1 Mecanique

Physique DF v 3.2

© Sébastien Monard 2011 Titre mécanique Gymnase de la Cité

Chapitre 1 : MECANIQUE

1.2 CHOCS ET QUANTITÉ DEMOUVEMENT

1.4 ENERGIE

1.5 STATIQUE DES FLUIDES

1.3 DYNAMIQUE ETGRAVITATION

1.1 CINEMATIQUE

Physique DF v 3.2 Mécanique M 0

S. Monard 2011 Mécanique page 0 Gymnase de la Cité

Table des matières MECANIQUE1.1 CINEMATIQUE ___________________ 1

1.1.0 Galilée (1564-1642)_________________ 1

1.1.1 La mesure du temps ________________ 1

1.1.2 Le mètre, unité de longueur__________ 3

1.1.3 Position et horaire _________________ 41) Unités ________________________________ 42) Notion de référentiel_____________________ 43) Notion d'horaire ________________________ 4Exercices position_________________________ 4

1.1.4 Vitesse et mouvement rectiligne uniforme(MRU) ________________________________ 5

Exercices MRU___________________________ 5

1.1.5 Le mouvement circulaire uniforme(MCU) ________________________________ 5

Exercices MCU___________________________ 6

1.1.6 L'accélération _____________________ 6

1.1.7 Le mouvement rectiligne uniformémentaccéléré (MRUA) _______________________ 7

Exercices MRUA _________________________ 7

1.1.8 Accélération centripète et MCU ______ 8Exercices accélération MCU________________ 8

Corrigé des exercices de cinématique _______ 91.1.4 Vitesse et MRU (M 5)_________________ 91.1.5 Vitesse et MCU (M 6)_________________ 91.1.7 MRUA (M 7)________________________ 91.1.8 Accélération et MCU (M 8) ____________ 9

1.2 QUANTITE DE MOUVEMENT ETCHOCS _____________________________ 10

Exercices Chocs et QDM _______________ 11

1.3 DYNAMIQUE ET GRAVITATION ___ 121.3.0 Histoire de la dynamique ___________ 12

1. L'antiquité____________________________ 122) Aristote (384 - 322 av. J.-C.)______________ 123) Sir Isaac Newton (1642 - 1727) ___________ 12

1.3.1 Masse et masse volumique __________ 13Exercices masse volumique ________________ 13

1.2.2 Notion de force ___________________ 13Les différents types de forces ______________ 14Caractérisation de la force ________________ 14

1.2.3 Les trois lois de Newton ____________ 14

1.3.4 Exemples d'introduction à l'équationfondamentale__________________________ 15

1.3.5 L'équation fondamentale de ladynamique de Newton __________________ 15

1.3.6 Masse inerte et masse grave_________ 16

1.3.7 Masse, poids et force de pesanteur ___ 16

Exercices MRUA et force________________ 16

La découverte de la gravitation universelle _ 17

1.3.8 La loi de la gravitation universelle.___ 18

1.3.9 Dynamique de rotation des planètes –Lois de Kepler_________________________ 19

Les 8 (9) planètes du Système solaire ______ 20Exercices MCU et force – Lois de Kepler___ 21

1.3.10 Classification des forces ___________ 22

Corrigé des exercices QDM et dynamique __ 23Chocs et QDM p. M 11 ____________________23Masse volumique p. M 13 __________________24MRUA et force p. M 16 et M 17_____________24MCU et force p. M 21 _____________________24

1.4 ENERGIE________________________ 251.4.1 Travail d’une force________________ 25

1.4.2 Les différents types d'énergie _______ 26

(1) Energie potentielle de la pesanteur _______ 26

(2) Energie cinétique ____________________ 26

(3) Energie du ressort ____________________ 26

(4) Chaleur = travail des frottements ________ 26

1.4.3 Loi de conservation de l'énergie _____ 27

1.4.4 Loi de dégradation de l'énergie ______ 27

1.4.5 Résumé des différents types d'énergie etprincipes _____________________________ 29

Exercices sur l'énergie __________________ 31

1.4.6 Puissance et rendement ____________ 32

1.4.6 Puissance et rendement ____________ 33

EXERCICES SUR LA PUISSANCE ______ 34

Corrigé des exercices sur l'énergie p. M 30 _ 34

Corrigé des exercices sur la puissance p. M 32(avec g = 10 m/s2)_______________________ 34

1.5 STATIQUE DE FLUIDES (PRESSION)____________________________________ 35

1.5.0 Expérience d'introduction __________ 35

1.5.1 Définition de la pression____________ 35

1.5.2 Le principe de Pascal ______________ 35Applications du principe de Pascal __________36

1.4.3 La pression hydrostatique __________ 36

Exercices pression hydrostatique _________ 37

1.5.4 Principe d'Archimède______________ 38Applications du principe d’Archimède _______38

Exercices Archimède ___________________ 39

Corrigé des exercices sur la pression ______ 40a) Pression hydrostatique p. M 35 ___________40b) Force d'Archimède p. M 37 ______________40



1.1 CINEMATIQUE

1.1.0 Galilée (1564-1642)Galilée (le son vrai nom Galileo Galilei) naît à Pise en 1564. A 17 ans, ilentreprend des études de médecine bien qu'il manifeste déjà du talent pourla musique et les arts. Très vite, il montre de l'intérêt pour d'autres domainesde science et il est nommé professeur de mathématiques à l'université dePise. Entre 1589 et 1592, il étudie les lois du mouvement, ce qui constitue lamatière de ce chapitre.Le philosophe grec Aristote (383 - 322 avant J.C.) pensait que des objetslourds tombaient plus rapidement que des objets légers. Galilée entreprend une série d'expériences surdes objets roulant le long de plans inclinés, ce qui lui permet de conclure que tous les objets possèdent lamême accélération, pour autant que l'on puisse considérer les frottements comme négligeables. Il établiten outre que la distance parcourue par les objets varie avec le carré du temps écoulé, ce qui impliqueque l'accélération soit constante. On considère que Galilée a révélé l'importance de l'approcheexpérimentale en sciences.

En 1608, Galilée prend connaissance du fait que deux lentilles de lunette peuvent être associées pouragrandir la vision d'un objet éloigné. Rapidement, il construit une série de télescopes possédant despouvoirs d'agrandissement de plus en plus importants. Il observe que le relief de la Lune estmontagneux, que Jupiter possède des satellites ; il observe également l'existence des taches solaires.Mais ces observations lui causent des ennuis. Copernic (1473-1543) avait émis des doutes quant àl'enseignement d'Aristote qui voulait que la terre soit le centre de l'Univers. Copernic avait montré que lesmouvements apparents du Soleil, des étoiles et des planètes pouvaient s'interpréter plus simplement enconsidérant la Terre comme une planète effectuant une rotation quotidienne autour de son axe d’unerévolution annuelle autour du Soleil. Les observations de Galilée sont en faveur de ce point de vuehérétique selon lequel la Terre ne constitue pas le centre du monde. Cela lui cause d'énormesdifficultés avec les autorités.

Le conflit de Galilée avec l'Eglise dure plus de vingt ans. Dans un premier temps, on lui interdit d'exposerses idées. Plus tard, on lui ordonne de décrire les idées de Copernic comme hypothétiques. Cependantl'analyse de Galilée et la présentation des observations sont tellement parfaites et convaincantes qu'à 70ans, il est jugé pour avoir enfreint l'ordre antérieur. Après le procès il reste en résidence surveilléependant les douze dernières années de sa vie.

On doit à Galilée d'avoir été l'un des tous premiers à oser faire des expériences à une époque où lesmanipulations passaient encore parfois pour une atteinte à la Nature, d'essence divine. Dans une pagecélèbre extraite de son « Dialogue sur les deux systèmes du Monde » publié en 1632 alors que les idéesd'Aristote faisaient encore autorité ; on peut lire un dialogue entre Salviati qui représente Galilée etSimplicius, un interlocuteur de bon sens.

1.1.1 La mesure du tempsSi la Terre avait toujours présenté la même face au Soleil, le terrien n'aurait probablement pas eu lanotion de temps. C'est en effet la "course" du Soleil qui donna à l'homme l'idée d'une durée. L'hommeremarqua que les ombres des objets se raccourcissent du matin jusqu'à midi et rallongent de midijusqu'au soir. La Terre met 365 jours environs pour accomplir une révolution autour du Soleil. C'est cettedurée qui définie l'année. Dans les temps anciens, nos ancêtres se servaient des étoiles (apparaissant àun moment donné de l'année) ou des changements caractéristiques de la nature pour, par exemple,semer ou récolter au bon moment. Les années sont elles-mêmes divisées en 12 mois composés de 28 à31 jours. Ces jours sont marqués par les apparitions et les disparitions du Soleil, il est donc aisé de lesdéfinir. Mais la division de ces jours s'est vite avérée nécessaire. Ainsi, au fil des siècles, l'Homme a misau point différentes façons de mesurer le temps, de plus en plus précises.

Les heures, à leur "création" étaient plus ou moins longues suivant la saison (12 heures de jour, 12heures de nuit, ce qui implique par exemple que les heures de jour en été étaient plus longues que lesheures de nuit de la même saison). Le tout premier objet ayant servi à mesurer le temps est le gnomon.Celui-ci était un simple bâton planté dans le sol verticalement, et c'est la longueur de l'ombre quipermettait de repérer l'heure. C'est la première horloge, le gnomon (du grec indicateur). Elle étaitconnue des Grecs, des Arabes, des Egyptiens, des Chaldéens et des Chinois et date du IIIe millénaireavant J.-C.



Le cadran solaire, dont le plus ancien est daté de 1500 av J.-C. et provient d'Egypte, lui a succédé et aapporté une première vraie notion d'heure : au fur et à mesure que le soleil se déplace dans le ciel,l'ombre du style parcourt l'échelle horaire graduant le cadran. Dans le cadran solaire : la tige n'est plusverticale, elle est inclinée parallèlement à l'axe terrestre et pointe vers l'étoile Polaire. Il s'ensuit qu'en unlieu donné, toute l'année, à la même heure, L'ombre de la tige n'a pas la même longueur, mais la mêmedirection. Les Romains connaissaient le cadran solaire. Beaucoup d'édifices du Moyen Age et des sièclessuivants en sont ornés.

Le cadran solaire avait l'inconvénient de ne pas être utilisable la nuit, ni surtout dans les régions au climatpeu favorable. La clepsydre ou horloge à eau est apparue à peu près en même temps que le cadransolaire. Les Egyptiens s'en servaient déjà au IIIe millénaire avant J.-C. il s'agit de mesurer la hauteurd'eau qui s'écoule d'un récipient à un autre par une fine ouverture. La clepsydre fut perfectionnée parl'adjonction d'un mécanisme à aiguille. Le chroniqueur raconte que Charlemagne possédait uneclepsydre capable de sonner l'heure en laissant choir des billes sur un plateau. La clepsydre connut deuxaméliorations notoires : Les récipients prirent une forme évasée et un système de flotteur régulant ledébit dans un récipient annexe.

Contrairement à ce que l'on croit généralement, le sablier apparut tardivement en Europe, au XVe siècle.C'était une invention chinoise qui a été mentionnée la première fois par Bâton, poète comique grec du IIIe

siècle avant J.-C. Christophe Colomb utilisait des sabliers dont le sable s'écoulait en une demi-heure.Huit écoulements mesuraient une durée de quatre heures au bout desquelles on relayait les marins quiétaient de veille. Cette durée de quatre heures fut appelée quart.

L'horloge mécanique apparaît au XIVe siècle, les villes d'Europe en dotant leursclochers. Le temps est mesuré par le mouvement discontinu de roues dentées dontl’énergie est fournie par la chute d’un poids. Le problème technique et théorique estde trouver comment stabiliser la vitesse des rouages alors que la chute du poidsl’accélère. Un mécanisme régulateur est nécessaire, c’est l’échappement. Ilconsiste à bloquer le poids et donc la rotation des roues pendant un temps court et àintervalles réguliers à l’aide d’un balancier ou d’un pendule. On mesure donc untemps artificiel qui dépend de la correction des effets de la pesanteur. C’est untemps qui n’est pas continu comme l’écoulement de l’eau ou le mouvement apparentdu soleil, c’est un temps divisible en unités successives. En 1370 apparaît la véritable horloge mécaniquedont une pièce appelée le foliot permet de réguler l'énergie fournie par un poids à une roue. Mais ellessont peu précises et doivent être quotidiennement réglées sur les cadrans solaires ou les clepsydres.En 1657, Christiaan Huygens (1629-1695), mathématiciens, physicien et astronome hollandaiscontemporain de Newton, eu l'idée de remplacer le foliot par un pendule. Cette modification permettaitd'abaisser les erreurs de 6 à 1. Le même Huygens invente le spiral réglant (sorte de ressort), ce quipermet à Isaac Thuret de fabriquer la première montre en 1675. A la fin du XVIIe siècle est mise au pointl’indication des heures et des minutes grâce à deux aiguilles concentriques qui font le tour en 12 heureset une heure, respectivement.

En 1920, on invente l'horloge à quartz. Elle fonctionne grâce à 2 éléments essentiels : la pile est lasource d’énergie qui remplace le ressort. La montre a une très faible consommation de l’ordre de 10millionièmes de watt/heure. Le quartz est utilisé pour ses oscillations stables, précises et reproductibles.Ce que les électroniciens appellent quartz, ce n’est pas la forme cristalline de la silice, ni sa formesynthétique, c’est le composant qui en est tiré dont la coupe et les dimensions définissent une fréquenceprécise. La technologie de la montre à quartz s’appuie sur la piézo-électricité, phénomène propre àcertains types de cristaux, tel le quartz. Il apparaît à la surface de ces corps quand on les soumet à despressions ou à des charges électriques. Cela permet d’obtenir des vibrations électriques ou mécaniquesstables.

En 1976, la seconde est définie comme la durée de 9 192 631 770 périodes de la radiationcorrespondant à la transition entre les deux niveaux hyper fins de l’état fondamental de l’atome césium133. C'est sur cette seconde que les horloges atomiques, système de mesure du temps le plus précis ànotre époque, sont basées. L'exactitude des horloges est contrôlée par des "masers" ou horlogesatomiques. (La précision d’une horloge au césium est de 1 s en 3 millions d’années !)

La seconde est mesurée grâce à la vibration de l'atome de césium 133 (qui permet de construire unehorloge atomique). Le mètre est la longueur parcourue par la lumière en 1/299'792'458e de seconde. Lemètre, ainsi défini, possède les qualités requises pour satisfaire les exigences scientifiques actuellesd'invariance.



1.1.2 Le mètre, unité de longueurAvant la Révolution de 1789, les unités de longueur, d'aire et de volume étaient mal définies et variaientd'une région à l'autre dans un même pays. Le journal, par exemple, représentait l'aire de terrain qu'unhomme pouvait labourer en un jour, et Lavoisier, parmi bien d'autres, se plaignait d'avoir pu dénombrer«dix-sept journaux différents dans la seule élection de Péronne». Les mesures de longueur s'exprimaienten toises, en lignes, en lieues, en perches et en pouces divers... Si ces unités suffisaient pour les besoinscourants, il est clair qu'elles ne convenaient pas à la rigueur scientifique.

Plusieurs tentatives, effectuées depuis Henri IV, pour remédier à cette situation fâcheuse, avaient échouécar les esprits n'étaient pas mûrs pour changer des coutumes bien ancrées. La Révolution allaitpermettre une remise en ordre des unités dont l'incohérence pouvait passer pour un vestige de laféodalité.

Le tour de la Terre mesure 40'000 km - est-ce par hasard ? Sur proposition de Talleyrand, l'AssembléeConstituante décide en 1790 de mettre fin à la confusion. L'idée générale qui anime ses membres est dechercher dans la nature un phénomène invariable, facile à reproduire, que l'on puisse proposer à toutesles nations comme unité de longueur, sans que quiconque ne se sente frustré. Après quelqueshésitations, le choix se fixe sur la définition suivante : le mètre sera “ la dix millionième partie du quartdu méridien ”. Ainsi, par définition, le tour de la Terre mesure exactement 40 000 kilomètres.

De 1792 à 1799, une expédition conduite par les savants Delambre et Méchain détermine, après biendes péripéties, la différence des latitudes entre Dunkerque et Barcelone. Elle en déduit la longueur qu'ilfaut donner à une barre parallélépipédique en platine pour obtenir aussi exactement que possible unedistance de un mètre entre ses extrémités, réputées planes et parallèles. Ce «mètre à bouts» est déposéaux Archives nationales en 1799.

Le prototype international du mètre : Malgré toutes les précautions prises dans la manipulation duMètre Etalon des Archives, les palpeurs utilisés pour venir au contact des surfaces terminales de la barrel'usent et la déforment un peu. D'autre part, les progrès réalisés dans les mesures géodésiques montrentque l'étalon a été construit trop court : il manque 0,2 mm pour obtenir le mètre théorique. On disposedonc d'un étalon dont la longueur est susceptible de varier par usure et qu'il faut remettre en question àchaque mesure améliorée du méridien. Une telle situation est inacceptable sur le plan scientifique. LeBureau International des Poids et Mesures décide en 1889 de la construction d'un nouvel étalon qu'ilespère inusable : une règle en platine à 10% d'iridium. Cet alliage est particulièrement dur et inaltérable.La forme adoptée pour la règle (section en forme de X) augmente sa rigidité et rend invariable salongueur au cours d'une éventuelle flexion. A quelques millimètres des extrémités, deux traits finsdélimitent la longueur du Mètre, que l'on essaie de rendre égal au précédent afin de ne pas avoir àmodifier la longueur des mètres déjà existants. La comparaison des longueurs à ce nouvel étalons'effectue par des visées précises au microscope, donc sans contact risquant d'endommager lesgraduations.

Ce n'est qu'en 1903 que cette unité devient légale. L'unité de longueur est alors définie comme étant « ladistance séparant, à la température 0°C, les deux traits parallèles de la nouvelle règle étalon «. Si l'onpouvait mesurer le quart d'un méridien avec cet instrument, on trouverait 10'002 km. Le platine iridié, envieillissant, peut changer légèrement de longueur par suite de lentes modifications des positions relativesde ses divers atomes. Tout changement de l'étalon entraîne, en cascade, la remise à jour des unités quidérivent du mètre (aires, volumes, etc... ). C'est pourquoi les physiciens ont poursuivi leur recherche d'unvéritable invariant naturel.

Le 1er janvier 1961, on a défini le mètre légal comme 1'650'763,73 longueurs d'onde dans le vide d'uneradiation émise par la transition entre les niveaux 2p10 et 5d5 de l'atome de krypton 86. Pour ne pasmodifier les mesures courantes, ce nouveau mètre a même longueur que le prototype international, cequi explique le nombre bizarre de longueurs d'onde qu'il contient.

Depuis 1983, la définition du mètre repose sur celle de la seconde et de la vitesse de la lumière, ce quiréduit le nombre d'étalons. On sait maintenant que la lumière est engendrée par les atomes, sous formede vibrations extrêmement rapides et régulières qui se propagent, dans le vide, à raison de 299'792,458kilomètres par seconde. La distance parcourue par la lumière pendant la durée d'une vibration estappelée longueur d'onde. La seconde est mesurée grâce à la vibration de l'atome de césium 133 (quipermet de construire une horloge atomique). Le mètre est la longueur parcourue par la lumière en1/299'792'458e de seconde. Le mètre, ainsi défini, possède les qualités requises pour satisfaire lesexigences scientifiques actuelles d'invariance.



1.1.3 Position et horaire"Cette année, la finale de Roland-Garros a tourné court. Mac Kaoh, l'un des joueurs, a reçu la balle en plein front et a été mis K.O.

L'arbitre a dû arrêter le match et le joueur a reçu les premiers soins dans les vestiaires.Voici le récit de Mac Kaoh : "J'étais monté au filet, . Mon adversaire me décroche un passing shoot. La balle vient droit sur moi, je

n'ai pas le temps de l'éviter. Ensuite, je ne me souviens plus de rien."Voici maintenant la version de la balle : "Il venait d'y avoir un changement de balle et c'était le premier échange auquel je

participais. Après trois allers et retour des raquettes, un des joueurs, juste derrière le filet, se rue vers moi. Je n'ai pas le temps del'éviter. Il me frappe avec son front. Heureusement, le filet m'arrête, sinon les spectateurs qui s'avançaient vers moi m'auraient

piétinée."La Fédération française de tennis a ordonné une enquête qui déterminera les responsabilités. Va-t-on devoir interdire les balles sur

les courts de tennis ?Extrait du "journal des sportifs" diffusé par canal sport en juin 1992.

1) UnitésAfin d'avoir un système d'unités cohérentes, on mesurera les longueursen mètre m et les temps en seconde s.

2) Notion de référentielPour repérer la position d'un objet (ou point matériel dans l'espace) onutilise un système d'axes perpendiculaires Oxy. Dans un cas simple, iln’y a qu’un axe Ox et une horloge.

3) Notion d'horaireSi l'objet se déplace au cours du temps, nous pouvons donner son horaire comme celuid'un train. Il suffira d'ajouter le temps aux 2 coordonnées de position. Pour avoir unsystème d'unités simples, on prendra la seconde comme unité detemps.

Pour mesurer un mouvement, on peut réaliser une photostroboscopique ou filmer le mouvement :

- Le stroboscope est un appareil qui envoie des flashes àintervalles de temps réguliers.

- L'appareil photo doit avoir un obturateur qui reste ouvert toutau long de la photo.

- La pellicule sera impressionnée seulement aux instants t0, t1,t2, t3... où le stroboscope à envoyé un flash.

On obtient des photos du type du rebond d'une balle représenté ci-contre.

Exercices position

1) Décrire les mouvements A, B et C représentés dans les trois diagrammes x(t)(parler de lavitesse).

2) Faire le graphique x(t) d’un mobile qui part du point O au temps t = 0 puis s’enéloigne à la vitesse de 1 m/s pendant 5 s.

3) Faire le graphique x(t) d’un mobile qui se rapproche du point O à la vitesse de 1m/s pendant 5 s en partant d’une position située à 5 m du point O.



