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Probabilités au collège

VersaillesMercredi 14 Janvier 2009

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Statistique et probabilités

Les probabilités ou la théorie mathématique de la mesure de l’incertitude

La statistique ou la théorie mathématique de la prise de décision face à l’incertitude

Deux grands domaines en statistique :

Statistique descriptive : analyse des propriétés des données observées

Statistique inférentielle : recherche d’un modèle théorique compatible avec les données observées

33

6ème : Organisation et représentation de données (tableaux, repérage sur un axe, diagrammes, graphiques)

5ème : Représentation et traitement de données (classes, effectifs, fréquences, tableau de données, représentations graphiques de données)

4ème : Traitement de données (moyennes pondérées)

3ème : Statistique (caractéristiques de position ou de dispersion)

Notion de probabilité

Des séries statistiques aux probabilités :

la progression dans les programmes du collège

programmes

44

Capacités

• Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité.

• Calculer des probabilités dans des contextes familiers.Commentaires

La notion de probabilité est abordée à partir de situations familières ( pièces de monnaie, dés, roues de loterie, urnes). Certaines de ces situations permettent de rencontrer des cas pour lesquels les probabilités ne sont pas définies à partir de considérations intuitives de symétrie ou de comparaison mais sont approximativement évaluées par les fréquences observées expérimentalement (approche fréquentiste des probabilités)

La notion de probabilité est utilisée pour traiter des situations de la vie courante pouvant être modélisées simplement à partir des situations précédentes.

Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou deux épreuves.

Dans le cadre du socle, aucune connaissance n’est exigible dans le cas des expériences à deux épreuves.

Programme en vigueur en 2008 - 2009

Connaissances

Notion de probabilité

Probabilités

55

Capacités

• Comprendre et utiliser des notions élémentaires de probabilité.

• Calculer des probabilités dans des contextes familiers.

Exemples d’activités, commentaires

La notion de probabilité est abordée à partir d’expérimentations qui permettent d’observer les fréquences des issues dans des situations familières (pièces de monnaie, dés, roues de loterie, urnes, etc. ).

La notion de probabilité est utilisée pour modéliser des situations simples de la vie courante. Les situations étudiées concernent les expériences aléatoires à une ou deux épreuves.

Les connaissances relatives aux expériences aléatoires à deux épreuves ne sont pas exigibles dans le cadre du socle.

Connaissances

Notion de probabilité

Programme en vigueur à la rentrée

2009

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Etude de situations familières(lancer de pièces, de dés,

roue d’une loterie, urne)

Institutionnalisation (définitions, propriétés)

Traitement de situations diverses(expériences aléatoires à une ou deux épreuves)

Démarche

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1. a) Probabilités définies à partir de considérations de symétrie ou de comparaison

Lancer une pièce

équilibréeTirage dans une urne Roue de loterie

P F

On admet qu’à chaque issue on peut faire correspondre un nombre qui « caractérise » les chances d’obtenir cette issue».

Ce nombre s’appelle la probabilité d’obtenir cette issue.

Dans une expérience aléatoire, on ne peut pas prévoir le résultat.

I. Premières situations d’apprentissage

88

Réaliser des échantillons de grande taille.Reproduire la même expérience aléatoire.

c) Simulation à l’aide de nombres pseudo-aléatoiresOn admet que si la pièce est bien équilibrée, les deux issues ont la même

probabilité.

Le tableur ou la calculatrice permettent de générer des nombres pseudo-

aléatoires pour simuler ce modèle d’équiprobabilité.

Lancer d’une pièce équilibrée

Quand on répète N fois l’expérience aléatoire, on observe que lorsque N devient de plus en plus grand, la fréquence de réalisation d’une des deux issues tend à se stabiliser vers une valeur proche de 1/2.

b) Approche expérimentale

Lancer une pièce

99

2. Approche fréquentiste de la probabilité

lancer d’une punaise

I. Premières situations d’apprentissage Lorsqu’on répète N fois de suite une expérience aléatoire, on observe que

lorsque N devient de plus en plus grand, la fréquence de réalisation d’une issue donnée tend à se stabiliser autour d’un nombre et on admet que ce nombre est la probabilité d’obtenir cette issue.

1010

Probabilités géométriques

Franc Carreau (document ressource)

deux points sur un segment

On considère un segment OS de longueur égale à 1.

On choisit au hasard deux points A et B sur ce segment.

On cherche à déterminer la probabilité que la longueur de ce segment soit supérieure ou égale à 0,5.

1111

L’arbre de probabilité

SituationArbre

des possiblesArbre pondéré avec

les probabilités

Tirage d’une boule dans l’urne

x

P

F

1/2

1/2

1

2

3

4

5

10,5x-0,5y

B

R

1

2

3

2

3

2

1

1

1

12

2

3

3

3

4

4

5

0,5

90

x

P

F

1/2

1/2

1

2

3

4

5

1/3

1/6

1/4

1/6

1/12

10,5x-0,5y

II. Représentation et traitement

1212

x

P

F

1/2

1/2

1

2

3

4

5

1/3

1/6

1/4

1/6

1/12

10,5x-0,5y

Non 1

xP

F

1/3

2/3

1

2

3

4

5

1/3

1/6

1/4

1/6

1/12

Non 1

Impair

Pair

Impair

Pair

Impair

Impair

10,5x-0,5

xP

F

1/3

2/3

1

2

3

4

5

1/3

1/6

1/4

1/6

1/12

Non 1

Impair

Pair

Impair

Pair

Impair

10,5x-0,5

xP

F

1/3

2/31

2

3

4

5

1/3

1/6

1/4

1/6

1/12

Non 1

Impair

Pair

Impair

Pair

Impair

Impair

10,5x-0,5

II. Représentation et traitement

1313

Définir :

• Expérience aléatoire, issue, univers

• Des événements incompatibles, l’événement contraire d’un événement, un événement certain, un événement impossible.

