1 Propagation 3MNT 1. Propagation des OEM dans le vide 2. Polarisation des OEM 3. Propagation des OEM dans les milieux matériels 4. Réflexion et réfraction

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1

Propagation 3MNT

1. Propagation des OEM dans le vide2. Polarisation des OEM3. Propagation des OEM dans les milieux

matériels4. Réflexion et réfraction des OEM5. Propagation guidée des OEM

OEM : Ondes électromagnétiques

Plan du cours sur le semestre

2

IntroductionIntroduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide 2 - Equations de propagation du champ électromagnétique

dans le vide 3 - Onde plane dans le vide 4 - Onde plane progressive monochromatique 5 - Notation complexe des OEM 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide

Propagation des OEM dans le vide

Chapitre 1

Bloc 1

3

Introduction

Généralités OEM : fin XIXème : Hertz, Maxwell, Michelson…

Caractéristiques des OEM : Absence de support matériel pour la propagation Invariance de la vitesse de propagation (référentiel galiléen)

Hypothèses des OEM étudiées dans ce chapitre 1 :

Dans le vide Milieu illimité

4

Relation entre la longueur d’onde et la fréquence f ?

C : célérité des OEM dans le vide illimité C = 3,00 10C = 3,00 1088 m.s m.s-1-1

cTfc

Introduction

5

Visible

400 ; 800 nm

Spectre électromagnétique

6

Introduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide1 - Equations de Maxwell dans le vide

1- Rappels sur les opérateurs1- Rappels sur les opérateurs 2- Expression des équations de Maxwell

2 - Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide

3 - Onde plane dans le vide 4 - Onde plane progressive monochromatique 5 - Notation complexe des OEM 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide

Propagation des OEM dans le videCh. 1

7

4 opérateurs principaux :

• gradient

• divergence

• rotationnel

• laplacien

1 - Rappels sur les opérateurs

1 – Equations de Maxwell dans le vide

8

Opérateur gradient

L ’opérateur s ’applique sur un L ’opérateur s ’applique sur un scalairescalaire est un est un vecteurvecteur Il traduit la variation d ’une grandeur dans Il traduit la variation d ’une grandeur dans

l ’espacel ’espace Il est orienté dans la direction et le sens de la Il est orienté dans la direction et le sens de la

plus forte variation croissante de cette plus forte variation croissante de cette grandeurgrandeur

Il est lié à la différentielle de f , quelque soit le Il est lié à la différentielle de f , quelque soit le système de coordonnées, par :système de coordonnées, par :

Il est toujours orthogonal aux surfaces sur Il est toujours orthogonal aux surfaces sur lesquelles f est constantelesquelles f est constante

fgrad

grad

M0d.fgraddf

9

Exercice 1

Exprimer le champ électrique E au point M situé entre les armatures d’un condensateur plan en fonction de la différence de potentiel appliquée sur les armatures

V1 V2

V1 > V2

. M

10

V1 V2

V1 > V2

E

Grad V

xx1 x2

)xx(EVV 1221

Voir corrigé : document démonstrations bloc 1

Exercice 1

11

Ses composantes en coordonnées cartésiennes sont :Ses composantes en coordonnées cartésiennes sont :

zf

yfxf

fgrad

Opérateur gradient

12

Opérateur gradient

Ses composantes en coordonnées sphériques Ses composantes en coordonnées sphériques ??

13

y

x

z

0

M

z

A

Coordonnées sphériques ?...

Coordonnées sphériques du point M (r, , )

Base vectorielle :

er

e

e

Projection de M dans le

plan équatorial

r = 0M

= 0A

Animation 3D

Tangent au méridien

passant par M

e,e,er

14

Opérateur gradient en coordonnées sphériques

Cette expression n’est pas à savoir…

15

Exercice 2

En coordonnées sphériques, le vecteur A donné ci-dessous dérive-t-il d’un potentiel ?

Si oui, l’exprimer sous la forme et déterminer la grandeur scalaire f .

rn er.A

fgradA

n et sont positifs

16

Aide pour l’exercice 2 …

La grandeur scalaire f existe-t-elle ? Si oui, de quelle(s) variable(s) dépend-t-elle ?

Ecrire l’égalité vectorielle en coordonnées sphériques…. Et résoudre l’équation…

rn er.A

A chercher pour la prochaine séance d’exercices…Vérifier le résultat dans le document des résultats des exercices.

17

Opérateur qui s ’applique sur un vecteurOpérateur qui s ’applique sur un vecteur

est un scalaireest un scalaire Vdiv

En coordonnées cartésiennes :En coordonnées cartésiennes :

zV

y

V

xV

Vdiv zyx

V.gradVdiv

Opérateur divergence

Produit scalaire de l’opérateur vectoriel

gradient et du vecteur V

18

Opérateur divergence

Son expression en coordonnées sphériques ?Son expression en coordonnées sphériques ?


