de l’optique géométrique, on a vu que les rayons propres ne demeurent pas contenus prèsde l’axe mais, bien au contraire, le grandissement M les fait sortir, de passe en passe, loin del’axe optique. La figure (4.7) nous montre le comportement des ondes sphériques, R+ et R-, pourun résonateur à modes non confinés de géométrie positive et négative.
61
Branche positive :
Branche négative :
Figure 4.7
62
Exercice 4.1
Montrez que la solution géométrique du résonateur sphérique à modes non confinés peuts’obtenir en cherchant les positions, d1 et d2, de deux points sources qui s’auto-imagent, enutilisant la loi habituelle de l’optique :
1 1 1
ρ ρ+
′=
F
d1 vue par RM2 donne d2d2 vue par RM1 donne d1
Exercice 4.2
On a vu que la solution stationnaire du résonateur à modes non confinés correspondait auvecteur propre vr+ qui donne naissance à l’onde sphérique R1
+ sur le miroir RM1.
Montrez que l’onde sphérique R1− du vecteur propre vr− s’écrit:
1 2 1
1 1 1R R RM− += − −
et que celle, associée au miroir RM2, R2− , s’écrit:
1 2 1
2 2 2R R RM− += − −
Discutez de la relation de ces deux ondes sphériques, R1− et R2
− , par rapport aux deuxpoints sources, d1 et d2.
63
Exercice 4.3
Montrez que, pour un résonateur confocal généralisé (2g1 g2 = g1 + g2 ), le grandissementM est donné par la relation :
MR
RM
M
= 1
2
où R RM M1 2> , puisque M > 1.
4.1.3 Résonateur à modes confinés (stable)
Lorsque la géométrie du résonateur satisfait la condition A D+
<2
12
, les valeurs
propres Λ ± deviennent complexes. Nous verrons qu’alors, les rayons de l’optique géométriquedemeurent près de l’axe. Ceci nous permet de prédire une distribution d’intensité des modes,confinée près de l’axe.
On introduit l’angle φ, défini par la relation:
A D+ =2
cosφ .(4.2.18)
Ce qui nous permet d’écrire les valeurs propres, Λ+ et Λ-, simplement par:
Λ ±±= e iφ . (4.2.19)
Le module des deux valeurs propres devrait, alors, être égal à 1. Pour un résonateur sphériquevide, l’angle φ est relié aux paramètres géométriques, g1 et g2, selon:
cosφ = −2 11 2g g . (4.2.20)
La condition, cosφ <1 , correspond aux conditions:
0 11 2< <g g
et g1 = g2 = 0.(4.2.21)
Cette géométrie correspond à la partie hachurée de la figure 4.3 et comprend le point de l’origine,soit le résonateur confocal.
Aux deux valeurs propres, Λ+ et Λ-, correspondent deux vecteurs propres, v
r+ et v
r− :
64
Ar B e ri+ + ++ =θ φ ,
Ar B e ri− −
−−+ =θ φ .
(4.2.22)
Puisque les valeurs propres sont complexes, il s’ensuit que les vecteurs propres le sont aussi. Iln’est pas évident, ici, d’interpréter un rayon géométrique complexe. Cependant, on peut suivre latrajectoire d’un rayon réel quelconque
v
r0 , après n passes dans le résonateur, en utilisant le
résultat de l’exercice 4.4.
Exercice 4.4
Montrez qu’une matrice 2x2, élevée à la puissance n, devient:
( )( )
A B
C D
A n n B n
C n D n n
n
=− −
− −
1 1
1sin
sin( ) sin ( ) sin( )
sin( ) sin( ) sin ( )φφ φ φ
φ φ φ
où cosφ = +A D
2.
On obtient, alors:
( )[ ]{ }r A n n r B nn = − − +11 0 0sin
sin( ) sin ( ) sin( )φ
φ φ φ θ ,
et ( )[ ]{ }θφ
φ φ φ θn C n r D n n= + − −110 0sin
sin( ) sin( ) sin ( ) .
(4.2.23)
On constate, donc, que les rayons, dans ce type de résonateur, demeurent près de l’axe. En effet,l’équation (4.2.23) conduit toujours à une excursion maximale finie, hors de l’axe, du rayon ro.Afin de bien visualiser les trajectoires des rayons, on considère deux cas particuliers; le premier,le résonateur confocal, g1 = g2 = 0, le deuxième, le résonateur où g g1 2
12= .
Premier cas: le résonateur confocal, g1 = g2 = 0:
Pour ce résonateur, on montre que φ = π, A = -1, B = 0, et D = -1. On trouve, alors, que:
r rnn= −( )1 0 ,
et θ θnn= −( )1 0 .
(4.2.24)
65
Pour le résonateur confocal, on conclut donc que les rayons géométriques se retrouventexactement dans la même condition après deux passes. La figure 4.8 nous donne un aperçu de cetype de rayons.
Figure 4.8
Deuxième cas: le résonateur où g1 g2 = ½ :
Pour ce résonateur, on trouve que φ π=2
. On montre alors que:
r An n
r Bn
n =
+
+
sin cos sin
π π π θ2 2 20 0 ,
pour n > 1.
