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PROBABILITÉSPROBABILITÉS
en 3èmeen 3ème
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1. Pourquoi l’aléatoire au collège ?
2. Le programme de troisième et un bref historique de l’enseignement des probabilités depuis 1970
3. L’approche fréquentiste des probabilités et quelques notions de probabilités
4. Un aperçu des programmes de lycée
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1. Pourquoi l’aléatoire au 1. Pourquoi l’aléatoire au collège ?collège ?
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« Pour permettre au citoyen d’aborder l’incertitude et le hasard dans une perspective rationnelle »
Objectifs :
Familiariser plus tôt les élèves avec cette branche des mathématiques, très utilisée dans de nombreux secteurs professionnels.
Initier une réflexion sur la modélisation et la simulation.
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Car c’est :
Une clé essentielle pour l’analyse et la compréhension des phénomènes incertains.
Un enjeu de citoyenneté : être capable d’avoir un esprit critique face à certaines affirmations des médias.
Un enjeu de société : être en cohérence avec nos voisins européens.
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2. Le programme de 2. Le programme de troisième et un bref troisième et un bref
historique de historique de l’enseignement des l’enseignement des probabilités au lycéeprobabilités au lycée
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Le programme de 3ème a pour objectifs :
de poursuivre la mise en place de paramètres(de position et de dispersion) d'une série statistiqueet d’envisager ainsi la notion de résumé statistique ;
de mettre en pratique sur des exemples simples la notion de probabilité.
Les textes officiels Les textes officiels
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Connaissances
Capacités
1.4. Notion de probabilité
[ Thèmes de convergence]
- Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité.
- Calculer des probabilités dans des contextes familiers.
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Exemples d’activités, commentaires Commentaires spécifiques pour le socle La notion de probabilité est abordée
à partir de situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loteries, urnes). Certaines de ces situations permettent de rencontrer des cas pour lesquels les probabilités ne sont pas définies à partir de considérations intuitives de symétrie ou de comparaison mais sont approximativement évaluées par les fréquences observées expérimentalement (approche fréquentiste des probabilités).
La notion de probabilité est utilisée pour traiter des situations de la vie courante pouvant être modélisées simplement à partir des situations précédentes. Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou à deux épreuves.
Dans le cadre du socle, aucune compétence n’est exigible dans le cas des expériences à deux épreuves.
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L’évolution de l’enseignement des probabilités depuis 1970 L’évolution de l’enseignement des probabilités depuis 1970
1970 -> 1990 : les probabilités sont présentées sous forme axiomatique.Le modèle étudié est fondé sur l’équiprobabilité des événements élémentaires. Cela nécessite l’étude préalable des dénombrements.
En 1986 , la statistique descriptive arrive au collège. Une démarche de mathématisation du réel est initiée : observation schématisation modèle
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En 1990, l’approche fréquentiste de la notion de probabilité apparaît dans les programmes de première.Pour introduire la notion de probabilité, on s’appuiera sur l’étude de séries statistiques obtenues par répétition d’une expérience aléatoire.Pour passer de l’observation de fréquences à la notion de probabilité, il y a nécessité de modéliser.
(La probabilité d’un événement est définie par addition de probabilités d’événements élémentaires.) Le choix du modèle peut être légitimé par des raisons de symétrie. Mais des situations ne relevant pas de l’équiprobabilité peuvent aussi être étudiées et le dénombrement n’est plus forcément nécessaire.
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3. Quelques notions de 3. Quelques notions de probabilitésprobabilités
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Une expérience aléatoire
- est une expérience
- elle peut être décrite par un protocole
et peut êtrerépétée dans les mêmes conditions
- on peut déterminer à l’avance la liste des issues
- on ne peut pas prévoir quelle en sera l’issue au moment où on la réalise.
Expériences aléatoires Expériences aléatoires
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La proportion de boules jaunes dans l’urne est 2/5.Lorsqu’on tire une boule au hasard dans l’urne, on a 2 chances sur 5 d’obtenir une boule jaune.La probabilité d’obtenir une boule jaune est 2/5.