1.1.4 Vitesse et mouvement rectiligne uniforme (MRU)La vitesse est simplement définie comme le quotient de la distance et du temps et nousl'exprimerons toujours en m/s. Le problème est de définir la distance et le temps.Dans le cas que nous étudions, la vitesse est constante quel que soit l'intervalle dedistance (et de temps correspondant). v = x/ t

Si, de plus, le mobile considéré se déplace sur une ligne droite, on peut trouver sonhoraire de la manière suivante :

a) Poser un référentiel Ox sur la droite qui permette de repérer la position dumobile.

b) Repérer sa position au temps t = 0 ; nous l'appellerons xo.c) Si la vitesse (constante) est v, à chaque seconde, le mobile avance de x = v* t

= v*1 = v. Donc, au bout de t secondes, il aura avancé de vt mètres.d) Sa position x(t) sera donc de la position en t = 0 (xo) plus l'avance pendant

l'intervalle de temps t (vt).x(t) = xo + vt

e) Avec le même référentiel, si sa vitesse était de sens contraire, l'avance(négative) serait de - vt (recul).

x(t) = xo - vt

Exercices MRU1) Deux athlètes A et B courent sur une piste circulaire longue de 400 m. Ils partent

ensemble et se déplacent à des vitesses respectivement égales à 10 et 9 m/s.a) Au bout de combien de temps auront-ils un tour d'écart ?b) Quelles distances les deux coureurs auront-ils alors parcourues ?

2) Un lièvre s'éloigne d'un chasseur selon une ligne droite, sa vitesse est de 36km/h. Le chasseur tire lorsque la distance qui le sépare de sa future victime estde 98 m. Si la vitesse de la balle est de 500 m/s, quelle distance pourra encoreparcourir le lièvre avant d'être touché ?

3) Sur une portion de route rectiligne, un camion passe au point A à midi et sedirige vers le point B, distant de 5 km, avec une vitesse constante de 54 km/h. Amidi et deux minutes, une voiture quitte B pour se diriger vers A, à la vitesseconstante de 72 km/h.A quelle distance de A les deux véhicules vont-ils se croiser ?

1.1.5 Le mouvement circulaire uniforme (MCU)La Terre tourne autour du Soleil avec un mouvement à peu près circulaireuniforme (légèrement elliptique). Un cheval fixé sur un carrousel quitourne à vitesse constante décrit aussi un MCU.Si l'objet parcourt un cercle à vitesse constante, nous avons unmouvement circulaire uniforme abrégé MCU.Attention : la norme de la vitesse est constante (v = cste) mais sadirection change donc le vecteur vitesse varie car sa direction change (levecteur v varie) ! Représenté sur 5 points décalés de 45°, le

vecteur vitesse tourne de 45° à chaque point.



Nous pouvons définir les différentes grandeurs :

La période T : Temps pour faire un tour. La fréquence f : Nombre de tours par seconde. La vitesse angulaire : Angle en radians parcouru par seconde.

L'angle en radians est la mesure de l'arc sur un cercle de rayon unité. Il vaut enparticulier pour 180° et 2 pour 360°.

Relations entre les différentes grandeurs :

Période T et fréquence f : T = 1/f Si, par exemple, la fréquence f est de 10 tourspar seconde, la période T sera de 1/10 deseconde.

Vitesse angulaire : = 2 f = 2 /T Chaque tour fait un angle de 2 radians. Lavitesse angulaire sera donc 2 fois plusgrande que la fréquence f.

Vitesse v : v = 2 R/T = 2 Rf La distance, une circonférence 2 R, estparcourue en une période T. La vitesse v est lequotient de la circonférence et de la période.

v = 2 R/T = (2 /T)R => v = R et = v/R.Exemple : La Terre met 365,25 jours pour faire un tour autour du Soleil et nous

admettrons que son orbite est circulaire. Le rayon Terre - Soleil et de R = 150millions de km.

R = 150 * 1'000'000 * 1000 m = 150 * 109 = 1,5 * 1011 mT = 1 [an] * 365,25 [jours/an] * 24 [heures/jour] * 3600 [secondes/heure] = 3,155 * 107 sVitesse angulaire = = 2 / T = 1,99 * 10-7 rad/s et vitesse = R = 29'865 m/s

Exercices MCU1) Une machine à laver essore la lessive avec une fréquence de 1000 tours par

minute et le diamètre intérieur de son tambour est de 40 cm. déterminer lavitesse angulaire et la vitesse v d'un point du tambour.

2) Calculer la vitesse moyenne d'un point de l'équateur terrestre lors de sonmouvement de rotation autour de l'axe de la Terre. (Rayon = 6400 km)

3) Si l'on admet que le système solaire fait un tour d'orbite circulaire de rayon de30'000 années-lumière en 250 millions d'années, quelle est alors la vitesse ducentre du système solaire dans la galaxie en km/s ? (1 année-lumière =300'000'000 m/s * 365,25 j/an * 24 h/j * 3600 s/h)

1.1.6 L'accélérationL'accélération a est une grandeur qui mesure le taux de variation de la vitesse parunité de temps.Nous la définirons comme le quotient de la variation de la vitesse v et du temps t etl'exprimerons toujours en (m/s)/s ou en m/s2.Nous n'étudierons que des cas où l'accélération est constante. a = v / t



1.1.7 Le mouvement rectiligne uniformément accéléré (MRUA)Il s'agit d'un mouvement qui se passe sur une droite munie d'un référentiel Ox oùl'accélération a est constante.Horaire de la vitesse : v = vo + at

Au temps t = 0, la vitesse vaut vo.La vitesse varie de façon constante v = a t. Chaqueseconde, la vitesse augmente de a [m/s] et, au temps t, lavitesse a augmenté de at. Elle sera donc v = vo + atComme la vitesse augmente régulièrement (linéairement), ladistance parcourue vaut la vitesse moyenne fois letemps.,

Calculons la distance parcourue entre 0 et t : x = vmoy t = ½ (v + vo) t = ½ (vo + at +vo) t => x = vot + ½ at² . Et comme en t = 0 x = xo ; x(t) = xo + vot + ½ at²

Le mouvement rectiligne uniformément accéléré MRUA est donc caractérisé par :

Une accélération a constante

Une vitesse linéaire par rapportau temps v(t) = vo + a t

Une position quadratique parrapport au temps :x(t) = Vmoy t = xo + vo t + ½ at²

Les grandeurs xo, vo et a peuvent être positives ou négatives.

Lors de la chute libre des corps dans le champ de la pesanteur,l'accélération g est verticale dirigée vers le bas et vaut 9.81 m/s²en Suisse (On peut l'arrondir à 10 m/s²). L’accélération g varieselon la latitude et l’altitude.

Exercices MRUA1) Une voiture roule sur une route rectiligne. Son accélération

est constante et vaut 2 m/s². Sa vitesse est de 10 m/s.a) Quelle distance parcourt-elle pendant les 10secondes suivantes ?b) Quelle est sa vitesse au bout de ces 10 secondes ?

2) Une pierre tombe du pont Bessières sur une hauteur de23,5 m. Déterminer la durée de la chute.

3) Une voiture lancée à 126 km/h s'arrête en 7 s. En admettant un MRUA, calculerla distance du freinage. Quelle est la vitesse 3 s après le début du freinage ?

4) Pour la chute libre d'une pierre dans le champ de la pesanteur (sans vitesseinitiale), déterminer la distance parcourue pendant la première, la deuxième et latroisième seconde.

vo



1.1.8 Accélération centripète et MCUSi l'objet parcourt un cercle à vitesse constante, sa direction change. Nous avons doncune accélération qui vient du changement de direction du vecteur vitesse.Comme le vecteurvitesse se rapprochetoujours du centre ducercle, l'accélérationest dirigée vers lecentre et onl'appelleraaccélération centripèteou accélérationnormale.

Le triangle OAB etcelui des vitesses sontsemblables (angleségaux car les vitessessont perpendiculairesaux rayons) =>

v / v = v t / R =>v / t = v² / R =>

a = v² / R

Quelques accélérations en m/s/sExtrémité d'une trotteuse de montre 10-4

Démarrage d'une voiture 2Freinage brutal d'une voiture 4Fusée au décollage 6Démarrage d'un "100 m" 8Chute libre 10Choc d'une voiture contre un mur à 100 km/h 500Flèche au départ 1000Balle de fusil dans le canon 5 * 104

Ultracentrifugeuse 105

Electron dans l'atome d'hydrogène 1023

Exercices accélération MCU1) Un petit objet est attaché à un point fixe par une ficelle de 1,2 m de longueur. Il

décrit un cercle dans un plan horizontal, la ficelle formant un angle de 25° avec laverticale. Une révolution prend 2,09 s. Calculer l'accélération de l'objet.

2) Calculer l'accélération d'un satellite artificiel parcourant une orbite circulaire à100 km de la surface de la Terre. Le rayon de la Terre vaut 6370 km et la périodede révolution du satellite est de 1 h 27 min.

3) Une essoreuse à linge tourne à raison de 5 tours par seconde autour d'un axevertical. Sa cage, cylindrique, a un rayon de 20 cm. Calculer l'accélération d'unobjet plaqué contre la paroi.



Corrigé des exercices de cinématique1) A : Le mobile se trouve au temps t = 0 à une position x positive et avance avec

une vitesse constante.B : Le mobile se trouve au temps t = 0 à une position x positive et recule avec

une vitesse constante.C : Le mobile se trouve au temps t = 0 à l'origine et avance avec une vitesse

croissante.

1.1.4 Vitesse et MRU (M 5)

1) a) v1 t - v2 t = d => t = d / (v1 - v2) = 400 s.b) d1 = v1 t = 4000 m. d2 = v2 t = 3600 m.

2) t = 0 au coup de feu. Horaire de la balle : x1 = 500 t.Horaire du lièvre : x2 = 98 + 10 t"rencontre" pour x1 = x2 => 500 t = 98 + 10 t=> t = 0,2 s => position du lièvre x2 = 100 m du chasseur.

3) t = 0 à midi. Horaire du camion: x1 = 15t.Horaire de la voiture : x2 = 7400 - 20 * t "rencontre" pour x1 = x215 t = 7400 - 20 t => t = 211,4 s. Distance de A = x1 = 15 t = 3171 m.

1.1.5 Vitesse et MCU (M 6)

1) R = 0.2 m ; = 2 1000/60 = 104.72 rad/s ; v = 20.94 m/s..2) v = 2 R/T = 465.4 m/s.

3) v = 2 R/T = 226'038 m/s = 226 km/s (1 a.-l. = 9,46 * 1015 m et 1 an = 3.156*107 s).

1.1.7 MRUA (M 7)

1) b) v' = vo + at = 30 m/s ; a) d = vmoy t = 200 m.

2) hauteur : h = vmoy t = ½ v t² et temps : v = gt => h = ½gt2 => t = (2h/g)½ = 2.2 s

3) a = 5 m/s2 et d = vmoy t = 122,5 m ; v(3) = 35 - 3*5 = 20 m/s = 72 km/h.

4) 1ère seconde : v1moy = 5 m/s et x1 = 5 m ; 2ème seconde : v2moy = 15 m/s et x1 =15 m ; 3ème seconde : v3moy = 25 m/s et x1 = 25 m (calculés avec g = 10 m/s2)

1.1.8 Accélération et MCU (M 8)

1) a = 4 2 Lsin /T2 = 4,583 m/s2.

2) a = 4 2 R/T2 = 9,374 m/s2 3) a = 4 2 Rn2 (n = 5 t/s) = 197.4 m/s2 = 20 g.

Exercice 2)

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5t [s]

x [m

]

Exercice 3)

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5

t [s]

x [m

]



1.2 QUANTITE DE MOUVEMENT ET CHOCSLa quantité de mouvement est le produit de la masse m et de la vitesse . C’est unegrandeur vectorielle qui a une intensité en kg m/s, une direction et un sens. La quantitéde mouvement permet de distinguer la différence physique entre une mouche de 1/10de gramme et un camion de 20 tonnes tous deux lancés à une vitesse de 60 km/h !

Quantité de mouvement : = m [kg m/s]

Si l’on fait 4 expériences avec deux chariots de même masse m sur un banc à coussind'air parfaitement horizontal qui subissent des chocs. Le banc à coussin d'air modéliseun référentiel galiléen (non accéléré). Pour mieux comprendre l'expérience, nousindiquerons ce qui se passe avant et après le choc.

Expérience AVANT APRESNous pouvons calculerla quantité demouvement des deuxmasses avant et aprèsle choc et constatonsqu'elle est conservéequel que soit le choc.

Nous distinguons deuxtypes de chocs :

Choc élastique :Rebond parfait, engénéral avec unressort.Choc mou : Pasde rebond, les deuxobjets restent collés.

Loi de conservation dela quantité de mouvement :

1 = 2 ou mi i = constante ( = m )Lors de n'importe quel choc dans un référentiel galiléen, la quantité de mouvement estconservée.Exemple de calcul : Soit une route parfaitement glacée et horizontale. Un camion de 5tonnes à 50 km/h arrive contre une voiture de 1 tonne à 100 km/h. En admettant que lechoc est complètement mou (la voiture reste encastrée dans le camion), quelle sera lavitesse du tout après le choc ?Poser un référentiel Ox dans le sens de la vitesse du camion.

p(camion) = 5000 * (50/3,6) = 69'444 kgm/s p(voiture) = 1000 * (-100/3,6) = - 27'778 kgm/s

QDM totale = + 41'667 kgm/s. La quantité de mouvement (QDM) est conservée lors duchoc : 41'667 = (5000+1000) * v' => v' = 6,94 m/s = 25 km/h.Les deux véhicules continuent donc à 25 km/h dans le sens de marche du camion.



Photographie (en négatif) stroboscopique de deux palets qui s'entrechoquent sur unetable à coussin d'air horizontale. Cette photo a été prise de nuit et les deux palets sontéclairés à intervalles de temps t réguliers.

La quantité de mouvement estaussi conservée lors d'un choc àdeux dimensions sur unréférentiel galiléen comme unetable à coussin d'air. Pourrésoudre ce problème, on peutraisonner vectoriellement commesur la figure ci-dessus.

Remarque : la quantité demouvement à 2 dimensions n’est pas au programme.

Exercices Chocs et QDM1) Pour déterminer la masse d'un objet, on le lance à une vitesse de 4 m/s contre

un objet immobile, de masse connue, égale 0,5 kg. On observe que l'objetincident est rejeté en arrière avec une vitesse de 2,48 m/s, tandis que l'objetheurté acquiert une vitesse de 0,54 m/s. Calculer la masse inconnue.

2) Un homme courant à la vitesse de 4 m/s saute sur un chariot immobile ets'assied dessus. Les masses de l'homme et du chariot valent respectivement 60et 20 kg. Quelle est la vitesse finale du chariot ?

3) Une boule de plastiline a une masse de 100 g et une vitesse de 5 m/s. Elleheurte une seconde boule qui se meut sur la même droite, mais en sens inverse,à une vitesse de 1 m/s. La seconde boule a une masse de 300 g. Les deuxboules se collent. Quelle est la vitesse finale du système ?

4) Un cosmonaute de 100 kg est séparé du vaisseau spatial par 20 m. Il désire lerejoindre en 30 s. Il dispose à cet effet d'oxygène sous pression qu'il peutchasser à la vitesse de 50 m/s. Quelle masse d'oxygène doit-il éjecter (onadmettra que la durée d'éjection est très petite) ?

5) Sur un rail à coussin d'air, un glisseur de 400 g arrive à une vitesse de 2 m/scontre un glisseur de 600 g, venant en sens inverse à la vitesse de 1 m/s. Lepremier objet est rejeté en arrière avec une vitesse de 1,6 m/s. Calculer lavitesse finale du second.

6) On tire une balle de fusil, horizontalement, dans une pièce de bois suspendue àun fil et immobile. La balle s'y arrête. Les masses de la balle et du bois ontrespectivement de 3 g et de 3 kg. Le temps de pénétration de la balle dans lebois est très bref. Après le choc, le morceau de bois a une vitesse de 0,4 m/s.Quelle était la vitesse initiale de la balle ?

7) Un petit wagon de bois de 1 kg roule sans frottement, à la vitesse de 2 m/s, surune piste horizontale. On lui tire dessus une balle de fusil de 20 g, ayant unevitesse de 500 m/s dans la direction et le sens de son mouvement. Ensuite ontire sur lui une seconde balle en sens inverse. Calculer la grandeur de la vitessedu wagon après le premier, puis le second tir, sachant que les balles sontrestées dans le wagon.



1.3 DYNAMIQUE ET GRAVITATION

1.3.0 Histoire de la dynamique

1. L'antiquitéDès l'antiquité, on observa les mouvements des astres dans le ciel. Pour les anciens, le Soleil, la Lune etles planètes (êtres errants se déplaçaient par rapport à la Terre supposée immobile les cieux étaientimaginés rempli d'un fluide extraterrestre : l'éther. A cette époque, on pensait que les mouvementscélestes n'avaient rien de commun avec les mouvements des corps observés sur Terre.

2) Aristote (384 - 322 av. J.-C.)Aristote expliquait la persistance du mouvement rectiligne uniforme par la transmission de la poussée àl'objet par l'air ambiant de proche en proche. Aristote construisit une théorie complète de la mécaniqueavec deux facteurs principaux dans tout mouvement : une action motrice et une action antagoniste derésistance. Pour que le mouvement puisse avoir lieu, il faut que la force motrice soit plus grande que laforce résistante.

3) Sir Isaac Newton (1642 - 1727)Né en 1642, l'année de la mort de Galilée, Newton a largement contribué à notrecompréhension du mouvement. Il a aussi effectué un travail remarquable dans ledomaine de l'optique et des mathématiques.Newton était un enfant fragile. Il a été élevé par sa grand-mère, après que sa mèrese fut remariée lorsqu'il avait deux ans. Son enfance difficile est sans doute enrapport avec les tendances psychotiques qu'il a développées plus tard. Durant toute sa brillante carrière,il se montrait extrêmement anxieux lors de la publication de ses travaux, et il manifestait une violenceirrationnelle lorsque ses idées étaient contredites. Il a souffert d'au moins deux dépressions nerveuses.Au début de ses études, à Cambridge (1661-1665), Newton assimile très vite la littérature scientifique etmathématique et il explore bientôt de nouveaux domaines. Il formule le théorème du binôme et énonceles concepts fondamentaux de l'analyse. A cette époque et dans les années suivantes, il entreprendégalement des recherches en optique et sur le mouvement des planètes. Il montre que la force que leSoleil exerce sur une planète varie en 1/r2. Quelque vingt ans plus tard, il étendra cette idée à la loi de lagravitation universelle. Bien que le travail de Newton ne soit connu que dans un cercle restreint en raisonde son hésitation à publier ses résultats, Il obtient une chaire à Cambridge en 1669. Il met au point lepremier télescope à réflexion en vue d'éliminer les problèmes d'aberrations inhérents aux lentilles.L'enthousiasme que la Royal Society de Londres lui réserve lors de la présentation de ce télescopel'encourage à présenter à cette société ses autres résultats d'optique. Nous sommes en 1672. RobertHooke, le maître incontesté de l'optique, manifeste son désaccord vis-à-vis de certaines idées deNewton. Ceci donne lieu à d'âpres querelles qui forcent Newton à s'isoler pendant quelques années.Le travail le plus remarquable de Newton se rapporte à la mécanique. Bien que de nombreux résultatsaient été obtenus au début de sa carrière, sa théorie sur le mouvement planétaire n'est publiée qu'en1684, sur le conseil pressant d'Edmond Halley, un astronome qui avait entendu parler de son travail.La publication de Principia Mathematica date de 1687. Cette œuvre classique, écrite en latin, contientl'énoncé des trois lois du mouvement et de la loi de la gravitation universelle. Ce traité représente un desfondements de la science moderne. Il a rendu Newton internationalement célèbre. Cette publicationtermine sa période de recherches actives. Progressivement, son intérêt se tourne vers la politique, lathéologie et vers des querelles de préséance scientifique.Newton devient directeur de l'Hôtel des Monnaies, en principe un travail bien payé et peu exigeant. Ilprend cependant son rôle très au sérieux et se montre particulièrement zélé pour poursuivre les faux-monnayeurs et les envoyer à la potence. Il assure également le rôle de leader de la science anglaise, endevenant président de la Royal Society en 1703. En 1705, il est le premier scientifique à être anobli.Malheureusement, il profite de sa situation pour chercher querelle à différents hommes de science. Laquerelle la plus longue est celle qu'il entretient, pendant vingt-cinq ans, avec Leibniz à qui il dispute lemérite du développement du calcul infinitésimal. Il est maintenant établi que Leibniz a développé le calculinfinitésimal, indépendamment, mais après Newton. Leibniz a toutefois publié ses résultats avant queNewton ne publie les siens.



1.3.1 Masse et masse volumiqueLa masse m mesure la quantité de matière en kilogramme kg. La masse unitéconventionnelle est aujourd'hui le "kilogramme international", défini par un étalon enplatine iridié conservé au Bureau international des poids et mesures, à Sèvres. Cettemasse correspond à peu près à celle d'un litre d'eau ; c'était la définition initiale dukilogramme adoptée par la Convention en 1793, mais elle est insuffisamment précisepour la métrologie moderne. Il est probable qu'une nouvelle définition, fondée sur lesmasses d'objets atomiques, sera donnée dans l'avenir au kilogramme, comme cela aété le cas pour le mètre et la seconde. On peut mesurer la masse de deux manières :a) Avec une balance à ressort ou un dynamomètre (voir plus loin masse grave ou

masse inerte).b) Par comparaison avec une balance à plateaux (masse inerte).La masse volumique est le quotient de la masse et du volume : = m/V. Lesmasses volumiques des corps habituels sont situées de 0.09 kg/m3 pour l'hydrogène à21’450 kg/m3 pour le platine en passant par environ 1000 kg/m3 pour l'eau. La massevolumique peut varier avec la température (pour la dilatation, voir chapitre chaleur).

Exercices masse volumique1) Quelle est la masse volumique d'un bloc parallélépipédique de polystyrène

expansé (Sagex®) de 1 kg et de dimensions 80 cm * 50 cm * 13 cm ?

2) Un fil de cuivre de 1 mm de diamètre pèse 1 kg. Déterminer sa longueur. ( Cu =8920 kg/m3)

3) Quelle est la variation de niveau de l'eau dans un verre cylindrique de 7 cm dediamètre lorsque l'eau gèle (supposer que la variation de volume se fasse vers lehaut) ? La hauteur initiale est de 12 cm. ( gl = 917 kg/m3 et eau = 998 kg/m3).

1.2.2 Notion de forceLa force est une interaction entre 2 corps. Ses effets statiques et dynamiques sont :

Effets dynamiques d'une force Effets statiques d'une force

1) modifier la vitessede l’objet.

2) Modifier la directiondu mouvement d’un

objet (le faire tourner).

3) Provoquer ladéformation du système

sur laquelle elle s’exerce.

4) Maintenir l’équilibredu système sur

laquelle elle s’exerce.



