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La loi normale.
Calcul élémentaire des probabilités
Myriam Maumy-Bertrand1 et Thomas Delzant1
1IRMA, Université Louis PasteurStrasbourg, France
Licence 1ère Année 27 novembre 2006
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant Calcul élémentaire des probabilités
La loi normale.
Définition.Théorème.Quelques propriétés essentielles.Exemples.Exercices.
Sommaire
1 La loi normale.
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant Calcul élémentaire des probabilités
La loi normale.
Définition.Théorème.Quelques propriétés essentielles.Exemples.Exercices.
La loi normale, ou loi gaussienne, appelée aussi loi deLaplace-Gauss.
DéfinitionOn dit qu’une variable aléatoire X suit la loi normale N (0; 1) si :
P [a < X 6 b] =
∫ b
aexp
(−x2
2
)dx√2π
.
RemarqueCette formule ne sert pas à grand chose, il vaut mieux utiliserles tables de la loi normale ou les machines à calculer.
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Définition.Théorème.Quelques propriétés essentielles.Exemples.Exercices.
Théorème.
ThéorèmeSi Z ∼ N (0; 1) alors
E [Z ] = 0 et Var [Z ] = 1.
On dit que Z suit une loi normale centrée-réduite.
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Autres lois normalesOn dit que X suit une loi normale de moyenne µ et d’écart-typeσ et l’on note
X ∼ N (µ;σ2) si Z =X − µ
σsuit une loi N (0; 1).
PropositionSous cette hypothèse, on a
E [X ] = µ et Var [X ] = σ2.
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Binomiale et normale.
Historiquement, le premier résultat est qu’une loi binomialeressemble à une loi normale ou gaussienne. Ce résultat est dûà de Moivre 1750 et à Laplace 1812.
Binomiale centrée-réduiteOn sait que la loi binomiale B(n; p) est d’espérance np etd’écart-type
√np(1− p). Soit X une loi binomiale B(n; p). Alors
X − np√np(1− p)
est d’espérance 0 et d’écart-type 1.
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Approximation par une loi normaleDans la pratique, on remplace toujours la loi binomiale par la loinormale de même espérance et de même écart-type si lesdeux conditions suivantes sont vérifiées :
1 n > 302 np > 8.
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Queues de distribution.
Propriété
Soit Z ∼ N (0; 1).P [|Z | > 3] = 0, 002P [|Z | > 2] = 0, 04
Application à une loi normale générale
En pratique, il y a « très peu de chance »que |Z | = |X − µ|σ
> 2,
et encore moins que |Z | = |X − µ|σ
> 3.
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Fonction de répartiton
DéfinitionLa fonction de répartition d’une variable aléatoire Z qui suit uneloi normale centrée-réduite, notée Π(z) ou encore Φ(z) (celadépend des ouvrages) se définit par :
Π(z) = Φ(z) = P [Z 6 z] ,
où Z suit une loi N (0; 1) et z est un réel.
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Propriétés1 Si z > 0 alors, on a
P [Z 6 −z] = 1− P [Z > −z] = 1− P [Z 6 z]
ou encore ce qui s’écrit :
Π(−z) = 1− Π(z).
2 Soient a et b deux réels tels que 0 < a < b. Alors, on a
P [a < Z 6 b] = Π(b)− Π(a).
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Exemple 1.
Le bénéfice annuel d’une compagnie suit une loi normale demoyenne 500000 e et d’écart-type 100000 e. Le PDG déclarequ’il est sûr d’avoir un bénéfice positif.
QuestionQuelle vaut la probabilité que « le PDG se trompe » ?
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Exemple 2.
Une usine produit du fil. On désigne par X la variable aléatoirequi à toute bobine associe la longueur du fil de la bobine. Onadmet que X suit une loi normale de moyenne 50 etd’écart-type 0,2.
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Questions1 Calculer la probabilité que la longueur du fil :
a. soit inférieure à 50,19 m,b. soit supérieure à 50,16 m,c. soit comprise entre 50,16 et 50,19 m.
