1 Eléments de Mécanique des - HECE - University of ... - Couche limite laminaire 09... · 1 1 Eléments de Mécanique des Fluides. be ArGEnCo– MS²F ‐Hydrologie, Hydrodynamique

1

1

Eléments de Mécanique des Fluides

.be

q

ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)

http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

• Ecoulements irrotationnels et fluide visqueux

• Notion de couche limite – liaison aux conditions limites de non-glissement

• Ecoulements laminaire et turbulent

Objectifs de la séance

.be

Ecoulements laminaire et turbulent– Expérience de Reynolds

– Ecoulements en transition et établi

• Dimension caractéristique de la couche limite– plaque oscillante

– Plaque infiniment mince

– Formulation générale des équations de la couche limite


http://w

ww.hach.ulg.ac. Formulation générale des équations de la couche limite

• Décollement de la couche limite– Liaison avec la prise en compte d’un gradient de pression

• Couche limite et traînée

2

3

• Historiquement, les écoulements irrotationnels sont étudiés pour résoudre le problème « extérieur » si Re >> 1

• Le problème « intérieur » couche limite est un lieu

Ecoulements irrotationnels – domaine d’application.be

• Le problème « intérieur », couche limite, est un lieu d’épaisseur limitée où la viscosité est dominante

• La liaison entre les deux est assurée par cohérence du champ de vitesse à l’interface


http://w

ww.hach.ulg.ac.

4

• Les solutions de base de l’écoulement irrotationnel sont définies pour un domaine spatial infini où les conditions limites sont imposées

Ecoulements irrotationnels – domaine d’application

.be

• La modélisation d’écoulement autour de corps fictifs est possible mais il n’est possible de les remplacer par des corps réels que dans l’hypothèse supplémentaire d’un fluide parfait (pas de viscosité)

Il ff j li t d ti l à l i


http://w

ww.hach.ulg.ac. • Il y a en effet toujours glissement des particules à la paroi

3

5

• Rappel : vitesse tangentielle pour un corps fictif en rotation :


2 sin2c

c

v r r Ur

.be

• Cette vitesse dépend de , un cylindre réel en rotation aurait une vitesse tangentielle constante

il existe un glissement différentiel entre le fluide et le corps réel

c


http://w

ww.hach.ulg.ac.

p

valable uniquement pour un fluide parfait

6

Rappel : Corps imperméable

• En toute généralité, à la paroi d’un corps imperméable, une particule fluide adhère à la paroi :

U W

.be

• Si le corps est fixe :

fluide à la paroi surface du corps

fluide à la paroi0U

U

n


http://w

ww.hach.ulg.ac. 0U n U t t

4

7Rappel : Corps imperméable

• Pour un fluide parfait, il n’y a pas de viscosité et donc pas de frottement entre le fluide et le corps:

tangentielle 0U

.be

• Pour un corps imperméable dans un fluide parfait, la condition sur la vitesse normale est donc suffisante :

tangentielle 0U


http://w

ww.hach.ulg.ac.

U n W n

8

• Cohérence des conditions aux limites pour l’équation de Laplace :– Equation en dérivées secondes

– Besoin analytique d’une seule condition à chaque frontière

Vis à vis des équations complètes il s’agit d’un problème aux


.be

– Vis-à-vis des équations complètes, il s’agit d’un problème aux perturbations singulières

– Pour un domaine spatial infini, approche cohérente vu le report des conditions aux limites

• Questions à se poser :– Un écoulement irrotationnel est-il physiquement possible en présence

d’une paroi fixe ou mobile ?


http://w

ww.hach.ulg.ac.

– Il a été démontré « Un écoulement irrotationnel d’un fluide newtonien incompressible ne mobilise pas les contraintes visqueuses » (cours 5 slide 34). Quelle en est la signification physique ?

– Pour un domaine spatial fini, quelle est l’influence des conditions aux limites de non-glissement observées pour un fluide visqueux (même faiblement) ?

5

9

• Considérons deux cylindres concentriques en rotation

• Conditions aux limites : parois solides imperméables

• Quelle sont les caractéristiques de l’écoulement stationnaire ?

Ecoulement entre deux cylindres coaxiaux.be

ω1

ω2

rV


http://w

ww.hach.ulg.ac.

