1 ère année Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 1 Définitions FT & Syst. asservi Analysetemporelle Analyseharmonique Transformée de Laplace

1ère année Guillaume CHAPEY – Lycée du Parc 1

DéfinitionsDéfinitions

FT &FT &Syst. asserviSyst. asservi

AnalyseAnalysetemporelletemporelle

AnalyseAnalyseharmoniqueharmonique

TransforméeTransforméede Laplacede Laplace







Structure d’un SLCIStructure d’un SLCIDéfinitionsDéfinitions

Réflexion ActionTâche à réaliser

Tâche réalisée

Observation

Chaîne de retour

Chaîne d’action ou directe

Correcteur Partie opérative

Consigne Sortie

Capteur

+-

Comparateur

Perturbations







Performances d’un SLCIPerformances d’un SLCIDéfinitionsDéfinitions

t

s

t n%O

1

1+

1-

n%

n%

Rapidité : caractérisée par le temps de réponse à 5%








Précision : caractérisée par un écart entre l’entrée et la sortie(ou l’entrée et une image de la sortie de même nature)








Stabilité : Un système est stable si à une entrée bornée correspond une sortie bornée







Définition d’un SLCIDéfinition d’un SLCIDéfinitionsDéfinitions

e(t) s(t)S.L.C.I.S.L.C.I.

Système CContinu : Les variations des grandeurs physiques e(t) et s(t) sont des fonctions continues du temps

Système LLinéaire : e(t) s(t)S.L.C.I.S.L.C.I.

.e(t) .s(t)S.L.C.I.S.L.C.I.

e1(t) s1(t)S.L.C.I.S.L.C.I.

e2(t) s2(t)S.L.C.I.S.L.C.I.

e1(t) + e2(t) s1(t) + s2(t)S.L.C.I.S.L.C.I.

Système IInvariant : on suppose que les caractéristiques du système ne varient pas au cours du temps ("le système ne vieillit pas").







Exemple d’un SLCIExemple d’un SLCI







uL

i

dt

diLu

u R

i

Riu

u

C i

moteur

eku ikc t

x

MF

xMF

F

xk

xkF

F

xf

xfF

C

I

IC

C k

kC

C f

fC

Exemple de SLCIExemple de SLCI







débit de chaleur Qcapacité calorifique C

température résistance thermique R

Q

CQ

R

P1 - P0Rq

P1

.

R représente la résistance hydraulique de la restriction de la canalisation

q

P0

R

P1 - P0gh

réservoir de

section S

h

q

P1

P0

Définition de SLCIDéfinition de SLCI







Équation différentielleÉquation différentielle

e(t) s(t)S.L.C.I.S.L.C.I.

)(...)(

)(...s(t)

00 tebdt

tedbtsa

dt

da

m

m

mn

n

n

=

Dans les cas réels, m n : système causal: la cause e(t) précède l'effet s(t).

Le comportement du système est régi par une équation différentielle

L’objectif est de déterminer s(t) connaissant e(t)








Méthode de résolutionMéthode de résolution


=

L’objectif est la résolution de l’équation différentielle

Domaine temporel Domaine symbolique

Variable : tt Variable : pp

Équationdifférentielle

Fractionrationnelle

e(t) → s(t) = ? E(p) → S(p) = ?

Transformée de Laplace

11

Rés

olut

ion

: S(p

) =

?

22

Transformée inverse33

La résolution de l’équation différentielle se fait en 3 étapes







Définition et théorèmesDéfinition et théorèmes

Définition :

Théorèmes :

Unicité : à f(t) correspond F(p) unique,à F(p) correspond f(t) unique.

