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1 Probabilités (Probability) • Définitions Définition classique Une expérience est dite aléatoire (random experiment-random trial) lorsqu'on ne peut pas en prévoir exactement les résultats du fait que tous les facteurs qui déterminent ce résultat ne sont pas maîtrisés ou contrôlés. Un événement aléatoire est un événement qui peut ou ne pas se réaliser au cours d'une expérience aléatoire. Exemple : expérience aléatoire "traverser la route" - événement aléatoire "se faire écraser". • Si m résultats peuvent se produire avec des chances égales et si k résultats correspondent à la réalisation de l'événement, la probabilité de l'événement est le rapport k/m : nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles. Par exemple dans un jeu de 52 cartes on a 13 coeurs, si toutes les cartes ont des chances égales d'être tirées, la probabilité d'extraire un cœur est 13/52 = 0,25.

1 Probabilités (Probability) Définitions –Définition classique Une expérience est dite aléatoire (random experiment-random trial) lorsqu'on ne peut pas

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Probabilités (Probability)

• Définitions– Définition classique

• Une expérience est dite aléatoire (random experiment-random trial) lorsqu'on ne peut pas en prévoir exactement les résultats du fait que tous les facteurs qui déterminent ce résultat ne sont pas maîtrisés ou contrôlés.

• Un événement aléatoire est un événement qui peut ou ne pas se réaliser au cours d'une expérience aléatoire.

• Exemple : expérience aléatoire "traverser la route" - événement aléatoire "se faire écraser".

• Si m résultats peuvent se produire avec des chances égales et si k résultats correspondent à la réalisation de l'événement, la probabilité de l'événement est le rapport k/m : nombre de cas favorables sur nombre de cas possibles.

• Par exemple dans un jeu de 52 cartes on a 13 coeurs, si toutes les cartes ont des chances égales d'être tirées, la probabilité d'extraire un cœur est 13/52 = 0,25.

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Probabilités

• Définitions– Définition fréquentielle

• Si une expérience a été répétée un grand nombre de fois dans des conditions uniformes, on constate généralement que la fréquence relative d'un événement (fi) se stabilise. Ce phénomène est connu sous le nom de régularité statistique. Ce nombre fixe est par définition la probabilité mathématique de l'événement considéré.

• La probabilité ainsi définie est une forme idéalisée de la fréquence relative. Une estimation pragmatique de la probabilité d’un événement est fournie par la fréquence relative, la précision de cette estimation peut être fournie par son intervalle de confiance pour un risque donné. Dans de nombreux cas la probabilité peut être modélisée par une loi.

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n ni fi n ni fi n ni fi1 00,000 60 290,483 1200 5960,4972 00,000 70 320,457 1400 7040,5033 00,000 80 350,438 1600 8100,5064 10,250 90 400,444 1800 9180,5105 20,400 100 440,440 2000 10130,5066 30,500 120 530,442 2500 12720,5097 30,429 140 650,464 3000 15100,5038 40,500 160 740,462 3500 17720,5069 40,444 180 860,478 4000 20290,50710 40,400 200 980,490 4500 22930,51012 60,500 250 1250,500 5000 25330,50714 80,571 300 1460,487 6000 30090,50216 90,562 350 1730,494 7000 35160,50218 100,556 400 1990,498 8000 40340,50420 100,500 450 2260,502 9000 45380,50425 130,520 500 2550,510 10000 50670,50730 170,567 600 3120,52035 180,514 700 3680,52640 210,525 800 4130,51645 220,489 900 4580,50950 250,500 1000 5020,502

Exemple :

• Kerrich 1946 – a réalisé 10 000 jets d'une pièce de monnaie – a observé l'apparition de <<face>>. Après

chaque jet, – il a déterminé la fréquence absolue et relative

de l'événement.

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4

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

1

10 000

Log(n)

fi

Représentation graphique

• Expérience du jet de pièce

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Axiomes de base

• Axiomes élémentaires– 0 < P(A) < 1– P(A) = 1 événement toujours réalisé– P(A) = 0 événement impossible

• Evénements mutuellement exclusifs– Les événements A et B ne peuvent se

produire simultanément. Pour tous couples (A,B) l'ensemble A* B est vide.

• P(A ou B) = P(A + B) = P(A U B)

= P(A) + P(B)• Exemple probabilité d'extraire un cœur ou un

carreau = P(Cœur ou Carreau)

= 0,25 + 0,25 = 0,5.• Généralisation P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C)

– Si 2 événements sont mutuellement exclusifs (mort-vivant) • on a P(A)+P(B) = 1 => P(A) = 1-P(B). • La probabilité de survie à un moment

donné est égale à 1 moins la probabilité de décéder à ce moment.