(4.2.25)
Pour un rayon d’angle initial θo = 0, on obtient:
r1 = Aro,r2 = -ro,r3 = -Aro,r4 = ro.
La figure 4.9 nous indique que pour ce résonateur, les rayons se referment sur eux-mêmes aprèsquatre passes complètes.
66
Figure 4.9
Le résonateur à modes confinés (stable) possède, de fait, un grandissement maximal de un, ce quiconfine l’énergie près de son axe optique.
À partir des équations des rayons propres (4.2.22), on peut introduire les rayons decourbure complexe, R+ et R-, à l’aide de la relation R = r/θ. On trouve, de cette façon:
1
2
12
2
R
D A
B
iA D
B±
= −
±
− +
. (4.2.26)
L’interprétation d’un rayon de courbure complexe sera faite plus loin. On analyse, pour l’instant,la partie réelle de la courbure, soit:
1
20R
D A
B= −
.(4.2.27)
Pour le résonateur sphérique, on montre que:
1 1
0 1R RM
= −,
(4.2.28)
c’est-à-dire que la partie réelle de la courbure épouse la courbure du miroir du résonateur. Onpeut suivre ce rayon de courbure à chaque passe et montrer que:
1 1 1
0R R Bn
n
= + sin tan( )φ φ .(4.2.29)
67
On note que la courbure change de passe en passe et qu’après un certain nombre de passes n, ilest possible de retrouver la courbure initiale si nφ = π.
Par exemple, dans le cas du résonateur confocal, on a φ = π. Par conséquent, n = 1, c’est-à-dire qu’une onde sphérique, de rayon de courbure égal au rayon de courbure du miroir, s’auto-reproduit à chaque passe. On pourrait donc conclure que le mode du résonateur confocalcorrespond à cette onde sphérique. Il faut noter, ici, que le résonateur confocal, g1 = g2 = 0, est uncas se situant à la limite des résonateurs à modes confinés et non confinés. Il est, en fait, unrésonateur à modes non confinés de grandissement de un. D’autre part, pour le résonateurg g = ½ 1 2 (φ = π/2), on remarque que le rayon de courbure alterne entre Ro et ∞, à chaquepasse. Pour ce résonateur, le mode n’est donc pas une onde sphérique simple.
Exercice 4.5
À l’exercice 4.1, on a montré que les modes géométriques du résonateur à modes nonconfinés pouvaient s’obtenir à partir de deux points sources qui s’auto-imagent au travers desdeux miroirs. Reconsidérer cette approche pour les résonateurs à modes confinés et interpréterphysiquement le rayon de courbure complexe.
4.1.4 Résonateur à conjugaison de phaseIl est possible de concevoir un miroir dit à conjugaison de phase grâce à des effets
paramétriques comme, par exemple, le mélange à quatre ondes. Ce type de miroir possède lapropriété d’inverser le front d’onde d’un faisceau incident. En notation phaseur, cette inversionde la phase correspond au complexe conjugué de la phase initiale d’où l’appellation de miroir àconjugaison de phase (MCP). Ce type de miroir est utilisé dans des résonateurs afin, enparticulier, de diminuer les effets de perturbation du milieu optique interne.
La matrice de transfert d’un miroir à conjugaison de phase s’écrira, pour les rayonsgéométriques:
(MCP)⇒ 1 0
0 1−
. (4.2.30)
En effet, cette matrice, lorsqu’appliquée à un rayon incident, ne change pas sa hauteur mais
inverse le signe de l’angle d’incidence. Il s’ensuit que le rayon de courbure r
θ
change de signe,
c’est-à-dire qu’il est inversé. Par exemple, une onde divergente incidente sur un MCP estréfléchie en une onde convergente.
On considère le résonateur de la figure 4.10, formé d’un miroir sphérique (RM) et d’unmiroir à conjugaison de phase (MCP) séparés par une distance L.
68
Figure 4.10
Après une passe complète, un rayon v
r0 sur le miroir sphérique se retrouvera à une
position v
r1 , selon la transformation suivante:
01 12
01
10
1
10
01
10
1r
R
LLr
M
vv
−
−
= . (4.2.31)
Ce qui devient, après multiplication:
01 12
01r
Rr
M
vv
−
= . (4.2.32)
La matrice de transfert de ce résonateur ne dépend plus de la longueur L du résonateur. Cettepropriété surprenante est justement ce qui rend ce résonateur fort intéressant.
Les valeurs propres de cette matrice (voir équation 4.2.5) s’écrivent:
Λ ±
±= e
iπ2 . (4.2.33)
Les valeurs propres sont complexes, ce qui nous amène à rapprocher ce type de résonateur à la
famille des résonateurs à modes confinés. Puisqu’il correspond à un angle φ π=2
, on peut
l’associer à un résonateur sphérique g1g2 = 1/2 . Mais puisque A = 1 et D = -1, on doit l’identifierà un résonateur sphérique, g2 = 1 et g1 = 1/2, c’est-à-dire à un résonateur semi-confocal. Notezbien que ceci n’est pas une équivalence pour toutes les propriétés du résonateur à conjugaison dephase, comme nous le verrons plus loin. Par exemple, à la figure 4.11, on indique la trajectoiredes rayons dans un résonateur à conjugaison de phase. On note que même dans le cas où leparamètre g du résonateur à conjugaison de phase est ½, la trajectoire des rayons n’est pas lamême que celle des rayons du résonateur sphérique semi-confocal.
