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Hydraulique des ouvrages Chapitre 2

LCH/JLB/15.04.05 page 1

2. Ecoulements en charge, pertes de charge

Un des problèmes techniques les plus importants qui s’est posé très tôt à l'humanité, est celui du transport hydraulique. Qu'il s'agisse d'une canalisation (alimentation d’eau potable, égouts, ventilation), d'un canal (irrigation, drainage, amenée et/ou restitution de centrale hydroélectrique), d'une rivière (propagation de crues) ou encore d'un bateau, le problème à résoudre est le même. Si nous voulons que le transport(écoulement, mouvement) soit assuré dans les conditions souhaitées (débit, vitesse, pression, niveau) il faut prendre en compte la dissipation d'énergie, c’est à dire mettre en place ou utiliser une "charge" disponible suffisante (réservoir, château d’eau), fournir de l'énergie de pompage, doter les embarcations de propulseurs adaptés (voiles, moteurs), donner aux canaux les pentes suffisantes (équilibre sur l'axe du lit entre la composante de la pesanteur et le frottement), etc. Pour l'hydraulicien le problème revient à évaluer l'énergie mécanique dissipée lors du transport, au moyen d'une loi de comportement adéquate. Cette dernière doit établir le lien existant entre les paramètres de l'écoulement (vitesse, géométrie du support, section, périmètre mouillé, aspérités des parois), les caractéristiques du fluide (masse, viscosité) et l'énergie dissipée. Ce type de relation est à ranger parmi d'autres lois de comportement bien connues des ingénieurs, telles que ,E U R Iσ ε= ⋅ = ⋅ , etc.

En hydraulique elle est désignée le plus souvent comme loi de perte de charge. C’est dans le cadre relativement simple des écoulements en charge, que le problème de la dissipation de l'énergie mécanique dans les écoulements a été abordé prioritairement. Cette dissipation, due aux frottements internes et à la paroi, est une perte, par transformation en chaleur, d'une partie de l'énergie mécanique disponible, appelée en hydraulique perte de charge.

2.1 Lois de perte de charge C’est l'écoulement uniforme en charge qui est le plus fréquent dans la pratique du transport des fluides à distance (tuyaux). Nous pouvons admettre que les pertes de charge sont ici linéaires c’est à dire proportionnelles à la longueur du tronçon considéré. Ce postulat est exprimé par l'équation (2.1).

LJhr ⋅= (2.1)

avec hr : la perte de charge linéaire, J : la perte de charge linéaire par unité de longueur, L : la longueur du tronçon de canalisation considérée. La figure 2.1 délimite précisément un tronçon de canalisation, en faisant apparaître les forces en jeu:



R : la résistance de la paroi (τ0 est l’effort tangentiel moyen de frottement à la paroi),

G : le poids du fluide sur le tronçon, p : les pressions appliquées sur les surfaces d’extrémités. Rappelons ici que l'équation de quantité de mouvement considère les forces extérieures à la masse contenue dans le <<volume de contrôle>>, délimité par les sections 1, 2 et la paroi de la canalisation. Les forces intérieures, dont les frottements internes, peuvent par contre être ignorées parce qu’elles se trouvent en équilibre (résultante nulle).

Figure 2.1 : Conditions d’écoulement dans une canalisation cylindrique

rectiligne de section circulaire (régime établi) Entre les sections 1 et 2, les équations de conservation d'énergie (2.2), de quantité de mouvement (2.3) et de continuité (2.4) s'écrivent:

rhzg

vpzg

vp+++=++ 2

222

1

211

22 γγ (2.2)

( )212211 sin VVQGRSpSp −=+−− ρθ (2.3)

SQVVV /21 === (2.4)

car

SSS == 21



avec LPR o ⋅⋅=τ et ( )1 2sin sinG g S L g S z zθ θ= ⋅ ⋅ = ⋅ − La combinaison des équations (2.2) et (2.4) ( ) ( ) LJzzpp

⋅=−+−

2121

γ (2.5)

et la combinaison des équations (2.3) et (2.4)

( ) ( ) plzzpp

S oτγγ =⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

−21

21 (2.6)

