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1ère ST2S – S1 : Suites arithmétiques 1 / 3

1ère ST2S – S1 : SUITES ARITHMÉTIQUES

I. Générer une suite

1. Notion de suite

Une suite numérique est une liste infinie de nombres réels. Chaque nombre de cette liste est appelé un terme de la suite. Chaque terme de la suite est repéré par son rang : c’est un nombre entier naturel noté en indice (en bas à droite) du terme.

Exemple : La suite des chiffres composant le nombre π : {3 ; 1 ; 4 ; 1 ; 5 ; 9 ; … }.u6 est le sixième terme (rang 6) de la suite u, commençant par le terme u1. u1 = 3 et u6 = 9.

Définition : Soit p un entier naturel. Une suite numérique u est une fonction qui, à tout entier naturel n > p, associe un nombre réel noté u(n) ou encore un :

n → un.

La suite u admet pour terme général un. Elle est souvent notée (un). Elle est définie à partir du

rang p, le réel up est alors appelé le terme initial.

Remarques : - la notation un se lit « u indice n » ;

- un+1 est le terme d’indice n + 1 et un + 1 est la somme du terme d’indice n et de 1 ;

2. Modes de génération d'une suite

On peut définir et donc générer une suite de différentes manières. Dans certains tests (psychotechniques), on parle de « suites logiques » qu'il faut alors compléter.

Exemples : • 0 ; 3 ; 6 ; 9 ; 12 … se complète par 15, 18, 21 … ce sont les multiples de 3 (on ajoute 3).• 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 … se complète par 64, 128, 256 … ce sont les puissances de 2 (on multiplie par 2).

Voici des définitions algébriques.

a. Suites définie par une formule explicite

Certaines suites peuvent être définie par une formule explicite : on peut alors calculer chaque terme en fonction de son indice.

Définition : f étant une fonction numérique définie sur un intervalle [a ; +∞[, avec a réel positif ou nul, on peut définir une suite u en posant pour tout entier naturel n > a, un = f(n).

Exemple : Soit u la suite définie pour n > 3 par un =1

n−2.

f est alors la fonction définie sur [3 ; +∞[ par f x =1

x−2.

On a alors : u3 =1

3−2=

11=1 ; u4=

14−2

=12

; …

Dans un repère, la suite est représentée par un nuage de points de coordonnées n ; un .

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1ère ST2S – S1 : Suites arithmétiques 2 / 3b. Suite définie par une relation de récurrence

Une suite peut être définie par son terme initial et par sa relation de récurrence : c’est-à-dire la relation qui permet de calculer la valeur d’un terme en fonction de la valeur du terme précédent. De ce fait, on ne peut pas calculer directement un terme d’indice n : il faut d’abord calculer chacun des termes précédents.

Définition : Soit f une fonction définie sur un intervalle I telle que, pour tout x de I, f(x) est aussi dans I, et a un réel de l’intervalle I. On peut alors définir une suite u sur V en posant : - le terme initial u0 : u0 = a

- la relation de récurrence : un+1 = f(un) pour tout entier naturel n.

Exemple : Définissons une suite (un) par les données suivantes :

{u0 =−1

un1=1

un2 pour tout entier naturel n > 1.

Ainsi, on peut calculer u1, puis u2, … :

u1 =

1u02

=1

−12=

11=1 ; u2

=1

u11=

111

=12

; u3 =1

u2 2=

1122

=152

=25

; …

Pour tout entier n > 1, un+ 1= f (un ), où f est la fonction définie sur I = ℝ \{-2} par : f(x) = 1

x 2.

II. Suites arithmétiques

1. Vocabulaire

Définition : Une suite (un), définie sur ℕ , est appelée une suite arithmétique si chaque terme est obtenu à

partir du précédent en lui ajoutant une constante. C’est-à-dire s’il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n, on a :

un+1 = un + r.

La constante r est alors appelée la raison de la suite arithmétique (un).

Exemple : la suite (0 ; 2 ; 4 ; 6 ; …) des entiers naturels pairs est une suite arithmétique de raison r = 2 et de terme initial u0 = 0. On a alors : un+1 = un + 2.

2. Expression du terme général u n en fonction de n

(un ) étant une suite arithmétique de raison r, on a alors :u1 =u0 + r ; u2 =u1 + r =u0+ 2 r ; u3 =u0 + 3 r ; … etc.

De proche en proche, on obtient assez facilement que : un =u0 + nr.

Propriété : (un ) étant une suite arithmétique de raison r et de terme initial u0 , on a alors : un =u0 + nr.

Exemple : la suite (0 ; 2 ; 4 ; 6 ; …) des entiers naturels pairs est une suite arithmétique de raison r = 2 et de terme initial u0 = 0. Donc son terme général est : un = 2n.

De la propriété précédente, on obtient que : un =u0 + nr et u p=u0+ p r

Donc un −u p= (u0+ nr )− (u0+ pr )=nr − pr = (n− p) r, c'est-à-dire : un =u p+ (n− p ) r.

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1ère ST2S – S1 : Suites arithmétiques 3 / 3

Propriété : (un ) étant une suite arithmétique de raison r. Pour tous entiers naturels n et p, on a : un =u p+ (n− p ) r.

Exemple : (un ) est une suite arithmétique de raison r =3 et telle que u6 =−8.Alors u10 =u6+ (10−6 )×3=−8+ 4×3=−8+ 12=4. Donc u10 =4.

3. Reconnaître une suite arithmétique - Calculer un terme d'une suite arithmétique

Une situation : Les parents de Jordan ont ouvert un livret A à son nom à ses quinze ans. À l'ouverture, ils ont versé 200 € et ils ont décidé de déposer sur ce livret 50 € tous les mois jusque ses dix huit ans.

Le montant total versé par les parents de Jordan (hors intérêts) défini une suite arithmétique (un ) de terme initial u0 =200 et de raison r =50. D'où un =200+ 50 n où n désigne le nombre de mois depuis l'ouverture du livret.

Aux dix huit ans de Jordan, les parents auront déposé de l'argent depuis 3 × 12 = 36 mois ; On calcule alors : u36 =200+ 50×12×3=2000 €.

Aux dix huit ans de Jordan, les parents auront déposé 2000 €.

4. Cas général

Propriété : (un ) est une suite arithmétique si, pour tout n∈ℕ , on a : un+ 1−un= r , r ∈ℝ.

III. Représentation graphique

Propriété : (un ) étant une suite arithmétique de raison r. Dans un repère, les points de coordonnées (n ; un ) sont alignés ;

Les suites arithmétiques correspondent à des évolutions linéaires (fonctions affines).

r > 0 r < 0 r = 0

(u n ) est croissante (u n ) est décroissante (u n ) est constante