1 ELECTROMAGNETISME II Les régimes variables et les équations de Maxwell

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ELECTROMAGNETISME II

Les régimes variables et les équations de Maxwell

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Chapitre 1 L1 : RAPPELS (1)L’outil mathématique

Les champs et les opérateurs différentiels

Champ scalaire, champ de vecteur

Opérateurs différentiels et équations locales

Champ et symétrie (recherche des plans de symétrie et d’antisymétrie, vecteur ou vecteur polaire et pseudo-vecteur ou vecteur axial )

Champ uniforme

Champ stationnaire, permanent, constant

Fonction de plusieurs variables et différentielle de cette fonction

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Champ de vecteurs aLignes de champ

dOM x a = 0;

dOM = k a ; dx/ax = dy/ay = dz/az;

Circulation

CM1M2 = (M1,M2) a.dOM ;

l’intégrale est calculée le long de la courbe d’un point M1 à un point M2

Élément de surface orienté et flux

surface s’appuyant sur un contour orienté et « règle du tire bouchon de Maxwell »

surface fermée et « de l’intérieur vers l’extérieur »

S a.dS

dans le cas d’une surface fermée on parle de flux sortant

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Définition des opérateurs différentiels.

Espace rapporté à des coordonnées cartésiennes (O;ex,ey,ez)

Le gradient : champ de vecteur attaché à un champ scalaire f

grad f(x,y,z) = (f/x )ex +(f/y)ey +(f/z)ez

df = grad f . dOM : la circulation élémentaire de grad f est égale à la différentielle de la fonction f

le vecteur grad f est normal aux surfaces f = Cte et dirigé vers les valeurs croissantes de f

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La divergence : champ scalaire attaché à un champ de vecteur a

div a = ax/ x + ay/ y + az/ z

Définition intrinsèque de la divergence de a :

Soit leflux sortant de l’élement de volume

Alors div a = lim d0 (/ )

Interprétation de la divergence

on prend un champ a = OM

lignes de champ divergent ou

convergent à partir du point

O suivant le signe de alpha

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Le rotationnel :

champ de vecteur attaché à un champ de vecteur a

rot a = (az/y-ay/z)ex+ (ax/z-az/x)ey+(ay/x-ax/y)ez

On peut exprimer rot a à l’aide du déterminant d’une matrice

Définition intrinsèque du rotationnel :

(rot a).n = lim S 0 C/ S

Un contour fermé ,

un sens de circulation positif, une surface S,

un vecteur normal n et une circulation C

Interprétation physique du rotationnel

il évoque la rotation ……………………

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Le laplacien scalaire ; le laplacien vectoriel

V = 2V/x2 + 2V/y2 + 2V/z2;

a = (ax) ex + (ay) ey + (az) ez ;

L’équation V = 0 porte le nom d’équation de Laplace

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Tous ces opérateurs sont linéaires.

une constante

Op(a) = Op(a) ; Op(a1+a2) = Op(a1)+Op(a2)

Op(f) = Op(f): Op(f1+f2) = Op(f1) +Op(f2)

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Combinaison deux à deux des opérateurs différentiels du premier

Ordre

div(grad f) = f

div(rot a) = 0

rot (grad f) = 0

rot(rot a) =grad(div a) – a

Le vecteur Nabla en coordonnées cartésiennes :

= ex /x + ey /y + ez /z;

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Théorème de Green-Ostrogradsky

S fermée a.dS = V(S) divad

Pour démontrerce théorèmeil faut utiliser la définition intrinsèque de div a et découper le volume V en petits parallélépipèdes et prendre en compte que pour deux éléments de volume ayant une face commune l’aspect flux sortant ………..

À connaitre, très utile, pour une démonstration math rigoureuse voir cours d’analyse…….

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Théorème de Stokes-Ampère

. fermée a.dl = () rot a . dS

circulation de a sur le contour fermé sur lequel s’appuye la surface ouverte ;

Le sens de dS est fixé par le sens positif de circulation sur Ce théorème est admis et à connaitre

La démonstration ….. Utilise définition intrinsèque de rot a

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L2 : RAPPELS (2)

Les équations locales des régimes statiques

• 1. Champ électrique E pour une distribution de charges caractérisée par la densité volumique (P)

– rot E = 0 . (1)

– div E = /0 . (2)

Le champ E tend vers 0 lorsqu’on s’éloigne à l’infini de la

distribution de charges. Cette condition et les équations 1 et

2 suffisent pour déterminer parfaitement le champ E.