19

y

x

z

0

M

z

A

Coordonnées sphériques

er

> 0

n > 1

rn er.A

En coordonnées sphériques, calculer div A

Exercice 3


20

Opérateur dont l’existence est liée au Opérateur dont l’existence est liée au flux flux par par l’intermédiaire du théorème de l’intermédiaire du théorème de Green-Ostrogradski Green-Ostrogradski

Le flux du champ à travers une surface Le flux du champ à travers une surface ferméefermée S S est égal à l’intégrale triple de dans le volume est égal à l’intégrale triple de dans le volume délimité par Sdélimité par S

En savoir plus sur …l’opérateur divergence

BBdiv

VVolumeSferméeSurface

d.Bdivds.B

Flux de B à travers S

21

Théorème de Green-Ostrogradski

VVolumeSferméeSurface

d.Bdivds.B

B

B = 0 à l’extérieur du solénoïde

Volume V du cylindre

Surface S fermée : enveloppe du cylindre (paroi cylindrique+2 faces

horizontales)

Exemple : champ magnétique constant régnant dans un solénoïde

Surface fermée ?

22

y

x

z

0

M

z

A


er

> 0

n > 1

rn er.A

Exprimer le flux de A à travers une sphère de rayon R, centrée en O.

Calculer sa divergence dans le volume V de la sphère.

Vérifier le résultat en utilisant le théorème de Green – Ostrogradski

Exercice 4


23

L ’opérateur s ’applique à un vecteurL ’opérateur s ’applique à un vecteur

C ’est le produit vectoriel de l ’opérateur gradient C ’est le produit vectoriel de l ’opérateur gradient avec le vecteuravec le vecteur

est un vecteurest un vecteur

VgradVrot

Vrot

rot

est toujours orthogonal au vecteurest toujours orthogonal au vecteurVrot V

Opérateur rotationnel

24


Expression en coordonnées cartésiennes :Expression en coordonnées cartésiennes :

VgradVrot Exprimer le produit vectoriel ….

25


Son expression en coordonnées cartésiennes est :Son expression en coordonnées cartésiennes est :

xy

zx

yz

Vy

Vx

Vx

Vz

Vz

Vy

Vrot

VgradVrot

26


Son expression en coordonnées sphériques ?Son expression en coordonnées sphériques ?


27

Coordonnées cylindriques de M (r, , z)

Base vectorielle :

y

x

z

0

M

z

A er

r=0A

e

animation 3 D cyl...

zr e,e,e

Coordonnées cylindriques

Ne pas confondre r et

28


Son expression en coordonnées Son expression en coordonnées cylindriques ?cylindriques ?


29

> 0

n > 1

er.B n

Exprimer le rotationnel de B en coordonnées cylindriques.

y

x

z

0

M

z

A er

r=0A

e

Exercice 5


30

Son existence est liée à la Son existence est liée à la circulationcirculation du vecteur par du vecteur par l ’intermédiaire du théorème del ’intermédiaire du théorème de StokesStokes

La circulation du vecteur sur une courbe fermée La circulation du vecteur sur une courbe fermée CC est égale au flux de son rotationnel à travers n ’importe est égale au flux de son rotationnel à travers n ’importe quelle surface quelle surface SS s ’appuyant sur s ’appuyant sur CC

V

En savoir plus sur …l’opérateur rotationnel

ds.VrotM0d.VC S

Circulation du vecteur V le long de la courbe

C

Flux du rotationnel de V à travers S

31

Théorème de Stokes

ds.VrotM0d.VC S

Vrot

Circonférence C entourant le

disque de surface S

Disque de surface S

V

32

> 0

n > 1

er.B n

Déterminer la circulation de B sur un cercle de rayon R, d’axe (O,z).

y

x

z

0

M

z

A

Coordonnées cylindriques

er

r=0A

e

Exercice 6


33

Laplacien scalaire

Il s ’applique sur un Il s ’applique sur un scalairescalaire f f

Le laplacien de f (noté Le laplacien de f (noté f) est un f) est un scalairescalaire

f est la divergence du gradient de ff est la divergence du gradient de f

zf

yfxf

fgrad

)fgrad(divf Expression en coordonnées cartésiennes :Expression en coordonnées cartésiennes :

)zf

(z

)yf

(y

)xf

(x

f

²zf²

²yf²

²xf²

f

zV

y

V

xV

Vdiv zyx

34

Expression en coordonnées sphériques

Laplacien scalaire


35

y

x

z

0

M

z

A


er

Calculer (r n)

Exercice 7


36

Il s’applique sur un Il s’applique sur un vecteurvecteur

Le laplacien vectoriel de (noté )Le laplacien vectoriel de (noté ) est est un un vecteurvecteur

Ses composantes sont les laplaciens scalaires Ses composantes sont les laplaciens scalaires des composantes dedes composantes de