10

• Développement d’un écoulement irrotationnel possible ?

h

Ecoulement entre deux cylindres coaxiaux

.be

• 2 approches :– Résoudre Navier-Stokes en général et chercher les conditions suffisantes

– Poser l’irrotationnalité et chercher les conditions suffisantes


http://w

ww.hach.ulg.ac.

6

11 Passage en coordonnées cylindriques…

Ecoulement entre deux cylindres coaxiaux – Navier‐Stokes

ω1

ω2

rV

, , , ,x y z r z , , , ,ru v w v v w

.be

→N-S pour un écoulement stationnaire et un fluide incompressible

, , , ,y , , , ,r

2

2 2

10

1 20

r r

i r r r rr r

i

vv v w

r r r zu v v vv v v vp

v w vx r r r z r r r


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2 2

1 1 2j r ri j r

i j

r

u p v v v v v v v vpu u v w v

x x r r r z r r r

vw wv

r r

1w pw w

z z

12

• L’écoulement est symétrique

Ecoulement entre deux cylindres coaxiaux – système simplifié

0

0

rv

v f r

w

p f r

.be

• Les 4 équations de N-S se réduisent à :

2

2

1

0

v p

r r

vv

r

2 21 1v v v


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Ou encore :2 2

v rr r r r z

2

2

1

10

v p

r r

v vr

r r r r

v

p f v

7

13

CL (aux parois):


2

10

v vr

r r r r

Bv r Ar

r

Composante rotationnelle

Composante irrotationnelle

.be

1 1 1

2 2 2

1 1

v r r r

v r r r

p r r p

(non glissement)

(référence)

2 2


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2 22 2 1 1

2 22 1

2 21 2 2 1

2 22 1

r rA

r r

r rB

r r

14

• Expressions finales de la vitesse et de la pression :


2 22 21 2 2 12 2 1 1

2 2 2 22 1 2 1

1r rr rv r r

rr r r r

2 2

.be

• Condition suffisante d’un écoulement irrotationnel :

2 22 22 2 2 2 2 2 4 41

1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 12 2 22 2 12 1

1 12

2

r rp r p r r r r r r r r

r rr r

Ecoulement de Taylor-Couette entre deux cylindres pour un fluide visqueux

2 22 2 1 1

2 22 1

0r r

r r

2r


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2 2 2 1

1 1 1 2

v r r

v r r

1

1r

v rr

2v

r

Rappel : vortex libre

2 2 21 1 1

1 21

2

r rp p

r

8

15

• Ecoulement irrotationnel entre deux cylindres en rotation?


1 1, ,z r z rrvvv v v v

Ur z z r r r

.be

1

2

1

2

1

r

r

r

vr

vr

v v

v v

0 rv

v f r

2

2

10,0,

0

Ur r

f Ar

(symétrie)


http://w

ww.hach.ulg.ac.

1

2

11 1 2 1 1

1 2 2 22

2

r

r

Av v

r v v v rA

A r r v rv v

r

16

• Conclusion

« Un écoulement irrotationnel entre deux cylindres en rotation est possible pour autant que les vitesses de rotations des cylindres varient de façon

Ecoulement irrotationnel entre deux cylindres coaxiaux

.be

pour autant que les vitesses de rotations des cylindres varient de façon inversement proportionnelle au rayon »

• Cette conclusion est valable pour un fluide visqueux

1 1

2 2

v r

v r


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Dans le cas d’un fluide parfait, la rotation des cylindres n’entraînerait pas de mouvement du fluide puisqu’il n’existe pas de viscosité pas d’interaction fluide-solide

9

17

• Ecoulement irrotationnel d’un fluide visqueux et paroi fixe

Un écoulement irrotationnel est‐il physiquement possible ?

0

0

.be

• La solution du laplacien est harmonique et ne peut accepter d’extremum dans le domaine (slide 54 - cours 5)

• La condition d’imperméabilité prend la forme d’un extremum

0paroi


http://w

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La seule solution possible est un fluide au repos

= 0

18

• « Un écoulement irrotationnel d’un fluide newtonien incompressible ne mobilise pas les contraintes visqueuses »

(cours 5 slide 34)

Limite de la théorie potentielle

.be

• Quelle en est la signification physique ?