Les théorèmes de Stokes-Ampère et Green-Ostrogradsky

permettent d’écrire les relations intégrales correspondantes

rot E = 0 C fermée E.dl = 0

div E = /0 S fermée E.dS = 1 V(S)d

Cette dernière relation exprime le théorème de Gauss

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L2 : RAPPELS (2)


2. Potentiel électrique et équation de Poisson

V : E = - grad V . (3)

div grad V + /0 = 0

Equation de Poisson :

V + /0 = 0. (4)

Cette équation définit de façon unique une fonction V lorsque les conditions aux limites et sont données

Les équations (3) et (4) sont équivalentes aux équations (1) et (2) pour le calcul de E

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L2 : RAPPELS (2)Les équations locales des régimes statiques

On déduit de ces équations le champ et le potentiel d’une charge ponctuelle :

E(M) = (1/ 40 )q(P) PM / PM3.

V(M) = (1/ 40)q(P) / PM +Cte

Pour une distribution de charges (P) on obtient :

E(M) = (1/ 40 ) ((P) PM / PM3)d.

V(M) = (1/ 40) ((P) / PM) d

L’expression de V correspond à V = 0 à l’infini. Ce choix peut

ne pas convenir si la distribution comporte des charges à l’infini

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L2 : RAPPELS (2)Les équations locales des régimes statiques

3. Loi de Coulomb

F = qE

4. Les équations locales + loi de Coulomb

Formulation des lois de l’électrostatique.

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L2 : RAPPELS (2)


• 5. Continuité de V et discontinuité de E en présence d’une distribution superficielle de charges ( = dq/dS)

E2 – E1 = (/ 0) n12

La composante tangentielle de E est continue à la traversée d’une surface chargée

La composante normale de E subit une discontinuité égale à / 0 à la traversée d’une surface chargée

• 6. Le potentiel n’admet pas d’extremum en dehors des charges

• 7. Energie électrostatique d’une distribution de charge

Ue = D (P)V(P)d = 0 /2 espace E2 d .

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L2 : RAPPELS (2)


• 1. Champ magnétique B pour une distribution volumique statique de courants j(P)

div B = 0. (5)

rot B = 0j. (6)

B tend vers 0 lorsqu’on s’éloigne à l’infini d’une distribution de courant.

Le théorème d’Helmholtz montre que les équations 5 et 6, avec la condition à l’infini, suffisent à déterminer parfaitement le champ B

Les théorèmes de Stokes-Ampère et Green-Ostrogradsky permettent d’écrire les relations intégrales :

rot B = 0j C fermée B.dl = 0 S(C) jdS

div B = 0 S fermée B.dS = 0

La première relation traduit l’inexistence de charges

magnétiques, la seconde le théorème d’Ampère

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L2 : RAPPELS (2)


• 2. Potentiel vecteur du champ magnétique

A : B = rot A (7)

Si A est solution A + grad f est aussi solution pour tout champ scalaire f

• Équation locale A, j :

A + 0j = 0 avec div A = 0. (8)

Avec = grad div A - rot rot A .

div A = 0 est obtenu en utilisant le fait que A n’est défini qu’à un gradient près.

• Pour le calcul de B les équation 5 et 6 sont équivalentes aux équations 7 et 8

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L2 : RAPPELS (2)


• On déduit de 5,6 et 7,8 les expressions du potentiel et du champ pour une distribution volumique de courant :

A(M) = 0 /4 j (P) /PM d

B(M) = 0 /4 ( j (P) x PM) / PM3 d

• On sait que pour un circuit filiforme il suffit de remplacer jd par Idl on reconnaît alors la formule de Biot et Savart

B(M) = 0 /4 ( Idl(P) x PM) / PM3

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L2 : RAPPELS (2)


• 3. Discontinuité du champ B dans le cas d’une distribution superficielle de courants

B2 – B1 = 0 ( jS x n12) .

La composante tangentielle de B subit une discontinuité à la traversée d’une nappe de courant

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L2 : RAPPELS (2)


• 4. Action d’un champ magnétique– Force de Lorentz F = q(E + v x B)– Action mécanique exercées par B sur une boucle de

courant • df(P) = Idl(P) x B (P)

• d0 = OP x df , …..

• Soit M = IS le moment magnétique du circuit…..

Alors à l’échelle de la boucle de courant l’action mécanique se traduit essentiellement par un couple qui tend à orienter M selon B :

= M x B

et si on tient compte de l’inhomogénéité de B la résultante de la force de Laplace :

R = ( M.grad ) B

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L2 : RAPPELS (2)


• 5. Dipôle électrique• Soit p( O) (= q NP) alors V(M) et E(M)

V(M) = (1/ 40 ) ( p.OM )/OM3 .

E(M) = (1/ 40 ){3(p.OM)OM/OM5 – p/OM3}

• 6. Dipôle magnétique• Soit M (O) (= IS ) alors B(M) et A(M)

A(M) = (0 /4) (M x OM) / OM3

B(M) = (0 /4) {3OM(M .OM)/OM5 – M / OM3}

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