14
Born to win 2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析 一、选择题:18 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项 符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸 ... 指定位置上. 1.下列函数中不可导的是( )。 A. () sin( ) fx x x B. () sin( ) fx x x C. () cos f x x D. () cos( ) fx x 【答案】D 【解析】【解析】 A 可导: - 0 0 0 0 sin sin sin sin 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x x x x x f f x x x x B 可导: - 0 0 0 0 sin sin sin sin 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x x x x x f f x x x x C 可导: 2 2 - 0 0 0 0 1 1 cos -1 cos -1 2 2 0 lim lim 0, 0 lim lim 0 x x x x x x x x f f x x x x D 不可导: - 0 0 0 0 - 1 1 - cos -1 cos -1 1 1 2 2 0 lim lim , 0 lim lim - 2 2 0 0 x x x x x x x x f f x x x x f f 2.过点 (1, 0, 0) (0,1, 0) 且与 2 2 z x y 相切的平面方程为 A. 0 z 1 x y z B. 0 z 2 2 2 x y z C. y x 1 x y z D. y x 2 2 2 x y z 【答案】B 【解析】因为平面过点 (1, 0, 0) (0,1, 0) ,故 CD 排除,

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2018 年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项

符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上.

1.下列函数中不可导的是( )。

A. ( ) sin( )f x x x B. ( ) sin( )f x x x

C. ( ) cosf x x D. ( ) cos( )f x x

【答案】D

【解析】【解析】

A 可导:

-0 0 0 0

sin sinsin sin0 lim lim 0, 0 lim lim 0

x x x x

x x x xx x x xf f

x x x x

B 可导:

-0 0 0 0

sin sinsin sin0 lim lim 0, 0 lim lim 0

x x x x

x x x xx x x xf f

x x x x

C 可导:

2 2

-0 0 0 0

1 1cos -1 cos -12 20 lim lim 0, 0 lim lim 0

x x x x

x xx xf f

x x x x

D 不可导:

-0 0 0 0

-

1 1-cos -1 cos -11 12 20 lim lim , 0 lim lim -

2 2

0 0

x x x x

x xx xf f

x x x x

f f

2.过点 (1,0,0)与 (0,1,0)且与 2 2z x y 相切的平面方程为

A. 0z 与 1x y z B. 0z 与2 2 2x y z

C. y x 与 1x y z D. y x 与2 2 2x y z

【答案】B

【解析】因为平面过点 (1,0,0)与 (0,1,0),故 C、D 排除,

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2 2(2 , 2 , 1), (1,0,0)

2 ( 1) 2 0 (0,1,0)

z x y x y

x X yY Z x y

曲面 的法向量为 因为平面过 ,

则平面方程为 ,又因为平面过 ,故

由此,取特殊值;令 x=1,则法向量为 (2,2, 1) ,故 B 选项正确。

3. 0

2 3( 1)

(2 1)!

n

n

n

n

A.sin1 cos1 B. 2sin1 cos1

C. 2sin1 2cos1 D.3sin1 2cos1

【答案】B.

【解析】

2 1

0

2

0

2 2

1 0

0

2 31

2 1 !

2 31

2 !

1 11 3 1

2 1 ! 2 !

sin 3cos

cos 2sin

2 31 1 cos1 2sin1

2 1 !

n n

n

n n

n

n nn n

n n

n

n

nS x x

n

nS x x

n

x xn n

x x x

S x x x x

nS

n

4. .

2

2 2 22

2 2 2

1 1, , 1 cos ,

1

x

x xM dx N dx K x dx

x e则 , ,M N K 大小关系为

A. M N K B. M K N

C. K M N D. K N M

【答案】C

【解析】

2 2

2

2 2

2(1 ) 1

1

, 1 cos 1,2 2

( ) 1 , (0) 0, ( ) 1

0, ( ) 0; , 0 ( ) 02 2

1- , ( ) 0 1 N<M, C

2 2

x x

x

xM dx dx

x

x x K M

f x x e f f x e

x f x x f x

xx f x

e

时, 所以

当 时, 当 时,

所以 时,有 ,从可有 ,由比较定理得 故选

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5. 下列矩阵中,与矩阵

1 1 0

0 1 1

0 0 1

相似的为

A.

