1

Semi-conducteur à l’équilibre

2

Semi-conducteurs à l’équilibre

Dopage des semi-conducteurs Semi-conducteur intrinsèque Le dopage n et p Calcul de la densité de porteurs extrinsèques Semi-conducteur compensé

3

Semi-conducteurs

Structure en bandes d’énergie: Bande de valence: c’est

la dernière bande remplie à T=0K

Bande de conduction: c’est la bande immédiatement au dessus et vide à T=0K

4

Notion de trous (+e !)

La notion de bandes permet d’introduire le porteur de charge positif : un trou

Aux températures différentes de 0 K, électrons « montent » dans BC, laissent des « trous » dans la BV

5

Conduction bipolaire

La présence d’électrons et trous entraîne une conduction bipolaire dans les SC

On peut privilégier une conduction par le dopage du semi-conducteur, ie l’introduction d’impuretés

E externe

6

Électrons dans une structure Diamant (ex: Si)

7

Électrons dans une structure Diamant (ex: Si)

8

Densité de porteurs dans les bandes

Fonction de Fermi:

Densité d’états:

Densité de porteurs:

Eg

kTFEEeEf /)(1

1)(

2/1

2/3

2

*

2)(

2

2

1)( C

cC EE

mEN

2/1

2/3

2

*

2)(

2

2

1)( EE

mEN V

vv

CE

nC dEEfENn ).().(

VE

pv dEEfENp ).().(

9

Densité de porteurs dans les bandes Approximation de Boltzmann:

Si le niveau de Fermi est à plus de « 3kT » du minimum de la bande de conduction ou du maximum de la bande de valence, on peut simplifier la fonction de distribution:

kTEEeEnf F/)()( kTEE

eEpf F/)(

)(

10

Densité de porteurs dans les bandes

Dans ces conditions (Boltzmann), la densité de porteurs libres s’écrit: Dans la bande de conduction (électrons):

Dans la bande de valence (trous):

)exp(kT

EENn FC

C

)exp(kT

EENp vF

v

avec

2/3

2

*22

h

kTmN C

C

2/3

2

*22

h

kTmN v

vavec

11

Loi d’action de masse np=ni2

Dans un semi-conducteur intrinsèque, la densité de trous est égale à la densité d’électrons:

En faisant n=p, on obtient le niveau de Fermi intrinsèque:

22/3**3

2)exp()(

24 i

ghe nkT

Emm

kTnp

)ln(22 V

CVCFii N

NkTEEEE

12

Semi-conducteur intrinsèque Variation

exponentielle de la densité de porteurs

Si ni>1015cm-3, le matériau inadapté pour des dispositifs électroniques.

SC à grands « gap »Type SiC, GaN, Diamant

Remarque: Le produit np est

indépendant du niveau de Fermi

Expression valable mêmesi semi-conducteur dopé

Introduction du dopage

13

Dopage: introduction de niveau énergétique dans le gap

Dopage type n Dopage type p

14

Dopage d’un SC: type n

15

Dopage d’un SC: type p

16

Variation de la conduction d’un semi-conducteur dopé en fonction de la température

3 régimes:• Extrinsèque • Épuisement des donneurs• Intrinsèque

Tous les « donneurssont ionisés

17

Calcul de la position du niveau énergétique Ed ou Ea

Le problème « ressemble » au modèle de l’atome d’hydrogène

Introduction du Rydberg « modifié » :

2

0

0

*

6.13

m

mEE Cd

eVn

emEn 222

0

4

0 6.13

)4(2

Exemple de dopants et leurs énergies

18

Densité de porteurs extrinsèques:

nb d’électrons différents du nb de trous

Mais loi d’action de masse toujours valable, avec n.p=cte (sauf si dopage trop élevé).

Pour déterminer ces concentrations (n et p), on écrit la neutralité électrique du système.

0 npn

cstenpn i 2.