En divisant (2.3) par (2.6) et après séparation de τo nous obtenons la relation (2.7) qui est indépendante de (z1-z2).

o R Jτ γ= ⋅ ⋅ (2.7)

avec PSR = : le rayon hydraulique

4DR = : pour les tuyaux de section circulaire

Après substitution de γ = ρ⋅g l’équation (2.7) peut s’écrire

JRgo ⋅⋅=ρτ

(2.8)

Il est intéressant de remarquer que les deux termes de l'équation (2.8) ont la

dimension d'une vitesse au carré, soit 2vo =ρτ

et ainsi vo =ρτ

en raison de

cette similitude dimensionnelle, le terme de gauche est appelé « vitesse de frottement » noté e par v*. En outre, l'homogénéité dimensionnelle des équations de la physique permet de présumer que

α∝v et par conséquent que

JRgV ⋅∝



En admettant cette hypothèse, l'équation (2.8) devient

RJCV = (2.9) avec C : le coefficient de Chézy qui contient g Ce résultat obtenu en 1768 est connu comme équation de Chézy, du nom de son auteur. Après avoir constaté expérimentalement que le facteur de proportionnalité C n’est pas constant mais varie assez largement, il restait à comprendre pourquoi et comment. Weisbach (2845) apporta la réponse à cette question au moyen de l'analyse dimensionnelle. L’équation dite “fonctionnelle” de la perte de charge linéaire (égale à la variation de pression ∆p correspondante dans le cas particulier où V= Cte. le long de l’écoulement) s’écrit comme suit : ( ) 0,,,,,, =∆ µρLkDVpf (2.10)

Les termes en gras sont les paramètres hydrodynamiques de l'écoulement, ceux en caractères romains dé finissent la géométrie de l'écoulement, D (4R) est le diamètre intérieur de la canalisation et k la rugosité de la paroi (un équivalent hydrauliquement représentatif de la taille des aspérités); finalement, la masse volumique ρ et la viscosité dynamique µ servent à caractériser le fluide. L'équation (2.10) contient ainsi tous les paramètres significatifs du phénomène et exprime leur dépendance fonctionnelle, à défaut de fournir l’expression analytique précise qui est recherchée. La théorie des dimensions nous apprend toutefois qu'il est possible de regrouper les termes de cette équation de façon à obtenir un nombre réduit, (n-3), de nouveaux paramètres sans dimensions. En procédant judicieusement nous obtenons:

0;;/

;2/2 =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ∆Dk

DLVD

Vpf

ρµρ (2.11)

ou encore après arrangement:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

∆Dk

vVDf

DL

gvp ;

2//

2

γ (2.12)

La perte de pression (ou perte de charge) dp dans le terme de gauche est proportionnelle à la longueur (L) du tronçon considéré. La fonction f dans le terme de droite contient le nombre de Reynolds, Re = VD/n, ou v = m/r est la viscosité cinématique du fluide, et la rugosité relative k/D. Cette fonction f (parfois notée λ dans la littérature francophone) et appelée coefficient de frottement. Ainsi, la perte de charge par unité de longueur J peut s’exprimer comme suit:



gDVf

Lp

LhJ r

2

2

=∆

==γ

soit

gdVfJ2

2

= (2.13)

La relation (2.13) est connue comme équation de Darcy-Weisbach. Elle peut être ramenée à la même forme que l'équation de Chézy:

RJfgV 8

= (2.14)

Cela montre que le coefficient de Chézy C, est fonction du nombre de Reynolds Re et de la rugosité relative k/D, au même titre que f. Avant qu'une expression analytique ait pu être formulée vers 1933 pour exprimer la fonction f, deux autres propositions furent formulées par Manning en 1895:

6/11 Rn

C = (2.15)

avec n: le coefficient de Manning et par Strickler en 1923:

6/1RKC ⋅= (2.16) K : le coefficient de Strickler Ces 2 propositions étaient accompagnées de tables de valeurs pour n et de K respectivement. Strickler, à l'époque directeur du Service fédéral des Eaux à Berne, limitait sa proposition aux rivières. L’extension de son application au domaine des canalisations n'a suivi qu'après 1950. Les domaines d'utilisation des formules de Manning et de Strickler sont actuellement confondus et le choix tient davantage à la tradition locale (dans le monde anglo-saxon pour la première, en Europe pour la seconde). La forme usuelle d'application de la formule de Strickler est:

