ETUDE DE LA DALLE PAR LA METHODE GUYON- MASSONNET

PRINCIPE GENERAL DE LA METHODE:

La méthode GUYON- MASSONNET est l’une des multiples méthodes pratiques utilisées pour calculer les structures composées de :

- DALLES PLEINES - GRILLAGE DE POUTRES MULTIPLES SOUS CHAUSSEE ETC...1°/ Dans le sens Longitudinal

a) Calcul des moments fléchissant permanentes G sur une bande égale à L/2 =6.5mb) Calcul des moments fléchissant dus aux surcharges roulantes par le théorème de BARRE en utilisant les lignes d’influence « Longitudinales »

c) Calcul des coefficients de Répartition transversal pour les charges roulantes: - Kα moy en ce qui concerne le moment fléchissant Mx. 2°/ Dans le sens Transversal.

a) Calcul des coefficients de répartition µα b) Convertir les charges réelles en fonctions sinusoïdales (Voir les détails de chaque type de charge) DETERMINATION DES EFFETS DANS LE SENS LONGITUDINAL:

1,50 3,50 3,50 1,50

30x x 1 20

70 2 20 3

20 90 20 20 90 20

-b -3b/4 -b/2 -b/4 0 +b/4 b/2 +3b/4 +b

- Poids propre de la dalle : charge permanente la surface de la dalle est ;- S = (1000 – 2 x 20) x 70 – 2 x (S1+ S2+ S3)

S = (1000 – 2 x 20) x 70 – 2 x (2

30203090

2

9020 xx

x + ) = 59400 cm2

Dal le en B. A : G0 = S x 2.5 = 5.94 x 2.5 = 14.85 t/m ⇒ CP = 14. 85 t/ml

Complément des charges permanente

1. Revêtement : = 1.23 t/ml 2. Trottoirs : = 2 x 1 = 2 t/ml3. Gardes corps ; = 2 x 0.1 = 0.2 t/ml 4. Corniches : = 2x 0.5 = 1t/ml ⇒ CC p = 4.43 t/ml

G =19.28 t/mlDétermination des moments MAX dans le sens longitudinal

Calcul du moment fléchissant du aux charges permanentes : Pour X= 0.5 L :

M= 8

2

LG × =

8

1328.19 2x = 407.29 t.m

M/section = 407,29 / 8= 50,911 tm Application des surcharges routières:

Il s’agit d’un pont de classe1, les surcharges applicables sont A (L) et Bc Evaluation de A (L) = a 1 x a 2 x A(Lo): a1= 1 a2 = Vo/V= 3.5/3.5 =1

A (lo)=230 + 12

36000

+L = 230 +

1213

36000

+ = 1670 kg/m2 = 1.67t/m2

1 voie chargée 2 voies chargée

A(l) =1.0 x 1.0 x3.5 x 1.67 = 5.845 t/ml A(l) =1.0 x 1.0 x7.00 x 1.67 = 11.69 t/ml

M= 8

)(2

LLA ×= 123.475 t.m M=

8

)(2

LLA ×= 246.95t.m

Calcul le moment MAX de la surcharge B C : par théorème de barré

12t R 12t 6t 6t a a 1.625m 4.5 1.5 4.5 0.875 S

X= 0.5 L = 6.50

∑∑=

Pi

pixXix ---/ m

xxxx 25,5

36

5.1066125.412 =++=

On trouve 2a = 5.25 - 4.5 ⇒ a = 0.375 m le moment est max ou point s M s = 76.89 tmM = M s x δ x b --- Le nombre maximal d’essieux à mettre sur le tablier est 5,

Soit s =12 + 12 + 6 + 12 +12 = 54 t b c =1.1 (2 files) b c =1.2 (1 file )

S = 2 x 54 x 1.1 =118.8 t Calcul du coefficient de majoration dynamique:

8.118

28.1941

6.0

132.01

4.01

41

6.0

2.01

4.01

×++

×++=

×++

++=

S

GLδ

= 1 ,47

1voie chargée 2voies chargéesM = 76.89 x 1.2 x 1.47 = 135.65 t.m M = 76.89 x 2 x 1.1 x 1.47 = 248.66 t.m

Répartition longitudinale des surcharges: Suivant la ligne d’influence Mx a mi porté (X= 0.5L) Système Bc ; A (l); trottoir