Les différents types de forcesa) La force de pesanteur mg, toujours verticale, est dirigée vers le bas, où g est la

pesanteur terrestre (9,81 m/s/s ou N/kg). La pesanteur terrestre varie un peu selonl'endroit où l'on se trouve sur la Terre (9,761 à 9,832 N/kg). On peut prendre unevaleur approchée de 10 N/kg et pour s'en souvenir : "Une force de 1 newton est laforce avec laquelle la Terre attire une plaque de chocolat (100g) vers elle".

b) La force de traction T peut être musculaire ou élastique (provoquée par unressort où l'allongement est proportionnel à la force (T = kx).

c) La force de soutien S du plan sur lequel repose l'objet, permet à ce dernier de nepas s'enfoncer dans le plan. C'est en général une force de pression.

d) La force de frottement Ff s'oppose au mouvement de l'objet. Il peut y avoir unfrottement entre deux surfaces ou dans un fluide (gaz ou liquide).

e) Les forces électriques et magnétiques étudiées ultérieurement dans ladeuxième partie du cours.

Caractérisation de la forceLa force est une grandeur vectorielle ; c'est-à-dire qu'il faut connaître pour la définir :* sa droite d'action ou sa direction (NS, EW, oblique...)* son sens (droite - gauche - bas - haut...)* son intensité que l'on mesurera en newtons [N] en souvenir du "père de la

mécanique classique" (par exemple F = 5,2 N).* son point d'application P ; par exemple : La punaise exerce une force au point

d'application de la force.Graphiquement, on représente une force par une flèche dont lalongueur est proportionnelle à son intensité. On mesure la force grâceà un dynamomètre qui est un ressort étalonné en newtons.Attention, deux forces peuvent avoir une même intensité sans être égales F1 = F2 maisles vecteurs F1 et F2 sont différents.Deux forces F1 et F2 sont dites opposées lorsqu'elles ont lesmêmes droites d'action et intensités et des sens contraires.

1.2.3 Les trois lois de NewtonCes trois lois sont présentées en 1687 dans son livre "Principia Mathematica".

1) Loi d'inertie ou loi de la paresse : siun objet se trouve dans un référentielisolé, son mouvement est rectiligne etuniforme (MRU).Un référentiel isolé est caractérisé parune absence de forces extérieures. Ontrouve en laboratoire des rails ou bancà coussin d'air horizontaux sur lesquelson peut négliger les forces extérieures.Ce sont des référentiels isolés à une ou

deux dimensions. Pour obtenir un référentiel isolé à troisdimensions, il faut se trouver dans un satellite en rotationautour de la Terre. Nous appellerons cet étatl'impesanteur (au lieu d'apesanteur) pour le distinguer de la pesanteur.



2) Loi fondamentale de la dynamique expliquée etdéveloppée aux chapitres suivants.

3) Loi de l'action et de la réaction Si un corps A exerce uneforce F sur un corps B, le corps B exerce une force -F sur lecorps A. Les deux forces F et -F sont égales et opposé. Cetteloi est illustrée par le schéma ci-contre.

1.3.4 Exemples d'introduction à l'équation fondamentale1) Objet en chute libre (en négligeant les forces de frottement) : Son mouvementrectiligne uniformément accéléré (MRUA) a déjà été étudié ; il est caractérisé par uneaccélération g constante de 9,81 m/s² en Suisse. Le mouvement est donc uniformémentaccéléré en direction du centre de la Terre.La force en jeu est celle de gravitation F = m g = G M m / d² qui le tire vers la Terre.

2) Véhicule qui freine : Son mouvement est caractérisé par une décélération a que l'onpeut admettre constante (MRUA). La force de freinage est ce qui a permis ladécélération. Remarquons aussi que les freins ne sont pas les mêmes pour un vélo quepour un camion de 20 tonnes. La force de freinage dépend donc de la masse duvéhicule.

Conclusions : Dans les deux exemples cités, on peut mettre en relation la force F et lavariation du mouvement caractérisée par l'accélération a. Nous avons aussi remarquéque la masse de l'objet à déplacer est importante. Nous pourrions encore trouverbeaucoup d'autres exemples où l'on voit le rapport entre force et accélération.

1.3.5 L'équation fondamentale de la dynamique de NewtonLes exemples qui précèdent nous ont permis de nous rendre compte que :* La force est la cause de la variation du mouvement (caractérisée par l'accélération).* Plus la masse à mettre en mouvement est grande, plus la force doit être grande.Ceci nous permet de mettre en relation la force et l'accélération avec un facteur deproportionnalité qui est la masse.

Equation de Newton : F = m a (ou F = m a avec une seule force)

Nous pouvons généraliser cette équation dans le cas où il y a plusieurs forces : Larésultante (somme vectorielle) des forces impliquera la variation du mouvement.



1.3.6 Masse inerte et masse graveLa masse est liée à la quantité de matière contenue dans un corps. Elle se manifested'abord par la force de gravitation qui s'exerce universellement entre corps massifs.Cette "masse pesante ou masse grave" est directement liée à la force de pesanteurd'un corps et mesure l'action de la pesanteur sur celui-ci. La masse, par ailleurs,caractérise la résistance d'un corps à la modification de son mouvement : c'est lecoefficient d'inertie, ou "masse inertielle", du corps. Dans ces deux acceptions, lamasse est additive selon la mécanique newtonienne. La physique newtonienne ladéfinit comme le coefficient d'inertie reliant l'intensité d'une force appliquée àl'accélération d'un mouvement mais aussi comme caractérisant la réponsegravitationnelle d'un objet.

L'égalité des masses inertes et des masses graves est une constatation expérimentale. (à 10-11 près)

1.3.7 Masse, poids et force de pesanteurSouvent, dans les livres, on parle de poids et de masse pour distinguer la force depesanteur de la masse. Mais l'homme de la rue parle de poids pour mesurer la masse(il se pèse et la balance lui donne son poids (force de pesanteur) de 75 kg)...Dans ce cours, nous allons donc parler de la masse ou éventuellement du poids en kget de la force de pesanteur pour mesurer des forces en newton.La masse se révèle d'abord à nos sens par la force de pesanteur qu'exerce la Terre estde toute évidence d'autant plus grande que l'objet contient plus de matière. Cependant,une étude plus attentive révèle que la force de pesanteur d'un objet n'est pas constanteà la surface de la Terre et varie avec la latitude et l'altitude (0,2% de plus à l'équateur,et 0,15% de moins au sommet du Mont Blanc qu'à Lausanne). La masse, par contre,pour pouvoir caractériser la quantité de matière de l'objet considéré en tant que tel, doitlui être intrinsèque et ne pas dépendre des conditions extérieures. C'est la variation duchamp de pesanteur g du lieu qui explique les variations de la force de pesanteur. Surla Lune, la pesanteur est six fois moindre que sur la Terre ; les bonds télévisés desastronautes ont illustré cette diminution de la force de pesanteur, mais sanschangement de masse.

Exercices MRUA et force1) Une grue soulève un bloc de pierre de 500 kg posé sur le sol. Le long du premier

mètre de son ascension, le bloc subit une accélération de 1 m/s2. Ensuite il a unevitesse constante. Calculer la force exercée par le câble sur le bloc dans lepremier mètre, puis par la suite.

2) Un wagon a une masse de 20 tonnes. Quelle force faut-il exercer pour luicommuniquer une vitesse de 54 km/h en une minute ?

3) Trouver la force permettant à une voiture roulant à 108 km/h de s'arrêter enfreinant sur 75 m. La masse de la voiture vaut 600 kg.

4) Un camion est à disposition pour remorquer une voiture en panne. Comme cordede remorquage, on ne dispose que d'une grosse ficelle pouvant supporter aumaximum une force de 1000 N. La masse de la voiture est d’une tonne et lefrottement qu'elle subit vaut 400 N. Quelle est l'accélération maximale que peut sepermettre le camion ?



5) Une fusée dont la masse est de 8 tonnes subit une poussée de 2,5 * 105 Npendant une minute. Quelle est alors son altitude, si l'on néglige les frottements etsi l'on admet que sa masse reste constante ?

6) Un prisonnier veut s'échapper d'une cellule au sommet du donjon. Il dispose d'unecorde pouvant soutenir une force maximum de 740 N. Il a pour ami un certainNewton en qui il a toute confiance. Sachant que sa masse est de 80 kg, commentva-t-il procéder :a) Décrire la manière dont il doit descendre pour ne pas casser la corde.b) Peut-il se laisser glisser tout en accélérant ? Si oui, dans quel domaine

devra-t-il maintenir son accélération ?

7) L'occupant d'un ascenseur est monté sur une balance à ressort (qui mesure laforce de soutien en kg* (1 kg* = 10 N)).a) L'ascenseur monte avec une accélération de 2 m/s2. Que vaut la masse du

passager si la balance indique 100 kg* ?b) Dans quelles conditions la balance indiquerait-elle 50 kg* ?c) Qu'indiquerait la balance si le câble de l'ascenseur cassait ?

La découverte de la gravitation universellea) Les hypothèses des anciens : L'observation du ciel a toujours passionné les

hommes. Les premiers observateurs du ciel furent les astrologues babyloniens, qui,pour prédire l'avenir, ont dressé des cartes du ciel. Les constellations comme laGrande Ourse gardent la même forme, mais l'observation du ciel montre que lesétoiles semblent tourner dans le firmament comme si elles étaient clouées sur unesphère tournant autour de la Terre : pour les anciens la Terre était le centre del'Univers. En plus des étoiles, sept corps célestes étaient connus: le Soleil et la Lunetournant autour de la Terre, et les planètes (du grec : vagabond) Mercure, Vénus,Mars, Jupiter et Saturne dont les mouvements semblaient désordonnés. Un premiersystème planétaire a été proposé par Eudoxe (IIIe siècle avant J.-C.), puisperfectionné par différents astronomes dont Ptolémée (IIe siècle après J.-C.) : lemouvement de chaque planète est guidé par une sphère centrée sur la Terre. Lesmouvements des planètes étaient approximativement décrits par ce système trèscomplexe qui a prévalu jusqu'au XVe siècle.

b) Copernic, astronome polonais (1473-1543), jugea le système de Ptolémée trop compliqué. Il supposa que laTerre était en rotation sur elle-même. Ceci expliquait alors la rotation apparente des étoiles dans le ciel. Ensupposant en outre que le centre de rotation des planètes était le Soleil et non la Terre, les mouvementsdevenaient beaucoup plus simples. La Terre était donc une planète comme les autres, tournant autour du Soleil.Prévoyant les nombreuses critiques et essayant d'y répondre par avance, Copernic ne publia son livre qu'à la finde sa vie. Sa théorie tut dénoncée comme "contraire aux Saintes Ecritures" et lui-même traité d'hérétique.

c) Tycho Brahé, astronome danois (1546-1601), n'accepta pas la théorie de Copernic. Il supposa que le Soleiltourne autour de la Terre et que les autres planètes tournent autour du Soleil. Pour justifier ses théories, il fitpendant plus de vingt ans des observations très précises et dressa des cartes du ciel, répertoriant des milliersd'étoiles. Les résultats de ces mesures sont encore utilisés de nos jours.

d) Kepler (1571-1630), élève de Tycho Brahé, était plus mathématicien qu'astronome. Il utilisa les résultatsexpérimentaux de Tycho Brahé et chercha les lois mathématiques régissant les mouvements des planètes.Comme Copernic, Kepler supposa que la Terre est en mouvement autour du Soleil. Après de nombreux calculs,il découvrit que les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleil est un des foyers (1ère loi de Kepler) etqu'un segment joignant le Soleil à la planète considérée balaie des aires égalespendant des intervalles de temps égaux (2me loi de Kepler). Enfin, il trouva une relationentre le rayon de l'orbite (demi somme de la plus petite et la plus grande distance de laplanète au Soleil) et la période de révolution : R³/T² = constante (3me loi de Kepler). Lesystème de Kepler est simple et décrit beaucoup mieux que les précédents lesmouvements des planètes. La figure ci-contre montre la détermination de l'orbite deMars par Kepler.



e) Grâce aux travaux de Galilée, Newton va déduire les lois du mouvement. On dit que Newton, dans son verger,regarda la Lune et se demanda pourquoi elle ne tombait pas sur la Terre comme une pomme. Il en déduisit quela Lune tombe aussi sur la Terre mais qu'elle va tellement vite qu'elle ne la touche jamais. C'est le début de lathéorie des satellites : ces derniers vont si vite qu'ils ne retombent jamais sur la Terre. On peut dire qu'ils sont enéquilibre dynamique entre leur mouvement (accélération centripète = v²/R) et la force de gravitation.Newton fit un petit calcul entre la pomme et la Lune : La pomme est à une distance de 6371 km du centre de laTerre et la Lune à 384'400 km soit 60,1 fois plus loin. La Lune met 27,3 jours (2'350'000 s) pour faire un tour dela Terre avec un rayon de 384'400 km, ce qui permet de trouver une accélération de 0,0027 m/s² (a = v²/R =4 ²R/T²), soit 3640 fois plus petite que les 9,81 m/s² (h = gt²/2 => g = 2h/t²) de la pomme sur Terre.En comparant ces deux rapports (3640 et 60,1), Newton remarqua que le premier est presque le carré dusecond. Ce qui signifiait, d'après la relation fondamentale, que la force d'attraction gravifique diminue avec lecarré de la distance. Il élabora ainsi la théorie de la gravitation universelle. Au XIXe siècle, l'application de la loide la gravitation universelle permit d'expliquer les petites variations des positions des planètes par rapport auxorbites de Kepler. En effet, chaque planète est soumise à l'attraction du Soleil, mais aussi celle des autresplanètes.

f) En 1846, une nouvelle planète, Uranus, fut découverte. Son comportement était mal expliqué, ce qui permit deprévoir l'existence et la position d'une huitième planète, Neptune,découverte en 1871 par Gallé. Après une année d’examens minutieuxde centaines de plaques photographiques prises à l’aide du télescopede Lowell, Clyde William Tombaugh découvrit Pluton, le 18 février 1930,la neuvième planète du système solaire Le système solaire est formé deneuf1 planètes tournant autour du Soleil sur des orbites elliptiques quisont toutes, sauf celle de Pluton, dans le même plan.

1.3.8 La loi de la gravitation universelle.

Le terme de gravitation vient du vieux français où l'on parlait de "graves" c'est-à-direde corps pesants. On a longtemps parlé de la "chute des graves". Chaque particule dematière dans l'univers attire chaque autre particule avec une force dont l'intensité estproportionnelle aux masses des particules et à l'inverse du carré de la distance qui lessépare. Cette force est dirigée selon la droite qui joint les centres de gravité desparticules. La force de gravitation est l'une des quatre forces fondamentales del'Univers. Elle agit à distance sans intermédiaire matériel entre les corps et nes'applique qu'aux masses ponctuelles, c'est-à-dire à des masses dont les dimensionssont très petites par rapport à la distance qui les sépare. Pour les objets de grosvolume, nous admettrons que la force de gravité s'exerce en leur centre de gravité oucentre de masse (qui est leur centre de symétrie si l'objet est homogène).La loi de la gravitation dit que la force est proportionnelle aux masses et inversementproportionnelle à la distance au carré :

F = G Mm/d² où G = 6,67 * 10-11 Nm²/kg²

F : Forces d'attractions F et -F égales et opposées desdeux corps en N (ce qui signifie que si la Terre nousattire avec une force de 650 N, nous l'attirons aussi avecune force de 650 N !).

M et m : Masses des corps en kg.D : Distance entre les corps en m.G : Constante de gravitation. La détermination la plus récente de G (1982)

donne : G = (6,672'6 ± 0.000'5) * 10-11 Nm²/kg². Pour les calculs courants,on utilisera 2 décimales.

1 En 2006 L’UIA décide de déclasser Pluton au rang des astéroïdes. (Voir en page M 20)



1.3.9 Dynamique de rotation des planètes – Lois de KeplerSi l'on considère le système solaire, on peut admettre en première approximation queles orbites de planètes de masse m sont des cercles de rayon R. M est la masse dusoleil.

La force de gravitation maintient un satellite sur son orbite derayon R : F = GMm/R² (1)L'accélération du mouvement circulaire uniforme : a = v²/R (2)L'équation fondamentale de Newton appliquée au satellite avecune force de gravitation F et une accélération a : F = ma (3)En remplaçant (1) et (2) dans (3) : GMm/R² = mv²/R=> v² = GM/R (4)La vitesse du satellite en MCU sur un cercle de rayon R avecune période T est de v = 2 R/T (5)En remplaçant (5) dans (4), on obtient : v² = 4 ²R²/T² = GM/R => 4 ²R³ = GMT²

(GM/4 ²) T² = R³ ou T²/R³ = constante

On obtient ainsi la troisième loi de Kepler qui dit que le carré de la période derévolution estproportionnelle au cubedu rayon (ou du grandaxe) de l'orbite.

Etudions la troisième loide Kepler, moyennant unchangement d'unités :

Mesure du temps enannées (période de laTerre)

Mesure de la distanceen unités astronomiques (1 UA = distance Terre - Soleil)

Avec ces unités, (GM/4 ²) 1 = 1 La constante (GM/4 ²) vaut donc 1 si la période T estexprimée en années et le demi grand axe en unités astronomiques UA pour lesplanètes autour du Soleil. =>T² = R³Comme exercice, on peut retrouver la période d'après la distance ou inversement dansla table numérique que l’on retrouve aux pages 204 et 205 des formulaires et tablesCRM : (Image des planètes à la page suivante.)

L'unité astronomique : 1 UA = 1.521*1011 m = distance moyenne Terre – SoleilMasse du soleil : Mo = 1.99*1030 kg G = 6.67*1011 Nm2/kg2

Nom de Masse ½ grand Excentricité Période InclinaisonLa planète [MTerre] axe a [UA] [*] sidérale sur l'écliptique

~ rayon [jours] [°]Mercure 0.056 0.39 0.207 87.969 7Vénus 0.82 0.72 0.007 224.701 3.39Terre 1 1.00 0.017 365.256 0Mars 0.11 1.52 0.093 686.98 1.85

Jupiter 317.8 5.20 0.048 4332.589 1.31



Saturne 95.2 9.54 0.056 10759.22 2.49Uranus 14.5 19.18 0.046 30685.4 0.77

Neptune 17.2 30.06 0.009 60189 1.78Pluton 0.0025 39.44 0.256 90465 17.14

[*] L’excentricité est égale à 0 lorsque la trajectoire est circulaire => a = R (rayon). Elle est égale à 1lorsque la trajectoire est un segment et c’est une ellipse entre les deux cas : 0 < e < 1.

Première loi de Kepler : Les orbites des planètes sont des ellipses dont le Soleiloccupe un des foyers. Pour le système solaire, les orbitesdes planètes sont des cercles à part Mercure et Pluton.

Seconde loi de Kepler : la vitesse (aréolaire pour une ellipse) est constante. Pourle système solaire, la vitesse des planètes est constante àpart Mercure et Pluton.

Les 8 (9) planètes du Système solaireLe Système solaire comprend, dans l’état actuel de nos connaissances, 8 (9) planètesprincipales. On les divise en deux groupes :

Les planètes telluriques ou internes (Mercure, Vénus, la Terre et Mars),relativement petites et proches du Soleil, essentiellement composées de rocheset de fer.

Les planètes gazeuses, géantes ou externes (Jupiter, Saturne, Uranus,Neptune), beaucoup plus grandes, et principalement constituées d’hydrogène,d’hélium et de glace.

Pluton s’apparente aux géantes par sa densité. Sa petite taille est des deux tiers decelle de la Lune, son orbite inclinée est très excentrique. Cette planète est maintenantconsidérée comme un astéroïde.En août 2006, l’Union Internationale Astronomique a déclassé Pluton de la catégoriedes planètes pour la considérer comme un objet transneptunien à cause de sa faibletaille. En quelque sorte, un astéroïde, le plus grand et le plus lointain connu.

Illustration tirée dehttp://www.palais-univers.org/Palais/FO/Info/comm/lgt1.jpgle 8-10-2008.

On trouvera d’autresinformations et illustrationssur la toile par exemple dansles sites suivants :

http://www.neufplanetes.org/

http://astronomy.ifrance.com/pages/planetes/planetes.html

http://www.palais-/

http://www.neufplanetes.org/

http://astronomy.ifrance.com/pages/planetes/planetes.html



Exercices MCU et force – Lois de Kepler1) On imagine le petit Prince de masse m = 30 kg sur sa planète de rayon R = 100 m

et de même masse volumique moyenne que la Terre, soit 5,5 kg/litre.a) Quelle est la force de gravitation exercée par la planète sur le petit Prince ?b) Quel temps met un objet pour tomber d'une hauteur de 5 m ?

2) Un satellite tourne autour de la Terre suivant une orbite circulaire. Calculer savitesse v et sa période de rotation T s'il se trouve à une hauteur :a) h = 100 km de la surface de la Terre.b) h’ = 1000 km de la surface de la Terre.

3) A quel endroit et à quelle altitude faut-il lancer un satellite de la Terre pour qu'ilreste constamment au zénith du même lieu ? Si cette condition est remplie, onparle de satellite géostationnaire.

4) Calculer le temps de révolution et la vitesse d'un satellite décrivant une trajectoirecirculaire à une altitude h = 100 km au dessus de la surface de la Lune.

5) Dans l'un des albums de Tintin, le capitaine Haddock, dont la masse vautm = 90 kg, se satellise autour de l'astéroïde Adonis. Assimilons cet astéroïde àune sphère de diamètre D = 30 m (rayon R = 15 m) et de masse volumique = 7000 kg/m3. Supposons que l'orbite soit un cercle de rayon R = 100 m. Quelle

sera la période révolution T du capitaine ?

6) Comment la vitesse d'un satellite artificiel dépend-t-elle se son altitude ? Montrerque lorsque le satellite est "freiné" par l'atmosphère très peu dense à très hautealtitude, en fait sa vitesse augmente !

7) Quelle devrait être la période de révolution de la Terre autour de son axe N-S,pour que la force de soutien exercée par le sol sur un objet quelconque àl'équateur soit nulle. Cet objet se trouverait alors en état d'impesanteur, satelliséautour de la Terre.

8) La planète Mars se trouve à 1,5 unités astronomiques (UA) du Soleil. Calculer sapériode de rotation en années en sachant que celle de la Terre est d’une année.Faire de même pour la planète Neptune qui se trouve à 30 UA du Soleil.