2/13/2 JRKV ⋅⋅= (2.17)



2.1.1 Canalisations cylindriques rectilignes de section circulaire Revenant à f, c’est la théorie de la turbulence proposée par L. Prandtl en 1905 et développée par ses élèves Blasius et von Karmann qui a permis de trouver les formulations analytiques générales recherchées. Ce sont toutefois les travaux expérimentaux de Nikuradze avec des tuyaux circulaires en laiton sur les parois desquels il avait collé une seule couche compacte de grains de sable calibré, soit, k = Φgrain, qui ont fourni les coefficients numériques de ces équations. Les résultats présentés sur la figure 2.2 confirment que la fonction f est caractérisée en écoulement turbulent par:

• un domaine où f est indépendant de la rugosité. Nous parlerons d’écoulements hydrauliquement lisses ;

• un second domaine où f est indépendant du nombre de Reynolds, dans lequel les écoulements hydrauliquement rugueux dépendent entièrement de la forme et de la disposition des éléments de rugosité.

Cette structure de la fonction f peut être expliquée par la présence au voisinage de la paroi d'une couche de liquide, ralentie par l'adhérence (v=0 à la paroi) et le frottement visqueux, où l'écoulement reste laminaire alors que le corps de l'écoulement est turbulent. Cette couche est appelée sous-couche laminaire. Lorsqu’elle recouvre les aspérités, la dissipation d'énergie à la paroi est du type laminaire et celle dans le corps de l'écoulement turbulente. Les aspérités ne jouent aucun rôle dans ce cas et tout se passe comme si la paroi é tait lisse. A l'opposé, si les aspérités dépassent largement la sous-couche laminaire, elles génèrent des sillages dans le corps même de l'écoulement turbulent et la dissipation d'énergie, purement turbulente, est alors déterminée par la rugosité.

Figure 1.2 : Courbes expérimentales dites « harpe de Nikuradze »



Les expériences de Nikuradze ont été menées avec une rugosité uniforme (de sable calibré). Les parois des tuyaux industriels comportent toutefois des aspérités de dimensions très diverses à l'intérieur d'une fourchette assez large. Nous parlerons de rugosité aléatoire. Vers 1940 Colebrook et White, constatent que la zone de transition dans ce dernier cas peut être décrite par une courbe décroissance monotone, asymptotique aux deux autres domaines et proposent l’expression (2.18).

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−=

Dk

fRf e 7.351.2log21

(2.18)

Si nous y remplaçons f par son équivalent tiré de l'équation de Darcy-Weisbach, nous obtenons après arrangement:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⋅⋅

+⋅⋅−=RJgR

vR

kRJgV8451.2

)4(7.3log82 (2.19)

C’est l’équation de Colebrook – White dite aussi de Prandtl-Colebrook. Elle a été présentée dès 1969 en unités métriques, sous forme graphique et tabulée, pour l’eau à 15° C et les valeurs usuelles de rugosité, en prenant comme variables 4R = D en m et J en m/100 m. Le débit et/ou la vitesse sont obtenus en l/s et m/s respectivement. Cette équation et celle de Strickler sont recommandées par la norme SIA 190, pour le calcul des canalisations. La vitesse d'écoulement n’est évidemment pas négative lorsque la valeur entre crochets est inférieure à 1 et log < 0. Les valeurs de la rugosité k sont déterminées expérimentalement (nous parlerons alors de rugosité de sable équivalente), par mesure directe ou encore par estimation au jugé, selon les possibilités et le besoin de précision. Il est clair que les erreurs possibles à cet égard n'ont qu'une faible incidence sur le résultat (k se trouve sous l'opérateur log). Les progrès technologiques de la fabrication industrielle des tuyaux d'une part et les limites techniques et économiques de leur utilisation d'autre part (V limitée), font que la quasi-totalité des cas pratiques se situent de nos jours dans le domaine des écoulements hydrauliquement lisses ou dans son proche voisinage.

