27
A.BERGER 1S VERTE année 2012/2013 Page 1 sur 27 1S VERTE 2012-2013 DEVOIRS DE MATHEMATIQUES SUJETS DV 18/09/2011 page 2 Test leçon page 3 DS1 17/10/2012 page 4 Test 15/11/2012 page 6 DS2 21/11/2012 page 7 Test leçon 04/12/2012 page 9 DV 13/12/2012 page 10 DS 09/01/2013 page 11 DV 25/01/2013 page 15 DS 13/02/2013 page 16 DS 27/03/2013 page 19 DV 16/04/2013 page 23 DS 15/05/2013 page 24

1S 2012-2013 sujetsmaths.ab.free.fr/1S 2012-2013 sujets.pdf · 2013-05-25 · A.BERGER 1S VERTE année 2012/2013 Page 1 sur 27 1S VERTE 2012-2013 DEVOIRS DE MATHEMATIQUES SUJETS DV

  • Upload
    others

  • View
    4

  • Download
    0

Embed Size (px)

Citation preview

A.BERGER 1S VERTE année 2012/2013 Page 1 sur 27

1S VERTE 2012-2013

DEVOIRS DE MATHEMATIQUES

SUJETS

DV 18/09/2011 page 2

Test leçon page 3

DS1 17/10/2012 page 4

Test 15/11/2012 page 6

DS2 21/11/2012 page 7

Test leçon 04/12/2012 page 9

DV 13/12/2012 page 10

DS 09/01/2013 page 11

DV 25/01/2013 page 15

DS 13/02/2013 page 16

DS 27/03/2013 page 19

DV 16/04/2013 page 23

DS 15/05/2013 page 24

A.BERGER 1S VERTE année 2012/2013 Page 2 sur 27

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 18/09/2012 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

EXERCICE I : ( 4 points ) On considère la fonction � définie sur [1; +∞[ par �() = −2 − ( − 1)² 1° Déterminer le sens de variation de cette fonction sur [1; +∞[. 2° L’affirmation �(10�� + 1) < �(10��) est-elle vraie ou fausse ? Justifier sans calcul.

EXERCICE II : ( 6 points )

1. Sans justifier, à l’aide du sens de variation des fonctions de référence, encadrez au mieux.

a) si −4 ≤ ≤ −2 , alors ……………. ² ……………....

b) si �� ≤ ≤ �

� , alors ………..….�� ………………

c) si −5 ≤ ≤ 1 , alors …………...² ……………..

d) si −5 ≤ ≤ 1 , alors …………….� …………….….

2. a. Sachant que ∈ [−3; −1], encadrez au mieux.

�() = 1− + 3 �() = −� + 4

2. b. Ecrire () = ��!��"� sous forme canonique, puis l’encadrer au mieux pour ∈ [0; 3].

EXERCICE III : ( 6 points ) On considère une fonction � définie sur �.

On sait que �(−4) = 0; �(0) = 0; �(1) = ��� ; �(4) = �

� ; �(5) = 0

On donne son tableau de variations : −∞ −2 3 +∞ �()

4 −1

1° Encadrez au mieux �() : a) pour ∈ [3; 5] b) pour ∈ [1; 4] 2° L’affirmation « la fonction � est minorée sur ] − ∞; 3] » est-elle vraie ? Justifier.

3° Donner, sans justification, le tableau de signe de �() sur �.

4° Déterminer le sens de variation de la fonction # définie sur [3; 5[ par #() = �$(�).

EXERCICE IV : ( 4 points ) Déterminer le sens de variation des fonctions suivantes. Justifier. �() = ² + 3 − 4 % = [0; +∞[ #() = −5² % = �

ℎ() = √2 + 1 % = (− �� ; +∞(

A.BERGER 1S VERTE année 2012/2013 Page 3 sur 27

Test MATHEMATIQUES 1S VERTE 11/10/2012 20mn SANS CALCULATRICE

1° Questions de cours : On considère � une fonction polynôme de degré 2 définie par : �() = )² + * + +, avec ) ≠ 0, ayant un discriminant Δ > 0. Quelles « informations » en déduisez-vous ? 2° Résoudre dans � : a) 3² + 4 + 1 = 0 b) −4� + 4 + 3 ≤ 0

3° Dresser le tableau de signe de ² + + ��

4° Factoriser /() = 57² − 59 + 2

A.BERGER 1S VERTE année 2012/2013 Page 4 sur 27

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 17/10/2012 3 HEURES CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

EXERCICE I : (8 points)

On donne la courbe C représentation graphique d’une fonction� définie sur [−6; 7]. 1° Par lecture graphique, a) Dresser sans justifier le tableau de variation de la fonction �. b) Enoncer sans justifier le sens de variation de la fonction �. c) Donner le tableau de signe de la fonction �. d) Résoudre l’équation �() = 3. e) Résoudre l’inéquation �() ≤ 3. f) Encadrer au mieux �() dans chacun des cas suivants : a) ∈ [1; 2] , b) ∈ [1; 7] 2°a) On considère la fonction # définie sur [−6; 7] par #() = −�() Dresser son tableau de variation.

b) On considère la fonction ℎ définie sur [−1; 4[ par ℎ() = �$(�)

L’affirmation « la fonction ℎ est croissante sur [−1; 4[» est-elle vraie ou fausse ?

