C PGE.RÉDA.SLAOUIA.HFA.2014-2015.-

.- PREMIER CONTRÔLEMP :1

Contrôle :1- Structures algébriques usuelles

Dans les deux premiers exercices G est un groupe multiplicatif et A une partie de G. Exercice 1 �

¬ Que peut-on dire de l’intersection d’une famille quelconque de sous groupes de G

­ Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la réunion de deux sous groupes de G est un sous groupe de G (Sansdémonstration )

® Donner la définition du sous groupe engendré par la partie A ainsi que ses définition équivalentes

¯ Déterminer , sans démonstration, le sous groupe engendré par le singleton {a}

° Donner une partie génératrice du groupe symétrique Sn avec n ≥ 2

± Donner la définition du groupe alterné An

² Donner une partie génératrice de An

³ Donner une partie génératrice du groupe orthogonal O(R2)

´ Donner la définition d’un groupe monogène (reps groupe cyclique) et donner un exemple

µ Quel est le nombre de générateurs d’un groupe monogène infini(A justifier). Exercice 2 �

¬ Donner la définition d’un morphisme de groupes et donner un exemple

­ A quelle condition un élément a de G est d’ordre infini ?

® A quelle condition un élément a de G est d’ordre fini ?.Si cette condition est remplie quelle est l’ordre de a et donner ses propriétéscaractéristiques

¯ Les éléments d’un groupe fini sont -ils d’ordre fini ou non (A justifier )

° Enoncer le théorème qui vous permet de comparer l’ordre d’un élément d’un groupe fini avec son cardinal

± Que peut-on d’un groupe fini de cardinal un nombre premier

² Si a est d’ordre fini égale à p quel est l’ordre de l’élément ak avec k ∈N∗

³ Si G est cyclique de cardinal n et a est un générateur de G .A quelle condition l’élément ak avec k ∈ [[ 1, n− 1 ]] est un générateur deG.Quel est alors le nombre des générateurs de G

Dans les deux derniers exercices A est un anneau commutatif et K un corps. Exercice 3 �

¬ Donner la définition d’un anneau intègre , d’un corps

­ Un anneau intègre est-il un corps ?

® Montrer qu’un corps est un anneau intègre

¯ A quelle condition Z/pZ est intègre ? corps?(Sans démonstration )

° Donner la définition d’un morphisme d’anneaux? de corps ?

± Que peut-on dire d’un morphisme de corps(Sans démonstration )

² Donner la définition d’un idéal de A

³ Le noyau d’un morphisme d’anneaux est -il un sous anneau ou un idéal

´ Donner les idéaux de Z et de K[X] (sans démonstration)

. Exercice 4 �

¬ Donner la définition d’un polynôme irréductible dans K[X]

­ Que dit le théorème de D’Alembert -Gauss

® Quelles sont les poynômes irréductibles dans C[X](Sans démonstration )

¯ A quelles condition nécessaire et suffisante un polynômes de degré 2 est irréductible dans K[X](Sans démonstration )

° Cette condition reste-t-elle valable pour un polynôme de degré supérieur ou égale à 3 ?(Si non donner un exemple)

± Quelles sont les polynômes irréductibles de R[X]

² Donner la décomposition en facteur irréductibles d’un polynôme de degré supérieur ou égale à 1 de C[X]

³ Donner la décomposition en facteur irréductibles d’un polynôme de degré supérieur ou égale à 1 de R[X]

Premier contrôle

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