1S 2010-2011 sujets - Freemaths.ab.free.fr/1S 2010-2011 sujets.pdf · 2012. 5. 4. · A.BERGER 1S VERTE 2010/2011 Page 1 sur 28 1S VERTE 2010-2011 DEVOIRS DE MATHEMATIQUES SUJETS

A.BERGER 1S VERTE 2010/2011 Page 1 sur 28

1S VERTE 2010-2011

DEVOIRS DE MATHEMATIQUES

SUJETS

DV 17/09/2010 page 2

DS1 29/10/2010 page 3

DV 14/10/2010 page 5

DV 21/10/2010 page 6

DS 17/11/2010 page 7

DV 09/12/2010 page 10

DS 05/01/2011 page 11

DV 31/01 /2011 page 15

DS 09/02/2011 page 16

DV 17/03/2011 page 19

DS 30/03/2011 page 20-23

DV 12/04 /2011 page 24

DV 21/04/2011 page 25

DS 6 18/05/2011 page 26


DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 17/09/2010 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

EXERCICE I : ( 4,5 points )

On considère la fonction f définie sur � par �(�) = −2 − (� − 1)² 1° Déterminer le sens de variation de cette fonction sur [1; +∞[. 2° L’affirmation �(10��) ≤ �(10�� + 1) est-elle vraie ou fausse ? justifier sans calcul.

EXERCICE II : ( 8 points )

1° Sans justifier, à l’aide du sens de variation des fonctions de référence, encadrez au mieux.

a) si −4 ≤ � ≤ −2 , alors ……………. �² ……………....

b) si �� ≤ � ≤

�� , alors ………..….

�� ………………

c) si −5 ≤ � ≤ 1 , alors …………...�² ……………..

d) si −5 ≤ � ≤ 1 , alors …………….�� …………….….

2° Sachant que � ∈ [−3; −1], encadrez au mieux. Justifiez.

�(�) = 1−� + 3 �(�) = −�² + 4�(�) = (−�)

� + 4 (�) = 2� + 1� − 2

EXERCICE III : ( 6 points )

On considère la fonction � définie sur � par �(�) = 3 − �

�²!� .

a) Montrer que pour tout � de � , on a : �(�) ≥ �� .

b) Montrer que la fonction � est majorée sur � .c) Quelle conséquence pouvez-vous en déduire pour �& courbe représentative de la fonction �.

EXERCICE IV : ( 1,5 points ) Ecrire six identités remarquables concernant le second degré ou le troisième degré.

Nom :


DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 29/09/2010 3 HEURES CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

EXERCICE I : ( 4 points ) Aucune justification n’est demandée dans cet exercice On donne ci-dessous la courbe �& représente une fonction � définie sur ] − ∞; 3,25]

Par lecture graphique : a) Dresser le tableau de variation de la fonction � . b) Donner le tableau de signe de la fonction�. c) Résoudre l’équation �(�) = 4. d) Résoudre l’inéquation �(�) ≥ 4. e) Déterminer l’intervalle image de [−1; 0] ; de [1; 3] et de [1; 2]. f) Pour quelles valeurs de ), l’équation �(�) = ) a-t-elle 2 solutions ? g) L’équation �(�) = −1 admet une unique solution que l’on note �� . Donner un encadrement par deux

entiers consécutifs de ��. EXERCICE II : ( 7 points ) On considère la fonction �définie sur =] − 4;+∞[ par :

�(�) = 2� − 3� + 4

On désigne par �& sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1° Démontrer que pour tout réel � de ] − 4;+∞[, on a : �(�) = 2 − ��!�

2° Déterminer le sens de variation de la fonction � sur ] − 4; +∞[. 3° Sans les calculer, comparer �(10*�) et �(10*� − 1). Justifier . 4° Montrer que la fonction � est majorée sur ] − 4;+∞[.5° Résoudre l’inéquation �(�) ≥ 0. 6° A l’aide de la table de la calculatrice, déterminer l’ensemble des réels � de ] − 4;+∞[ tels que |�(�) − 2| ≤ 0,2.

2 3 4-1-2

2

3

4

5

6

7

-1

-2

0 1

1

x

y


EXERCICE III : ( 8 points ) 1° Résoudre dans � en s’aidant de schémas les équations, inéquations ou systèmes suivants.

a) |� − 2| = 5 b) |� + 3| = 0,1 c) |� − 12| > 5 d) -|� − 5| ≤ 4|� + 1| < 6

2°Démontrer que :

pourtoutréel�, ona �� + 4 ≤

14

3° Démontrer que :

pourtoutentiernaturel:, ona 4;!� + 4;4;!� − 4; =

53

EXERCICE IV : ( 4 points ) On considère les fonctions � et g définies sur � par �(�) = �� + � − 3 et <(�) = �² + � − 3

Comparez les fonctions � et < sur � .

EXERCICE V : ( 11 points ) Cet exercice ne concerne pas les barycentres. Les deux parties sont indépendantes. On fera deux figures distinctes. Partie 1 : Dans un repère orthonormé (=; >?; @?) , on considère les points �(−2; 5), �(−4; 1), �(2; 1) On définit les points A, B, C par : A milieu de [��] , �BDDDD? + 3�BDDDD? = 0D? et �CDDDDD? = − �

��DDDDD? a) Déterminer les coordonnées des points A, B, C. b) Montrer que A, B, C sont des points alignés. c) Faire une figure pour vérifier. Partie 2 : But : on démontre que l’alignement des points A, B, C est indépendant du choix des points �, � et �. On considère un triangle ��. ( vous choisirez un triangle qui ne ressemble pas à celui de la partie 1)

On définit les points A, B, C par : A milieu de [��] , �BDDDD? + 3�BDDDD? = 0D? et �CDDDDD? = − ��DDDDD?

a) Construire les points A, B, C.

b) Exprimer ABDDD?, puis ACDDDD? en fonction de ��DDDDD? et ��DDDDD?. c) Montrer que les points A, B, C sont alignés. EXERCICE VI : ( 6 points ) Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Pour chacune reportez le n° de l’affirmation et votre choix V- F. Aucune justification n’est demandée. Une réponse juste rapporte 1 point, une réponse erronée enlève 0,5point, l’absence de réponse n’est pas pénalisée.