2.2 Singularités A l'opposé des pertes de charge linéaires, nous parlerons ici de pertes locales ou singulières, par décollements accompagnés de tourbillons et/ou de sillages, dus aux formes géométriques du support. Il s'agit de singularités qui, dans les écoulements en charge correspondent aux raccords et aux pièces spéciales (coudes, tés, cônes, joints, vannes, clapets, etc.). Dans les écoulements en nappe libre ces singularités sont généralement des piles de pont, ouvrages de passage sous voies, grilles, etc. Les pertes de charge correspondantes sont évaluées comme une fraction ou un multiple (m, ζ) de l'énergie cinétique, ce qui conduit à la forme générale de la loi de comportement des singularités :



gVmhs 2

2

= (2.20)

avec m ou ζ le coefficient de perte de charge singulière Par rapport à la perte de charge linéaire, hs introduit une perte supplémentaire, due à la présence d'une singularité dans un tronçon cylindrique rectiligne. Il apparaît ainsi que plusieurs singularités montées plus ou moins en série ne peuvent pas être considérées séparément; elles forment une nouvelle singularité. Cela multiplie à l'infini les combinaisons possibles et enlève tout espoir de mise au point d'une tabulation exhaustive. D'une manière générale m est fonction des paramètres géométriques, du nombre de Reynolds et, pour le cas des embranchements, de la partition du débit. Les cas simples sont documentés dans les aide-mémoire d'hydraulique.

2.3 Calcul des canalisations et des réseaux Les équations de perte de charge sont l'élément essentiel du calcul hydraulique des canalisations. Ces dernières sont considérées, en l'absence d'organes de réglage (vannes), comme « auto-réglées », c’est-à-dire que leur capacité de transport est déterminée uniquement par leurs caractéristiques et la charge disponible, qui est entièrement utilisée. Les réseaux sont des combinaisons plus ou moins complexes de canalisations, qui peuvent être réduites, comme dans le cas des circuits électriques, à quelques cas fondamentaux.

2.3.1 Conduite simple Il s'agit d'une canalisation isolée, d'un seul tenant, transportant un débit défini entre 2 points de charges déterminées ou encore, débouchant éventuellement à la pression atmosphérique (Fig. 2.3).

Figure 2.3 : Conduites simples



Nous pouvons écrire pour les 2 cas :

gVm

DLfz

gvpz

gvp

222

22

2

222

1

211 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ∑++++=++

γγ (2.21)

En négligeant les pertes de charge singulières vis-à-vis des pertes linéaires, nous obtenons après quelques simplifications: pour le cas a) : p1 = p2 = 0 ; V1 <<V2 (leurs carrés d'autant plus); z1 - z2 = H et

rhg

VH +=

2

22 (2.22)

Avec l'énergie cinétique généralement négligeable devant la charge disponible, nous obtenons

rhH = (2.23) pour le cas b)

Hzp

zp

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ 2

21

1

γγ (2.24)

à partir de quoi nous arrivons au même résultat que pour le cas a). Nous

pourrons dès lors calculer J = LH et la vitesse V. De là, en multipliant par la

section de la conduite, résulte le débit Q. Le dimensionnement, c’est-à-dire la recherche de D lorsque Q et H sont connus, est le problème inverse.

2.3.2 Canalisations en série C’est le cas montré à la figure 2.4.

Figure 2.4 : Canalisations en série



L’examen de cette figure permet de constater que le débit transporté est le même dans toutes les canalisations et que la somme des pertes de charge sur les différents tronçons est égale à la charge totale disponible, soit

QQi = (i=1, 2, 3, …) (2.25)

Hhri =∑ (2.26) Dans leur forme ces équations sont les mêmes qu'il s'agisse de l'écoulement d'un fluide, d'un courant électrique (H serait une différence de potentiel électrique) ou d'un flux de chaleur (H serait une différence de température). Pour résoudre le problème hydraulique, il faudra ajouter les équations de comportement pour chaque tronçon pris individuellement.

gV

DL

fh i

i

iiri 2

2

= (2.27)

