1 Enchaînements d’opérations sur les nombres …...Chapitre 1 • Enchaînements d’opérations sur les nombres décimaux • 15 exercices 45 à 52 p. 19 Appliquer un programme

SPÉCIAL PROFCe QCM concerne des notions déjà vues en 6e.

8

QCMChoisir la bonne réponse.

Enchaînementsd’opérationssur les nombresdécimaux

1

AVANT DE DÉMARRER

Calculer mentalement

La valeur de la case rouge est :a. 14 b. 10 c. 18

Organiser un calculJ’ai 12 € dans mon porte-monnaie. J’achète 3 stylos à 1,80 € chacun. Il me reste :a. 17,40 € b. 7,20 € c. 6,60 €

Écrire une formuleL’aire du rectangle est donnée par la formule :a. 2 � 15 � � b. 15 � � c. 2 � (15 � �)

Utiliser le bon vocabulaireLe calcul 12 � 5 désigne :a. la somme de 12 et de 15b. le produit de 12 par 5c. la différence de 12 et de 5

Associer la bonne opérationLe produit de 17 par 4 est :a. 17 � 4 b. 17 � 4 c. �

147�

5

4

3

2

� 3 � 2

4

1

15

�

Priorités des calculs Sans parenthèses ni multiplication

1. Pour calculer A � 21 � 8 � 5 ,Marion se demande si l’on commencepar calculer 8 � 5 ou si l’on doitd’abord calculer 21 � 8 .

Sur la calculatrice, taper la séquence

puis dire dans quel ordre la calculatrice a effectué les calculs.

2. Calculer B � 36 � 12 � 5 .

Sans parenthèses mais avec multiplication1. Soit A � 7 � 13 � 8 et B � 13 � 8 � 7 .

Sur la calculatrice, taper la séquence

puis noter le résultat. Recommencer avec

2. a. Les calculatrices qui respectent les règles mathématiques affichent 111comme résultat pour les deux séquences. La calculatrice utilisée respecte-t-elleles priorités ?b. Quelle opération a été faite en premier pour trouver 111 ?

Avec des parenthèses1. a. Avec la calculatrice, effectuer les calculs suivants et noter leur résultat : A � (17 � 3) � 8 B � (23 � 3) � (4,8 � 0,2) C � (30 � 6) � 5b. Pour chacune des expressions ci-dessus, écrire les différentes étapesqui permettent de trouver sans calculatrice le résultat affiché.

2. Même question avec D � 3 � (94 � (10 � 4)) .

Décrire un programme de calculs1. Écrire en utilisant les symboles � ; � ; � et � puis calculer.a. La somme de 13 et de 17 b. Le produit de 21 et 9c. Le quotient de 17 par 5 d. La différence de 18 et de 13

2. a. Recopier chaque calcul et entourer le signe de l’opération que l’on faiten dernier :A � (7 � 3) � 8 B � 15 � 6 � 1,5C � (2 � 14) � (17 � 9) D � 12 � 5 � 48

E � 7 � 8 � 3 � 9b. C’est la dernière opération à effectuer qui donne le nom à une expression.Pour chacune des expressions ci-dessus, dire s’il s’agit d’une somme,d’une différence ou d’un produit.

4

3

2

1

Chapitre 1 • Enchaînements d’opérations sur les nombres décimaux • 9

Activités

InfoÀ la calculatrice ou à l’ordinateur, on terminesouvent un calcul par la touche ou .

ConseilPensez à respecterles priorités !

SPÉCIAL PROFObjectif : effectuer une succession d’opé-rations sans parenthè-ses ni multiplication.

SPÉCIAL PROFObjectif : découvrir lespriorités opératoiresdans un enchaînementd’opérations où figu-rent l’addition et lamultiplication.

SPÉCIAL PROFObjectif : découvrir(ou revoir) les prioritésopératoires dans unenchaînement d’opé-rations qui comportedes parenthèses.

SPÉCIAL PROFObjectif : utiliser levocabulaire appropriépour décrire un enchaî-nement d’opérations.

10

Suivre un programme de calculTraduire avec des symboles mathématiques : a. A est la somme de 7 et du produit de 9 par 3.b. B est le produit de 12 par la différence de 15 et de 8.

Convention d’écriture

Une lettre pour un nombreOn a fabriqué des cartes.Sur une de leurs faces, on peut lire a et sur l’autre faceun nombre est inscrit.Le professeur a fait choisir une carte à chacundes élèves puis il a indiqué trois opérations à effectuer :

a � 17,2 ; 18 � a ; 7 � a .

Lisa a choisi la carte verte.La règle du jeu est de remplacer a par le nombreindiqué au verso puis d’effectuer les calculs.Écrire les calculs puis les effectuer à sa place.

Remplacer une lettre

Calculer a � b puis �a �

b3

� en remplaçant a par 7,6 et b par 4.

Développer – Factoriser

Comprendre le mécanismeOn veut connaître le nombre total de formes dessinées sur le dessin ci-dessous.

1. Léa a écrit 2 � (5 � 3) et Fred a écrit 2 � 5 � 2 � 3 .Comment ont-ils procédé ? Obtiennent-ils le même résultat ?

2. a. En imaginant une situation comme ci-dessus, recopier et compléter :A � 27 � (42 � 31) � ... � ... � ... � ...

b. Calculer A de deux manières.