Les tensions visqueuses existent mais sont en équilibre dans les trois directions


http://w

ww.hach.ulg.ac.

10

19

• Irrotationnel : Paradoxe de d’Alembert

« pas de force appliquée dans unécoulement incompressible uniformestationnaire sans surface libre »

Limite de la théorie potentielle.be

stationnaire, sans surface libre »

• Ecoulement visqueux de Stokes (Re<<1)

« développement d’une force de traînée

Distribution de pression (rouge : pression haute, bleu : pression basse)


http://w

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pp

composée d’une fraction liée à la pression et une autre fraction due

au frottement »

20

• Le régime d’écoulement a été caractérisé en fonction du nombre de Reynolds (cours 4 – slide 69 – valable pour un écoulement en conduite):

• Laminaire - Re < 2000

• Transitoire – 2000 < Re < 3000

Expérience de Reynolds

.be

• Turbulent – Re > 3000

• Quelle en est la signification physique ?

Expérience de Reynolds


http://w

ww.hach.ulg.ac.

11

21Expérience de Reynolds

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

22

• Régime laminaire– Ecoulement dont les filets fluides ne s’entrecroisent pas

– Pas de mélange mais interaction visqueuse entre les filets fluides

– En stationnaire, les lignes de courant sont confondues avec les

Régimes d’écoulement

.be

stat o a e, es g es de cou a t so t co o dues avec estrajectoires

• Régime turbulent– L’écoulement devient instable

– Il existe un mélange des filets fluides même en écoulement globalement stationnaire

Solutions analytiques possibles au prochain cours


http://w

ww.hach.ulg.ac.

– La notion de ligne de courant n’a plus de sens sauf « en moyenne temporelle »

Fera l’objet de deux cours spécifiques

12

23

• La transition de régime dépend du nombre de Reynolds


Re c cU L

.be

• Dépend donc de :– La viscosité du fluide

– La vitesse de l’écoulement

– Une longueur caractéristique


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Exemple d’une conduite circulaire en laminairelongueur caractéristique = diamètre

• Exemple d’une plaque mince parallèle à l’écoulementlongueur caractéristique = abscisse

24

• Exemple d’une conduite circulaire en laminaire :


.be

– La vitesse entre de façon uniforme et l’écoulement est stationnaire

– A la paroi, condition de non-glissement ralentissement

– Par continuité, les vitesses au centre augmentent

Régime non établi Régime établi


http://w

ww.hach.ulg.ac.

– Une fois le régime établi, le profil de vitesse est constant

– Une couche limite laminaire s’est développée dans toute la section depuis les bords

13

25

• Dès les nombres de Reynolds faibles, il existe des tourbillons derrière le cylindre

• Si la vitesse augmente, les tourbillons commencent par se détacher de façon alternée (tourbillons de Von Karmann)

Ecoulement autour d’un cylindre en fonction du Reynolds.be

ç ( )

• A Re>>1, la couche limite « décolle » et forme un large sillage


http://w

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26

• Dès qu’une viscosité existe, l’observation d’écoulement met en évidence un comportement particulier à la paroi

• A cet endroit, les conditions de non glissement perturbent l’écoulement

Importance de la couche limite

.be

l écoulement

Couche limite

Il peut arriver que cette couche limite se « décolle » de la paroi


http://w

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p q p

14

27

Couche limite laminaire

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

28

• Quelques questions sur la couche limite :

– Quelles en sont les grandeurs caractéristiques ?

– Quelles sont les équations régissant le problème ?

Viscosité, couche limite et pertes de charge

.be

Que es so t es équat o s ég ssa t e p ob è e ?

– D’où provient la rotationnalité d’un écoulement ?

– Peut-on relier la viscosité et donc la couche limite aux pertes de charge d’un écoulement ?

