39
1 Métodos Numéricos Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO DE LA POTENCIA METODO DE LA POTENCIA

1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

1

Métodos NuméricosMétodos Numéricos

VALORES Y VECTORES PROPIOSVALORES Y VECTORES PROPIOS

MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLESMATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES

METODO DE LA POTENCIAMETODO DE LA POTENCIA

Page 2: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

2

Un poco de historiaUn poco de historia

Los valores y vectores propios pertenecen a los temas de mayor utilidad del álgebra lineal. Se usan en varias áreas de las matemáticas, física, mecánica, ingeniería eléctrica y nuclear, hidrodinámica, aerodinámica,etc. De hecho, es raro encontrar un área de la ciencia aplicada donde nunca se hayan usado.

Puede parecer muy extraño, pero los valores propios de las matrices aparecieron publicados antes que las matrices. Esto se debe al hecho insólito de que, parafraseando a Cailey, la teoría de las matrices estaba bien desarrollada (a través de la teoría de los determinantes) antes de que siquiera se definieran las matrices. Según Morris Kline, los valores propios se originaron en el contexto de formas cuadráticas y en la mecánica celeste (el movimiento de los planetas), conociéndose como raíces características de la ecuación escalar. Desde aproximadamente 1740, Euler usaba de manera implícita los valores propios para describir geométricamente las formas cuadráticas en tres variables.

En la década de 1760, Lagrange estudió un sistema de seis ecuaciones diferenciales del movimiento de los planetas (sólo se conocían seis) y de ahí dedujo una ecuación polinomial de sexto grado, cuyas raíces eran los valores propios de una matriz 66. En 1820, Cauchy se dio cuenta de la importancia de los valores propios para determinar los “ejes principales” de una forma cuadrática con n variables. También aplicó sus descubrimientos a la teoría del movimiento planetario. Fue Cauchy quien, en 1840, usó por primera vez los términos valores característicos y ecuación característica para indicar los valores propios y la ecuación polinomial básica que satisfacen.

Page 3: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

3

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) nació en París. Fue educado en casa por su padre y no nació en París. Fue educado en casa por su padre y no ingresó en la escuela hasta los trece años, aunque pronto empezó a ganar premios académicos. ingresó en la escuela hasta los trece años, aunque pronto empezó a ganar premios académicos. A los dieciséis entró en la École Polytechnique parisina y a los dieciocho asistía a una escuela A los dieciséis entró en la École Polytechnique parisina y a los dieciocho asistía a una escuela de ingeniería civil, donde se graduó tres años después. Su primer trabajo fue como ingeniero de ingeniería civil, donde se graduó tres años después. Su primer trabajo fue como ingeniero militar para Napoleón, ayudando a construir las defensas en Cherburgo. A los veinticuatro militar para Napoleón, ayudando a construir las defensas en Cherburgo. A los veinticuatro años volvió a París y dos más tarde demostró una conjetura de Fermat que había superado a años volvió a París y dos más tarde demostró una conjetura de Fermat que había superado a Euler y Gauss. Con veintisiete años ya era uno de los matemáticos de mayor prestigio y empezó Euler y Gauss. Con veintisiete años ya era uno de los matemáticos de mayor prestigio y empezó a trabajar en las funciones de variable compleja, publicando las 300 páginas de esa a trabajar en las funciones de variable compleja, publicando las 300 páginas de esa investigación once años después. En esta época publicó sus trabajos sobre límites, continuidad y investigación once años después. En esta época publicó sus trabajos sobre límites, continuidad y sobre la convergencia de las series infinitas. sobre la convergencia de las series infinitas.

Joseph Louis Lagrange (1736-1813) Matemático y físico francés. En un libro de 1797 él enfatizó la importancia de la serie de Taylor y el concepto de función. Trabajó en el sistema métrico y defendió la base decimal.

Leonhard Euler (1707-1783) Matemático suizo. Los trabajos científicos de Euler abarcan prácticamente todas las matemáticas contemporáneas a él. En todas las ramas de las matemáticas hizo descubrimientos notables, que lo situaron en el primer lugar en el mundo. Euler fue capaz de comprender las matemáticas como un todo único, aunque enorme en el confluían un montón de ramas importantes y ante todo el Análisis. Laplace indicó que Euler fue el maestro común de todos los matemáticos de la segunda mitad del siglo XVIII. Euler fue en gran medida responsable de los símbolos e, i y.

Page 4: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

4

VALORES Y VECTORES PROPIOSVALORES Y VECTORES PROPIOSLos conceptos básicos estudiados en este tema son útiles en todas las Los conceptos básicos estudiados en este tema son útiles en todas las áreas de las matemáticas puras y aplicadas, y aparecen en contextos áreas de las matemáticas puras y aplicadas, y aparecen en contextos mucho más generales que los que consideramos aquí.mucho más generales que los que consideramos aquí.