5

2

3

8

7

6

5

Activités

aa

3,5

SPÉCIAL PROFObjectif : traduire unprogramme de calculpar un enchaînementd’opérations.

SPÉCIAL PROFObjectif : introduirel’utilisation d’une lettreà la place d’un nom-bre.

SPÉCIAL PROFObjectif : calculer uneexpression littérale enremplaçant les lettrespar leurs valeurs.

SPÉCIAL PROFObjectif : mettre enévidence la distributi-vité de la multiplica-tion par rapport à l’ad-dition en s’appuyantsur des dénombre-ments.


Activités

InfoOn dit que l’on a mis 14 en facteur.

SPÉCIAL PROFObjectif : mettre enévidence la distributi-vité de la multipli-cation par rapport à l’addition en s’ap-puyant sur des cal-culs d’aires.

SPÉCIAL PROFObjectif : calculermentalement en utili-sant la distributivitéde la multiplicationpar rapport à l’addi-tion (et à la soustrac-tion).

Avec des lettres1. a. Exprimer la longueur du rectangle AEFD en fonction de a et b.

b. En utilisant le résultat précédent, exprimer l’aire du rectangle AEFD.

2. a. Exprimer l’aire du rectangle ABCD en fonction de a et k, puis cellede BEFC en fonction de b et k.b. En utilisant les résultats de la question a, exprimer l’aire du rectangle AEFD.

3. Que peut-on en déduire pour les nombres obtenus aux questions 1b et 2b ?

Factoriser Gilles est un as du calcul mental. L’autre jour, on a voulu le colleren lui demandant de calculer 14 � 98 � 14 � 2 .« 1 400 ! » s’est-il aussitôt écrié et devant notre air étonné, il a dit :« J’ai fait 14 � 100. »

1. Pour retrouver la méthode de Gilles,recopier et compléter :14 � 98 � 14 � 2 � 14 � (... � 2) � 14 � ... � ...

2. Procéder de même pour calculer 875,3 � 16 � 875,3 � 6 .Quel nombre a-t-on mis en facteur ?

10

ba

k

D F

A

C

B E

9

• Pour calculer une expression avec des parenthèses, on effectue d’abordles calculs entre parenthèses, en commençant par ceux qui sont dans les parenthèses intérieures.

• Dans un enchaînement sans parenthèses d’additions et de soustractions,on effectue les calculs de la gauche vers la droite.

• Dans un enchaînement sans parenthèses d’additions, de soustractionset de multiplications, on effectue d’abord les multiplications.

12

Cours

Priorités des calculs Additions et soustractions sans parenthèses

Règle

Exemple :A � 28 � 7 � 12

A � 21 � 12

A � 33

Priorité de la multiplication � exercices 2 à 4 p. 16

Règle

Exemple :C � 13 � 2 � 5

C � 13 � 10

C � 3

Avec des parenthèses � exercices 5 à 10 p. 16

Règle

Exemples :D � 9 � (8 � 2)

D � 9 � 10

D � 90

E � 28 � (17 � (5 � 3))

E � 28 � (17 � 2)

E � 28 � 15

E � 13

C

B

A

1

��

��

• a, b et k sont des nombres quelconques et les égalités suivantes sont toujoursvraies :

• On peut ne pas écrire le signe � devant une lettre ou devant une parenthèse.


Cours

Convention d’écriture� exercices 33 et 34 p. 18

Règle

Exemples :5 � a � 5a ; a � b � ab ;

4 � (x � 5) � 4 (x � 5) ;

(a � 3) � (b � 8) � (a � 3) (b � 8)

Développer – Factoriser� exercices 53 à 68 p. 20

Propriétés

Exemples :

Distribuer Factoriser

3

2

Infoa � a � a2 et se lit « a au carré » et a � a � a � a3 et se lit « a au cube ».

on dit que l’ondistribue k

k � a � k � b � k � (a � b)

k � a � k � b � k � (a � b)

k � (a � b) � k � a � k � b

k � (a � b) � k � a � k � b

on dit que l’onmet k en facteur

on distribue 7

7 � (9 � 5) � 7 � 9 � 7 � 5 28 � 17 � 28 � 3 � 28 � (17 � 3)

on met 28 en facteur

7 � (9 � 5) � 7 � 9 � 7 � 5 28 � 17 � 28 � 3 � 28 � (17 � 3)

14

B � 228 � (3 � 2 � 9) � 7B � 228 � (3 � 18) � 7

B � 228 � 21 � 7

B � 228 � 147

B � 81

Commentaires

v On recopie l’expression.

v On calcule d’abord le contenu des parenthèses en commençant par la multiplication.

v On finit de calculer le contenudes parenthèses.

v On effectue la multiplication qui estprioritaire.

v On termine le calcul.

Priorité dans un calcul avec des parenthèses

ÉnoncéEn écrivant les détails, calculer B � 228 � (3 � 2 � 9) � 7 .