A1 : Si 2E�DDDDD? − 3E�DDDDD? = 0D? alors G est le barycentre de (�;−2)et (�; 3). A2 : Si E� = 2E� alors G est le barycentre de (�; 1)et (�; −2). A3 : Si E est le barycentre de (�; −2)et (�; 3), alors E ∈ [��]. A4 : Si 2E�DDDDD? − 3E�DDDDD? = 0D? alors � est le barycentre de (�; 2)et (E; 1). A5 : Dans la situation représentée ci-dessous, � est le barycentre de (�; 7)et (�; −3).

A6 : Si �BDDDD? = − �G �BDDDD? alors B est le barycentre de H�; ��Iet H�; ��I

x

A B C



Pour toutes les figures, on utilisera au mieux le quadrillage. EXERCICE I : ( 5 points ) Soit ��un triangle de centre de gravité E. Déterminer et construire l’ensemble E des points J du plan tels que :

KJ�DDDDDD? + J�DDDDDD? + J�DDDDDD?K = K−2J�DDDDDD? � J�DDDDDD?K.

EXERCICE II : (4 points ) ABC est un triangle. 1° Construire le point G barycentre de ��; 1�, ��; �1�, ��; 3� 2° Montrer que les droites �� et ��E� sont parallèles. EXERCICE III : ( 11 points ) Soit �, � et � trois points non alignés. 1° Soit le barycentre des points ��; 5�, ��; �2�, ��; �1�. Exprimer � DDDDD? en fonction de ��DDDDD?LM��DDDDD? , puis construire D à l’aide de cette égalité. 2° Ecrire � comme barycentre des points �, � et affectés de coefficient que vous déterminerez. 3° a) Construire I barycentre des points ��; �2�, ��; �1� b) Construire B tel que �BDDDD? � N�

� ��DDDDD? ; puis montrer que B est barycentre de � et � affectés de coefficient

que vous préciserez. c) Montrer que les droites ��A� et ��B� sont concourantes en D. d) La droite (BD) coupe (AC) en K. Conjecturer la position de K sur ��. La démonstration n’est pas demandée.

Nom :


DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1 S VERTE 21/10/2010 1/2 HEURE

CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

EXERCICE I :

1° Factoriser O�� 2�² + 9� − 7

2° Résoudre dans � :

a) (� − 3)(−2�� + 9� − 7) ≥ 0

b) Q � − 3 ≥ 0−2�² + 9� − 7 ≥ 0

EXERCICE II :

1° Résoudre dans �, �� + �� − 6 = 0

2° Résoudre dans �, �N��N�+

��N�� < 2

3° Résoudre dans �² : - � + R = 4�² − 2R² = 7



Algèbre -Analyse (20 points )

EXERCICE I : ( 12 points ) Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité 1cm.

La courbe �Sreprésente la fonction < définie sur � par <�� ² + 2� − 3.

Partie A :

On considère la fonction � définie sur � par : �(�) = N�� ² + 5� −

*�.

1° Dresser le tableau de variation de la fonction � . Justifier. 2° a) Résoudre par le calcul l’équation �(�) = 0. b) Donner le tableau de signe de �(�). 3° Encadrer au mieux �(�) pour � ∈ [0; 8] 4° Tracer �& , courbe représentative de la fonction � , dans le repère ci-joint.

Partie B : 1° a) Démontrer que pour tout � de �, on a : �(�) ≤ <(�). b) Que peut-on en déduire pour �& et �S?

2° Par lecture graphique, dresser le tableau de signe de <(�). 3° Déterminer l’ensemble de solutions de :

a) �(�) × <(�) > 0 b) -�(�) < 0<(�) < 0

Partie C :

On considère la fonction ℎdéfinie sur ] − 4; +∞[ par : ℎ(�) = N��!�.

1° Etude de la fonction ℎ

a) Soient �� et ��deux réels de ] − 4; +∞[ tels que �� < �� , comparez ℎ(��) et ℎ(��) b) Que peut-on en déduire pour la fonction ℎ ? c) Montrer que pour tout � de ] − 4; +∞[, on a ℎ(�) < 0 d) A l’aide de la table de la calculatrice, déterminer l’ensemble des réels � de ] − 4; +∞[ tels que |ℎ(�)| ≤ 0,2.

2° Montrer que �W et �Sont exactement deux points d’intersection sur ] − 4; +∞[ que vous préciserez.


1° Résoudre dans �² le système - R = � − 1�² + (R − 1)� = 4

2° On considère la fonction � définie sur � −{−1} par �(�) = ��Z!��N��!�

a) Déterminer trois réels [, \, ] tels que �(�) = [� + \ + ^�!� pour tout � ∈ � −{−1}

b) Déterminer la position relative de la droite d’équation R = 2� + 1 et de la courbe �& représentant la fonction �.

