2- Chapitre I -Généralité sur l'élasticité-

CHAPITRE I DESA "M.S.C.P"

9

I- Définition

L’élasticité est la propriété physique d'un corps de reprendre sa forme initiale après

suppression de la sollicitation.

Le corps est parfaitement élastique s'il retrouve complètement sa forme originale après

suppression de la charge.

Il est partiellement élastique si la déformation produite par les forces externes ne

disparaît pas complètement lorsque celles-ci sont annulées.

L'expérience montre que, si l'on ne dépasse pas une limite de déformation et donc une

contrainte donnée (appelée limite élastique), les matériaux tels que l'acier et les alliages

métalliques en général peuvent être considérés comme parfaitement élastiques [7].

II- Tenseur des contraintes

Quand un corps est soumis à l'action de forces extérieures, des contraintes

s'établissent, par réaction, à l'intérieur de ce corps. Aux contraintes sont associées des

déformations. Tant que le comportement du corps se situe dans le domaine élastique, les

relations existant entre les contraintes et les déformations sont définies par la théorie de

l'élasticité linéaire des milieux continus. Les deux principales hypothèses de cette théorie

sont:

- Que les propriétés du corps sont homogènes et ne varient pas d'un point à l'autre.

- Qu'elles sont les mêmes dans toutes les directions.

Cette seconde hypothèse implique que le milieu est isotrope.

Figure I.1 : Vecteur contrainte sur les facettes ketjirrr

, en M.

Les composantes du tenseur des contraintes (Figure I.1) dans le repère ),,( kjirrr

sont :

(I.1)


10

Figure I.2 : Vecteur contrainte sur la facette ir

en M

III- Tenseur des déformations

Le tenseur des déformations, est un tenseur symétrique 3×3 servant à décrire l'état de

déformation local résultant de contraintes (efforts internes).

=

εεεεεεεεε

ε

zzzyzx

yzyyyx

xzxyxx

(I.2)

L'état de déformation d'un solide est décrit par un champ de tenseur, c'est-à-dire que le

tenseur des déformations est défini en tout point du solide. On parle de ce fait de champ de

déformation.

Dans le cadre de l'élasticité linéaire, le tenseur des déformations est relié au champ de

contrainte par la loi de Hooke généralisée.

III.1 Champ de déplacement

Dans le cas de petites déformations, ce tenseur est le tenseur de Green, un tenseur

dérivé du champ de déplacement.

Soit A un point du solide au repos ; après déformation, il devient le point A’. On

appelle déplacement du point A le vecteur ')( AAAurr = (I.3)

On peut relier le tenseur des déformations au champ de déplacement :

(I.4)

Avec : i, j = (x, y, z)


11

IV- Elasticité tridimensionnelle

Par rapport à un repère ortho normale (O, x1, x2, x3), considérons un solide quelconque

isotrope, linéaire et homogène soumis à des contraintes extérieures.

Pour bien définir le comportement entre le système et les contraintes extérieures, on

doit donc écrire les différentes relations entre contraintes (σij), déformations (εij) et

déplacements (Ui).

IV.1 Système d’équations en trois dimensions

On a besoin de définir 15 équations pour résoudre un problème d’élasticité en 3

dimensions.

IV.1.1 Loi de HOOKE (isotrope) :

Dans le domaine élastique linéaire, la loi de Hooke relie la déformation à la contrainte

exercée par l'intermédiaire du module de Young.

En 1678, en s'appuyant sur l'expérimentation, Robert Hooke, (1635-1703), établit que,

dans le domaine élastique linéaire, l'allongement d'une structure dans une direction donnée

était proportionnel à l'effort appliqué dans cette direction, et ceci pour plusieurs matériaux.

Si l'on se ramène à la contrainte de traction et à l'allongement unitaire par unité de

volume, la loi de Hooke prend alors la forme (I.5).