– …


http://w

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15

29

• La formulation non-conservative des équations de Navier-Stokes valables pour un fluide newtonien incompressible barotrope :

Rappel : Navier‐Stokes

0U

.be

peut être écrite sous une forme similaire aux équations de Lamb:

0U

U DU pU U F U

t Dt

0U


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

2

0U

U pU F U

t

U

30

• Si le champ de force est conservateur et que l’écoulement est stationnaire :

Rappel : Projection sur une ligne de courant

2

0U

U

.be

• Par une multiplication scalaire de l’équation de quantité de mouvement par :

2

p UG U U

U

0U


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2

Fonction de Helmholtz=

2

0U

pU G U U

U

H

16

31

• représente la charge de l’écoulement et va diminuer pour autant que

Sillage et pertes

H

0U U

.be

• Supposons :

• A la surface d’un corps solide imperméable la vitesse normale est nulle et la vitesse tangentielle est nulle

• La vérification des CL et un raccordement asymptotique de la vitesse de la couche limite avec l’écoulement extérieur induit :

0U


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Pour un tube de courant passant près de la surface, va diminuer dans le sens de l’écoulement

tubeH

0U

32

• Définition du « sillage » :

« zone rassemblant toutes les lignes de courant passant à proximité de la surface du corps »

Sillage et pertes

.be

• Dans le sillage, est inférieur à la valeur sur une ligne de courant transitant loin du corps

Par conservation de quantité de mouvement, la perte est liée à

sillageH


http://w

ww.hach.ulg.ac.

q , pla traînée du corps = force appliquée

17

33

• Formons le produit vectoriel de la conservation de quantité de mouvement avec l’opérateur (pour un fluide newtonien incompressible barotrope et un champ de force conservateur)

Equations d’Helmholtz, équation de vorticité

U

.be

UU U

t

H

0

U Ut

H


http://w

ww.hach.ulg.ac.

=0 continuité0U

U U U U U

DU

Dt

34

• Dans un écoulement bidimensionnel :

Equations d’Helmholtz en 2D

0 0 z 0U

.be

d d d ff d

2 2

2 2z z z z z

zu vt x y

D

D

x

t

y


http://w

ww.hach.ulg.ac. Equation d’advection-diffusion de

à la surface d’un corps solide imperméable, une couche tourbillonnaire se diffuse en formant une

« couche limite »

z

18

35Diffusion de la couche tourbillonnaire

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

36 • La création de rotationnalité dans le fluide s’explique principalement par l’adhérence des particules fluides sur une paroi solide

Création de rotationnalité

.be

paroi solide

• Le long d’une paroi solide, il y a création continue de vorticité(rotation)


http://w

ww.hach.ulg.ac.

19

37

• En utilisant la fonction de courant en 2D (pour un fluide newtonien

incompressible barotrope et un champ de force conservateur) :

Résolution de la QM en terme de fonction de courant

,u v

.be

• La conservation de quantité de mouvement devient :

z

y x

U A

UU U

t

H


http://w

ww.hach.ulg.ac.

t

4zt y x x y

38

Mouvement d’une plaque oscillante

.be

Longueur caractéristique de la couche limite


http://w

ww.hach.ulg.ac.

20

39

• Ecoulement 2D xy

• Plaque selon x de longueur infinie

• Mouvement oscillatoire selon x

Plaque oscillante

y

0 U i

.be

• Déplacement de la plaque

• Hypothèse: pression uniforme selon x

Constatation : à cause de la viscosité il existe un entraînement

x

02UL

0, 0, expplaque

u y t u t U i t

/2

00

0

2 cos 2U

L U t dt


http://w

ww.hach.ulg.ac. Constatation : à cause de la viscosité, il existe un entraînement

des particules et une propagation du mouvement oscillatoire

,

0

u y tU

40

• Démarche :– Partir des équations de Navier-Stokes simplifiées en 2D dans le plan xy

– Hypothèse d’absence de force extérieure

– Appliquer une décomposition de variables pour

Plaque oscillante : démarche

,u y t f t g y

.be

pp que u e déco pos t o de va ab es pou

– Intégrer analytiquement la solution pour déduire u

– Déterminer les constantes d’intégration grâce aux CL

Condition limite à la plaque:

C diti li it à l’i fi i

y

0, 0, expplaque

u y t u t U i t

,u y t f t g y


http://w

ww.hach.ulg.ac. Condition limite « à l’infini »:

x

02UL

, 0y

u y t

21

41

Simplification des équations de Navier-Stokes

» Ecoulement selon x

» Variation des vitesses uniquement selon y

» plaque infinie : Indépendance de la pression selon x

P d f té i

Plaque oscillante

y

.be

» Pas de forces extérieures

0

1x

v w

y z

u

x

uu v w u

tF

u u u

x y x

p

z

x

02UL

0u


http://w

ww.hach.ulg.ac.