EXERCICE III : ( 2 points ) Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Donner un contre-exemple aux affirmations que vous estimez fausses. Aucune justification n’est demandée pour celles que vous estimez vraies. A1 : Si � est une fonction définie sur [−1; 4] telle que �(−1) = 1LM�(4) = 5 alors � est croissante sur [−1; 4]. A2 : Pour toute fonction < décroissante sur ] − ∞; 0[ et décroissante sur ]0; +∞[ on a : <(−2) > <(3)


Géométrie (20 points )

EXERCICE IV : ( 3 points ) Dans cet exercice , aucune justification n’est demandée. Une réponse juste rapporte 0,75 point, une réponse erronée enlève 0,25 point. A, B et C désignent trois points deux à deux distincts et non alignés du plan. _, ` désignent deux réels non nuls. 1° Dans chaque situation, dire si les deux propositions sont équivalentes ; et lorsqu’elles ne le sont pas retrouvez l’implication vraie

a) P1 G est le barycentre des points pondérés ( A ; α ) et ( B ; β ) avec _ + ` a 0 P2 G ∈ [AB]. b) P1 G est le barycentre des points ��; 2�, ��; 2�LM��; 2� P2 G centre de gravité du triangle ABC.

2° Condition nécessaire : C N. Condition suffisante : CS. Condition nécessaire et suffisante : CNS Complétez les phrases suivantes avec l’expression la mieux adaptée CN ou CS ou CNS :

a) _E�DDDDD? + 3E�DDDDD? � 0D? est une …………… pour que E soit barycentre des points �� ; _�LM�� ; 3�. b) _ a �` est une …. pour que le barycentre des points ��; _�LMb�; `c existe.

EXERCICE V : ( 6 points )

Soit �� un quadrilatère. B est le milieu de [CD] ;

C est le barycentre des points pondérés��; 3�; ��; 1�; E est le centre de gravité du triangle �� ;

A est le milieu de �E�. 1° Montrer que A est le barycentre des points

pondérés��; 3�; ��; 1�; ��; 1�; � ; 1�.2° Montrer que A, B, C sont alignés.

3° Faire une figure soignée ( on pourra reproduire « en grand » la figure ci-dessous) où tous les points seront construits.

EXERCICE VI : ( 5 points ) Soit un segment [ AB ] tel que �� 4])

1° Construire le barycentre Edes points ��; 1�LM��; 3�. 2° On considère l’ensemble F des points M tels que : KJ�DDDDDD? + 3J�DDDDDD?K � K3J�DDDDDD? � 3J�DDDDDD?K

a) Montrer que � est un point de F. b) Déterminer et construire l’ensemble F.

EXERCICE VII : ( 6 points ) Construire soigneusement sur la page annexe la section du tétraèdre et du cube par le plan �ABC� . Dans le tétraèdre, le point C est sur la face ��. Donnez les éléments de justification pour le tétraèdre. Aucune justification n’est demandée pour le cube, mais n’oubliez pas de conclure.


ANNEXE Exercice VII Dans le tétraèdre, le point C est sur la face ��.

ANNEXE Exercice I

2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

-2

-3

-4

0 1

1

x

y




EXERCICE I : ( 5 points ) On donne la représentation d’une fonction �

définie sur �

1. Dresser le tableau de variations de � en faisant apparaître le signe de �d��. 2. Dresser le tableau de signe de ��. 3. Lire �d�0�.

4. On considère une fonction e est définie sur �

telle que : pour tout � de � , on ait : ed�� Quel est le sens de variation de la fonction e ?


On considère la fonction � définie sur � par �� 2�� + 2.

1. Déterminer l’ensemble de dérivabilité de la fonction � , calculer �d�� et étudier son signe.

2.a. La fonction � est-elle strictement décroissante sur f–∞; ��f ? justifier rigoureusement .

2.b. Dresser le tableau de variation.

3. Encadrer �� pour � ∈ �2;�1� , puis pour � ∈ �2; 2� 4. Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier en donnant un contre-exemple pour les affirmations fausses, et en démontrant les affirmations vraies.

4.a. Pour tout � de1; 2�, on a : �� ∈ 1; 2�. 4.b. Pour tout � de1; 2�, on a : �� ∈ 0; 2�. 5. Déterminer le plus grand minorant entier de � sur � ?

6. Déterminer le signe de �� sur �.

7. Existe-t-il un ou des points en lesquels �& admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses ?

8. Déterminer une équation de la tangente à �& au point A d’abscisse 1.

A.BERGER 1S VERTE 05/01/2011 Page 12 sur 28



EXERCICE I : ( 4 points )

On considère la fonction � définie sur��∞; 1 ∪�1;+∞ par

�� + 162 � 2�

1° Calculer la dérivée, puis étudier son signe. 2° Dresser le tableau de variation de la fonction �. 3° En déduire le tableau de signe de �� EXERCICE II : ( 7 points )

On considère la fonction � définie sur l’intervalle – 7; 3� par �� i �� +

�� + 6

1. Calculer la dérivée, étudier son signe 2. Dresser le tableau de variation de la fonction �. 3.a. Déterminer le plus petit majorant entier de � sur �7; 3�. 3.b. Encadrer au mieux �� pour � ∈ 0; 2� 4. Tracer la représentation graphique de la fonction � dans un repère .

Unités graphiques : 2 cm sur l’axe �=��, 1 cm sur l’axe�=R�. 5. Déterminer une équation de la tangente au point H d’abscisse 2. Tracer cette tangente notée jk.

6. Résoudre l’équation �d��

Interpréter graphiquement les solutions de cette équation. EXERCICE III : ( 4 points )

On donne la représentation d’une fonction � définie sur �.