P F
La réalisation d’expériences permet de donner du sens et de « casser » les fausses représentations.
Probabilité d’une issue obtenue par des considérations de symétrie ou de comparaison
Probabilité d’une issue obtenue par des considérations de symétrie ou de comparaison
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Exemple du lancer de punaise
La fréquence de chacune des issues « Tête » ou « Côté » tend à se stabiliser pour un grand nombre de lancers.
On ne peut approcher la probabilité de « Tête » ou celle de « Côté » que par l’expérimentation.
P F
P
G
P F
P
G
Probabilité obtenue par une approche fréquentisteProbabilité obtenue par une approche fréquentiste
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Lorsqu’on répète n fois une expérience aléatoire, la série des résultats obtenus est appelée échantillon de taille n.
Les distributions des fréquences obtenues varient d’un échantillon à l’autre; c’est ce qu’on appelle la fluctuation d’échantillonnage.
L’approche fréquentiste des probabilitésL’approche fréquentiste des probabilités
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La fluctuation d’échantillonnage La fluctuation d’échantillonnage
Formules utilisées : ENT(ALEA()*6)+1 et =NB.SI(A8:A57;"1")
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On observe que la fréquence se stabilise lorsque la taille des échantillons augmente.
Fréquence de "PILE" sur 20 lancers
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 5 10 15 20 25
Nombre de lancers
Fré
qu
ence
Fréquence de "PILE" sur 50 lancers
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
0 10 20 30 40 50 60
Nombre de lancers
Fré
qu
ence
Fréquence de "PILE" sur 100 lancers
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
0 20 40 60 80 100 120
Nombre de lancers
Fré
qu
ence
Fréquence de "PILE" sur 500 lancers
00,10,20,30,40,50,60,70,80,9
1
0 100 200 300 400 500 600
Nombre de lancers
Fré
qu
ence
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Énoncé vulgarisé .Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité p, les distributions des fréquences calculées sur des séries de taille n se rapprochent de p quand n devient grand.
La loi des grands nombres La loi des grands nombres
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Simuler une expérience, c'est choisir un modèle de cette expérience (c'est-à-dire lui associer une loi de probabilité), puis effectuer une autre expérience suivant la même loi (et plus facile à réaliser).
Statistique Probabilité
Simulation
Modélisation
Modélisation et simulation Modélisation et simulation
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P F
P F
Pour chacun des jeux, chacun des deux résultats possibles a une chance sur 2 de se produire.
Ils ont la même probabilité : 1/2
Exemple de simulation Exemple de simulation
On peut simuler l’une des expériences à l’aide de l’autre, ou à l’aide d’un tableur en utilisant la formule : =SI(ALEA()<0.5,”P”,”F”).
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On dispose :- d’une part, d’un dé ayant une face rouge,
deux faces noires et trois faces vertes
- d’autre part, d’une pièce de monnaie.
Les deux sont bien équilibrés. On lance le dé puis la pièce.
1. Écrire tous les résultats possibles.2. Déterminer la probabilité d’obtenir Vert et Pile.
Un exemple d’expérience à deux épreuvesUn exemple d’expérience à deux épreuves
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Présentation des résultats à l’aide d’un arbre
La probabilité d’obtenir (V;P) est 3/12 soit 1/4
R
V2
V1
N2
N1
V3
P
P
P
P
P
P
F
F
F
F
F
F
(R;P)
(N2;F)
(V1;P)
(V1;F)
(V2;F)
(V3;F)
(R;F) (N1;P)
(N1;F) (N2;P)
(V2;P)
(V3;P)
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On peut également présenter les résultats sous forme d’arbre pondéré.
R
V
N
P
P
P
F
F
F
1/6
2/6
3/6
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
1/2
Au premier niveau, chaque branche est pondérée par la probabilité de l'événement correspondant.