22 )( iAD nnNNn DA NpNn

19

Densité de porteurs extrinsèques: Semi-conducteurs type n (ND>NA):

Dans la pratique (ND, NA, et ND – NA >> )ni si bien que:

21

22

21

22

4)(2

1

4)(2

1

iADAD

iADAD

nNNNNp

nNNNNn

)/(2ADi

AD

NNnp

NNn

20

Niveau de Fermi dans un SC dopé Si le SC n’est pas dégénéré, l’approximation de

Boltzmann reste valable: Type n et p respectivement

Soit un niveau de Fermi type n et type p donné par:

)exp(

)exp(

kT

EENNNp

kT

EENNNn

VF

VDA

FCCAD

p

n

))/(ln(

))/(ln(

DAVVF

ADCCF

NNNkTEE

NNNkTEE

p

n

21

Différence Ef - Efi

Au lieu d’exprimer Ef en fonction de Nc et Nv, on peut écrire:

type n

type p

i

dif n

NkTEE ln

i

afi n

NkTEE ln

Fie

22

Différence Ef - Efi

On peut alors exprimer les densité d’électrons et de trous à l’équilibre par:

kTe

i

kTEE

i

kTe

i

kTEE

i

FiFiF

FiFiF

enenp

enenn//)(

//)(

avec:

0

0

FiFFi

FiFFi

EEe

EEe

type n

type p

Équations de Boltzmann

23

Semi-conducteurs dégénérés: approximation de Joyce –Dixon

Dans ce cas , l’approximation de Boltzmann n’est plus valable pour le calcul: soit de n et p soit de la position du niveau de Fermi:

on utilise alors l’approximation de Joyce-Dixon:

VVV

CCCF N

p

N

pkTE

N

n

N

nkTEE

8

1ln

8

1ln

24

Peuplement des niveaux d’impuretés : gel des porteurs

En fonction de la température, le niveau d’impureté est plus ou moins peuplé. Supposons un SC « avec » ND donneurs et NA accepteurs (ND>NA) À T=0K

BV =>pleine EA => NA électrons ED => ND-NA électrons BC => vide

25

Peuplement des niveaux d’impuretés : gel des porteurs

À température non nulle: les électrons sont redistribués mais leur nombre reste constant !!!. L’équation de neutralité électrique permet de connaître leur répartition:

Aai

Ddi

Npnp

Nnnn

)(

)(aADd ppNNnn

n, p : électrons (trous) libres dans BC (BV)

nd (pa): électrons (trous) liés aux donneurs (accepteurs)

26

Fonction de distribution des atomes d’impuretés – Principe d’exclusion de Pauli

Comparaison de l’image « chimique » et de la description en « bande d’énergie » de l’atome donneur ou accepteur:

« liaison chimique »Atome donneur atome Si +noyau chargé positivement.

« Bande d’énergie »Cristal parfait + puits de potentiel

attractif sur un site du réseau

Mécanique quantique(électrons indépendants)

Niveau énergétique Ed dans le gap sous Ec doublement

dégénéré (spin up et down)

Interaction Coulombienne+ écrantage du noyau: Ed

diminue

Le deuxième électron « s’échappe » : occupation

du niveau par un seul électron

27

Probabilité d’occupation du niveau d’impureté

Proba d’occupation et nb d’électrons sur Ed:

Proba de non occupation et nb de trous sur Ea:

)exp2

11(

kT

EEf fd

n

kT

EEN

nfd

dd

exp21

1

)exp4

11(

kT

EEf af

p

kT

EEN

paf

aa

exp41

1

28

Niveau « donneur »:le facteur 1/2 Atome de Phosphore (col V):

États élecroniques 3s² 3p3 : 2e s et 2e p participent aux liaisons 1e sur le niveau ED (le 5° !)

il (le 5° !) possède un spin particulier up ou down

Une fois l’e parti (f(E)) la « case » vide peut capturer un spin up ou down => le mécanisme (la proba.) de capture est augmenté / à l’émission.