1

1y

z

v v v v pu v w F v

t x y z y

w w w w pu v w F w

t x

t x y

y

x

z z

z

2

2

x

yu

u u

t

42

Décomposition des variables

Navier-Stokes

Plaque oscillante

,u y t f t g y

df

.be Intégration

f

fgu f dtg ut t t f

2

22 2 2

2 2 2

d gfgu g dy

f ugy y y

2

2

d gdfdydt k Cte

f g

1 expf t C kt

2

2

u u

t y


http://w

ww.hach.ulg.ac.

1

1 12 2

2 3

p

exp exp

f

k kg y C y C y

1 1

2 2

1 2 3, exp exp expk k

u y t C kt C y C y

22

43

Utilisation des CL

Plaque oscillante

3, 0 0z

u y t C

00, expu t U i t1 2 0C C U

.be

1 2 expC C kt

0 p1 2 0C C U

k i

1

2

0, expi

u y t U i t y


http://w

ww.hach.ulg.ac.

44

Solution :

Plaque oscillante : longueur caractéristique de la couche limite

1

2

0, expi

u y t U i t y

1 1 12 2 2

exp 14 2

i ii

1 1

2 2exp expu y t U y i t y

.be

0, exp exp2 2

u y t U y i t y

12

10

2U e

Oscillations limitées à une couche d’une épaisseur de l’ordre de δ

1

Amplitude f(y) Mouvement oscillant


http://w

ww.hach.ulg.ac. 1

21 1

22 2 12

20 00

22

Re42

UL U LU

Plus l’écoulement est turbulent (Re >>), plus la couche limite est fine …

23

45Rappel : méthode de calcul

• Approximation de couche limite

• Calcul de l’écoulement « extérieur » selon l’hypothèse d’un fluide idéal

.be

épaisseur de couche limite supposée nulle

1 seule condition aux limites : vitesse normale nulle

• Calcul de l’écoulement « intérieur » selon l’hypothèse d’une couche limite mince

2 di i li i à l i i l i ll


http://w

ww.hach.ulg.ac. 2 conditions aux limites à la paroi : vitesse normale et tangentielle

nulles

vitesse au somment de la couche limite = vitesse du problème extérieur

46

Evolution de la couche limite laminaire

.be

Approche macroscopique


http://w

ww.hach.ulg.ac.

24

47

• Supposons :– Un fluide incompressible en écoulement stationnaire

– Un champ de vitesse « extérieur » uniforme selon x dans le plan xy

– Une plaque infiniment mince alignée selon l’axe x dont le bord d’ ( )

Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane.be

d’attaque est en (0,0)

– Un volume de contrôle sur lequel sont appliqués les deux premiers principes de conservation (masse et quantité de mouvement)

– Le bord supérieur du volume de contrôle est telle que h>>et que l’on peut supposer l’écoulement selon x comme non perturbé

– Le ralentissement de la vitesse à la paroi induit obligatoirement un échange par le bord supérieur


http://w

ww.hach.ulg.ac.

48

Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane

Question : Comment évolue l’épaisseur de la couche limite laminaire selon x ?

.be h

Théorie potentielle applicable!!


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Couche limite

25

49

• Principe de conservation de la masse

i i d i d i d l


0

0 0 0

0h h x

x y h

A

U n dS U dy u dy v dx 0

0 0

x h

vdx U u dy

.be

• Principe de conservation de quantité de mouvement selon x (épaisseur unitaire)

• En supposant que le gradient de pression selon x est nul, la

x

V A

F udV u U n dAt


http://w

ww.hach.ulg.ac.

seule force appliquée est la traînée de frottement sur la plaque

entrée

sortie sup érieur

2 20 0 0

0 0 bord

bord bordx

x x

h h

traînée

QM

QM QM

F u dy U h U U u dy

50

• En effet :


2 20 0

0 0

h x

x y h yA

u U n dA u u dh uv uv dx

.be

2 20 0

0 0

2 20 0

0 0

par la continuité

h x

x y h

h x

x y h

h h

u U dh U v dx

u dh U h U v dx


http://w

ww.hach.ulg.ac.

