202010514 es-maths-cned-sequence-02-derivation

31Séquence 2 – MA01

> Dérivation

© Cned – Académie en ligne

33Sommaire séquence 2 – MA01

Nombre dérivé en un point a

Fonction dérivée

Dérivée d’une fonction composée

Signe de la dérivée et variation de la fonction

Les dérivées sur calculatrice graphique : Ti82

Exercices d’apprentissage (Série 1)

Utilisation des représentations graphiques

Courbes représentatives des fonctions inverses

Exercices d’apprentissage (Série 2)

AA

ABB

AC

D

E

F

AG

H

I

Chapitre 1 > Cours ...............................................................................................................................................................................35

Chapitre 3 > Exercices d’entraînement .......................................................................................................60

Chapitre 4 > Aide aux exercices d’entraînement ....................................................................62

Chapitre 2 > Synthèse ..................................................................................................................................................................58



Cours

Nombre dérivé en un point aA

Cette séquence commence par reprendre des résultats établis en 1re ES. Des notions nouvelles appa-raîtront ensuite qui feront appel aux résultats sur la dérivation.

� DéfinitionsSoit f une fonction définie au moins sur un intervalle I, a et deux réels de I .

� Le taux de variation de f entre a et est le rapport .

� Le taux de variation de f entre a et x est le rapport .

Si le rapport admet une limite finie quand h tend vers zéro, on dit que f est dérivable

en a et que cette limite est le nombre dérivé de f en a.

Notation

Le nombre dérivé de f en a se note .

Si l’on pose , on obtient une définition équivalente à la précédente.

(équivalente à la définition �)

Si le rapport admet une limite finie quand x tend vers a, on dit que f est dérivable en a et

que cette limite est le nombre dérivé de f en a.

Ainsi f est dérivable en a si l’on a :

.

� Interprétation géométrique

Fig. 1

x a h+= h 0≠( )

a h+f a h+( ) f a( )–

h----------------------------------

f x( ) f a( )–x a–

-------------------------

f a h+( ) f a( )–h

----------------------------------

f′′′′ a( )x a h+=

f x( ) f a( )–x a–

-------------------------

f a h+( ) f a( )–h

----------------------------------h 0→lim f x( ) f a( )–

x a–-------------------------

x a→lim f′ a( )= =

0

f (a)

f (a+h)

a a + h

A

K

T

M

x

y

A est un point fixe de �M est un point mobile de �

�

Définition �

Définition �

RemarqueDéfinition


Séquence 2 – MA0136

Soit f une fonction dérivable en a et � sa courbe représentative.

Les points et sont 2 points de �. Lorsque h tend vers zéro alors Mse rapproche de A. La tangente T à la courbe � au point A est la position limite des sécantes quand M se rapproche de A.

Le coefficient directeur de est .

Le coefficient directeur de la tangente T est égal à .

Cherchons une équation de la tangente T.

Cette équation est de la forme .

Comme T passe par A, on a :

d’où .

Ce qui donne

ou encore .

Cette équation n’est pas à savoir par cœur.

On peut à chaque fois refaire le raisonnement. Néanmoins, on peut la retenir de la manière suivante :

À noter que sont les coordonnées d’un point particulier de � alors que sont lescoordonnées d’un point quelconque de T.

� Notion de coût marginalUne entreprise fabrique des objets en quantité q.

• Le coût total de fabrication est noté .

• Le coût moyen de production est défini par .

• Le coût marginal de production est défini par :

.

Ainsi le coût marginal est le coût de production de la quantité.

On peut écrire .

Ainsi représente le taux de variation de C entre q et . On peut considérer que 1 estpetit par rapport aux grandes quantités q. Ceci implique que le nombre dérivé est une bonneapproximation du coût marginal .

.

� Définition� Si une fonction f définie sur un intervalle I est dérivable en tout point de I on dit que f est dérivablesur I.

� La fonction, définie sur I, qui à chaque valeur x de I associe le nombre dérivé de f en x est appeléefonction dérivée première et est notée .