Dans le cas du problème de dimensionnement habituel, Q et H sont donnés, L et k connus pour chaque tronçon. Les inconnues - fi, hri et Di - liées entre elles et à H, sont toutefois en nombre plus élevé que les équations disponibles. Le problème ne peut être résolu sans avoir préalablement choisi au moins les valeurs des inconnues en trop. Dans la règle on fait un premier choix de tous les Di, on calcule les hri et on vérifie si ∑hri = H, etc. La détermination de la capacité Q avec (D, L, k)i et H connus est toutefois possible directement, même si les équations deviennent éventuellement complexes. Le procédé courant consiste cependant à répartir plus ou moins au jugé H en hri et à calculer les Qi pour vérifier si Qi = Q, etc. Avec les équations de Manning-Strickler, n et/ou K sont censés être constants (ce qui est inexact comme déjà montré). Cela permet cependant d'écrire avec la notation M = K ⋅S ⋅R2/3 :

JMQ = (2.28) et d'obtenir

iii

ri MLMQSh ==∑ 2

2 (2.29)

donc:

2i

i

ML

S

HQ = (2.30)



2.3.3 Canalisations en parallèle

Figure 2.5 : Canalisations en parallèle

Entre 1 et 2, chaque canalisation est caractérisée par ses propres (V,Q,D,k,L)i. Les équations correspondantes sont ∑Qi=Q débit total passant de 1 à 2 et hri = H auxquelles s'ajoutent les équations de comportement.

2.3.4 Canalisations à distribution uniforme Ces canalisations comportent des embranchements, approximativement équidistants et suffisamment rapprochés (par rapport à leurs longueurs totales), dont la fonction est de distribuer des débits sensiblement égaux. C’est le cas par ex. de la distribution d’eau potable dans les agglomérations rurales et urbaines. Nous pourrons dans ce cas définir un débit q par unité de longueur et tenter d'obtenir une loi de comportement comme suit (Fig. 2.6).

Figure 2.6 : Canalisation à distribution uniforme

La perte de charge sur dx est

dxJdh xx = (2.31) avec les notations déjà utilisées



21

2

MQ

J xx = (2.32)

On obtiendra hr sur L1 par intégration

( )∫ ∫

−+==

1 1

0 02

1

212

1

2L Lx

r dxM

qxQQdxMQh (2.33)

ce qui donne en développant

1

0

2

2

2

121

3222

212

1 22

222

31

L

rqxQqxQxQQxqxQxQ

Mh ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+++= (2.34)

et après remplacements

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++= 21

212

221

1

3QQQQ

MLhr (2.35)

Or, le terme entre crochets est bien approximé par (Q2 + 0.55 Q1)2 d'où

( )21221

1 55.0 QQMLhr += (2.36)

La somme des débits entre parenthèses peut être assimilée à un débit équivalent « de calcul », Qeqv. Ceci permet d'écrire en abandonnant les indices :

JMQeqv = (2.37) forme analogue à celles rencontrées et qui nous renvoie aux solutions déjà connues.

2.3.5 Réseaux Il n’existe fondamentalement que 2 types de réseaux – ramifié et maillés - comme montré à la figure 2.7 Pour le réseau ramifié le calcul est conduit des extrémités vers la canalisation principale et de l'aval vers l'amont, pour intégrer logiquement les conditions de pression et de dé bit de chacune des branches. Tout tronçon entre 2 noeuds est une conduite simple. Ceci n’est pas du tout le cas d'un réseau maillé où les canalisations arrivant dans un nœud appartiennent à une ou plusieurs mailles à la fois. La répartition des débits dans les canalisations du noeud n’est pas connue a priori et leur détermination passera par un calcul d'approximations successives, généralement mené par ordinateur, où tous les éléments



géométriques des canalisations (D, k) sont déterminés par avance et tous les débits ou charges définis au départ en première approximation.

Figure 2.7 : Exemples de réseaux : ramifié à gauche, maillé à droite

Les principaux éléments du calcul tiennent compte des principes déjà énoncés: • la somme algébrique des débits dans un noeud est nulle (continuité); • la somme algébrique des pertes de charge le long d'une maille ou tout autre

circuit fermé orienté est nulle (le parcours doit nous ramener à la charge de départ);

• la perte de charge sur chaque tronçon de mêmes caractéristiques (élément d'une maille) est donnée par la loi de comportement.