EXERCICE II : (13 points) 1° Résoudre dans �

)) 1� − 9 +

14 − 3 = −3

b) � − 2� + 9 = 0

c) (23 + 47)(17 − ) ≥ 0

5) 6| − 1| ≤ 3|| ≥ 2 On s’aidera d’un schéma

8)| − 8,5| ≤ 0,01

f) Résoudre dans � l’équation � − 7² + 12 = 0

2° Résoudre dans �² le système 6 ; = − 1² + (; − 1)� = 4

C

2 3 4 5 6 7 8-1-2-3-4-5-6-7

2

3

4

5

6

7

8

9

-1

-2

-3

0 1

1

x

y

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 5 sur 27

EXERCICE III : (8 points) Le plan est rapporté à un repère orthonormé d’unité 1cm. La courbe de la fonction #, (2ème partie) est donnée dans le repère de la feuille annexe.

1ère partie : On considère la fonction � définie sur � par : �() = !�� ² + <

� − 4.

1° Déterminer le sens de variation de la fonction �, et dresser son tableau de variation. Préciser les coordonnées du sommet S de la parabole. 2° Encadrer au mieux �() pour ∈ [0; 8] 3° Résoudre l’équation �() = 0. Interpréter graphiquement le résultat obtenu. 4° Dresser le tableau de signe de �() 5° Tracer $ , courbe représentative de la fonction �dans le repère de la feuille annexe.

2ème partie : On considère la fonction # définie sur � par : #() = ² − 4.

On donne en annexe la courbe = représentant la fonction .

1° Par lecture graphique, dresser le tableau de signe de#(). 2° Résoudre dans � a) le système 6�() > 0

#() > 0 b) l’inéquation �() × #() > 0

3° a) On pose 5() = �() − #(). Etudier le signe de 5(). b) En déduire la position relative des courbes $ et =.

EXERCICE IV : (5 points) On considère la fonction �définie sur % =]2;+∞[ par :

�() = 3 + 1 − 2

1° Démontrer que pour tout réel de ]2; +∞[, on a : �() = 3 + ?�!�

2° Déterminer le sens de variation de la fonction � sur]2; +∞[. 3° Sans les calculer, comparer �(10<�) et �(10<� − 1). Justifier.

4° Montrer que la fonction � est bornée sur [3; 9]. 5° Montrer que pour tout de ]2; +∞[, on a �() > 3. Quelle propriété de la fonction � en déduisez-vous ?6° Résoudre l’inéquation �() ≥ 0. EXERCICE V : (4 points) Dans cet exercice, on pourra utiliser l’algorithme programmé dans la calculatrice et ne pas donner le détail des calculs des racines des polynômes de degré2.

1° Déterminer un nombre entier tel que si on ajoute 18 à son triple, on trouve son carré. S’il existe plusieurs possibilités, on les donnera toutes. 2° Un champ rectangulaire a pour dimensions 30@ et 20@. Le long des bords intérieurs de ce champ, on veut construire une allée de largeur fixe. Déterminer à 0,01@ près la largeur maximale de cette allée pour que sa surface n’excède pas le cinquième de la surface totale du champ ? EXERCICE VI : (2 points) 1) Vérifier que pour tout entier naturel A, on a : 2B = 2B"� − 2B. 2) En déduire une expression très simple de : � = 2� + 2� + 2� +⋯+ 2�< + 2�� .

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 6 sur 27

Annexe Exercice III (à rendre avec votre devoir)

Test MATHEMATIQUES 1S VERTE 15/11/2012 25mn

Ex1 : (on ne choisit pas de repère) �� est un triangle. % et D sont les points tels que :

�%EEEEEF = 2��EEEEEF � � EEEEEF et �DEEEEEF � ��� EEEEEF

En raisonnant sur les vecteurs sans choisir de repère : 1° Démontrer que les droites � % et ��� sont parallèles. 2° Démontrer que les points �,%, D sont alignés.

Ex2 : �� est un triangle. G est le milieu de �� � H est le point défini par H�EEEEEEF � 2H�EEEEEEF � 3� EEEEEF Déterminer les coordonnées des points �, �, , G,H dans le repère I�; ��EEEEEF; � EEEEEFJ

NOM :

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 7 sur 27

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 21/11/2012 4 HEURES CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

Algèbre -Analyse (20 points)

EXERCICE I : (5.5 points)

1° Résoudre dans � : ��K!<�

���!� � �3

2° Soit le polynôme /� tel que /� � 2� � � � 8 � 5. a) Démontrer que 1 est racine de/� b) Déterminer trois réels ), *, + tels que pour tout de �, /� � � � 1�)� � * � + c) Factoriser /� au maximum. d) Résoudre dans � l'inéquation : /� � 0

EXERCICE II : (6 points)

On considère la fonction � définie par �� � ��K!<�K"�"�

1° Montrer que l’ensemble de définition de la fonction � est �

2° Etudier le signe de �� à l’aide d’un tableau de signes.

3° Montrer que : pour tout de �, �� � 5.

4° a) Démontrer que pour tout réel , on a �� � 4 � !��!���K"�"�

b) Etudier la position relative de $ et de la droite d’équation ; � 4

EXERCICE III : (3 points) Un pavé droit est tel que sa hauteur mesure 2 cm de plus que sa largeur et 3cm de moins que sa longueur. Calculer les dimensions du pavé droit sachant que son aire latérale est égale à 182 cm². (La figure n’est pas à l’échelle) EXERCICE IV : (5.5 points) On considère les courbes , % et /d’équations respectives :

: ; � √% ∶ ; � / ∶ ; � ² pour ∈ �0; �∞� 1° A l’aide de la calculatrice, conjecturer la position relative des courbes , % et / sur �0; �∞� 2° Validation des conjectures :

a) Montrer que les points N�0; 0 et ��1; 1 appartiennent aux courbes , % et /. b) Etudier le signe de 5� � ² � .

c) On pose %� � � √ .