Linéarité : L [f1(t) + f2(t)] = L [f1(t)] + L [f2(t)] = F1(p) + F2(p)L [ f(t)] = L [f(t)] = F(p)

Facteur d’échelle :1 p

L( f ( at )) .F( )a a

Th. du retard :. p

L( f ( t )) .F( p )e

à savoir !à savoir !Les dérivées : 0

dfL( ) p.F( p ) f ( )

dt

22

20 0'd f

L( ) p .F( p ) p. f ( ) f ( )dt

L’intégrale :0

0t F( p ) g( )L( f ( u ).du )

p p

à savoir !à savoir !Si les CI = 0 :

0

nn

n

t

d fL( ) p .F( p )

dt

F( p )L( f ( u ).du )

p

Th. de la valeur initiale :à savoir !à savoir ! 0t p

lim f ( t ) lim p.F( p )

Th. de la valeur finale :à savoir !à savoir ! 0t p

lim f ( t ) lim p.F( p )








Transformée des fonctions courantesTransformée des fonctions courantes

t

(t)

Fonction de Dirac :Fonction de Dirac : (impulsion)

1L( ( t )) ( à savoir )

Fonction d’Heaviside :Fonction d’Heaviside : (échelon)

t

u(t)

1L( u( t )) ( à savoir )

p

Fonction rampe :Fonction rampe :

t

f(t)

2

1L( t.u( t )) ( à savoir )

p


Fonction exponentielle :Fonction exponentielle :

t

f(t)=et

1a.tL( e .u( t )) à savoirp a







Résolution de l’équation différentielleRésolution de l’équation différentielle

)t(e)t(sdt

)t(ds

dt

)t(sd 65

2

2

avec s(0) = 2, s'(0) = 2 et e(t) = 6 u(t)

p² S(p) – p s(0) – s'(0) + 5 [p S(p) – s(0)] + 6 S(p) = E(p)

Tra

nsfo

rmée

de L

apla

ce

s(t) = (1 + 5 e-2t – 4 e-3t ). u(t)

Tra

nsfo

rmée

inve

rse

2

2

2 12 6 1 5 4

5 6 2 3

p pS( p )

p( p p ) p p p

Résolution dans le domaine symboliqueRésolution dans le domaine symbolique

Décompositionen élts simples








Fonction de TransfertFonction de Transfert

0 0

n m

n mn m

d s( t ) d e( t )a ... a s( t ) b ... b e( t )

dt dt

0

0

mm

nn

b p ... bS( p )H( p )

E( p ) a p ... a

H(p)E(p) S(p)

1

1

m'm'

n'n'

K( ... b p )H( p )

p ( ... a p )

Forme canonique :Forme canonique :

• K Gain statique de la FT• Classe de la FT• n Ordre de la FT (n = n’+ )

an pn S(p) + … a0 S(p) = bm pm E(p) + … + b0 E(p)








Système asserviSystème asservi

chaîne directe(ou d'action)

sortieconsigne+

-

chaîne de retour(ou d'observation)

Les chaînes d'action et de retour sont caractérisées par leur fonction de transfert.

La structure d’un système asservi pourra toujours se mettresous la forme du schéma-bloc ci-dessous :


+-

est la différence entre : la consigne et une image de la sortiede même nature que la consigne







consignePré-actionneur actionneur effecteur processus

capteur

sortie+ -e(t)

s(t)

s(t)

s(t)

s(t)

perturbations

Erreur = entrée - sortie(t) = e(t) - S(t)

réponse

• la sortie est élaborée à partir de la mesure de l ’erreur (t)• l’erreur est une soustraction entre deux grandeurs de même nature• l’erreur est la soustraction entre l’entrée et une image de la sortie• Si la consigne suit une loi connue : le système est un asservissement• Si la consigne est constante : le système est un régulateur

Montage d ’A.O.Moteur électrique

Réducteur et transmetteur bras

codeur

Commande

Angle du bras

tension moteur

vitesse de rotation moteur

tension image de l ’angle mesuré

.+ -

Exemple de système asserviExemple de système asservi

vitesse de rotation bras







Le schéma-blocLe schéma-bloc

E1

+-

E2

+

E3

S = E1-E2+E3

Le sommateurLe sommateur

H1

E1 SH2

E2H3

E3

H= H1.H2.H3

E1 S

FT en sérieFT en sérieFT en parallèleFT en parallèle

H1

S1

H2

E

S2

+

+ S

H = H1+H2E S

FT en Boucle FerméeFT en Boucle Fermée

H SE+

-

G

E S

1' H

HG.H








L’analyse temporelle des systèmes fondamentauxL’analyse temporelle des systèmes fondamentaux