Un chemin représente l'intersection des événements qui le composent.
Le poids d'une branche secondaire est la probabilité conditionnelle de l'événement qui se trouve à son extrémité sachant que l'événement situé à son origine est réalisé.
Ainsi, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités figurant sur ses branches.
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4. Les programmes 4. Les programmes actuels au lycéeactuels au lycée
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Dans les programmes de seconde de 2000, la Dans les programmes de seconde de 2000, la statistique descriptivestatistique descriptive opère une synthèse de opère une synthèse de ce qui a été étudié en collège (représentations, ce qui a été étudié en collège (représentations, médiane, étendue), en approfondissant les médiane, étendue), en approfondissant les propriétés de la moyenne.propriétés de la moyenne.
Le programme actuel en Le programme actuel en secondesecondeLe programme actuel en Le programme actuel en secondeseconde
En statistique inférentielle, la population n’est plus étudiée pour elle-même, mais considérée comme un échantillon d’une population plus grande. Les séries statistiques étudiées sont obtenues par répétition d’une expérience aléatoire. On travaille sur la distribution des fréquences, simulation et fluctuation d’échantillonnage.
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Un exemple de travail sur la Un exemple de travail sur la simulationsimulationUn exemple de travail sur la Un exemple de travail sur la simulationsimulation
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Les programmes en premièreLes programmes en premièreLes programmes en premièreLes programmes en première
En statistique, les paramètres de dispersion (écart type et écart interquartile) sont introduits.
L’étude de séries de données (en particulier chronologiques) est approfondie en ES. Le lien entre arbre et tableau à double entrée y est effectué.
La notion de probabilité est introduite ; le lien avec la distribution des fréquences est éclairé par un énoncé vulgarisé de la loi des grands nombres.
En S, des expériences aléatoires de référence étant modélisées, on peut simuler des lois de probabilités simples.
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La probabilité d’un événement est égale à la somme des probabilités des issues qui les composent, de la même manière que pour la fréquence.
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Les programmes en terminaleLes programmes en terminaleLes programmes en terminaleLes programmes en terminale
En ES, l’ajustement affine de séries statistiques à deux variables est effectué.
Le problème de l’adéquation à une loi équirépartie est posé.
La définition de la probabilité conditionnelle de B sachant A est justifiée par des calculs fréquentiels. La notion d’indépendance permet de modéliser des expériences indépendantes, en particulier la répétition des expériences de référence vues en première.
Des exemples de lois discrètes (en S et ES) et continues (en S) sont abordés.
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Lien entre fréquences et Lien entre fréquences et probabilités conditionnellesprobabilités conditionnellesLien entre fréquences et Lien entre fréquences et probabilités conditionnellesprobabilités conditionnelles
Une enquête de marketing portant sur le choix entre deux abonnements A et B lors de l’achat d’un téléphone portable et le statut de l’acheteur (salarié ou non salarié) a conduit au recueil des données de 9321 nouveaux acheteurs, consignées dans le tableau suivant:
EffectifsEffectifs A B Total
Salarié 4 956 1 835 6 7916 791
Non salarié 1 862 668 2 5302 530
Total 6 8186 818 2 5032 503 9 321
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Fréquences Fréquences
conditionnellesconditionnellesA B Total
Salarié 0,7270,727 0,7330,733 0,7290,729
Non salarié 0,2730,273 0,2670,267 0,2710,271
Total 11 11 11
NotationNotation : f A (S) = 0,727
NS
NS
A
B
S
S
f f ((AA))
f f ((BB))
ffAA((NSNS))
ffAA((SS))
ffBB((NSNS))
ffBB((SS))
et
A
SASA
fff
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Nouvelle forme de pensée à acquérir.
Favoriser la démarche par l’expérience, laisser du temps,effectuer des allers-retours entre expérience et modèle.
Fil rouge tout au long de l’année, qui permet de réinvestir d’autres notions, en particulier de statistique.
ConclusionConclusionConclusionConclusion