Montrer que : pour tout de �0; �∞�, on a : %� � �K!��"√�

Etudier le signe de %� d) Déduire des questions précédentes, la position relative des courbes , % et /.

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 8 sur 27

Géométrie (20 points)

EXERCICE V: (5 points)

Dans un repère orthonormal �N; OEF; PF), on considère les points �(−3; 1), �(2; 4), (2; 0)et le

vecteur QEF R−11 S 1° Déterminer une équation cartésienne de la droite (��) 2° Déterminer une équation cartésienne de la droite Δ passant par et de vecteur directeur QEF. 3° a) Résoudre le système :

63 − 5; + 14 = 0 + ; − 2 = 0 b) Que pouvez-vous en déduire ? EXERCICE VI : (7.5 points) �� % est un parallélogramme. G est le milieu de [�%], D est le point tel que �DEEEEEF = 3��EEEEEF T est le symétrique de G par rapport à %. 1° Faire une figure soignée en utilisant au mieux le quadrillage. On complètera la figure au fur et à mesure en faisant apparaître les propriétés de la configuration.

2° a) Exprimer %TEEEEEF en fonction de �%EEEEEF. En déduire que DTEEEEEF = −3��EEEEEF + �� �%EEEEEF.

b) Exprimer D EEEEEF en fonction de ��EEEEEFet �%EEEEEF. c) Que peut-on en déduire pour les points D, et T. 3° Montrer que les droites (�G) et (DT) sont parallèles. EXERCICE VII : (7.5 points) Soit �� un triangle. On considère les points % et D définis par :

�%EEEEEEF = �� � EEEEEF et %DEEEEEF = �

� %�EEEEEF On considère le repère I�; � EEEEEF; ��EEEEEFJ 1° Déterminer les coordonnées des points �, �, , %, D dans le repère I�; � EEEEEF; ��EEEEEFJ 2° Démontrer que les droites (��) et ( D) sont parallèles.

3° On considère le point G milieu de [��] et le point U défini par : U�EEEEEF + U�EEEEEF − 4U EEEEEF = 0EF Démontrer que les points , G et U sont alignés.

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 9 sur 27

Test MATHEMATIQUES 1S VERTE 03/12/2012 20mn SANS CALCULATRICE

Ex1 : On considère la fonction � définie sur � par �� � �� � 2� − + 7

1° Déterminer la fonction dérivée.

2° Etudier le signe de �′().

Ex2 : Etude des variations de la fonction � définie sur � par �() = ��� − 2� + 1

1° Déterminer la fonction dérivée.

2° Etudier le signe de �W(). 3° En déduire le sens de variation de la fonction�.

4° Dresser le tableau de variation de la fonction �.

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 10 sur 27

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 13/12/2012 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

EXERCICE I : (7 points) Dans cet exercice, aucune justification n’est demandée, mais ne répondez pas au hasard : toute réponse erronée enlève 0,5 point. L’absence de réponse n’est pas pénalisée. 1° Repérez les propositions équivalentes, pour les situations où il n’y a pas équivalence, précisez l’implication vraie. Sur votre copie, reportez le n° de la ligne et votre choix : / ⟺ Y , / ⟹ Y , Y ⟹ /

Proposition P Proposition Q 1 A est un entier naturel multiple de 6 A est un entier naturel multiple de 3

2 ² ≥ 9 ≥ 3

3 �� = 2�G G milieu de [��] 4 ∈]0; +∞[ ∈ [0;+∞[ 5 ��EEEEEF et % EEEEEF sont colinéaires �� % est un parallélogramme.

2° Recopier et compléter au mieux les phrases suivantes avec Condition Nécessaire, Condition suffisante, Condition nécessaire et suffisante

a) La fonction � étant définie sur [−2; 3] : �(−2) ≤ �(3) est une …… pour que � soit croissante sur [−2; 3]

b) La fonction # étant définie sur � :

#(�) est un extremum de la fonction # sur � est une …….. pour que #W(�) = 0

EXERCICE II : (13 points) On considère la fonction � définie sur � par �() = �

�� − � + 7.

1. a. Déterminer l’ensemble de dérivabilité de la fonction � , calculer �W() 1. b. Etudier le signe de �′() et en déduire le sens de variation de la fonction � 2. Dresser le tableau de variation de la fonction �.

3. a. Encadrer au mieux �() pour ∈ [−1; 1] 3. b. Encadrer au mieux �() pour ∈ [1; 4] 4. Déterminer le plus grand minorant entier de � sur � ?

5. Déterminer le signe de �() sur �.

6. Existe-t-il un ou des points en lesquels la courbe $ admet une tangente parallèle à l’axe des

abscisses ? 7. Déterminer une équation de la tangente à la courbe $ au point A d’abscisse 1.

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 11 sur 27

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 09/01/2013 4 HEURES CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

EXERCICE I : (8 points) Dans cet exercice, aucune justification n’est demandée. On donne la courbe représentative d’une fonction � définie sur �. On précise que la courbe $ passe par le

point de coordonnées R2; ��S et qu’elle coupe l’axe des abscisses en un point [�\; 0. On désigne par ]̂ la tangente à $ au point d’abscisse )

1° Par lecture graphique, dire si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses. Sur votre copie, vous reporterez le n° de l’affirmation et votre choix VRAI / FAUX. Une réponse erronée est pénalisée, l’absence de réponse n’est pas pénalisée.

A1 �W�1 � 0 A6 �2 � \ � �1 A2 �W�3 � 1,5 A7 �W��3 � 1 A3 ]� est la tangente à $ en � A8 $ admet deux tangentes parallèles à l’axe des abscisses A4 �W� � 0 sur �0; 2� A9 La fonction � est strictement décroissante sur �0; 2� A5 ]� est la tangente à $ en � A10 �� . 0 sur �\; �∞� 2° Dresser le tableau de variations de la fonction �, en faisant apparaître la ligne �′�.

