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Le système m-k• Retour sur la loi de Hooke;• Étude dynamique;• Fonction position pour un système m-k en

position horizontal;• Période et fréquence angulaire pour un système m-k;

Identités trigonométriques utiles

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En mécanique nous avons étudié le mouvement d’une particule sous l’effet d’une force constante (MUA).

Avec la fonction position:

Maintenant, on étudie le mouvement d’une particule sous l’influence de force variable.

cas particulier: force élastique

•Système masse-ressort (m-k);

•Corde vibrante;

•Colonne d’air;

x(t ) =x0 + v0t+12 at

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Équilibre

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Alors:F = −k x F = −mω 2 x

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Selon la deuxième loi de Newton:

Fx = -k x = m ax

Ou encore: (Forme différentielle du M.H.S.)

y

x rFr

d 2 x

dt 2+

km x = 0

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Période

Fréquence angulaire

Équation:

Forme générale:

Solution:

d 2 x

dt 2+

km

x=0

d 2 x

dt 2+ ω 2x=0

x =Asin ωt+φ( )

ω =k

m

T =2π mk

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Un bloc de 2 kg est attaché à un ressort pour lequel k =200 N/m. On l’allonge de 5 cm et on le lâche à t = 0 s.

5 cm

Condition initiale: On étire de 5 cm et l’on relâche le tout !

Soit: à t = 0 s, x = +A = + 5 cm, d’où = + π/2

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•Calcul de ω:

•Calcul de :

D’où: ( t en seconde)

Que l’on peut écrire: ( t en seconde)

ω =k

m= 10 s-1

A = 0,05 m

x =0,05 cos 10t( ) m

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•Déterminons la phase:

Autre possibilité:

soit:

Car sin = sin(π – )

Alors: (À rejeter car t < 0 s )

Calcul de la vitesse:

En utilisant la périodicité de la fonction

On trouve: v = 0,05 ×10 cos 13π6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =+ 0,43

ms

v = 0,05 ×10 cos 5π6

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ = - 0,43

ms

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10t +π2=π6

10t +π2=π −

π6

10t +π2=π6+ 2π

Pour une même position, on a deux vitesses possibles de même grandeur mais de sens opposés.

c) Calcul de l’accélération pour x = 0,025 m

On sait que  a =−ω 2x=− 2,5 ms2

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• sin = sin (π – )

• cos = cos (– )

• cos (π = cos (π – )

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Faire les exemples: 1.3, 1.4 et 1.5 Les questions: 5, 15 et 18 Les exercices: 3, 7, 9, 11, 12 et 61. Problème 1.

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