9) Dans un système stellaire, une planète située à 12 UA de l’étoile met 50 ans pourfaire une révolution. A quelle distance de l’étoile une autre planète doit-elle setrouver de l’étoile pour en faire la révolution en une année ?

10) Dans le système solaire, le rapport des rayons (demis grands axes) de 2 planètesest de 9.Déterminer le rapport de leurs périodes.



Gravitationnelle Electromagnétique

pesanteur soutien

traction

frottement

particule d'échange : le graviton ? particule d'échange : le photon

Les 4 forces

Nucléaire forte nucléaire faible

particule d'échange : le gluon particules d'échange : les bosons X et W

cohésion dunoyau

Désintégrationsradioactives

1.3.10 Classification des forcesLes physiciens distinguent 4 grands types de forces dans la nature.

Autour de nous, nous trouvons habituellement des forces gravifiques et électriques.

1) La force gravifique est la force qui nous fait tomber vers le sol ou vers le bas.

2) La force électrique est due à tout ce qui se passe au niveau des couches électroniquespériphériques des atomes. Tous les phénomènes chimiques font donc intervenir la forceélectrique. On peut distinguer :

La force musculaire (combustible : le glucose). La force de frottement due à l'attraction électrique entre les atomes proches. La force élastique provenant de la cohésion des atomes par leurs liaisons électroniques. La force magnétique, comme la force électrique, due aux électrons. La force de pression due à la combustion chimique (donc électrique) des molécules. (Elle peut

aussi être due à la force gravifique d'attraction de la Terre sur des molécules de gaz.)

3&4) Les forces nucléaires se trouvent au sein de l'atome et maintient la cohésion du noyau.On ne les observe pas directement autour de nous mais plutôt en laboratoire ou dans desapplications industrielles précises.

Quelques forces en N10-42 force d'attraction gravifique entre deux atomes d'un cristal10-30 force de pesanteur d'un électron10-26 force de pesanteur d'un proton10-9 force d'attraction gravifique entre deux masses de 1 kg sur les plateaux d'une balance

de Roberval6*10-9 variation de force sur le tympan au seuil de l'audition10-8 force de pesanteur d'une bactérie8*10-8 attraction électrostatique électron proton dans un atome d'hydrogène



10-2 force de pesanteur d'un oiseau10 force pour soulever une masse d'un kilogramme7*102 force de pesanteur d'un homme8*102 traction d'une corde de violon2.5*103 force motrice d'une automobile ou force de frappe d'un karatéka3*104 traction d'un tracteur105 force de traction d'une locomotive2.5*106 poussée de la fusée Ariane1011 force exercée par a du Centaure sur la Terre1017 force exercée par a du Centaure sur le Soleil4*1019 force exercée par la Lune sur la Terre3.5*1022 force exercée par le Soleil sur la Terre

Corrigé des exercices QDM et dynamique

Chocs et QDM p. M 11Dans tous les exercices, on prend les vitesses en valeur absolue et on y met le signe + pour cellesqui vont à droite et – pour toutes celles qui vont à gauche. Pour les exercices 1 à 7 : on projette laquantité de mouvement selon l’axe horizontal x de gauche à droite.

1) Données : v = 4 m/s ; M = 0,5 kg ; v’ = 2,48m/s et V’ = 0,54 m/s.Conservation de la quantité de mouvementsur l’axe x : mv + 0 = -mv’ + MV’=> m = MV’/(v+v’) = 0.5*0.54/(4+2.48) => m= 0.042 kg = 42 g

2) Données : v = 4 m/s ; M = 60 kg et m = 20 kg.Conservation de la quantité de mouvement sur l’axe x :Mv + 0 = (m + M)V’ => V’ = Mv/(M+m)V’ = 60*4/80 => V’ = 3 m/s

3) Données : m = 100 g ; 5v = 5 m/s ; v = 1 m/s et 3m= 300 g. Le choc est mou. Conservation de la quantité de mouvement surl’axe x : 5mv - 3mv = (m + 3m)v’=> v’ = 2mv/(4m) = ½v => v’ = 0.5 m/s

4) Données : M + m = 100 kg ; V = 20 m / 30 s = 2/3m/s et v = 50 m/s. Le choc est mou. Conservation de la quantité de mouvement surl’axe x : 0 = -mv + MV => mv = MV=> mv = (M+m)V - mV => mv + mV = (M+m)V=> m = (M+m)V / (v+V) => m = 100*0.66/50.66 =>m = 1.303 kg

5) Données : m1 = 400 g ;v1 = 2 m/s ; m2 = 600 g,v2 = -1 m/s ; v1’ = -1,6 m/s. Conservation de la quantité demouvement sur l’axe x : m1 v1 – m2 v2 = -m1 v1’ + m2 v2’ => v2’ = m1(v1 + v1’)/m2 – v2 = 0.4*(2+1.6)/0.6 – 1 => v2’ = 1.4 m/s



6) Données : m = 3 g ; M = 3 kg ; V = 0,4 m/s. Conservation de la quantité de mouvementsur l’axe x : mv + 0 = (m + M)V=> v = (M+m)V/m = 3.003*0.4/0.003=> v = 400.4 m/s

7) Données : M = 1 kg et V= 2 m/s ; m = 20 g et v =500 m/s.Conservation de laquantité de mouvementsur l’axe x : mv + MV = (m + M)V’ => V’ = (mv + MV) / (m + M) = (0.02*500+2)/1.02 => V’ =11.76 m/s2me choc : (m + M)V’ – mv = (2m + M)V” = mv + MV – mv = MV=> V” = MV/(2m + M) = 2/1.04 => V” = 1.93 m/s

Masse volumique p. M 131) = 1 / (0.8 * 0.5 * 0.13) = 19,23 kg/m3.2) Volume de cuivre = 1.12 * 10-4 m3 ; Surface = 7.85 * 10-7 m2 ; L = V/S = 142.74 m.3) Volume d'eau : 4.62 * 10-4 m3 ; masse d'eau : m = V = 0.46 kg ; volume de glace : 5.03 * 10-4

m3 ; nouvelle hauteur d'eau : 13.06 cm ; 1.06 cm de variation.

MRUA et force p. M 16 et M 171) a = 1m/s/s : T = m(g+a) = 5500 N ; a = 0 : T = mg = 5000 N

2) a = v/t = 0,25 m/s/s ; F = ma = 5000 N

3) t = d/Vmoy = 5 s ; a = Vmax/t = 6 m/s/s ; F = ma = 3600 N

4) a = (T - Ffr)/m = 0,6 m/s/s

5) a = (F-mg)/m = 21,25 m/s/s ; H = ½at² = 38'250 m

6) a) non ; b) non ; c) a = (mg-T)/m = 0,75 m/s/s

7) a) m = m"g/(g+a) = 83,3 kg ; b) Descente avec a = 4 m/s/s ; c) Fr = 0 N car mg = ma

MCU et force p. M 211) a) F = 4 GmR /3 = 0,00461 N ; b) a = F/m = 0,0001537 m/s/s ; t = (2d/a)½ = 255 s = 4 min. 15 s.

2) V = (GMt/R)½ ; T = 2 R/V ; a) V100 = 7847 m/s et T100 = 5181 s = 1 h 26' 21"; b) V1000 = 7352m/s et T1000 = 6299 s = 1 h 45’.

3) Equateur ; R3 = GMT2/4 ² ; h = R - RT = 35'879'000 m

4) V = (GML/R)½ = 1633 m/s ; T = 2 R/V = 7071 s

5) T² = (3 / G)((R/Rs)³) ; T = 77'300 s = 21 h 28 min 57 s

6) La vitesse est inversement proportionnelle à la racine du rayon

7) T = 2 (R³/(GM))½ = 5020 s = 1 h 23 min 40 s (T = 2 (R/g)½)

8) 3me loi de Kepler : T²/R³ = 1 = T’²/R’³ => T’² = R’³ => T’ = R’3/2 = 1.84 UA

9) 3me loi de Kepler : T²/R³ = const. = 50²/12³ = 1²/R’³ => R’ = (12³/50²)1/3 = 0.884 UA

10) 3me loi de Kepler : T²/R³ = T’²/R’³ => T²/T’² = R³/R’³ = 729 =>T/T’ = 91.5 = 27



1.4 ENERGIE

1.4.1 Travail d’une forceExemple 1

Considérons un ouvrier du bâtiment qui doit monter un sac de 50 kg surune hauteur de 4 mètres à l'aide d'une poulie. Cet ouvrier doit fournir uncertain travail ou une certaine énergie que nous appellerons E. Dans lecas de la descente, idéalement, nous pourrions lâcher la masse d'unehauteur de 4 mètres et récupérer l'énergie en comprimant un ressort.

(a) Si la masse m n'est que de 25 kg, il fournira 2 fois moins de travail.(b) Si la hauteur h n'est que de 2 m, il fournira 2 fois moins de travail.(c) Si l'accélération de la pesanteur ou gravitation g était 6 fois plus petite (comme sur

la Lune), la force de pesanteur serait 6 fois plus faible. Son travail serait donc 6 foisplus faible.

Dans ce cas, le travail est donc proportionnel à la masse, la hauteur et la gravitation. Nousle définirons donc comme le produit de ces 3 grandeurs. E = m g h. De manièregénérale :

1) Le travail est le produit de la force et du déplacement s’ils sont parallèles

Par la suite, nous ne ferons pas de distinction entre travail et énergie (l’énergie est dutravail en réserve) et nous noterons cette grandeur par la lettre E. Nous voyons que cetteénergie est le produit d'une force mg (de pesanteur) et d'une hauteur h. L'ouvrier a doncfourni une énergie de 500 N * 4 m = 2000 Nm ou 2000 J.

L’unité du travail est le joule J en mémoire de Joule (James Prescott) (1818 - 1889),physicien et industriel anglais qui détermina, à l’aide d’une expérience célèbre,l’équivalence entre la chaleur et le travail.L'énergie est donc :E > 0 positive à la montée où la force est dans le même sens que le déplacementE < 0 négative à la descente où la force est dans le sens opposé au déplacement

Exemple 2L'ouvrier doit maintenant déplacer horizontalement cette masse de 25 kg sur 4 mètres. S'ildispose d'un très bon chariot, Il constate qu'il n'a aucune énergie à fournir. Nousconstatons, de plus, que la force de pesanteur est perpendiculaire au déplacementhorizontal. En conclusion :

2) Si la force est perpendiculaire au déplacement, l'énergie à fournir est nulle.

Exemple 3Deux ânes tirent une péniche dans un canal à contre courant. Situés sur deux chemins depart et d'autre du canal, ils tirent les deux avec une force de grandeur F qui fait un angleavec le sens du courant. Les forces de pesanteur et de soutien sont perpendiculaires auplan et n'entrent pas en compte. On peut décomposer laforce F en deux composantes perpendiculaire Fy etselon le sens du canal Fx qui sont respectivementinactive et active.Le travail effectué est 2 fois la composante de la forceselon la direction du courant multiplié par le déplacement : E = 2 F x cos



Le travail ou l'énergie est donc le produit de la force et du déplacement parallèle :

3) E = Fparallèle x = F x cos

L'unité de travail est le joule [J] qui vaut un newton fois un mètre.1 J = 1 N * 1 m = 1 kg m/s² * 1 m = 1 kg m²/s²

1.4.2 Les différents types d'énergie

(1) Energie potentielle de la pesanteurDans le cas de l'ouvrier (exemple 1), l'énergie s'appelle énergie potentielle de la pesanteur

Epp = m g hEn effet, si la charge est à 4 mètres du sol, nous pouvons la laisser et utiliser son énergieau moment opportun; l'énergie est donc potentiellement utilisable.

(2) Energie cinétiqueEssayons d'accélérer un chariot de masse m quiroule sans frottement sur un plan horizontal d'unevitesse nulle à une vitesse v. Le travailnécessaire à cette opération peut être calculé sil’on connaît la force d’accélération et la distancesur laquelle le chariot accélère. L’énergie qui sertà mettre en mouvement (vitesse v) un chariot demasse m est appelée énergie cinétique :x = vmoy t = ½vt et t = v/a => x = ½ v²/a = v²/(2a).L'énergie vaut : E = m a x = m a v²/(2a) = ½ m v² Ec = ½ m v²

(3) Energie du ressortUn ressort est donné par sa caractéristique F = kx. Si l'on veut lecomprimer d'une distance x, la force va augmenter linéairement de0 à kx. La valeur moyenne de la force vaudra ½kx et le travail serale produit de la valeur moyenne de la force ½ kx et de la distancex. On l'appelle énergie potentielle du ressort car on peutcomprimer le ressort et le détendre à n'importe quel instant :Graphiquement, dans le diagramme force - distance, l'énergie(produit des deux) est la surface du triangle est ½ x (k x) soit le demi produit de la base etde la hauteur. Epr = ½ k x²

(4) Chaleur = travail des frottementsLa force de frottement s'oppose toujours au déplacement. Il faudra donc fournir uneénergie Q = Ffr x qui est le travail de la force de frottement sur une distance x et quiva se transformer en chaleur.Pour vérifier ce fait, il suffit de frotter vigoureusement ses mains l'une contre l'autre et l’onconstate qu'elles chauffent !



1.4.3 Loi de conservation de l'énergieou "premier principe"

On constate que l'énergie subit des modifications jusqu'à sa forme la plus dégradée : lachaleur. Lors de ses transformations :

Premier principe : L'énergie est conservée.

Exemples :(1) Imaginons un objet qui tombe sur un ressort puis rebondit. Son énergie potentiellegravifique se transforme en énergie cinétique puis en énergie potentielle du ressortensuite en énergie cinétique, en énergie potentielle gravifique...

(2) Calculons la vitesse v d'arrivée au sol d'un homme qui saute d'une hauteur h de 1,5mètres : L'énergie potentielle de la pesanteur va se transformer en énergie cinétique.

m g h = / m v² => v = (2gh)½ = 5,425 m/s = 19,5 km/h

(3) Calculons la compression x du ressort de constante 100'000 N/m lorsqu'on lâche unobjet de 1 kg d'une hauteur de 1 mètre sur ce ressort : L'énergie potentielle de lapesanteur va se transformer en énergie potentielle du ressort :

m g h = ½ k x² => x = (2mgh/k)½ = 0,014 m

Ce calcul est valable si le ressort ne se déforme pas trop (x<<h) ; autrement, il faudraitrésoudre l'équation : m g (h+x) = ½ k x²

Dans certains cas, il faudra tenir compte de ces forces de frottement qui impliquent despertes en chaleur.

Les calculs de vitesse par la méthode de l'énergie (exemple 2) se révèlent en général plusfaciles que ceux faits par l'équation de Newton (ces derniers étant préférés pour trouverdes accélérations).

1.4.4 Loi de dégradation de l'énergieOu "second principe"

Nous avons vu, avec les forces de frottement, qu'une partie de l'énergie est "perdue". Le deuxièmeprincipe dit que l'énergie se dégrade entre les différentes transformations, c'est-à-dire que l'on en"perd" toujours un peu, qui ne disparaît pas, mais qui se transforme en chaleur inutilisable(proche de la température ambiante).On appelle entropie la mesure de la dégradation de l'énergie entre ses différentestransformations. A chaque transformation apparaît un peu plus de désordre que l'entropie permetde mesurer.

Second principe : L'énergie se dégrade au cours de ses transformations

Les transformations d'énergie sont faites dans la nature de manière à ce que l'entropie croissetoujours (donc le désordre augmente). Entropie = mesure du désordre -- L’entropie augmente.

La mesure de l'entropie est inversement proportionnelle à la différence de température avecl'ambiance. Si l'entropie est faible (grande différence de température), la chaleur pourrait êtreutilisée dans une machine pour produire de l'énergie mécanique.Par exemple, on fournit la même énergie pour chauffer un bain de 80 litres d'eau à 21°C et 1 litred'eau à 100°C dans une ambiance à 20°C. Le bain est quasiment inutilisable (grande entropie)



contrairement à l'eau bouillante (plus faible entropie) que l'on peut utiliser pour faire un café oudiluer pour obtenir de l'eau à différentes températures entre 20 et 100°C.

La chaleur que l'on "perd" dans une transformation d'énergie est une agitation désordonnée desmolécules ou des atomes. Nous avons donc une énergie cinétique désordonnée de ces particulesappelée quelquefois énergie cinétique entropique.

Par exemple, si l'on jette une bombe sur un chalet, il va se transformer en un tas de bois, de fer,de briques et de ciment. Mais si l'on jette à nouveau une bombe de même taille sur ce même tas,on a extrêmement peu de chance de le voir se transformer en un chalet !

La loi de l'entropie peut s'énoncer sous la forme simplifiée de la "loi de la tartine" :"Une tartine tombe toujours par terre du côté de la confiture."

Ou de la "loi de Murphy" : "S'il y a dans une machine une partie qui est susceptible de ne pasfonctionner, il n'y a aucune raison que la machine fonctionne."

Les transformations d'énergie se font donc toujours avec des pertes qui augmentent le désordreet, depuis le Big Bang (année 0 de notre Univers), l'entropie croît sans arrêt dans l'Univers.

Le second principe indique qu'il y a toujours des pertes et exclut donc lemouvement perpétuel (illustration de M.C. Escher en face). Dans lemouvement perpétuel, l'énergie est indéfiniment transformée sans êtredégradée en chaleur. Il est donc contraire aux lois de la Nature.

Nous serions tentés de dire qu'il y a une exception au deuxième principe :la Vie, appelée très scientifiquement "néguentropie" car elle correspond àun ordre "quasiment parfait". La réponse à cette question est que si l'onregarde à côté de l’endroit où la vie apparaît, on verra tout le désordre quel'on a négligé. Regardons simplement notre production de déchets detoutes sortes !

Toute consommation d'énergie entraîne des pertes et la création de désordre.

L'exemple suivant montre comment ce désordre augmente :Un bateau fit naufrage en vue d'une terre qui n'était portée sur aucune carte. Les naufragés parvinrent alorsà aborder près de l'embouchure d'un petit fleuve arrosant une vallée incroyablement fertile, entourée dehautes montagnes. Comme il y avait une foule de plantes et d'animaux, les naufragés réussirent facilementà se procurer de la nourriture ; ils vécurent heureux dans cette vallée.Or, au bout d'un certain temps, les plantes et les animaux disparurent mystérieusement. Par ailleurs, lesnaufragés, hommes et femmes, avaient eu des enfants qui constituaient des bouches supplémentaires ànourrir. Il fallut instaurer le rationnement, puis la famine s'installa, les plus faibles moururent.Un jour, un jeune naufragé, particulièrement habile, réussit à trouver une voie permettant l'escalade d'unpassage à travers une chaîne de montagnes : il découvrit qu'il existait une autre vallée au-delà de cepassage... Il revint en secret prévenir les membres de sa famille et organiser leur passage dans la nouvellevallée. Là, ils vécurent dans l'abondance, ils eurent de nombreux enfants, ils oublièrent la famine. Comme ilsétaient devenus forts et vigoureux, il leur arriva de revenir dans la première vallée. Ceux qu'ils avaientlaissés derrière eux s'étaient tellement affaiblis qu'ils ne parvenaient même plus à se procurer un peu denourriture. Comme ils n'étaient pas davantage transportables, les habitants de la seconde valléeabandonnèrent ceux de la première vallée à leur mort.Au bout de quelques temps, les ressources de la seconde vallée avaient tellement baissé qu'elles nesuffisaient plus à nourrir toute la population. Après toutes sortes de péripéties, un des habitants de laseconde vallée réussit à trouver un passage vers une troisième vallée où il transporta sa famille. La mêmehistoire se répéta dans cette troisième vallée, puis dans une quatrième, une cinquième, etc. Il n'y avaitqu'une seule différence de vallée en vallée : le passage de l'une à l'autre devenait de plus en plus difficile àchaque fois parce que les montagnes étaient de plus en plus abruptes ; chaque vallée était épuisée un peuplus vite que la précédente parce que le groupe s'accroissait continuellement.Il n'est pas possible de raconter toutes les aventures vécues par le groupe de naufragés. Parfois, ils secrurent condamnés à demeurer dans une vallée tout en y périssant de faim ; il y eu des combats pour



s'approprier le peu de nourriture qui restait ; il y eut des morts. Pour tenter de conjurer la malédiction dont ilsétaient victimes, les naufragés se livrèrent à toute sorte de rites et de superstitions. Les plus forts asservirentles plus faibles qui n'eurent plus droit qu'à une ration de famine. On fit des efforts inouïs pour exploiter toutesles ressources de chaque vallée. Tous ces palliatifs ne conjurèrent pas la malédiction initiale : de vallée envallée, les naufragés se traînèrent jusqu'à une vallée entourée de montagnes tellement hautes qu'ils eurentles plus grandes peines à les franchir. Lorsqu'ils y parvinrent enfin, de l'autre côté de la chaîne de montagne,les explorateurs découvrirent qu'ils étaient revenus dans la toute première vallée, celle où les premiersnaufragés avait abordé, transformée maintenant en un désert.Quand ils revinrent annoncer cette nouvelle aux autres, un grand silence se fit car ils avaient tous comprisce que certains suspectaient en secret : Ils avaient abordé sur une île ; ils étaient condamnés à périr tousd'inanition.

(Tiré du "huitième jour de la création" de J. Neirynck)

1.4.5 Résumé des différents types d'énergie et principes

Energie = travail en réserve = force parallèle * distance

Energie potentielle

C'est une énergie en réserve qui peutêtre dissipée à un moment ou à un autre.

... de la pesanteur Epp

Epp = mgh

Tout simplement la force de pesanteurmultipliée par la hauteur car elles sontparallèles. Valable dans un endroit où

l'accélération de la pesanteur g estconstante. Sinon, il faut utiliser...

... du ressort Epr

Epr = ½ kx2

La force du ressort varie de 0 à kxlorsqu'on l'allonge d'une longueur x. la

force moyenne vaut kx/2. L'énergie est leproduit de la force moyenne et de

l'allongement x.

Energie cinétique

C'est l'énergie du mouvement. On latrouve en multipliant la force

d'accélération ma = mv/t par la distance d= vmoy t = vt/2.

... d'un corps en mouvement Ec

Ec = ½ mv2

proportionnelle à la masse et au carré dela vitesse.

... entropique (ou désordonnée)Chaleur Q

Q = ½ mivi2 = Ffr d

La chaleur résulte de l'agitation desmolécules. Il n'y a pas de mouvement

apparent. On la calculemicroscopiquement par la somme desénergies cinétiques des molécules ou

macroscopiquement par le produit de laforce de frottement Ffr et du déplacement

d (parallèle).

