18 Analyse Des Réseaux Triphasés en Régime Perturbé à l’Aide Des Composantes Symétriques Frances

..........................................................................

Cahier technique n 18

Analyse des rseaux triphassen rgime perturb laide descomposantes symtriques

B. de Metz-Noblat

Collection Technique

Les Cahiers Techniques constituent une collection dune centaine de titresdits lintention des ingnieurs et techniciens qui recherchent uneinformation plus approfondie, complmentaire celle des guides, catalogueset notices techniques.Les Cahiers Techniques apportent des connaissances sur les nouvellestechniques et technologies lectrotechniques et lectroniques. Ils permettentgalement de mieux comprendre les phnomnes rencontrs dans lesinstallations, les systmes et les quipements.Chaque Cahier Technique traite en profondeur un thme prcis dans lesdomaines des rseaux lectriques, protections, contrle-commande et desautomatismes industriels.Les derniers ouvrages parus peuvent tre tlchargs sur Internet partirdu site Schneider Electric.Code : http://www.schneider-electric.comRubrique : Le rendez-vous des expertsPour obtenir un Cahier Technique ou la liste des titres disponibles contactezvotre agent Schneider Electric.

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n 18Analyse des rseaux triphassen rgime perturb laide descomposantes symtriques

CT 18(e) dition dcembre 2002

Benot de METZ-NOBLAT

Ingnieur ESE, il a travaill dans le Groupe Saint-Gobain puis estentr chez Merlin Gerin en 1986. Il a la responsabilit du ServiceElectrotechnique et Rseaux, dans lequel sont tudis lesphnomnes lectriques concernant le fonctionnement des rseauxet leur interaction avec les matriels et quipements.

Cahier Technique Schneider Electric n 18 / p.2


Analyse des rseaux triphassen rgime perturb laide descomposantes symtriques

Le dimensionnement dune installation et des matriels mettre en uvre,le rglage des protections, comme lanalyse de phnomnes lectriques,ncessitent souvent des calculs de courants et de tensions dans desrseaux.

Le dveloppement de ce Cahier Technique a pour but de prsenter ourappeler une mthode simple de calcul - laide des composantessymtriques - de tous ces paramtres dans des rseaux triphass enrgime perturb.

Sommaire1 Prsentation p. 42 Rappel mathmatique sur les vecteurs 2.1 Reprsentation vectorielle dun phnomne physique p. 5

2.2 Dfinition de base p. 52.3 Reprsentation vectorielle p. 62.4 Composantes symtriques p. 72.5 Dcomposition dun systme triphas en ses composantes p. 8symtriques2.6 Calcul mathmatique des composantes symtriques p. 92.7 Conclusion : application llectrotechnique p. 10

3 Applications lmentaires 3.1 Mthode de calcul des rgimes dsquilibrs p. 113.2 Dfaut phase terre (dit dfaut homopolaire) p. 123.3 Dfaut biphas p. 143.4 Dfaut triphas p. 153.5 Rseau charge dsquilibre p. 163.6 lmpdances associes aux composantes symtriques p. 173.7 Formulaire rcapitulatif p. 18

4 Exemples chiffrs 4.1 Exemple 1 p. 194.2 Exemple 2 p. 204.3 Exemple 3 p. 244.4 Exemple 4 p. 25

Annexe p. 27


1 Prsentation

En fonctionnement normal quilibr symtrique,ltude des rseaux triphass peut se ramener ltude dun rseau monophas quivalent detensions gales aux tensions simples du rseau,de courants gaux ceux du rseau etdimpdances gales celles du rseauappeles impdances cycliques.Ds quapparat une dissymtrie significativedans la configuration du rseau, la simplificationnest plus possible, car on ne peut tablir lesrelations dans les diffrents conducteurs laidedune impdance cyclique par lment de rseau.

La mthode gnrale faisant appel aux loisdOhm et de Kirchhoff est possible maiscomplexe et lourde.La mthode, dite des composantes symtriques,dcrite dans ce document simplifie les calculs etpermet une rsolution beaucoup plus facile ense ramenant la superposition de trois rseauxmonophass indpendants. Aprs un rappel denotions vectorielles, cette mthode estdveloppe partir dapplications lmentairessur diffrents types de court-circuit, suivisdexemples chiffrs de cas rels.


2 Rappel mathmatique sur les vecteurs

2.1 Reprsentation vectorielle dun phnomne physiqueUn phnomne physique vibratoire estsinusodal quand llongation dun point vibrantest une fonction sinusodale du temps :x = a cos(t + ).Lapplication llectrotechnique, dans laquelletensions et courants sont des phnomnessinusodaux, est bien connue.c Considrons un vecteur OM de module a,tournant dans le plan (Ox, Oy) autour de sonorigine O avec une vitesse angulaire constante (cf. fig. 1 ).Si linstant initial t = 0, langle (Ox, OM) a lavaleur , linstant t il aura la valeur (t + ).Projetons le vecteur courant OM sur laxe Ox.

La valeur algbrique de sa projection est, linstant t : x = a cos(t + ). Ainsi :v le mouvement de la projection de lextrmitdu vecteur tournant sur laxe Ox est unmouvement sinusodal damplitude a gale aumodule de ce vecteur,v la pulsation du mouvement sinusodal estgale la vitesse angulaire du vecteur tournant,v la phase initiale est gale langle que fait levecteur tournant avec laxe Ox linstant initialt = 0.c Rciproquement on peut faire correspondre unvecteur tournant toute fonction sinusodalex = a cos(t + ).Par convention on reprsente la fonction x par levecteur OM dans la position quil occupe linstant initial t = 0 ; le module du vecteurreprsente lamplitude a de la fonction sinusodaleet langle (Ox, OM)reprsente sa phase initiale.c Donc ltude dun phnomne physiquesinusodal peut se ramener ltude du vecteurqui lui correspond. Ceci est intressant car lamanipulation mathmatique sur les vecteurs estassez aise.Cela sapplique en particulier au domaine desphnomnes lectriques triphass dans lesquelstensions et courants sont reprsents par desvecteurs tournants.

