2010-2011 Traitement Numérique du Signal 1

Université Paris 13

Traitement Numérique du Signal Master 11. Exemple de filtres analogiques2. Principe d’invariance et réponse impulsionnelle3. Propriétés du produit de convolution4. Transformée de Laplace5. Filtres et Fonction de transfert6. Critère de stabilité, pôle, zéro7. Filtre à phase linéaire8. Schéma général

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 2

1/ Exemple de filtre analogique

t

dfm

tvfvm0

)(1

)(

t t

m

dfm

etvfvvm

0

)(

)()(

inertie

inertie + frottement fluide

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 3

Exemple de filtrages

Entrée

Réponse impulsionnelle Sorties

t

t

t

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 4

Fonctionnement du produit de convolution

t t

m

dfm

etvfvvm

0

)(

)()(

h(t)

f(t)

v(t)

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 5

2/ Propriétés d’invariance pour un système physique

Invariance par translation spatiale

Invariance dans le temps

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 6

Fonction de Green//Réponse impulsionnelle

• En général on a

• Principe d’invariance dans le temps :

• Alors

dfthtv )(),()(

)()()()( 1212 TtvtvTtftf

dTfthdfTth )(),()(),( 21

')'()',( 1 dfTth

• D’où )(),(),( thTthTth u

dfthtv u )()()(

(Impulse response, Filter Kernel)

Entréesortie

Réponse impulsionnelle

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 7

3/ Propriétés du produit de convolutionPropriétés des filtres temps invariant

0101 *)(*)( ttxhtxhttxtx

)(*)(*)(*)()()( 2121 txhtxhtxhtxtxtx

)(ˆ)(ˆ)(ˆ)(*)( fXfHfYtxhty

)()()()(*)( pXpHpYtxhty

txhtxhtxtx **)()( 11

)()()( txdtthtyConservation de la moyenne

Invariance temporelleSuperposition des signaux

Réponse fréquentielle

Fonction de transfert

Amplification des signaux

Conservation de la périodicité TtxhtxhTtxtx *)(*)(

)(**)()(*)(),(*)( 1212 txhhtztxhtytyhtz Filtres en cascade

)()(ˆ)()( 2 txfHtyetx ftj Réponse harmonique

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 8

4/ Transformée de Laplace

0

)()( dtetspS pt

dtetsfS ftj 2)()(ˆ

tets at[,0[1

module

phase

p=j2f

appS

1)(

signal causal

Re(p)

