1°) IdentificationRéponse du système étudié à un échelon unitaire

2

2

1 21

nn

KFTBO p

p p

On l’identifie à une réponse du système du 2ième faiblement amorti

Fonction de transfert de la forme:

Calcul du paramètre K

0 2

2

lim1 2

1p

nn

K Es t p K E

pp p

2,5s t

L'échelon est unitaire E=1.

D’où

2,5K

Théorème de la valeur finale :

Calcul du paramètres L’amortissement peut se calculer à partir du 1er dépassement selon la formule

21%D e

2

2

1% 2

1

ln D

D eln D

Le calcul donne :

%3,4 2,5

0,362,5

D

D’où0,31

%D3,4

2,5

Calcul du paramètres n

La pulsation naturelle se calcule à partir du temps de 1er pic et de l’amortissement 2

1er pic 1nt

1er pic 0,44t mn

1er pic 0,44 60 26,4t s On mesure

D’où10,125 .n rad s

Synthèse FTBO

22

( )1 2

1nn

KFTBO p

p p

1

2,5

0,31

0,125 .n

K

rad s

2

2,5( )

63,83 4,96 1FTBO p

p p

Numériquement:

2°) Stabilité de la FTBONC bouclée par retour unitaire

2

2

1 21

nn

KFTBO p

p p

FTBO

FTBO FTBO

N pFTBF p

N p D p

2

2

1 21

nn

KFTBF p

p p K

2

2

11 2

111 nn

K KFTBF p

p pKK

2

2

'1 2 '

1'' nn

KFTBF p

p p

'1

' 1

'1

n n

KK

K

K

K

avec

Synthèse numérique pour la FTBF

2

2

'1 2 '

1'' nn

KFTBF p

p p

'1

' 1

'1

n n

KK

K

K

K

avec

1

' 0,71

' 0,234 .

' 0,176n

K

rad s

Temps de réponse à 5% d’un système du 2ème ordre non amorti

Utilisation de l’abaque

5%

Pour ' 0,176, l'abaque ci-contre donne :

17r nt

1' 0, 234 .n rad s

D’où

5% 72,6rt s

Précision

0 2

2

'lim '

1 2 ' 11''

p

nn

K E Ks t p K E E

p Kp p

Pour le système bouclé

L’erreur statique est donc: 11

1

KE E

KE K

Numériquement : 10,29

1t

K

Correction PID

1( ) 1P d

i

C p K pp

2

2

1 21

nn

KFTBO p

p p

2

2

11 2

1

i i dP

i

nn

p p KFTBOC p K

p p p

C(p) FTBO(p)

FTBOC(p)

CNS de stabilité: critère de Routh

Le critère porte sur les coefficients du dénominateur de la FTBFFTBF

2

22

11 2

1

i i dP

i

nn

p p KFTBOC p K

p p p

FTBOC

FTBOC FTBOC

NFTBFC p

N D

2

2 22

1

1 21 1

P i i d

P i i d inn

K K p pFTBFC p

K K p p p p p

2

3 22

1

21

P i i d

ii P d i P P

nn

K K p pFTBFC p

p K K p K K p K K

Tableau de ROUTH

2i

n

1i PK K

2i P d

n

K K

PK K

0

0

0

0

2

3 22

1

21

P i i d

ii P d i P P

nn

K K p pFTBFC p

p K K p K K p K K

22

21

2

i Pi P d P

n n

i P dn

K KK K K K

K K

0

PK K 0

0

Critère de Routh

CNS de stabilité du transfert FTBFC :

Tous les coefficients de la 1er colonne doivent être positif.

20 0i

in

2 20i P d d

n n P

K KK K

22

2

21

02 1 2

i Pi P d P

n n Pi

P P d n ni P d

n

K KK K K K

K K

K K K KK K

0PK K

Réglage du PID

Boucler un système ne modifie pas son ordre

Si on veut un premier ordre en BF il faut un 1er ordre en BO.

On a, a priori, une transfert en BO du 3ème ordre.La seule possibilité est de simplifier les pôles en BO.

2

2

11 2

1

i i dP

i

nn

p p KFTBOC p K

p p p

On a :

2

1

2

i dn

in

On prend pour avoir alors P

i

K KFTBOC p

p

Calcul de la FTBF correspondante

P

i

K KFTBOC p

p

1

1

P

iP i

P

K KFTBFC p

K K p pK K

La boucle fermée se comporte comme un système du 1er ordre avec une constante de temps de 5s

Si on prend 5i

PK K

2

24,96

1 112,87

0,45

in

di n

iP

s

s

KK

D’où, numériquement, le réglage du PID:

Précision obtenue avec ce réglage.

• L’effet intégrateur dans la boucle assure une erreur statique nulle

0

1lim

1p i

P

Es t p E

ppK K

Ce que l’on retrouve en calculant

• L’erreur de vitesse se calcule par : lorsque l'entrée est une rampe.t

20 0

( ) ( )lim lim

( ) ( )p p

S p FTBFC p Et p p

FTBOC p FTBOC p p

2 20 0

( )lim lim

( ) 1

i

P

p p i

P

pK KFTBFC p E E

t p pFTBOC p p pp

K K

5i

P

tK K

Conclusion sur cette correction PID

On a, en BF : 5 s

L’asservissement a donc un temps de réponse à 5% de 3 15 s

1. On a donc considérablement améliorer le temps de réponse.2. On a annulé l’erreur statique.3. L’erreur de vitesse reste importante.