3° Dresser le tableau de signe de ��.

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 12 sur 27

EXERCICE II : (8 points) Partie A : On considère une fonction Q définie sur � par Q� � � � )² � *

Déterminer ) et * sachant que _ passe par D R�1; ��S et admet en ce point une tangente parallèle à l’axe des

abscisses.

Partie B :

On considère la fonction Q définie sur � par Q� � � � 2� � <�

1° Avec les méthodes habituelles, justifier le tableau de signe de Q′� donné ci-dessous :

�∞ �1 0 1 �∞ Q′� � 0 + 0 � 0 +

2° Dresser le tableau de variation de la fonction Q. 3°a) Montrer que la fonction Q admet un minimum sur �

3°b) Déterminer le signe de Q�

Partie C : On considère la courbe � d’équation ; � ² et le point � R0; ��S Soit H un point quelconque de �, on note son abscisse.

On veut déterminer la position du point H sur � qui rend minimale la distance �H.

a) Démontrer que la distance �H est donnée par �H � `Q� pour ∈ �. On pose �� � `Q� b) Restitution organisée de connaissances

Démontrer que les fonctions Q et � ont les mêmes variations sur �.

c) En réinvestissant les résultats obtenus dans la partie B, déterminer les variations de la fonction �.

En déduire les positions du point H pour lesquels la distance �H est minimale.

Préciser la valeur exacte de cette distance minimale et sa valeur arrondie à 10!� près.

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 13 sur 27

EXERCICE III : (5 points) On considère la fonction �définie sur � par �� � �. ( + 1)² Le logiciel de calcul formel XCas donne l’information suivante, que l’on utilisera au mieux.

1° Etudier le signe de �′() En déduire le sens de variation de la fonction �. 2° Dresser le tableau de variation de la fonction �. 3° En déduire le tableau de signe de�(). 4° L’affirmation : « pour tout ∈ [−1; +∞[, on a �() ∈ [−1; +∞[ » est-elle vraie ou fausse ?Justifier. EXERCICE IV : (3,5 points) 1° Repérez les propositions équivalentes, pour les situations où il n’y a pas équivalence, précisez l’implication vraie. Sur votre copie, reportez le n° de la ligne et votre choix : / ⟺ Y , / ⟹ Y , Y ⟹ /

Proposition P Proposition Q 1 G milieu de [��] �� = 2�G 2 ∈ [1; 4] ∈ [2; 3] 3 Une mesure de I��EEEEEF; � EEEEEFJ est a �, �, sont alignés dans cet ordre

4 #W(�) = 0 #(�) est un extremum de la fonction # sur �

5 ��EEEEEF et % EEEEEF sont colinéaires I��EEEEEF; % EEEEEFJ = 0 2° Recopier et compléter au mieux les phrases suivantes avec Condition Nécessaire, Condition suffisante, Condition nécessaire et suffisante

c) ��EEEEEF et % EEEEEF sont colinéaires est une …… pour que �� % soit un parallélogramme. d) QEF et bF étant deux vecteurs non nuls,

(QEF; bF) = c� + d × a)b8+d ∈ ℤ est une ….. pour que les vecteurs QEF et bF soient orthogonaux

EXERCICE V : (6 points) Les deux questions sont indépendantes

1° Soient QEF et bF deux vecteurs non nuls tels que (QEF; bF) = c� (bF; fEEF) = !c

g

Déterminer la mesure principale des angles orientés suivants.

))(QEF; −bF) *)(2QEF; −bF) +)R− ��QEF; −4bFS d)(−2bF; QEEEF) e) (fEEF; QEF)

2° �� est un triangle équilatéral direct.

Déterminer la mesure principale de : a) I��EEEEEF; � EEEEEFJ , b) I��EEEEEF; � EEEEEFJ , c) I��EEEEEF; �EEEEEFJ.

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 14 sur 27

EXERCICE VI : (3,5 points)

On considère l’algorithme : Entrée Entrer un réel positif Traitement Si ∈ �0; 2a�

Alors afficher Sinon Tant que 4 2a Affecter à la valeur � 2a Afficher Fin tant que Fin Si

1° Quel affichage obtient-on lorsqu’on entre � �?c� ? puis lorsqu’on entre � 8a. Vous donnerez le

détail des calculs. 2° Décrire le rôle de l’algorithme, (c’est-à-dire quelle question vous aurait-on posée si on avait voulu que l’algorithme ci-dessus soit votre réponse). EXERCICE VII : (2 points) Soit �� un triangle direct

Démontrer que : I��EEEEEF; � EEEEEFJ � I� EEEEEF; ��EEEEEFJ � I �EEEEEF; �EEEEEFJ � a�2a� Il s’agit de démontrer l’égalité à l’aide des propriétés des angles orientés et non pas de dire que la somme des angles d’un triangle est égale à 180° !

EXERCICE VIII : (4 points) �� % est un quadrilatère.