Solution

1

Méthodes

� exercices 5 à 14 p. 16

A � 13 � ��(1(4505�

�

152)0)

��A � 13 � ��

6200��

A � 13 � 3 � 16

B � 3 � � � � 3 � ��42

��B � 3 � 2 � 5

��4182��

�(2)

Commentaires

Tout trait de fraction sous-entendtrois paires de parenthèses :

�AB

� � ��((AB)

)��

Avec l’habitude, on ne les écrit pastoujours mais il faut se souvenirde leur présence, en particulierquand on calcule à la machine. On effectue les calculs dans l’ordreimposé par ces parenthèses, mêmesi elles ne sont pas écrites.

Calculs avec des quotients Énoncé

Calculer A � 13 � �14

505

�

�

1520

� et B � 3 � .

Solution

�4182�

�2

2


E � 24 � 3aE = 24 � 3 � a

E = 24 � 3 � 5E = 24 � 15

E = 9



Appliquer un programmede calcul

ÉnoncéPour a � 5 , calculer la valeur de l’expression E � 24 � 3a .

Solution

3

A � 13,5 � 102A � 13,5 � (100 � 2)A � 13,5 � 100 � 13,5 � 2A � 1 350 � 27

A � 1 377

Calcul réfléchi ÉnoncéSans poser d’opération en colonnes et sans utiliser de calculatrice, calculer :A � 13,5 � 102 .

Solution

4


Commentaires

v On remarque que 102 � 100 � 2 .

v On distribue 13,5.

v On calcule en respectant la priorité dela multiplication sur l’addition.


Commentaires

v On recopie l’expression.

v On remet le signe caché dela multiplication.

v On remplace a par 5.

v On calcule en respectant la prioritéde la multiplication sur la soustraction.


Méthodes

16

Exercicesj’applique

Calculer.

A � 17 � 19 � 3 B � 28 � 15 � 8C � 48 � 13 � 11 D � 2 � 3 � 4

Recopier les expressions suivantes, entourer envert le premier calcul à effectuer, puis terminer cescalculs.a. 7 � 3 � 8 b. 9 � 7 � 7c. 4 � 5 � 6 � 7 d. 6 � 3 � 5 � 8

Calculer en détaillant.

A � 35 � 5 � 3 B � 26 � 7 � 2 � 8C � 1 � 2 � 3 � 4 � 5 D � 38 � 6 � 3 � 7 � 2

Calculer en détaillant.

A � 2 � 3 � 4 � 5 B � 2 � 3 � 4 � 5C � 3 � 7 � 8 � 2 D � 12 � 3 � 2 � 8

� Voir Méthode 1 p. 14

Pour les exercices 5 à 10, calculer en détaillant.

A � 86 � (47 � 13) B � 75 � (28 � 15)

C � 78 � (40 � 16) � 13

A � (17 � 9) � 8 B � (17 � 8) � (31 � 3)

C � (33 � 13 � 10) � 5

A � 40 � (50 � 45) B � (12 � 2) � (15 + 13)

C � 25 � (43 � 13) � 2 D � 60 � (38 � 8)

A � 32 � (8 � 4) B � (32 � 8) � 4

C � 56 � (36 � 6) D � (56 � 36) � 6

A � 2 � 3 (10 � 4) B � 2 � 3 (10 � 4)

C � (9 � 3) � 5 � 3 � 2 D � 25 � (43 � 13) � 2

A � 4 � (11 � (8 � 3))

B � (19 � (12 � 8)) � 4

C � (27 � 22) � (15 � (17 � 10))

1. Soit A � 4 � 5 � 6 . Calculer A.

2. Placer des parenthèses dans l’expression 4 � 5 � 6 pour trouver 54.

1. Soit B � 68 � 11 � 5 . Calculer B.

2. Placer des parenthèses dans l’expression 68 � 11 � 5 pour trouver 285.

1. Soit C � 7 � 9 � 9 � 3 . Calculer C.

2. Placer des parenthèses dans l’expression 7 � 9 � 9 � 3 pour trouver 0.

1. Recopier le calcul en ajoutant la parenthèsemanquante pour qu’il soit juste : 5 � (5 � 6 � 2 � 3 � 56 .

2. Même consigne avec : 5 � (5 � 6 � 2 � 3 � 48 .


Pour les exercices 15 à 19, calculer en détaillant sansutiliser de calculatrice.

A � 24 � �146� B � 15 � �

174� � 8

C � 7 � �120� � 3 � 4 � 7 D � 56 � �

222� � 20

E � 9 � �13

2� 7� F � 4 � �

2 �

6015

�

G � 3 � �28

�

�

150

� H � 2 � �3237

�

�

77

�

G � H � I �

K � L � M �

�135�

�

�150�

24�

�45

�

�34

��5

19

�237�

�

�455�

24��155�

�186�

�2

18

17

16

15

Avec des quotients

14

13

12

11

Replacer des parenthèses

10

9

8

7

6

5

Avec des parenthèses

4

3

2

1

Sans parenthèses


Recopier les expressions suivantes en supprimantles parenthèses inutiles puis effectuer les calculs.A � 18 � (3 � 5) B � (27 � 3) � 8C � (3 � 8) � (15 � 12) D � 3 � (5 � 9)

Reprendre l’exercice précédent avec :A � 15 � (7 � 3) B � (3 � 4) � 5

C � (16 � 3) � (5 � 2) D � 3 � ��(5 �

24)

��


Recopier chaque calcul puis repasser en rougeles parenthèses que l’on peut supprimer lorsqu’onutilise une calculatrice. Indiquer le résultat.

