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INFORMATION CHIFFREE

(une nouveauté dans ce programme )

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Pourcentages– Pourcentages instantanés – Pourcentage d’évolution– Approximation en pourcentage

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Pourcentage instantané• Il s’agit de part, proportion, fréquence, rapport d’une

partie au tout qui mesure la part relative à une quantité

• pas d’opérations sur les pourcentages seuls

• Que signifie alors : pourcentage de pourcentages ou encore somme de

pourcentages ?

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Pourcentage de pourcentage (Exemple)• La pension civile des fonctionnaires peut bénéficier d’une surcote de

0,75% par trimestre travaillé, au delà du nombre de trimestres permettant d’obtenir la pension maximale S’ (75% de son dernier traitement S) et de 60 ans

• 4 trimestres supplémentaires apportent 3% de plus ! Mais la pension ne sera pas de 78% de S

• La surcote ne représente pas 3% du dernier salaire mais 3% du montant maximal de la pension soit :

0,03 S’ = 0,03 (0,75 S ) = (0,03x0,75)S = 0,0225 S soit 2,25% de S

Dans une telle situation on parle abusivement de pourcentage de pourcentage, il ne s’agit en fait que de l’associativité de la multiplication.

Savoir que, si p est la proportion de A dans E, et p’ celle de E dans F, alors la proportion de A dans F est pp’.

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Somme de pourcentages

• Dans l’exemple précédent on ne peut ajouter 75% à 3%, ces deux pourcentages s’appliquent à des grandeurs différentes !

• Si p est la proportion d’individus de A dans E et si p’ est la proportion d’individus de B dans E et si A et B sont disjoints alors la proportion d’individus de AUB dans E est p+p’

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Secteur

EmploiAgriculture Industrie Services Total

Salariés 273 4650 13904 18827Non-salariés 806 608 1291 2705

Total 1079 5258 15195 21532

Structure de l’emploi en France, en milliers de personnes

(source : Géographie de 1ère Bordas année 1998, INSEE, Enquête emploi)

Tableau d’effectifs à deux caractères

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Tableau des fréquences par rapport à l’effectif total ( tableau 1.xls)

Secteur

EmploiAgriculture Industrie Services Total

Salariés 1,3% 21,6% 64,6% 87,5%

non-salariés 3,7% 2,8% 6,0% 12,5%

Total 5,0% 24,4% 70,6% 100%

• Les fréquences marginales sont alors les sommes des fréquences conjointes par ligne ou par colonne (ces pourcentages s’appliquent a la même quantité : l’effectif total)

• Ce tableau est un tableau de contingence, les deux modalités étudiées permettent de réaliser une partition de la population

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• Un tableau à deux caractères qui ne réalise pas de partition de la population n’est pas un tableau de contingence

• Exemple : On s’intéresse aux communes des départements d’une région

B

A Département

1Département

2Département

3Département

4

École de musique

15 57 53 55

Musée 14 39 18 20

Bibliothèque 73 111 88 101

• Les différentes modalités de la variable A ne permettent pas de réaliser une partition des communes même si les modalités de la variable B permettent de le faire

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Site : euler.ac-versailles.fr• 245 : tableau d’effectifs et calcul de pourcentage (apprentissage )

• De 874 à 876 : part de sous population en pourcentage (apprentissage )

• De 1157à 1164 : effectifs et part en pourcentage de réunion et intersection de sous population (apprentissage )

• De 889 à 891 : ( générateur d’exercice)

• De 1218 à 12315 : (Générateur d’exercices)

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Pourcentage d’évolution • Mesure l’évolution d’une grandeur, en général dans le

temps ! • Peut s’exprimer sous forme décimale, fractionnaire ou

sous forme de pourcentage

• on pourra le noter n % et ou tn 100100

nt

• Une grandeur varie au cours du temps et passe de x1 à x2 réels strictement positifs.

• Le pourcentage d’évolution t ou taux d’évolution est égal à

1

12

x

xxt

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• Une variation exprimée en pourcentage est toujours une variation relative et elle est donc exprimée sans unité .

• La variation absolue est égale à x2 – . x1

Celle-ci est mesurée au contraire avec unités

• Dire que t est le taux d’évolution entre x1 et x2 équivaut aussi à dire que:

x2 = x1 (1 + t )

t est un nombre qui s’écrira le plus souvent sous forme décimale

• 1 + t est le coefficient multiplicateur ou multiplicatif

1

2

x

x• En pratique on calculera le quotient

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Évolutions successives • Deux augmentations successives de x % ne sont pas

équivalentes à une hausse de 2x % • De même une augmentation de x % n’est pas

compensée par une réduction de x %• Il faut revenir aux coefficients multiplicateurs• Une augmentation suivie d’une réduction ou une

réduction suivie d’une augmentation est toujours une réduction

²111

²111

ttt

ttt

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Approximations dans le cas de faibles pourcentages

• Pour des valeurs de t proche de 0 on pourra approximer deux augmentations successives d’un même taux t par un taux global de 2t .