Les angles I��EEEEEF; �%EEEEEFJ, I��EEEEEF; � EEEEEFJ; I%�EEEEEF; % EEEEEFJ mesurent respectivement !c� ;

c� ,

!cg

1° Déterminer les mesures des angles I �EEEEEF; ��EEEEEFJ et I�%EEEEEF; %EEEEEFJ 2° Déterminer la mesure principale de I �EEEEEF; %EEEEEFJ

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 15 sur 27

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 25/01/2013 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

EXERCICE I : (2.5 points)

On considère un réel ) de � � a; 0] tel que cos()) = − ��. Calculer sin())

EXERCICE II : (3 points)

Le logiciel XCas donne l’information suivante :

cos R a12S =√6 + √2

4

Calculer : cos R!c��S; cos R��c�� S ; cos R�<c�� S EXERCICE III : ( 3 points)

En écrivant toutes les étapes du calcul, exprimer en fonction de +no et de opA: �() = cos R + a

2S + sin R + a2S + cos(a + ) + sin(a + )

�() = cos q + 5a2 r − sin( − 13a) − sin q − 9a

2 r + cos(−) EXERCICE IV : (1.5 points) En utilisant au mieux votre calculatrice, recopier et compléter le tableau de signe de

�() = 2(opA)� + 3opA + 1 sur [−a;+a]. �()

EXERCICE V : (7 points)

1°Résoudre dans ] − a;+a] les équations suivantes.

a) √3 + 2opA = 0 b) (+no)� = 2+no

2°Résoudre dans ] − a;+a] les inéquations suivantes. (On fera un schéma par inéquation)

a) +no ≥ !√��

b) −2opA + √2 ≥ 0

EXERCICE VI : (3 points)

Résoudre dans �, puis dans ] − a; a] l’équation : +no(2) = !�� .

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 16 sur 27

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 13/02/2013 4 HEURES CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

ANALYSE

EXERCICE I : (6 points) Dans cet exercice, aucune justification n’est demandée. On donne la courbe représentative d’une fonction � .

Par lecture graphique, 1. Déterminer l’ensemble de définition de la fonction �. 2. Déterminer les limites de la fonction � aux bornes ouvertes de cet ensemble de définition. 3. Déterminer les asymptotes à la courbe $ .

4. Dresser le tableau de variation, on fera apparaître le signe de la dérivée et on reportera les limites. 5. Dresser le tableau de signe de ��. 6. Pour quelles valeurs du réel @, l’équation �� � @ a-t-elle 2 solutions ? 7. L’équation �� � 4 admet une unique solution que l’on note � . Donner un encadrement de �par deux entiers consécutifs.

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 17 sur 27

EXERCICE II : (10 points)

On considère la fonction � définie sur � par :

�� � 2² + 8 + 8² + 2 .

On désigne par $ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

On appelle Δ la droite d’équation ; = 2.

1. a. Montrer que pour tout de �, on a : �() = 2 + �(��"�)�²"�

1. b. Etudier la position relative de $ et de la droite Δ d’équation ; = 2.

2. a. Calculer la dérivée. On montrera que �W() = !s(�!�)(�"�)(�K"�)K

2. b. Etudier le signe de �W(). En déduire le sens de variation de la fonction � 3. a. Dresser le tableau de variation de la fonction �.

3. b. Encadrer au mieux �() pour ∈ [0; 3]. 4. Déterminer une équation de la tangente à $ au point A d’abscisse 0. On la note ]t.

5. Tracer la droite Δ, la tangente ]t , la ou les tangentes horizontales et la courbe représentative de la fonction dans un repère orthonormé d’unités 1cm.

On utilisera du papier millimétré, et on prendra la feuille format paysage.

6.. Pour ≥ 1, on note H le point de Δ d’abscisse , et u le point de $ d’abscisse .

6.a. Exprimer la distance Hu en fonction de . 6.b. A l’aide de la calculatrice, déterminer la plus petite valeur entière de pour laquelle la distance Hu est inférieure à 1. Vérifier graphiquement en plaçant les points H et u obtenus. 6.c. On considère l’algorithme suivant : Entrée initialisation

Donner un réel positif 8 Donner à la valeur 1 Donner à ; la valeur 6

Traitement Tant que ; − 2 ≥ 8 Donner à la valeur + 1 Donner à ; la valeur �() Fin Tantque

Affichage Afficher Un élève a fait fonctionner cet algorithme en donnant à 8 la valeur 0,01 . Il a obtenu comme affichage 801. Interpréter cet affichage. EXERCICE III : (4 points) Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Démontrer celles que vous estimez vraies. Donner un contre-exemple pour celles que vous estimez fausses. 1° Si une fonction � définie sur [−2; 1] vérifie �(−2) = 4 et �(1) = 1,

alors la fonction � est décroissante sur [−2; 1] 2° Une fonction polynôme � définie sur � admet un minimum en 2, si et seulement si �W(2) = 0.

3° En tout point d’abscisse ) de la courbe d’équation ; = �, une équation de la tangente est :

; = 3)² − 2)�. 4° Quels que soient les réels ) et *, on a : cos() − *) = cos()) − cos(*)

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 18 sur 27

GEOMETRIE – TRIGONOMETRIE

EXERCICE IV : (3 points) ABC est un triangle tel que �� � 6� � 7� � 5 1° Calculer ��EEEEEF. � EEEEEF 2° Déterminer à 1° près la mesure de l’angle géométrique �� v. EXERCICE V : (4,5 points) Dans un repère orthonormal �N; OEF; PF , on considère les points ��3; 2, ��7; �4 �6; 4 1° Faire une figure et la compléter au fur et à mesure.

2° a) Calculer ��EEEEEF. � EEEEEF 2° b) Que pouvez-vous en déduire ?

3° a) Déterminer les coordonnées du centre I du cercle � circonscrit à �� puis le rayon de � .

3° b) Le point % R<� ;?�S appartient-il au cercle � ?

EXERCICE VI : (6 points)

Soit �� % un carré direct de centre N et de côté ) 1° Exprimer en fonction de ) les produits scalaires suivants :

a) ��EEEEEF. � EEEEEF b) N�EEEEEF. N%EEEEEEF c) �EEEEEF. %�EEEEEF d) N�EEEEEF. %�EEEEEF 2° On appelle G le milieu de �% �

a) Montrer que �GEEEEF. � EEEEEF � �� )²

b) Déterminer à 0,1° près la valeur de l’angle G� w .