69
Figure 4.11
70
Exercice 4.6
1. Calculez la matrice de transfert d’un miroir à conjugaison de phase devant lequel un élémentoptique paraxial ABCD est placé.
2. Analysez le résonateur à conjugaison de phase contenant un élément optique paraxial ABCD.
4.2 Équations intégrales des résonateurs ouvertsAfin d’obtenir la distribution transverse des champs des résonateurs ouverts, on doit
revenir au modèle de l’optique physique. Nous avons développé ce modèle de l’optique paraxialeau chapitre deux, en dérivant un propagateur paraxial en géométrie cartésienne (2.2.5) et engéométrie circulaire (2.3.14). Les résonateurs laser possèdent, généralement, une géométriecirculaire et, c’est pourquoi, nous limiterons l’analyse à cette géométrie; les résultats pour lagéométrie rectangulaire pouvant être plus facilement déduit par extension (voir note 4.1).L’analyse à faire est sensiblement la même que celle du processus laser. En effet, on suppose unedistribution de départ uo(r,φ) en un plan et on observe, après un grand nombre de passages, ladistribution stationnaire us(r,φ) qui s’établira. Pour un résonateur passif, c’est la géométrie durésonateur qui modifie l’onde se propageant aller-retour à l’intérieur de celui-ci. Dans cettepremière analyse, on néglige la diffraction en supposant que les miroirs RM1 et RM2 (figure 4.1)ont des dimensions transverses très grandes (a → ∞). Par exemple, pour amorcer notre calcul, onpeut situer le plan de référence sur le miroir RM1; la distribution en tout autre plan pourraéventuellement se calculer par une propagation simple à partir de la solution connue sur cemiroir. Il est pratique, en fait, de choisir le centre de courbure du miroir comme plan de référence,c’est-à-dire que le plan de référence, dans le canal équivalent de la figure 4.2, se situe au centrede la lentille F1.
71
On suppose que l’amplitude du champ peut se décomposer en une partie radiale et unepartie angulaire selon:
U r u r e ikL( , ) ( )cos( )
sin( )φ
φφ
=
−l
l
l. (4.3.1)
Le propagateur pour ul(r) a été écrit à l’équation (2.3.14) soit:
u ri
Bu r e J
rr
Br dr
iB
Ar Dr
M
1
1
0 00
0 0
1
2 202 2
( )( )
( )( )=
++−
∫πλ
πλ
πλ
l
l. (4.3.2)
Les éléments de matrice ABCD sont calculés pour un passage aller-retour dans le résonateur:
−
−
−=
1
101
10
11
201
10
11
101
121 MMM R
L
R
L
RDC
BA. (4.3.3)
Pour ce résonateur, on retrouve naturellement:
A D g g= = −2 11 2 ,
B Lg= 2 2 ,
et ( )CL
g g g= −211 1 2 .
(4.3.4)
Partant d’une distribution initiale uo(r), on peut calculer la distribution u1(r) après unepasse complète, au moyen du propagateur (4.3.2) et, par itérations successives, calculer ladistribution après n passes. Lorsque n → ∞, on peut imaginer que la distribution devientstationnaire, c’est-à-dire qu’elle ne change que par un facteur γ constant; on a alors atteint ladistribution modale. En fait, le processus mathématique est tout à fait analogue à celui de lasection précédente qui débouchait finalement à la recherche des valeurs et vecteurs de la matricede transfert. Ici, l’équation mathématique consiste à solutionner l’équation intégrale suivante:
( ) ( )( )
000
0
0
1 2222
0
drrB
rrJeru
B
iru l
B
rrAi
l
l
ll
= ∫
∞ +−+
λπ
λπγ λ
π
, (4.3.5)
uO étant les distributions propres (modes) et γ
O les valeurs propres de cette équation intégrale. Cetype d’équation intégrale se nomme intégrale de Fredholm de seconde espèce homogène.
72
4.2.1 Résonateurs à modes confinésHeureusement pour notre problème, on peut facilement solutionner cette équation intégrale
(4.3.5) au moyen de la fonction génératrice double de Lebedeff (tableau 4.2) qui nous permet deremplacer le noyau de l’équation intégrale par une somme simple de fonction de Gauss-Laguerre:
( )( ) ( ) 00
2
1
000
01 22
220
ρρψρψλπ
λπ θ
λπ
dedrrB
rrJe
B
i ln
lni
n
lnl
B
rrAil
++∞
=
+−+
∑=
,
avec cosθ2
= A ,
ρ πλ
2 2= −C
Br et,
ρ πλ0
202= −C
Br .
