1 Journées MoMas 4-5 novembre 2008 Méthode de régularisation par second gradient. Méthode de régularisation par second gradient. Aspects numériques et

Journées MoMas4-5 novembre 2008

Méthode de régularisation par second gradient.1

Méthode de régularisation par second gradient. Aspects numériques et bifurcations

R. Chambon2, R. Fernandes1,2, C. Chavant1

1: Laboratoire de Mécanique des Structures Industrielles Durables (EDF/R&D)

UMR CNRS-EDF 2832, 1 avenue du Général de Gaulle - 92140 Clamart, France

e-mail: [email protected], web page: http://www.lamsid.cnrs-bellevue.fr

2: Laboratoire Sols Solides Structures (L3S)

UMR CNRS 5521, Domaine Universitaire BP53, 38041 Grenoble, France

web page: http://www.3s.hmg.inpg.fr

This work was partially supported by GdR MoMas (PACEN)

http://www.gdrmomas.org



• Problèmes liés aux comportements adoucissants : besoin de robustesse

• Extension des modèles locaux aux formulations régularisées

• Choix de la discrétisation numérique

• Algorithme de recherche de solutions multiples

• Applications numériques

• Conclusions et Perspectives

Méthode de régularisation par second gradient



• Dépendance des simulations à la discrétisation spatiale• Dissipation d’énergie qui tend vers zéro avec le raffinement du maillage

2 maillages

Variable d’endommagement

Illustration numérique

Problématique de la localisation du point de vue éléments finis



Principe des modèles à gradients

Une solution consiste à régulariser ces variables internes ou le champ de déformation

Principe des modèles à gradients : Introduction de variables cinématiques supplémentaires pour décrire un point matériel en tenant compte de son voisinage.

Les variables cinématiques supplémentaires doivent dépendredu gradient d’une variable qui localise.

Le problème de minimisation d’énergie de la structure va ensuite assurer que ces nouveaux termes n’augmentent pas trop fortement, et va donc permettre de régulariser le champ

considéré.

Le phénomène de localisation entraîne la production de forts gradients de variables internes (endommagement) et de déformations



Théorie des milieux à microstructure (dits micromorphic models)

d

kxij

v

ijkj

xi

u

ijv

ijj

xi

u

ij σ

***

*

virtuelecinématiqu-microgradient *ij

v

t virtueldéplacemen de champ *i

u

Modèle du second gradient : un modèle issu des milieux à micro-structure contraint

uemathématiq contrainte j

xi

u

ijv

d

kx

jx

iu

ijkj

xi

u

ij σ

2 **Avec une modification de

l’expression des conditions limites

Modèle second gradient (I) (Chambon et al, 2001)



Modèle second gradient (II) (Chambon et al, 2001)

La discrétisation élément fini implique de prendre en compte :

• soit des éléments C1-continu,

• soit une formulation mixte

+ Modèle bien adapté aux géomatériaux

+ Nécessite peu de données supplémentaires

- Ajout significatif de degrés de liberté supplémentaire

d

jxi

u

ijv

ijλ

jxi

u

ijv

ijλ

kxij

v

ijkj

xi

u

ij σ *

**

**

iji v,u

iu

ijλ



Théorie des milieux avec micro-dilatation (micromorphic dilation model)

d

jx

v

jS

ixi

uv

jxi

u

ij σ

***

*

)( -volumemicro de variation scalaire*v

t virtueldéplacemen de champ *i

u

Modèle second gradient de dilatation : un modèle issu des milieux avec micro-dilatation contraint

uemathématiq contrainte i

xi

u v

d

ix

jx

iu

jS

jxi

u

ij σ

2 **

Modèle second gradient de dilatation (I) (Fernandes et al, 2008)

Avec une modification de l’expression des conditions limites



Modèle second gradient de dilatation (II) (Fernandes et al, 2008)

d

ixi

uv

ixi

uvr

ixi

uvλ

ixi

uvλ

jx

v

jS

jxi

u

ij σ

***

**

**

La discrétisation élément fini implique de prendre en compte :

• soit des éléments C1-continu,

• soit une formulation mixte

• soit une formulation pénalisée

• soit une formulation mixte pénalisée

Discrétisations élément fini (3D) testées :