EXERCICE VII : (6,5 points)

On fera sur la copie les schémas nécessaires

1° Résoudre dans � � a;�a� l’inéquation +no � √�� .

2° On considère la fonction & définie sur ��a; �a� par &� � 2�opA� � opA

On se propose d’étudier le signe de &� par deux méthodes.

2° a) En utilisant au mieux votre calculatrice, dresser le tableau de signe de &� 2° b) Factoriser &�, puis étudier son signe à l’aide d’un tableau de signe.

3° Résoudre dans �, puis dans � � a; a� l’équation : +no�2 � !�� .

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 19 sur 27

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 27/03/2013 4 HEURES CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

ANALYSE

EXERCICE I : (14 points) Les deux parties sont indépendantes

On considère la fonction � définie sur � � 2; +∞[ par �() = ���"�.

Une partie de sa courbe représentative est donnée en annexe, en double exemplaire.

Partie A : Soit la suite (QB) telle que QB= �(A), c’est-à- dire QB = �BB"� pour A ∈ �.

1.a. Représenter graphiquement sur l’axe des ordonnées (annexe A) les quatre premiers termes de la suite. On laissera apparents les traits de construction. 1.b. Emettre quatre conjectures sur la suite (QB) . 2. Calculer Q�, Q�, Q� , Q�. 3. Calculer QB"� − QB . En déduire le sens de variation de la suite.

4. Montrer que pour tout A ∈ � on a : 0 ≤ QB < 2. Que peut-on en déduire pour la suite (QB) ?

5. On considère l’algorithme : Données Initialisation

A = 0 Q = 0 On obtient A = 39 comme affichage. Interpréter l’affichage obtenu.

Traitement Tant que Q ≤ 1,9 Affecter à A la valeur A + 1

Affecter à Q la valeur �BB"�

FinTantque Affichage Afficher A Partie B

Soit la suite (bB) définie par b� = 2 et bB"� = �(bB) , c’est-à-dire bB"� = �xyxy"� (n ∈ �)

1° Représenter graphiquement sur l’axe des abscisses (annexe B) les cinq premiers termes de la suite. On laissera apparents les traits de construction. Emettre quatre conjectures sur cette suite (bB). 2° a) Calculer b� , b�, b� b) Déterminer b�� à l’aide de la calculatrice.

3° On admet que : pour tout A de � , on a : bB > 0.

Exprimer bB"� − bB en fonction de bB.

Déterminer le sens de variation de la suite (bB). 4°Avec la calculatrice, déterminer la plus petite valeur de A telle que bB < 0,1.

5° Ecrire un algorithme qui affichera le plus petit entier A tel que l’écart entre bB et 0 soit strictement inférieur à 0,01.

6° On considère la suite (fB) définie par fB = �xy pour n ∈ �.

Montrer que pour tout n ∈ �, on a : fB"� − fB = ��.

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 20 sur 27

EXERCICE II : (5 points) Pour chacune des suites �QB et �bB : Calculer ses quatre premiers termes.

Etudier le sens de variation de la suite.

1° Soit la suite �QB définie par QB � �yB"�

2° Soit la suite �bB définie par b� � 48zbB"� = bB − A − 1

EXERCICE III : (5 points)

Soit la suite (QB) définie par : { Q� = 0QB"� = �

�!_y A ∈ �∗

a) Calculer Q�, Q�, Q�

b) Montrer que Q� = ��.

c) Conjecturer la forme explicite de QB. d) Démontrer votre conjecture. e) Déterminer la valeur exacte de Q���� .

GEOMETRIE – TRIGONOMETRIE

EXERCICE IV : (9 points) Partie A : Restitution organisée de connaissances

Dans un repère orthonormé (N; OF; PF), on considère les vecteurs QEF R;S et bF q′;′r.

Montrer que : QEF. bF = W + ;;′

Partie B :

On considère un carré direct �� % de côté 1. On nomme D le milieu de [% ] et T le milieu de [� ]. On nomme [ le point d’intersection de (�D) et (%T) On considère le repère orthonormé I�; ��EEEEEF; �%EEEEEFJ. 1° Recherche de l’angle �%Tv:

a) Donner, sans justifier, les coordonnées des points �, �, , %, D, T.

b) Calculer %�EEEEEEF. %TEEEEEF c) Calculer les longueurs %� et %T.

d) Montrer que cos �%Tv = �√��

e) En déduire la mesure de �%Tv à 0,1° près.

2° Recherche de la longueur �[ a) Calculer �DEEEEEF. %TEEEEEF . Que peut-on en déduire ?

b) Calculer le produit scalaire �%EEEEEF. �DEEEEEF c) En déduire la longueur �[

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 21 sur 27

EXERCICE V : (4 points)

Un triangle �� est tel que : �� � 8, � = 5 et �� v = 60° 1° Déterminer la mesure de �

2° Déterminer à 0,1° près la mesure de �� v.

EXERCICE VI : (3 points)

On considère : �() = sin() + sin R + �c� S + sin R − �c

� S 1° Calculer : � Rc�S 2° Montrer que �() est constant sur �, c’est-à-dire : pour tout réel : �() = � Rc�S

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 22 sur 27

Annexe

Exercice 1 : partie A

Exercice 1 : partie B

2 3 4 5 6 7 8

2

0 1

1

x

y

d : y = x

C

2 3

2

0 1

1

x

y

NOM :

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 23 sur 27

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 16/04/2013 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

EXERCICE I : (9 points)

Les quatre questions sont indépendantes.