1) Principe de conservation de l'énergie :

E1 = E2

2) Principe de dégradation de l'énergie : Lors de toute transformation, unepartie de l’énergie transformée est dégradée en chaleur:

E2 = E2méc + Q



Exercices sur l'énergie1) Un enfant tire un jouet au moyen d'une ficelle. La force de traction F qu'il exerce forme un

angle de 35° avec le déplacement du jouet et son intensité est égale à 2,5 N. Quel est letravail effectué par l'enfant pour un déplacement de 300 m du jouet ?

2) Une automobile et ses occupants ont une masse de 1,2 tonne. Le conducteur de cetteautomobile freine brusquement alors qu'il roule à environ 120 km/h. Les roues se bloquentet glissent sur la route. L'intensité de la force de frottement est égale à 55% de celle de lapesanteur de la voiture. Cette dernière s'arrête après 100 mètres. Quelle quantité dechaleur Q est produite lors de ce freinage ?

3) Un satellite se déplace sur une orbite circulaire. Quel est le travail, durant une révolution, dela force d'attraction de l'astre principal ?

4) Le travail nécessaire à soulever une pierre de 2 kg d'une hauteur de 1 mètre est-il le mêmesur la Terre et sur la Lune (g/6) ? Calculer la ou les valeurs.

5) Une pierre de 500 g glisse à vitesse constante le long d'une planche de longueur L = 1 mformant un angle de 40° avec l'horizontale.

a) Quelle est la variation d'énergie potentielle de la pierre et en quoi se transforme-t-elle ?b) Quelle est l'intensité de la force de frottement s'exerçant sur cette pierre ?

6) Une masse m de 100 grammes tombe d'une hauteur h = 1 m sur un ressortde constante k = 2 * 104 N/m.

Calculer la longueur x de compression du ressort (pour les calculs,supposer que x << h et négliger les frottements).

7) Un objet tombe d'un hélicoptère dont l'altitude est de 200 m. Que vaut savitesse lorsqu'il atteint le sol. On négligera la résistance de l'air et étudiera lesdeux situations suivantes :

a) l'hélicoptère est immobile,b) l'hélicoptère se déplace horizontalement à la vitesse de 180 km/h.

8) Un projectile est lancé obliquement depuis la surface de la Terre, avec une vitesse de 10m/s. Au sommet de sa trajectoire sa vitesse a vaut 5 m/s. Calculer l'altitude de ce point.

9) Lors d'une rencontre internationale d'athlétisme, le 100 m plat est généralement parcouruen 10 s. Admettons que l’on ne connaisse pas ou que l’on ait oublié la hauteurgénéralement atteinte par les sauteurs à la perche. Peut-on l'estimer en premièreapproximation grâce à un calcul d’énergie ?

10) Un marteau-pilon de 500 kg est soulevé à 3 m au-dessus du sol. En tombant, il enfonce unpieu de 5 cm dans le sol. Quelle est la force, supposée constante, résistant à la pénétrationdu pieu dans le sol ?

11) Un wagonnet est lâché, avec une vitesse initiale nulle, depuis le premier sommet d'unesuccession de collines (voir figure). On néglige les frottements. Trouver les indicationsmanquantes dans la figure.



1.4.6 Puissance et rendementNous pouvons faire une analogie entre l'eau et l'énergie :

La puissance est donc un débit d'énergie P = E / t.

Elle se mesure en joules par seconde ou en watt [W] en souvenir de James Watt (1736- 1819), ingénieur et mécanicien écossais qui a apporté des perfectionnements décisifsà la machine à vapeur, en l’équipant notamment d’un condenseur (1765), puis qui ainventé le régulateur à boules (régulateur de Watt) et le chauffage à la vapeur.

Mais ATTENTION un kilowattheure kWh est une unité d’énergie car il correspond à1000 watt * 3600 secondes ou une puissance multipliée par un temps donc une énergiede 3'600'000 joules.

Puissance = énergie / temps (E/t) = force * distance / temps = force * vitesse (F v)

Le cheval-vapeur CV est une unité de puissance basée sur le principe qu'un chevalpeut transporter un homme de 75 kg en montant en moyenne de 1 mètre par seconde.

P(1CV) = m * g * v = 736 W

Le rendement est un rapport de puissances ou d'énergies toujours strictementinférieures à 1. Il est défini comme le rapport de la puissance utilisée à la sortie de lamachine par celle qui y est consommée. Pour le calculer, il faut faire un bilan depuissance ou d’énergie :

Puissance consommée P1 = Puissance utilisée à la sortie P2 + pertes PQOu Energie consommée E1 = Energie utilisée à la sortie E2 + pertes Q2

Et on définira le rendement comme :

= Puissance utilisée à la sortie / Puissance consommée ou = Energie utilisée à la sortie / Energie consommée

Rendements de quelques machines :

- Moteur de voiture : 10-25%- Centrale thermique : 30-35%- Centrale hydraulique : 80-85%- Moteur électrique : 50-99%- Transformateur électrique : 90-99,9%

Pour une machine qui transforme de la chaleur en énergie mécanique ou machinethermodynamique (moteur, turbine à vapeur...), le rendement maximum est lerendement de Carnot (les températures doivent être exprimées en degrés Kelvin) :

= 1 – (T source froide / T source chaude)

La source chaude a la température de la vapeur et la source froide a la température dufluide de refroidissement

2 et il est impossible que les pertes soient nulles !



EXERCICES SUR LA PUISSANCE

1) Un homme de 60 kg monte des escaliers. Il met 20 s pour s'élever de 14 m.Calculer la puissance qu'il développe.

2) Un téléski, long de 2 km, installé sur une pente de 30°, transporte 500 skieurs parheure. Quelle est la puissance fournie par le moteur si la masse des skieurs est enmoyenne de 70 kg et si le fartage des skis est excellent ?

3) Une lampe de 40 W reste allumée pendant 10 h. Quel est le coût de l'énergieconsommée si le kWh revient 20 centimes ?

4) Un sportif de 75 kg exécute 20 appuis faciaux en 1 minute. Calculer la puissancemoyenne de ses muscles en admettant que le centre de gravité de cette personneest situé aux 2/3 de la distance séparant les pieds des épaules et qu'à chaqueexercice, les épaules se déplacent verticalement de 30 cm.

5) Un élève de 50 kg grimpe à la perche. Il monte de 3 m en 5 secondes. Quelle estsa puissance moyenne lors de cet exercice ?

6) Quand on compare divers sports, on oppose souvent l'endurance à la puissance.Parmi les sports suivants, lesquels exigent plutôt une grande endurance etlesquels demandent plutôt une grande puissance ? * course de 100 mètres *saut en hauteur * marathon * natation * lancer du poids * tir * cyclisme * skide fond.

7) Une automotrice de montagne parcourt un chemin montant dont la longueur estde 15 km et la pente moyenne de 5%. La masse de l'automotrice est de 20tonnes. Si le kWh revient 12 centimes, quel est le prix de revient d'une montée ?Le rendement global est de 6%.

Corrigé des exercices sur l'énergie p. M 301) W = F d cos = 614,36 J.2) W = ½ m v2 = 0,55 m g d = 0,66 MJ.3) F perp. x => W = 0 => W = L W = 0 J.4) gT = 6 gL => WT = 6WL = m gT h = 6 m gL h.5) a) W = mgLsin = 3.214 J = Wp ; b) Ffr = mgsin = 3,214 N6) ½kx2 = mgh => x2 = 2mgh/k => x = 1 cm pour h = 1 m (W = 1 J).7) a) v = (2gh)½ = 63,2 m/s ; b) v' = (vo

2+2gh)½ = 80,62 m/s.8) h = (vo

2-vs2)/2g = 3,75 m.

9) v = 10 m/s ; ½ mv2 = mgh => h = v2/(2g) = 5 m.10) mgh = Fd => F = mgh/d = 300'000 N.11) ho = v1

2/(2g) = 80 m ; v2 = (v12-2gh2)½ = 10 m/s ; h3 = (v1

2-v32)/(2g) = 60 m.

Corrigé des exercices sur la puissance p. M 32 (avec g = 10 m/s2)1) P = mgh/t = 420 W si l'on néglige les frottements.2) P = M500gh/t = 500 m g L sin 30° / t = 97,22 kW si Ffr = 0.3) E = P t = 0,04 kW 10 h = 0,4 kWh ; prix = 8 cts.4) P = E/t = N (2/3) mgh / t = 50 W5) P = mgh/t = 300 W.6) Puissance : course 100 m, saut, lancer du poids.7) W = mgh/h = 2500 MJ = (avec 3,6 MJ/kWh) = 694 kWh => prix de 83,2 Frs.



1.5 STATIQUE DE FLUIDES (PRESSION)1.5.0 Expérience d'introduction

Prenons une punaise et un poids de 100 grammes. Dans un premiercas, nous mettons la punaise pointée contre le doigt qui se trouvesous le poids ; nous ressentons une vive douleur due à la pression dela pointe sur la peau. Dans le deuxième cas, la tête de la punaise estappuyée sur notre doigt avec le poids qui appuie sur le doigt sur ledoigt ; nous ne sentons pas grand chose car la pression est moindre.La force de pesanteur est pourtant la même dans les deux cas (~ 1 N)mais ses effets sont différents ! Il faudra donc introduire une nouvellegrandeur physique que nous appellerons la pression, qui dépendra de la force et de lasurface. Pour une même force, plus la surface est petite, plus la pression sera grande.

Exemples :* Un couteau qui coupe bien est capable d'exercer une grande pression pour une

force faible. En l'aiguisant, on réduit sa surface et on augmente donc la pression.* Pour se déplacer sur la neige sans trop enfoncer, il faut réduire la pression en

augmentant la surface de contact. On utilisera donc des skis ou des raquettespour se déplacer dans des endroits très enneigés.

* Un clou est fait pour être enfoncé dans un certain sens où la pression estmaximale avec une force donnée. Pour s'en convaincre, il suffit de vouloirl'enfoncer à l'envers.

1.5.1 Définition de la pression

La pression est une force appliquée par unité de surface. La force F est appliquéeperpendiculairement à la surface S. Elle se mesure en newton par mètre carré [N/m2] etl'unité de pression est le pascal [Pa] 1 Pa = 1 N/m2.

1.5.2 Le principe de Pascal

On peut constater que la surface libre d'un liquide est horizontale, on peut le vérifieravec un fil à plomb et une équerre. Si la surface du liquide prend des dimensionsconsidérables comme les mers ou les océans, elle suit la sphéricité de la Terre.

Une deuxième constatation est que les liquides sont quasimentincompressibles. Pour s'en convaincre, il suffit d'essayer d'enfoncerun bouchon de liège dans une bouteille pleine d'eau ; l'opérations'avère quasiment impossible.

L'expérience du schéma ci-contre montre que, s'il n'y a pas d'air dansle récipient, la pression du marteau est parfaitement transmise d'unbouchon à l'autre par le liquide.

Principe de Pascal : dans un volume restreint, la pression dans un fluide est lamême en chacun de ses points. Elle est aussi indépendante de la direction.



Applications du principe de PascalLa presse hydraulique se compose de deux pistons : un petit C et un gros C'. Si l'onsoulève le piston C, la soupape a s'ouvre et la b se ferme ; ce qui permet de pomper duliquide dans le petit cylindre. Lorsque l'on abaisse le piston C, lemouvement des soupapes est inversé et la pression se transmetjusqu'au cylindre C'. Cette dernière étant conservée par le principe dePascal, la force F' sera plus grande que la force F.

F/S = F'/S' => F'/F = S'/S

On arrive facilement à un rapport de forces de 1000 ; mais, dans cecas, il est clair qu'il faudra beaucoup pomper avec le petit cylindre.

Un frein de voiture comporte un système hydraulique qui transmet lapression entre deux pistons. La différence de surface des deuxpistons permet de multiplier la force sur les mâchoires de frein.

1.4.3 La pression hydrostatique

On peut diviser par la pensée un liquide en plusieurs couches superposées. La couchesupérieure 1 ne subit que la pression atmosphérique, la couche2 subit la pression de la couche 1 plus la pressionatmosphérique, la couche 3 subit les pressions des couches 1 et2 ainsi que la pression atmosphérique et ainsi de suite...

La variation de la pression hydrostatique dépend donc de laprofondeur et, d'après le principe de Pascal, elle ne doit pasdépendre de la direction ; elle s'exerce aussi bien sur les paroisqu'à l'intérieur de la masse liquide.On peut calculer la pression hydrostatique en prenant par lapensée un cube d'eau de côté h immergé dans le liquide et dontla face supérieure correspond avec la surface libre du liquide.Sa masse est de h2h (si est la masse volumique du liquide) ;sa force de pesanteur mg est donc de h2h g. La pression quele cube exerce à sa base est mg/S = h2h g / h2 donc de g h.On ne tient pas compte de la pression atmosphérique quis'applique sur tous les corps.

p = g h

Application : Les vases communicants sont des récipients de formes différentes reliéspar leurs parties inférieures. Quelle que soit la forme des récipients, le niveau du liquidedoit être le même dans tous les récipients puisque la pression (atmosphérique) est lamême à la surface libre des liquides.L'indicateur de niveau d'une citerne utilise le principe des vases communicants.

Avec la distribution d'eau, il faut avoir un réservoir qui se trouve plus haut que leconsommateur pour que ce dernier ait un peu de pression dans ses conduites. Lapression dépend de la différence de hauteur entre la surface libre du réservoir et lasienne.



Dans les grandes villes, on met un réservoir d'eau au sommet des buildings et on ypompe de l'eau. Dans les campagnes plates, on construit des châteaux d'eau où le basdu réservoir se trouve à une dizaine de mètres du sol ; il faudra aussi pomper l'eaudans ces réservoirs.

Le barrage poids a une forme trapézoïdale car la pressionhydrostatique au fond du barrage est très forte. Il faut doncbeaucoup de poids au béton pour y résister.

On peut facilement calculer que si l'on descend de 10 mètres sousl'eau, on subit une atmosphère (105 pascals) de plus que lapression normale. Les sous-marins qui s'immergent profondément doivent résister àune pression très élevée.Dans les bathyscaphes qui descendent à plusieurs milliers de mètres sous la surfacedes océans, les occupants sont dans une sphère, seule forme capable de résister à depareilles pressions sans se briser.

Exercices pression hydrostatique

1) La surface de l'eau contenue dans une baignoire est située à 30 cm au-dessusde son bouchon de vidange. La masse de ce dernier est de 50 g et son diamètremesure 40 mm. Quelle est l'intensité de la force qu'il faut exercer pour retirer lebouchon ? On suppose que le frottement du bouchon est négligeable.

2) On réalise une perfusion sanguine dans le bras d'un malade. La pression dusang dans la veine surpasse de 15 kPa la pression atmosphérique.Quelle doit être la dénivellation minimale entre le bras et le flacon pour que lesang s'écoule du flacon dans la veine ? (la masse volumique du sang est égale à1060 kg m-3.)

3) Une turbine hydraulique est alimentée à partir d'un bassin d'accumulation parune conduite forcée. Le niveau de l'eau dans le bassin est à une hauteur h au-dessus de la turbine. Montrer que, si l'on ne tient pas compte des frottements, lapuissance P théoriquement disponible à la turbine est donnée par la relation :

P = p QVP : puissance en [W] ; p : pression en [Pa] ; QV : débit volumique en [m3/s]

4) La pression atmosphérique à la surface d'un lac est égale à 960 mbar. A quelleprofondeur sous le niveau de l'eau la pression absolue est-elle de 3,66 bars ? (1bar = 105 Pa)

5) Une des parois verticales d'un aquarium rempli d'eau mesure 40 cm de hauteursur 90 cm de longueur. Quelle est l'intensité de la force résultante exercée parl'eau sur cette paroi ?

6) Le barrage de la Grande Dixence (300 m) retient 400 millions de tonnes d'eau.Celui de l'Hongrin (100 m) en retient huit fois moins. Peut-on en déduire que lapoussée exercée par l'eau sur le barrage de la Grande Dixence est huit foissupérieure à celle que subit le barrage de l'Hongrin ?

7) Le château d'eau d’un réseau de distribution d'eau potable se trouve à unealtitude de 500 m, et les robinets A à 450 m, B à 475 m et C à 460 m se trouventdans un immeuble. Quelles sont les pressions, dues à l'eau uniquement, en A, Bet C quand tous les robinets sont fermés ?



1.5.4 Principe d'Archimède

Tout corps plongé dans un fluide subit une poussée dirigée de bas en haut. Cette forceest égale à la force de pesanteur due à la masse de fluide que le corps déplace.

Essayons de le montrer par un cas simple : un radeau qui flottesur l'eau a une surface S et une hauteur immergée h* La pression sur le fond vaut g h.* La pression sur le haut est nulle (on ne tient pas compte

de la pression atmosphérique).* Les pressions sur les côtés de hauteur h se compensent 2 à 2.

La force d'Archimède vaudra donc :

FA = g V

La différence de pression donne lieu à une force g h S = g V qui correspond en effetà la force de pesanteur due à la masse de fluide qu'il déplace.

On parle souvent de la densité d'un corps. Elle est définie par le rapport de la massevolumique du corps à celle de l'eau. La densité de l'eau vaut donc 1 et celle du mercure13,6. Pour qu'un corps reste à la surface de l'eau, il faut que sa poussée d'Archimèdeéquilibre sa force de pesanteur. A la limite, si le corps est totalement immergé, lesvolumes immergé et total sont égaux ; comme les forces sont égales, les massesvolumiques donc les densités sont égales. Pour qu'un corps flottant ait une partieémergée, il faut que sa densité soit inférieure à celle de l'eau.

Applications du principe d’ArchimèdeElles sont multiples et bien connues de tous les marins. Un corps flotte sur l'eau car lapoussée d'Archimède égale sa force de pesanteur.

Le ludion est un petit bonhomme qui est à la limite de laflottaison. Il se trouve dans un tube rempli avec un fluidemuni d'un bouchon. Le liquide ne peut pas se comprimermais le ludion est construit de telle manière qu'il puisseêtre compressible. Si l'on pousse sur le bouchon, lapression se transmet dans le liquide, le volume du ludiondiminue et la poussée d'Archimède n'est plus suffisante pour que leludion flotte ; il va donc descendre. Lorsque le ludion est en bas, onrelâche le bouchon, le volume du ludion augmente, sa pousséed'Archimède devient supérieure à sa force de pesanteur et le ludionremonte.

Le flotteur d'un réservoir d'eau a une soupape sur son bras ; unlevier est soulevé par une boule en sagex® qui flotte à la surface del'eau. Celle-ci va fermer la vanne lorsque le réservoir est plein.

Un iceberg flotte sur l'eau car la masse volumique de la glace estplus faible que celle de l'eau de mer.S'il était complètement immergé, la poussée d'Archimède, supérieureà sa force de pesanteur, le ferait remonter. Pour qu'il y ait équilibre,



les deux forces doivent être égales, ce qui donne pour un icebergde volume V (masses volumiques : de l'eau salée 1020 kg/m3 etde la glace 917 kg/m3)

On arrive bien au résultat connu qui dit que 90% du volume del'iceberg sont immergés (à montrer à l'exercice 4). Descatastrophes navales sont possibles selon sa forme.

Exercices Archimède

1) Un glaçon flotte à la surface de l'eau contenue dans un verre complètementrempli. Le glaçon fond. Que se passe-t-il ?

2) La masse d'un cargo est égale à 5780 tonnes. Quel est le volume de sa partieimmergée :a) dans de l'eau de mer de masse volumique égale à 1030 kg m-3 ?b) dans de l'eau douce de masse volumique égale à 1000 kg m-3 ?

3) Expliquer pourquoi un gilet de sauvetage supportant une charge de 8 kg suffit àmaintenir un naufragé avec la tête hors de l'eau.

4) Les icebergs sont des glaces flottantes provenant des glaciers dont les valléesdébouchent sur la mer. Quel est le rapport du volume de la partie immergée d'uniceberg à son volume total : r = Vim/V si l'on admet que la masse volumique del'eau de mer est égale à 1020 kg m-3 et celle de la glace à 917 kg m-3.

5) Le dirigeable Graf Zeppelin était un dirigeable gonflé à l'hydrogène. Sa longueurmesurait 237 m et son diamètre 30,5 m. Son volume total de 105'000 m3 serépartissait entre 75'000 m3 d'hydrogène ( H = 0.09 kg/m3) et 30'000 m3 deblaugaz3 servant de carburant à ses moteurs. La masse totale de sa carcasse,de ses nacelles et de ses moteurs était égale à 55 tonnes. Il était équipé de cinqmoteurs de 390 kW qui le propulsaient à la vitesse maximale de 130 km/h.Quelle était la charge en tonnes que ce dirigeable pouvait emporter dans de l'airaux conditions normales ( air = 1,293 kg/m3) ? Attention aux données inutiles !

6) Un ballon est gonflé avec de l'hydrogène. Son volume est de 850 m3. L'intensitéde la pesanteur totale de l'enveloppe, de la nacelle, du lest et des passagers estégale à 9010 N.La masse volumique de l'hydrogène qu'il contient est égale à 0,096 kg m-3 etcelle de l'air dans lequel il s'élève à 1,15 kg m-3.Quelle est la masse minimale de lest qu'il faut jeter pour que ce ballon décolle ?

7) Peut-on imaginer que des aérostiers pratiquent leur sport sur la Lune ?

8) Un petit récipient dans lequel est déposé un morceau de boisflotte à la surface de l'eau contenue dans un vase. On retire lemorceau de bois du récipient puis on le laisse flotter à la surfacede l'eau.Le niveau de l'eau dans le vase est-il monté, descendu ou resté lemême ?

3 (le blaugaz était un combustible de même masse volumique que l'air ; il remplissait plusieurs ballonnetsdans le dirigeable ; lors de sa consommation, la diminution de volume de ces ballonnets était compenséepar l'entrée dans la carcasse d'un même volume d'air ; la masse totale du dirigeable restait ainsi lamême.)



Corrigé des exercices sur la pression

a) Pression hydrostatique p. M 351) Pression : p = gh = 3 kPa ; Force : F = pS + mg = 4.2 N.2) h = (p-patm)/( g) = 1.443 m.3) P = E / t = F * v = pS * Qv/S = p * Qv.4) h = p/( g)) = (366000-96000)/(998*9,81) = 27.58 m.5) pression moyenne sur la paroi : p = gh/2 = 2000 Pa ; F = pmoy S = 720 N.6) Non, la pression ne dépend que de la hauteur d'eau (3 fois plus élevée sur le

barrage de la Grande Dixence qu'à l'Hongrin) et la force de l'eau sur le barrageest de pmoy S.