Fig. 1

2.2 Dfinition de basec soit un phnomne lectrique vibratoiresinusodal reprsent par un vecteur tournant V(cf. fig. 2 ).On se donne a priori dans le plan :c Un axe de rfrence Ox de vecteur unitaire x : x =1

.

c Un sens de rotation conventionnellement dfinicomme positif dans le sens anti-horaire + .c Le vecteur Vdont on ramne lorigine en O estessentiellement caractris par :v une amplitude V : un instant donn, lalongueur du vecteur est gale numriquementau module de la grandeur du phnomne,v une phase : cest un instant donn, langle(Ox, V) , que fait V avec laxe de rfrence Ox,compte tenu du sens de rotation adopt,v une pulsation : cest la vitesse constante derotation du vecteur en radians par seconde.

Fig. 2

On lexprime trs frquemment en tours parsecondes, il sagit alors de la frquence duphnomne donne en Hz (1 Hz = 2 rd/s).c Un systme triphas est un ensemble de 3vecteurs V , V , V1 2 3 , de mme origine, de mmepulsation et ayant chacun une amplitudeconstante.c Un systme lectrique est linaire quand il y aproportionnalit des relations de causes effets.


2.3 Reprsentation vectorielleLe vecteur Vest reprsent classiquement dansun systme daxes de coordonnesrectangulaires (cf. fig.3 ).V = = + = +OM OX OY OX x OY yc Oprateur j Pour faciliter les oprations sur les vecteurs,V peut tre reprsent de faon quivalente parun nombre complexe en utilisant loprateur j . j est un oprateur vectoriel qui consiste faire tourner de + /2 le vecteur auquellopration est applique, donc j x y = .On voit alors que :

j

j

j

2

3

4

2

2 2

2

= =

= =

= =

-1 (rotation de 2

-1 (rotation de 3

+1 (rotation de 4 2

)3 )

)

do : V OX x OY j x x OX j OY= + = +( ) c Oprateur a a est un oprateur vectoriel qui consiste faire tourner de + 2/3 le vecteur auquellopration est applique (cf. fig. 4 ).On voit alors que :v a2 fait tourner un vecteur de :

2 23 3

23

4 (quivalent - ) =

v a3 fait tourner un vecteur de :

3 2 23

= (quivalent 0)

a j

a j

= +

=

- 0,5

- 0,5 -

323

22

doa0 = a3 = a6 = 1a = a4 = a7 a2 = a-2 = a-5

a - a2 = je et 1 + a + a2 =0

Fig. 3

Fig. 4

Cette dernire relation se vrifie graphiquementen constatant sur la figure que la somme desvecteurs reprsents est nulle :V aV a V+ + =2 0do V (1 + a + a2) = 0donc 1 + a + a2 = 0


2.4 Composantes symtriquesSoit un ensemble de trois vecteurs triphasssinusodaux tournant la mme vitesse.Ils sont donc fixes les uns par rapport auxautres.Il existe trois dispositions particuliresprsentant une symtrie des vecteurs entreeux et pour cela qualifies de composantessymtriques :c le systme direct encore appel parles anglo-saxons squence positive (cf. fig. 5 ), dans lequel V , V , V1 2 3v ont mme amplitude,v sont dcals de 120,v sont disposs de telle faon quun observateurau repos voit dfiler les vecteurs dans lordreV , V , V1 2 3 ;

V

V a a

V a

1

22

3

= =

=

V V

V1 3

1

c le systme inverse encore appel par lesanglo-saxons squence ngative (cf. fig. 6 ),dans lequel V , V , V1 2 3v ont mme amplitude,v sont dcals de 120,

Fig. 5

Fig. 6

Fig. 7

v sont disposs de telle faon quun observateurau repos voit dfiler les vecteurs dans lordreV , V , V1 3 2 ;

V

V a

V a a

1

2

32

=

= =

V

V V1

1 2

c le systme homopolaire encore appel parles anglo-saxons squence nulle (cf. fig. 7 ),dans lequel V , V , V1 2 3v ont mme amplitude,v sont en phase et donc colinaires, ainsi unobservateur au repos peut les voir passer enmme temps.


2.5 Dcomposition dun systme triphas en ses composantes symtriquesSoit un systme triphas quelconque form detrois vecteurs V , V , V1 2 3 (cf. dfinitions de base) ;on montre que ce systme est la somme de3 systmes triphass quilibrs : direct, inverseet homopolaire.c systme direct : Vd Vd Vd1 2 3 , , c systme inverse : Vi Vi Vi1 2 3 , , c systme homopolaire : Vo Vo Vo1 2 3 , , On aura :V Vd Vi Vo

V Vd Vi Vo

V Vd Vi Vo

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

= + +

= + +

= + +

Si on choisit les vecteurs indics 1 commevecteurs dorigine, et que lon fait intervenirloprateur a on trouve les quations

suivantes :V Vd Vi Vo

V a Vd a Vi Vo

V a Vd a Vi Vo

1

22

32

= + +

= + +

= + +

On peut calculer les composantes symtriques :

Vd V a V a V

Vi V a V a V

Vo V V V

= + +( )= + +( )= + +( )

13

1313

1 22

3

12

2 3

1 2 3

Leur construction gomtrique est aise entenant compte de la signification de loprateur a (rotation de 2/3) (cf. fig. 8 ).

Fig. 8 : construction gomtrique des composantes symtriques avec loprateur a .