�’ a pour coordonnées �1; �5� La droite ��’� est la tangente à �& au point �.

1. Donner sans justifier les valeurs de �d�0� , �d��1� et �d�2�. 2. Donner sans justifier l’ensemble de solutions

• des équations a) �� 0 b) �d�� 0

• des inéquations c) �� # 0 d) �d�� 0

3. En utilisant une approximation affine, donner une valeur approchée de ��0,05�. Justifier.

4. On considère une fonction e est définie sur � telle

que : pour tout � de � , on ait : ed��

Quel est le sens de variation de la fonction e ? Justifier.

EXERCICE IV : ( 5 points )


On suppose que la fonction <est dérivable sur �10; 10� et admet le tableau de variations suivant :

� �10 �1 5 10 <��

0 �3 �5 � 7

1° Les affirmations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Sur votre copie, vous indiquerez le n° de l’affirmation et votre choix vrai ou faux . Aucune justification n’est demandée. Une réponse exacte rapporte 0,5point. Une réponse inexacte enlève 0,25 point. L’absence de réponse n’est pas pénalisée

1. <�0� . <�4� 2. <��1� . <�10� 3. <��9� , <��2� 4. L’équation <�� 3 admet exactement deux solutions dans l’intervalle �10; 10� 5. <d�� , 0 sur �1; 5� 6. La tangente à �S au point d’abscisse �1 a pour équation R � �5

7. La dérivée <′ peut s’annuler en �10 8. �S admet au moins deux tangentes horizontales

2° Si les informations données sont suffisantes, dresser le tableau de signe de <d�� et celui de <��


EXERCICE V : ( 7 points ) On considère le cube ABCDEFGH d'arête 6 cm. On inscrit dans ce cube, le parallélépipède rectangle �CC’ABnn’B’ tel que �C � �A � oB � � On veut déterminer la valeur �p pour laquelle le parallélépipède rectangle est de volume maximum. 1. On désigne par V le volume du parallélépipède. Montrer que V est donné par la fonction f définie sur l'intervalle [0 ; 6] par �� + 6��. 2. Etudier les variations de la fonction � sur [0 ; 6]. 3. Trouver alors la valeur �p et le volume maximum correspondant. 4. A l’aide de la calculatrice, déterminer à 0,1 cm près, la ou les valeurs de x pour lesquelles le parallélépipède a pour volume 0,025 litres.

EXERCICE VI : ( 2 points ) Vrai –faux ? Pour les affirmations fausses, donnez un contre-exemple. D, D1 et ∆ désignent deux droites de l’espace et q désigne un plan de l’espace.

Affirmation 1 : Si D est une droite orthogonale à ∆ , avec ∆ ⊂ q alors D est orthogonale à q . Affirmation 2 : Si D ⊥ D1 et D1 ⊥ ∆ , alors D // ∆ .


EXERCICE VII : ( 8 points )

1° Restitution organisée de connaissances : Recopier et compléter les propriétés suivantes :

• Si une droite est perpendiculaire à un plan, alors … • Pour démontrer qu'une droite est orthogonale à un plan, il suffit de démontrer …

• Pour démontrer que deux droites sont orthogonales, il suffit de démontrer …

2° Application

� est un cercle de diamètre [ AB] dans un plan P.

E est un point de � distinct de A et B .

D est la droite orthogonale à P passant par E.

F est un point de la droite D distinct de E.

1° Démontrer que D et ( AE) sont des droites perpendiculaires.

2° Démontrer que ( AE ) et ( BEF) sont orthogonaux.

3° La droite ( BF) est-elle orthogonale à la droite (AE) ?

EXERCICE VIII : ( 3 points ) 1. Construire, sans justification, l’hexagone, section du cube par le plan (IJK). 2. Quel élément d’autocontrôle vous permet de valider (ou d’invalider ) votre construction ?




Dans un repère orthonormé direct �=; >?; @?�, d’unités 2 cm ou 2 carreaux, on considère les points � H� �� ;

�√�� I et

H3; uvi I. 1.a. Calculer les coordonnées cartésiennes de et les coordonnées polaires de � 1.b. Donner les coordonnées cartésiennes de ��2; w� 2. Tracer un cercle trigonométrique, puis placer précisément à l’aide de leur coordonnées polaires les points � et . Laisser apparents les traits de construction . 3. Montrer que le triangle =� est rectangle et isocèle. EXERCICE II : ( 5 points ) On considère �, �, �, , o cinq points du plan tels que

b��DDDDD?; ��DDDDD?c � � vi b��DDDDD?; � DDDDD?c � v

� et b �DDDDD?; oDDDDD?c � �v�

1° Déterminez la mesure principale de b��DDDDD?; � DDDDD?c , puis de b� DDDDD?; oDDDDD?c . 2° Déterminez la mesure principale de b��DDDDD?; oDDDDD?c. Que pouvez –en déduire ?

EXERCICE III : ( 10 points ) 1° Sur un cercle trigonométrique, représentez soigneusement (laissez les traits de construction apparents) l’ensemble

ox des points M du plan dont l’abscisse curviligne � � �>?; =JDDDDDD?�vérifie l’inéquation, puis donner l’ensemble de solution de l’inéquation dans � � w; w� o� est l’ensemble des points M dont l’abscisse curviligne � vérifie ]yz� # N√�

�

o� est l’ensemble des points M dont l’abscisse curviligne � vérifie z{:� , N��

2° Etudier le signe dans � � w; w� de �� ]yz��. �√3 � 2z{:�� .

3° Résoudre dans � , puis dans � � w; w� l’équation : z{:�2�� N√�� .


DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 09/02/2011 4 HEURES CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.


EXERCICE I : ( 3 points ) La courbe ci-dessous représente une fonction �.

Aucune justification n’est demandée. Par lecture graphique, 1° Déterminer l’ensemble de définition. 2° Déterminer les limites aux bornes ouvertes de cet ensemble de définition. 3° Déterminer les asymptotes. 4° Dresser le tableau de variation en faisant apparaître le signe de la dérivée. 5° Dresser le tableau de signe de ��.


EXERCICE II : ( 12 points ) On considère la fonction � définie sur ��∞; 1[ ∪ ]1; +∞[ , par :

�(�) = �² + 2� + 6(� − 1)� . On désigne par �& sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

1. a) Calculer la dérivée.

Onmontreraque ∶ �d(�) = −2(2� + 7)(� − 1)� . b) Etudier le signe de �d(�). 2. Déterminer les limites de la fonction � aux bornes ouvertes de son ensemble de définition.

En déduire l’existence d’asymptotes parallèles aux axes. 3. Etudier la position relative de �& et de la droite D d’équation R = 1.

4. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

5. Déterminer une équation de la tangente à �& au point A d’abscisse −1. On la note j�.

6. En utilisant le tableau de variation et en justifiant :

a) Déterminer le plus grand entier minorant de la fonction � sur ]−∞; 1[. b) Encadrez au mieux �(�) pour � ∈ [2; 3].

7. Tracer les asymptotes, la tangente j� , la ou les tangentes horizontales et la courbe représentative de la

fonction dans un repère orthonormé d’unités 2cm. On utilisera du papier millimétré, et on prendra la feuille format paysage.

EXERCICE III : ( 5 points )

On considère la somme des puissances de 2 :

� = 2� + 2� + 2� + 2� +⋯+ 2; , où : désigne un entier naturel.

1. Calculer « à la main » la valeur de � pour : = 5.

2.a. Ecrire un algorithme « papier » calculant la somme �des 2� pour � variant de 0 à :.

2.b. Ecrire un algorithme TI permettant ce calcul. Recopier les instructions sur votre copie.

Quelle valeur de � obtenez-vous pour : = 5 ?

Quelle valeur de � obtenez-vous pour : = 50 ?

3.a. Démontrer que pour tout entier naturel � , on a : 2� =2�!� − 2�

3.b. En déduire une expression très simple de � = 2� + 2� + 2� + 2� +⋯+ 2��.

Géométrie - Trigonométrie (20 points )

EXERCICE IV : ( 5 points ) Aucune justification n’est demandée dans tout cet exercice

1° Soient �D? et �? deux vecteurs non nuls tels que (�D?; �?) = v� (�?; �DD?) =

vi

Donner la mesure principale des angles orientés suivants.

[)(�D?; −�?) \)(2�D?; −�?) ])H− ��D?; −4�?I d)(−2�?; �DDD?) e) (�DD?; �D?)


2° On fera un schéma par question. � et � sont deux points distincts d’une droite . Déterminer, puis représenter soigneusement sur cette droite, l’ensemble ox. 2.a. J ∈ o� ⟺ bJ�DDDDDD?;J�DDDDDD?c � w 2w� 2.b. J ∈ o� ⟺ bJ�DDDDDD?; J�DDDDDD?c � w2w�y�bJ�DDDDDD?;J�DDDDDD?c � 02w� 2.c. J ∈ o� ⟺ bJ�DDDDDD?;J�DDDDDD?c � v

� 2w� 3. �� est un triangle équilatéral, et �� est un trapèze rectangle . Donner la mesure principale des angles orientés suivants : b �DDDDD?; ��DDDDD?c b��DDDDD?; � DDDDD?c b �DDDDD?; ��DDDDD?c b��DDDDD?; ��DDDDD?c

EXERCICE V : ( 11 points ) 1. On considère la fonction V définie sur �w; +w�par V�� z{:�� . ]yz�� Calculer V Hv�I Etudier le signe de V�� sur �w; +w�.

2. Résoudre dans � � w;+w� l’équation �]yz��

3.a. Montrer que le réel �*vi est une solution de l’équation cos�3�� 0

3.b. Résoudre dans � l’équation cos�3�� 0 4. Simplifier les expressions suivantes

�� sin�� + sin H� + w2I + sin�� + w� + sin Hw2 � �I

�� sin �5w2 � �� + sin�3w � �� + cos�5w � �� + cos H� � w2I 5. Etudier le signe de �� 1 � 2z{:��1 + √2]yz�� sur �w;+w�. On fera sur la copie tous les schémas permettant les lectures de signe. EXERCICE VI : ( 4 points )

Dans un repère orthonormé direct �=; >?; @?� d’unité 2cm , on considère le point � H2; v�I. Construire le point �’ image de � par la rotation de centre = d’angle

v�

1° Déterminer les coordonnées polaires de �’. En déduire que �′ a pour coordonnées cartésiennes ��√3; 1�.

2° On considère le point B tel que =�DDDDD? � =�DDDDD? + =�′DDDDDDD?. Déterminer les coordonnées polaires de B.


DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 17/03/2011 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT On considère la fonction �est définie sur � �∞; 2[∪]2; +∞[ par :

�(�) = �� − 6� + 12� − 2

1° a) Calculer la dérivée. b) Etudier le signe de �d(�) c) Déterminer le sens de variation, au sens strict, de la fonction �. 2° a) Déterminer les limites de la fonction � aux bornes ouvertes de son ensemble de définition. b) En déduire l’existence d’une asymptote. 3° a) Montrer que la droite D d’équation R = � − 4 est asymptote oblique à la courbe �&

b) Etudier la position relative de �& et D.