Una de las principales aplicaciones de la teoría espectral son los sistemas Una de las principales aplicaciones de la teoría espectral son los sistemas dinámicos discretos (ejemplo introductorio), pero también pueden dinámicos discretos (ejemplo introductorio), pero también pueden utilizarse los valores propios para estudiar ecuaciones diferenciales y utilizarse los valores propios para estudiar ecuaciones diferenciales y sistemas dinámicos continuos, además proporcionan información crítica sistemas dinámicos continuos, además proporcionan información crítica en el diseño de ingeniería y se presentan naturalmente en campos como en el diseño de ingeniería y se presentan naturalmente en campos como la física y la química.la física y la química.

Un escalar Un escalar se llama se llama valor propio de valor propio de AA si existe una si existe una solución no trivial de ; una de esas solución no trivial de ; una de esas soluciones no triviales se denomina soluciones no triviales se denomina vector propio de vector propio de AA asociado al valor propio asociado al valor propio .. El conjunto de todos los valores propios de una matriz El conjunto de todos los valores propios de una matriz cuadrada cuadrada AA se denomina se denomina espectro de espectro de AA y se denota y se denota σσ(A)(A)..

Page 5: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

5

Cierta información útil de los valores propios de una matriz Cierta información útil de los valores propios de una matriz cuadrada cuadrada AA se encuentra codificada en una ecuación escalar se encuentra codificada en una ecuación escalar llamada llamada ecuación característica de ecuación característica de AA. Este hecho nos va a . Este hecho nos va a permitir enunciar un resultado de gran importancia práctica permitir enunciar un resultado de gran importancia práctica para el para el cálculo de los valores propioscálculo de los valores propios de una matriz cuadrada. de una matriz cuadrada.

Para que Para que sea valor propio de la matriz cuadrada sea valor propio de la matriz cuadrada AA, el , el sistema homogéneo sistema homogéneo (()) ha de tener soluciones no triviales, luego ha de tener soluciones no triviales, luego el determinante de la matriz cuadrada el determinante de la matriz cuadrada AA · I · I ha de ser cero. ha de ser cero.

Polinomio característico de Polinomio característico de AA

Ecuación característica de AEcuación característica de A

Los valores propios de Los valores propios de una matriz cuadrada una matriz cuadrada son las raíces de su son las raíces de su polinomio característicopolinomio característico

Los valores propios de Los valores propios de una matriz cuadrada una matriz cuadrada son las raíces de su son las raíces de su polinomio característicopolinomio característico

Page 6: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

6

SUBESPACIOS PROPIOSSUBESPACIOS PROPIOS

Subespacios propios. Propiedades.-Subespacios propios. Propiedades.-

Todo vector propio de Todo vector propio de AA está asociado a un único está asociado a un único valor propio de valor propio de A.A.

1.-1.-

2.-2.- es un subespacio es un subespacio vectorial de y se denomina vectorial de y se denomina subespacio propio subespacio propio asociado a asociado a ..

3.-3.-

4.-4.- Si son valores propios distintos Si son valores propios distintos de de A A y , entonces:y , entonces:

es un es un sistema libresistema libre

Page 7: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

7

¿Cómo calcular los valores propios ¿Cómo calcular los valores propios de una matriz cuadrada?de una matriz cuadrada?

Los valores propios de una matriz cuadrada Los valores propios de una matriz cuadrada AA son las raíces de su polinomio son las raíces de su polinomio característico.característico.

Los valores propios de una matriz cuadrada Los valores propios de una matriz cuadrada AA son las raíces de su polinomio son las raíces de su polinomio característico.característico.

El El orden del valor propioorden del valor propio es la multiplicidad es la multiplicidad kk de de como raíz del polinomio característico.como raíz del polinomio característico.

Si Si k = 1,k = 1, es un valor propio simple. es un valor propio simple.

La suma de los valores propios de una matriz, teniendo en La suma de los valores propios de una matriz, teniendo en cuenta su multiplicidad, coincide con la traza de la matrizcuenta su multiplicidad, coincide con la traza de la matrizLa suma de los valores propios de una matriz, teniendo en La suma de los valores propios de una matriz, teniendo en cuenta su multiplicidad, coincide con la traza de la matrizcuenta su multiplicidad, coincide con la traza de la matriz

ObservaciónObservación

Page 8: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

8

-EJEMPLO.- Calcular los valores propios de Calcular los valores propios de AA, indicando , indicando su orden o multiplicidad:su orden o multiplicidad:

SoluciónSolución

Espectro de Espectro de AAEspectro de Espectro de AA

AtenciónAtenciónAtenciónAtención

Page 9: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

9

¿Cómo calcular los subespacios ¿Cómo calcular los subespacios propios de una matriz cuadrada?propios de una matriz cuadrada?