2 20 0 0

0 0

20

0 0

h h

x x

h h

x x

u dh U h U U u dy

u dh U u dy

26

51

• Combinant les termes :


0

0

h

traînéeF u U u dy

.be

• Etant donné le principe d’action-réaction, la force sur la plaque est de direction opposée :

0

0

0

h

plaqueF u U u dy


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Mais est aussi égale à :

0

0

x

plaqueF dx

52

• Il est donc possible de déduire une relation liant les contraintes à la distribution de vitesse :


2 1h h u uu U u dy U dy

.be

• Cette intégrale peut être évaluée en choisissant un profil de vitesse pour autant que ce profil soit auto-similaire, c’est-à-dire qu’il possède la même forme quelle que soit l’abscisse x

0 0 00 00 0

1u U u dy U dyx x U U


http://w

ww.hach.ulg.ac.

0

u y yf f

U

12

0 00 00

1u u

U dx U U

27

53

• Hypothèse de Von Karmann– Hors de la couche limite la vitesse est supposée être uniforme

d’intensité U0

– Conditions limites de non-glissement à la paroi :


, 0 ,0 0u x v x

.be

– Condition de compatibilité entre écoulement « intérieur » et « extérieur »

– Profil parabolique dans la couche limite d’épaisseur

y

0,u x U

0

2u

U


http://w

ww.hach.ulg.ac.

1

2 20 0 0

0

22 1 2

15U d U

x x

54

• Hypothèse de Von Karmann


20 0

2

15U

x

0

2u

FU

.be

– A la surface de la plaque :

– L’égalisation des deux expressions de 0 :

0 0 0

0

00 0

22

y

U U Uu F

y


http://w

ww.hach.ulg.ac.

200 0

22

15

UU

x

0

15 dx dU

2

0

152

xCste

U

28

55

• Hypothèse de Von Karmann– La constante peut être déterminée :


30 5.530

00

x

.be

– Introduisons cette expression pour déterminer 0 :

0

30Re Rex x

x xU

longueur caractéristique = abscisse

32 U


http://w

ww.hach.ulg.ac. 3

00

2

30

U

x

La tension varie de façon inversémentproportionnelle à la racine carrée de la distance

56

• Hypothèse de Von Karmann

– La traînée de frottement sur une demi-plaque de longueur L et de largeur unitaire :


4L

.be

– Si la traînée est exprimée en fonction de la pression au point de stagnation:

3traînée 0 0

0

4

30F dx U L

230

traînée 0

4

2 30f

UF C L U L


http://w

ww.hach.ulg.ac.

– On obtient pour le coefficient Cf :

0

8 8 1

30 30 Ref

L

CU L

29

57

• D’autres coefficients peuvent être trouvés selon l’hypothèse choisie pour le profil de vitesse

• Hypothèse de Prandtl Hors de la couche limite la vitesse est supposée être uniforme

Epaisseur de la couche limite sur une plaque plane.be

– Hors de la couche limite la vitesse est supposée être uniforme d’intensité U0



– Profil dans la couche limite d’épaisseur

y

, 0 ,0 0u x v x

0,u x U

23u


http://w

ww.hach.ulg.ac. y

2

0

32U

1.328

Ref

L

C

58

• Hypothèse de Blasius – solution exacte – Hors de la couche limite la vitesse est supposée être uniforme

d’intensité U0



.be


– Profil parabolique dans la couche limite d’épaisseur , 0 ,0 0u x v x

0,u x U


http://w

ww.hach.ulg.ac. 2 3

2 3

10

2

F FF

Equation de Blasius:

Pas de solution analytique évaluation numérique

30

59Ecoulement sur une plaque plane – Solution analytique

• solution exacte – Prandtl/BlasiusLes conditions aux limites deviennent

,0 0

,0 0

u x

v x

0 0

' 0 0

f

f

Evolution de la vitesse selon l’épaisseur de la couche limite

.be

Intégration numérique

0

,0 0

,

v x

u x y U

0 0

' 1

f

f


http://w

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12

099% 5

U

x

12

5

Rex

60

• Pour un corps dans un écoulement, il est habituel de calculer la traînée et la portance des corps grâce à ces coefficients :