4° Dresser le tableau de variation de la fonction �. 5° Déterminer le(s) point(s) en lesquels �& admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses.

6° Tracer , les asymptotes, les tangentes horizontales et �& dans un repère orthonormé d’unités 1cm.




EXERCICE I : ( 10 points ) On considère la fonction � définie sur � �∞; 1[∪]1;+∞[ par :

�(�) = ��(� − 1)�

Son tableau de variation est donné ci-dessous :

� −∞ 0 1 3 +∞

�d(�) + 0 + − 0 +

�(�)

+∞ +∞ +∞

−∞ 6,75

1.a. Montrer que pour tout � de ] − ∞; 1[∪]1; +∞[ , on a : �d(�) = �Z(�N�)(�N�)�

1.b . Démontrer tous les éléments contenus dans ce tableau de variation. 2. L’équation �(�) = 5 admet une unique solution dans ] − ∞; 1[, que l’on note α Déterminer, à l’aide de la calculatrice, un encadrement à 0,01près de α. 3.a. Résoudre l’équation �(�) = 0. 3.b. Dresser le tableau de signe de �(�). 4.a. Montrer que pour tout � de ] − ∞; 1[∪]1; +∞[, on a :

�(�) = � + 2 + 3� − 2(� − 1)�

4.b. Montrer que la droite D d’équation R = � + 2 est asymptote à �&

5. Déterminer l’équation des droites j� et j� , tangentes à �& en A et B d’abscisses respectives 0 et 2.

6. Tracer les asymptotes et la courbe représentative de la fonction � dans un repère d’unités 1cm.


On considère la fonction � définie sur ] − 2; +∞[ par �(�) = ��!�.

Une partie de sa courbe représentative est donnée en annexe, en double exemplaire. Les deux parties sont indépendantes

Partie A : Soit la suite (�;) telle que �;= �(:), c’est-à dire �; = �;;!� pour : ∈ �.

1.a. Représenter graphiquement sur l’annexe A les quatre premiers termes de la suite. On laissera apparents les traits de construction. 1.b. Emettre quatre conjectures sur la suite (�;) . 2. Calculer ��, ��, �� , ��. 3. Etudier le sens de variation de la suite.

4. Montrer que pour tout : ∈ � on a : 0 ≤ �; < 2. Que peut-on en déduire pour la suite (�;) ?

5. Montrer que la suite (�;) converge.


Partie B

Soit la suite ��;� définie par �� 1 et �;!� = �(�;) , c’est-à-dire �;!� = ��!� (n ∈ �)

1° a) Représenter graphiquement sur l’annexe B les cinq termes de la suite. On laissera apparents les

traits de construction.

b) Emettre quatre conjectures sur cette suite (�;). 2° Calculer �� , ��, �� 3° On admet que : pour tout : de � , on a : �; > 0.

Exprimer �;!� − �; en fonction de �;.

Déterminer le sens de variation de la suite (�;). 4°Avec la calculatrice, déterminer la plus petite valeur de : telle que �; < 0,1.

5° On considère la suite (�;) définie par �; = �� pour n ∈ �.

Montrer que pour tout n ∈ �, on a : �;!� − �; est constant.

EXERCICE : ( points ) d’après Baccalauréat Série L Polynésie 2010

Partie A On considère l’algorithme suivant : Initialisation : Affecter à O la valeur 0. Affecter à � la valeur 10. Traitement : Tant que � < 100

Affecter à O la valeur O + 1. Affecter à � la valeur 2� − 5.

Sortie : Afficher O et �. Faire fonctionner cet algorithme en complétant certaines (autant que nécessaire) des cases du tableau ci-dessous que vous recopierez. Initialisation N U Partie B : On considère la suite (�;) définie par �� = 10 et �;!� = 2�; − 5. 1. Calculer �� et ��. 2. Luc, très perspicace, a conjecturé la forme explicite de la suite (�;) : �; = 5 × 2; + 5. Marie souhaite valider cette conjecture. Elle considère la suite (�;) définie par �; = 5 × 2; + 5 , montrer que la suite (�;) a les caractéristiques de la suite (�;) . Que pouvez-vous en déduire ?

Partie C : On cherche la plus petite valeur de n telle que �; > 100000 , on la notera :�. 1. Méthode 1 : A l’aide la calculatrice, déterminer ��.

2. Méthode 2 : Expliquer comment modifier l’algorithme de la partie A pour obtenir cette valeur :�.



EXERCICE IV : ( 7 points ) Calcul d’un angle dans deux situations distinctes et indépendantes. 1. Le plan est rapporté à un repère orthonormé �=; >?; @?) . On considère les points �(3; 3)�(1; −1)�(−2; −2) 1.a. Calculer le produit scalaire ��DDDDD?. ��DDDDD? 1.b. En déduire la valeur exacte de cos �� , puis de �� . 2. Soit ABCD un carré de côté 6 . On appelle A et J les milieux respectifs de [��] et [� ] 2.a. Sans utiliser de repère, calculer �ADDDD?. �BDDDD? 2.b. Montrer que �A = �B = 3√5.

2.c. En déduire la valeur de l’angle A�B� à 1° près .

EXERCICE V : ( 3 points ) Restitution organisée de connaissance : Démontrer au choix l’une des trois propriétés suivantes, : Propriété de la médiane : Soit [EF] un segment de milieu J .