Systme donn Vd V a V a V= + +( )13 1 2 2 3

Vi V a V a V= + +( )13 1 2 2 3 Vo V V V= + +( )13 1 2 3


De faon plus pratique on peut construire lescomposantes symtriques directement sur lafigure sans avoir faire des reports de vecteurs(cf. fig. 9 ).En effet, soient les points D et E tels que BDCEsoit un losange compos de deux triangles

quilatraux BDC et BCE, et avec Ole barycentre du triangle ABC ; un simplecalcul ( suivant) montre que :

Vd EA Vi DA Vo OO= = =3 3

'

Fig. 9 : construction gomtrique des composantes symtriques sur le systme triphas.

Systme donn

2.6 Calcul mathmatique des composantes symtriquesSoit les points D et E tels que (BDCE) soit unlosange compos de deux triangles quilatraux(BDC) et (BCE).EA EB BA a BCEA a BC BA

a BO a OC BO OA

OA OB a OC

OA a OB a OCV aV a V Vd

= + =

= +

= + + +

= + ( ) += + +

= + + =

, or EB d'o

-a -1

2

2

2

2 2

2

2

1 22

3 3

Vd EA=3

DA DB BA a BCDA a BC BA

a BO a OC BO OAOA OB a OC

= + =

= +

= + + +

= + ( ) +

, or DB d'o

-a -1

DA OA a OB a OCV a V a V Vi

= + +

= + + =

2

12

2 3 3

Vi DA=3

Soit O le barycentre du triangle ABC, alorsO A O B O CV V V Vo

OA OB OCOO O A OO O B OO O C

OO O A O B O COO

' ' '

' ' ' ' ' '

' ' ' '

'

+ + =

+ + =

= + +

= + + + + +

= + + +

=

0

3

3

3

1 2 3

Vo OO= '


2.7 Conclusion : application llectrotechniqueLintrt de la mthode expose au paragrapheprcdent est immdiat en lectricit dans le casde rseaux triphass linaires et frquenceunique.En effet, les systmes triphass appliqus auxrseaux lectriques peuvent tre dsquilibrspar des dissymtries de charges ou de dfauts.Aussi, la simplicit offerte par des calculs seramenant la superposition de trois systmesindpendants, qui se traitent sparment en lesramenant chacun au cas simple monophas, estvidente.Notons que ces manipulations mathmatiquescorrespondent bien en fait une ralit physique

des phnomnes : les impdances symtriquesdes matriels lectriques peuvent se mesurer(cf. chapitre 3) ainsi que les composantessymtriques dun systme de tensions oucourants (cf. chapitre 4, exemple n 4).Remarquesc dans la suite du texte, les vecteurs tension etcourant seront nots, par simplification, sansflche.c les composantes symtriques des tensions etcourants choisies pour reprsenter simplementle systme sont celles de la phase 1 :Vi = Vd + Vi + Vo


3 Applications lmentaires

3.1 Mthode de calcul des rgimes dsquilibrsPrincipe de superpositionNous allons examiner le comportement dunrseau triphas linaire et symtrique, cest--dire compos dimpdances constantes etidentiques pour les 3 phases (cest le cas enpratique) ne comportant que des forceslectromotrices quilibres mais dont lescourants et tensions peuvent se trouverdsquilibrs du fait de la connexion une zonedissymtrique D.Les forces lectromotrices (f.e.m.) constituentpar nature des systmes directs, les f.e.m. dessystmes inverses et homopolaires tant nulles.Le fonctionnement du rseau est interprt enconsidrant la superposition de trois rgimescorrespondant chacun lun des systmesdirect, inverse et homopolaire.En effet dans ce rseau linaire et symtrique,les courants de chaque systme sont lisuniquement aux tensions du mme systme, etrciproquement, par lintermdiaire desimpdances du systme considr. Notons queces impdances Zd, Zi, Zo sont fonction desimpdances relles, notamment des inductancesmutuelles.Pour un rseau comportant une seule f.e.m., lescomposantes symtriques de tension et decourant tant respectivement, lendroit D de ladissymtrie Vd, Vi, Vo, Id, Ii, Io, les relationsdfinissant les 3 rgimes sont :E = Vd + Zd Id0 = Vi + Zi Ii0 = Vo + Zo Ioschmatises par la figure 10 .Pour les rseaux comportant plusieurs sources,ces quations restent valables condition deconsidrer E et Zd, Zi, Zo, respectivementcomme la f.e.m. et comme les impdancesinternes du gnrateur quivalent de Thvenin.

Mthode de rsolution pratiqueLa mthode rsume ci-dessous seradveloppe en dtail sur lexemple duparagraphe suivant (dfaut monophas terre).c Le rseau est divis en 2 zones :v une zone dissymtrique D (rseaudsquilibr),v une zone symtrique S (rseau quilibr).c On crit les quations liant courants ettensions :v dans la zone D (composantes relles),v dans la zone S (composantes symtriques),v continuit la frontire D-S,v fonctionnement dans la zone S.c La rsolution mathmatique des quationspermet de calculer les valeurs des composantessymtriques et des composantes relles descourants et tensions des zones D et S.Il est noter que les schmas reprsentatifs dessystmes symtriques offrent la possibilit decalculer directement les valeurs descomposantes symtriques.

Fig. 10


3.2 Dfaut phase-terre (dit dfaut homopolaire)Le circuit est suppos non charg.

Ecriture des quationsc Isolement de la zone dissymtrique (cf. fig. 11 )c Equations des composantes relles dans (D)

I II

2 31 1

0= ==

V ZCes quations dcrivent le cas examin. Ce sontles seules qui soient propres ce cas de figure.c Equations des composantes symtriquesdans (S)

I I I II I I II I I I

1

22

32

1

22

12

= + +

= + +

= + +

= + +

= + +

= + +

d i oa d a i oa d a i o

V Vd Vi VoV a Vd aVi VoV aVd a Vi Vo

Ces quations lient respectivement les courantsrels et les tensions relles leurs composantessymtriques. On les retrouvera lidentique danstous les calculs de rgimes dsquilibrs. Ellesrsultent des dfinitions prcdentes (cf. chap. 2).c Continuit la frontire D-SEn combinant entre elles les quations descomposantes relles dans (D) et les quationsdes composantes symtriques dans (S) onobtient :

a d a i oa d a i oVd Vi Vo Z

d i oVd Vi Vo Z o

2

2

1

1

00

33

I I II I I

I

I I II

I

+ + =

+ + =

+ + =

= = =

+ + =

c Equations de fonctionnement de SE Vd Zd d

Vi Zi iVo Zo o

= + = + = +

II

I00

Ces trois quations se retrouverontsystmatiquement dans tous les calculs dergimes dsquilibrs ne comportant quuneseule source de tension.