A � 3 � ��((510

�

�

152))

�� B � 6 � ��(7 �

(5)12)��

C � ��((1587

�

�

172))

��Recopier en ajoutant les parenthèses indispen-

sables au calcul à la calculatrice puis indiquer le résultat.

A � 5 � �8 �

94

� B � 50 � �176

�

�

34

�

C � 6 � �110

�

�

0,27

�

1. Voici une séquence de calcul à la machine.

Correspond-elle au calcul de �128� � 7 ou à celui de

�2

1�

87

� ?

2. Écrire la séquence machine qui correspond au

calcul de �1,3

3�

,4513,7� et indiquer le résultat.

1. Indiquer en écriture fractionnaire et sans uti-liser de parenthèses l’expression qui correspond àla séquence suivante à la calculatrice :

2. Calculer l’expression en détaillant les calculs etvérifier avec la calculatrice.

Pour trouver la forme décimale du nombre

A � �5,4 �

37,5

� , trois élèves ont effectué sur leur

calculatrice les séquences suivantes :

Isabelle :

Lou :

Bruno :

1. Quelle est l’écriture décimale de A ?

2. Deux seulement de ces élèves ont trouvé ce résultat.Lesquels ? Pourquoi ?

Mêmes questions qu’à l’exercice 25 avec :

Pour les exercices 28 à 32, indiquer la séquencetapée à la calculatrice, puis effectuer les calculs.

A � 5 � (18 � (26 � 23))

B � (56,2 � 13,8) (37,3 � 10,72)

A � 24 � �22

6,2� � 3,6

B � �24 �

622,2� � 3,6

C � 24 � �22,2

6� 3,6�

A � 3 � �6

4�

85

�

B � 4 � �175

�

�

90,3,4

�

C � 5 � �5 �

116

�

D ��395,7

7,�

7 �

191,8,73 � 3

�

E � 8 � �5,3 �

2,53,12�

E � F � G �

�32

��54

�

4��52

�

�45

��2

32

31

30

29

28

27

26

25

24

23

22

À la calculatrice

21

20

Parenthèses inutiles

Exercices

Traduire avec des symboles mathématiques.

a. A est égal au produit de a par 7.

b. B est la somme de a et de b.

c. C est le produit de 8 par la somme de a et de b.

Solution

a. A � 7 � a ou A � 7 a

b. B � a � b

c. C � 8 � (a � b) ou C � 8 (a � b)

Pour transporter les chaises de la fête du quartier,Hubert a besoin de 2 fourgons chargés de34 chaises chacun, de 3 camionnettes chargéesde 24 chaises chacune et doit encore transporter6 chaises dans sa voiture.Indiquer l’expression qui permet de calculer lenombre total de chaises transportées, puis calculer.

SolutionLe nombre de chaises transportées par les deuxfourgons est 2 � 34 et celui des chaises trans-portées par les camionnettes est 3 � 24 . Lenombre total de chaises est 2 � 34 � 3 � 24 � 6 .On a transporté en tout 146 chaises.

18

Exercices

Recopier les expressions suivantes en supprimant

le signe � quand c’est possible.A � 8 � a B � 4,2 � 5C � 2 � L D � b � 3E � 8 � (17,3 � a)F � (20 � 2,3) � (7,8 � 6)G � 2 � 3 � 6

Recopier les expressions suivantes en ajoutant

les signes � qui sont sous-entendus.A � 2Lr B � 3 (a � 4)C � (a � 15) (b � 3) D � 5 b � 2 a

Exercice résolu

1. Écrire 30 sous la forme de la somme de deuxnombres.

2. Écrire 17 sous la forme de la différence de deuxnombres.

3. Écrire 36 sous la forme du produit de deuxnombres.

4. Écrire 36 sous la forme du produit de troisnombres.

5. Écrire 4 sous la forme du quotient de deuxnombres.

Associer chaque calcul à la phrase qui le décrit.

Traduire avec des symboles mathématiques.a. A est le produit de 17 par la somme de 3 et de 25.b. B est la somme de 8 et du produit de 9 par a.

Traduire chaque phrase par une expression quel’on calculera.a. C est le quotient de 89 par la différence de 13 et de 8.b. D est le triple de la différence de 83 et 25.c. E est la différence de 83 et du triple de 25.

Décrire les calculs suivants par une phrase.

D � 8 � 7 � 9 E � (7 � 8) � (9 � 2)

F � 21 � �79

� G � 6 � 5 � 3 � 4

Exercice résolu

Parmi ces six expressions, indiquer celles quipermettent de résoudre un des trois problèmes suivants.Donner alors la solution du problème.A � 6 � (17 � 3) B � 6 � 17 � 3C � 3 � 17 � 6 D � 6 � 17 � 6 � 3D � 3 � 6 � 17 E � 17 � 6 � 3

Problème 1 : On achète 6 lampes halogène à 17 €pièce et 6 housses de protection à 3 € chacune.Quelle est la dépense totale ?

Problème 2 : Après avoir rempli 17 boîtes de 6 œufs,il reste 3 œufs à la fermière. Quel est le nombre totald’œufs ?

Problème 3 : Dans un rouleau de corde, on a découpé3 morceaux de 17 m chacun. Il reste alors un morceaude 6 m. Quelle était la longueur totale de corde ?