Montrer que pour tout point M du plan, on a : Jo� +Je� = 2JB� + ��oe�

Propriété d’Al-Kashi :

Quel que soit le triangle ABC, on a : �� = ��²+ ��²− 2 × �� × �� × ]yz�� . Relation des sinus :

Quel que soit le triangle ABC, on a : �� = ��

�� = ��

Ces propriétés pourront être utilisées dans les exercices suivants

EXERCICE VI : ( 4 points ) Les questions 1 et 2 sont indépendantes. Soit ABCD un parallélogramme de centre I.

1. Déterminer l’ensemble ∆ des points M du plan tels que �JDDDDDDD?. ��DDDDD? = � DDDDD?. ��DDDDD? 2. Montrer que ��²+ � ² = 2(�� + � �). EXERCICE VII : ( 6 points )

Les trois questions sont des situations indépendantes. Dans chacun des triangles ABC suivants, déterminer la mesure manquante. On calculera la valeur exacte des longueurs.

1° �� = 2√3 , �� = 6 , �� = 30° Calculer ��.

2° �� = 5 , �� = 75° , �� = 45° Calculer ��

3° �� = 8 , �� = 6 , �� = 5 , A est le milieu de [��]. Calculer �A.

A.BERGER 1S VERTE 2010-2011 Page 23 sur 28

ANNEXE ex II à rendre avec votre copie

Partie A :

Partie B :

2 3 4 5 6 7 8

2

0 1

1

x

y

20 1

1

x

y

NOM :


DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 12/04/2011 1/2 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT Le plan est muni d’un repère orthonormé �=; >?; @?). Ex1 : Compléter (si possible) le tableau suivant et tracer les droites dans un repère orthonormé.

Equation de droites Deux points à

coordonnées

entières

Un vecteur

directeur

Un vecteur

normal

Coefficient

directeur

Ordonnée à

l’origine

�: � − R − 4 = 0

�:2� − 3R + 5 = 0

� ∶ R = 13 � + 2

�: � = −7

Ex2 : Connaissances de cours sur les cercles :

1° Répondez directement

Une équation du cercle �� de centre =(0,0) et de rayon 2 est ………………………………………..…

L’ensemble �� des points �(�; ) vérifiant :

a) o�: (� − 3)� + (R + 2)� = 2 est …………………………………………………………………………..…………

b)o�: (� − 3)� + (R + 2)� = −2 est …………………………………………………………………………………..

c) o�: (� − 3)� + (R + 2)� = 0 est………………………………………………………………………………………..

2° Sur votre copie : Déterminer une équation cartésienne de chacun des cercles suivants

�� cercle de centre �(5;−2) et de rayon 3

�� cercle de centre � passant par l’origine

�� cercle de diamètre [AB] avec �(5; −2) et �(−1; 3) 3° Sur votre copie : dans chacune des deux situations, reconnaître l’ensemble ��: o�: �² + R² + 2� − 6R − 15 = 0

o�: �² + R² + � − 3R − 2 = 0

2 3 4 5 6 7 8 9 10-1-2-3-4-5-6-7

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

0 1

1

x

y


DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 21/04/2011 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT EXERCICE I : ( 6 points ) Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse Une réponse exacte apporte 1 point, une réponse erronée enlève 0,5 point. L'absence de réponse ne rapporte, ni n'enlève

aucun point. Une note négative est ramenée à zéro. Aucune justification n’est demandée. Reportez sur votre copie le n° de l’affirmation et votre choix.

A1 : Si ��;� est une suite arithmétique de raison r alors ¡ � ¢£N¢��

A2 : La suite ��;� définie par �; � cos(:w) est une suite arithmétique.

A3 : si (�;) est une suite arithmétique de raison ¡, alors �� + �� + �i = 3��

A4 : si (�;) est une suite géométrique de raison ��, alors �u = 8��

A5 : On considère la somme � = 2� + 2� + 2� +⋯+ 2�� est égale à 2(2�� − 1). A6 : La suite (�;) définie par �; = −1 + 3 × H− u

GI;

est convergente.

EXERCICE II : (14 points )

Soit la suite (�;) définie par : �� = 9 et �;!� = �� ; + 2 ( : ∈ �)

1.a. Calculer �� , ��, �� Donner à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée à 10N� près de �G .

1.b. Montrer que la suite (�;) n’est ni arithmétique, ni géométique.

1.c. Représenter les quatre premiers termes sur l’axe (=; >D?) d’un repère (=; >?; @?) . ( aucune explication demandée , mais on

laisse les traits de construction )

1.d. Quelles conjectures peut-on faire ?

2. On considère la suite (�;) définie par �; = �; − 3 pour : ∈�.

2.a. Montrer que la suite (�;) est géométrique.

2.b. Exprimer �; , en fonction de :. 2.c. En déduire que pour tout n de � , on a : �; = 3 + 6 × H��I

;

2.d. Calculer la valeur exacte de �G.

3.a. Etudier les variations de la suite (�;) . 3.b. Montrer que la suite (�;) est bornée.

3.c. Etudier la convergence de la suite (�;) .

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-1-2-3-4-5

2

3

4

5

6

7

-1

-2

-3

0 1

1

x

y





On considère la fonction � définie sur � par :

�� 14 �� + �� − 4� + 2

1. Montrer que pour tout � de � , on a : �d(�) = (� − 1)(� + 2)� 2. Déterminer les limites de la fonction � aux bornes ouvertes de son ensemble de définition. 3. Dresser le tableau de variation de la fonction �. Faire apparaître �(0) �(2).