Fig. 11

Rsolution des quationsc Valeurs des composantes symtriques descourants et des tensionsE + 0 + 0 = Vd + Vi + Vo + Zd Id + Zi Ii + Zo Io

= 3Z Io + (Zd + Zi + Zo) Iosoit :

I I Io d i EZd Zi Zo Z

= = =

+ + + 3

Vd E Zd d E Zd EZd Zi Zo Z

Vd E Zi Zo ZZd Zi Zo Z

= =+ + +

=

+ +

+ + +

- -

I3

33

Vi Zi i

Vi Zi EZd Zi Zo Z

=

=

+ + +

-

-

I

3

Vo Zo o

Vo Zo EZd Zi Zo Z

=

=

+ + +

-

-

I

3


c Schma du rseau selon les composantessymtriques (cf. fig. 12 )c Valeurs des tensions et des courants relsI1 = Id + Ii + Io

I13

3=

+ + +

EZd Zi Zo Z

I2 = 0

I3 = 0

V1 = Z x I1

V Z EZd Zi Zo Z1

33

=

+ + +

V a Vd aVi Vo

a E Zi Zo ZZd Zi Zo Z

aE ZiZd Zi Zo Z

E ZoZd Zi Zo Z

E Zi a a Zo a a ZZd Zi Zo Z

22

2

2 2 2

33 3 3

1 33

= + +

=

+ +

+ + + + + + + + +

=

+ +

+ + +

- -

( - ) ( - )

-V a E Zd a Zi aZoZd Zi Zo Z2

22

13

=

+ +

+ + +

V aVd a Vi Vo

aE Zi Zo ZZd Zi Zo Z

a E ZiZd Zi Zo Z

E ZoZd Zi Zo Z

E Zi a Zo a aZZd Zi Zo Z

32

233 3 3

33

= + +

=

+ +

+ + + + + + + + +

=

+ +

+ + +

- -

( -a ) ( -1)2

-

Zd+aZi+a2V aE ZoZd Zi Zo Z3

13

=

+ + +

Nota :Le terme 1

3-

Zd+aZi+a2ZoZd Zi Zo Z+ + +

est appel facteur de dfaut la terre , sa valeur varie entre 1 et 1,8.

Cas particuliersc Dfaut francSoit Z = 0, le courant de dfaut phase-terre prend la valeur : I1 = + +

3EZd Zi Zo

c Dfaut de terre impdantSoit 3Z >> Zd + Zi + Zo, le courant de dfaut phase-terre est dfini par limpdance de dfaut : I1 =

EZ

Fig. 12


3.3 Dfaut biphas terre (cf. fig. 13 )Ecriture des quationsc Dans la zone (D)

II I

12 3 3

0== = +

V V Z ( )2c Dans la zone (S)


1

22

32

1

22

32

= + +

= + +

= + +

= + +

= + +

= + +



c Continuit la frontire (D) - (S)I I I

I

d i oVd ViVo Vd Z o

+ + ==

= +

0

3c Fonctionnement de (S)

E Vd Zd dVi Zi iVo Zo o

= + = + = +

II

I00

Rsolution des quations

I

I

d EZd Zi Zo Z

d EZo Z Zd Zi

=

++

+ +

=

+ +

+ + +

( )Zi Zo 3Z

Zi Zo 3ZZd Zi ( )( )

3

3

I

I

i ZiZo Z

iZd Zi Zo Z

=

++

+ +

+

+ +

=

+

+ + +

-E

Zd (Zo 3Z)Zi Zo 3Z

Zi Zo 3Z

-E (Zo 3Z)Zd Zi ( )( )

3

3

I

I

o ZiZi

oi

Zd Zi Zo Z

=

++

+ +

+ +

=

+ + +

-E

Zd (Zo 3Z)Zi Zo 3Z

Zi Zo 3Z

-E ZZd Zi ( )( )3

Vd Vi EZd Zi Zo Z

Zi= =

++

+ +

+

+ + ( )Zi Zo 3Z

(Zo 3Z)Zi Zo 3Z3

Vo E

Zd Zi Zo ZZo Zi

=

++

+ +

+ + ( )

Zi Zo 3Z

x

Zi Zo 3Z3

Fig. 13

I

I

I

1

2

32

1

2 3

0

3 3

3 3

3 2

3

=

=

+

+ + +

=

+

+ + +

=

+

+ + +

= =

+ + +

-

-

(Zd )(Zo 3Z)

-

(Zd )(Zo 3Z)

( )(Zd )(Zo 3Z)

-

(Zd )(Zo 3Z)

j E Zo Z aZiZd Zi Zi

j E Zo Z a ZiZd Zi Zi

V E Zi Zo ZZd Zi Zi

V V E Z ZiZd Zi Zi

c Schma du rseau selon les composantessymtriques (cf. fig. 14 )

Fig. 14


Cas particuliersc Dfaut francSoit Z = 0, le courant de dfaut phase-terreprend la valeur : I I2 3

3+ =

+ + -

ZiEZd Zi Zi Zo Zd Zo

c Dfaut biphasSoit Z = , le courant de dfaut phase vautalors :

I I2 3= = +=

+- E (a -a) -jE 3

2

Zd Zi Zd Zi

3.4 Dfaut triphas (cf. fig. 15 )

Fig. 15

Ecriture des quationsc Dans la zone (D)V V V Z1 2 3 2 3= = = + + ( )1I I Ic Dans la zone (S)


1

22

32

1

22

32

= + +

= + +

= + +

= + +

= + +

= + +



c Continuit la frontire (D) - (S)I I I I1+ + = =

= =

= = =

2 3

1 2 3

3

0

oVoZ

Vd Vi

V V V Vo

c Fonctionnement de (S)E Vd Zd d

Vi Zi iVo Zo o

= + = + = +

II

I00


I I I

I

I

I

d EZd

i o

Vd Vi Vo

EZd

aEZd

aEZd

V V V

= = =

= = =

=

=

=

= = =

et 0

0

0

1

22

3

1 2 3

Les rsultats sont indpendants des valeurs Z,Zi et Zo.c Schma du rseau selon les composantessymtriques (cf. fig. 16 ).