Para calcular los subespacios propios de una Para calcular los subespacios propios de una matriz cuadrada matriz cuadrada AA debemos resolver un debemos resolver un sistema homogéneo compatible indeterminado.sistema homogéneo compatible indeterminado.

Para calcular los subespacios propios de una Para calcular los subespacios propios de una matriz cuadrada matriz cuadrada AA debemos resolver un debemos resolver un sistema homogéneo compatible indeterminado.sistema homogéneo compatible indeterminado.

Si Si es un valor propio de orden es un valor propio de orden kk de una matriz de una matriz AA y y d = dim V(d = dim V(),), entonces: entonces:

1 1 d = dim V( d = dim V() ) k k

Si Si es un valor propio de orden es un valor propio de orden kk de una matriz de una matriz AA y y d = dim V(d = dim V(),), entonces: entonces:

1 1 d = dim V( d = dim V() ) k k

Page 10: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

10

-EJEMPLO.- Calcular los subespacios propios de Calcular los subespacios propios de AA, , indicando su dimensión:indicando su dimensión:

SoluciónSolución

Page 11: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

11

Page 12: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

12

OBSERVACIONES.-OBSERVACIONES.-

1.-1.- Sea tal que:Sea tal que:

valores propios distintos de valores propios distintos de A:A: 11 , , 22 , , , , rr

órdenes respectivosórdenes respectivos:: kk11 , k , k22 , , , k , krr

dimensión de los subespacios propios asociadosdimensión de los subespacios propios asociados:: ddii = V( = V(ii)) dd11 , d , d22 , , , d , drr

se cumple que:se cumple que:

nro. valores propios distintosnro. valores propios distintos

orden de la matrizorden de la matriz

Page 13: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

13

2.-2.- Si cumple que:Si cumple que:

el el polinomio característicopolinomio característico de la matriz de la matriz AA es: es:

ATENCIÓNATENCIÓNATENCIÓNATENCIÓN

3.-3.- Conocido el polinomio característico de una Conocido el polinomio característico de una matriz cuadrada se puede calcular fácilmente su matriz cuadrada se puede calcular fácilmente su determinante:determinante:

Page 14: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

14

Dos matrices son Dos matrices son semejantessemejantes si:si:

Dos matrices semejantes tienen el mismo Dos matrices semejantes tienen el mismo polinomio característico, luego tienen los mismos polinomio característico, luego tienen los mismos valores propios con los mismos órdenes de valores propios con los mismos órdenes de multiplicidad.multiplicidad.

Sin embargo, el recíproco no es necesariamente Sin embargo, el recíproco no es necesariamente cierto. Es decir, existen matrices coon el mismo cierto. Es decir, existen matrices coon el mismo polinomio carácterístico pero que no son polinomio carácterístico pero que no son semejantes.semejantes.

Page 15: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

15

MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLESMATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES

En muchos casos la información de vector propio-valor propio contenida En muchos casos la información de vector propio-valor propio contenida dentro de una matriz dentro de una matriz AA se puede mostrar con una útil factorización de se puede mostrar con una útil factorización de la forma:la forma:

Las ideas y métodos aquí explicados nos permiten calcular rápidamente Las ideas y métodos aquí explicados nos permiten calcular rápidamente AAkk para valores grandes de para valores grandes de kk, una idea fundamental en varias , una idea fundamental en varias aplicaciones del Álgebra Lineal. Además la teoría aquí expuesta se aplica aplicaciones del Álgebra Lineal. Además la teoría aquí expuesta se aplica también en las ecuaciones diferenciales. En sistemas dinámicos, en también en las ecuaciones diferenciales. En sistemas dinámicos, en procesos de Markov, en el estudio de curvas y superficies, en la teoría de procesos de Markov, en el estudio de curvas y superficies, en la teoría de gráficas y en muchos otros campos.gráficas y en muchos otros campos.

Una matriz cuadrada Una matriz cuadrada AA se dice se dice diagonalizablediagonalizable si existe si existe una matriz regular una matriz regular PP que cumple que que cumple que::

Es decir, Es decir, AA es semejante a una matriz diagonal. es semejante a una matriz diagonal.

Page 16: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

16

La definición anterior de matriz diagonalizable no resulta La definición anterior de matriz diagonalizable no resulta demasiado útil en la práctica. Una caracterización muy demasiado útil en la práctica. Una caracterización muy interesante de matrices diagonalizables es la siguiente:interesante de matrices diagonalizables es la siguiente:

Una matriz es diagonalizable si Una matriz es diagonalizable si y sólo si existe una base de formada por y sólo si existe una base de formada por vectores propios de la matriz vectores propios de la matriz AA..