• La probabilité d’un événement qui se produit nécessairement (événement certain) est égale à 1.

• Si deux événements sont incompatibles, la probabilité que l’un ou l’autre se réalise est égale à la somme de leurs probabilités.

• Plus généralement, on peut additionner les probabilités d’événements deux à deux incompatibles.

• Equiprobabilité

III. Énoncés de définitions, de propriétés

1414

Propriétés :

• La probabilité d’un événement est comprise entre 0 et 1.

• La somme des probabilités d’un événement et de son contraire est égale à 1.

• La probabilité d’un événement qui ne peut pas se produire (événement impossible) est égale à 0.

III. Énoncés de définitions, de propriétés

1515

• Une expérience est dite aléatoire lorsqu'on ne peut pas en prévoir avec certitude le résultat.

• On appelle issue d'une expérience aléatoire tout résultat de cette expérience.L'ensemble des issues est appelé univers.

• Tout ensemble d'issues est appelé événement.Un événement élémentaire contient une seule issue.L'événement certain contient toutes les issues.L'événement impossible ne contient aucune issue.

Site Euler

1616

• On considère une expérience aléatoire. À chaque événement élémentaire, on associe un nombre compris entre 0 et 1.Lorsque la somme de tous ces nombres est égale à 1, on dit que l'on a défini une probabilité.

• La probabilité d'un événement (autre que l'événement impossible) est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires qui le composent.

• La probabilité de l'événement impossible est égale à 0.

Site Euler

1717

• Définition : Quand une expérience est répétée un grand nombre de fois, la fréquence relative de réalisation d’un événement élémentaire se rapproche d’une valeur particulière : la probabilité de cet événement élémentaire »

• Définition :   La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1. 

• Propriété : Lorsqu’on ne peut pas déterminer le nombre de cas possibles, on répète un grand nombre de fois l’expérience. On peut alors approcher la vraie valeur de la probabilité d’un événement. On observe en effet que la fréquence d’apparition de l’événement a tendance à se stabiliser lorsqu’on augmente le nombre d’expériences.

• La probabilité d’obtenir « pile » lors du jet d’une pièce est égale à 0,5.

Attention aux énoncés proposés dans certains manuels !

1818

Les événements obtenir « Face », obtenir « une boule rouge » peuvent être désignés par des lettres, par exemple F ou R.

La probabilité d’obtenir « Face » peut être notée

p(obtenir « Face ») ou plus simplement p(Face) ou p(F).

Introduire des notations

1919

On considère l’expérience suivante, qui se déroule en deux étapes : d’abord, on fait tourner une roue de loterie (on obtient la couleur « Rouge » avec une probabilité de 0,25 et la couleur « Bleu » avec une probabilité de 0,75). Ensuite, on fait tourner une deuxième roue de loterie (on obtient le numéro 1 avec la probabilité 1/6, le numéro 2 avec la probabilité 1/2 et le numéro 3 avec la probabilité 1/3).

IV. Des expériences à deux épreuves

Arbre des possibles

R

B

1

1

2

2

3

3

Dresser la liste des issues, définir l’univers :

U = {(R,1) ; (R, 2) ; (R, 3) ; (B, 1) ; (B, 2) ; (B, 3)}

2020

IV. Des expériences à deux épreuves

R

B

1/4

3/4

1

1

2

2

3

3

1/6

1/6

1/3

1/3

1/2

1/2

Arbre pondéré (R, 1)

(R, 2)

(B, 1)

(R, 3)

(B, 2)

(B, 3)

1/41/6

1/41/2

1/41/3

3/41/6

3/41/2

3/41/3

Pour 120 000 répétitions de l’expérience :

Environ 30 000 fois R dont environ 5 000 fois « 1 », environ 15 000 fois « 2 » et environ 10 000 fois « 3 »,

C’est à dire environ 1/4 ×1/6 × 120 000 fois (R,1).

2121

Modélisation et représentation

Reconnaissances des issuesTableaux, arbres, ...Fréquences et probabilités

Raisonner de façon certaine sur l’incertain

une fois le modèle choisi, les raisonnements qu’on

fait ne souffrent pas de contestation.

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Le diagramme en bâtons ci-dessous donne la répartition des âges des

jeunes adhérents d’un club de théâtre.

1. Quelle est la population étudiée ? Quel est le caractère étudié ?

2. Y a-t-il un mode ?

3. Donner une valeur médiane. Donner sa signification.

4. On tire au sort un des jeunes adhérents de ce club de théâtre.

Quelle est la probabilité que le jeune choisi ait 12 ans ?

23

08

25

62

77

90

100

0

20

40

60

80

100

120

0 5 10 15 20 25

durée en minutes

Eff

ecti

fs c

um

ulé

s c

ro

issan

ts

Série1

Une enquête sur le temps d’appel de 100 collégiens à l’aide de leur téléphone portable, au cours d’une journée a donné les résultats représentés par polygone des effectifs cumulés croissants suivant.1) Présenter un tableau donnant les classes et les fréquences.2) Construire un histogramme de la série. Graphique temps d'appel.xls3) On choisit au hasard un des collégens concernés par l’enquête. Quelle est la probabilité que le temps d’appel de ce lycéen soit a) compris entre 10 et 15 mn ? b) supérieur ou égal à 5 mn ?

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