Fig. 16


3.5 Rseau charge dsquilibre (cf. fig. 17 )Ecriture des quationsc Dans la zone (D)

II I

1- Z Z=

= =

0

3 2 3 2V V c c

c Dans la zone (S)I I I II I I II I I I

1

22

32

1

22

32

= + +

= + +

= + +

= + +

= + +

= + +



c Continuit la frontire (D) - (S)II I

I

od i

Vd Vi Zc d

=

=

=

0

c Fonctionnement de (S)E Vd Zd d

Vi Zi iVo Zo o

= + = + = +

II

I00


I

I

I

I

I

I

d EZd Zi Zc

i EZd Zi Zc

o

Vd E Zi ZcZd Zi Zc

Vi E ZiZd Zi Zc

Vo

j EZd Zi Zc

j EZd Zi Zc

V E Zi ZcZd Zi Zc

V E Zc ZiZd Zi Zc

V E Zc Zi

=

+ +

=

+ +

=

=

+

+ +

=

+ +

=

=

=

+ +

=

+ +

=

+

+ +

=

+ +

=

-

( )

-

(2 )

(a - )

(a -

2

0

0

0

3

3

1

2

3

1

2

3))

Zd Zi Zc+ +

Fig. 17

Fig. 18

c Schma du rseau selon les composantessymtriques (cf. fig. 18 ).

Cas particuliersc Charge de puissance faibleSoit : Zc do I1 et I3 0et V1, V2, V3 tendent vers les valeurs du rseausymtrique, cest--dire vers E, a2E, aE.c Court-circuit biphas isolSoit : Zc = 0.Le courant de dfaut gale alors

I I3 33

= =

+- j E

Zd Zi


3.6 Impdances associes aux composantes symtriquesDans ce paragraphe, sont passs en revue lesprincipaux lments pouvant intervenir dans unrseau lectrique. Pour les machines tournanteset les transformateurs, les ordres de grandeursdes impdances sont indiques en pourcentage :

z % =

100 2Z

SU

n

n

Machines synchronesLes gnratrices donnent naissance lacomposante directe de la puissance. Les dfautssont crateurs des composantes inverse ethomopolaire qui se dirigent du lieu du dfautvers les lments quilibrs en sattnuantprogressivement.c Lors dune perturbation, la ractance directedune machine varie de sa valeur subtransitoire sa valeur synchrone. Dans un calcul de dfauton peut retenir les valeurs suivantes en % :

Sa valeur est de lordre de la moiti de laractance subtransitoire.

Machines asynchronesLa composante directe engendre dans lesmoteurs des champs tournants dans le sensdirect (couple utile).La composante inverse engendre des champstournants gnrateurs de couples de freinage.c Usuellement on peut considrer la ractancedirecte comme une impdance passive :U2 / (P- jQ)c La ractance inverse varie entre 15 % et 30 %.Elle est approximativement gale la ractancede dmarrage.c La ractance homopolaire est trs faible.

TransformateursLa circulation dun courant homopolaire dans lesenroulements dun transformateur ncessite uncouplage ayant un point neutre reli la terre ou un conducteur de neutre.c Ils prsentent aux courants des systmesdirect et inverse une impdance gale leurimpdance de court-circuit, soit 4 % 15 %.c La ractance homopolaire -Rh- dpend dumode de couplage des enroulements et de lanature du circuit magntique.Le tableau de la figure 19 indique des ordres degrandeur de cette ractance et prsentediffrents couplages possibles. En annexe, untableau prcise la grandeur ou le mode de calculde Rh pour chaque mode de couplage.

c La ractance inverse est infrieure laractance directe transitoire.c La ractance homopolaire nest prise encompte que lorsque le neutre de lalternateur estruni la terre directement ou travers unebobine/rsistance.

Transformateur Ractance(vu du secondaire) homopolairePas de neutre Yyn ou Zyn Flux libre

Flux forc 10 15 XdDyn ou YNyn XdPrimaire zn 0,1 0,2 Xd

Fig. 19

Un couplage est dsign par un groupe de deuxsymboles :c le premier (en majuscule) est affect la tensionla plus haute,c le second (en minuscule) est affect la tensionla plus basse.Cette dsignation est complte par la valeur dedphasage angulaire (indice horaire). Pour desraisons conomiques et pour une tolrancesuffisante au dsquilibrage de charge entre phases,les couplages usuels en distribution HT/BT sont :c Yzn 11 pour 50 kVA,c Dyn 11 de 100 3150 kVA. Avec :D : couplage triangle en HTd : couplage triangle en BTY : couplage toile en HTy : couplage toile en BTZ : couplage zig-zag en HTz : couplage zig-zag en BTN : neutre sorti en HTn : neutre sorti en BT11: indice horaire qui dfinit le dphasage entre laHT et la BT.

Ractance % Ples saillants Entrefer constantSubtransitoire 30 20Transitoire 40 25Synchrone 120 200

Le montage zig-zag nest utilis que du ctsecondaire des transformateurs de distribution.