Laplacien vectoriel

V

V

V

37

Laplacien vectoriel

zzzz

yyyy

xxxx

V²z²

V²y²

V²x²

V

V²z²

V²y²

V²x²

V

V²z²

V²y²

V²x²

V

V

Expression en coordonnées cartésiennes :Expression en coordonnées cartésiennes :

V².gradV

38

Quelques relations importantes :

0)Vrot(div

0)fgrad(rot

V)Vdiv(grad)Vrot(rot

frot.ggrot.f)fg(div

Pour information : Document avec les principales relations sur dans les documents déposés sur la plateforme

39

Introduction 1 - Equations de Maxwell dans le vide1 - Equations de Maxwell dans le vide

1 – 1 – Rappels sur les opérateurs 2 – Expression des équations de Maxwell2 – Expression des équations de Maxwell

2 - Equations de propagation du champ électromagnétique dans le vide

3 - Onde plane dans le vide 4 - Onde plane progressive monochromatique 5 - Notation complexe des OEM 6 - Energie associée à une OPPM dans le vide

Propagation des OEM dans le vide

Chapitre 1

40

Dans le vide, le champ Dans le vide, le champ électromagnétiqueélectromagnétique est est décrit par le champ décrit par le champ électrique électrique et le champ et le champ magnétiquemagnétique

Dans le vide, il n ’y a ni charges, ni courantsDans le vide, il n ’y a ni charges, ni courants

Les constantes caractéristiques du vide sont :Les constantes caractéristiques du vide sont : sa sa permittivité diélectriquepermittivité diélectrique sa sa perméabilité magnétiqueperméabilité magnétique

19o m.F

10361

17o m.H104

2 - Expression des équations de Maxwell


41

4 équations postulées par Maxwell en 18644 équations postulées par Maxwell en 1864

2 équations dites 2 équations dites « structurelles « structurelles » définissent la » définissent la structure du champ électromagnétique en reliant structure du champ électromagnétique en reliant les champsles champs

2 équations 2 équations relient les champs aux sourcesrelient les champs aux sources de ces de ces champs : leur expression dépend du milieu où champs : leur expression dépend du milieu où règne le champ électromagnétiquerègne le champ électromagnétique



42

2 équations structurelles :

les 2les 2 équations « structurelles »équations « structurelles » reliant les champs reliant les champs ont laont la même expression dans tous les milieuxmême expression dans tous les milieux : :

0Bdiv

tB

Erot

43

2 équations liant les champs aux sources

Dans le vide il n’y a pas de sources Dans le vide il n’y a pas de sources (ni charges, ni (ni charges, ni courants)courants) : :

Équation de Équation de Maxwell - GaussMaxwell - Gauss : :

Équation de Équation de Maxwell - AmpèreMaxwell - Ampère : :

0Ediv

tE

²c1

tE

Brot oo

• Équation de Équation de Maxwell - GaussMaxwell - Gauss : liant : liant div Ediv E aux charges aux charges

• Équation de Équation de Maxwell - AmpèreMaxwell - Ampère : liant : liant rot Brot B aux courants aux courants

44

Equations locales Elles définissent le champ électromagnétique en un

point M

Vide : homogène, isotrope Équations valables en tout point du vide ou règne le

champ



45

Aller un peu plus loin….

Une propriété fondamentale du champ magnétique est liée à Une propriété fondamentale du champ magnétique est liée à

la relation : la relation :

div = 0 B

0nds.BS

Volume

d.Bdivds.B

Théorème de Green-Ostrogradski

B est un champ à flux flux

conservatifconservatif

Le flux algébrique total de B à travers la surface fermée S est nul : le flux entrant dans S compense le flux

sortant

46

S est la surface totale du cylindre, et n un vecteur unitaire, normal à S, orienté vers l ’extérieur de S

Le flux radial de B à travers la paroi latérale cylindrique est nul (pourquoi ?....)

Si B est parallèle à l ’axe du cylindre, le flux entrant par la face latérale gauche compense le flux sortant par la face droite

La surface étant la même, B est donc constant…

0nds.BS

Volume

d.Bdivds.B

B n

n


47

0Ediv

Le champ électrique est à flux conservatif

dans le videdans le vide


48

A l’aide de l’équation de Maxwell appropriée, déterminer l’expression du champ magnétique associé au champ E dont l’expression en coordonnées cartésiennes est :

Représenter le champ électromagnétique en 0 et en un point M (x,y,z) quelconque au même instant.

0

0

)y2

tcos(.E

E

o

Exercice 8


49

Quizz1… Equations de Maxwell dans le vide

Fin du 1er bloc..

….Quizz ….

Documents

1 Propagation 3MNT 1. Propagation des OEM dans le vide 2. Polarisation des OEM 3. Propagation des OEM dans les milieux matériels 4. Réflexion et réfraction