λ ,, vu

u

Lagrange P1

P1 : λ

P1 : χ

P2 : u

v

Lagrange P0

vu ,

u

λ

P0 : λ

P1 : χ

P2 : u

v



Modèle second gradient de dilatation

Choix de la discrétisation EF (sur élément 3D):

Comparaison d’essais numériques par rapport à une solution analytique

RURU

RU

Etude d’une sphère de rayon unitaire soumise à un déplacement radial imposé et à une force interneRU IF

Le comportement est supposé élastique

zyxx ,,

x

y

z

xrFI 104 2

2222 zyxr

xr

xU R

3

1

7

4

xrxv 24

xxrr

u 7

4 Id

3

1

7

24



On discrétise la sphère avec des mailles de plus en plus fines et on observe le taux de convergence d’une norme du tenseur de déformations macroscopiques et du gradient de déformation volumique microscopique

2

numanacv

2

numanacv vvv

en déformations macros

d’ordre 2 pour l’élément

sans pénalisation mais d’ordre 1

pour l’élément

cv

1 1 2 PPP ,,

0 1 2 PPP ,,

Etude de la convergence en fonction du type d’interpolation

0,0001

0,001

0,01

0,1

1

10

0,01 0,1 1

taille de maille (h)

cv

0 1 2 PPPcv ,,:

1 1 2 : PPPcv ,,

vcv

en gradient de

déformations micros

toujours d’ordre 1

vcv

=> Choix de l’élément (P2,P1,P1)



+ Modélisation bien adaptée aux géomatériaux

+ Nécessite peu d’informations complémentaire

+ Régularisation nécessitant peu de degrés de liberté supplémentaire

v,ui

iu

Intégration par Lagrangien augmenté

Intégration par pénalisation (seule)

+ meilleure convergence numérique

- opérateur tangent non-symétrique

+ peu coûteuse

+ opérateur tangent avec symétrie identique à celle du modèle local

d

ixi

uv

ixi

uvr

ixi

uvλ

ixi

uvλ

jx

v

jS

jxi

u

ij σ

***

**

**

Modèle second gradient de dilatation : un modèle issu des milieux avec micro-dilatation contraint

λ v,ui ,

iu

Modèle second gradient de dilatation



Distinction entre solutions multiple et bifurquée

Paramètre de chargement

For

ces

glob

ales

Point de bifurcation

Solutions Multiple

Branche fondamentale

Branche bifurquée

Branche bifurquée

Un point de bifurcation est défini par un paramètre de chargement à partir duquel au moins 2 solutions continues existent

La non-unicité de la solution est possible pour

des chargements plus petits que celui du point

de bifurcation

Un point singulier (ou critique) est défini par un paramètre de chargement pour lequel la matrice jacobienne des équations

d’équilibre est singulière

Un point de bifurcation est un point singulier

particulier



Algorithme de changement de branches

Etape 1 : Identification d’un point singulier

• par un critère global basé sur l’analyse des valeurs propres de la matrice tangent consistante de rigidité calculée en fin de pas de temps

• par un critère local basé sur l’analyse du tenseur acoustique de Rice

Etape 2 : Détection des solutions bifurquées suivant la direction du vecteur propre de la branche fondamentale cvfundtcvfundtpertt uu ,,, 0

Etape 1

Etape 4

Eta

pes

2 et

3

Pas de temps Identification d’un point singulier

1ère solution bifurquée

2nde solution bifurquée

Etape 3 : Distinction des solutions bifurquées par analyse des valeurs propre

On considère que 2 solutions sont identiques si leur plus petite valeur propre respective sont les mêmes

Etape 4 : Poursuite de la simulation numérique

cvfundt ,



Applications numérique de l’algorithme de changement de branches

1- Biaxial homogène en compression (20.000/100.000 ddls)

2- Simulation d’une excavation souterraine en conditions drainées (85.000/350.000 ddls)

Utilisation de l’algorithme de changement de branche comme outil de traitement numérique pour détecter les solutions multiples

Pour les géomatériaux, et plus généralement pour les matériaux adoucissant, les équations représentatives des lois de comportements ne sont pas continûment differentiable.

Applications numérique :

Théorie de bifurcation classiquement appliqué en ingénierie pour traiter les non-linéarités géométriques (comme le flambement) mais est souvent occulté quand les non-linéarités sont dues aux propriétés matériaux. Pourtant, il est bien connu que de tels problèmes non-linéaires peuvent donner de multiples solutions (Chambon et al, 1998).