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Evénements non nécessairement exclusifs :

• Les événements peuvent se produire simultanément exemple « avoir un infarctus du myocarde », « être diabétique ».

• P(A ou B) = P(B ou A) = P(A) + P(B) - P(A et

B)• Ceci se déduit des relations :

P(A ou B) = P(A sans B) + P(B sans A) + P(A et B)P(A sans B) = P(A) - P(A et B)P(B sans A) = P(B) - P(A et B)

• En conclusion– P(A ou B) < P(A) + P(B)– P(A ou B ou C) = P(A) + P(B) + P(C) -

P(A et B) - P(B et C) - P(A et C) + P(A et B et C)

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Malades Non Malades Tot.

(A+) (A-)

Test Positif 80 20 100

(B+) VP FP

Test Négatif 40 160 200

(B-) FN VN

Tot. 120 180 300

P(A+/B+) = P(A+ et B+) / P(B+)

P(A+ et B+) = P(A+/B+)*P(B+)

= P(B+/A+)*P(A+)

Probabilités conditionnelles

• Soit deux événements non exclusifs A et B : – par exemple avoir un signe clinique (douleur de la fosse

iliaque droite) et avoir une maladie (avoir une appendicite)

• Soit une expérience pouvant conduire à la réalisation ou non de A et B, à l'issue de N répétitions de l'expérience on a le tableau suivant :

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Prévalence = fréquence de la maladie = P( A+) = 120 / 300

P(A-) = 1 - P(A) = Fréquence des Non Malades.

Attention ceci nécessite un échantillon représentatif. La prévalence ne peut pas être estimée dans une étude cas/témoins

Sensibilité = fréquence des tests positifs chez les malades = = P(B+/A+) = P(A+ et B+) / P(A+) = 80 / 120 = 0,66

Spécificité = fréquence des test négatifs chez les non malades

= P(B-/A-) = P(A- et B-) / P(A-)= 160 / 180 = 0,88

Malades Non Malades Tot.

(A+) (A-)

Test Pos. 80 20 100

(B+)

Test Nég. 40 160 200

(B-)

Tot. 120 180 300

Probabilités Conditionnelles (Suite)

• Prévalence• Sensibilité, Spécificité

L’étude porte sur un échantillon représentatif

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Valeur prédictive positive (VPP) = Probabilité d’être malade si le test est positif =

P(A+/B+) = P(A+ et B+) / P(B+) = 80 / 100 = VPP

Valeur prédictive négative (VPN) = Probabilité de ne pas être malade si le test est négatif =

P(A-/B-) = P(A- et B-) / P(B-) = 160 / 200 = VPN

Malades Non Malades Tot.

(A+) (A-)

Test Pos. 80 20 100(B+)

Test Nég. 40 160 200(B-)

Tot. 120 180 300

Probabilités Conditionnelles (Suite)

• Valeur Prédictive Positive VPP, Valeur Prédictive Négative VPN

L’étude porte sur un échantillon représentatif

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Malade

Non Malade

Prévalence

1 - Prévalence

Test Positif

Test Positif

Test Négatif

Test Négatif

Sensibilité

1 - Sensibilité

1 - Spécificité

Spécificité

Sensibilité, Spécificité, Valeurs Prédictives

• Les caractéristiques intrinsèques du test :– Sensibilité = Probabilité d'observer un test

positif chez les malades– Spécificité = Probabilité d'observer un test

négatif chez les non malades

• Les éléments de décision pour le médecin : – VPP (valeur prédictive positive) = Probabilité

d'être malade quand on a un test positif– VPN (valeur prédictive négative) = Probabilité

de ne pas être malade quand le test est négatif– VPP et VPN dépendent des caractéristiques intrinsèques du

test (sensibilité et spécificité) et de la prévalence de la maladie => Le même test diagnostique du paludisme ne donnera pas les mêmes VPP et VPN en France et en Afrique du fait de prévalences fort différentes .

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Valeur

de la glycémie

Nombre de sujets

1 g/l

Sujets non diabétiques

Sujets diabétiques

2,1 g/l

Limite L de la glycémie au-delà de laquelle on dit le test positif

P(T- / M+) =1- P(T+/M+)

P(T+ / M-) =1- P(T-/M-)

Remarques sur la sensibilité et la spécificité

• Si le résultat du test biologique ou du signe clinique est qualitatif (douleur de la fosse iliaque droite - appendicite), on prend les pourcentages.