40

Problèmes

39

38

37

36

35

Programmes de calcul

34

33

Supprimer ou rétablir le signe �

1. 3 � 5 � x2. (5 � 3) � x3. (5 � x) � 34. 5 � x � 3

a. Ajouter 5 et le triple de xb. Effectuer le produit de

la somme de 5 et de x par 3c. Ajouter le triple de 5 à xd. Effectuer le produit de

la somme de 5 et de 3 par x


Myriam a acheté 4 packs de 6 bouteilles de 30 cLde jus d’orange et 5 packs de 3 bouteilles de 50 cL de jus de pomme.

1. a. Quel enchaînement d’opérations permet decalculer le nombre de cL de jus d’orange ?b. Même question pour le jus de pomme.

2. Indiquer un enchaînement d’opérations qui permetd’obtenir le nombre total de cL de boisson, puis cal-culer ce nombre.

Pierre part faire ses courses avec 2 billets de

20 € dans son porte-monnaie. Il dépense 29,80 € etdécide de répartir équitablement la somme qui luireste entre ses 3 enfants.Indiquer un enchaînement d’opérations qui permetd’obtenir la somme que reçoit chacun des enfants,puis calculer cette somme.

Pour organiser une « pasta party » (repas depâtes), un traiteur a besoin de transporter 480 verreset 700 assiettes. Les verres sont rangés par cartonsde 24 et les assiettes par cartons de 20.Indiquer un enchaînement d’opérations qui permetde calculer le nombre total de cartons nécessaires,puis calculer ce nombre.

Pour le spectacle du collège, les 102 élèves de 5e

ont été répartis en groupes de six. Chaque groupe apréparé un clip vidéo. La durée totale du spectacle estde 34 minutes et tous les clips ont la même durée.Indiquer un enchaînement d’opérations qui permetd’obtenir la durée de l’un des clips, puis calculercette durée.


Soit A � 4n et B � 4 � n .

1. Réécrire l’expression A en faisant apparaître lesigne � qui a été supprimé.

2. Calculer A et B pour les valeurs suivantes de n :a. n � 8 b. n � 11 c. n � 0 d. n � 1

1. Réécrire 3a � b en faisant apparaître les

signes � qui ont été supprimés.

2. Calculer 3a � 5b dans les cas suivants :a. a � 8 et b � 6 b. a � 6 et b � 8

Calculer 45 � ab dans les cas suivants :

a. a � 4 et b � 5 b. a � 3 et b � 9

Calculer 3 (x � 5) dans les cas suivants :

a. x � 12 b. x � 5 c. x � 7,5

1. Calculer 7n pour :

a. n � 1,5 b. n � 3 c. n � 6

2. Comment doit-on choisir n pour que 7n soit divi-sible par 7 ?

Si a � 7 , calculer :

a. 10 � a b. 5 � �1a0�

c. �a

1�

53

� d. 3a (9 � 7)

Recopier et compléter le tableau.

Recopier et compléter le tableau.52

51

50

49

48

47

46

45

Appliquer un programme de calcul

44

43

42

41

Exercices

a b a (b � 3) 3a � b5 7 ... ...

5,2 4,7 ... ...

3,7 6,8 ... ...

Astuce Commencez par chercher l’expression quipermet de calculer le nombre de groupes d’élèves.

x 6 2,4

5 x � 3 ... ...

3 (x � 2) ... ...

�x

1�

08

� ... ...

13 � �2x

� ... ...

�7 �

103x

� ... ...

20

Exercices

Soit A � 9 (11 � 5) .

1. Calculer A en commençant par le calcul entre parenthèses.

2. a. Distribuer 9 dans l’expression A.b. Terminer le calcul de A.

Calculer de deux façons différentes chacune desexpressions suivantes :a. 7 � (8 � 6)b. 6 � (10 � 4)c. 9 � (8 � 7 � 6)

Calculer de deux façons différentes chacune desexpressions suivantes :a. (14 � 6) � 5b. 8 (11 � 5)c. (40 � 24 � 9) � 5

On mélange 7 doses de 15 g de peinture bleueavec 7 doses de 20 g de peinture jaune pour obtenirde la peinture verte.À l’aide de deux expressions différentes (l’une avecdes parenthèses, l’autre sans), calculer la quantité depeinture verte obtenue.

Exercice résolu

Pour les exercices 57 à 59, écrire sans parenthèses.

B � 5 (x � 3) C � 7 (6 � x) E � 4 (3a � 5)

D � 3 (2a � 6) F � 8 (c � 1) G � 6 (2c � 1)

H � x (x � 3) I � x (5x � 2)

J � x (1 � 3x) K � x (10 x � 1)

Parmi les expressions suivantes, indiquer celles

qui sont égales à 24x � 36 .A � 2 (12x � 18) B � 3 (8x � 12)C � 8 (3x � 4) D � 6 (4 � 6x)E � 4 (9 � 6x) F � 9 (3x � 4)

Exercice résolu

On met 9 en facteur. Recopier et compléter :

a. 36 � 9a � 9 (... � ...) b. 45 � 27b � 9 (... � ...)c. 72c – 9 � 9 (... � ...) d. 18d � 9 � 9 (... � ...)

Recopier et compléter :

35a � 40 � ... (7a � ...)30 � 18b � ... (5 � 3...)