1 1 1

0 1 1

0 0 1

B.

1 0 1

0 1 1

0 0 1

C.

1 1 1

0 1 0

0 0 1

D.

1 0 1

0 1 0

0 0 1

【答案】A

【解析】

方法一:排除法

1 1 0

0 1 1

0 0 1

Q

,特征值为 1,1,1, 2r E Q

选项 A:令

1 1 1

0 1 1

0 0 1

A

, A的特征值为 1,1,1,

0 1 1

0 0 1 2

0 0 0

r E A r

选项 B:令

1 0 1

0 1 1

0 0 1

B

, B 的特征值为 1,1,1,

0 0 1

0 0 1 1

0 0 0

r E B r

选项 C:令

1 1 1

0 1 0

0 0 1

C

,C 的特征值为 1,1,1,

0 1 1

0 0 0 1

0 0 0

r E C r

选项 B:令

1 0 1

0 1 0

0 0 1

D

, D的特征值为 1,1,1,

0 0 1

0 0 0 1

0 0 0

r E D r

若矩阵Q与 J 相似,则矩阵E Q 与E J 相似,从而 r E Q r E J ,故选(A)

方法二:定义法(利用初等矩阵的性质)

1 1 0

0 1 0

0 0 1

P

,1

1 1 0

0 1 0

0 0 1

P

,1

1 1 0 1 1 1

0 1 1 0 1 1

0 0 1 0 0 1

P P

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所以

1 1 0 1 1 1

0 1 1 0 1 1

0 0 1 0 0 1

与 相似,故选(A)

6.设 ,A B为 n阶矩阵,记 ( )r X 为矩阵 X 的秩, ( )X Y 表示分块矩阵,则

A. ( ) ( ).r A AB r A B. ( ) ( ).r A BA r A

C. ( ) max{ ( ) ( )}.r A B r A r B , D. ( ) ( ).T Tr A B r A B

【答案】A.

【解析】根据矩阵的运算性质, ( , ) ( , ) [ ( , )] ( )r E B n r A AB r A E B r A ,故 A 正确.

若0 0 0 1

A ,B1 1 1 0

,则1 1

0 0BA

,所以0 0 1 1

( ) 2,1 1 0 0

r A BA r

( ) 1.r A 排除 B.

1 2 0 0 1 2 0 0

A ,B , 2, 1, 1,0 0 3 4 0 0 3 4

C .

r A B r r A r B

若 那么

所以 排除

若1 0 0 0

A ,B0 0 1 0

,则1 0 0 1

( ) 10 0 0 0

T Tr A B r

, ,

T

T

Ar A B r

B

1 0

0 02

0 1

0 0

r

所以排除 D.

7. 设 ( )f x 为某分布的概率密度函数, (1 ) (1 )f x f x , 2

00.6f x dx ,则

{ 0}P X

A.0.2 B.0.3 C.0.4 D.0.6

【答案】A.

【解析】特殊值法:由已知可将 ( )f x 看成随机变量 21,X N 的概率密度,根据正态分

布的对称性, 0 0.2P X

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8. 给定总体 2~ ( , )X N , 2 已知,给定样本1 2, , , nX X X ,对总体均值 进行检验,

令0 0 1 0: , :H H ,则

A. 若显著性水 0.05 时拒绝 0H ,则 0.01 时也拒绝 0H

B. 若显著性水 0.05 时接受 0H ,则 0.01 时拒绝 0H

C. 若显著性水 0.05 时拒绝 0H ,则 0.01 时接受 0H

D. 若显著性水 0.05 时接受 0H ,则 0.01 时也接受 0H

【答案】D

【解析】当 0.05 时,拒绝域为2

z z ,即 0.025 1z z

当 0.01 时,接受域为2

z z ,即 0.005 2z z

(1)包含(2),所以选项 D 正确.

二、填空题:914 小题,每小题 4 分,共 24 分,请将答案写在答题纸指定位置上.

9.

1

sin

0

1 tanlim

1 tankx

x

xe

x

( ) ,则 k ____________.

【答案】 2k .