• Si le résultat du test biologique ou du signe clinique est une variable quantitative (glycémie - diabète; tension artérielle systolique - hypertension ...), la sensibilité et la spécificité vont dépendre du seuil que l'on choisit pour dire que le test est positif ou négatif. Ceci conduit à la courbe de ROC.

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Courbe de ROC

• Initialement réalisée pour les radars

1-spécificité

Sensibilité1

1

Pour chaque valeur de la limite L du critère quantitatif, on a une valeur de la sensibilité et de la spécificité. On obtient ainsi 1 point de la courbe. En faisant varier la limite L on obtient d’autres points. La courbe joignant les points est la courbe de ROCLes valeurs de sensibilité et spécificité en fonction de L peuvent être obtenues par l’observation ou par la modélisation du phénomène par une loi de probabilité

0

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Probabilités conditionnelles et

indépendance

• L'événement A est dit indépendant de B si la probabilité de voir se réaliser A ne dépend pas de la réalisation ou de la non réalisation de B.– P(A/B) = P(A/non B) = P(A)

• Si, et seulement si, A et B sont indépendants, on a : – P(A et B) = P(A) * P(B)

• Exemple de phénomènes a priori indépendants : – Etat des pneus de la voiture et pluie.

• Exemple de phénomènes a priori liés : – Etat des pneus de la voiture et accident.

• Hypothèse nulle du Khi 2 = indépendance. C'est sous cette hypothèse que sont calculés les effectifs théoriques.

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Application à la reproductibilité entre juge

• Kappa– On a deux juges A et B qui jugent le même

sujet. Par exemple deux médecins qui examinent les mêmes patients et qui jugent de l ’opportunité d’une intervention chirurgicale.

– On obtient le tableau

Médecin A Oui Non Total

Oui 10 20 30

Non 5 45 50

Total 15 65 80

Méd

ecin

B

Concordance observée Po = (10+45)/80= 0,6875

Si il y a indépendance on devrait avoir :Oui-Oui = 15*30/80 = 5,625Non-Non = 65*50/80 = 40,625

Concordance théorique Pth = 46,25/80 = 0,578

Kappa = (0,6875-0,578125)/(1-0,578125) = 0,259Concordance bonne si Kappa > +0,6

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Jour Exposés DCD PDV P(DCD) P(Viv.) Pcum(Viv)

0 100 0 0 0 1 1

1 100 3 0 0,03 0,97 1*0,97

6 97 2 0 2/97=0,0206 0,9794 0,97*0,9794

= 0,95002

7 95 0 3 0 1 0,95002

10 92 … … … … …

Jour = délai en jours entre l'entrée dans l'étude et la survenue de

l'événement.

Exposés = nombre de personnes exposées au risque au jour j

DCD = Nombre de décès (événements) constatés au jour J

PDV = Nombre de perdus de vue au jour J

P(DCD) = probabilité de mourir au jour J (Nombre de décès parmi les exposés au jour j)

P(Viv) = Probabilité au jour j d'être en vie = 1-P(DCD)

Pcum(Viv) = Probabilité cumulée de survie au jour J = Probabilité d'être en vie au jour J0 et J1 … et Jn.

Application à la survie

• Soit les événements Morts-Vivants– P(Vivant) = 1 - P(Mort)– Être vivant au jour J+1 est indépendant d'être vivant au jour J. Donc

la probabilité d'être vivant au jour J et au jour J+1 est égale au produit des probabilités d'être vivant au jour J et J+1.

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P(T/M) =P(T et M)

P(M)

P(M) connu

connu

P(nonT / nonM) =P( non T et Non M)

P( non M) connu

P(M/T) =P(T et M)

P(T)=

P(T/M) * P(M)

P(T)

P(T) = P(T/M) * P(M) + P(T/ non M) * P( non M)

= P(T/M) * P(M) + (1 - P(non T/ non M))*(1 - P(M))

P( non M) = 1 - P(M)

P(T / non M) = 1 - P(T/ non M)

d'où :

P(M/T) =

P(T/M) * P(M)

P(T/M) * P(M) + (1 - P(non T/ non M))*(1 - P(M))

Probabilités Conditionnelles :

Théorème de Bayes• Soit un test dont on connaît la sensibilité et la

spécificité et une maladie dont on connaît la prévalence. A partir de ces éléments, calculez les valeurs prédictives.