A

BC

A

BC

A

BC

Montage en toile(symbole )

Montage en triangle(symbole )

Montage en zig-zag (symbole Z)


Type de dissymtrie Dissymtrie impdante Dissymtrie franche(Z = 0 et/ou Zc = 0)

Court-circuit monophas Icc UZd Zi Zo Z

=

+ + +

33

Icc UZd Zi Zo

=

+ +

3

Court-circuit biphas terre IterreU Zi

Zd x Zi Zi Z=

+ +

33

(Zd )(Zo ) IterreU Zi

Zd x Zi Zi x Zo Zd x Zo=

+ +

3

(Zc = 0)

Court-circuit biphas isol Icc UZd Zi Zc

=

+ + Icc U

Zd Zi=

+ (Z = m)

Court-circuit triphas Icc UZd Zc

=

+ 3Icc U

Zd=

3(Z quelconque)

Lignes ariennesConsidrons des lignes transposes.c Limpdance et la capacit directes ouinverses dpendent de la gomtrie de la ligne.v Lignes 1 conducteur par phase (63, 90, 150,225 kV)Rd = Ri 0,16 /kmXd = Xi 0,4 /kmCd = Ci 9 nF/kmv Lignes 2 conducteurs par phase (400 kV)Rd = Ri 0,04 /kmXd = Xi 0,32 /kmCd = Ci 12 nF/km

c Limpdance homopolaire vaut environ troisfois limpdance directe. La capacit homopolairevaut environ six fois la capacit directe.

Cblesc La ractance et la capacit directes et inversessont fonction de la gomtrie des cbles.Rd = RiXd = Xi 0,1 0,15 /kmCd = Ci 120 320 nF/kmc Les caractristiques homopolaires dun cble nese dduisent pas facilement de celles directe etinverse. Elles sont en gnral ngligeablesdevant celles des transformateurs quil alimente.

3.7 Formulaire rcapitulatifNotationc tension efficace compose du rseautriphas = Uc tension efficace simple du rseau triphasV = U/ec courant de court-circuit en module = Icc

c courantde dfaut terre en module = Iterrec impdances symtriques = Zd, Zi, Zo,c impdance de court-circuit = Zc,c impdance de terre = Z.Le tableau ci-dessous rcapitule les courants enmodule dans diffrentes dissymtries.


4 Exemples chiffrs

4.1 Exemple 1 (cf. fig. 20 )

ProblmeQuel doit tre le pouvoir de coupure dudisjoncteur ?SolutionQuand le disjoncteur intervient, la composanteapriodique est teinte lintrieur du rseau maispas lintrieur des enroulements de lalternateur.c Impdancesv de lalternateur ramenes au secondairetransformateur :

Za j directe , = =35100

362500

0 182

Za j inverse , = =25100

362500

0 132

Za homopolaire = ngligev du transformateur ramenes au secondairetransformateur :

Zt j directe , 4 = =8100

36100

102

Zt inverse = j1,04 Zt homopolaire = j1,04 v totales :Z directe = j1,22 Z inverse = j1,17 Zt homopolaire = jl,04

Fig. 20

c Courants de court-circuitv triphas

Icc

U

= = =3

363 17

Zd 1,22 kA

v monophas

Icc UZi Zo

=

+ +

=

+ +=

3

36 3 18

Zd

1,22 1,17 1,0 kA

v biphas isolIcc U

Zi=

+=

+=

Zd 1,22 1,17 kA36 15

v biphas terre

Icc UZi Zo Zd

=

+ +

=

=

Zo-a Zi Zd Zi Zo

1,9153,91

17,6 kA36

c Le disjoncteur devra donc couper un courantde court-circuit de18 kA, soit une puissance decoupure de :18 x 36 e = 1122 MVA


Fig. 21

4.2 Exemple 2 (cf. fig. 21 )Pour une ligne de 60 kV, la ractance est de :c 0,40 /km en rgime direct ou inverse,c 3 0,40 /km en rgime homopolaire.Les groupes ont une ractance directe ouinverse de 25 %.Les charges de puissance active P ont uneractance quivalente estime de j 0,6U2/P.

ProblmeDans un rseau 60 kV, dterminer le pouvoir decoupure des disjoncteurs des postes C et E quialimentent la ligne de 15 km.La ractance de court-circuit des transformateursde groupe et de rseau est de 10 % et celle desautres transformateurs de 8 %.


Fig. 22

Solutionc Schma global direct ou inverse (rduction 60 kV) (cf. fig. 22 )a j j

b j j

= = =

= = =

UPcc

22,5

Ucc UPcc

9

2

2

25100

6040

25100

10100

60400

2

2

C1 = j 0,40 60 = j 24 C2 = j 0,40 50 = j 20 C3 = j 0,40 40 = j 16 C4 = j 0,40 40 = j 16

d j j

e j j

f j j

g j j

h j j

= = =

= = =

= = =

= = =

= = =

Ucc UPcc

19,2

UP

0,6 0,6 216

Ucc UPcc

24

UP

0,6 0,6 270

Ucc UPcc

19,2

2

2

2

2

2

8100

6015

60108

1006012

6088

1006015

2

2

2

2

2

i j j

j j j

k j j

l j j

m j j

n j

= = =

= = =

= = =

= = =

= = =

=

UP

0,6 0,6 216

Ucc UPcc

18

UPcc

2 2 45

Ucc UPcc

7,2

UP

0,6 0,6 72

Ucc

2

2

2

2

2

601010100

6020

5100

6020

5100

8100

6040

6030

2

2

2

2

2

UUPcc

7,2

UPcc

2,4

2

2

= =

= = =

10100

6050

601500

2

2

j

o j j

p j j= = 0,4 15 2,4

q j j

r j j

= = =

= = =

Ucc UPcc

14,4

UP

0,6 0,6 154

2

2

8100

6020

6014

2

2


c Schma global homopolaire (rduction 60 kV) (cf. fig. 23 )

Fig. 23

Les transformateurs du poste arrtent lescourants homopolaires dans les enroulementsen triangle.b = b = j 9 c1 = 3c1 = j 72 c2 = 3c2 = j 60 c3 = 3c3 = j 48 c4 = 3c4 = j 48 d = f = h = j = j = j 18 l = n = n = j 7,2 p = 3p = j 18 q = c Schmas rduitsPour ltude qui nous intresse on peut rduireles schmas ce qui se passe en C et E(cf. fig. 24 ).