P2 = 12t p3 = 12t p1= 6t p4= 6t Bc

A(L) Trottoir 1.00 3..25 2.5 0.25 Ω 2 Ω 1 X= 0.5l = 6,5 6 ,5 m

Ligne d’influence du Moment a mi porté ; X =0.5l

o Surcharge Bc M = ∑ Pi x Yi

M (x =L /2) = 6x 1+ 12 x 3.25 + 12 x 2.5 + 6 x 0.25 = 76.5t.m1 VOIE chargée 2 voies chargées

M = 76.5 x 1.47 x 1.2 = 134.94 t.m M=76.5 x 2 x 1.1 x 1.47 = 247.40 t.m

o Surcharge A (L) M = q x l x ∑ Ω i , q = intensité de la charge par unité de surface.

Ω i = Aire de la ligne d’influence. l = Largeur de la voie chargée.

1 voie chargée 2 voies chargées M = 1.67 x 3.5 x 21.125 = 123.475 t.m M = 1.67 x 7 x 21.125 = 246.95 t.m

o Surcharge du trottoir ) M = q x l x ∑ Ω i

1 trottoir chargé 2 trottoirs chargésM = 0.15 x 1.5 x (10.5625+10.5625) = 4.75 tm M= 0.15 x 2 x 1.5 X 21.125 = 9.5 tm

CALCUL DES COEFFICIENTS DE REPARTITION TRANSVERSALE PAR LA METHODE DE GUYONMASSONNET

DEFINITIONS GENERALES: La méthode de GUYON- MASONNET permet d’étudier la répartition des charges sur un ouvrage en tenant compte de sa déformabilité traversable et, dans le cas le plus général, de sa rigidité torsionelle. Soient:L - la portée de l’ouvrage.2 b - sa largeur.I p - le moment d’inertie des poutres.I e - le moment d’inertie des entretoises.

ρP

- la rigidité flexionnelle par unité de longueur des poutres.

ρE

- la rigidité flexionnelle par unité de longueur des entretoises.

Dons les ponts dalles α =1 Paramètre de torsion On désigne par:

θ = b/L x 4

ρρ

E

P le paramètre d’entretoisement .

On notera que pour une dalle pleine ρP = ρ

E et 4

ρρ

E

P = 1.

Calcul de la largeur équivalente

- Le moment d’inertie de la section (1) IX = 225002

902066.1

36

2090 23

=××+× cm4

- - Le moment d’inertie de la section (2) IX = 2025002

302025

36

3020 23

=××+× cm4

- Le moment d’inertie de la section (3) IX = 128250090302012

2090 23

=××+× cm4

Le moment d’inertie de la dalle est IX = 12

70)2021000( 3×− x - 2 x (22500+202500+1282500)

= 27440000 – 3015000 = ,24425000 cm4

Le moment d’inertie de la dalle équivalente est IE X = 12

70)2( 3×b

12

70)2( 3×b = 24425000 ⇒ 2b = 8, 545 m ⇒ b = 4, 27m

d’ où : θ = b/L ; L = 13m donc : θ = 0, 3286 La largeur 2b de l’ouvrage à prendre en compte dans les calculs sera pour un pont Dalle égal à la largeur réelle de la dalle. En fonction de ces deux paramètres on peut lire sur les tableaux de GUYON- MASSONET les valeurs des coefficients K; µ. Etc. qui servent à dessiner les lignes d’influence des différents moments. Pour le projet et par mesures simplificatrices on s’intéresse au: 1°/ Moment fléchissant longitudinal Mx 2°/ Moment fléchissant Transversal My

Etant donné que le paramètre de torsion α =1 ; seuls les tableaux de K1 ; µ1 Seront considérés.

Kα = Ko + (K1 - Ko) α → Kα = K 1

Les valeurs moyennes des coefficients de répartition transversale seront obtenues à travers l’exploitation des courbes des lignes d’influence (voir ci-après).

