2006-2007 FILTRAGE - R.WEBER - POLYTECH'ORLEANS 1 Polytech'Orléans Filière ESI MODULE FILTRAGE COMPRESSION FASCICULE DE COURS FILTRAGE NUMÉRIQUE ANNÉE

2006-2007 FILTRAGE - R.WEBER - POLYTECH'ORLEANS 1

Polytech'Orléans

Filière ESI

MODULE FILTRAGE COMPRESSIONFASCICULE DE COURS

FILTRAGE NUMÉRIQUE

ANNÉE 2006-2007SPE 4Dr. Rodolphe WEBER


PLAN :- La quantification :

- application au convertisseur analogique numérique- application aux filtres numériques en virgule fixe

-les filtres récursifs- Quantification des coefficients- Quantification des opérateurs- Optimisation d’une structure

-les filtres non récursifs- autres implantations possibles


Les effets d'une représentation en virgule fixe dans les filtres numériques

Ils ont pour origine 3 sources différentes :- Quantification du signal à filtrer par le convertisseur AD :

dégradation du RSB, non-linéarités

- Quantification des coefficients du filtre déformation de la réponse spectrale, voire divergence

- Limitation de la dynamique de calcul dégradation du RSB ,risque de saturation, non-linéarités

Introduction


La quantification « idéale » round(x) : Q xq(t)=x(t)+e(t)x(t)

modélisation en bruit d’une quantification idéale

Puissance de l’erreur (bruit) ?Répartition en fréquence de cette erreur (bruit) ?

Cas du CAN :

Quantification du signal à filtrer par le convertisseur AD


La quantification « idéale »: Puissance de l’erreur (bruit)Can

b bitsxq(t)=x(t)+e(t)x(t)

Quel est le rapport signal sur bruit (erreur) en sortie de la quantification ou du can ?

Puissance du signal => x2=

Puissance de l’erreur => e2=

-100 -80 -60 -40 -20 0

0

20

40

60

80

100

-20log

RSB=10log(x2/e

2) (dB)

b=16

810

1214 42

65.8

86

(dB)

2

22

310log 2 6,02 4,77 20logbx

s

RSB dB bx

Attention, vrai si pas de saturation et nombre de niveaux suffisant (cf.matlab ech_ideal.m)

Pour bruit gaussienxs

-xs

x

=xs/x

q

(10 bits)


Le cas du signal gaussien


La quantification « idéale »: Puissance de l’erreur (bruit)Le cas du signal sinusoïdal

Que devient l’expression du RSB, pour un sinus pleine échelle ?

!

Phase aléatoire (10 bits) Période non commensurable (10 bits) Période commensurable (10 bits)

xq, rsb=61.863457 dB

=xs/x= RSB=



La quantification « idéale »: Répartition fréquentielle de l’erreur

Distorsion d'intermodulation

Un convertisseur n'est pas linéaire : Vs=G0+G1.Ve+G2Ve2+…GnVen

=0 si linéaire

si on injecte des sinus de fréquences f1 et f2 , d'amplitude a on obtient toutes les combinaisons du type m.f1n.f2

• ordre 2 : 2f1, 2f2, f1+f2, f2-f1

• ordre 3 : 3 f1, 3f2, 2f2-f1,2f1-f2,2f2+f1,2f1+f2

Le convertisseur même idéal n’est pas linéaire !



signal analogique

BufferSample and Hold Encoder

• bruit• distorsion• bande passante

• bruit• distorsion• bande passante• jitter

• bruit de quantif.• non-linéarité différentielle• non-linéarité intégrale

Amplitude analogique Amplitude numérique

Temps continu Temps discret

Les défauts d’un convertisseur analogique numérique

Sources de bruit : en vert-Bruit système < 2MHz-Jitter < 3 Ghz-Comparator ambiguity >3Ghz

Sources de non-linéarités : en bleu

Bande passante : important pour leSous-échantillonnage



Sources de bruit : -Bruit système < 2MHz -Jitter < 3 Ghz-Comparator ambiguity >3Ghz

2

22

310log 2 6,02 1.73 20logbx

s

RSB dB bx

Effective number of bits : SINAD=1.73+6.02 ENOB

Les défauts d’un convertisseur analogique numérique

Test des paramètres dynamiques d'un ADC

•Signal to noise ratio : SNR= Pr/Pb•Total harmonic distorsion :

•Signal to noise distorsion : SINAD=Pr/(Pb+THD)•Effective numbers of bits : SINAD=1.73+6.02 ENOB•Spurious- free dynamique range (SDFR)

1ième harmonique

i

THD P

Attention, très dépendant de la fréquence du signal utilisé pour le test

Mesurés pour un sinus pleine échelle


Can b bits

xq(t)=x(t)+e(t)+eb(t)+enl(t)x(t)

non-linéarités


Aperture Uncertainty (jitter)


Pour que EA<1/2 LSB


Offset Error Gain Error

Les différents types d'erreurs statiques

après ajustement de l'Offset ErrorRajoute une composante continue Change le gain



Differential linearity ErrorDNL error

Possibilité de code manquants si DNL > 1LSBDépend uniquement du processus d’encodageGénère des nonlinéarités indépendamment de l’amplitude


