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Le formalisme quadridimensionnel de la géométrie différentielle
pour des modèles de comportement anisotropes et indépendants
du référentiel - Application à l’élasticité des cristaux métalliques
ICD LASMIS Club Zebulon
Emmanuelle ROUHAUD, Benoît PANICAUD, Arjen ROOS
5 juin 2012
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Plan
Approche 3D : les possibilités Approche 3D : les problèmes Approche ND : les maths Approche 4D : la physique Approche 4D : les possibilités Approche 4D : application Zébulon Approche 4D : conclusions et perspectives
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3DApproche 3D : les possibilités
Hypothèses générales:
- Transformations finies- Elasticité isotherme avec des rigidités- Approche 3D sécante (pas de dérivation)
- Géométrie = VER- Matériau = agrégat de constituants élémentaires (grains)Typiquement un polycristal, macroscopiquement isotrope
- Exemple- Sollicitation = glissement simple (on pilote en déformation)
OCICJCC 04412 23
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3DApproche 3D : les possibilités
• Modèle 1 = macroscopique + départ LagrangienTT FEµIEIFJFSFECS )2):((/:
• Modèle 2 = macroscopique + départ Eulérien
eµIeIeC 2):(:
• Modèle 3 = micromécanique + départ LagrangienN grains à symétrie cubique, désorientés par une FDO(Q)2X méthodes de transitions d’échelles possibles (Voigt, Reuss…)
T
T
TT
FEAQOCECIEICF
FEAQOCAICAJCF
FEAQOCICJCFJFSF
EAQCSSECS
::)(2):(
::)(:2:3
::)(23/
::)(:
04412
04412
04412
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3DApproche 3D : les problèmes
- Le choix Euler/Lagrange
- Le choix de la variable cinématique un faux problème
- Le choix du modèle de comportement dépend du matériau
- Le choix de la méthode de transition d’échelles quel ?
- Le problème de l’évolution de la texture FDO(Q(t)) ?
- Le problème de l’invariance des grandeurs et des relations
- La dépendance ou non au mouvement rigide
- Le problème de l’isotropie des modèles en Euler
Aréglé
OBJECTIVITE
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OBJECTIVITE ?Une nécessité
Repère avec mouvement rigide :e1
e2
e3
xO
F
A
F’x
Ae’ 1
e’ 2
e’ 3
Q(t)
3D
Repère fixe Dans le repère « ’ » lié au chariot :
V(A) = 0
La force est objectiveLa vitesse n’est pas objective
Soit Q la matrice de passage entre fixe et « ’ ».
Alors
F’ = QF V’≠QV
Changement de coordonnées (ou de référentiels)Pour un tenseur d’ordre 2 (3x3) :
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Les maths
Les composantes d’une densité géométrique, d’ordre deux (NXN) par exemple, obéissent toujours à :
par un changement de coordonnées dans un repère à N dimensions tel que :
Invariance de tout objet + toute relation par n’importe quel changement de coordonnées = covariance
3DNDLes indices
varient de 1 à N
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4D
Approche 4D : la physique1) Quatre dimensions :
trois d’espace : x1, x2, x3 : xi
une de temps : x4 = ct où c est une vitesse de référenceMouvement non-relativiste : c ∞
2) Une métrique dans le repère inertiel : de signature (- - - +)Dans un repère curviligne les compo-santes de la métrique sont g.
Les indices grecques varient de 1 à 4
Les indices latins varient de 1 à 3
Pour un changement de coordonnées les matrices Jacobiennes sont 4 x 4
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La physique
Changement de coordonnées 4D:
Jacobiennes 3D:
Jacobiennes 4D:
Changement de repères 3D Changement de référentiels⟺
Mouvement relatif rigide
Un changement de référentiels est un changement de coordonnées 4D
4D
Changement de référentiels⟺
Mouvement relatif avec déformation
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4DL’objectivité ?
Le « principe » d’objectivité 3D n’est pas un principe
Objectivité 3D, si
Vecteur 4D
Changement de référentiel (= observateur)
Sinon…(F’ = QF)
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Le cas de la vitesse
4D
La vitesse 4D est indépendante du référentiel d’observation (la force aussi) ET dépend du mouvement rigide
x'B
Ae’1
e’2
e’3
xA
e1
e2
e3 Q
U
Repère fixe Repère « ’ » en translation (U=cte)
Dans le repère lié au chariot : V(A) = 0
Soit la matrice Jacobienne entre fixe et « ’ »:
Transformation de la vitesse:
(x4=ct)
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La physique
Changement de coordonnées 4D:
Jacobiennes 3D:
Jacobiennes 4D:
Changement de repères 3D Changement de référentiels⟺
Mouvement relatif rigide
Un changement de référentiels est un changement de coordonnées 4D
4D
Changement de référentiels⟺
Mouvement relatif avec déformation
Convectif: description en fonction de la position actuelle, exprimée dans le repère Eg qui suit la déformation de la matière (repère convectif curviligne) et tel que :
Interlude
Description des milieux continus
Lagrange: description en fonction de la position initiale (de référence) exprimée dans le repère E0
Configuration initiale Configuration actuelle
),( 0 tXT E
),( 0 txT E
MEX 0
MEx 0MEgx
),( txT Eg
Une formulation lagrangienne est la projection d’une relation tensorielle dans le repère convectif
Le passage d’une formulation eulérienne à une formulation lagrangienne est un changement de coordonnées 4D (relations anisotropes comprises)
Euler: description en fonction de la position actuelle, exprimée dans le même repère E0
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4DApproche 4D : les possibilités
- Toute relation 4 tensorielle est invariante par rapport à tout changement de référentiels.