1° Calculer les sommes suivantes à l’aide des formules étudiées. Détaillez leur mise en œuvre.

~ � 1 + 2 + 4 + 8 +⋯+ 4096

~W = 1 + 2 + 3 +⋯+ 999 + 1000

2° On considère la suite (QB) géométrique de raison 2 et de 1er terme Q� = 5 a) Donner la forme explicite de cette suite. b) Calculer la somme des termes ~ = Q� + Q� +⋯+ Q�� c) Ecrire en fonction de A la somme ~′ = Q� + Q� + Q� +⋯+ QB

3° La suite (bB) définie par b� = 3 et bB"� = bB + A est-elle arithmétique ? géométrique ?

4° La suite (QB) est arithmétique, Q<<? = 2,5; Q���� = −4 . Calculer Q����.

EXERCICE II : (11 points)

Soit la suite (QB) définie par : Q� = 10 et QB"� = ��QB + 3 ( A∈ �)

1.a. Calculer Q� , Q�. Donner à l’aide de la calculatrice, une valeur approchée à 10!� près de Q< . 1.b. Montrer que la suite (QB) n’est ni arithmétique, ni géométique. 1.c. A l’aide de la table de la calculatrice, quelles conjectures peut-on faire sur le sens de variation et la limite de la suite (QB). 2. Recherche de la forme explicite de (��). On considère la suite (bB) définie par bB = QB − 4 pour A ∈ � 2.a. Montrer que la suite (bB) est géométrique. 2.b. Exprimer bB , en fonction de A. 2.c. En déduire que pour tout A de �, on a : QB = 4 + 6 × R��S

B

2.d. Calculer la valeur exacte de Q<. On donnera la valeur sous forme d’une fraction irréductible. 3. Etude de la suite (��) - Validation des conjectures. 3.a. Etudier les variations de la suite (QB). 3.b. Montrer que pour tout A de �, on a : QB − 4 > 0. Que peut-on en déduire ? 3.c. Déterminer la limite de la suite (QB).

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 24 sur 27

DEVOIR DE MATHEMATIQUES 1S VERTE 15/05/2013 4 HEURES CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

ANALYSE

EXERCICE I : (5,5 points)

On considère la suite �QB définie par Q� � 1 et QB"� = �_y�"�_y

1° Calculer Q� et Q�

2° On considère la suite (bB) définie par bB = �_y .

a) Montrer que : pour tout A de �, on a : bB"� − bB = ��

Que peut-on en déduire pour la suite (bB)? b) Exprimer bB en fonction de A.

c) En déduire que pour tout Ade �, on a : QB = ��"�B

3° a) Montrer que pour tout A de �, on aQB > 0 b) Montrer que la suite (QB) est décroissante 4° Recopier et compléter l’algorithme suivant pour qu’il donne en affichage la somme S des termes consécutifs de Q� à QB. Entrée A entier naturel

Initialisation Donner à ~ la valeur …

Traitement Pour p allant de …

Affecter à Q la valeur …

Affecter à ~ la valeur …

FinPour

Affichage Afficher la valeur de ~

EXERCICE II : (7,5 points) Les trois questions sont indépendantes.

1° On considère la suite (bB) définie par b� = 108zbB"� = bB − 2A − 1

a) Calculer b� , b� . b) La suite (bB) est-elle arithmétique ? géométrique ? c) Montrer que la suite (bB) est décroissante. 2° On considère la suite (QB) géométrique de raison 2 et de 1er terme Q� = 5

d) Donner la forme explicite de cette suite. e) Calculer la somme des termes ~ = Q� + Q� +⋯+ Q�� f) Ecrire en fonction de A la somme ~′ = Q� + Q� + Q� +⋯+ QB

3° Soit ABC un triangle rectangle en A. Déterminer les longueurs des côtés sachant que le plus petit côté mesure 1Q. ℓ.et que les mesures des côtés forment une suite arithmétique de raison �.

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 25 sur 27

EXERCICE III : (7 points) Le nombre d’arbres d’une forêt, en milliers d’unités, est modélisé par la suite �QB où QB désigne le nombre d’arbres, en milliers, au cours de l’année (2010 + A).En 2010, la forêt possède 50 000 arbres, c’est-à-dire Q� = 50. Afin d’entretenir cette forêt vieillissante, l’ONF (Organisme National de la Forêt) décide d’abattre chaque année 5 % des arbres existants et de replanter 3 000 arbres. 1° Exprimer QB"� en fonction de QB 2° On considère la suite (bB) définie pour tout entier naturel A par bB = 60 − QB . a) Montrer que la suite (bB) est une suite géométrique de raison 0,95. b) Calculer b�. Déterminer l’expression de bB en fonction de A. c) Démontrer que, pour tout entier naturel A, QB = 60 − 10 × 0,95B. 3° Déterminer le nombre d’arbres de la forêt en 2015. On donnera une valeur arrondie à 10 arbres près. 4° a) Montrer que pour tout entier naturel A, on a : QB"� − QB = 0,5 × 0,95B b) En déduire la monotonie de la suite (QB). 5° On considère l’algorithme :

Entrée

Initialisation

A = 0 Q = 50

Traitement Tant que Q ≤ 55

Affecter à A la valeur A + 1

Affecter à Q la valeur 0,95Q + 3

FinTantque

Affichage Afficher A Après fonctionnement, l’affichage obtenu est 14. Interpréter cette valeur. 6° Déterminer la limite de la suite (QB). Donner une interprétation du résultat.