(4.3.6)
Tableau 4.1Fonction génératrice double des fonctions Gauss-Hermite Ψn x( ) :
Développement de Mehler*
( )[ ]( ) ( )0
2
1
0
sin
2cos 020
2
sin
1xexe
in
ni
nn
xxxxi
ΨΨ=
+−∞
=
−+
∑θ
θθ
θπ
* E.T. Whittaker, Proceedings Royal Society of Edinburgh, LXIA 1940-41
Tableau 4.2Fonction génératrice double des fonctions Gauss-Laguerre Ψ n
l ( )ρ :
Développement de Lebedeff*
( ) ( )( ) ( )∑
∞
=
++−
++
ΨΨ=
−0
02
1
02cot1
2sin
2
2sin
2 20
2
n
ln
lni
lnl
il
eJei ρρ
θρρ
θθθρρ
* E.T. Whittaker, Proceedings Royal Society of Edinburgh, LXIA 1940-41
Il s’ensuit que l’équation intégrale (4.3.5) est réduite à l’équation suivante:
73
( )γ ρ ψ ρ ρ ψ ρ ρ ρθl l
l
l
ll
u e u dn
i n
nn
( ) ( ) ( ) ( )= +∞
=
∞ +
∫∑1
2
0 0 0 0
00
. (4.3.7)
Suite à l’orthogonalité des fonctions de Gauss-Laguerre (voir tableau 3.2), il est manifeste que lesdistributions propres (modes) de notre équation intégrale sont simplement:
u rm ml
l
, ( ) ( )0 0= ψ ρ , (4.3.8)
et les valeurs propres associées sont:
( )γ θl
l
,m
i me= + +1
2 . (4.3.9)
Par exemple, le mode fondamental devient:
u r eC
Br
0 0
2
, ( ) =− −πλ ,
(4.3.10)
c’est-à-dire que ce mode sera un faisceau gaussien si le rapport C/B est négatif. Pour lerésonateur sphérique décrit précédemment (4.3.4), ce mode devient:
u r e L
g
gg g r
0 0
11
2 1 22
,
( )( ) =
− −πλ . (4.3.11)
Ce mode sera un faisceau gaussien seulement si le résonateur est un résonateur à modes confinés,i.e. 0 < g1 g2 < 1.
Pour cette géométrie, l’angle θ est réel et la valeur propre représentera uniquement unsaut de phase qui fixera la fréquence de résonance du mode. Le module de γ étant l’unité, ce
résonateur à modes confinés n’a pas de pertes. Ceci se comprend facilement en considérant queles miroirs sont de dimensions infinies. Aussi, parce que le mode est purement réel, sa phase,suite au choix du plan de référence, épouse la forme du miroir.
D’autre part, lorsque le rapport C/B est plus grand que zéro (g1 g2 > 1 ou g1 g2 < 0) lemode fondamental devient une onde sphérique paraxiale, ce qui est caractéristique desrésonateurs à modes non confinés. Les valeurs propres γO,m ont des modules plus grands (ou pluspetits) que l’unité, ce qui correspond à une perte géométrique, suite au facteur de grandissementde ce type de résonateur. En fait, on peut montrer (voir exercice 4.7) que ce résultat est tout à faiten accord avec celui obtenu au moyen de l’analyse de l’optique géométrique du résonateur àmodes non confinés. Encore une fois, on constate la concordance entre les solutions de l’optiquegéométrique et de l’optique physique. Cependant, pour le résonateur à modes non confinés, il fautquestionner la légitimité du développement de Lebedeff utilisé précédemment et l’orthogonalitédes fonctions imaginaires dans le cas de Gauss-Laguerre. C’est pourquoi nous étudierons, dans lasection suivante, l’équation intégrale particulière pour les résonateurs à modes non confinés.
Nous avons utilisé, ici, une fonction génératrice double des polynômes de Laguerre pourrésoudre l’ensemble des modes transverses de l’équation intégrale. On peut obtenir simplement la
74
solution du mode fondamental en cherchant (voir exercice 4.8) le rayon de courbure complexe q,associé à un faisceau gaussien, qui s’auto-reproduit après une passe complète dans le résonateur.La solution générale des modes, pour une symétrie cartésienne, s’obtient selon un cheminementanalogue en utilisant la fonction génératrice double de Mehler (voir exercice 4.9).
Exercice 4.7
Montrez que les deux valeurs propres Λ+ et Λ- (4.2.5) du modèle géométrique, pour lerésonateur de la figure 4.1, sont exactement les mêmes que les valeurs propres γ0,0 (4.3.9) del’équation intégrale et ce, pour une géométrie à modes confinés ou non confinés.
Exercice 4.8
Déterminez le mode fondamental gaussien du résonateur à modes confinés, en cherchant le rayonde courbure complexe q qui s’auto-reproduit après une passe complète dans le résonateur de lafigure 4.1. Utilisez le même plan de référence que celui utilisé dans les sections 4.1 et 4.2, c’est-à-dire le plan situé devant le miroir RM1. Vous constaterez alors que votre résultat vous permetd’interpréter le rayon de courbure complexe obtenu en (4.2.26). Discutez comment vous pouvez,selon cette approche, dériver les modes supérieurs.
Exercice 4.9
Pour une géométrie en une dimension transverse (x), déterminez les modes transverses d’unrésonateur général (ABCA) en vous servant du développement de Mehler pour résoudrel’équation intégrale.