【解析】

1

sin

0 0

0 0 0

1 tanln( )

1 tan 1 tanlim limexp ,1 tan sin

1 tan 2 tanln( )

2 tan 21 tan 1 tanlim 1 lim lim 1sin (1 tan )

2.

kx

x x

x x x

xx x ex kx

x xxx x

kx kx kx x k

k

( )

10.设函数 f x 具有 2 阶连续导数,若曲线 ( )y f x 过点 (0,0)且与曲线 2xy 在点 (1,2)

处相切,则1

''

0( )xf x dx __________________.

【答案】2ln 2 2

【解析】

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1

11 1 1

0 0 00

(0) 0, (1) 2, (1) 2 ln 2 2ln 2

1( ) ( ) ( ) ( ) (1) ( )

0

2ln 2 (1) (0) 2ln 2 2

x

xf f f

xf x dx xdf x xf x xf x dx f xf x dx

f f

11.设 ( , , )F x y z xyi yz j zxk .则 (1,1,0)rotF ________________________.

【答案】 (1,0, 1) 或 i k

【解析】令 , ,P xy Q yz R xz

则 , , (0 ,0 ,0 ) ( , , )R Q P R Q P

rotF y z x y z xy z z x x y

故 (1,1,0)rotF i k

12.曲线 S 由2 2 2 1x y z 与 0x y z 相交而成,求 xyds ______________.

【答案】3

.

【解析】

2 2 2

2 2

2 2 2 2 2

1 1( )

20

1 1 2 1[ ( )] ( ) .2 2 3 6 3

x y zxy x y

x y z

xyds x y ds ds x y z ds ds

13.二阶矩阵 A 有两个不同特征值,1 2, 是 A 的线性无关的特征向量,且满足

2

1 2 1 2( ) ( )A ,则 A __________________.

【答案】 1

【解析】 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2+ = + = + = +A A A

从而 2 2

1 1 2 21 + 1 =0

1 2, 无关,2 2

1 21 0, 1=0

1 2 1 21, 1, 1, 1 或 , 1A

14. 设 随 机 事 件 A 与 B 相 互 独 立 , A 与 C 相 互 独 立 , =BC , 若

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1 1( ) ( ) , ( )

2 4P A P B P AC AB C ,则 ( )P C __________________.

【答案】1

4

【解析】

,

1

4

P AC AB C P ABC AC P ABC P AC P ABCP AC AB C

P AB C P AB C P AB P C P ABC

BC ABC

P ABC P AC P ABC P A P C

P AB P C P ABC P A P B P C

从而

三、解答题:15—23 小题,共 94 分.请将解答写在答题纸...指定位置上.解答应写出文字说明、

证明过程或演算步骤.

15.(本题满分 10 分)

求不定积分2 arctan 1x xe e dx

【答案】

3

2 21 1

( tan 1 ( 1) 1)2 3

x x x xe arc e e e C

【解析】

2

2 2

22

2

32 2

1arctan 1

2

1 1( arctan 1 )

2 1 1 2 1

1( arctan 1 )

2 2 1

1= ( arctan 1 )

2 2 1

1 1= ( arctan 1 1 1)

2 3

x x

xx x x

x x

xx x

x

xx x x

x

x x x x

e de

ee e e dx

e e

ee e dx

e

ee e de

e

e e e e C

原式

对于2 1

xx

x

ede

e ,令

21 , 1x xe t e t ,则

3

2 3 21 1

( 1) ( 1) 13 32 1

xx x x

x

ede t dt t t C e e C

e

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故原式

3

2 21 1

( tan 1 ( 1) 1)2 3

x x x xe arc e e e C

16.(本题满分 10 分)一根绳长 2m 截成三段,分别折成圆、三角形与正方形,这三段分别

为多长时所得面积之和最小,并求该最小值.

【答案】

【解析】假设圆的半径为 x,正方形边长为 y,正三角形边长为 z,则有

2 4 3 2, 0, 0, 0x y z x y z

令 2 2 23, , = 2 4 3 2

4f x y z x y z x y z

2 2 23, , = 2 4 3 2

4

2 2 0

2 4 0

33 0

2

2 4 3 2 0

f x y z x y z x y z

fx

x

fy

y

fz

z

x y z

求解上述方程得到,驻点为 11,2,2 3

+4+3 3

最小面积为,

22 2

min

1 2 3 2 3 1=

4+4+3 3 +4+3 3 +4+3 3 +4+3 3S

.