)()( EfEfD

29

Semi-conducteur fortement dopé

Si dopage trop important, les impuretés se « voient » ( rayon de Bohr 100 angstroms)

le niveau d’énergie associé s’élargit Un effet important est la diminution du

« Gap » du SC et donc ni augmente!!:

meVKT

NE d

g

2/1

18 )(

300

105.22

pour le Silicium

30

Semi-conducteurs hors équilibre

31

Plan:

Recombinaison et génération Courants dans les SC Équation de densité de courants Équations de continuité Longueur de Debye Équation de Poisson Temps de relaxation diélectrique

32

Phénomènes de Génération - Recombinaison

Loi d’action de masse: À l’équilibre thermodynamique: Hors équilibre: apparition de phénomènes de

Génération - Recombinaison création ou recombinaison de porteurs :

Unité [g]=[r]=s-1cm-3

Taux net de recombinaison:

rgrggrg th ''' avecthgrr '

externe interne

2

innp

33

Différents chemins

Génération bande à bandeGénération depuis

état lié

34

Recombinaison: 2 « chemins » possibles (1)

Recombinaison directe électron-trou Processus fonction du nombre d’électron et de trous

Exemple: type n +excitation lumineuse en faible injection ( ie )

En régime de faible injection le nombre de porteurs majoritaires n’est pas affecté.

p

p

pr

n

n

nr

ppp 0 00 nnnn 0npn

35

Recombinaison: 2 « chemins » possibles (2)

Recombinaison par centres de recombinaison: En général ces centres se trouvent en milieu de

bande interdite Le taux de recombinaison s’écrit:

Où est caractéristique du centre recombinant Si les 2 processus s’appliquent:

npn

nnpr

i

i

m

2

1 2

m

)(

111

pnm

Équation de Shockley-Read

36

Recombinaison: 2 « chemins » possible (2)

Si semi-conducteur peu dopé: on applique SR

Si semi-conducteur dopé n:

Si région « vide » de porteurs (ex: ZCE) p

p

pr

Avec pm

111

02

m

inr

Taux net de génération.

Création de porteurs

37

Excitation lumineuseTy

pe P

38

Recombinaison radiative ou non

39

Recombinaisons de surface

40

Courants dans les SC

Courant de conduction: présence de champ électrique Si E=0, vitesse des électron=vitesse

thermique (107 cm/s) mais => vitesse moyenne nulle car chocs (« scattering ») avec le réseau + impuretés.

Libre parcours moyen (« mean free path »):o

A100. vthl ps1.0

41

Courants dans les SC Courant de conduction: présence de champ

électrique Entre deux chocs, les électrons sont accélérés

uniformément suivant Accélération:

Vitesse:

Mobilité:

*/ mqE

E

µEmqEv */

*/ mqµ Si : 1500 cm2/VsGaAs: 8500 cm2/VsIn0.53Ga0.47As:11000 cm2/Vs

42

Courants dans les SC La densité de courant de conduction

s’écrit: Pour les électrons:

Pour les trous:

Pour l’ensemble:

EneµvneJ nnnc

EpeµvpeJ pppc

EpeµneµJJJ pnpntotalc )(

43

Courants dans les SC Importance de la mobilité sur les

composants Mobilité la plus élevée possible => vitesse plus grande pour un même E Facteurs limitants:

Dopage Défauts (cristallins, structuraux, …) Température Champ électrique de saturation + géométrie

44

Courants dans les SC Vitesse de saturation des électrons

La relation linéaire vitesse – champ valide uniquement pour: Champ électrique pas trop élevé Porteurs en équilibre thermique avec le réseau

Sinon: Au-delà d’un champ critique, saturation de la vitesse Apparition d’un autre phénomène: « velocity overshoot »

pour des semiconducteurs multivallée. Régime balistique:pour des dispositifs de dimensions

inférieures au libre parcours moyen (0.1µm)

45

Vitesse de saturation

Différents comportement en fonction du SC

Survitesse(« overshoot »)

