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Raisonnement et démonstration au collège

Académie de Toulouse Avril 2009

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Dans le Petit Larousse

• Raisonnement: suite de propositions déduites les unes des autres, argumentation.

• Preuve: ce qui démontre, établit la vérité de quelque chose ; en mathématiques, opération par laquelle on contrôle l’exactitude d’un calcul ou la justesse de la solution d’un problème.

• Démonstration: raisonnement établissant la vérité d’une proposition à partir des axiomes que l’on a posé.

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Autre point de vue

• Raisonnement: démarche intellectuelle, rendue accessible à autrui par la trace, orale ou écrite, qui en est communiquée. La distance entre le raisonnement et la trace produite peut-être très grande.

• Preuve: acte social qui vise à convaincre d’un résultat. Est construite à partir d’un raisonnement et se communique par une trace orale ou écrite.

• Démonstration: un type de preuve spécifique. Propre aux mathématiques.

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Que disent les textes?

Programmes de collège publiés au BO spécial n°26 du 28 août 2008

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Introduction commune aux disciplines scientifiques.

• I-4. Penser mathématiquement: «…Celle-ci (la pensée mathématique) repose sur un ensemble de connaissances solides et sur des méthodes de résolution de problèmes et des modes de preuve (raisonnement déductif et démonstrations spécifiques)… »

• II(Le socle commun…)-1. Les mathématiques: «... Le rôle de la preuve, établie par le raisonnement, est essentiel et l’on ne saurait se limiter à vérifier sur des exemples la vérité des faits mathématiques. »

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Introduction commune aux disciplines scientifiques.

III- La démarche d’investigation«(…) les programmes de collège privilégient, pour

les disciplines scientifiques et la technologie, une démarche d’investigation. »

Proximité des démarches suivies en sciences expérimentales et en mathématiques : résolution de problèmes, formulation d’hypothèses explicatives d’un côté, de conjectures de l’autre.

Particularités concernant la validation, par l’expérimentation d’un côté, par la démonstration de l’autre.

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Préambule des programmes de mathématiques.

Paragraphe 1.1: • « les mathématiques contribuent (…) à

entraîner les élèves à la pratique d’une démarche scientifique. L’objectif est de développer (…) les capacités d’expérimentation et de raisonnement , d’imagination et d’analyse critique.»

• «A travers la résolution de problèmes, la modélisation de quelques situations et l’apprentissage progressif de la démonstration, les élèves… »

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Préambule des programmes de mathématiques.

Paragraphe 2 (Le socle commun):

• « dans le domaine géométrique, les élèves doivent apprendre à raisonner et argumenter mais l’écriture formalisée d’une démonstration de géométrie n’est pas un exigible du socle »

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Préambule des programmes de mathématiques.

Paragraphe 4.1 intitulé: Une place centrale pour la résolution de problèmes.

Paragraphe 4.5 intitulé : Une initiation très progressive à la démonstration.

• « La pratique de l’argumentation (…)a commencé dès l’école primaire et se poursuit au collège pour faire accéder l’élève à cette forme particulière de preuve qu’est la démonstration. »

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Préambule des programmes de mathématiques.

Paragraphe 4.5 (suite):

«  Si (…)le domaine géométrique occupe une place particulière, la préoccupation de prouver et démontrer ne doit pas s’y cantonner. Le travail sur les nombres, sur le calcul numérique puis sur le calcul littéral offre également des occasions de démontrer. 

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Préambule des programmes de mathématiques.

Paragraphe 4.5 (suite):• « Deux étapes doivent être clairement distinguées : la

première et la plus importante est la recherche et le production d’une preuve ; la seconde, consistant à mettre en forme la preuve, ne doit pas donner lieu à un formalisme prématuré.(…)

• Des préoccupations et exigences trop importantes de rédaction risquent d’occulter le rôle essentiel du raisonnement dans la recherche et la production d’une preuve. (…)

• Il est important de ménager une grande progressivité dans l’apprentissage de la démonstration et de faire une large part au raisonnement, enjeu principal de la formation mathématique au collège. ».

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Préambule des programmes de mathématiques.

Paragraphe 4.5 (suite):

« Dans le cadre du socle commun (…) c’est la première étape, « recherche et production d’une preuve » qui doit être privilégiée, notamment par une valorisation de l’argumentation orale »

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Ce qui concerne le raisonnement et la démonstration dans les objectifs

de la résolution de problèmes figurant en en-tête des différentes

parties des programmes:

Quelle progressivité?