1. Mettre 8 en facteur dans les expressionssuivantes :a. 24x � 32 b. 72 � 40a

2. Factoriser les expressions suivantes :a. 88 � 33x b. 15a � 6

1. La somme 5 800 � 580 � 58 est le produitde 58 par le nombre ❤. Sans utiliser de calculatriceni de division, déterminer ❤.

2. 6 500 � 650 � 65 est le produit de 65 par lenombre ♠. Sans utiliser de calculatrice ni de division,déterminer ♠.

Recopier puis compléter les expressions.

3x � 5 x � (3 � ...) x � ... x9x � 4 x � (9 � ...) x � ... x6x � x � (6 � ...) x � ... x13x � x � (13 � ...) x � ... x

Réduire les écritures.

A � 4a � 7a � 2a B � 19x � 17x � 4xC � 9b � b � 3b


D � 14x � x E � 19x � 18x F � 10x � 7x � 17x


G � 3a � 5 � 6a � 1 H � 7x � 10 � 2x � x

68

67

66

65

Factoriser pour réduire

64

63

62

61

Factoriser

60

59

58

57

56

55

54

53

Distribuer

Mettre 7 en facteur dans les expressions 21 � 7aet 14b � 7 .

Solution21 � 7a � 7 � 3 � 7a � 7 (3 � a)14b � 7 � 7 � 2b � 7 � 1 � 7 (2b � 1)

Astuce Il suffit de compter les x.

Écrire sans parenthèses l’expression :A � 7 (3 � 2x) .

Solution

A � 7 � (3 � 2x)A � 7 � 3 � 7 � 2xA � 21 � 14 x

Cette ligne est souvent

calculée de tête.


Exercices

Pour les exercices 69 à 72, trouver les nombresmanquants.

a. 2 � 3 � 4 � ... b. 3 � 4 � 5 � 6 � ...

c. 100 (23 � 3) � ... d. �.7..� � 4


a. 28 � 101 = ... b. 28 � 99 = ...

a. 17 � 102 = ... b. 17 � 98 = ...

a. 73 � 12 � 73 � 2 � ...

b. 64 � 25 � 36 � 25 � ...

Compléter mentalement le tableau.

Donner la forme réduite de :

a. 6x � 5x b. 15x � xc. 5x � 3 d. 19x � 5x � 3x

74

73

72

71

70

69

Calcul mental

a 4 0,5

2a � 3 ... ...

2 (a � 3) ... ...

50 � 10a ... ...

�a

1�

02

� ... ...

QCM POUR S’ÉVALUER

Choisir la (ou les) bonne(s) réponse(s).Pour vérifier les résultats et remédier aux erreurs, voir page 264.

27 � 12 � 8 � a. 7 b. 23 c. 17

40 � 3 � 4 � 5 � a. 46 b. 33 c. 333

�142

�

�

39

� � a. 3 b. 6 c. 4

�3

1�

22

� � 9 � a. �261� b. 11 c. 10,5

Si a � 4 alors 2 + 3a � a. 20 b. 14 c. 36

17 � (20 � 1) � a. 17 � 20 � 1 b. 17 � 21 c. 17 � 20 � 17

3 (x � 4) � a. 3x – 4 b. 3x – 12 c. x – 12

4x � 8 � a. 2 (x � 4) b. 4 (x � 8) c. 4 (x � 2)

15y � 3y � a. 5 b. 18y c. 12y

La somme de 2a et de a est : a. 3a b. 2a � a c. 2a284

83

82

81

80

79

78

77

76

75

j’approfondis

Lire et comprendre

Morgane achète 12 CD à 0,22 € chacun et 12 DVDà 0,48 € chacun. Elle paye avec un billet de 10 €.

1. Parmi les expressions suivantes, indiquer toutescelles qui permettent de calculer ce que lui rend lavendeuse.A � 10 � 12 � 0,22 � 0,48B � 10 � 12 � 0,22 � 12 � 0,48C � 12 � (0,22 � 0,48) � 10D � 10 � 12 � (0,22 � 0,48)E � 10 � 12 � 0,22 � 12 � 0,48

2. Combien la vendeuse rend-elle à Morgane ?

Prendre des initiatives1. En utilisant les signes �, �, �, � et éventuel-lement des parenthèses, recopier et compléter leségalités suivantes :a. 5 … 5 … 5 … 5 … 5 � 3b. 5 … 5 … 5 … 5 … 5 � 4c. 5 … 5 … 5 … 5 … 5 � 5d. 5 … 5 … 5 … 5 … 5 � 6e. 5 … 5 … 5 … 5 … 5 � 7

2. Recopier et compléter l’expression suivante :5 … 5 … 5 … 5 … 5 afin de trouver :a. un nombre compris entre 20 et 100b. un nombre compris entre 100 et 1 000c. un nombre plus grand que 1 000

Programme de calcul1. Voici un programme de calcul :Choisir un nombre, ajouter 7. Multiplier le résultatpar 5. Diviser le résultat par 4. Soustraire 3 au résultat.On appelle n le nombre choisi. Parmi ces expressions,laquelle correspond à ce programme ?

a. �n � 7

4� 5� � 3 b. �

(n � 74) � 5� � 3

2. Écrire un programme de calcul qui correspond à

l’expression : �5 a

4� 7� � 3

Fleurir le jardinMélodie a acheté 12 sachets d’oignons de tulipes.Chaque sachet contient 25 oignons de la même couleur,soit jaune soit rouge.Il y a 4 sachets d’oignons de tulipes jaunes.Écrire deux expressions différentes (l’une avec desparenthèses, l’autre sans) qui permettent de calculerle nombre d’oignons de tulipes rouges, puis trouverce nombre.