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Malade

Non Malade

Prévalence

1 - Prévalence

Test Positif

Test Positif

Test Négatif

Test Négatif

Sensibilité

1 - Sensibilité

1 - Spécificité

Spécificité

Application en médecine : Aide au diagnostic ou à la thérapeutique. (Flamant douleurs abdominales; Sultan diagnostic des anémies....)

Probabilités Conditionnelles :

Théorème de Bayes

• Utilisation de l'arbre

)1(*)1()*(

*

éspécificitprévalencesensibiltéprévalence

ésensibilitprévalenceVPP

)1(*)()(*)1(

)(*)1(

sensibiltéprévalenceéspécificitprévalence

éspécificitprévalenceVPN

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Valeurs prédictives : influence de la prévalence

• Le paludisme a une prévalence de 90% en Afrique et de 0,001 en France. Un test biologique est utilisé pour le diagnostic avec une sensibilité de 95% et une spécificité de 85%. Quelles seront les probabilités pour des patients Africain et Français d’avoir le paludisme quand le test est positif et inversement de ne par avoir la maladie quand le test est négatif ?

9999,0))95,01(*001,0(85,0*)001,01(

85,0*)001,01(

654,0))95,01(*9,0(85,0*)9,01(

85,0*)9,01(

006,0)85,01(*)001,01(95,0*001,0

95,0*001,0

983,0)85,01(*)9,01(95,0*9,0

95,0*9,0

VPNFrance

AfriqueVPN

VPPFrance

VPPAfrique

Conclusion : si le test est positif en Afrique, on est quasiment certain que le patient a le paludisme alors qu’en France on ne peut rien conclure. Par contre si le test est négatif, on est quasiment certain qu’en France le patient n’a pas de palu alors qu’en Afrique on ne peut rien dire. => Attention au transfert d’expérience.

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Variables aléatoires et distributions théoriques

• Variable aléatoire et distributions discontinues à une dimension– Une variable aléatoire (random

variate) X est une variable associée à une expérience ou à un groupe d'expériences aléatoires et servant à caractériser le résultat.

– Exemple, variable aléatoire X correspondant à la naissance d'un garçon lors d'une grossesse, jet d'une pièce de monnaie, jet de dés....

– A chaque valeur que peut prendre la variable aléatoire (garçon/fille, pile/face, nombre de 1 à 6....) correspond une probabilité P(X=garçon), P(X=fille) ou encore P(garçon)...

– On note P(X=x) = Px = P(x).

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Variables aléatoires et distributions théoriques

• Variable aléatoire et distributions discontinues à une dimension– L'ensemble des couples [valeurs

admissibles – probabilité correspondante] constitue la distribution de probabilité.

– La relation existant entre x et P(x) est appelée loi de probabilité tandis que la distribution cumulée des probabilités donne naissance à la fonction de répartition.

– 1pP(x) = 1 (p = nombre de valeurs admissibles)

– La somme des probabilités de tous les événements possibles vaut 1

– F(x) = P(X<x)– 0<F(x)<1– Si X ne peut prendre que des valeurs

positives ou nulles (jet de dés…) F(x) = 0 pour tout x < 0 et F(infini) =1

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Distribution de probabilité du jet d'un dé parfait

• Le résultat du jet d'un dé peut être caractérisé par une VA X dont les valeurs 1 à 6 sont associées à chacune des faces. Pour un dé parfait, une probabilité de 1/6 peut être associée à chacune de ces valeurs.

x P(x) F(x)1 1/6 0/62 1/6 1/63 1/6 2/64 1/6 3/65 1/6 4/66 1/6 5/6

1 6/6

1 2 3 4 5 6

0

1F(x)

x

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VA et distributions continues à une

dimension• Si une VA peut prendre n'importe quelle valeur réelle

appartenant à un intervalle donné par exemple de moins l'infini à plus l'infini, elle est dite continue.

• Par exemple le poids d'un individu est une variable continue ne pouvant prendre que des valeurs réelles positives.

• P(X=68) = 1/ infini => tend vers 0• On peut, dans certains cas, déterminer la probabilité

d'observer une valeur comprise dans l'intervalle x + x. Cette probabilité, en général, tend vers zéro quand x devient petit. La probabilité d'obtenir exactement un résultat donné est généralement considérée comme nulle, bien que cet événement ne soit pas strictement impossible.