TABLEAU DES COEFFICIENTS DE REPARTITION TRANSVERSALE K1θ = 0, 30 : POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES)

Y e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b

0 0.9664 0.984 1.0018 1.0173 1.0244 1.0173 1.0018 0.984 0.9664

b/4 0.8776 0.9104 0.9453 0.982 1.0173 1.0451 1.0591 1.0652 1.0689

b/2 0.8012 0.8453 0.8929 0.9453 1.0018 1.0591 1.1108 1.1508 1.1849

3b/4 0.7345 0.7876 0.8453 0.9104 0.984 1.0652 1.1508 1.2351 1.3126

b 0.6733 0.7345 0.8012 0.8776 0.9664 1.0689 1.1849 1.3126 1.4474

TABLEAU DES COEFFICIENTS DE REPARTITION TRANSVERSALE K1θ = 0, 35 : POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES)

Y e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b

00.9466 0.9741 1.0025 1.0279 1.0399 1.0279 1.0025 0.9741 0.9466

b/40.834 0.8781 0.9261 0.9777 1.0279 1.0659 1.0807 1.0824 1.0808

b/20.7408 0.7958 0.8568 0.9261 1.0021 1.0807 1.1496 1.1983 1.2369

3b/4 0.6624 0.7255 0.7958 0.8781 0.9741 1.0824 1.1983 1.3115 1.4123

b 0.5926 0.6624 0.7408 0.834 0.9466 1.0808 1.2369 1.4123 1.6001

Et par l’interpolation ; K1 (θ=0, 3286) = K1 (θ=0, 30) + 0,572 x K1 (θ=0, 35)- K1 (θ=0, 30)

TABLEAU DES COEFFICIENTS DE REPARTITION TRANSVERSALE K1θ = 0, 3286 : POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES)

Y e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b

00.9551 0.9783 1.0022 1.0234 1.0333 1.0234 1.0020 0.9783 0.9551

b/40.8527 0.8919 0.9343 0.9795 1.0234 1.0570 1.0714 1.0750 1.0757

b/20.7667 0.8170 0.8723 0.9343 1.0020 1.0714 1.1330 1.1780 1.2146

3b/4 0.6933 0.7521 0.8170 0.8919 0.9783 1.0750 1.1780 1.2788 1.3696

b 0.6271 0.6933 0.7667 0.8527 0.9551 1.0757 1.2146 1.3696 1.5347

TABLEAU des Moments M0 de chaque surcharge

TABLEAU des coefficients de répartition transversale et des moments pour chaque section

K1moy -- M xt = M0 x K1 moy

Surcharge CAS de surcharge Moment TOTAL Moment / section

M0 =MT/8A(L) 1 voie 123.475 15.434

2 voies 246.95 30,869Bc 1 file 135.65 t.m 16.956

2 files 248.66 t.m 31.082

Trottoir 1 Trottoir 4.75 0.5932 Trottoirs 9.5 1.187

TABLEAU DES MOMENTS MAX DE chaque sectionSection -4-

Y =3b/450,911 30.867 33.568 1.285 50,911+1.2[33.568+1.285]

= 92.723

LES SECTIONS LES PLUS sollicités est ; Section – 1 - « Y =0b »

Détermination des moments MAX dans le sens TRANSVERSALE

Les moment fléchissant My , est en règle générale maximum sur l’axe longitudinalDe l’ouvrage. (e = 0b)On a à mi-portée : X = L/2 Dans la pratique on se contente d’étudier les moments dans le sens transversal auCentre du pont.

Surch-arge

M0

Position de section 0b

Position de section b/4

Position de section b/2

Position de section 3b/4

Position de section b

K 1

moyMxt

K 1

moyMxt

K1

moyMxt

K 1

moyMxt

K1

moyMxt

1A(L) 15.434

1.021 15.757 1.049 16.189 1.095 16.900 1.142 17.625 1.180 18.211

2 A(L)30,869

1.012 31,300 1 30.867 1 30.868 1 30.867 1.00 30.869

1BC16.956

1.017 17.244 1.067 18.09 1.136 19.259 1.20 19.258 1.24 21.023

2BC31.082

1.155 35,900 1.038 32.262 1.061 32.977 1.03 32.014 1.08 33.568

1trttoir0.593

0.955 0566 1.076 0.637 1.215 0,640 1.37 0.812 1.53 0.907

2trttoirs 1.187 1,016 1,2060.964

1.144 1.215 1.442 0.987 1.171 1.082 1.285

Les sections

Charge permanente

SurchargeA (L)

Surcharge

bcSurcharge

De trottoir

Moment finalMCP+1,2 [A(L)+MT]

ouMCP+1,2[bc +MT]

Section - 1Y=0b

50,911 30.929 35,900 1,206 50,911+1.2[35,9 +1.206]