4.a. Par lecture du tableau de variation, on admet que l’équation �(�) = 0 a deux solutions dans � , notées _,β dont on connaît un encadrement à 1 près , donnez ces encadrements. 4.b. Par la méthode de votre choix : dichotomie ( programme calculatrice) ou balayage d’intervalle, donnez un encadrement de chacune de ces solutions à 0,01 près. EXERCICE II : ( 7 points ) On considère la suite (�;) définie par :

�� = 1LM�;!� = 2�;2 + 3�;

1. Calculer �� et �� 2. A l’aide la calculatrice, émettre des conjectures sur la suite (�;)

3. On admet que pour tout : de � , �; ≠ 0 et on pose �; = 1 + �¢�.

3.a. Calculer ��, ��, �� 3.b. Montrer que pour tout : de � , on a �;!� = �; + 3

3.c. Que pouvez-vous en déduire ? 3.d. Exprimer �; en fonction de :

4.a En déduire que pour tout : de � , on a :

�; = 22 + 3:

4.b. Montrer que pour tout : de � ,

�;!� − �; = −6(5 + 3:)(2 + 3:)

En déduire le sens de variation de la suite (�;) . 4.c. Montrez que la suite (�;) est convergente.


EXERCICE III : ( 8 points ) Les deux parties suivantes de cet exercice peuvent, pour une grande part, être traitées de manière

indépendante.

Partie A : On considère l’algorithme suivant : Entrée : : un entier naturel. Initialisation : affecter à � la valeur 1 ;

affecter à � la valeur 1 ; affecter à { la valeur 0.

Traitement : tant que { . : affecter à � la valeur 2� + 1 − {; affecter à S la valeur � + � ; affecter à { la valeur { + 1.

Sortie : afficher � ; afficher �.

On fait « fonctionner » l’algorithme pour : = 5: Reproduire et compléter le tableau suivant :

Initialisation Etape1 Etape2 Etape3 Etape 4 Etape 5

Affichage pour � 1 11

Affichage pour � 1 21

Valeur de { 0 3

Partie B : Soit la suite (�;) définie sur � par :

�� = 1 et, pour tout entier naturel :, �;!� = 2�; + 1 − :. 1. Calculer les trois premiers termes de la suite (�;) . 2. La suite (�;) est-elle géométrique ou arithmétique ?

3. Pour tout : de � , on pose �; = �; − :. 3.a. Montrer que la suite (�;) est géométrique de raison 2. 3.b. Déterminer l’expression explicite de la suite (�;). 3.c. En déduire que pour tout : de � , on a : �; = 2; + : .

4. Pour tout : de �, on pose : �; = �� + �� +⋯+ �;

4.a. On considère les sommes : �; = 1 + 2 +⋯+ : et E; = 1 + 2 + 2� + 2� +⋯+ 2;

Justifier : �; = ;(;!�)�

Exprimer E; en fonction de :.

4.b. En déduire : �; = 2;!� + ��:² +

��: − 1

4.c. Calculer ��. 5. Lien entre les deux parties : 5.a. Pour un entier naturel : donné, que représentent les valeurs affichées par l’algorithme de la partie A ? 5.b. La valeur de �� obtenue avec l’expression déterminée à la question 4.b. est-elle cohérente avec le tableau de la partie A ?


Géométrie - Trigonométrie (20 points )

EXERCICE IV : ( 4 points ) 1. On rappelle que : sin([ − \) = z{:[. ]yz\ − ]yz[. z{:\ Démontrer que : sin([ + \) = z{:[. ]yz\ + ]yz[. z{:\ En déduire une autre écriture de sin(2[) 2. Déterminer une expression simple de : sin H� − v

iI + sin H� +viI

3. Montrer que vi est une solution de l’équation sin H� − v

iI + sin H� +viI =

√�� .

EXERCICE V : ( 5 points ) On considère la fonction � définie sur [−w;+w] par : �(�) = cos(2�) − 2cos� 1° Etudier la parité de la fonction �. 2° Sur quel intervalle A doit-on étudier la fonction � ? 3° a) Calculer la dérivée. On montrera que pour tout � de [−w;+w] : �d(�) = 2z{:�. (−2]yz� + 1) b) Etudier le signe de �′(�) sur A.

c) En déduire le tableau de variation complet de la fonction � sur [−w;+w]. EXERCICE VI : ( 2 points ) Le plan est rapporté à un repère (=; >?; @?). Pour chacune des droites ci-dessous, donnez : un point à coordonnées entières, un vecteur normal et un vecteur directeur

� ∶ 7� − 12R + 1 = 0 � ∶ � + 2 = 0 � ∶ � = �¤N��

EXERCICE VII : ( 6 points ) Le plan est rapporté à un repère (=; >?; @?). On considère les points �(10; 10)�(12; 11)�(6; 4) (−2; −2) 1. Déterminer une équation de la droite (��) 2. Déterminer une équation du cercle � de diamètre [� ] 3. Résoudre le système -�² + R² − 4� − 2R − 20 = 0� − 2R + 10 = 0

Que pouvez-vous en déduire ? EXERCICE VIII : (3 points ) ) désigne un réel. On considère l’ensemble op des points J(�; R) tels que : �² + 2� + R² − 4R +) = 0 1. On prend ) = 0 1.a. Montrez que l’ensemble o� est un cercle dont on précisera le centre et le rayon. 1.b. L’affirmation « 2� + R − 5 = 0 est une équation cartésienne de la droite T tangente au cercle o� en �(1; 3) » est-elle vraie ? Justifiez. 2. L’affirmation « Pour toute valeur du réel ), l’ensemble op est un cercle » est-elle vraie ? Justifiez.

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