4.2.2 Solution asymptotique du résonateur à modes non confinésPour les résonateurs à modes non confinés, le développement de Lebedeff n’est pas
rigoureusement justifié. Cependant, lorsque les dimensions transverses des miroirs sont trèsgrandes, il est possible de dériver une forme asymptotique des distributions modales durésonateur à modes non confinés, au moyen de la méthode de la phase stationnaire (voir note 2).Afin de simplifier l’analyse, nous considérons une géométrie cartésienne à une dimensiontransverse (x). Après une passe complète, l’amplitude u1(x) est reliée à l’amplitude initiale u0(x0)par l’intégrale:
u xi
Bx u x e dx
i
BAx xx Dx
a
a
1 0 0 0
2
0
02
02
( ) ( ) ( )( )
=− − +
−∫λ
ρπ
λ . (4.3.12)
75
Ici, on a ajouté une réflectivité ρ(x0) devant le miroir de sortie, afin de pouvoir utiliser le résultatdémontré pour les résonateurs à miroirs de réflectivité variable que nous étudierons plus loin. Lafigure 4.12 nous montre une géométrie typique, équivalente en propagation, pour le cas général(ABCD).
Figure 4.12
Lorsque la dimension transverse (a) du miroir de sortie est très grande, l’exponentiellecomplexe du noyau de l’intégrale oscillera rapidement et l’intégration asymptotique, au moyendu principe de la phase stationnaire, s’avère utile. Cependant, avant de l’appliquer, il faut êtrecertain que la fonction sous l’intégrale ρ(x0)u0(x0) n’oscille pas elle-même autant que le noyau.La réflectivité ρ(x0), en pratique, est une fonction qui varie lentement. Mais, lorsque a → ∞, onsait que la solution pour u0(x0) est donnée par une exponentielle complexe (onde cylindrique) quel’analyse géométrique nous a permis de calculer (voir éq. 4.2.7). Pour le rayon de courbure R+
correspondant à un grandissement M, cette solution s’écrit:
( )u x e
i
BM A x
0 0
02
( ) =− −π
λ . (4.3.13)
D’autre part, l’analyse géométrique nous montre qu’après une passe complète dans un systèmeABCD, cette amplitude sera changée en:
u x ei
BD
Mx
1
1 2
( ) =− −
πλ . (4.3.14)
Afin d’enlever de l’intégration ces oscillations rapides anticipées, on pose:
( )u x v x e
i
BM A x
0 0 0 0
02
( ) ( )=− −π
λ ,et
u x v x ei
BD
Mx
1 1 1
1 2
( ) ( )=− −
πλ .
(4.3.15)
L’intégrale de l’équation (4.3.12) devient alors pour les distributions υ(x):
76
v xi
Bx v x e dx
i
BMx xx
x
M
a
a
1 0 0 0
2
0
02
0
2
( ) ( ) ( )=− − +
−∫λ
ρπ
λ . (4.3.16)
Maintenant, lorsque a → ∞, on anticipe que les fonctions υ (x) varient lentement et on peutappliquer la méthode de la phase stationnaire. Le point stationnaire (voir note 2) se situe à
xx
Ms = et l’intégrale (4.3.16) sera, au premier ordre, donnée par:
v xM
x M v x M1 0
1( ) ( ) ( )≈ − ρ , (4.3.17)
le terme suivant est négligé, étant de l’ordre de λπ
B
a2
.
Pour une géométrie à deux dimensions (x,y), on pourrait écrire cette équation:
( ) ( )v x yM
vxM
yM
xM
yM1 0
1( , ) , ,= − ρ ,
ou, plus simplement, pour la géométrie circulaire habituelle:
( ) ( )v rM
vrM
rM1 0
1( ) = ρ . (4.3.18)
Les modes du résonateur seront déterminés selon cette approche asymptotique, en exigeant qu’àl’état final v r v r1( ) ( )= γ et v r v r0 ( ) ( )= soit:
( ) ( )γ ρv rM
vrM
rM( ) = 1
. (4.3.19)
Cette équation transcendante correspond bien à la physique du résonateur à modes non confinés.En effet, en changeant r par Mr, on peut l’écrire:
( ) ( )γ ρv MrM
r v r( ) = 1. (4.3.20)
On voit maintenant qu’un point d’amplitude υ à une distance transverse r est modifié par leréflectivité locale ρ(r) et se retrouve, après une passe, à une distance Mr, mais atténué d’unfacteur 1
M. Il faut aussi se rappeler que cette distribution d’amplitude υ (r) est localisée sur
l’onde sphérique prédite par le modèle géométrique. Anan’ev et Sherstolritov (Sov. J. QuantumElectron., 1, 263, 1971) ont montré que la solution de l’équation (4.3.19) peut s’exprimer comme:
( )v r
rM
n
n
001 0
( )( )
==
∞
∏ρ
ρ, (4.3.21)
77
avec γ ρ0
0= ( )
M,
pour le mode fondamental. Les modes supérieurs s’écrivent alors:
v r v r rmm( ) ( )= 0 ,
γγ
m mM= 0 .