= 95,438Section-

2-y = b/4

50,91130.867 32.262 1.144 50,911+1.2[32.262+1.144]

= 90.998

Section- 3-

y =b/2

50,911 30.868 32.977 1.442 50,911+1.2[32.977+1.442]

= 92.205

Section -4-

Y =3b/4

50,911 30.867 32.014 1.171 50,911+1.2[32.014+1.171]

90.7205

My = µ x P sin . Sin Z = P sin. Sin

My = µ x Z

On disposera les convois sur les lignes d’influence des « µ » pour déterminer :

TABLEAU DES μ1 x 10-4 θ = 0, 30 :POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES)

y e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b

0 -1401.34

-787.36 -102.5 734.1 1820.55 734.1 102.5 -787.36 -1401.34

b/4 -1265.04

-871.88

-432.67 106.16 810.65 1764.97 532.19 -480.51 -1389.52

b/2-993.38

-766.73

-513.06

-200.19 212.24 776.33 1560.43 108.57 -1195.94

3b/4 -580.08 -480.7-

369.19-

230.77 -46.46 208.53 567.03 1072.76 -762.34b

0 0 0 0 0 0 0 0 0

TABLEAU DES μ1 x 10-4 θ = 0, 40 :POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES)

y e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b

0 -1016.48

-616.52

-131.42 546.21 1563.32 546.21 -131.42 -616.52 -1016.48

b/4-884.18

-660.13

-386.57 1.69 596.48 1530.71 416.12 -390.73 -1059.01

b/2-678.82

-568.18 -431.7

-233.31 79.66 584.96 1397.86 106.2 -967.12

3b/4 -393.82-

353.78-

303.53-

227.65 -102.61 107.16 455.09 1021.08 -658.96b

0 0 0 0 0 0 0 0 0

Et par l’interpolation : μ1 (θ=0, 3286) = μ1(θ=0, 30) + 0,286x μ1(θ=0, 40)- μ1(θ =0, 30)

TABLEAU DES μ1 x 10-4 θ = 0, 3286:POSITIONS REELLES (POSITIONS ACTIVES)

y e -b -3b/4 -b/2 -b/4 0 b/4 b/2 3b/4 b

0-1291.27 -738.50 -110.77 680.36 1746.98 680.36 + 35.60 -738.50 -1291.27

My = µ x P sin . Sin Z = P sin. Sin

My = µ x Z

µ max > 0 d’ ou My max > 0

µ max < 0 d’ou My max < 0

b/4-1156.11 -811.32 -419.48 76.28 749.40 1697.97 + 499.00 -454.83 -1294.99

b/2-903.42 -709.94 -489.79 -209.66 174.32 721.60 +1513.95 107.89 -1130.50

3b/4 -526.81 -444.40 -350.41 -229.88 -62.52 179.54 +535.02 1058.00 -732.77

b 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Rappel des formules

Charge répartie uniformément sur L. q

L

les charges concentrées - Convoi de charges

P1 P2 P3 Pn

d1

d2

d3

dn L

Définition des paramètres qui figuraient dans les deux formules précédentes:L: Longueur du pont.b: ½ Largeur équivalente du pont.p: Charge concentrée.q: Charge linéaire par mètre linéaire.µ : Coefficient de répartition transversal déterminé à partir des lignes d’influence de µ x : Position de l’entretoise dans le sens longitudinal par rapport à l’appui.d : Position du point d’application de la charge par rapport à l’appui.

Remarques: Pour déterminer les valeurs maximales des moments fléchissant transversaux, il faut chercher la

position la plus efficace du chargement (pour avoir ∑µ max) dans le sens transversal en se basant

sur les lignes d’influence et dans le sens longitudinal se placer au droit d’une des charges.

APPLICATION NUMERIQUE

Détermination de « Z » à mi-portée (X= L/2 ) b = 4 ,27m

a) surcharges uniformément réparties A(l) = 1.67 t/m² ; X= 6,5 m

My = µ x P sin . Sin Z = P sin. Sin

My = µ x Z

My = µ x 4q sin My = µ x ZZ =4q sin

13

5.6sin27.4

67.14 ππ

xxx

Z = = 9.08

Trottoirs : q = 0,15 t/m² ; X = 6,5 m

.