S'ajoutent à ceux-ci les méthodes mathématiques d'itération (Hardy-Cross, Ralphson-Newton, etc.) qui nous permettront d'aboutir rapidement. Si nous choisissons tous les débits de manière conforme au premier principe comme input du programme, ce dernier calculera les pertes de charge individuelles et vérifiera la compatibilité de notre choix avec le second principe ou vice-versa si ce sont les charges dans tous les noeuds qui sont choisies au départ. Les méthodes d'itération servent à améliorer automatiquement le premier choix et à rendre le calcul rapidement convergent vers la solution correspondant aux paramètres prédéterminés du réseau. Les problèmes d'optimisation hydraulique et de fiabilité du réseau peuvent toutefois nous amener à reprendre ces calculs à plusieurs reprises.



2.3.6 Résolution pratique des problèmes d'écoulements en charge Ce paragraphe donne quelques indications théoriques et pratiques utiles à la résolution des problèmes simples d'écoulements en charge. Il est structuré autour d'un exemple concret. Il se réfère au logiciel Excel 97 de Microsoft, considéré ici comme outil numérique. Les opérations élémentaires d’Excel ne sont pas décrites. Au besoin, le lecteur est invité à consulter la documentation accompagnant ce programme.

• Enoncé du problème Une canalisation simple, de diamètre D, de longueur L et de rugosité ks connus, est reliée à l'amont à un réservoir de niveau constant et débouche à l'air libre à l'aval, comme le montre la figure 2.8.

Figure 2.8 : Représentation schématique du problème

Le problème consiste à déterminer le débit Q s'écoulant dans cette canalisation, connaissant la différence d'altitude ∆z entre le niveau du réservoir à l'amont et la sortie libre à l'aval.

• Formulation mathématique L'équation de Bernoulli, appliquée entre le réservoir amont et la sortie libre, s'écrit:

2

2 rVz h

g∆ = + (2.38)

La vitesse moyenne de l'écoulement V est liée au débit par la définition:

QvA

= (2.39)



où A est la section de la canalisation. La perte de charge linéaire hr se calcule à l'aide de la relation de Darcy-Weisbach :

2

2rL Vh fD g

= (2.40)

Dans l'équation (2.40) le coefficient de frottement f s'obtient par l'équation de Colebrook-White :

1 2.512log3.7ef R fε⎡ ⎤

= − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2.41)

avec la rugosité relative définie par:

kD

ε = (2.42)

et le nombre de Reynolds Re par:

evDRυ

= (2.43)

où υ est la viscosité cinématique du fluide (υ =10-6 m2/s pour de l’eau). Les équations (2.38)et (2.39) permettent d'écrire :

2

2 02 rQz hgA

∆ − − = (2.44)

Puis, avec l'équation (2.40) :

2 2

2 2 02 2Q L Qz fgA D gA

∆ − − =

2

2 1 02Q Lz fgA D

⎛ ⎞∆ − + =⎜ ⎟⎝ ⎠

(2.45)

Le coefficient de frottement f est obtenu de l'équation (2.41) qui ne possède pas de solution explicite. Elle est de la forme générale

( )eRff ,ε= (2.46)



Comme le nombre de Reynolds est une fonction de la vitesse (équation 2.43), et donc du débit, le coefficient de frottement f est aussi une fonction du débit. Face à ces difficultés mathématiques, il va de soi qu'une résolution numérique itérative est incontournable. Il faut choisir un débit, calculer le coefficient f par (2.41) et vérifier l'égalité (2.45). Si cette dernière n’est pas satisfaite, il faut corriger le débit et répéter l'itération jusqu'à ce que (2.45) soit satisfaite. Cette équation (2.45) est de la forme générale :

( ) 0G Q = (2.47) Le problème consiste donc à trouver le zéro de cette fonction G. L'option " Valeur cible " d’Excel se chargera de cette résolution numérique. Un problème subsiste encore. Lorsqu’Excel effectuera ses itérations sur le débit pour résoudre (2.47), il devra connaître à chaque itération la valeur du coefficient de frottement f. De par sa forme mathématique, le calcul de la fonction (2.46) demande également des itérations. Excel n’est pas capable d’effectuer cette double itération imbriquée. Par contre, il permet la création de fonctions personnalisées. Ecrivons donc la fonction (2.46) afin qu’elle devienne utilisable comme n'importe quelle autre fonction d’Excel.