Probabilités

EXERCICE IV : (4 points) Dans un village de vacances, trois stages sont proposés aux adultes et aux enfants. Ils ont lieu durant la même plage horaire ; leurs thèmes sont : la magie, le théâtre et la photo numérique. 150 personnes dont 90 adultes se sont inscrites à l'un de ces stages. Parmi les 150 personnes inscrites, on relève que :

• la magie a été choisie par la moitié des enfants et 20 % des adultes ; • 27 adultes ont opté pour la photo numérique ainsi que 10 % des enfants.

On appelle au hasard une personne qui s'est inscrite à un stage. On utilisera les notations suivantes :

• A l'événement "la personne appelée est un adulte" ; • M l'événement "la personne appelée a choisi la magie" ; • T l'événement "la personne appelée a choisi le théâtre" ; • N l'événement "la personne appelée a choisi la photo numérique".

1. Dresser le tableau de répartition de l’effectif. 2. a. Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un enfant ? 2. b. Quelle est la probabilité que la personne appelée soit un adulte ayant choisi le théâtre ? 3. On appelle au hasard un adulte. Quelle est la probabilité que cet adulte ait choisi la photo ?

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 26 sur 27

EXERCICE V : (6 points) Une entreprise de location de voitures relève dans sa comptabilité les frais de réparation des pannes d'origine mécanique et ceux de remise en état de la carrosserie.

Elle a observé que, pour une voiture louée une semaine :

• la probabilité de panne mécanique est 0,35, • la probabilité de dégâts à la carrosserie est 0,45. • la probabilité de présenter une panne mécanique et des dégâts à la carrosserie est de 0,22.

On prend au hasard une voiture dans cette entreprise. On considère les événements suivants :

M : « la voiture a une panne mécanique », C : « la voiture a un dégât de carrosserie ».

1° Traduire les données.

2° Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :

a) « la voiture a une panne mécanique ou présente des dégâts à la carrosserie » ;

b) « la voiture a seulement une panne mécanique »

c) « la voiture a seulement des dégâts à la carrosserie »

d) « la voiture n'a ni panne mécanique, ni dégâts à la carrosserie »

3° Pour une voiture louée une semaine, les frais s'élèvent en moyenne à 300 € en cas de panne mécanique, 500 € en cas de dégâts à la carrosserie.

Soit X la variable aléatoire qui prend pour valeur le montant moyen en euros des frais hebdomadaires pour une voiture.

a) Déterminer la loi de probabilité de X.

b) Calculer l'espérance mathématique de X. Interpréter la valeur obtenue.

EXERCICE VI : (4 points) Un joueur lance deux fois de suite un dé équilibré.

Pour un lancer, on nomme S l’événement « le résultat obtenu est un Six ».

S’il obtient deux fois le Six, il gagne 10€. S’il obtient exactement un Six, il gagne 4€.

Dans tous les autres cas, il perd 1€.

On note G la variable aléatoire qui désigne le gain algébrique du joueur.

1° Représenter la situation par un arbre pondéré.

2° Définir la loi de probabilité de G.

3° Montrer que ce jeu est favorable au joueur.

4° L’organisateur modifie la règle pour que le jeu lui soit favorable : le joueur doit miser )€ pour jouer.

Déterminer la valeur minimale de la mise à 0,01€ près par excès pour que le jeu devienne favorable à l’organisateur.

A.BERGER 1S VERTE 2012/2013 Page 27 sur 27

Statistiques

EXERCICE VII : (6 points) Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.

Partie A On a récemment découvert que les acides gras oméga-3, présents dans des poissons comme le saumon, ont un effet protecteur contre les maladies cardio-vasculaires. Les pourcentages demandés seront arrondis à 0,01%. 1. Une portion de 180# de saumon d’élevage fournit environ 1,5# d’oméga-3. Calculer le pourcentage d’oméga-3 dans le saumon d’élevage. 2. Le pourcentage d’oméga-3 dans le saumon sauvage est de 0,78%. En déduire la quantité d’oméga-3 contenue dans une portion de 180# de saumon sauvage (arrondir à 0,1#). 3. Déterminer les besoins hebdomadaires en oméga-3 d’un être humain, arrondis à 0,1#, sachant que la consommation de 450#de saumon sauvage les couvre. Partie B Un navire de pêche, affrété par des scientifiques, effectue des prélèvements de saumons en Atlantique Nord pour les étudier. Un banc de 63 saumons a été capturé. On souhaite savoir si ces saumons sont plutôt sauvages ou plutôt issus d’un élevage d’où ils se seraient échappés. Les saumons ont été mesurés ; les résultats sont consignés dans le tableau donné en annexe 1. 1. a. Donner la médiane, les premier et troisième quartiles de cette série, en détaillant votre démarche. b. Quelle est l’étendue de cette série ? c. A l’aide des fonctions statistiques de la calculatrice, déterminer la moyenne ̅ à 1mm près et l’écart-typeo , arrondi à 0,01 de la série des tailles des saumons.

d. A-t-on les 2/3 des observations qui donnent une mesure appartenant à [̅ − o; ̅ + o]? 2. Construire le diagramme en boîte correspondant sur l’annexe 2, en utilisant l’axe déjà tracé (on choisira les valeurs extrêmes pour extrémités des « moustaches » du diagramme). 3. Le diagramme en boîte (les extrémités sont les valeurs extrêmes) correspondant à un banc de saumons sauvages est tracé sur l’annexe 2. Peut-on dire que les saumons capturés sont plutôt sauvages ou plutôt issus d’un élevage ? Pourquoi ? Annexe 1 : Taille

en cm

116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134

Effectifs 2 0 1 5 5 5 4 4 5 4 2 3 2 5 6 3 4 2 1

Annexe 2 :

banc de saumons sauvages

118 122 126 130 134 138 142 146 150110 114 x

NOM :