(4.3.22)
La perte asymptotique du résonateur sera donc:
Γm mM= − = − +1 1
022
2 2γ ρ ( )
. (4.3.23)
Cette solution asymptotique s’avérera très utile pour l’analyse de résonateurs à grand nombre de
Fresnel a
B
2
λ
munis de miroirs à réflectivité variable (e.g. voir exercice 4.10).
Exercice 4.10
On considère un résonateur à modes non confinés de grandissement M muni d’un miroir de
sortie à réflexion super-gaussienne ρ ρ( )r er
WM
m
=−
0 . L’entier m = 0, 1, 2,... défini la forme ducoefficient de réflectivité.
Résolvez l’équation transcendante (4.3.19), avec cette réflectivité pour le modefondamental.
1. Déterminez la forme analytique de la distribution sur le miroir de sortie υ (r), ainsi que ladistribution réfléchie vers le résonateur.
2. Calculez la perte du résonateur.3. Analysez la distribution de sortie en intensité donnée par:
( )I r r v rsortie ( ) ( ) ( )= −1 2 2ρ
En particulier, étudiez l’intensité de sortie pour:
ρ02
1
1
1
M m
>=<
78
4.2.3 Résonateurs à conjugaison de phaseÀ la section 4.2.4, on a introduit le miroir à conjugaison de phase (MCP) et sa matrice de
transfert des rayons 1 0
0 1−
. Il faut noter que cette matrice n’a pas la propriété essentielle
AD BC− = 1 pour les composants optiques normaux. Il faut donc être prudent lorsqu’on utilisecette dernière. En fait, l’opération conjugaison de phase d’un tel miroir consiste à réfléchir lechamp sous la forme de son complexe conjugué:
( ) ( ) ( )MCP u r u rsortie entré e⇒ = ∗ρ0 , (4.3.24)
où ρo est un coefficient de réflexion en amplitude.
On considère, ici, le résonateur à conjugaison de phase de la figure (4.13) et, on tente detrouver l’équation intégrale de ce résonateur pour la distribution uo(r), sur le miroir sphérique.
Figure 4.13
La propagation de uo(r), vers le miroir à conjugaison de phase, change ce dernier en u1(r) où:
( )u ri
Lu r e J
r r
Lr dr
iL
r r
M
1 1
1
0 01 0
0 0
2 202
12
1
( ) ( )=
++−
∫πλ
πλ
πλ
l
l. (4.3.25)
La distribution u1(r) est changée par le miroir à conjugaison de phase et devient, au retour, u2(r)tel que:
u r u r2 1( ) ( )*= . (4.3.26)
N.B. Ici, le coefficient de réflexion ρo est supposé l’unité puisqu’on effectue,actuellement, l’analyse de résonateur passif.
79
Après sa propagation vers le miroir sphérique et sa réflexion sur celui-ci, l’amplitude u2(r)devient u3(r):
( ) ( ) ( )[ ]11
112
12
1
3
22 221
2
drrL
rrJeru
iru l
rgrL
i
M
l
=
−+−+
∫ λπ
λπ λ
π
. (4.3.27)
Ces trois équations permettent de relier directement la distribution u3(r) à celle de uo(r):
( ) ( ) ( )[ ] ( ) 000
12
0*03 ,
220
1
drrrrerururgr
L
i
M
ϑλπ −+−
∫= , (4.3.28)
où: ( ) 11110
2
0
222,
2
drrL
rrJ
L
rrJ
Lrr l
M
l
= ∫ λ
πλπ
λπϑ . (4.3.29)
Si on suppose, maintenant, que le miroir à conjugaison de phase a une dimension infinie,le noyau ϑ(r,ro) devient simplement (voir exercice 4.11) la fonction delta de Dirac et, ainsi, onobtient:
( ) ( ) MR
ri
eruru λπ 22
*03 = ,
puisque gL
RM
= −1 .
(4.3.30)
La recherche des modes du résonateur se fait en exigeant qu’à l’état stationnaire, le champuo(r) s’auto-reproduit à une constante γ près:
( ) ( ) MR
ri
eruru λπ
γ22
*= .
Cette dernière équation peut s’écrire:
( ) ( )*22
=
−−
MM R
ri
R
ri
erueru λπ
λπ
γ . (4.3.31)
La solution de cette équation est immédiate. En effet, n’importe quelle fonction u(r) réelle(u(r) = u*(r)) qui épouse la forme du miroir RM est solution. Ce résonateur est donc un résonateurdégénéré qui ne possède pas de fréquence de résonance propre (indépendance sur L) et qui peutsupporter toutes sortes de distributions. Cependant, nous verrons plus loin que ce résonateur perdcette fameuse propriété lorsque le miroir à conjugaison de phase est de dimension finie.Exercice 4.11
80
Au moyen de la relation de conservation de l’énergie, montrez que l’intégrale (4.3.29) estbien une fonction delta de Dirac, lorsque effectuée de 0 à l’∞.
Exercice 4.12
Effectuez l’analyse de l’équation intégrale du résonateur à conjugaison de phase pour ladistribution u(r) située devant le miroir à conjugaison de phase.