Généralisation des coefficients de traînée et de frottement

2

Traînée D

UC A

.be

• A est la surface du corps projetée normalement selon la direction d’écoulement

2

2

Portance2

D

L

UC A


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• CD et CL sont des coefficients obtenus grâce à des tables ou des abaques (liaison au nombre de Reynolds)

31

61

• Le nombre de Reynolds a été défini comme (cours 4 – slide 69):

Coefficient de traînée et de frottement

2

Re c c c

cU

UL LU

.be

rapport entre les forces d'inertie et les forces visqueuses

• Si les équations avaient été adimensionnalisées grâce à une contrainte tangentielle de référence à la paroi , on aurait

2c

c

U

L

p


http://w

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g p ,déjà pu définir :

p

2

1

2p

cfC

U

Coefficient de frottement pariétal

62

Evolution de la couche limite laminaire

.be

Approche exacte – équations de Prandtl


http://w

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32

63Equations de la couche limite

.be

• Equations de Prandtl

– Continuité :

– QM selon y :

1L

0U x u0p

Hypothèses :

0u v

x y


http://w

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– QM selon x :

0U x uy2

2

1u u p uu v

x y x y

Re 1

Prise en compte du gradient de pression selon x

64

Couche limite

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

33

65

Prise en compte du gradient de pression d l d l’é l

.be

dans le sens de l’écoulement


http://w

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66


• Quid du gradient de pression ??– Gradients de pression négligés dans les différents développements

– Gradient négatif (pression décroît dans le sens de l’écoulement) : effet stabilisant

2

2

1u u p uu v

x y x y

.be

– Gradient positif: effet déstabilisant sur le profil de vitesse u(y)

Analyse mathématique de la quantité2

2

u

y

2

200 0 yy y

u u u p pu v

x y x xy

2

20

0y

u

y


http://w

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2

20

y

u

y

(comportement asymptotique)

→ Passage par 0 obligatoire

→ Point d’inflexion dans le profil de vitesse!

34

67Prise en compte du gradient de pression selon x

• Quid du gradient de pression ??

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

68


• Quid du gradient de pression??

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

35


• Conséquence: profil de vitesse dans les divergents

.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

70


.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

36


.be


http://w

ww.hach.ulg.ac.

72

Stabilité de la couche limite d’ l l

.be

d’une plaque plane


http://w

ww.hach.ulg.ac.

37

73

• L’expérience de Reynolds illustre trois comportements de l’écoulement dans une conduite– Laminaire

– Turbulent lisse (ondulation)

Stabilité de la couche limite.be

Turbulent lisse (ondulation)

– Turbulent rugueux (brassage fort)

• Les mêmes transitions existent pour la couche limite le long d’une plaque plane

• La transition entre une couche limite laminaire et turbulente se produit pour un ReL compris entre 5 105 et 106


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• Cette couche limite turbulente et le profil de vitesse associé seront étudiés dans le second cours dédié à la turbulence

74

• Rappel : la traînée d’un corps se compose :– d’une traînée de pression

– d’une traînée de frottement

• A bas nombre de Re la traînée par frottement est dominante

Décollement de la couche limite

.be

A bas nombre de Re, la traînée par frottement est dominante (illustration au prochain cours)

• Aux nombres de Re élevés, la traînée de pression (induite

principalement par le décollement de la couche limite) devient rapidement dominante

• Observation : une couche limite laminaire décolle plus rapidement qu’une couche limite turbulente


http://w

ww.hach.ulg.ac.

p qLa traînée d’un corps est globalement plus faible en couche limite

turbulente car les proportions des deux composantes changent

La traînée de frottement augmente mais la traînée de pression diminue plus rapidement ce qui induit une diminution globale

38

75

• Point de découlement de la couche limite laminaire

Comportement de l’écoulement en fonction du Re.be

95° < φ < 105°


http://w

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76

• Quelle est l’utilité de la forme ou de l’état de surface de ces balles ??

Décollement de la couche limite

.be


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