17.(本题满分 10 分)

2 21 3 3 x y z 取正面,求 3 3xdydz y z dxdz z dxdy

.

【答案】14

45 .

【解析】2 21 3 3x y z ,即

2 2 23 3 1x y z

3 3, ,P x Q y z R z ,设

2 2

1

3 3 1:

0

y z

x

,方向指向 x 轴负半轴,

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1

3 3

2 2 2

( ) ( )

2 4 14(1 3 3 ) 6

9 45 45

P Q Rxdydz y z dxdz z dxdy dxdydz

x y z

y z dxdydz dxdydz y dxdydz

高斯公式

1

3 3( ) 0xdydz y z dxdz z dxdy

,所以原式

1 1

14

45

.

18. (本题满分 10 分)

微分方程 y y f x

(1)当 f x x 时,求微分方程的通解

(2)当 f x 为周期函数时,证微分方程有通解与其对应,且该通解也为周期函数

【答案】

【解析】(1) ( ) ( 1) .dx dx xy y x y e xe dx C x Ce

(2) ( ) ( )x xy x e e f x dx ,由于 ( ) ( )f x T f x ,则

( )( ) ( ) ( ) .x T x T x xy x T e e f x T dx e e f x dx 得证。

19. (本题满分 10 分)

数列 1

1, 0, 1, n nx x

n nx x x e e 证明 nx 收敛,并求 lim

nn

x

【答案】 lim 0.nn

x

【解析】

(1)

有界性:由 1 1 n nx x

nx e e 有 1

1

1 1ln

n n

n

x xx

n

n n

e ee x

x x

则1

2

1

1ln

xe

xx

,设 1 xf x e x .

1 0 0 xf x e x ,且 0 0f

f x 单调递增,故 0f x ,即 1 0 xe x x

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因此1

1

1x

e

x在 1 0x 时大于 1,故

1

2

1

1ln 0

xe

xx

,

同理,用数学归纳法可证之, 对 , 0 nn x .

单调性: 1

1 1 1ln = ln ln ln

n n n

n

n

x x xx

n n n x

n n n

e e ex x x e

x x x e

设 1 x xg x e xe , xg x xe

显然当 0x 时, 0, g x 则 g x 单调递减,又 0 0g

1

0 0, 1 1

x

x x

x

eg x g e xe

xe

1

1ln 0, 1,2,3,

n

n

x

n n x

n

ex x n

x e

故 nx 单调递减

综上可知 nx 单调递减且存在下界, lim nn

x

存在.

(2)设 lim

nn

x a ,由 1a aae e ,可知 0a .

20. (本题满分 11 分)

设实二次型2 2 2

1 2 3 1 2 3 2 3 1 3( , , ) ( ) ( ) ( )f x x x x x x x x x ax ,其中a是参数。

(1)求1 2 3( , , ) 0f x x x 的解

(2)求1 2 3( , , )f x x x 的规范形

【解析】

(1)1 2 3( , , ) 0f x x x ,

1 2 3

2 3

1 3

0 1 1 1 1 1 1

0 0 1 1 0 1 1

1 0 0 0 20

x x x

x x A

a ax ax

,系数矩阵

①当 2 0a ,即 2a 时,

1 0 2

( ) 2 3, 0 1 1

0 0 0

r A A

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1 2 3( , , ) 0f x x x 有非零解

通解为

2

1 ,

1

x k k R

②当 2 0a ,即 2a 时,1 2 3( ) 3, ( , , ) 0r A f x x x 只有 0 解

即1 2 3 0x x x

(2) 由(1)可得:当 2a 时

方法一、

二次型 1 2 3( , , )f x x x 为正定二次型,

所以规范形为 2 2 2

1 2 3 1 2 3, , f x x x y y y

方法二、

1 1 1

0 1 1 0

1 0

A A

a

y Ax 为可逆线性变换,所以规范形为 2 2 2

1 2 3 1 2 3, , f x x x y y y

当 2a 时

方法一、特征值法:

2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3, , 2 2 6 2 6f x x x x x x x x x x

所对应的二次型矩阵为2 1 3

1 2 0

3 0 6

B

2 10 18 0E B

1 2 30, 5 7 0, 5 7 0

所以二次型的规范型为2 2

1 2z z

方法二:配方法

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2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 1 3

222 3

1 2 3

, , 2 2 6 2 6

3 32

2 2

f x x x x x x x x x x

x xx x x

1 1

2

3

3

32

2

3

3

2

x x

x

y x

x

y x

y ,二次型的标准型为2 2

1 2

32

2y y ,二次型的规范型为

2 2

1 2z z .