La fonction de transfert de nombreux systèmes est une compositionde fonctions de transfert de systèmes élémentaires qu'on va étudier en détail.

e(t) = t.u(t)e(t) = t.u(t) = rampe s(t) = réponse à une rampe.réponse à une rampe.

e(t) = u(t)e(t) = u(t) = échelon unitaire s(t) = réponse indicielleréponse indicielle

e(t) = e(t) = (t)(t) = impulsion de Dirac s(t) = réponse impulsionnelleréponse impulsionnelle

On va soumettre chacun de ces systèmes élémentairesà des signaux d'entrée tests e(t) et on va calculer la réponse s(t) :








Système à action proportionnelleSystème à action proportionnelle

H(p) = K

réponse impulsionnelleréponse impulsionnelle

S(p) = K.1 s(t) = K.δ(t)

réponse à une ramperéponse à une rampe

s(t) = K.t.u(t)2

1S( p ) K.

p

réponse indicielleréponse indicielle

S(p) = K.1/p s(t) = K.u(t)1

S( p ) K.p

AnalyseAnalyse

temporelletemporelle







Système intégrateurSystème intégrateurK

H( p )p


S(p) = K.1 s(t) = K.u(t)1K

S( p ) .p

t

s(t)K

e(t)


S(p) = K.1/p s(t) = K.t.u(t)1K

S( p ) .p p

t

s(t)

1 e(t)pente K








Système du 1Système du 1erer ordre ordre

1

KH( p )

.p

Gain statique

Constante de temps

réponse à une ramperéponse à une rampe

s(t) = K.t.u(t)2 1

KS( p )

p .( .p )

t

s( t ) K .( t .e ).u( t )

t

s(t)e(t)

K = 1 K < 1 K > 1AnalyseAnalysetemporelletemporelle


S(p) = K.1/p s(t) = K.u(t)1

1

KS( p ) .

.p p

1

t

s( t ) K .( e ).u( t )

0,63K

K0,95K

33

Pente à l’origine :

K/τ







Système du 2Système du 2ndnd ordre ordre

02

0

221

mH( p )

. p.p

K

Gain statique

Pulsation propreCoefficientd’amortissement


Si m > 1 : 2 racines réellesSi m > 1 : 2 racines réelles Si m < 1 : 2 racines complexes Si m < 1 : 2 racines complexes 2 10

22 1

p .t p .tKs( t ) .( ).u( t )

me e

s(t)

Régime amortiRégime amorti

0 2002

11

m tKs( t ) .e .s in( m .t ).u( t )

m

enveloppe exponentielle

20

2

1T

m

Régime pseudo-périodiqueRégime pseudo-périodique


2 10

22 12 1

p .t p .tK e es( t ) [ K ( )].u( t )

p pm

K

Régime amortiRégime amorti

0 202

11 1

1

m ts( t ) K .( e sin( m .t arccos( m ))).u( t )m

211

.m

mD

K e

20

2

1T

. m

Régime pseudo-périodiqueRégime pseudo-périodique


Pente à l’origine nulle







Démarche d’identificationDémarche d’identification

On ne peut pas toujours déterminer un modèle mathématique (donc calculer une fonction de transfert) pour un système réel à partir des lois physiques qui régissent son comportement (système trop complexe ou mal connu).

L'approche expérimentale consiste à soumettre le système à des entrées connues puis à rechercher une fonction de transfert (par identification) qui approche au mieux la relation observée entre l'entrée et la sortie.

On peut se fixer à priori l'ordre du modèle étudié : plus l'ordre sera élevé, plus la précision du modèle sera grande mais la fonction de transfert sera plus lourde à manipuler.

D'autre part, les mesures étant entachées d'erreurs inévitables et les caractéristiques du système pouvant évoluer dans le temps, il ne sert à rien de rechercher un modèle trop fin.








Analyse temporelle et harmoniqueAnalyse temporelle et harmonique


H(p)e(t) = δ (t) ??

H(p)e(t) = u(t) ??

H(p)e(t) = t.u(t) ??

H(p)e(t) = e0 sin (.t) ??