Existe un resultado muy cómodo que nos permite justificar Existe un resultado muy cómodo que nos permite justificar de manera muy simple si una matriz cuadrada de manera muy simple si una matriz cuadrada AA es es diagonalizable o no:diagonalizable o no:

A A es diagonalizable si y sólo si se cumplen las es diagonalizable si y sólo si se cumplen las dos condiciones siguientes:dos condiciones siguientes:

kk11 + k + k22 + … + k + … + krr = n = n

ddii = k = kii ; i = 1, 2 , … , r ; i = 1, 2 , … , r

A A es diagonalizable si y sólo si se cumplen las es diagonalizable si y sólo si se cumplen las dos condiciones siguientes:dos condiciones siguientes:

kk11 + k + k22 + … + k + … + krr = n = n

ddii = k = kii ; i = 1, 2 , … , r ; i = 1, 2 , … , r

Page 17: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

17

Las dos condiciones del resultado anterior se pueden Las dos condiciones del resultado anterior se pueden resumir en una única condición, obteniendo el siguiente resumir en una única condición, obteniendo el siguiente resultado:resultado:

A A es diagonalizable si y sólo si :es diagonalizable si y sólo si :

dd11 + d + d22 + … + d + … + drr = n = n

A A es diagonalizable si y sólo si :es diagonalizable si y sólo si :

dd11 + d + d22 + … + d + … + drr = n = n

Del resultado anterior se obtiene fácilmente el Del resultado anterior se obtiene fácilmente el siguiente corolario:siguiente corolario:

Una matriz cuadrada Una matriz cuadrada AA de orden de orden nn con con nn valores propios reales distintos, es valores propios reales distintos, es diagonalizable.diagonalizable.

Una matriz cuadrada Una matriz cuadrada AA de orden de orden nn con con nn valores propios reales distintos, es valores propios reales distintos, es diagonalizable.diagonalizable.

Page 18: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

18

columnas de columnas de PP: : vectores de la base vectores de la base BB de formada por v.p. de de formada por v.p. de AA encontrada enencontrada en 2.-2.-

¿Cómo se diagonaliza una matriz ¿Cómo se diagonaliza una matriz cuadrada A diagonalizable?cuadrada A diagonalizable?

¿Cómo se diagonaliza una matriz ¿Cómo se diagonaliza una matriz cuadrada A diagonalizable?cuadrada A diagonalizable?

1.-1.- Calcular los valores propios de Calcular los valores propios de A indicando sus órdenes. indicando sus órdenes.

2.-2.- Calcular los subespacios propios Calcular los subespacios propios V(V(ii)) y bases y bases BBii de cada de cada

subespacio.subespacio.

3.-3.- Escribir las matrices Escribir las matrices DD y y PP tales que: tales que:

base de formada por v.p. de A.base de formada por v.p. de A.

elementos de la diagonal principal de elementos de la diagonal principal de DD: : valores propios de valores propios de AA

En ordenEn orden

En ordenEn orden

Page 19: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

19

-EJEMPLO.- Diagonalizar la matriz cuadrada Diagonalizar la matriz cuadrada AA

SoluciónSoluciónSabemos que:Sabemos que:

Page 20: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

20

-EJEMPLO.- Hallar una matriz regular Hallar una matriz regular PP tal que: tal que:

SoluciónSolución

Page 21: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

21

Como ya sabemos, el cálculo de las potencias Como ya sabemos, el cálculo de las potencias AAkk puede ser puede ser bastante tedioso. Sin embargo, si bastante tedioso. Sin embargo, si AA es diagonalizable y es diagonalizable y hemos calculado hemos calculado PP y y DD, entonces sabemos que, entonces sabemos que

así que:así que:

Con lo cual, iterando el proceso llegamos a:Con lo cual, iterando el proceso llegamos a:

Como el cálculo de Como el cálculo de DDkk equivale a elevar sólo los elementos equivale a elevar sólo los elementos diagonales de diagonales de DD a la a la kk-ésima potencia, vemos que -ésima potencia, vemos que AAkk es es fácil de obtener. fácil de obtener.

Si sucede que Si sucede que AA es invertible es invertible, entonces , entonces 0 0 no es valor no es valor propio de propio de AA. Por consiguiente . Por consiguiente DD-1-1 existe y existe y

Page 22: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

22

Page 23: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

23

Page 24: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

24

Page 25: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

25

Page 26: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

26

Page 27: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

27

Page 28: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

28

Page 29: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

29

Page 30: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

30

Page 31: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

31

Page 32: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

32

Page 33: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

33

Page 34: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

34

Page 35: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

35

Page 36: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

36

Page 37: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

37

Page 38: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

38

Page 39: 1 Métodos Numéricos VALORES Y VECTORES PROPIOS VALORES Y VECTORES PROPIOS MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES MATRICES CUADRADAS DIAGONALIZABLES METODO

39