21. (本题满分 11 分)

已知a是常数,且矩阵

1 2

1 3 0

2 7

a

A

a

可经初等列变换化为矩阵

1 2

0 1 1

1 1 1

a

B

(1) 求 a

(2) 求满足 AP B 的可逆矩阵P

【答案】

(1) 2a

(2)

1 2 3

1 2 3

1 2 3

6 3 6 4 6 4

2 1 2 1 2 1

k k k

P k k k

k k k

,其中 2 3 1 2 3, , , k k k k k R

【解析】

(1)

矩阵 A经过初等列变换得到矩阵 B

矩阵 ,A B等价

r A r B

1 2 1 2

1 3 0 1 3 0

2 7 0 0 0

a a

A

a

1 2 1 2

0 1 1 0 1 1

1 1 1 0 0 2

a a

B

a

2 0, 2 a a

(2)

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Born to win

1 2 1 2 1 0 6 3 4 4

, 1 3 0 0 1 1 0 1 2 1 1 1

2 7 1 1 1 0 0 0 0 0 0

a a

A B

a

1 2 3

1 2 3

1 2 3

6 3 6 4 6 4

2 1 , 2 1 , = 2 1

k k k

X k Y k Z k

k k k

1 2 3

1 2 3

1 2 3 3 2

6 3 6 4 6 4 1 1 1

2 1 2 1 2 1 0 1 1

0 0

k k k

k k k

k k k k k

P 可逆, 2 3k k

1 2 3

1 2 3

1 2 3

6 3 6 4 6 4

2 1 2 1 2 1

k k k

P k k k

k k k

, 2 3 1 2 3, , , k k k k k R

22.已知随机变量 ,X Y 相互独立,且1

( 1) ( 1) ,2

P X P X Y 服从参数为的泊松分

布,Z XY 。

(1)求 ( , )Cov X Z (2)求Z 的分布律

【解析】

2(1).cov( , ) cov( , )X Z X XY EX Y EXEXY EY

0, 1, 2, 3

( ) ( ) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

( , 1) ( , 1)

( , 1) ( , 1)

1 1( ) ( ),

2 2

(2)Z

P Z k P X Y k P XY k X P X P XY k X P X

P XY k X P XY k X

P Y k X P Y k X

P Y k P Y k

的所有可能取值为 ,

当1 1

0, ( 0)2 2

k P Z e e e

当1

0, ( ) 02 ( )! 2( )!

k k

k P Z k e ek k

当1

0, ( ) 02 ! 2 !

k k

k P Z k e ek k

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Born to win

23.已知总体 X 的密度函数为1

( , ) ,2

x

f x e x

1, 2 ,... nX X X 为来自总体 X 的简单随机样本, 为大于 0 的参数, 的最大似然估计量为

(1)求

.(2)求 ,E D

【解析】(1)对于总体的n个样本值1 2, ,..., nx x x ,其似然函数为

1

1 2

1( , ,..., , )

2

n

i

i

x

n n nL x x x e

取对数得 1ln ( ) ln 2 ln

n

i

i

x

L n n

, 1

2

ln ( )0

n

i

i

xd L n

d

解得 1

n

i

i

x

n

,又因为

2

ˆ2

ln ( )0

d L

d

, 的最大似然估计量为 1

n

i

i

X

n

.

(2)1

1 1( ) ( ) ( )

2

xn

i

i

E E x E X x e dxn

2 2

21

1 1 1( ) ( ( )) [ ( ) ( ( )) ]

n

i

i

D D x D X E X E Xn n n

其中2 2 21

( ) 22

x

E X x e dx

,

2

( )Dn

.