13

5.6sin27,4

15,04 ππ

xxx

Z = = 0,816

=

Le système Bc: x = 6,5 m P2=6 p3=6t p4=3t P1=3t

d1=2.00m d2=6.5m

d3 = 8m d4=12,5m 2b = 13 m

P1 = 3.0 t P2 = 6.0 t P3 = 6.0 t P4 = 3,0 t d1 = 2,0m d2 = 6.5 m d3 = 8.0 m d4 = 12.5 m

Z = 13

27,42x x

13

8sin6

13

5.6sin6

13

2sin3

πππ ++ +3 sin 13

5.12 π x sin

13

5.6 π = 8,78 t.m/ml

N .B : Le poids propre n’intervient pas dans le My. Puisque 0. =∫+

−

dyb

b

µ

TABLEAU RECAPITULATIF DES My

TABLEAU de M y = £ .Z.µ /ml

SECTION y = « 0.b »

£ Z∑µ My = £ .∑µ x Z

∑µ > 0

x10-4

∑µ < 0

x10-4My > 0 My < 0

A (L) 1 voiea1 x a2 = 1

9.08 + 3201.72 0 + 2,907 0

A(L) 2 voies 1 9.08 + 1885.98 0 + 1,712 01Bc (une file) 1.47x1.2 8,78 + 1400.30 - 225.60 + 2,169 - 0,349

2Bc (deux files) 1.47x1.1 + 230.50 0 + 0,327 0

M max + 2,907 - 0.349

1 trottoirs

10.816

0 - 921,62 0 -0.0753

2 trottoirs 0.816 0 - 1843,25 0 - 0.150

M Y = 1,2 x (M max +Mmax trottoir) + 3,488 - 0.600

SECTION y = « b/4 »

SECTION y = « b/2 »

£ Z∑µ My = £x∑µ x Z

∑µ > 0

x10-4

∑µ < 0

x10-4My > 0 My < 0

A(l) 1 voie

a1 x a2 = 19.08 + 2785,60 - 1169.4 + 2,529 -1.062

A(l) 2 voies 1 9.08 + 1257,16 0 + 1,141 0

1Bc(une file) 1.47x1.28,78

+ 1738 ,95 - 975,55 + 2.693 - 1.5112Bc(deux files) 1.47x1.1 +1075 ,85 0 + 1.527 0

M max + 2,693 -1.0621 trottoirs 0 - 617 ,75 0 - 0.05

£ Z∑µ My = £x∑µ x Z

∑µ > 0

x10-4

∑µ < 0

x10-4My > 0 My < 0

A(L) 1 voiea1 x a2 = 1

9.08 + 3587,96 - 1268 ,30 + 3,258 - 1,151

A(l) 2 voies 1 9.08 + 1448,64 0 + 1,315 01Bc (une file) 1.47x1.2

8,78+ 1550,58 -880,70 + 2,402 - 1,364

2Bc (deux files) 1.47x1.1 + 2025,60 0 + 2,876 0

M max +3,258 - 1,364

1 trottoirs1 0.816

0 -777 ,55 0 -0.0633

2 trottoirs 0.816 0 - 1504 ,25 0 - 0.123

M Y = 1,2 x (M max +Mmax trottoir) +3,91 - 1,784

10.816

2 trottoirs 0.816 0 -1133,548 0 -0.0923

M Y = 1,2 x (M max +Mmax trottoir) + 3,232 - 1,385

SECTION y = « 3b/4 »

£ Z

∑µ My = £x∑µ x Z

∑µ > 0

x 10-4

∑µ < 0

x 10-4My > 0 My < 0

A(L) 1 voiea1 x a2 = 1

9.08 + 1480,20 - 975,85 + 1,344 -0.886

A(L) 2 voies 1 9.08 + 515,42 0 + 0,468 01Bc (une file) 1.47x1.2

8,78+ 1250,70 - 720,30 + 1.937 -1.115

2Bc (deux files) 1.47x1.1 + 1050,60 - 695 ,40 + 1.492 -0.987

M max + 1.937 -1.115

1 trottoir1

0.8160 - 374,30 0 -0.03

2 trottoirs 0.816 0 - 529,82 0 - 0.0433

M Y = 1,2 x (M max +Mmax trottoir) + 2.324 - 0,088

Pour la SECTION y = « + b» le moment est nulle

Les sections les plus sollicités sont :- - SECTION y = « b/4 » -- M max = +3,91t.m/ml -- SECTION y = « b/4» ---M max = - 1,784.m/ml