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Organisation et gestion des données, fonctions

Les raisonnements permettant de traiter les situations de proportionnalité :

• Mise en place en 6e ,

• affermissement de leur maîtrise en 5e,

• consolidation et enrichissement en 4e .

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Nombres et Calculs

• En 5e : familiariser les élèves aux raisonnements conduisant à des expressions littérales.

• En 4e : conduire les raisonnements permettant de traiter diverses situations (…) à l’aide de calculs numériques, d’équations ou d’expressions littérales.

• En 3e : familiariser les élèves aux raisonnements arithmétiques.

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Géométrie

• En 6e : initier à la déduction, conduire sans formalisme des raisonnements simples utilisant les propriétés des figures usuelles ou de la symétrie axiale.

• En 5e,4e et 3e : entretenir la pratique des constructions géométriques et des raisonnements sous jacents.

De plus:• En 5e : s’entrainer à des justifications mettant en

œuvre les outils du programme et ceux déjà acquis en sixième ; conduire sans formalisme des raisonnements géométriques simples.

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Géométrie

• En 4e : conduire sans formalisme des raisonnements géométriques simples utilisant les propriétés des figures usuelles, les symétries, les relations métriques, les angles ou les aires; initier les élèves à la démonstration.

• En 3e : développer les capacités de raisonnement et les capacités relatives à la formalisation d’une démonstration; solliciter dans les raisonnements les propriétés géométriques et relations métriques vues antérieurement.

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Grandeurs et mesures

• En 4e : consolider les raisonnements permettant de calculer les grandeurs travaillées antérieurement (…).

• En 3e : entretenir et compléter les raisonnements relatifs aux calculs d’aires et de volumes.

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Pour conclure cette première partie

• L’initiation à la démonstration s’appuie sur l’apprentissage du raisonnement réalisé depuis l’école primaire et tout au long du collège. Elle y contribue également.

• Ce sont les compétences des élèves dans le domaine du raisonnement plutôt que dans le domaine de la démonstration que l’on évalue au collège.

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Comment développer et faire évoluer tout au long du collège

les compétences des élèves relatives au raisonnement?

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Du côté des élèvesEn leur donnant des occasions suffisamment fréquentes • de développer une démarche d’investigation : des

situations qui s’y prêtent, du temps, une problématique suffisamment ouverte…

• D’argumenter à l’oral… : présentation autonome au tableau de solutions d’exercices, pratique du débat ...

…et à l’écrit sans contrainte : questions posées de façon plus ouverte (en particulier privilégiant la forme interrogative), incitations spécifiques à communiquer la recherche même inaboutie, narration de recherche…

Certains types d’exercices suscitent plus facilement que d’autres l’argumentation: V/F avec justification, QCM, questions ouvertes…

Autres pistes?

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Du côté des professeurs

• En distinguant systématiquement la conjecture et la preuve, les résultats admis et les résultats démontrés,

• En travaillant sur les implicites des énoncés, notamment dans le domaine littéral,

• En réalisant en quelques occasions des démonstrations devant la classe avec l’objectif de montrer comment on cherche,

• En n’ayant pas d’exigences de formalisme prématurées, • En valorisant les raisonnements partiels, les écrits

Intermédiaires.Autres pistes?

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Dans quels domaines? En s’appuyant sur quels types de raisonnement?

• En géométrie et dans le domaine des nombres et du calcul essentiellement.

• Raisonnement inductif,• Raisonnement déductif,• Exploitation d’exemples génériques,• Utilisation réfléchie des règles de calcul littéral disponibles,• Exploitation de l’unicité figurant dans certaines définitions,• Raisonnement par l’absurde,• Preuve par le contre exemple,• Raisonnement par disjonction de cas.

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Comment évaluer le raisonnement?

Une proposition: utiliser les quatre compétences de la résolution de problèmes

• C1: lire, interpréter et organiser l’information,• C2: s’engager dans une démarche de recherche

et d’investigation,• C3: mettre en relation les connaissances

acquises, les techniques et les outils adéquats pour produire une preuve,

• C4 : communiquer par des moyens variés et adaptés (aptes à convaincre) la solution du problème.