7) hA = 50 m => pA = 5 atm ; hB = 25 m => pB = 2.5 atm et hC = 40 m => pC = 4 atm.

b) Force d'Archimède p. M 371) La masse ne change pas donc les forces ne changent pas. La force d’Archimède

donc le volume immergé ne change pas. L'eau ne déborde donc pas.2) FA = mg = gV => V = m/ a) 5610 m3 ; b) 5780 m3.3) La personne flotte presque sans gilet car sa masse volumique est presque égale

à celle de l'eau.4) 920Vg = 1020xVg => x = 920/1020 = 90%.5) 35,2 t6) FA = mg => airVg = HVg + mg - mlg => ml = -( air- H)V+m = -(1,15-0,096)850 +

9010/9,81 = 22.6 kg. (5.1 kg avec g = 10 N/kg)7) Non, car il n'y a pas d'atmosphère donc pas de force d'Archimède.8) Le même. (Même raisonnement que pour l’exercice 1)

LE RADEAU FLOTTE

La force de flottabilitécréée par la poussée del'eau est égale au poids

du radeau.

LE RADEAU COULELa force de pesanteur

du radeau et dumammouth est

supérieure à la force deflottabilité : la quantitéd'eau déplacée n'est

pas suffisante.

LE RADEAU FLOTTELe radeau flotte parce

qu'il déplace plus d'eauque le radeau: la

poussée est suffisantepour supporter le poidsdu bateau plus celui du

mammouth.

Complément d’énergie hydraulique Cours DF EH 1

S. Monard 2011 Annexe hydraulique page 1 Gymnase de la Cité

Production d'énergie et hydraulique

Les besoins en courant fluctuentLa consommation d'électricité est bien supérieurependant les mois d'hiver. Les besoins fluctuentégalement au cours de la semaine ; on consommebeaucoup plus les jours ouvrables. La demande decourant varie aussi d'heure en heure au cours de lajournée. On utilise pourtant constamment unequantité minimum d'électricité : la charge de base.Le courant consommé en plus durant certainesheures (8 h – 12 h et 15 h – 18 h) est appelédemande de pointe.

Dans notre pays, les centrales thermiques et au fil del'eau couvrent la charge de base. Elles fournissent 24 heures sur 24 pratiquement toujoursla même quantité de courant. Si l'on représentait graphiquement la production de ces deuxtypes de centrales, on obtiendrait une large bande constante. La couverture de lademande de pointe, fortement fluctuante, est essentiellement assurée par les centrales àaccumulation des Alpes facilement réglables.

Cycle de pompage turbinage dans les centrales à haute chuteL'énergie électrique est impossible à stocker(éventuellement une très faible quantité dans desbatteries à faible rendement). Une centrale thermique ounucléaire ne peut être arrêtée qu'en quelques jours ousemaines ; il est donc obligatoire de la laisser fonctionnerà pleine charge ou de l'arrêter. Pendant les heures defaible consommation (22 h – 5 h), un surplus d'énergieélectrique n'est pas consommé et serait perdu si cetteénergie n'était pas utilisée pour remonter l'eau de lavallée jusque dans les barrages pour transformerl'énergie électrique en potentielle. Lors des heures depointe de consommation, on fera redescendre cette eaupour réutiliser cette énergie. Il est clair que l'on perdenviron 30% de cette énergie lors de la transformationmais autrement, on la perdrait entièrement.Economiquement, l'énergie en trop est très bon marché(2 à 5 cts/kWh) et l'énergie de pointe très chère(25 cts/kWh), ce qui permet d'assurer la rentabilité de lacentrale.

Les deux guerres mondiales provoquèrent dans notrepays - très pauvre en matières premières - de gravespénuries énergétiques, qui donnèrent un nouvel élan audéveloppement de la force hydraulique. C'est ainsi que se formèrent les grandsensembles énergétiques alpestres dont la zone de captage s'étendait souvent surplusieurs vallées. On s'avisa progressivement que ce recours aux ressources hydrauliquesne pouvait suffire indéfiniment pour satisfaire les besoins croissants du pays en électricité.La Suisse devait donc envisager de construire des centrales thermiques. Et l'on vit ainsiapparaître au lendemain de la Seconde Guerre Mondiale des petites centrales alimentées



Electricité Suisse

24%

32%

39%

4%1%

Centrales au fil del'eauCentrales à hautechuteCentrales nucléaires

Autres centralesthermiquesEnergiesrenouvelables

au fuel et quelques autres installations avec des turbines à vapeur. Plus tard, l'économieélectrique décida de s'engager dans la voie nucléaire et, en 1984, l'énergie atomiquecouvrait d'ores et déjà 35% des besoins en électricité.

En Suisse, 56 % de la production d'électricité est d'origine hydraulique donc solaire.(Il y a aussi 39 % d’électricitéd’origine nucléaire, 4% d’autreorigine thermique et 1%d’énergie renouvelable)

Chiffres 2009 Informations sur la statistiqueglobale suisse de l’énergie:Office fédéral de l’énergieSection Analyses et perspectives3003 BerneInternet: www.bfe.admin.ch

CENTRALE THERMIQUE CENTRALE HYDRAULIQUE

Rendement : mauvais (20 - 35 %) bon (75 - 85 %)

Localisation,géographie :

Place restreinte, souvent prèsdes cours d'eau pour le

refroidissement.

Grandes surfaces pour lesbarrages à certains endroits dansles montagnes ainsi que sur les

fleuves.

Pollution :

Chaleur et gaz de combustion(CO2, SO2, NO2) et poussièresOU faible quantité d'élémentsgazeux radioactifs (1% de la

radioactivité naturelle).

Débit des rivières et des fleuves,léger changement de climat à

cause des bassins créés.

Productiond'énergie :

Constante, il faut quelques jourspour arrêter la centrale.

Pour les barrages : réglable enquelques minutes utilisable pour

produire l'énergie de pointeautrement : réglable.

Coût :

De plus en plus cher pour lescentrales nucléaires (normes desécurité) ; assez cher pour les

autres.

Très bon marché pour les vieillesusines au fil de l'eau. Cher pour

les barrages.

Combustible :2 wagons/an d'uranium, 50'000wagons/an de charbon pour une

centrale moyenne.Eau et soleil

Déchets :

735 tonnes de déchets faiblementradioactifs + 12 tonnes dehautement radioactifs OU

350'000 tonnes de cendres etmâchefer et 120'000 tonnes de

boues

AUCUN

http://www.bfe.admin.ch/



Coût de l'énergie électrique (kWh) en 1995 à la sortie de la centrale :Centrale au fil de l'eau (Lavey) 3 - 8 cts/kWhCentrale thermique 11 cts/kWhBarrages (réversibles) 4 - 18 cts/kWhCentrales nucléaires

* Mühleberg 5,5 cts/kWh* Gösgen 7 cts/kWh* Leibstadt 12 cts/kWh

Les trois types de centrales hydrauliques

1) Centrale à haute chuteElles sont caractérisées par un barrage situé dans les montagnes relié par une galeried'amenée qui peut mesurer une dizaine de kilomètres à une conduite forcée.La dénivellation ou hauteur de chute se situe entre 200 et 2000 mètres donc la vitesse del'eau dans la conduite ainsi que la pression sont élevées. La turbine utilisée s'appellePelton et fonctionne grâce à l'énergie cinétique de l'eau.S'inspirant de la roue à cuillères en usage dans les montagnes de Californie, l'ingénieuraméricain Lesler Allen Pelton mis au point vers 1870 une turbine utilisée pour les hauteschutes dont le débit est faible. Pour des débits plus élevés, on construit des turbines àplusieurs injecteurs. Elle utilise uniquement l'énergie cinétique de l'eau.Pour éviter de faire exploser la conduite lorsque l'on arrête l'eau avec lavanne de pied, on installe une cheminée d'équilibre au sommet de laconduite forcée et les fluctuations du débit dans la conduite forcée fontvarier la hauteur de l'eau dans la cheminée d'équilibre. Cette dernièrepermet d'éviter le "coup de bélier".On commande la production d'énergie dans la centrale par la vanne de pied et lesinjecteurs des turbines.Un système de vannes permet de pomper l'eau de la vallée dans le barrage pour utiliserl'énergie de trop sur le réseau électrique. La pompe se trouve reliée à la machineélectrique qui fonctionne alors comme un moteur.

Exemples : Grande Dixence, Emosson, Hongrin, Oberhasli...

2) Centrale à moyenne chuteDans ce type d'installation, la centrale électrique se trouve au pied du barrage et lahauteur de chute est donc bien plus faible. On peut quand même obtenir de grandespuissances grâce à un débit plus grand.En raison de la plus petite hauteur de chute, la vitesse est plusfaible et la turbine Francis utilise les énergies cinétique et depression de l'eau. Le dispositif d'injection de l'eau sur le rotor dela turbine et la forme de ce rotor sont tels que l'eau pénètre dansla turbine à une vitesse réduite correspondant à une fraction decelle dont la chute est capable en ce point. La turbine Francisconvient pour les chutes entre 20 et 350 mètres. On utilise aussi une turbine Franciscomme pompe lorsque la chute est faible (200 - 300 m) et peut atteindre 500 m (479 m àMattmark).En 1855, dans son livre "Lowell Hydraulic Experiments", l'américain d'origine anglaise James Francis(1815-1892) divulgua l'invention d'une turbine à réaction utilisée dans les chutes moyennes et faibles.Connue en Europe vers 1880, elle supplanta les modèles français (Fourneyron, Fontaine et Girard). Elleutilise les énergies de pression et cinétique de l'eau.

Exemples : Centrales entre Vallorbe et Orbe...



3) Centrales au fil de l'eauDans ce cas, la chute est très faible (entre 5 et 30 mètres) mais le débit esténorme. On utilise la turbine Kaplan à pales orientables. A cause de lafaible chute d'eau, la turbine Kaplan et son alternateur tournent trèslentement.Dès 1912, l'autrichien Viktor Kaplan eut l'idée de perfectionner une turbine hélice enrendant réglable l'inclinaison des pales. La construction industrielle n'en commença qu'en1924. Elle était conçue pour capter l'énergie des chutes basses et des cours d'eau largeset peu rapides. Elle utilise uniquement l'énergie de pression de l'eau.

Exemples : Lavey près de St-Maurice, Verbois près de Genève...

Les trois types de turbines hydrauliques

Turbine Pelton (1870)S'inspirant de la roue à cuillères en usage dans lesmontagnes de Californie, l'ingénieur américainLesler Allen Pelton mis au point vers 1870 uneturbine utilisée pour les hautes chutes dont le débitest faible. Pour des débits plus élevés, on construitdes turbines à plusieurs injecteurs. Elle utiliseuniquement l'énergie cinétique de l'eau.La turbine Pelton convient aux très hautes chutes,entre 200 et 2000 m. Comme les barragess'élevant hors sol à plus de 200 m de hauteur sontd'une extrême rareté, la turbine Pelton ne serencontre pas dans les usines de pied de barrage,mais par contre on la trouve à l'extrémité desconduites forcées d'usines de dérivation de haute chute.

Turbine Francis (1855)En 1855, dans son livre "Lowell Hydraulic Experiments", l'américain d'origine anglaise JamesFrancis (1815-92) divulgua l'invention d'une turbine à réaction utilisée dans les chutes moyenneset faibles. Connue en Europe vers 1880, elle supplanta les modèles français (Fourneyron,Fontaine et Girard). Elle utilise les énergies de pression et cinétiquede l'eau.La turbine Francis est une turbine à réaction. Le dispositif d'injectionde l'eau sur le rotor de la turbine et la forme de ce rotor sont tels quel'eau pénétrant dans la turbine possède une vitesse réduitecorrespondant à une fraction seulement de la vitesse dont la chuteest capable en ce point. L'eau admise dans le rotor possède donc àla fois de l'énergie cinétique et de l'énergie potentielle de pression.La turbine Francis convient aux moyennes chutes, entre 20 et 350 mOn la trouve aussi bien dans les usines de pied de barrage que dans les usines de dérivation demoins de 350 m de chute.

Turbine Kaplan (1912)Dès 1912, l'autrichien Viktor Kaplan eut l'idée de perfectionner une turbinehélice en rendant réglable l'inclinaison des pales. La construction industriellen'en commença qu'en 1924. Elle était conçue pour capter l'énergie deschutes basses et des cours d'eau larges et peu rapides. Elle utiliseuniquement l'énergie de pression de l'eau.La turbine Kaplan est aussi une turbine à réaction. Elle est constituée d'uneroue en forme d'hélice à pales orientables pour améliorer le rendement et aété mise au point par Viktor Kaplan en 1912. Elle convient aux très basseschutes, entre 5 et 30 m. Cette limite tend d'ailleurs à s'accroître, et, en Italie, des turbines Kaplanont été installées sous une hauteur de chute de 55 m.



ENERGIE POTENTIELLE Débit ENERGIE MECANIQUEH

aute

s ch

utes

:h

> 20

0 m

P = Dg * h

faib

le

Turbine PELTON de 600 à 3000t/min

Moy

enne

s ch

utes

:20

0 m

> h

> 3

0 m

P = Dg *h

moy

en

Turbine FRANCIS de 100 à 600t/min

Bas

ses

chut

es :

h <

30 m

P = Dg *h

gran

d

Turbine KAPLAN de 75 à 120t/min

Questions et exercices sur l'énergie hydraulique

1) a) Il semble absurde de remonter l'eau dans le barrage de l'Hongrin alors que leSoleil le fait très bien. Est-ce rentable du point de vue physique ?

b) Expliquer pourquoi c'est une pratique courante ?

2) Calculer les rendements de la centralehydraulique de l'Hongrin en turbinage eten pompage grâce aux donnéestechniques (ci-contre).

3) L'eau d'un barrage parvient à l'entrée d'une turbine à raison de 2 m³ par secondeet après une perte d'altitude de 600 m. Calculer la puissance électrique produitepar le générateur si le rendement global vaut 70%.



4) L'aménagement hydroélectrique du complexe de la Grande Dixence comprendplusieurs installations :

* Le lac de retenue de la Grande Dixence de volume utile de 400'000'000 m³.* Les centrales hydroélectriques de Fionnay et de Nendaz de puissances

électriques de 360 MW et de 480 MW.* L'usine de pompage et de turbinage de Zmutt et les stations de pompage de

Ferpècle, Staffel et d'Arolla qui refoulent de l'eau dans le lac de retenue.

a) Pour quelles raisons a-t-on construit des stations de pompage qui refoulentde l'eau dans le lac de retenue ?

b) Combien de temps les usines de Fionnay et de Nendaz peuvent-ellesfonctionner avec l'eau contenue dans le lac de retenue si le débit total del'eau qui les alimente est égal à 45 m³/s.

5) La station de pompage de Ferpècle fait partie du complexe de la Grande Dixence.Elle est équipée de trois pompes qui refoulent chacune 2,8 m³ d'eau par secondedans le lac de retenue du barrage de la Grande Dixence. La dénivellation entre lastation de pompage et le lac est de 212 m. Quelle est la puissance totale de cestrois pompes ?

6) Déterminer les puissances hydrauliques des centrales de Fionnay et de Nendazd’après les chiffres de la page suivante.

7) A la centrale hydroélectrique de Veytaux, on peut pomper de l'eau du lac Lémandans le lac de L'Hongrin et utiliser ensuite cette eau pour produire de l'électricité,a) La quantité d'électricité produite avec l'eau pompée est-elle la même que

celle qui a été nécessaire à pomper l'eau ?b) Quel est l'intérêt de cette façon de procéder ?

8) La centrale hydroélectrique de Veytaux (Chillon) a un rendement global de 85%.Elle est alimentée par l'eau provenant du barrage de l'Hongrin. La dénivellation dela chute d'eau est égale à 860 m et le débit qui alimente ses turbines est de32 m³/s. Quelle est la puissance électrique disponible à la sortie des alternateursde cette usine ?

9) Pour impressionner les visiteurs, les responsables de la centrale hydroélectriquede l'Hongrin ont accepté de faire une vidange de 5 minutes de la conduite forcéedans le lac Léman. La dénivellation est de 850 m et le débit de 25 m³/s.Quelle est la somme que les producteurs auraient gagné en turbinant la mêmequantité d’eau avec un rendement de 86%. Faire le calcul avec un prix de ventedu kWh à 20 centimes.



10) Au moyen des chiffres de la page suivante, calculer :a) Le rendement de la centrale de Fionnay.

En admettant des rendements de 80% pour le pompage et de 85% pour leturbinage, calculer :

b) Le débit de pompage de l'usine de Stafelalp.c) Le débit de turbinage de la centrale de Chandoline.

11) Le rendement global de la centrale FMHL en pompage puis en turbinage est de71.5 %. On utilise une énergie électrique de 10 MWh pour pomper de l'eau du lacLéman dans le barrage de l'Hongrin puis on turbine la même quantité d'eau dansle lac Léman.a) Transformer les 10 MWh en joules et donner le volume d'eau pompé si le

rendement (de pompage) est de 80% et la dénivellation de h = 850 m.b) Calculer l'énergie perdue au cours de l'opération.c) Expliquer à quoi sert cette opération ridicule à première vue.

12) a) Calculer la vitesse de l'eau à la sortie de l'injecteur de la turbine Pelton(chiffres dans la brochure des forces motrices de l'Hongrin).

b) Calculer l'énergie produite par le turbinage de 1 m³ d'eau dans la centrale deVeytaux grâce aux chiffres dans la brochure.

13) Le rendement d'une série de pompes est de 85 % et le débit total de 50 m³/s.a) Quelle est la hauteur de pompage si la puissance électrique des moteurs qui

activent la pompe est de 900 MW ?b) Quelle est la puissance récupérée par MW pompé si le groupe de turbinage

a un rendement de 90 %.

Quelques chiffres sur les centrales hydrauliques :Complexe de la Grande Dixence Type POMPAGE

Nom Zmutt Staffel Ferpècle Arolla Cleusonhauteur de chute [m] 470 212 212 312 165

Nombre de machines 5 3 3 3Puissance électrique [MW] 90 26 21 49 4Rendement estimé [%] 80 80 80 80 80

Complexe de la Grande Dixence Type TURBINAGENom Chandoline Fionnay Nendaz Bieudron

hauteur de chute [m] 1747 878 1008 1870Nombre de machines 6 Pelton 6 Pelton 3 Pelton

Débit [m3/s] 45 45 75Puissance électrique [MW] 120 290 390 1100Rendement calculé [%] 85

Complexe de Mauvoisin Type TURBINAGENom Chanrion Fionnay Champsec Riddes

hauteur de chute [m] 357.2 482.5 562.9 1015.7Nombre de machines 2 Pelton 3 Francis 3 3 Pelton Puissance

Débit [m³/s] 10 34.5 2.5 28.75 totalePuissance électrique [MW] 28 127.5 10.8 225 391.3

Energie annuelle fournie [GWh] 74 231 530 MW



Corrigé succinct des exercices hydraulique

1) a) A cause de la consommation d'énergie de jour et de nuit ; en été et en hiver...b) Pour utiliser l'électricité excédentaire du réseau (en général la nuit).

2) Turbinage : t = Pél / Phydr.t = 240'000'000/(32'560*10*850) = 87%

Pompage : p = Phydr.p / Pél = 24'280 * 10 * 850 / 240'000'000 = 86%.

3) Pél = mgh/t = 8,4 MW (Dm = m/t = 2000 kg/s).

4) a) Pour augmenter le volume de la retenue d'eau.b) t = 400'000'000/45 = 8.888*106 s = 8,888 Ms = 102.9 jours.

5) Ferpècle : P = 3 D gh = 3*2800*10*212 = 17,8 MW.

6) P = D g h = 388 MW pour Fionnay et 445 MW pour Nendaz.(Calculs avec g = 9.81 m/s²)

7) a) Non car il faut compter le rendement des pompes multiplié par celui desturbines (0,87*0,87 = 75%) ;b) Pour utiliser l'énergie électrique excédentaire du réseau.

8) P = D gh = 0,85 * 32'000 * 8600 = 234 MW.

9) Ehydr = 25'000*10*850*5*60 = 63,75 GJ = 17710 kWh ; Eél = Ehydr = 15'230 kWhqui coûtent 3046 Frs.

10) a) = Pél/Phydr.t = 290'000'000/(45'000*10*878) = 74% ;b) Dp = Pél / gh = 9,8 m³/s ;c) D = Pél/ t gh = 120'000'000/(0.85*10*1747) = 8081 kg/s = 8,08 m³/s.

11) a) Eél = 3,6 * 1010 J ; Ehydr.p = 2,88 * 1010 J = mgh => m = 3,38 * 106 kg = 3388 m³ ;b) Q = 2,85 MWh = 1,026 * 1010 J.c) On utilise de l'énergie électrique qui serait autrement perdue.

12) a) v = (2gh)½ = 130 m/s = 470 km/h (h = 850 m) ;b) Eél = mgh = 0,87 * 1000 * 10 * 850 = 7,395 MJ = 2,054 kWh.

13) Phydr.p = Pél = Dgh => h = Pél / Dg = 1530 m ; b) = 0,85 * 0,9 = 0,765 = 76.5% On récupère donc 0,765 MW électrique par MW électrique pompé. (On perd donc 0,235 MW par MW électrique pompé.)

Physique DF v 2.1 Corrigé des exercices de mécanique C E M 1

S. Monard 2011 Page 1 Gymnase de la Cité

Exercice 2)

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5t [s]

x [m

]

Corrigé des exercices MÉCANIQUE

1.1 Cinématique1.1.3 Exercices position

1) Décrire les mouvements A, B et C représentés dans les trois diagrammes x(t) (parler de la vitesse).

A : Le mobile partau temps t = 0d’une position xopositive dans unréférentiel Ox ; il

avance avec une vitesse constante.B : Le mobile part au temps t = 0 d’une position xo

positive dans un référentiel Ox ; il recule avec unevitesse constante.

C : Le mobile part au temps t = 0 de l'origine O duréférentiel Ox ; il avance avec une vitesse qui croit.