Montrez alors que l’équation intégrale se réduit à celle du résonateur à modes confinésg g1 2 0= = , c’est-à-dire que ce résonateur est équivalent à un résonateur confocal. Enparticulier, le mode fondamental peut s’écrire:
u r e ei Ar
BrB
0
2 2
( ) =−π
λπλ .
4.2.4 Résonateurs à miroir de réflectivité gaussienneDans les trois sections précédentes, nous avons analysé divers types de résonateurs selon
l’approximation que les miroirs avaient des dimensions transverses très grandes, en fait desdimensions infinies. Plus loin, nous considérerons les résonateurs de dimensions finies, en tenantcompte de la diffraction autour de l’extérieur des miroirs. Cependant, sauf pour le résonateurconfocal (g1 = g2 = 0), nous devrons limiter l’analyse à travers des exemples numériques. Unefaçon fort élégante et pratique de limiter la dimension d’une ouverture, tout en conservant lesmathématiques simples du faisceau gaussien, est d’introduire une transparence gaussienne devantcelle-ci:
ρ( )r er
WA=−
2
2
, (4.3.32)
où WA est la largeur type de l’ouverture au point 1/e en amplitude.
Une distribution initiale quelconque u0(r), après son passage au travers ce filtre gaussienρ(r) et, suivie par une propagation au travers un système optique paraxial ABCD, deviendra:
81
u rB
i u r r e JB
rr r dri
BAr Dr
( ) ( ) ( )( )
=
+ − +∞
∫2 21
0 0 0 0 0 0 0
0
02 2π
λρ π
λ
πλl . (4.3.33)
On remplace le filtre ρ(r0) par son expression (4.3.32) dans (4.3.33) pour obtenir:
u rB
i u r e JB
rr r dri
BA r Dr
( ) ( )( )
=
+ − +∞
∫2 21
0 0 0 0 0 0
0
1 02 2π
λπ
λ
πλl ,
où A Ai B
WA1 2
= − λπ
.
(4.3.34)
(4.3.35)
L’effet du filtre gaussien WA change simplement l’élément de matrice A en A1 (4.3.33) sansmodifier B et D.
Cette action du filtre peut de caractériser par une matrice de transfert définie selon:
A B
C D
A B
C D
i BW
iW
A
A
−
=
−
λπ
λπ
2
21
1 0
1. (4.3.36)
On déduit ainsi que le filtre gaussien WA peut se représenter par une matrice des rayons:
Filtre gaussien ⇒ 1 0
12−
i
WA
λπ
. (4.3.37)
Cette matrice possède la propriété essentielle AD - BC = 1 mais, l’élément C est imaginaire pur,ce qui implique que l’effet du filtre affecte l’intensité du faisceau et non sa phase. Naturellement,ce filtre gaussien atténuera l’intensité transmise et il n’y aura plus conservation de l’énergie mais,on aura:
u r rdr r u r rdr( ) ( ) ( )2 2
0
2
00
=∞∞
∫∫ ρ .
D’autre part, il est possible de fabriquer un miroir à réflectivité variable et de coupler,presque sans pertes, la partie complémentaire vers l’extérieur. La matrice de transfert de cenouveau composant s’écrit:
miroir gaussien ⇒ 1 0
022− −
RiWM A
λπ
, (4.3.38)
où RM est le rayon de courbure du miroir sur lequel est fabriqué le filtrage gaussien WA. Ce typede miroir est de plus en plus utilisé dans les résonateurs laser et il permet de contrôler la taille dumode fondamental de ceux-ci.
82
Nous analyserons maintenant un résonateur ouvert tel que représenté à la figure 4.1, ensupposant que le miroir de couplage RM1 est muni d’un miroir à réflectivité gaussienne.L’équation intégrale du mode fondamental (O = 0) sera solution de l’équation suivante:
γ πλ
πλ
πλ
0 0 0 0 0 0 0 0
0
2 202 2
u ri
Bu r e J
Brr r dr
i
BAr Dr
( ) ( )( )
=
− +∞
∫ , (4.3.39)
où u0(r) est le champ réfléchi sur le miroir RM1, c’est-à-dire qu’on a alors:
A g= −2 12 ,
B g L= 2 2 ,
D g g gg i
WA
= − − −4 2 12
1 2 22
2
λπ
.
(4.3.40)
Les équations (4.3.40) sont les mêmes que les équations (4.2.2) où on a changé
g1→11
2− −L
R
i L
WM A
λπ
, afin de tenir compte de la réflectivité gaussienne (WA) du miroir M1. On
peut résoudre cette équation intégrale (4.3.39) au moyen de l’intégrale I2:
e J t tdt et− −∞
=∫ αβαβ
α2 2
2
2
0 24
0
1
2( ) . (I2)
Cette intégrale I2 nous montre que l’intégrale d’une gaussienne multipliée par la fonction deBessel J0 nous redonne une autre gaussienne. On suppose donc que le mode fondamental seragaussien:
u r ei r
q0
2
0( ) =− π
λ , (4.3.41)
où q0 est un nombre complexe.