CE

q'p'

b'

h'

d'

c'2c'3

c'1c'4

j'

n'

l'

f'

A

D

B

c Dimensionnement du disjoncteur de ligne ct CCas 1 : dfaut ct barres (cf, fig. 25 )Zd = j 6 + j 168,4 = j 174,4 Zo = v Icc triphas est gal :

U Zd

0,195 kA3

60174 4 3

= =

,

do Pcc = UI e = 20,7 MVAv Icc monophas est gal :

UZi Zo

Zd 3 0

+ +=

do Pcc = 0

j168,4 j6 C E

j6,45

Schma direct / inverse

j18 C E

j6,09

Schma homopolaire

Fig. 24

j168,4 j6 C ESchma direct

j18 C E

Schma homopolaire

Fig. 25

Cas 2 : dfaut ct ligne (cf. fig. 26 pagesuivante)Zd = j 6,45 Zo = j 6,09 v Icc triphas est gal :

U Zd ,45

5,37 kA3

606 3

= =

do Pcc = UI e = 558,1 MVA


v Icc monophas est gal :U

Zi Zo

Zd

18,995,47 kA3 60 3

+ += =

do Pcc = UI e = 568,7 MVALe disjoncteur de ligne au point C doit donc tredimensionn 570 MVA.c Dimensionnement du disjoncteur de lignect ECas 1 : dfaut ct barres (cf. fig. 27 )Zd = j 6 + j 6,45 = j12,45 Zo = j 18 + j 6,09 = j 24,09 v Icc triphas est gal :

U Zd 12,45

2,782 kA3

603

= =


UZi Zo

Zd

48,992,121 kA3 60 3

+ += =

do Pcc = UI e = 220,5 MVACas 2 : dfaut ct ligne (cf. fig. 28 )Zd = j 168,4 Zo =

C

j6,45

Schma direct

ligne ouverte

C

j6,09

Schma homopolaire

ligne ouverte

Fig. 26 Fig. 27

j6 C E

j6,45

Schma direct

j18 C E

j6,09

Schma homopolaire

j168,4 ESchma direct

E

Schma homopolaire

Fig. 28

v Icc triphas est gal :U

Zd 168,4 0,206 kA

360

3= =


UZi Zo

Zd 3 0

+ +=

do Pcc = 0Le disjoncteur de ligne au point E doit donc tredimensionn 290 MVA.


4.3 Exemple 3 :rglage de protections homopolaires dans un rseau M.T. neutre la terre (cf. fig. 29 )

ProblmeQuel doit tre le rglage en intensit des relaishomopolaires des diffrents dparts ?

SolutionOn part des formules du paragraphe dfautphase-terre ; de plus on notera que limpdancede terre Rn est quivalente trois impdancesde valeur 3 Rn places chacune sur une phasedu rseau mis la terre directement. Le couranthomopolaire lendroit du dfaut terre separtage en deux voies parallles :c La premire correspond limpdance deneutre 3 Rn en srie avec limpdancehomopolaire du transformateur et du tronon deconducteur entre dfaut et transformateur.Soit : 3Rn + ZOT + ZOL.c La seconde correspond la mise en parallledes circuits capacitifs de conducteur :

-jC oi

1

n

En toute rigueur il faudrait prendre en compte lesimpdances du transformateur et des lignes quisont de fait ngligeables devant des impdancescapacitives.Courant de dfaut terre I1 (cf. 3.2) :

I

I

1

1

33

3 3

1 3

3 3

=

+ + +

= + +( )

=

+ +

+ + +( )

=

+ +( )

EZd Zi Zo Z

Rn Z Z Zo Rn Z Z

j Rn Z Z

E Rn Z Z

OT OLOT OL

OT OL

OT OL

avec :

Zo en parallle avec -jC

d'o : C

Par substitution : 1+ j C

oi1

n

oi1

n

oi1

n

( ) + + +( )

+ + +( )

Zd+ Zi+3Z C oi1

n

1 3 3 3j Rn Z Z Rn Z ZOT OL OT OL

Si, ce qui est souvent le cas, Zd, Zi, ZOT, ZOL sont ngligeables devant 3 Rnet que le dfaut est franc (Z = 0) alors :

I1 3 +

ERn

j E C oi1

n

La contribution de chaque dpart sain au courant de terre est donc de : 3 Coi E (en module).Le rglage du relais homopolaire de chacun de ces dparts doit donc tre suprieur ce courantcapacitif pour viter les dclenchements intempestifs. Ce courant dpend de la nature et de lalongueur des conducteurs.

Fig. 29


Par exemple :v pour une ligne 15 kV la capacit homopolaireest denviron 5 nF/km do un courant de :3 x 5.10-9 x 314 x 15000/e = 0,04 A/km soit 4 Apour 100 km,v pour un cble tripolaire 15 kV la capacithomopolaire est denviron 200 nF/km do uncourant de :3 x 200.10-9 x 314 x 15000/e =1,63 A/kmsoit prs de 2 A par kilomtre,v ces valeurs de courant capacitif sont comparer celles du courant traversantlimpdance de neutre et qui atteignentcouramment plusieurs dizaines quelquescentaines dampres.