f

t

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 9

Propriétés de la transformée de Laplace

02 20 fjpSptseTL tfj

pYpXpttxtxTL 21 *

)()]([ 00 pSepttsTL pt

Décalage fréquentiel

)()()]([)()]([ pYpXftytxTLpaSftasTL

fjpjfjpj

ftfTFfjpfjp

ftfTLp

ptTLptTL RRR

2

1

2

1

2

1

2

1)](1)2[sin(

2

1

2

1

2

1

2

1)](1)2[cos(

111))](([ 00

)()()(1

)(0

ppSpsd

dTLpS

ppdsTL

t

t

)()( apaSpa

tsTL

Retard=>déphasage

Linéarité

Dilatation/concentration

Intégration/dérivation

Produit de convolution/produit

Sinusoïdes=>hyperboles

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 10

5/ Filtrage

)()( tth

)(*)()()()()()( tutttyttuty

)(1 [,0[ t

)(*)()(1)()()()( [,0[

0

tutttzdtutzt

tfjtfj efHte 00 20

2 ˆ)(

)(ˆ)(ˆ)(ˆ)()()( fUfHfYttuty

[,] t

][)( hTLpH

Réponse impulsionnelle

Réponse indicielle

Réponse harmonique ou réponse fréquentielle

Fonction de transfert

)()()()()()( pUpHpYttuty

)(ˆ fhTFfH

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 11

Equations différentielles, filtres linéaires et Réponses fréquentielles

2

2

2102

2

210 dt

xdb

dt

dxbxb

dt

yda

dt

dyaya

2

210

2210

)(

)()(

papaa

pbpbb

pX

pYpH

2

210

2210

22

22)(ˆ

fjafjaa

fjbfjbbfH

)()( 2210

2210 pXpbpbbpYpapaa

Relation entrée-sortie

TL

Fonction de transfert

Réponse fréquentielle

p opérateur de dérivation

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 12

Pôles, zéros et allure de la réponse fréquentielle

2

2

2102

2

210 dt

xdb

dt

dxbxb

dt

yda

dt

dyaya

2

210

2210

)(

)()(

papaa

pbpbb

pX

pYpH

z

ez

eb ffjzRffjzRfH 11000 2)(arg2)(arg1)(ˆarg

pe

pe ffjpRffjpR 1100 2)(arg2)(arg

210

210)(pppppp

zpzpzpbpH

222

22

122

12

022

02

222

22

122

12

022

02

444

444)(ˆ

pRffpRffpRff

zRffzRffzRffbfH

ep

ep

ep

ez

ez

ez

Relation entrée-sortie

Fonction de transfertfactorisation zéros

pôlesModule de la réponse fréquentielle

Phase de la réponse fréquentielle

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 13

Equations différentielles, décomposition en élément simple et réponse impulsionnelle

2

210

2210)(papaa

pbpbbpH

2

2

1

1

0

0210

)(pp

eA

pp

eA

pp

eAbpH

jjj

tfjtpRtfjtpR pe

pe eeAeeAtbth 111000 2)(

12)(

0)()(

210

210)(pppppp

zpzpzpbpH

Fonction de transfert

Décomposition en éléments simples

pôlesRéponse impulsionnelle TL-1

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 14

6/ Filtres stables / Filtres à minimum de phase

0, ie pRi

0, ie zRi

Le filtre est stable si:

Le filtre est à minimum de phase si:Re(p)

Im(p)

Zone destabilité

Ordre du filtre = nombre de pôles

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 15

xaydt

dy

appH a

1)(

)(1)( [,0[ teth ata

2224

1)(ˆ

affH a

a

fa

ffsign

fH a

2arctan

2arctan)(

)(ˆarg

0a

0a

Re(p)

Im(p)

xxxxx

pôles

stable

in-stable

t

tff

f f

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 16

bxdt

dxy

dt

dy

1)(

p

bppH b )(1)1()()( [,0[ tebtth t

b

14

4)(ˆ

22

222

f

bffH b

b

fb

ffsign

ffH b

2arctan

2arctan)(

)2arctan()(ˆarg

0b

0b

Im(p)

ooooo

zéros

min

t

tff

f fRe(p)x

nonmin

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 17

7/ Filtre à phase linéaire

0)(ˆargdf

dt)-h(Tt)(h fH

Symétrie de la réponse impulsionnelle phase linéaire

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 18

)(tha

)(thb

)(thc

)(thd

)(ˆ fH a

)(ˆ fHb

)(ˆ fH c

)(ˆ fH d

)(ˆarg fH i )(ˆarg fHdf

di

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 19

Réponse impulsionnelle symétrique => phase linéaire

)(1)( [1,0[ ttha

)(1')'(1)( [,1[

0

[1,0[ tdtttht

b

)1()()( ththth bbc

))2(()()( ththth bbd

fj

e

f

fefH

fjfj

a

2

1)sin()(ˆ

2

22

2

2

4

121

2)(ˆ

2

1)(ˆ

f

fje

fj

efH

fjfH

fj

fj

ab

fjb

bfj

bc

efH

fHefHfH

2

2

1)(ˆ

)(ˆ)(ˆ)(ˆ

fjb

fjb

fj

bfj

bd

efHefHe

fHefHfH

222

4

)(ˆ)(ˆ

)(ˆ)(ˆ)(ˆ

réelle linéaire

phase non-linéaire

2010-2011 Traitement Numérique du Signal 20

8 /Temps continu : filtres et transformées

)(th )(*)()( txthty

)( pH )(ˆ fH

)()()()( thtyttx

ftj

ftj

efHty

etx

2

2

)(ˆ)(

)(

TL

fjp 2

TF Equation dérivée

d/dt ->p