• Cette étude pourra être exploitée dans le cadre de l’utilisation du nombre dérivé .

• Voir à ce sujet fiche 48 d’euler .ac-versailles • approximation_2.xls• deriv1.g2w

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Recherche du taux moyen équivalent

• Soient deux augmentations successives annuelles respectivement d’un taux t1 et d’un taux t2

• Quel est le taux moyen annuel équivalent t ? • TP_Taux_Moyen.xls (Irem de Nancy-Metz)

• On peut chercher un taux annuel équivalent après 1,2..n évolutions. Par exemple dans la recherche d’un taux équivalent concernant des variations successives de prix !

Exemple de taux moyen.xls

221 tt

t

)1)(1(1 21 ttt

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Site : euler.ac-versailles.fr

• De 877 à 888 pourcentages d’évolution , évolutions successives (Apprentissage)

• De 892 à 903 ( Générateur d’exercices)

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Interprétation des proportions et comparaison

Attention aux conclusions hâtives

• pourcentage de reçus aux concours des grandes écoles en 1950 et 1993 :Polytechnique , HEC, ENS, et ENA .

• Pour les deux années observées la population concernée ( les reçus!) représente 0,12% d’une classe d’âge de la population française.

• Parmi les reçus on distingue ceux originaires d’un milieu populaire et ceux originaires d’un milieu intellectuel (ceux dont le père a un niveau d’étude supérieur ou égal au baccalauréat )

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Reçus 1950 1993

Milieu populaire

25% 9%

Milieu intellectuel

60% 80%

Autres 15% 11%

Population

Française 1950 1993

Milieu populaire

80% 60%

Milieu intellectuel

5% 20%

Autres 15% 20%

Etude de deux tableaux

Tableau des pourcentages de reçus suivant les catégories sociales et tableau de la structure de la société française

Lecture des données En 1950, 25% des reçus sont issus du milieu populaire et 60% du

milieu intellectuelEn 1950, le milieu populaire représente 80% de la population française

et le milieu intellectuel en représente 5%.

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Le premier tableau montre une diminution très importante des reçus en pourcentage entre les deux

années dans les catégories populaires

• Un calcul est nécessaire • Intéressons nous à la proportion de reçus dans un

milieu donné à une date donnée • Quelle est la population de référence ?

c’est la population d’une classe d’âge française

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• Soit P le nombre d’individus de la classe d’âge française concernée en 1950

• Les reçus de cette classe d’âge constituent 0,12% de P soit 0,0012P

• Parmi les reçus à cette date 25% sont issus du milieu populaire donc représentent 0,25(0,0012)P individus ou encore une proportion égale à 0,250,0012 de P donc 0,03% de la classe d’âge concernée

• Le milieu populaire en 1950 représente 80% de P soit 0,8P, la proportion de reçus dans le milieu populaire en 1950 est donc de 0,0003P 0,8P soit 0,000375 donc 0,0375%

• Cet exemple sera étudié à l’aide de fréquence conditionnelle soit fA(R) où R représente les reçus et A la classe d’âge de milieu populaire

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1950 1993

Milieu populaire

0,0375% 0,018%

Milieu intellectuel

1,44% 0,48%

Quelles sont les proportions de reçus à l’intérieur de chaque catégorie sociale ?

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Remarques

• La situation des jeunes de milieu favorisé s’est plus dégradée que celle des milieux populaires

• Il est deux fois plus difficile de faire partie des reçus dans le milieu populaire et trois fois plus difficile dans le milieu intellectuel

• La variable cachée est l’évolution considérable de la société française dans ces trois catégories

• Le raisonnement pourrait être affiné en s’intéressant à des sous-catégories dans la population concernée

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• Table de mobilité par PCS.doc

• Constructions des tables dest_recru.xls

Exemple d’utilisation de tableur

construction de tables de destinée et de recrutement

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Destinée des fils d'employés1

0,15%

27,35%

322,19%

432,23%

511,09%

626,99% 1

2

3

4

5

6

Comparaison en pourcentage dans une même population

1 : Agriculteur ; 2 : Artisan, commerçant, chef d’entreprise ; 3 : Cadre et profession intellectuelle supérieure ; 4 : Profession intermédiaire 5 : Employés ; 6 : Ouvriers

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Dans ce domaine il existe sur Educnet des TPconçus pour les professeurs de SES en liaison avec l’INSEE très utiles pour la lecture de tableaux

www.educnet.education.fr/insee/emploi/pcs/pcsaccueil.htm (La progression des CSP qualifiées.doc)