• La fonction personnalisée f=f(ε, Re) Formulation numérique Excel permet à chacun d'écrire ses propres fonctions personnalisées. A titre d'illustration de cet outil très puissant, écrivons la fonction (2.46) :

( )eRff ,ε=

Concrètement, il s'agit de trouver le zéro de la fonction :

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡++=

fRffF

e

51.27.3

log21)( ε (2.48)

Choisissons la méthode de la tangente, également appelée méthode de Newton. Son principe est représenté graphiquement sur la figure 2.9. A partir d'une valeur connue fi, une nouvelle approximation est obtenue par la fonction récursive :

( )( )1 1 '

ii

i

F ff f

F f+ = − (2.49)



Figure 2.9 : Principe schématique de la méthode de Newton

Cette méthode requiert donc de connaître la dérivée de la fonction à résoudre. Pour notre cas concret, cette dérivée s'écrit :

( )2/3

2/3 51.27.3

)10ln(

51.22

1'fR

fR

ffF

dfdF

ee

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−−==ε

(2.50)

La suite des valeurs fi calculées à l'aide de la relation (2.49) converge vers f0, le zéro recherché de la fonction F(f) . L'équation (2.49) doit être appliquée jusqu'à ce que :

errfF i ≤)( (2.51) où err est l’erreur tolérée qui peut valoir, par exemple, err = 10-10. Aspects informatiques Disposant maintenant de toute la théorie numérique pour résoudre l'équation de Colebrook-White (2.41), il ne reste qu'à la programmer dans Excel. Cela se réalise dans l’environnement de programmation accessible comme le montre la figure 2.10. Le langage de programmation est le VBA, pour Visual Basic for Applications, commun à tous les logiciels de la suite Office.



Une fonction personnalisée doit être écrite dans un module. Un module peut contenir un nombre illimité de fonctions. Attention, il ne faut pas confondre un module avec un module de classe. Même si leur appellation ne diffère que très peu, ces deux types de modules se comportent très différemment. Le module de classe sert à définir une classe d'objet pour la programmation orientée objet. Ce sujet sort amplement du cadre de ce document.

Figure 2.10 : Accès à l’environnement de programmation depuis Excel

Une fois que le module a été créé, comme le montre la figure 2.11, il ne reste qu'à entrer le texte de la figure 2.12.

Figure 2.11 : Création d’un nouveau module en VBA



Figure 2.12 : Fonction personnalisée d’Excel pour le calcul du coefficient de

frottement f selon Colebrook-White

L'usage de cette nouvelle fonction f = f(ε, Re) est presque identique à celui de n'importe quelle fonction interne d’Excel. Il suffit d'ouvrir le classeur contenant ce module pour que cette fonction soit accessible partout. Dans une cellule d’Excel, il faut alors saisir : =NomClasseur.xls'!f(B3;B4) pour que le coefficient de frottement f apparaisse dans cette cellule. Dans l’exemple ci-dessus, il est supposé que ε est dans la cellule B3 et que Re est dans la cellule B4.



• Résolution du problème avec Excel Avec ces outils à disposition, la résolution du problème se résume finalement à peu de choses, comme le montre la figure 2.13.

Figure 2.13 : Proposition de mise en forme d'une feuille Excel pour la résolution

du problème La cellule intitulée " Bernoulli " contient l'équation (2.44) dont il s'agit de trouver le zéro. Il faut donc itérer sur le débit pour que cette cellule affiche une valeur proche de zéro. Cette itération peut être réalisée à la main. Excel peut aussi la réaliser automatiquement grâce à sa fonction " valeur cible ". Un click sur le menu Outils, Valeur cible affiche la boite de dialogue suivante :

Figure 2.14 : Boite de dialogue de la fonction Valeur cible La cellule à définir est celle contenant l'équation de Bernoulli. La valeur à atteindre est 0, et la cellule à modifier est celle contenant la valeur du débit. Un click sur le bouton OK, et le problème est résolu.

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