Loi de Hooke dans le cas d’un matériau homogène isotrope :

E

σε = (I.5)

Avec: ε : allongement

σ : contrainte

E : module de Young

Dans le cas d'un matériau isotrope, si l'on reprend en compte le coefficient de Poisson

ν, la loi de Hooke devient :

1ij ij kk ij

E E

ν νε σ σ δ+= − [6 équations] (I.6)

Avec : { 1 p o u r i= j0 p o u r i jijδ =

= ≠


12

On peut les expliciter autrement sous la forme [2]:

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

2 3 2 3

1 3 1 3

1 2 1 2

10 0 0

E E E1

0 0 0E E E

10 0 0

E E E1 +

0 0 0 0 0E

1 +0 0 0 0 0

E1 +

0 0 0 0 0E

ε σν ν

ν νε σ

ν νε σ

νε σ

νε σ

νε σ

− −

− − − − =

(I.7)

Les relations ci-dessus peuvent être inversées pour donner

(I.8)

Avec δij le symbole de Kronecker et εkk est une notation abrégé de la trace du tenseur

des déformations (somme des termes diagonaux du tenseur).

Ces relations permettent de décrire le comportement élastique linéaire d’un matériau.

IV.1.2 Loi de Hooke généralisée (matériau anisotrope)

Dans le cas d'un matériau anisotrope, on définit la contrainte et la déformation

localement par un tenseur 3×3, le tenseur des contraintes [σij] et le tenseur des déformations

[εij]. Le comportement élastique du matériau est alors modélisé par un tenseur d'ordre 4 [Cijkl ]

contenant 81 coefficients élastiques. Le nombre de coefficients indépendants est réduit à 21

en tenant compte de la symétrie des tenseurs de contraintes et de déformations, et de la

stabilité énergétique du tenseur. On a [4]:

(I.9)

En appliquant la sommation sur les indices k et l.

Du fait de ces propriétés de symétrie, le tenseur Cijkl peut être représenté sous la forme

d'une matrice 6x6, où les directions représentent les directions de la déformation.


13

(I.10)

Ou

=

τττσσσ

γγγεεε

12

13

23

33

22

11

121212131223123312221211

131213131323133313221311

231223132323233323222311

331233133323333333223311

221222132223223322222211

111211131123113311221111

12

13

23

33

22

11

SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS

(I.11)

Pour simplifier l'écriture, on adopte souvent une notation de 1 à 6, avec les axes de

compression/traction notés de 1 à 3 et les axes de cisaillement notés de 4 à 6.

Remarque :

� [ ] [ ][ ]εσ C= avec [ ]C Tenseur des rigidités

� [ ] [ ][ ]σε S= avec [ ]S Tenseur des complaisances élastiques.

IV.1.2.1 Signification des contraintes élastiques a. Termes diagonaux.

Il y a deux types [2]:

- Ceux du type Siiii (i ∈ [1,3]), qui sont les rapport des déformations normales aux

contraintes normales dans les directions principales, soit :

ESiii

iiiiii

1==σε (I.12)

Les coefficients Siiii sont les inverses des modules Ei.

- Ceux de types Sijij (i, j ∈[1,3]) qui sont les rapport des glissements aux contraintes

des cisaillements soit :

GSijij

ij

ijij

1==σγ

(I.13)

Les coefficients Siijij sont les inverses des modules Gij.


14

Ainsi les six modules d’un matériau anisotrope sont les inverses des termes diagonaux

du tenseur S.

b. Termes non diagonaux

On définit d’abord, les coefficients de couplages suivants :

i. Coefficients de Poisson ijν

Ils correspondent aux rapports de la déformation transversale à la déformation dans la

direction de la contrainte uniaxiale iiσ appliquée, les autres contraintes étant nulles :

εεν

ii

jj

ij= (I.14)

ii. Coefficients de LEKHNITSKII

Il y a deux types :

1) Coefficients d’influence mutuelle de 1ère espèce : )( ,, jkiijki ηη =

Ils caractérisent l’allongement dans la direction i, rapporté au glissement du à une

contrainte de cisaillement dans le plan (j, k); 0≠σ jk, les autres contraintes étant nulles :