46

Courants dans les SC Courant de diffusion:

Origine: gradient de concentration Diffusion depuis la région de forte

concentration vers la région de moindre []. 1° loi de Fick:

dx

dpDp

dx

dnDn

p

x

D

n

x

D

nb d’e- qui diffusent par unité de

temps et de volume (flux)

nb de h+ qui diffusent par unité de

temps et de volume (flux)

47

Courants dans les SC Courant de diffusion: somme des deux

contributions (électrons et trous):

Constante ou coefficient de diffusion

[ ]=cm2/s.

dx

dpeD

dx

dneDpneJ pn

x

D

x

Ddiff )(

pnD ,

48

Courants dans les SC Courant total: somme des deux contributions (si elles

existent) de conduction et diffusion:

D et µ expriment la faculté des porteurs à se déplacer. Il existe une relation entre eux: relation d’Einstein:

)()(dx

dpD

dx

dnDeEpeµneµJ

JJJJJ

pnpnT

pndiffcondT

e

kT

µ

D

49

Équations de continuité – longueur de diffusion

G et R altèrent la distribution des porteurs donc du courant

GRe

x

dx

xdJA

dt

txdnxA

GRe

xJ

e

xxJA

dt

txdnxA

n

nn

)(),(

)()(),(

On obtient alors les équations de continuité pour les électrons et les trous:

nnn gr

dx

dJ

edt

txdn

1),(pp

p grdx

dJ

edt

txdp

1),(

50

Équations de continuité – longueur de diffusion

Exemple: cas où le courant est exclusivement du à de la diffusion:

dx

dpeDdiffJ

dx

dneDdiffJ

pp

nn

)(

)( n

n

nn

dx

ndD

dt

dn

0

2

2

p

p

pp

dx

pdD

dt

dp

0

2

2

51

Équations de continuité – longueur de diffusion En régime stationnaire, les

dérivées par rapport au temps s’annulent:

Solutions:

200

20

2 )(

nnn L

nn

D

nn

dx

nnd

200

20

2 )(

ppp L

pp

D

pp

dx

ppd

nLxennxnxn /

0 )0())(()(

Longueur de diffusion: représente la distance moyenne parcourue avant que l’électron ne se recombine avec un trou (qq microns voire qq mm)

Ln ou Lp >> aux dispos VLSI R et G jouent un petit rôle sauf

dans qq cas précis (Taur et al)

nnn DL ppp DL

52

Équation de Poisson

Elle est dérivée de la première équation de Maxwell. Elle relie le potentiel électrique et la densité de charge:

Dans les SC, deux types de charges (fixes et mobiles): sc

x

dx

dE

dx

Vd

)(

2

2

)()()()(2

2

xNxNxnxpe

dx

VdAD

sc

Charge mobiles (électrons et trous)

Charges fixes(dopants ionisés)

53

Longueur de Debye

Si on écrit l’équation de Poisson dans un type n en

exprimant n en fonction de :

Si Nd(x) => Nd+DNd(x) , alors FFi est modifié de DFFi

Fi

kTeid

sc

Fi FienxNe

dx

d /2

2

)(

en remarquant que: V(x)=FFi +cte

)(2

2

2

xNe

kT

Ne

dx

dd

scFi

sc

dFi

54

Longueur de Debye

Signification physique? Solution de l’équation différentielle du 2° degré:

La « réponse » des bandes n’est pas abrupte mais « prend » quelques LD ( si Nd=1016 cm-3, LD=0.04µm). Dans cette région, présence d’un champ électrique (neutralité électrique non réalisée)

DFi L

xA exp

D

scD Ne

kTL

2

avec

55

Temps de relaxation diélectrique

Comment évolue dans le temps la densité de porteurs majoritaires ? Équation de continuité (R et G négligés):

x

J

et

n n

1

nn EEJ /scen

x

E /

or et

d’où

scn

n

t

n

Solution: )/exp()( scnttn

scn Temps de relaxation diélectrique ( 10-12 s)