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Les systmes logiques
combinatoires
S si COURS
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1. Prsentation
Circuit intgr contenant 4
oprateurs logique 2 entres
Dans ce chapitre, on tudiera les oprateurs logiques qui
constituent les blocs lmentaires des circuits logiques et nous
verrons comment il est possible de dcrire leur fonctionnement grce
l'algbre de Boole. Nous verrons galement comment on construit des
logigrammes en associant des oprateurs.
2. Identification de la fonction ralise Les circuits logiques
ralisent la fonction TRAITER de la chane d'information :
3. Dfinitions 3.1
Rcepteur (Lampe)
Variables Boolennes Une variable logique (dite boolenne) ne peut
prendre que deux valeurs : 0 ou 1. Voici un exemple :
L = 1 Lampe allume L = 0 Lampe teinte
Contact
a = 0 Pas daction a = 1 Action
-
CI.11 Le codage de linformation COURS
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3.2 Oprateurs logiques
On peut dfinir des oprations mathmatiques portant sur des
variables logiques. Il existe trois oprations ou fonctions logiques
lmentaires :
- L'INVERSION (complmentation) logique symbolise par le
surlignement de la variable. - Le ET logique symbolis par le signe
. - Le OU logique symbolis par le signe +
3.3
Entres
Table de vrit
C'est un tableau qui donne l'tat de la sortie en fonction des
diffrentes combinaisons d'tats de ses variables d'entre. Chacune
des combinaisons des variables d'entre est crite sur une ligne
diffrente. Si n dfinit le nombre de variables d'entre, la table de
vrit comportera 2n combinaisons diffrentes. Exemple :
Sortie X Y Z 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
3.4 Chronogrammes Un chronogramme est une reprsentation
graphique qui permet de visualiser, en fonction du temps, l'tat de
la sortie correspondant aux diffrentes combinaisons d'tats logiques
des entres. 4. Les oprateurs logiques 4.1
Schma contacts
Oprateur OUI ou galit
Symbole AFNOR Symbole amricain Table de vrit Equation La lampe
est allume si e est actionn
e S
0 0 1 1
eS =
(S gal e)
Chronogrammes :
S est identique e
4.2 Oprateur NON ou complmentation
Schma contacts Symbole AFNOR Symbole amricain Table de vrit
Equation La lampe est allume si e nest pas actionn
e S 0 1 1 0
eS= (S gal e barre)
Chronogrammes :
S est le complment de e
X et Y sont les variables dentre S est la variable de sortie Le
nombre n de variables dentre est : n = 2 La table de vrit comporte
2n combinaisons soit 4.
- + e S
1 e S e S
t
e
t S
- + e S e S e S
1
t
e
t S
-
CI.11 Le codage de linformation COURS
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4.3
Schma contacts
Oprateur ET (AND)
Symbole AFNOR Symbole amricain Table de vrit Equation La lampe
est allume si e1 et e2 sont actionns
e1 e2 S 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1
2.1 eeS=
(S gal e1 et e2)
Chronogrammes :
Un zro en entre force un
zro en sortie
4.4
Schma contacts
Oprateur OU (OR)
Symbole AFNOR Symbole amricain Table de vrit Equation La lampe
est teinte si e1 et e2 ne sont pas actionns
e1 e2 S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1
21 eeS +=
(S gal e1 ou e2)
Chronogrammes :
Un un en entre force un un
en sortie
4.5 Oprateur NON ET (NAND)
Schma contacts Symbole AFNOR Symbole amricain Table de vrit
Equation La lampe est teinte si e1 et e2 sont actionns
e1 e2 S 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0
212.1 eeeeS +== (S gal e1 et e2 le
tous barre)
Chronogrammes :
Un zro en entre force un un
en sortie
- + e1 S
e1 S
e1 S e2
&
e2 e2
t e1
t
S t e2
- + e1 S
e1 S
e2 e2
>
e1 S
e2
t e1
t S t e2
e1 e1 S
t
e1
t S
e2 e2
t e2
& - + e1 S
e2 S
-
CI.11 Le codage de linformation COURS
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4.6 Oprateur NON OU (NOR)
Schma contacts Symbole AFNOR Symbole amricain Table de vrit
Equation La lampe est allume si e1 et e2 ne sont pas actionns
e1 e2 S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0
2.121 eeeeS =+= (S gal e1 ou e2 le
tous barre)
Chronogrammes :
Un un en entre force un zro
en sortie
4.7 Oprateur OU exclusif (XOR)
Schma contacts Symbole AFNOR Symbole amricain Table de vrit
Equation La lampe est allume si a ou b est actionn
e1 e2 S 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0
21 eeS = 2.12.1 eeeeS +=
(S gal e1 et e2 barre ou e1 barre
et e2)
Chronogrammes :
La sortie est un si lune des
entres est un
4.8 Oprateur Identit (XNOR)
Schma contacts Symbole AFNOR Symbole amricain Table de vrit
Equation La lampe est allume si a ou b est actionn
e1 e2 S 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1
21 eeS = 2..12.1 eeeeS +=
(S gal e1 et e2 ou
e1 barre et e2 barre)
Chronogrammes :
La sortie est un si les deux
entres ont le mme tat logique
e1 e1 S e2 e2
- + e1 S e2
> 1 S
t
e1
t S
t e2
e1 S
t
e1
t
S
e2
t e2
- + e
S =1
e
e1 S
e2
- + e1 S e
=1
e1 S
e2
e1 S
e2
t e1
t S
t e2
-
CI.11 Le codage de linformation COURS
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5. Algbre de Boole L'algbre de Boole dfinit les oprations
mathmatiques portant sur des variables logiques. Elle observe la
priorit des oprations avec par ordre dcroissant de priorit :
- la fonction NON, - la fonction ET, - la fonction OU.
Les rgles suivantes sont utilises pour simplifier les quations
logiques 5.1 Proprits portant sur une variable
Rgle Oprateur OU Oprateur ET Involution a a= Idempotence a aa+ =
a aa = Complmentarit 1a a+ = 0a a = Elment neutre 0a a+ = 1a a =
Elment absorbant 1 1a + = 0 0a = 5.2 Proprits portant sur plusieurs
variables
Rgle Oprateur OU Oprateur ET Commutativit a bb a+ = + .a b b a =
Associativit ( ) ( )a c b cb a+ + = + + ) .( ( . )a cc ab b =
Distributivit ( . ) ( ).( )a b c ca ac ab b+ + = + += ( ) . .a c a
a cb b + = + Absorption a a b a+ = ( ) aa a b + = Absorption a a b
a b+ = + ) .(a a b a b + = 5.3 Thorme de DE MORGAN
Le complment d'une somme est gal au produit des complments des
termes de la somme :
a b a b+ =
Le complment d'un produit est gal la somme des complments des
termes du produit :
a b a b = + Les deux expressions prcdentes nous permettent
d'adapter les quations trouves aux contraintes technologiques. Cela
nous permet de raliser par exemple un OU logique avec des portes
NON-ET, ou un ET logique avec des portes NON-OU : Les oprateurs
NON-ET et NON-OU sont appels des oprateurs universels.
&
&
& a
b
a
b
a+b
a
b
a
b
a.b
>1
>1
>1
4.5 Oprateur NON ET (NAND)4.6 Oprateur NON OU (NOR)4.7 Oprateur
OU exclusif (XOR)4.8 Oprateur Identit (XNOR)5.1 Proprits portant
sur une variable5.2 Proprits portant sur plusieurs variables5.3
Thorme de DE MORGAN