Absolute Accuracy Error

Elle inclut toutes les erreurs précédentes. Elle vaut au minimum ½ LSB. Génère des non-linéarités

Les différents types d'erreurs statiques


Test des paramètres dynamiques d'un ADC


Puissance raie: Pr

Puissance bruit : Pb

Attention,À la normalisation

Ex. matlab

1 2

2 0

1( ) ( ) ( )E DSP f DSP W f d

w

2 2( )w w n

générateur CAN Spectre de puissance

Attention au choix de la fréquence de testAttention à la calibration des mesures entre bruit et sinus et choix d’une fenêtre d’apodisation


Quantification des coefficients du filtre

Im(z)

Re(z)O

O

O

X

X

fp

0

fz

0.5

0.25fm

M

,1

,1

( )

N

z ii

c D

p ii

MH f K

M

Rappel : la réponse fréquentielle est directement liée à la position des pôles et des zéros.

Démonstration avec le programme Filtre

Les pôles influencent essentiellement la bande passante et les zéros la bande atténuée.

C:\Documents and Settings\weber.LESI\Mes documents\enseignement\ESI 0607\SPE4_Filtrage_compression\filtre_aufort\Filtre.exe



La quantification des coefficients modifie les dits coefficients :

La position des pôles et des zéros est modifiée( La réponse fréquentielle est modifiée)

1 20 1 2

1 21 21

a a .z a .zT(z) A

b .z b .z



Une même réponse fréquentielle peut être implantée sous différentes structures :

structure directe structure parallèle structure cascade

,0 ,1

,1

1

Ni

d d ii

Ni

d ii

a a .zK

b .z

10, 1,

1 21 1, 2,

.

1 . .

Qi i

i i i

h h zK

b z b z

1 2

0, 1, 2,

1 21 1, 2,1

Qi i i

i i i

a a .z a .zK

b .z b .z

,1

,1

( )( ) .

( )

N

o iiN

p ii

z zH z K

z z

Schema:



Ces structures n'ont pas la même sensibilité à une variation de leur coefficients leur réponse fréquentielle est plus ou moins sensible à une variation des coefficients.

La structure cascade est la moins sensible. sensibilité du dénominateur (pôles) > sensibilité du numérateur (zéros)

Illustration avec Episip



Les différentes structures cascades :

donner les équations pour l'implantation.


Gestion de la dynamique

•Problématique de la gestion de dynamique

Cas RIF :

Cas RII :

Si on supprime des bits de poids fort => risque de dépassement

Si on supprime des bits de poids faible => rajout de bruit de quantification

Problème !


Comment tronquer ? : •Représentation d’un nombre en virgule fixe

b bits

f bits

Q(b,f)



Il y a 2 sources potentielles de dépassement :- Les additionneurs : en complément à 2, dépassement temporaire possible dans une suite de sommations si le résultat final tient dans la dynamique

-(ex : sur 4 bits calculer -4-7+6 puis -4+7+6)

- les multiplieurs : -Les sorties :en complément à 2, dépassement temporaire possible dans une suite de sommations si le résultat final tient dans la dynamique(ex : sur 4 bits calculer 3x3-6x2 puis 3x3+6x2)


Mise en place de facteurs d’échelle pour garantir que le résultat final tient dans la dynamique


Sur les structures suivantes, identifiez les points de dépassement



x(n) F y(n)

Comment choisir , pour que si |x|<M, alors |y|<M ?

1 )Si x(n) est un bruit blanc de puissance P=2:

10f

DSP

21

2

0

( )P DSP f df

<M

t

10f

DSP

2

12 22 2

20

( )filtréP F f df F

t

2F

t

A<M

10f

DSP

fo

A2/2

t

A.|F(fo)|<A.max(|F(f)|)=A||F||∞

10f

DSP

fo

A2/2.|F(fo)|2

|F(f)|

10 f

max(|F(f)|)

2

1

F

1

F

2 )Si x(n) est un sinus d’amplitude A:

F

1

12

0

1( )

2

ppi

pF F e d



Exemple théorique de la structure 1D



Calcul du bruit en sortie

x

tron

catu

re

xq x + eq

2

22

2

212

12 2

m

m

n

q n

A

2q

2 Puissance du bruit de quantificationq

Localiser les sources de bruit :

Avantage/inconvénient des 2 solutions ?



démonstration avec filtre.exe

Influence du facteur d’échelle sur le rapport signal sur bruit

Rapport signal sur bruit sans et avec k1 ?

Apparier les pôles et les zéros

Augmenter la taille des registres (LSB)


Comment dimensionner les registres internes ?


Puissance bruit de troncature

filtré

Puissance bruit du CAN filtré

?



bruit F Bruit filtré

Si le bruit a une puissance 2q

Quelle est la puissance du bruit filtré ?



CAN

Q

Q Q

Q

Q

Quelle doit être la taille des registres internes pour que le bruit de sortie dû CAN soit égal au bruit de sortie dû à la troncature des multiplieurs ?





Résumé des paramètres modifiant le bruit en sortie :- le type de structure- le type de quantification- le choix de la norme- l'appariement des pôles et des zéros- l'ordre des cellules

démonstration episip


Cas des RIF

-2 structures possibles- même sensibilité sur les coefficients- compromis bruit/ressources/vitesses