Interpréter des calculsPour le pique-nique qu’il va partager avec ses quatreamis, Florent achète 3 baguettes à 0,60 € pièce, 2 boîtes de thon à 1,35 € pièce et 500 g d’emmental à 7,80 € le kg. Il paye avec un billet de 20 €.

1. Indiquer ce qu’exprime chacun des nombres.

A � �7,

280� B � 3 � 0,60 C � 2 � 1,35

D � 3 � 0,60 � 2 � 1,35 � �7,

280�

E � 20 � �3 � 0,60 � 2 � 1,35 � �7,

280��.

2. a. Quelle expression permet de calculer ce quedoit payer chacun des amis.b. Quel est le montant payé par chacun ?

Coup de pouce page 264

Périmètre et aireLe grand rectangle ci-dessous est constitué de troisrectangles : le jaune, le bleu et le rose.

1. Écrire sous la forme d’un enchaînement de calculsqui n’utilise que les nombres du texte l’expressionqui permet de calculer :a. le périmètre du rectangle bleu ; b. l’aire du rectangle bleu ; c. l’aire du rectangle jaune.

2. Calculer chacune des expressions écrites à laquestion précédente.

3,8 cm

9,2 cm

4,1

cm

7,9

cm90

89

88

87

86

85

22

Exercices


Avec un tableur

1. À l’aide des mots somme, différence, produit etquotient faire des phrases pour décrire les calculsqui correspondent aux cellules C1, D1, E1 et F1.

2. Quelles valeurs obtient-on en C1, D1, E1 et F1 siA1 contient 231 et B1 contient 17 ?

TableauRecopier et compléter le tableau.


Rédiger un texteDans un magasin, on peut voir ces 3 étiquettes.

1. Rédiger un texte de problème qui correspond aucalcul 20 � (7 � 1,40 � 2 � 1,70 � 2,40) .

2. Donner la solution au problème posé.

Le compte est bonGrâce à un enchaînement d’opérations, atteindre lenombre-cible en n’utilisant qu’une seule fois chacundes nombres donnés à gauche.

a. Cible 3 2 6

b. Cible 1 1 8

c. Cible 6 7

d. Cible 2 0 0

De la formule au concret1. Que représente chacune des expressions ci-dessouspour la figure suivante ?

a. x (x � 3) b. 3 x c. x2

d. 4x e. 2 (3 � x � x) f. 2 � 3 � 2 � x

2. Donner deux raisons pour lesquelles on a :x (x � 3) � x2 � 3x .

3. Calculer chacune des expressions de la question 1quand x � 8,5 .

Jouer à la magicienneDelphine prétend pouvoir deviner quel nombre entierDamien a choisi en secret.« Multiplie ton nombre par 5, lui dit-elle, puis ajoute6 au produit obtenu. Multiplie le résultat par 4.Ajoute 9 au nouveau résultat obtenu. Multiplie ensuite ce dernier résultat par 5. Soustrais 165 aunombre obtenu. Divise enfin le résultat par 100. Ledernier résultat est le nombre que tu avais choisi ! »

1. En appelant x le nombre à deviner, justifier cettedernière affirmation.

2. Inventer un tour basé sur le même principe.

D’après Bachet, Problèmes plaisants, 1624.


Associer un texte1. Pour lequel des trois problèmes ci-dessous l’ex-

pression 20 � �92

� permet-elle de calculer la solution ?

Donner la solution du problème sélectionné.a. Julie achète 2 livres identiques.Pour payer, elle donne un billet de 20 € et on luirend 9 €. Quel est le prix d’un livre ?b. Armand donne un billet de 20 € pour payer 500 gde poisson à 9 € le kg. Combien lui rend-on ?c. Carole achète 2 vases identiques à 9 € l’un. Ellepaye avec un billet de 20 €. Combien lui rend-on ?

2. Écrire l’expression qui permet de calculer la solu-tion des deux autres problèmes. Donner les solutions.

97

96

A F3 E

B C D

x

95

94

93

92

91

Exercices

x 8 5,6 ... ...

3x � 5 ... ... ... 25

�10

4� x� ... ... ... ...

3 (x � 2,4) ... ... 0 ...

4x � �2x

� ... ... ... ...

2 3 4 5 11

2 4 9 25

2 3 7 8

4 5 6 25

TOURNEVIS

1,40 € FICHES

1,70 €CÂBLE ÉLECTRIQUE

2,40 € le

mètre

Chiffres croisésRecopier le tableau de chiffres croisés et le compléterà l’aide des définitions données.

Horizontalement : A. (54 � 19) (43 � 17)B. 12 � 13 � 14 � 15

C. �774 (3

168

� 64)� � 18

D. (100 � (7 � 4)) (103 � 16)

Verticalement : I. 1 987 � 562 � 177II. 9 � 9 � 100 � 4 � 10 � 6

III. 3 �9 � 400 � �2 7

772�� 1

IV. �1801

�

0001

� � �1050

� � 3 � 3

La conjecture de Syracuse1. Rechercher la signification du mot conjecture.