2) Graphique x(t) d’un mobile qui part du point O autemps t = 0 puis s’en éloigne à la vitesse de 1 m/spendant 5 s : x(t) = t

3) Graphique x(t) d’un mobile qui se rapproche du pointO à la vitesse de 1 m/s pendant 5 s en partant d’uneposition située à 5 m du point O : x(t) = 5 - t

1.1.4 Exercices vitesse et MRU1) Deux athlètes A et B courent sur une piste circulaire longue de 400 m. Ils partent ensemble et se

déplacent à des vitesses respectivement égales à vA = 10 m/s et vB = 9 m/s. En faisantabstraction du rayon de la trajectoire qui est grand, on peut considérer que lesdeux coureurs sont en MRU avec des horaires : xA(t) = 10t = v1 t et xB(t) = 9t = v2 t

a) Les 2 athlètes A et B ont un tour (= 400 m) d'écart lorsque xA(t) - xB(t) = 400 =d = v1 t - v2 t => xA(t) - xB(t) = 10t – 9t = t = 400 => t = 400 s. (t = d / (v1 - v2))

b) Distances parcourues par les deux coureurs en t = 400 s : d1 = xA(400)= v1 t =10*400 = 4000 m. xB(400) = d2 = v2 t = 9 * 400 = 3600 m.

2) Un lièvre s'éloigne d'un chasseur selon une ligne droite, sa vitesse est de 36 km/h = 10 m/s. Lechasseur tire lorsque la distance qui le sépare de sa future victime est de 98 m. Si la vitesse de laballe est de 500 m/s, quelle distance pourra encore parcourir le lièvre avant d'être touché ?Posons un référentiel Ox où O est à l’extrémité du fusil du chasseur avec untemps t = 0 au coup de feu. Horaires dans ce référentiel : balle : x1(t) = 500 t.lièvre : x2(t) = 98 + 10 t"rencontre" pour x1(t) = x2(t) => 500 t = 98 + 10 t => 490 t = 98 => t = 98/490 ==> t = 0,2 s => position du lièvre x2 = 100 m du chasseur.Preuve : position de la balle : x1(0.2) = 500*0.2 = 100 mPreuve : position du lièvre : x2(0.2) = 98 + 10*0.2 = 98 + 2 = 100 m …..CQFD.

Exercice 3)

0

1

2

3

4

5

0 1 2 3 4 5

t [s]

x [m

]



3) Sur une portion de route rectiligne, un camion passe au point A (centre O du référentiel dirigévers B) à midi et se dirige vers le point B, distant de 5 km = 5000 m, avec une vitesse constantevA = 54 km/h = 15 m/s. A midi et deux minutes t = 120 s si t = 0 à midi, une voiture quitte B pourse diriger vers A, à la vitesse constante vB = -72 km/h = -20 m/s (on a mis un signe – car lavoiture va de B à A) A quelle distance de A les deux véhicules vont-ils se croiser ?

Horaire du camion: xA = 15tSi la voiture était partie au temps t = 0, elle aurait parcouru une distance de 20 *120 = 2400 m. à la vitesse de 20 m/s pendant une temps de 120 s. Tout se passecomme si la voiture était partie à midi (t = 0) à la position 5000 + 2400 = 7400 m=> Horaire de la voiture : xB = 7400 - 20 * t"rencontre" pour xA = xB => 15 t = 7400 - 20 t => 35 t = 7400 => t = 7400/35 =211,4 s.Distance de A = xA(211.4) = 15 t = 15*211.4 = 3171 m.Preuve : xB(211.4) = 7400 - 20 * t = 7400 – (20*211.4) = 7400 – 4229 = 3171 m

1.1.5 Exercices MCU1) Une machine à laver essore la lessive avec une fréquence de 1000 tours par minute = 1000/60 =

16.67 t/s et le diamètre intérieur de son tambour est de d = 2r = 40 cm = 0.4 m => r = 0.2 m.déterminer la vitesse angulaire et la vitesse v d'un point du tambour. Vitesse angulaire (untour d’angle 2 en une période T) = 2 /T = 2 f = 2 1000/60 = 104.72 rad/s ;vitesse v = 2 r/T = r = 104.72*0.2 = 20.94 m/s.

2) Calculer la vitesse moyenne d'un point de l'équateur terrestre lors de son mouvement de rotationautour de l'axe de la Terre. (rayon R = 6400 km) : La période de rotation de la Terresur elle-même est de 24 heures de 3600 secondes (T = 86'400 s). Vitesse =distance /temps v = 2 R/T = 2 *6'400’000/(24*3600) = 465.4 m/s. (v =0.4654/(1/3600) = 1675.4 km/h)

3) Si l'on admet que le système solaire fait un tour d'orbite circulaire de rayon de 30'000 années-lumière en 250 millions d'années, quelle est alors la vitesse du centre du système solaire dans lagalaxie en km/s ? 1 année-lumière = 1 AL = 300'000'000 m/s * 365,25 j/an * 24 h/j *3600 s/h = 9.467*1015 m pour 1 AL. Rayon R de la trajectoire du système solaire :R = 30'000 AL = 30’000*9.467*1015 = 2.8402*1020 m.Période T = 250'000’000*365.25*24*3600 = 7.8894*1015 s pour une année.Vitesse v = 2 R/T = 2 2.8402*1020 7.8894*1015 = 226'195 m/s = 226 km/s.

1.1.6 Exercices MRUA .(calculés avec g = 10 m/s2)1) Une voiture roule sur une route rectiligne. Son accélération est constante et vaut 2 m/s². Il faut

d’abord répondre à la question b) Quelle est sa vitesse au bout de ces 10 secondes ? :L’accélération correspond à une augmentation de la vitesse de 2 m/s chaqueseconde. Au temps t = 0, sa vitesse est de 10 m/s ; au temps t = 10 s, sa vitessesera v(10 s) = 10 + 2*10 = 30 m/s v(t) = vo + ata) Quelle distance parcourt-elle pendant les 10 secondes suivantes ? La distance parcourueest le produit de la vitesse moyenne et du temps : d = vmoy t = ½(10+30)*10 = 200m.

2) Une pierre tombe du pont Bessières sur une hauteur de 23,5 m. Déterminer la durée de la chute.La vitesse augmente de 0 à 10t (g*t) car l’accélération de la pesanteur est de g =10 m/s². La hauteur h est le produit de la vitesse moyenne vmoy et du temps t :h = vmoy t = ½(0 + gt) * t => h = ½ g t² => 23.5 = 5 t² donc le temps : t = (23.5/5)½ =2.2 s (t = (2h/g)½).



0

10

20

30

40

0 2 4 6 8t [s]

v [m

/s]

3) Une voiture lancée à v = 126 km/h = 126’000 m / 3600 s = 35 m/s ; elle s'arrête en t = 7 s. Enadmettant un MRUA, calculer la distance du freinage. La vitessediminue régulièrement de 35 à 0 m/s en 7 s ; l’accélération estdonc de a = 35/7 = 5 m/s/s. La distance parcourue est leproduit de la vitesse moyenne et du temps : d = vmoy t =½(35+0)*7 = 122,5 m.Quelle est la vitesse 3 s après le début du freinage ? Chaque seconde,la vitesse diminue de 5 m/s. Au bout de 3 seconde, la vitessea diminué de 3*5 = 15 m/s. Elle est donc de 35-15 = 20 m/s =72 km/h. (v(3s) = 35 - 3*5 = 20 m/s)

4) Pour la chute libre d'une pierre dans le champ de la pesanteur (sans vitesseinitiale), déterminer la distance parcourue pendant la première, la deuxième et latroisième seconde.

Durant la 1ère seconde, la vitesse augmente de 0 à 10 m/s. la vitesse moyenne :v1moy = ½(0+10) = 5 /s ; la distance parcourue x1 = vmoy t = 5*1 = 5 m.

Durant la 2ème seconde la vitesse augmente de 10 à 20 m/s. la vitesse moyenne: v2moy = ½(10+20) = 15 m/s ; la distance parcourue x2 = vmoy t = 15*1 = 15 m.

Durant la 3ème seconde la vitesse augmente de 20 à 30 m/s. la vitesse moyenne: v3moy = ½(20+30) = 25 m/s ; la distance parcourue x3 = vmoy t = 25*1 = 25 m.

1.1.8 Exercices accélération MCU1) Un petit objet est attaché à un point fixe par une ficelle de longueur L = 1,2 m. Il

décrit un cercle dans un plan horizontal, la ficelle formant un angle = 25° avecla verticale. Une révolution dure une période T = 2,09 s . Calculer l'accélérationde l'objet. Considérons le triangle rectangle d’hypoténuse L et decathète opposé R. Trigonométrie : R/L = sin => R = L sinL’accélération pour cette trajectoire circulaire de rayon R = L sin =0.507 m est dirigée vers le centre de la trajectoire (centripète) : a = v²/R. Lavitesse v = 2 R/T = 2 *0.507/2.09 = 1.525 m/s². Accélération a = 1.525²/0.507 =4,583 m/s2 (a = 4 2 Lsin /T2).

2) Calculer l'accélération d'un satellite artificiel parcourant une orbitecirculaire à 100 km de la surface de la Terre. Le rayon de laTerre vaut RT = 6370 km et la période de révolution dusatellite est T = 1 h 27 min = 60+27 min = 87*60 = 5220s. Le rayon de la trajectoire est donc R = 6370+100 km =6’470’000 m. La vitesse est donc v = 2 R/T =2 6’470’000/5220 = 7788 m/s. L’accélération dans leMCU : a = v²/R = 7788²/6’470’000 = 9,374 m/s2. (a =4 2 R/T2) Elle est légèrement inférieure à 9.8 m/s² accélération moyenne à lasurface de la Terre car le satellite est à 100 km de la surface de la Terre.

3) Une essoreuse à linge tourne à raison de 5 tours par seconde autour d'un axe vertical. Sa cage,cylindrique, a un rayon R = 20 cm = 0.2 m. La fréquence de rotation f = 5 t/s. La périodede rotation est l’inverse de la fréquence T = 1/f et f = 1/T : T = 1/5 = 0.2 s et lavitesse v = 2 R/T = 2 0.2/0.2 = 2 = 6.283 m/s. Accélération d'un objet plaquécontre la paroi : a = v²/R = 6.283²/0.2 = = 197.4 m/s2 = 20 g. (a = 4 2 Rn2).



1.3 Dynamique

1.3.1 Exercices masse volumique1) Quelle est la masse volumique d'un bloc parallélépipédique de polystyrène expansé (Sagex®) de 1

kg et de dimensions 0.80 m * 0.5 m * 0.13 m ? Volume V = 0.8*0.5*0.13 = 0.052 m³.Masse volumique = masse/volume : = m/V = 1/0.052 = 19,23 kg/m3.

2) Un fil de cuivre de 1 mm de diamètre pèse 1 kg. Déterminer sa longueur. La masse volumique ducuivre : Cu = 8920 kg/m3 et la masse m = 1 kg. Volume de cuivre = masse/massevolumique : V = m/ = 1/8920 = 1.12 * 10-4 m3 ; Surface ou section du fil de cuivre(rayon r = ½ mm = 5*10-4 m) : S = r² = 25*10-8 = 7.85 * 10-7 m2 ; Longueur =volume/section : L = V/S = 1.12 * 10-4/7.85 * 10-7 = 142.74 m.

3) Quelle est la variation de niveau de l'eau dans un verre cylindrique de 2r = 0.07 m de diamètre(rayon r = 0.035 m) lorsque l'eau gèle (supposer que la variation de volume se fasse vers le haut) ?La hauteur initiale est de h = 0.12 m. Masse volumique de la glace : gl = 917 kg/m3 etde l’eau : eau = 998 kg/m3. Volume d'eau : V = r²h = *0.035²*0.12 = 4.62 * 10-4

m3 ; masse d'eau = masse volumique * volume : m = eau V = 998 * 4.62 * 10-4 =0.461 kg. Volume de glace : V’ = m/ gl = 0.461/917 = 5.03 * 10-4 m3. Nouvellehauteur d'eau : h’ = V’/( r²) = 5.03 * 10-4/ *0.035² = 13.06 cm. Variation : h’- h =0.1306-0.12 = 0.0106 m = 1.06 cm.

1.3.7 Exercices MRUA et force1) Une grue soulève un bloc de pierre de masse m = 500 kg posé sur le sol. Le

long du premier mètre de son ascension, le bloc subit une accélération a = 1m/s2. Ensuite il a une vitesse constante. Calculer la force exercée par le câblesur le bloc dans le premier mètre, puis par la suite. Lors du premiermètre, il y a une accélération a vers le haut. L’équationfondamentale de Newton nous indique un déséquilibre desforces vers le haut T > mg et T – mg = ma => T - 5000 = 500 =5500 N ; Par la suite, l’accélération est nulle donc il y a équilibre des forces : T =mg = 5000 N (T = m(g+a) puis T = mg)

2) Un wagon a une masse M = 20 tonnes. Quelle force F faut-il exercer pour luicommuniquer une vitesse de 54 km/h en une minute ? Cinématique : vitesse v= 54'000 m / 3600 s = 15 m/s et temps t = 60 s. Accélération a = v/t= 15/60 = 0,25 m/s/s ; F = ma = 20'000 * 0.25 = 5000 N. Les deuxforces verticales S et Mg sont égales et opposées et s’annulent dansl’équation fondamentale.

3) Trouver la force Ffr permettant à une voiture roulant à une vitesse v = 108 km/h de s'arrêter enfreinant sur 75 m. La masse de la voiture vaut M = 600 kg. Cinématique : la vitesse initialeest de v = 108’000/3’600 = 30 m/s. La vitesse moyenne est donc de (30+0)/2 = 15m/s. La distance parcourue (75 m) est le produit de la vitesse moyenne et dutemps ; le temps t = d/Vmoy = 75/15 = 5 s. L’accélération est le quotient de la vitesse etdu temps a = Vmax/t = 30/5 = 6 m/s/s. Dynamique : Comme dans l’exercice 2, les forcesverticales s’annulent et la force de frottement Ffr = Ma = 600*6 = 3600 N. Le schéma estle même avec F et a en sens opposé.



4) Un camion est à disposition pour remorquer une voiture en panne. Commecorde de remorquage, on ne dispose que d'une grosse ficelle pouvantsupporter au maximum une force F = 1000 N. La masse de la voiture est deune tonne M = 1000 kg et le frottement qu'elle subit vaut Ffr = 400 N.Quelle est l'accélération maximale que peut se permettre le camion ?Considérons la voiture remorquée de masse M : Les forcesverticales s’annulent. En appliquant l’équation fondamentale deNewton horizontalement, on trouve : F – Ffr = Ma=> a = (F - Ffr)/M = (1000 – 400)/1000 = 0,6 m/s/s.

5) Une fusée dont la masse M = 8000 kg subit une poussée F = 2,5 * 105 N pendantune minute (t = 60 s). Quelle est alors son altitude, si l'on néglige les frottementset si l'on admet que sa masse reste constante ? Deux forces verticaless’appliquent sur la fusée de masse m : La poussée F et la pesanteur Mg. Enappliquant l’équation fondamentale de Newton, on trouve F – Mg = Ma => a = (F-Mg)/M = (250'000 – 80'000)/8000 = 21,25 m/s/s. Cinématique H = vmoy*t =½(0+at)*t => H = ½at² = ½*21.25*60² = 38'250 m

6) Un prisonnier veut s'échapper d'une cellule au sommet du donjon. Il dispose d'une corde pouvantsoutenir une force maximum de 740 N. Il a pour ami un certain Newton en qui il a toute confiance.Sachant que sa masse est m = 80 kg, comment va-t-il procéder :

a) Décrire la manière dont il doit descendre pour ne pas casser la corde. Il doitaccélérer avec une accélération a vers le bas de telle manière à ce que : mg – T= ma 800 – 740 = 80*a => a = 60/80 = ¾ = 0.75 m/s/s

b) Peut-il se laisser glisser tout en accélérant ? Oui, il faut que son accélération soitsupérieure ou égale à 0.75 m/s/s.

7) L'occupant d'un ascenseur est monté sur une balance.

a) L'ascenseur monte avec une accélération a = 2 m/s2. Que vaut la massedu passager si la balance indique m’ = 100 kg ? La balance à ressortmesure une force de soutien S = m’g = 1000 N. S > mgAppliquons l’équation fondamentale : S – mg = ma ou m’g –mg = ma => 1000 – 10 m = 2 m => 1000 = 12 m =>m = 1000/12 = 83,3 kg (m = m’g/(g+a))

b) Dans quelles conditions la balance indiquerait-elle m¨ = 50 kg ?L’ascenseur doit accélérer vers le bas (fin de montée oudébut de descente) car S < mg => mg – S = ma ou mg – m¨g= ma => 833.3 – 500 = 83.3 * a=> a = 333.3/83.3 => a = 4 m/s/s.

c) Qu'indiquerait la balance si le câble de l'ascenseur cassait ?L’accélération de l’ascenseur vaudra g => Newton : mg = mget S = 0 N. La balance indique une masse nulle en chutelibre (force nulle).



1.2.9 Exercices MCU et force

Modèle de résolution pour les problèmes de satellites :

La force de gravitation F maintient un satellite sur son orbite derayon R : F = GMm/R² (1)L'accélération du mouvement circulaire uniforme : a = v²/R (2)L'équation fondamentale de Newton appliquée au satellite avecune force de gravitation F et une accélération a : F = ma (3)En remplaçant (1) et (2) dans (3) : GMm/R² = mv²/R=> v² = GM/R (4)La vitesse du satellite en MCU sur un cercle de rayon R avecune période T est de v = 2 R/T (5)En remplaçant (5) dans (4), on obtient : v² = 4 ²R²/T² = GM/R => 4 ²R³ = GMT²Troisième loi de Kepler : (GM/4 ²) T² = R³

1) On imagine le petit Prince de masse m = 30 kg sur sa planète de rayon R = 100 m et de mêmemasse volumique moyenne que la Terre, soit 5,5 kg/litre.

a) Quelle est la force de gravitation exercée par la planète sur le petit Prince ?Volume de la planète du petit Prince : V = 4/3 R³ = 4/3 100³ = 4188790 m³La masse volumique de la planète est de 5.5 kg/0.001 m³ = 5500 kg/m³ (1 l = 1dm³ = (0.1m)³ = 0.001 m³)Masse de la planète du petit Prince : M = V = 5500*4188790 = 2.304*1010 kgForce de gravitation : F = GMm/R² = 6.67*10-11*2.304*1010*30/100² = 0,00461 N(F = 4 GmR /3)

b) Quel temps met un objet pour tomber d'une hauteur de 5 m ? Equationfondamentale de Newton appliquée au petit prince en chute libre : F = ma

=> a = F/m = 0.00461/30 = 0,0001537 m/s/s. Cinématique : h = ½at² => 5 =½*0.0001537*t² => t² =65'076 s² => t = 255 s = 4 min. 15 s. (t = (2h/a)½)

2) Un satellite tourne autour de la Terre suivant une orbite circulaire. Calculer sa vitesse v et sapériode de rotation T s'il se trouve à :a) h = 100 km = 105 m de la surface de la Terre. La masse de la Terre est M = 5.98*1024

kg et le rayon de la Terre R = 6371 km = 6.371 * 106 m. R100 = R + h = 6.471 * 106

m. V100 = (GM/R100)½ = (6.67*10-11* 5.98*1024/ 6.471 * 106)½

V100 = 7853 m/s et T100 = 2 R100/V100 = 2 6.471*106/7853 = 5178 s = 1 h 26' 18".b) h’ = 1000 km de la surface de la Terre. R1000 = R + h’ = 7.371 * 106 m.V1000 = (6.67*10-11* 5.98*1024*/ 7.371 * 106)½ = V1000 = 7358 m/set T1000 = 2 R1000/V1000 = 2 7.371*106/7358 = 6294 s = 1 h 45’ 54".

3) A quel endroit et à quelle altitude faut-il lancer un satellite de la Terre pour qu'il reste constammentau zénith du même lieu ? Si cette condition est remplie, on parle de satellite géostationnaire. Ilfaut que l’orbite soit dans le plan équatorial : le centre de masse de la Terre doitêtre dans le plan et il vise toujours le même point.La période de rotation T = 24 h = 24 * 3600 = 86'400 s. En appliquant la 3me loi deKepler : R3 = GMT2/4 ² = 6.67*10-11*5.98*1024*86'4002/4 ² = 7.54507*1022 m3

=> R = 42'255'942 m; h = R - RT = 42'255'942 - 6.371 * 106 = 35'884'912 m



4) Calculer le temps de révolution et la vitesse d'un satellite décrivant une trajectoire circulaire à unealtitude h = 100 km = 105 m au dessus de la surface de la Lune. Masse de la Lune ML =7.35*1022 kg et rayon de la Lune : RL = 1.738*106 m. Le rayon de la trajectoiresera donc de R = RL + H = 1.738*106 + 105 = 1.838*106 m. Calcul de la vitesse(raisonnement en haut de la page précédente)v = (GML/R)½ = (6.67*10-11*7.35*1022/1.838*106)½ = 1633.5 m/s ;Période de rotation T = 2 R/V = 2 1.838*106/1633.5 = 7070 s = 1h 58’ 50".

5) Dans l'un des albums de Tintin, le capitaine Haddock, dont la masse vaut m = 90 kg, se satelliseautour de l'astéroïde Adonis. Assimilons cet astéroïde à une sphère de diamètre D = 30 m (rayon r= 15 m) et de masse volumique = 7000 kg/m3. Supposons que l'orbite soit un cercle de rayon R =100 m. Quelle sera la période révolution T du capitaine ?Volume de l'astéroïde Adonis : V = 4/3 r³ = 4/3 15³ = 14137 m3

Masse de l'astéroïde Adonis : M = V = 7000*14137 = 9.896*107 kgPériode de rotation (raisonnement en haut de la page précédente) 4 ²R³ = GMT²=> T = 2 (R³/GM)½ = 2 (100³/(6.67*10-11*9.896*107))½

=> T = 77'322 s = 21 h 29 min 42 s (T = (3 / G)((R/r)³)½)

6) Comment la vitesse d'un satellite artificiel dépend-t-elle se son altitude ? Montrer que lorsque lesatellite est "freiné" par l'atmosphère très peu dense à très haute altitude, en fait sa vitesseaugmente ! Selon le raisonnement du haut de la page précédente : v = (GM/R)½ Lavitesse est donc inversement proportionnelle à la racine du rayoncar v = (GM)½ * (1/R)½ Si le satellite se rapproche de la Terre, le rayon R diminueet sa vitesse augmente…

7) Quelle devrait être la période de révolution de la Terre autour de son axe N-S, pour que la force desoutien exercée par le sol sur un objet quelconque à l'équateur soit nulle. Cet objet se trouveraitalors en état d'impesanteur, satellisé autour de la Terre. C’est le même problème que pourl’exercice 2 avec une altitude h = 0 m. Vitesse : V0 = (GM/R)½ =Vo = (6.67*10-11*5.98*1024/6.371*106)½ = vo = 7914 m/sPériode : T0 = 2 R/v = 2 6.371*106/7914 = 5058 s = 1 h 24' 18".