γεη

jk

iijki =, (I.15)

2) Coefficients d’influence mutuelle de 2ème espèce : )( ,, kkijkij ηη =

Ils caractérisent le glissement dans le plan (i,j) rapporté à la déformation due à une

contrainte normale dans la direction k, σ kk

εγ

ηkk

ijkij =, (I.16)

iii. Coefficients de CHENTSOV : klij ,η

Ils caractérisent le glissement dans le plan (i, j), rapporté au glissement du à une

contrainte de cisaillement dans le plan (k, l) :

γγ

ηkl

ijklij =, ; )0( ≠σ kl

(I.17)


15

Ces coefficients de couplage étant définis, il est possible de détailler les termes non

diagonaux :

- Ceux du type : )0(; ≠σ jkiijkS

SS

S

Sjkjk

jk

iiiijk

jkjk

jk

jk

jk

iiiijk

avec

.γε

γσ

σε

=⇒

=

=

(I.18)

Soit : GS

jk

jki

iijk

η,= (I.19)

- Ceux de type : )0(; ≠σ kkijkkS

SS

S

Skkkk

kk

ij

ijkk

kkkk

kkkk

kk

ij

ijkk

avec

.εγ

εσσγ

=⇒

=

= (I.20)

Soit : ES

k

kij

ijkk

η,= (I.21)

Ceux de type : )0(; ≠σ klijklS

SS

S

Sklkl

kl

ij

ijkl

klkl

klkl

kl

ij

ijkl

avec

.γγ

γσ

σγ

=⇒

=

= (I.22)

Soit : GS

kl

klij

ijkl

η,= (I.23)

Ces définitions permettent d'écrire le tenseur de complaisance sous la forme suivante :


16

−−

−−

−−

=

GGGEEE

GGGEEE

GGGEEE

GGGEEE

GGGEEE

GGGEEE

S

1213

13,12

23

23,12

3

3,12

2

2,12

1

1,12

12

12,13

1323

23,13

3

3,13

2

2,13

1

1,13

12

12,23

13

13,23

233

3,23

2

2,23

1

1,23

12

12,3

13

13,3

23

23,3

32

23

1

13

12

12,2

13

13,2

23

23,2

3

32

21

12

12

12,1

13

13,1

23

23,1

3

31

2

21

1

1

1

1

1

1

1

ηηηηη

ηηηηη

ηηηηη

ηηηνν

ηηηνν

ηηηνν

(I.24)

Du fait de la symétrie du tenseur S, (Sijkl = Sklij ), on a les relations suivantes :

EE j

ji

i

ij νν = (I.25)

=

=

GG

EG

ij

ijkl

kl

klij

i

ijk

jk

jki

ηη

ηη

,,

,,

(I.26)

Ainsi, pour définir complètement un matériau dans le cas le plus général d'anisotropie,

il faut trois modules d'Young, trois modules de cisaillement, trois coefficients de poisson,

trois coefficients de CHENTSOV et neuf coefficients de LEKHNITSKII.

Cependant, si le solide admet des plans de symétrie géométrique et mécanique, le

nombre des coefficients élastiques indépendants peut être réduit.

IV.1.3 Loi de Hooke généralisée (matériau orthotrope)

Définition : Un matériau est dit orthotrope, s'il a deux plans de symétries de

comportement mécanique, il y a donc trois axes d'orthotropies, d'où :

0

0

131233232223112323122313

331233132212221311121113

======

======

SSSSSS

SSSSSSet (I.27)

Donc l'existence de deux plans de symétrie annule douze constantes élastiques.


17

Dans ce cas on a neuf constantes élastiques indépendantes dans la matrice des

complaisances d’un matériau spécialement orthotrope pour un état de contrainte

tridimensionnelle (I.28).