2. Au début des années 1930, un étudiant, LotharCollatz, propose l’enchaînement suivant :• Choisir un nombre entier.• S’il est pair, le diviser par 2.• S’il est impair, le multiplier par 3 puis ajouter 1.• Recommencer le procédé jusqu’à ce que l’on trouveun nombre déjà obtenu.a. Tester le programme avec 6. Qu’obtient-on ? etavec 7 ?b. Choisir 3 nouveaux nombres et les tester en indi-quant les nombres obtenus.

3. Quelle conjecture peut-on formuler ?

Magique1. Calculer 2 112 � 1 221 puis 3 223 � 2 332 .Écrire d’autres différences de nombres inférieurs à10 000 et n’utilisant que deux chiffres qui donnent lemême résultat.

2. a. Calculer 6 446 � 4 664 .b. Comparer ce résultat avec celui obtenu à la questionprécédente.c. Pourquoi pouvait-on s’y attendre ?


Surface corporelleDans une revue médicale, on peut lire que la formule

S � �4p

p�

�

907

� permet de calculer la superficie S de la

peau du corps d’un enfant de masse p (si p est en kgalors S est en m2).D’après cette formule, quelle est la superficie corpo-relle approximative d’un enfant de 28 kg ?

Les unités de températurePour convertir les degrés Celsius utilisés en France endegrés Fahrenheit utilisés aux États-Unis, on utilise la

formule F � �95c� � 32 (c représente la température

en degré Celsius et F celle en degrés Fahrenheit).Transformer en degrés Fahrenheit les températuressuivantes : 20 °C ; 35 °C et 100 °C.

Du français au mathsPour chaque phrase, écrire l’expression mathématiquecorrespondante puis calculer.a. Le double du produit de 3,7 par 5.b. Le double de la somme de 3,7 et de 5.c. La somme de 9,8 et du double de 13,7.

Message cryptéDans un message, le nom d’un sous-marin a été chiffré.Pour le découvrir, il faut calculer les expressionssuivantes puisremplacer chaquenombre par lalettre de l’alpha-bet de même rang(A pour 1, B pour2, C pour 3, etc.).

�2 � 5

3� 11� �

231

�

�

71,

�

6 �

5,220

�

42 23

45 � (15 � 3) � 3 3 � (2 � 13 � (17 � 3))

Quel est donc le nom du sous-marin ?Quel autre objet porte le même nom ?

Comment utiliser les touches « mémoires »d’une calculatrice ?

Trouver des formules utilisées dans la vie quoti-dienne.B

A

Petits exposés

104

103

102

101

100

99

98

Devoirs à la maison

24

Exercices

I II III IVA ... ... ... ...

B ... ... ... ...

C ... ... ... ...

D ... ... ... ...

1

3

5

2

4

6

Casse-tête


Les bons comptes

Un dessin pour visualiserLa somme 1 � 2 � 3 � 4 � 5 est représentéedeux fois : une fois par des croix rougeset une autre fois par des croix violettes.Le nombre total de * est facile à calculerpuisque l'on a 5 lignes de 6 signes.

1 � 2 � 3 � 4 � 5 � �5 �

26

� � 15

Écrire la formule qui permet d'obtenirla somme :

1 � 2 � 3 �… � 98 � 99 � 100

!Viveles

mathsSerrage de mainsSix personnes arrivent l’une après l’autreà un rendez-vous et se saluent en se serrant la main.Voyons comment calculer combien de poignées de mains sont alors échangées.

La premièrepersonne, lorsqu'elle arrive,est seule et ne salue donc personne.La deuxième personne saluela première qui est arrivée avant elle.La troisième personne saluela première et la deuxième qui sontarrivées avant elle et ainsi de suite.À l’arrivée de la sixième personne,le nombre total de poignées de mainséchangées est donc égal à :

1 � 2 � 3 � 4 � 5soit 15 poignées de mains.

Observons ci-dessous une méthode qui permet de connaître le nombre de poignées de mains échangées par 6 personnes… et pourquoi paspar 101 personnes qui se saluent.

1. Lors de la dernière fête de Kodomono Hi1, chaque participant a dit« Oha yo »2 à chaque personne qu'ila rencontrée. À son tour, celle-ci lui arépondu « Oha yo ».À peine plus de 700 « Oha yo » ontété prononcés. Combien y avait-il depersonnes à cette fête ?

1. Fête des enfants au Japon.2. Bonjour en japonais.

2. Un polygone a 36 sommets.Combiena-t-il dediagonales ?

SPÉCIAL PROFL’utilisation d’un tableur permet de résoudretrès rapidementle premier casse-tête.

Point historiqueUn calcul astucieux de cette sommea été effectué par le célèbre mathématicienallemand Gauss alors âgé de 9 ans !

* * * * * ** * * * * ** * * * * ** * * * * ** * * * * *

Documents

1 Enchaînements d’opérations sur les nombres …...Chapitre 1 • Enchaînements d’opérations sur les nombres décimaux • 15 exercices 45 à 52 p. 19 Appliquer un programme