(T = 2 ((R³/(GM))½).

1.4 Énergie

1.4.5 Exercices sur l'énergie

1) Un enfant tire un jouet au moyen d'une ficelle. La force de tractionF qu'il exerce forme un angle de 35° avec le déplacement dujouet et son intensité est égale à 2,5 N. Quel est le travail effectuépar l'enfant pour un déplacement d = 300 m du jouet ? Il fautdécomposer la force F en une force F1 parallèle audéplacement qui travaille et en une force F2 perpendiculaire au déplacement quine travaille pas. Par trigonométrie : F1 = F cos et F2 = F sin . Le travail de laforce F est identique au travail de F1 : W = F1 d = F d cos = 2.5*300*cos35 =614,4 J.



2) Une automobile et ses occupants ont une masse M = 1,2 tonnes = 1200 kg. Le conducteur decette automobile freine brusquement alors qu'il roule à une vitesse v = 120 km/h =120’000/3600 = 33.33 m/s. Les roues se bloquent et glissent sur la route. L'intensité de laforce de frottement est égale à 55% de celle de la pesanteur de la voiture. Ffr = 0.55*Mg =0.55*12000 = 6600 N. Cette dernière s'arrête après d = 100 mètres. Quelle quantité dechaleur Q est produite lors de ce freinage ? Il y a 2 manières de calculer l’énergie W :a) Energie cinétique Wcin = ½ m v2 = ½ 1200 * 33.33² = 666’666 Jb) Chaleur perdue lors du freinage Q = Ffr*d = 6600 * 100 = 0,66 MJ.Les deux résultats sont à peu près égaux à cause du environ 120 km/h…

3) Un satellite se déplace sur une orbite circulaire. Quel est le travail, durant une révolution, de laforce d'attraction de l'astre principal ? La force de gravitation est selon un rayon de latrajectoire et le déplacement selon la vitesse qui est perpendiculaire au rayon. Laforce est donc toujours perpendiculaire au déplacement et le travail est nul : W =0.

4) Le travail nécessaire à soulever une pierre de 2 kg d'une hauteur de 1 mètre est-il le même sur laTerre et sur la Lune (g/6) ? Sur la Lune, la gravitation est 6 fois plus faible que sur laTerre. La force de gravitation sur la Lune pour une pierre de 2 kg est donc 6 foisplus faible que sur la Terre. Le travail de la pesanteur est mgh : Sur la Terre WT =2*10*1 = 20 J et sur la Lune WL = 2*(10/6)*1 = 3.33 J => WT = 6WL = m gT h = 6m gL h. Le travail sur la Terre est donc 6 fois plus important que sur la Lune poursoulever le même objet de la même hauteur.

5) Une pierre de masse m = 500 g glisse à vitesse constante le long d'uneplanche de longueur L = 1 m formant un angle = 40° avec l'horizontale.

a) Si la vitesse est constante, alors il y a équilibre des forces. Laforce de soutien ne travaille pas car elle est perpendiculaireau déplacement. La composante de la force de pesanteurparallèle au déplacement L vaut mg sin et son travail : Wp =mgLsin = 0.5*10*1*sin40° = 3.214 J = Le travail de la forcede frottement est égal et opposé au travail de la force depesanteur : WF = Q = Ffr*L = -Wp.

La variation d'énergie potentielle de la pierre W = mgh = mgLsin = 3.214 J car h= Lsin et elle se transforme en chaleur Q = Ffr*L = 3.214 J.

b) La force de frottement s'exerçant sur cette pierre Ffr = Q/L = W/L = Ffr = 3,214 N.

6) Une masse m = 100 grammes = 0.1 kg tombe d'une hauteur h = 1 m sur unressort de constante k = 2 * 104 N/m. Calculer la longueur x de compression duressort (pour les calculs, supposer que x << h et négliger les frottements).Au départ l’énergie de la masse m est une énergie potentielle dela pesanteur Epp = mgh = 0.1*10*1 = 1 J. Après l’enfoncementtotal du ressort, elle se transforme en énergie potentielle duressort : Epr = ½kx2 = 1 J = mgh par conservation de l’énergie(frottements négligés) => ½kx² = 1 = 104 x ²> x² = 10-4

=> x = 10-2 m = 1 cm (x2 = 2mgh/k).



7) Un objet tombe d'un hélicoptère dont l'altitude est de h = 200 m. Que vaut sa vitesse lorsqu'ilatteint le sol. On négligera la résistance de l'air et étudiera les deux situations suivantes :

a) l'hélicoptère est immobile, b) l'hélicoptère se déplace horizontalement à la vitesse de 180 km/h.La hauteur h de l’hélicoptère permet de calculer l’énergie potentielle de lapesanteur Epp = mgh. Pour simplifier les calculs, on prend un objet de masse m =1 kg.La vitesse v de l’hélicoptère permet de calculer l’énergie cinétique Ecin = ½mv².L’énergie totale = Ecin + Epp est conservée car on suppose qu’il n’y a pas defrottement. Elle vaut 2000 J pour le cas a) et 3250 J pour le cas b) avec un objetde masse m = 1 kg. On compare la situation 1 (départ à h = 200 m du sol) et 2arrivée juste avant de toucher le sol. Dans la situation 2, l’énergie est entièrementcinétique : Etot = Ecin2 = ½mv’² ce qui permet de calculer la vitesse v’ = 2(Etot/m)½ =(2*2000)½ et (2*3250)½ . Les valeurs sont consignées dans le tableau ci-dessous :

Situation 1 Situation 2hauteur

[m]vitesse[m/s]

Energiepot. [J]

Energiecin. [J]

Energietot. [J]

Energiecin. [J]

Energiepot. [J]

hauteur[m]

vitesse[m/s]

200 0 2000 0 2000 2000 0 0 63.25

200 50 2000 1250 3250 3250 0 0 80.62(a) v = (2gh)½ = 63,2 m/s ; b) v' = (vo

2+2gh)½ = 80,62 m/s)

8) Un projectile est lancé obliquement depuis la surface de la Terre,avec une vitesse de v = 10 m/s. Au sommet de sa trajectoire savitesse v’ = 5 m/s. Calculer l'altitude h de ce point.C’est le même type d’exercice que le 7 : L’énergie estconservée entre les situations 1 et 2. E1 = Ecin = ½mv² =½*2*10² = 100 J en admettant une masse m = 2 kg.E2 = ½mv’² + mgh = ½*2*5² + 2*10*h = 25 + 20h = 100=> 20h = 75 et h = 3,75 m (h = (vo

2-vs2)/2g).

9) Lors d'une rencontre internationale d'athlétisme, le 100 m plat est généralement parcouru en 10 s.Admettons que l’on ne connaisse pas ou que l’on ait oublié la hauteur généralement atteinte parles sauteurs à la perche. Peut-on l'estimer en première approximation grâce à un calcul d’énergie ?Si une personne peut courir 100 m en 10 s, elle atteint une vitesse v = 100 m / 10s= 10 m/s. Grâce à la perche, l’énergie cinétique de la personne se transforme enénergie élastique de la perche (½kx²) puis en énergie potentielle de la pesanteur.Il faut admettre que la perche est un ressort parfait… Par conservation del’énergie, on a ½ mv2 = mgh => ½*60*10² = 3000 J = 60*10*h = 600 h => h =3000/600 = 5 m. (h = v2/(2g)). Comme la personne est debout au départ soncentre de gravité est à environ 1 m du sol et si elle passe la perche couchée, ellepourra sauter environ 6 m.

10) Un marteau-pilon de 500 kg est soulevé à 3 m au-dessus du sol. En tombant, il enfonce un pieu ded = 5 cm = 0.05 m dans le sol. Quelle est la force, supposée constante, résistant à la pénétrationdu pieu dans le sol ? L’énergie du départ est l’énergie potentielle du marteau pilon de500 kg à h = 3 m du sol : mgh = 500*10*3 = 15'000 J. Cette énergie estintégralement transformée en chaleur Q = F*d = F*0.05 = 15000 J parconservation de l’énergie. => F = 15’000/0.05 = 300'000 N. (mgh = Fd)



11) Un wagonnet est lâché, avec une vitesse initiale nulle, depuis le premier sommet

d'une succession de collines (voir figure). On néglige les frottements. Trouver lesindications manquantes dans la figure. Admettons une masse de chariot de m =100 kg. On peut calculer l’énergie totale E = Ecin2 = ½mv1² = ½*100*40² = 80’000J. Par conservation de l’énergie, on pourra ensuite calculer ho = 80’999/(100*10) =80 m ; ½mv2 = 80'000 – 75’000 = 5000 J ; mgh3 = 80’000-20’000 = 6000 J.

(ho = v12/(2g) = 80 m ; v2 = (v1

2-2gh2)½ = 10 m/s ; h3 = (v12-v3

2)/(2g) = 60 m)

1.4.6 EXERCICES SUR LA PUISSANCE1) Un homme de 60 kg monte des escaliers. Il met 20 s pour s'élever de 14 m. Calculer la puissance

qu'il développe.L’énergie que la personne a dû fournir est de Epp = mgh = 60*10*14 = 8400 J.La puissance est le débit d’énergie : P = E/t = mgh/t = 8400/20 = 420 W si l'onnéglige les frottements, ce qui correspondrait à un rendement de 100% de lapersonne !

2) Un téléski, long de L = 2 km = 2000 m, installé sur une pente = 30°, transporte 500 skieurs parheure. Quelle est la puissance fournie par le moteur si la masse des skieurs est en moyenne de 70kg et si le fartage des skis est excellent ? on peut donc négliger la force de frottement donc laseule énergie à prendre en compte est l’énergie potentielle de la pesanteur.Considérons 500 personnes de 70 kg qui sont remontées par le téléski sur unehauteur h = Lsin = 2000*sin30° = h = 1000 m pendant t = 1 heure = 3600 s.L’énergie que le téléski a dû fournir est de Epp = 500mgh = 500*70*10*1000 =350'000'000 J = 350 MJ.La puissance est le débit d’énergie : P = E/t = 500mgh/t = 350 M / 3600P = 97'222 W = 97,222 kW (P = 500 m g L sin 30° / t si Ffr = 0.)

3) Une lampe de 40 W reste allumée pendant 10 h. Quel est le coût de l'énergieconsommée si le kWh revient 20 centimes ?



Pour simplifier la résolution de cet exercice, il est judicieux de transformer lapuissance en kW : P = 40 W = 40/1000 kW = 0.04 kW.L’énergie est le produit de la puissance et du temps : E = P t = 0,04 kW 10 h = 0,4kWh ; prix = 0.4*20 = 8 cts.

4) Un sportif de masse m = 75 kg exécute 20 appuis faciaux en t = 1 minute =60 s. Calculer la puissance moyenne de ses muscles en admettant que lecentre de gravité G de cette personne est situé aux 2/3 de la distanceséparant les pieds des épaules et qu'à chaque exercice, les épaules sedéplacent verticalement de h = 30 cm = 0.3 m.Energie fournie par le sportif en 1 minute : Epp = 20mg(2/3)h =20*75*10*(2/3)*0.3 = 3000 J.Puissance = énergie/temps : P = E/t = 3000/60 = 50 W (P = N (2/3) mgh / t)

5) Un élève de masse m = 50 kg grimpe à la perche. Il monte d’une hauteur h = 3 m en un temps t =5 secondes. Quelle est sa puissance moyenne lors de cet exercice ?Energie potentielle fournie par l’élève : Epp = mgh = 50*10*3 = 1500 J.Puissance = énergie/temps : P = mgh/t = 1500/5 = 300 W.

6) Quand on compare divers sports, on oppose souvent l'endurance à la puissance. Parmi les sportssuivants, lesquels exigent plutôt une grande endurance et lesquels demandent plutôt une grandepuissance ? * course de 100 mètres * saut en hauteur * marathon * natation *lancer du poids * tir * cyclisme * ski de fond.Les sports de puissance sont : course 100 m, saut et lancer du poids car le sportifdoit fournir beaucoup d’énergie en peu de temps.

7) Une automotrice de montagne parcourt un chemin montant dont la longueur est L = 15 km =15'000 m et la pente moyenne de 5%. La masse de l'automotrice est de M = 20 tonnes = 20'000kg. Si le kWh revient 12 centimes, quel est le prix de revient d'une montée ? Le rendement globalest de 6%.Calculons d’abord la hauteur : la pente de 5% = tan => = arctan(0.05) = 2,86°.La hauteur h = Lsin = 15000*sin(2.86) = 749 m.Energie potentielle de la pesanteur (nette) Epp = mgh = 20000*10*749 = 149.8 MJEnergie brute en tenant compte d’un rendement de 6% : E = Epp/ = 149.8/0.06 =2'497 MJ. (Avec 3,6 MJ/kWh) : E = 2497/3.6 = 694 kWh.Prix à 12 centimes le kWh : 694*0.12 = 83,2 Frs.

1.5 STATIQUE DE FLUIDES (PRESSION)

1.5.3 Exercices pression hydrostatique

1) La surface de l'eau contenue dans une baignoire est située à 30 cm au-dessus de son bouchon devidange. La masse de ce dernier est de 50 g = 0.05 kg et son diamètre mesure 40 mm. Quelle estl'intensité de la force qu'il faut exercer pour retirer le bouchon ? On suppose que le frottement dubouchon est négligeable.Pression hydrostatique due à h = 30 cm = 0.3 m d’eau : p = gh = 1000*10*0.3 =3000 Pa = 3 kPa.La force de traction qui agit sur le bouchon s’oppose à la force de pesanteur mgdu bouchon et la force de pression due à la profondeur de 30 cm d’eau.Force totale : FT = pS + mg = 3000* *0.02² + 0.05*10 = 4.27 N.



2) On réalise une perfusion sanguine dans le bras d'un malade. La pression du sang dans la veinesurpasse de p = 15 kPa la pression atmosphérique. Quelle doit être la dénivellation minimaleentre le bras et le flacon pour que le sang s'écoule du flacon dans la veine ? (la masse volumiquedu sang est égale à 1060 kg m-3.)Pression hydrostatique : p = gh => 15'000 = 1060*10*h=> h = 15’000/10600 = 1.42 m. (h = ( p)/( g))

3) Une turbine hydraulique est alimentée à partir d'un bassin d'accumulation par une conduite forcée.Le niveau de l'eau dans le bassin est à une hauteur h au-dessus de la turbine. Montrer que, si l'onne tient pas compte des frottements, la puissance P théoriquement disponible à la turbine estdonnée par la relation : P = p QV où P : puissance en [W] ; p : pression en [Pa] ; QV : débitvolumique en [m3/s]Par définition, la puissance est le quotient de l’énergie et du temps : P = E / t.L’énergie est le produit de la force (de pression) et du déplacement x : E = F*x.La force de pression est le produit de la pression et de la surface F = p*SEn remplaçant F dans E : E = p*S*x = p*V puis E dans P : P = p*V/t = p * Qv.

4) La pression atmosphérique à la surface d'un lac est égale à 960 mbar = 0.96 bar. A quelleprofondeur sous le niveau de l'eau la pression absolue est-elle de 3,66 bars ?Pression hydrostatique : p = gh = (3.66-0.966)*105 = 296'400 Pa(car 1 bar = 105 Pa) p = gh => 296'400 = 998*9.81*h=> h = p/( g) = (366000-96000)/(998*9,81) = 27.58 m.

5) Une des parois verticales d'un aquarium rempli d'eau mesure h = 40 cm = 0.4 m de hauteur surune longueur L = 90 cm = 0.9 m. Quelle est l'intensité de la force résultante exercée par l'eau surcette paroi ?La pression hydrostatique augmente régulièrement de 0 à gh de la surface aufond du liquide. La pression moyenne sur la paroi : p = ½(0+ gh) = gh/2 =998*9.81*0.4/2 = 1958 Pa ~ 2000 PaLa force est le produit de la pression moyenne et de la surface : F = pmoy S =1958*(0.9*0.4) = 705 N (720 N avec g = 10N/kg et = 1000 kg/m³).

6) Le barrage de la Grande Dixence (300 m) retient 400 millions de tonnes d'eau. Celui de l'Hongrin(100 m) en retient huit fois moins. Peut-on en déduire que la poussée exercée par l'eau sur lebarrage de la Grande Dixence est huit fois supérieure à celle que subit le barrage de l'Hongrin ?Non, la pression hydrostatique ne dépend que de la hauteur d'eau p = gh (3 foisplus élevée sur le barrage de la Grande Dixence qu'à l'Hongrin).La force ou poussée de l'eau sur le barrage est de F = pmoy S.

7) Le château d'eau d’un réseau de distribution d'eau potable se trouve à une altitude de 500 m, etles robinets A à 450 m, B à 475 m et C à 460 m se trouvent dans un immeuble. Quelles sont lespressions, dues à l'eau uniquement, en A, B et C quand tous les robinets sont fermés ?Il s’agit de la pression hydrostatique p = gh que l’on calcule avec les différenteshauteurs :hA = 500-450 = 50 m => pA = ghA = 1000*10*50 = 500'000 Pa ~ 5 atmhB = 500-475 = 25 m => pB = ghB = 1000*10*25 = 250'000 Pa ~ 2.5 atmhC = 500-460 = 40 m => pC = ghC = 1000*10*40 = 400'000 Pa ~ 4 atm.

On a simplifié les calculs avec g = 10 N/kg et = 1000 kg/m³



1.4.4 Exercices Archimède

1) Un glaçon flotte à la surface de l'eau contenue dans un verre complètement rempli. Le glaçon fond.Que se passe-t-il ?La masse ne change pas donc la force de pesanteur mg du glaçon ou de l’eau nechange pas. La force d’Archimède ne change donc pas et le volume immergéreste le même. L'eau ne déborde donc pas. Le volume immergé de la glace estégal au volume de l’eau lorsqu’il a fondu.

2) La masse d'un cargo est égale à 5780 tonnes. Quel est le volume de sa partie immergée :a) dans de l'eau de mer de masse volumique égale à 1030 kg m-3 ?b) dans de l'eau douce de masse volumique égale à 1000 kg m-3 ?Equilibre entre la force d’Archimède et la force de pesanteur : FA = MgLa force de pesanteur Mg = 5780*1000*10 = 5.78*107 N ne change pas donc laforce d’Archimède vaut toujours = 5.78*107 Na) Mg = sgVa => 5.78*107 = 1030*10*Va => Va = 5.78*107 / (1030*10) = 5612 m3.b) Mg = gV => 5.78*107 = 1000*10*Va => Va = 5.78*107 / (1000*10) = 5780 m3

(V = M/

3) Expliquer pourquoi un gilet de sauvetage supportant une charge de 8 kg suffit à maintenir unnaufragé avec la tête hors de l'eau. La personne flotte presque sans gilet car sa masse volumiqueest presque égale à celle de l'eau.Le corps humain a une masse volumique très proche de l’eau (~1000 kg/m³). Si lecorps humain est suffisamment immergé, il flotte presque et le gilet est suffisantpour lui maintenir la tête hors de l’eau.

4) Les icebergs sont des glaces flottantes provenant des glaciers dont les vallées débouchent sur lamer. Quel est le rapport du volume de la partie immergée d'un iceberg à son volume total : r =Vim/V si l'on admet que la masse volumique de l'eau de mer est égale à 1020 kg m-3 et celle de laglace à 917 kg m-3.Appliquons l’équilibre des forces : FA = Mg => 1020*Vim*g = 917*V*g => 1020*Vim= 917*V => r = Vim/V = 917/1020 = 0.899 ~ 90%.

5) Le dirigeable Graf Zeppelin était un dirigeable gonflé à l'hydrogène. Sa longueur mesurait 237 m etson diamètre 30,5 m. Son volume total de 105'000 m3 se répartissait entre 75'000 m3 d'hydrogène( H = 0.09 kg/m3) et 30'000 m3 de blaugaz servant de carburant à ses moteurs. La masse totale desa carcasse, de ses nacelles et de ses moteurs était égale à 55 tonnes. Il était équipé de cinqmoteurs de 390 kW qui le propulsaient à la vitesse maximale de 130 km/h.Quelle était la charge en tonnes que ce dirigeable pouvait emporter dans de l'air aux conditionsnormales ( air = 1,293 kg/m3) ? les données utiles sont soulignées.Equilibre des forces : la force d’Archimède FA = gV, verticale et dirigée vers lehaut, s’oppose aux forces de pesanteur de l’hydrogène MHg = HgV, de lacarcasse, des nacelles, des moteurs Mg et de la charge emportée mg.FA = MHg + Mg + mg => 75’000*10*1.293 = 75000*10*0.09 + 55000*10 + m*10=> 75’000*1.293 = 75000*0.09 + 55000+ m => m = 75000*(1.293-0.09)-55000 =>m = 35'225 kg = 35,2 t



6) Un ballon est gonflé avec de l'hydrogène. Son volume est de 850 m3. L'intensité de la pesanteurtotale de l'enveloppe, de la nacelle, du lest et des passagers est égale à 9010 N. La massevolumique de l'hydrogène qu'il contient est égale à 0,096 kg m-3 et celle de l'air dans lequel ils'élève à 1,15 kg m-3.Quelle est la masse minimale de lest qu'il faut jeter pour que ce ballon décolle ?Equilibre des forces : la force d’Archimède FA = gV, verticale et dirigée vers lehaut, s’oppose aux forces de pesanteur de l’hydrogène MHg = HgV, et à la massetotale m moins le lest ml. FA = MHg + mg - mlg => airVg = HVg + mg - mlg => airV = HV + m - ml =>1.15*850 = 0.096*850 + 9010/10 - ml=> ml = -850*(1.15-0.096)+901 = 5.1 kg (avec g = 10 N/kg)et ml = -(1,15-0,096)850 + 9010/9,81 = 22.6 kg (avec g = 9.81 N/kg).

ml = -( air- H)V+m

7) Peut-on imaginer que des aérostiers pratiquent leur sport sur la Lune ?Non, car il n'y a pas d'atmosphère donc la force d'Archimède est nulle.

8) Un petit récipient dans lequel est déposé un morceau de bois flotte à la surfacede l'eau contenue dans un vase. On retire le morceau de bois du récipient puison le laisse flotter à la surface de l'eau.Le niveau de l'eau dans le vase est-il monté, descendu ou resté le même ?La masse reste la même : mg + Mg = FA La force d’Archimèdereste donc la même et le volume immergé ne change donc pas.Le niveau ne change pas comme dans l’exercice 1 du glaçon.

Documents

1 Mecanique