• La notion de distribution de probabilité n'a pas de sens.

• Par contre la fonction de réparation F(x) permet de caractériser complètement la loi de probabilité.

• P(x < X < x+ x) = F(x+ x) - F(x)• Si F(x) est dérivable, la fonction f(x) est appelée

fonction de densité de probabilité (probability density fonction, frequency function).

• Le produit f(x) * dx est appelé élément de probabilité (probability element) et joue, pour les variables continues, le même rôle que les probabilités Px pour les variables discontinues.

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f(x) dx = P(x < X < x + dx)

F(x) = f(x)dx-

x

P(a < X < b) = F(b) - F(a) = f(x)dxa

b

f(x)

F(x)

VA et distributions continues à

une dimension (suite)

• Propriétés

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VA et distributions continues à

une dimension (suite)

• L'histogramme normé, quand n est grand, le nombre de classes très élevé, l'amplitude de classe faible tend à se rapprocher d'une ligne régulière dont l'équation correspond à f(x) la fonction de densité de probabilité.

• Dans les mêmes conditions, le polygone des fréquences relatives cumulées tend à se rapprocher d'une ligne régulière dont l'équation est la fonction répartition F(x).

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0 0,5 1

1

0,5

0

F(x)

x

Loi uniforme

• Soit un segment de droite donné sur lequel on choisit un point au hasard. La probabilité que le point se trouve dans tout intervalle donné de ce segment est proportionnelle à la longueur de cet intervalle.

• Le choix d'un tel point est équivalent au choix d'un nombre quelconque dans l'intervalle (0,1). La probabilité de choisir un nombre compris dans un sous intervalle ( 0,2 par exemple) est différente de 0 et est indépendante de la position de cet intervalle sur le segment.

• Dans ces conditions on a :

– F(x) = 0 si x < 0– F(x) = x si 0 < x < 1– F(x) = 1 si x > 1

• La distribution uniforme continue correspond au

temps d'attente entre un instant quelconque et la première réalisation d'un événement qui se réalise de façon régulière à intervalle constant. (feux circulation à périodicité constante et arrivée aléatoire des véhicules)

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Espérance mathématique

• Espérance mathématique (expression venant de la théorie des jeux = valeur attendue = valeur moyenne) d'une variable aléatoire X :

• VA discontinue

• VA continue

infini

0

)()(x

xxPXE

infini

infini)()( dxxfxxE

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Espérance mathématique

– Joue un rôle analogue pour les distributions théoriques à celui de la moyenne arithmétique pour les distributions observées.

– Propriétés :• E( a + b*X) = a + b*E(X)• Soit X et Y deux VA indépendantes

ou non (résultats du jets de 2 dés Z -somme des résultats- = X+Y); on a : E(X ± Y) = E(X) ± E(Y)

• Soit X et Y deux VA indépendantes; on a : E(X * Y) = E(X) *E(Y)

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• Moyenne = Espérance mathématique = m• Médiane est la valeur telle que F(médiane) = 0,5• Mode = valeur correspondant au maximum de la

probabilité ou de la densité de probabilité. Si distribution symétrique unimodale alors Mode = Médiane = Moyenne.

• Moments centrés d'ordre k

– Moment k = E( X - )– Variance = moment centré d'ordre 2 – écart type = racine carrée de la variance– Coefficient de variation = écart type / moyenne

• Variable centrée réduite :– Soit

Y =

– Y a comme écart type 1 et comme moyenne 0. Elle est dite variable centrée réduite (standardized variable)

• Y = a + b X => Var(Y) = b2 Var(X)• Si X et Y sont indépendantes :

– Variance (X + Y) = Var (X - Y) = Var(X) + Var(Y)

k

X -

Paramètres des distributions théoriques

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P( | X - m | > k * ) = P( | X - m |

> k) < 1

k2

Inégalité de Bienaymé - Tchebychev

• Propriété de l'écart type qui permet de donner une interprétation générale

• Quelle que soit la distribution de la variable X de moyenne m et d'écart type , et quelle que soit la quantité positive k, on démontre que la probabilité d'être à l'extérieur de l'intervalle m + k * est inférieure à 1/k2.

• Ainsi, il y a au plus 25% des individus qui ont des valeurs supérieures à la moyenne + 2 écarts type ou inférieures à la moyenne - 2 écarts type (qui sont à l’extérieur de l’intervalle m + k * )

• Si la loi de probabilité du phénomène est connue, cette proportion est plus faible.