- Un changement de référentiels est un changement de coordonnées curvilignes 4D (attention à la variance).
- La formulation de Lagrange est une projection dans le système de coordonnées 4D convectif.
- La dépendance au mouvement rigide est un choix physique.- L’(an)isotropie est un choix physique.
- La méthode 3D 4D = CONSTRUIRE DESTENSEURS 4D !!! (attention à la signature de la métrique età la dimension du temps).
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4DLes possibilités
dans le cas de l’élasticité
Modèle 4D
tensoriel
Inertiel ON
Convectif
Coordonnées 4D
: PK2CauchyE : Déformation Lagrangee : Déformation EulerC : FTFc : (FFT)-1
Inertiel ON
Convectif
Inertiel ON
Convectif
Inertiel ON
Convectif
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4DApproche 4D : les possibilitésHypothèses générales:
- Transformations finies- Elasticité isotherme avec des rigidités- Approche 4D (non-relativiste) sécante (pas de dérivation)
- Géométrie = VER- Matériau = agrégat de constituants élémentaires (grains)Typiquement un polycristal, macroscopiquement isotrope
Exemple:- Sollicitation = glissement simple (on pilote en déformation)
OCICJCC 023231122 23
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4DApproche 4D : les possibilités
• Modèle 4 = macroscopique + départ Obs Lagrangien
• Modèle 6 = macroscopique + départ Obs Eulérien = Modèle 4
SymggCggCC ˆˆ2ˆˆ 23231122 • Modèle 5 = macroscopique + départ Obs Lagrangien 3D Lagrange
SymCCC 23231122 2
SymCCC 23231122 2
• Modèle 7 = micromécanique + départ Obs Eulérien
• Modèle 8 = micromécanique + départ Obs Lagrangien 2 versions comme en macro avec ou g
)(2 023231122 QOCCCC Sym
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4DApplication Zébulon
Programmation des lois élastiques linéaires isotropes
Euler et Lagrange
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4DApplication Zébulon
Programmation des lois élastiques linéaires
Anisotrope Euler et Lagrange
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4D
Application ZébulonCalculs 9 grainsOrientations initiales« aléatoires »
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4DApplication ZébulonCalculs 9 grainsLagrange / Euler
Moyenne 9 grains
Moyenne 1 grain
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4DApproche 4D : conclusions…
- L’invariance des grandeurs et des relations est acquise par l’utilisation de tenseurs 4D (principe de covariance).
- Un modèle 4 tensoriel peut dépendre (ou pas !) du mouvement rigide : ceci correspond à un choix physique.
-Une relation peut décrire un phénomène anisotrope et être exprimée avec une approche Eulérienne.
- Les expressions Lagrangiennes correspondent à une projection de l’expression tensorielle dans le repère convectif 4D.
- On peut « passer » d’une description Eulérienne à une description Lagrangienne par un changement de repère 4D.
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FINApproche 4D : … et perspectives
- Développer un formalisme 4D pour décrire les effets dissipatifs dans le cadre thermodynamique :
- viscosité- plasticité
- Le principe de covariance a des conséquences importantes pour l’expression des variations dans le temps des grandeurs :
- Invariance par changement de référentiels assurée
- Programmer les taux covariants dans Zebulon.
- Programmer les modèles de comportement avec dissipations dans Zebulon.
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Ref.
- Rougée, P.: Kinematics of finite deformations. Arch. Mech. 44, 527-556 (1992)- Garrigues, J.: Fondements de la Mécanique des Milieux Continus. Hermes, Science Publications (2007)- Lamoureux-Brousse, L.: Infinitesimal deformations of finite conjugacies in nonlinear classical or general relativistic theory of elasticity. Physica D. 35, 203-219 (1989)- Murdoch, A.I.: Objectivity in classical continuum physics: a rationale for discarding the `principle of invariance under superposed rigid body motions' in favour of purely objective considerations. Continuum Mech. Thermodyn. 15, 309-320 (2003)- Bressan, A.: Relativistic Theories of Materials. Springer-Verlag, Berlin (1978)-Schouten, J.: Ricci-calculus: An Introduction to Tensor Analysis and Its Geometrical Applications. Springer-Verlag (1954)