Application numrique et reprsentationgraphique (cf. fig. 30 )Soit un dfaut franc sur un rseau 5500 V - 50 Hz neutre impdant, avec :Rn = 100 ,Co = 1 F,Z = Zd = Zi = ZOT = ZOL = 0

E

Rnj

= =

=

+

55003

3175

31

V

Zo 3 Rn C o

Fig. 30

I

I I

16

1

2

3

3175100

3 3175 10 314

00

32

32

= +

+

= =

=

= = +

= ( ) = +

j

V

V j j

V j

(32 j 3) ampres

a E 3 -3175 1,5 volts

E a -1 -3175 -1,5 volts

-

2 3

4.4 Exemple 4 :mesure des composantes symtriques dun systme de tensions et de courants

Systme de tensionsc La composante homopolaire se mesure laide de 3 transformateurs de tension (TT) dontles primaires sont entre phase et neutre, et lessecondaires en srie pour alimenter unvoltmtre. (cf. fig. 31 ).V = 3 Vo k avec k = rapport de transformation.c La composante directe se mesure laide de2 TT monts entre V1 et V2, et, entre V2 et V3(cf. fig. 32 page suivante). Le premier TT estcharg par une rsistance pure R. Le second TTest charg par une inductance et par unersistance telles que :

Z Rj

= =-a R e23

Z comprend en srie une rsistance R2 et

une ractance R 32

) . Fig. 31


Les deux circuits sont en parallle sur unampremtre qui mesure un courantproportionnel :V V V a a V

V aV a V Vd

1 2 12 2

3

1 22

3

1

3

- V -a - V - V22

3 2( ) + ( )[ ] = +( ) += + + =

c La composante inverse se mesure de la mmemanire que la composante directe mais enintervertissant les bornes 2 et 3.

V V V a V a

V a V aV Vi

1 3 12

22

12

2 3

1

3

- V -a - V - V32

2 3( ) + ( )[ ] = + +( )= + + =

Systme de courantsc La composante directe se mesure laide de 3transformateurs de courant (TC) selon lemontage de la figure 33 .Le transformateur auxiliaire T2 dlivre uncourant proportionnel (I3-I2) travers R.Le transformateur auxiliaire T1 dlivre un courantproportionnel (I1-I3) travers Z gale -a2 R.La tension aux bornes du voltmtre estproportionnelle I I I I I I I I

I I I I

3 1 3 1 3

1 2 323

- - -a - -a a

-a a a

2 32

22 2

2 2

( ) + ( )( ) = += + +( ) = a d

c La composante inverse se mesure aussi laide de 3 TC, mais selon le montage de lafigure 34 . Un raisonnement identique au casprcdent montre que la tension aux bornes duvoltmtre est proportionnelle I I I I I I I

I I I I

1 3 12

32

1 2 3

1

3

- - -a -

a a

3 22

2

2

( ) + ( )( ) = + +( )= + + =

a a

ic La composante homopolaire est gale au tiersdu courant de neutre qui circule directement dansla connexion de mise la terre (neutre distribu).

Fig. 32 Fig. 33

Fig. 34

Fig. 35

3 TC monts en parallle permettent sa mesuredans lampremtre A :I1 + I2 + I3 = Ih (cf. fig. 35 ).Un transformateur tore entourant la totalit desconducteurs actifs permet aussi cette mesurepar la somme vectorielle des courants de phase.


Annexe : ractance homopolaire des transformateurs

Groupement Schma unifilaire quivalent Valeur de la ractance homopolairedu transformateur, vue

Primaire Secondaire des bornes des bornesprimaires 1 secondaires 2

Infinie Infinie

Infinie Infinie

F. L. : infinie F. L. : infinie

F. F. : F. F. : infinieX11 = 10 15 fois Xcc

X12 = Xcc X12 = Xcc

Infinie Infinie

X12 = Xcc Infinie

Infinie Infinie

Infinie X22 = 1% de Sn

F. L. : infinie F. L. : infinie

F. F. : F. F. : infinieX11 = 10 15 fois Xcc

12

1 2

1 2

2

1

1

1 2

2

2

1 2

21

1

12

1 2

1 2

1 x11 2

1 2

1 2

1 2

x12

1 2

x22

1 2

1 x11 2

1 2Nota :F.L. : flux libreF.F. : flux forc


Groupement Schma unifilaire quivalent Valeur de la ractance homopolairedu transformateur, vue

Primaire Secondaire Tertiaire des bornes des bornes des bornesprimaires 1 secondaires 2 tertiaires 3

Infinie X22 = 1% de Xn

F. L. : infinie F. L. :X22 = 1% de Xn

F. F. :X11 = 10 F. F. :15 fois Xcc X22 = 1% de Xn

Infinie Infinie

F. L. : infinie Infinie Infinie

F. F. :X11 = 10 15 fois Xcc

Infinie Infinie

Infinie

X1 + X2 = X12 Infinie X33 = 1% de Xn

1

1

2

21

2

1

1

1

1

1

2 3

2 3

2 3

2

2

3

3

x22

1 2

1x11 x22

2

1 2

x22

1 2

x11

12

3

x1

x2

x3

x01

x02

x03

1

2

3

x1

x2

x3

1

2

3

x3 x033

x1x01

x2

1

2

x33 3

x1

x2

1

2

XX X X XX X X X1

2 02 3 03

2 02 3 03+

+( ) +( )+ + +

XX X X XX X X X3

1 01 2 02

1 01 2 02+

+( ) +( )+ + +

XX X X XX X X X2

1 01 3 03

1 01 3 03+

+( ) +( )+ + +

X X XX X1

2 3

2 3+

+

XX X XX X X1

2 3 03

2 3 03+

+( )+ +

XX X XX X X3

2 1 01

1 2 01+

+( )+ +

Nota :F.L. : flux libreF.F. : flux forc

Schneider Electric Direction Scientifique et Technique,Service Communication TechniqueF-38050 Grenoble cedex 9Tlcopie : 33 (0)4 76 57 98 60E-mail : [email protected]

Ralisation : AXESS - Valence (26).Edition : Schneider Electric- 20 -

20

02 S

chne

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18 Analyse Des Réseaux Triphasés en Régime Perturbé à l’Aide Des Composantes Symétriques Frances