−−

−−

−−

=

τττσσσ

νν

νν

νν

γγγεεε

12

13

23

33

22

11

12

13

23

32

23

1

13

3

32

21

12

3

31

2

21

1

12

13

23

33

22

11

100000

01

0000

001

000

0001

000

0001

1

G

G

G

EEE

EEE

EEE

(I.28)

IV.1.4 Les équations d’équilibres

Les équations d’équilibre sont données par les relations suivantes :

0j

i ji

X

Xσ∂

+ =∂

[3 équations différentielles scalaires] (I.29)

Les iX sont les composants des force volumiques.

IV.1.5 Les équations géométriques

Les équations géométriques s’écrivent sous la forme :

+=

∂∂

∂∂

xU

xU

i

j

j

iij 2

1ε [6 équations différentielles scalaires] (I.30)

Remarque :

La résolution de ces 15 équations précédentes nous permettent de connaître les 15

inconnus du problème à savoir les6 i jσ , les i j6 ε et les i3U .

La résolution de ces équations est difficile en générale. Pour cela nous allons

rechercher des simplifications ou des approches simplifiées qui permettent de trouver plus

simplement des solutions à ces équations, on va considérer un système bidimensionnel

(plane).


18

V- Elasticité bidimensionnelle

V.1 Système d’équations en deux dimensions

On considère que le solide dans le plan (0, x1, x2), dans ce cas, tous les inconnus qui

dépendent de (x3) sont négligeables, alors les 15 relations précédentes se réduisent à 8

équations à résoudre.

V.1.1 Loi de HOOKE

1. Milieu isotrope

1( )ij ij ij ijtrace

E E

ν νε σ σ δ+= − [3 équations] (I.31)

Avec : i, j=1 ,2

2. Milieu anisotrope

La loi de Hooke dans un milieu anisotrope s'écrite sous la forme suivante :

σασασαγσασασαεσασασαε

12662226111612

12262222111222

12162212111111

++=++=++=

(I.32)

Où

=;.

.

PDen

PCen

CS

ij

ijijα (I.33)

Avec : .6,2,1,;33

33 =−= jiSSS

SCji

ijij (I.34)

3. Milieu orthotrope

Un état de contraintes planes nous ramène à deux dimensions et suppose que les

contraintes σ3, τ23, τ13 soient nulles, ce qui implique que γ23, γ13 soient nulles aussi et que

ε3=S13σ3+ S23σ2. Il est désormais plus simple d’exprimer les équations constitutives d’un

matériau orthotrope dans un état de contraintes planes par une matrice des complaisances plus

compacte.


19

−

−

=

τσσν

ν

γεε

12

22

11

12

21

21

2

12

1

12

22

11

100

01

01

G

EE

EE (I.35)

Il y a donc quatre constantes élastiques indépendantes que sont les deux modules

d’Young E1 , E2 , le module de cisaillement G12 et le coefficient de Poisson ν12 . L’autre

coefficient de poisson ν21 est obtenu par les propriétés de symétrie de la matrice des rigidités

par rapport à sa diagonale.

νν 21

2

12

1 EE = (I.36)

V.1.2 Les équations d’équilibres

0j

i ji

X

Xσ∂

+ =∂

[2 équations] (I.37)

Avec : i, j= (1 ,2)

Les Xi sont les composants des force volumiques.

V.1.3 Les équations géométriques

Les équations géométriques s’écrivent sous la forme :

+=

∂∂

∂∂

xU

xU

i

j

j

iij 2

1ε [3 équations différentielles scalaires] (I.38)

Avec i, j = (1,2)

Conclusion

Dans ce premier chapitre on a essayé de donner une idée générale sur l'élasticité, sa

définition, ses coefficients, et ses équations dans les cas des matériaux isotropes, anisotropes

et orthotropes.

Dans le chapitre qui suit on verra l'application des équations de l'élasticité et

l'utilisation de ses coefficients dans la mécanique de la rupture, en donnant un aperçu général

sur cette dernière.

Documents

2- Chapitre I -Généralité sur l'élasticité-