Après intégration, cette gaussienne sera changée en:
γπλ
πλ
0
2
0
0
0
0
21
eA
ei r
q
Bq
i Cq D
Aq Br− − +
+
=+
. (4.3.42)
La solution sera donnée pour q0 en calculant la valeur qui satisfait:
qAq B
Cq D00
0
=++
, (4.3.43)
83
et la valeur de γ0 sera:
γ 0
1
0
=+A B
q
. (4.3.44)
La solution de l’équation (4.3.43) consiste à chercher la valeur de rayon de courburecomplexe de faisceau gaussien u0(r) au moyen de la relation (ABCD) des éléments de la matricede transfert. Nous aurions bien pu anticiper ce résultat, cependant, ici, nous l’avons légitimé suiteà l’utilisation de l’intégrale connue I2. D’autre part, il faut noter que l’analyse purementmatricielle de ce résonateur ne nous aurait pas donné la valeur de γ0. La solution de la relation(4.3.43) sera :
B
q
D A D A
0
2
2 21= − ± +
− ,
où 1 1
02q R
i
W= − λ
π,
(4.3.45)
et la valeur de γ0 devient:
γ 0
2
2 21= + +
−D A D Am . (4.3.46)
Ici, la valeur de D est complexe, ce qui rend difficile le calcul du rayon de courburesphérique du mode R et de sa largeur type W. Cependant, on verra plus loin qu’un des signesconduit à une valeur positive pour W2, c’est-à-dire à un mode confiné gaussien et ce, même si lagéométrie de résonateur est du type à modes non confinés (instable). De même, il est évidentqu’en général le rayon de courbure R ≠ -RM1, c’est-à-dire que le rayon de courbure de l’ondesphérique stationnaire n’épouse pas la forme du miroir et ce, même si la géométrie du résonateurest du type à modes confinés (stable). Il y a donc toujours un grandissement dans ce type derésonateur complexe.
Exercice 4.13
Calculez le mode fondamental du résonateur semi-confocal (g1 = 1, g2 = ½), dont le miroir
plan possède une réflectivité gaussienne ρ( )r er
WA=−
2
2
.
Effectuez ce calcul pour le mode sur le miroir plan et, par la suite, transportez la solutionsur le miroir sphérique.
84
Discutez votre résultat lorsque la nombre de Fresnel de l’ouverture gaussienne πλW
LA2 1
2= , 1
et 2. Pour ces mêmes valeurs, dessinez le faisceau de sortie suite au passage à travers le miroirgaussien.
Exercice 4.14
Calculez le mode fondamental du résonateur à géométrie non confinée (g1 = 1, g2 = -½), dont le
miroir plan possède une réflectivité gaussienne ayant un nombre de Fresnel NW
LA=
πλ
2
.
Afin de simplifier les calculs, on suppose que le nombre de Fresnel N est très grand.Trouvez le mode gaussien incident sur le miroir plan ainsi que le mode gaussien réfléchi par lemiroir gaussien.
85
Note 4.1
En coordonnées circulaires (ρ,φ,z) la partie transverse du Laplacien s’écrit:
∇ =
+T ur r
u
r r
u22
2
2
1 1∂∂
ρ ∂∂
∂∂φ
.
Si on cherche une solution de la forme:
ur
vcir =
1l
l
l
cos
sin
φφ
,
on peut montrer que:
−+
∂∂
=∇2
22
22
4
11
rl
rrll
lT
ννν .
On observe alors que si on possède une solution vO pour, par exemple, l’équation d’onde
paraxiale:
∇ − =T v ikv
z2 2 0
l
l∂∂
,
les solutions O�= ± ½ correspondront à la solution cartésienne:
∂
∂
∂
∂
2
2
12
122 0
v
rik
v
z± ±+ = .
Par exemple, si on utilise toujours le propagateur sous la forme circulaire (2.3.14), lessolutions cartésiennes (2.3.12) pourront en être déduites en remplaçant O = -½ pour les solutions
paires, O = ½ pour les solutions impaires, et en divisant par r .
On peut vérifier ce résultat général en obtenant le développement de Mehler (tableau 4.1)à partir de celui de Lebedeff (tableau 4.2) pour O�= ± ½ et des relations suivantes:
( )xHn
xL nn
n
n 222!
)1()(2
1 −=− ,
et ( )L xn x
H xn
n
n n
12
1
22 1 2 1( )( )
!= −
+ + ,
qui lient les polynômes de Laguerre à ceux d’Hermite.
86
Note 4.2 Méthode de la phase stationnaire
On rencontre souvent en optique des intégrales de la forme:
I = g x e dxikf xc
( ) ( )
0∫ .
Lorsque le paramètre k est très grand, l’exponentielle complexe est une fonction oscillatoirerapide. Si g(x) est une fonction qui varie lentement, on montre que le résultat de l’intégrationdevient:
If x
g x ee
k kss
i ikf xs
= − +
+−π π
20
14
( )( )
( )
...
où xs est le point stationnaire de f(x), c’est-à-dire que df
dx x xs
==
0 .
Réf.: Born and Wolf, Principles of optics, Pergamon Press, 1975.