An

alys

e T

empo

rell

eA

nal

yse

Tem

pore

lle

An

alys

eA

nal

yse

harm

oniq

ueha

rmon

ique

PrécisionPrécision

RapiditéRapidité

StabilitéStabilité








Analyse fréquentielle ou harmoniqueAnalyse fréquentielle ou harmonique

Définition : On étudie la réponse d'un système soumis en entrée à un signal sinusoïdal en régime permanent.

H(p)e(t) = e0 sin (.t) s(t) = s0 sin (.t + )

On pose e = e0 e jt

et s = s0 e j(t+) :)j(H

)j(a...a

)j(b...b

e

sn

n0

mm0

On remplace « p » par « j »

Le module de H(j) donne donc le gain Ggain G du système :rapport entre les amplitudes d'entrée et de

sortie

L'argument de H(j) donne le déphasage déphasage entre l'entrée et la sortie :

retard de la sortie sur l’entrée








Le diagramme de BodeLe diagramme de Bode

On représente H(j) sur 2 courbes alignées en fonction de L’échelle est semi-logarithmique : abscisses gradué en log()

- le gain GdB en décibels (dB) :

G = 20 log | H(jG = 20 log | H(j)|)|

- la phase en degrés ou radians : = Arg (H(j= Arg (H(j))))

Intérêt : si H = H1 . H2 alors

20 log |H| = 20 log |H1| + 20 log |H2|

et Arg (H) = Arg (H1) + Arg (H2)

log

= Arg (H(j))0 1 3

log

G = 20 log | H(j)|

0 1 2

2

= 1000 rad.s-1

= 100 rad.s-1

= 10 rad.s-1

1 décade








Le diagramme de Black (ou Black-Nichols)Le diagramme de Black (ou Black-Nichols)

On représente : le gain G de H(j) en dB

en fonction de

la phase exprimée en degrés

et on gradue la courbe en .

GdB

°

sens des croissants








Le diagramme de NyquistLe diagramme de Nyquist

Pour chaque valeur de ,on représente H(j)dans le plan complexeet on gradue la courbe en .

O

A

Im(H(j))

Re(H(j))

sens des croissants


Le gain (OA) et le déphasagesont directement lisiblespour chaque valeur de .







Système à action proportionnelleSystème à action proportionnelle

H(j) = K

G

20 log K

Bode

G

20 log K

Black

Re(H(j))

Im(H(j))

K

Nyquist

GdB = 20.log K

° = 0








Système intégrateur purSystème intégrateur pur

GdB = 20.log K – 20.log

° = - 90°

j

K)j(H

Bode

20 log K

G

K

10

20 log K-20

-90°

(-1)

Black

G

-90°

=K

Nyquist

Re(H(j))

Im(H(j))

(-1) : pente de -20dB / décade(-1) : pente de -20dB / décade








Système dérivateur purSystème dérivateur pur

GdB = 20.log K + 20.log

° = 90°

Black

G

90°

=K

Re(H(j))

Nyquist

Im(H(j))

H(j) = jK

Bode

G

1/K

90°

(+1)(+1)








Système retard purSystème retard pur

GdB = 0

° = - H(j) = e-j

Bode

G

1

Black

G

Re(H(j))

Nyquist

Im(H(j))

1








Système du 1Système du 1erer ordre ordre

° = - arc tan ()1

KH( j )

j

2 2

201

dB

KG log

Bode

1

G

20 log K

1/

3 dB

- 45°

-90°

1/

(-1)

Black

G

20 log K

-45°-90°

20 log K - 3 = 1/

= 0

Nyquist

Im

KK/2 = 0

= 1/

= -45°








Système du 2Système du 2ndnd ordre ordre

020

2 m2j)1(

K)j(H

GdB = 20 log K - 10 log[(1-u2)2 + 4m2u2]

2

2

1

muarctan

u

0

avec u

r

2

2m

GdB

1

20 log K

0

-90°

-180°

(-2)

m

0

2

2m

20 1 2r . m

(-2)

1/1 1/20

(-1)

1 2

1

1 1

KH( p ) .

p p

Si m > 1 :

021

log21

log1

log

BodeBode

G dB

20 log K

m<0,7

-180°

m>0,7

BlackBlack

Im

Re = 0

m

0

K

NyquistNyquist


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