Observation :

Difficulté :

Objectif :



Points commun des applications numériques

• Modélisation second gradient de dilatation par une approche pénalisée (uniquement)

• Relation de comportement avec un critère de type Drucker-Prager dans une approche associée

Représentation classique de la réponse mécanique d’un test biaxial homogène en compression

Déplacement (mm)

Contrainte déviatorique équivalente Déformations volumiques

au Déplacement (mm)au



Simulation du test biaxial homogène en compression

Homogénéité sur la géométrie, le chargement et les paramètres matériaux.

2 maillages : 1.600 et 19.600 éléments triangle



Etape 1 : Identification de points singuliers

-> Avec le critère global basé sur l’analyse aux valeurs propres : 2 points singuliers sont détectés

-> Le critère local basé sur l’analyse du tenseur acoustique de Rice est vérifié pour tous les points de Gauss avant l’identification d’un point singulier par le critère global

0,280 0,286Paramètre de chargement

3 pl

us p

etite

val

eur

s pr

opre

s

107

0

-105

Premierpoint singulier

Secondpoint singulier

Détection par analysedu critère de Rice • le vecteur propre issu du critère global

est associé à une valeur propre légèrement négative.

• le vecteur propre issu du critère local est associé à une valeur propre positive éventuellement élevée.

On peut noter que :



Solutions multiples obtenues pour le test biaxial homogène

Détection des mêmes solutions avec les critères globaux (valeurs propres) / et locaux (Rice) => Solutions multiples avant l’identification d’un point de bifurcation

Présentation des déformations plastiques cumulées aux points de Gauss

Suivant le premier vecteur propre singulier

Suivant le second vecteur propre singulier

Maillage raffiné



90

100

110

120

130

0,26 0,27 0,28 0,29 0,3 0,31

0

20

40

60

80

100

120

140

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4

Pilotage

Vecteur propre

Homogene

2 méthodes pour détecter les bandes de cisaillement et passer les points singuliers:

• introduction d’une imperfection numérique (sur les paramètres matériaux par exemple) mais nécessité d’utiliser une méthode de pilotage pour passer le snap-back

• utilisation de l’algorithme de changement de branches sur le test homogène

For

ces

glo

bale

s (M

N)


For

ces

glo

bale

s (M

N)

Forces globales / paramètres de chargement en fonction des méthodes utilisées

Solution homogène

Imperfection +pilotage

Algorithme de changement de branches : Un outil numérique pour passer les points singuliers

Algorithme de changement de branches


0,30,12 0,24



Comparaison des bandes de cisaillement obtenues par les deux méthodes

0,00252 0,02827 0,00215 0,02970

Présentation des déformations plastiques cumulées aux points de Gauss

Simulation du test homogène avec

méthode de changement de branche

Simulation avec une imperfection matériau en

bas à gauche de la structure + méthode de

pilotage

Epaisseur de bandes quasi-identique pour les deux méthodes



Simulation numérique d’une excavation souterraine en conditions drainées

Y

X

• Cavité cylindrique (rayon 3m)

• Etat de contraintes initial anisotrope

• Dimensions verticales et horizontales du domaine d’étude : 60 mètres

Déformations plastiques cumulées aux points de Gauss après 70% de creusement

86.298 ddls86.298 ddls

354.420 ddls 354.420 ddls

0 00,02487 0,02471

0 00,02537 0,02480

2 solutions distinctes pour chacun des 2 maillages

Solution 1 Solution 2

Maillage fin Maillage fin



Conclusions et Perspectives

• Est-il nécessaire de détecter toutes les solutions? Une sélection peut être

envisager à partir d’un critère de « stabilité » à définir.

• Extension de l’algorithme de changement de branches aux matrices

tangentes de rigidité non-symétrique (pour traiter les problèmes couplés ou

non-associés par exemple)

Perspectives

• Il est nécessaire de détecter (toutes?) les solutions d’un problème

non-linéaire

• L’algorithme de changement de branches basé sur l’analyse aux valeurs

propres de la matrice tangente consistante semble être une méthode robuste

• Les solutions multiple sont possible avant même l’identification de points

singuliers

Conclusions

Documents

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