2 On va utiliser une table de dépassement de l’écart.Si α est une probabilité, cette table donne le nombre x(α)tel que P [|X | > x ] = α.Sous les hypothèses du dessus, trouver un nombre réel atel que P [50− a < X 6 50 + a] = 0, 14.
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Exemples 3 et 4.
QuestionsSoit X une loi normale N (0; 1).CalculerP [X 6 0, 54] ; P [X 6 0, 38] ; P [X > 0, 8] ; P [−1 < X 6 0, 2].
QuestionsUne entreprise produit des bouteilles d’eau de 0,75 litre. Unebouteille est considérée comme « acceptable »si elle contiententre 74,5 et 75,5 cl d’eau. soit X la variable aléatoire qui décritle contenu d’une bouteille. On suppose que X suit une loiN (75; 0, 3). Quelle est la probabilité qu’une bouteille soit« acceptable » ?
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Exercice 1. Utilisation d’une machine à café commedétecteur de fausses pièces.
ÉnoncéLa banque de France fabrique des pièces de 1 euro. Le poidsd’une pièce authentique prise au hasard suit une loi normaled’espérance µ = 6, 49 g avec un écart-type σ = 0, 015 g.
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Questions1 Une machine à café accepte les pièces de 1 euro dont le
poids est compris entre 6, 455 g et 6, 525 g. Quelle est laprobabilité qu’une pièce authentique soit acceptée ?
2 Un faux monnayeur fabrique des fausses pièces dont lepoids suit une loi normale d’espérance µ′ = 6, 56 g etd’écart-type σ′ = 0, 02 g. Quelle est la probabilité qu’unefausse pièce soit acceptée ?
3 On observe que 4 % des pièces sont refusées par lamachine. Quelle est la proportion de fausses pièces encirculation ?
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Exercice 2. Détermination d’une moyenne et d’unécart-type à partir d’une expérience.
ÉnoncéOn sait qu’une variable aléatoire X suit une loi normaleN (µ;σ2) mais on ne connait ni µ ni σ2. Par exemple, µ désignela quantité de goudron dans une cigarette. On ne connait pasde moyens de mesurer directement X , mais on dispose dedeux tests : l’un est positif si X 6 35, 6, l’autre si X 6 30, 3. Onfait un grand nombre d’observations (disons 1000) et onremarque que P [X 6 35, 6] = 0, 985 P [X 6 30, 3] = 0, 19.
Questions
Calculer µ et σ2.
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Exercice 3. Peut-on prévoir l’absentéisme ?
ÉnoncéUne entreprise emploie 100 salariés. Pour chacun, laprobabilité d’être absent un jour donné est de 5/100.
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Questions1 Quelle est la loi qui, pour un salarié donne le nombre de
jours d’absence durant un mois de 20 jours de travail ?Quelle est son espérance ? Quelle est sa variance ?
2 Quelle est la loi qui décrit le nombre total de joursd’absence pour l’ensemble des salariés durant un mois de20 jours ? Quelle est son espérance ? Quelle est savariance ? Par quelle loi est-il raisonnable de l’approcher ?
3 Quelle est la probabilité que le nombre total de joursd’absentéisme soit supérieur à 125 au cours de ce mois ?
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Exercice 4. La Gauloise des Jeux
ÉnoncéLa probabilité de gagner au jeu "le milliardaire" de la société"Gauloise des Jeux " est évaluée à 5.10−6 ; pour jouer, chaquejoueur doit acheter un ticket à 1 euro. Un gain rapporte 250 000euros.
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Questions1 Dans une ville, 103 personnes jouent toutes les semaines
pendant deux ans (soit 100 fois) à ce jeu en misant 1 euro.1 Quelle est la loi qui décrit le nombre total de gagnants ?2 Par quelle loi est-il légitime de l’approcher ?3 Quelle est l’espérance mathématique du gain total pour la
société "Gauloise des Jeux " sur cette ville ?2 Sur l’ensemble de la France 5.105 personnes jouent toutes
les semaines pendant deux ans (soit 100 fois).1 On repose les mêmes questions.2 Quelle est la probabilité que le nombre de gagnants sur 2
ans excède 300 ?
Myriam Maumy-Bertrand et Thomas Delzant Calcul élémentaire des probabilités