A a ; f a ( )( ) M a h ; f a h+ ( )+ ( )AM( )

AM( ) m f a h+( ) f a( )–h

----------------------------------=

f′ a( )

y f′ a( )x p+=

f a( ) f′ a( )a p+=

p f a( ) af′ a( )–=

y f′ a( )x f a( ) af′ a( )–+=

y f a( )– x a–( )f′ a( )=

y f a( )– x a–( ) f′ a( )×=

×=différence

des abscissesdifférence des

ordonnéescoefficientdirecteur

a ; f a ( )( ) x ; y ( )

C q( )

CM q( ) C q( )q

-----------=

Cma q( ) C q 1+( ) C q( )–=

q 1+( )ième

Cma q( ) C q 1+( ) C q( )–q 1+( ) q–

-------------------------------------=

Cma q( ) q 1+C′ q( )

Cma q( ) Ainsi, dans la pratique, on prend Cma q( ) C′ q( )=

Fonction dérivéeB

f′′′′

Remarque

Définition



� Fonctions dérivées usuelles

La fonction est bien définie en 0 mais elle n’est pas dérivable en 0.

En effet .

➠ Cas particuliers (importants)

Pour , et .

Pour , et .

Pour , et .

Pour , et .

Opérations sur les fonctions dérivables

Dérivée d’une somme, d’un produit

➠ Cas particuliers

� Le produit kv où k est une constante réelle.

Si pour tout x de I on a , alors

car .

ainsi (avec ).

� Le produit

On applique la formule donnant la dérivée de uv avec .

.

Ainsi .

D’après les résultats précédents, on peut affirmer que toute fonction polynôme est dérivable sur �.

Fonction f Fonction dérivée Ensemble de dérivabilité

�

(n entier non nul)

sur et sur

Propriété �

Soit u et v deux fonctions définies et dérivables sur un intervalle I.

Les fonctions et uv sont dérivables sur I et on a :

f ′′′′

x k� x 0�

x xn� x nxn 1–� �

�*⎩⎨⎧ si n 0>

si n 0<

x x� x 12 x----------� ]0 ; + ∞[

x 1x--� x 1

x2-----–� ] ∞ ; 0 [– ]0 ; + ∞[

x x�

x 0–x 0–

-------------------x 0→lim 1

x------

x 0→lim + ∞= =

n 1= f x( ) x= f′ x( ) 1=

n 2= f x( ) x2= f′ x( ) 2x=

n 3= f x( ) x3= f′ x( ) 3x2=

n 1–= f x( ) x 1– 1x--= = f′ x( ) x 2––

1x2-----–= =

u v+

Somme

Produit

u v+( )′ u′ v′+=

uv( )′ u′v uv′+=

u x( ) k=

kv( )′ k′v kv′+=

kv( )′ kv′= k′ 0=

kv( )′ kv′= k �∈

u2

v u=

uu( )′ u′u uu′+=

u2( )′ 2uu′=

Remarque

Remarque



Dérivée d’un quotient

➠ Cas particulier

� La fonction inverse .

On applique la formule précédente, la fonction u étant constante et égale à 1.

.

� Toute fonction rationnelle est dérivable sur tout intervalle inclus dans son ensemble de définition.

� Pour dériver ,on peut écrire . Ainsi si ,alors .

Quelques exemples

Énoncé

Trouver les fonctions dérivées des fonctions polynômes définies par :

a)

b)

c)

d) .

Solution

a)

b)

c)

d) .

Énoncé

On donne . Déterminer (pour ).

Solution

Posons et

d’où et .

Appliquons la formule

ce qui donne

(pour ).

Ainsi .

Propriété �

Soit u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I telles que, pour tout x de I, .

Le quotient est dérivable sur I et on a :

.

v x( ) 0≠uv--

uv--⎝ ⎠

⎛ ⎞ ′ u′v uv′–v2

---------------------=

1v--

1v--⎝ ⎠

⎛ ⎞ ′ v′v2-----–=

f kv--= f′ k

v--⎝ ⎠

⎛ ⎞ ′ k 1v--⎝ ⎠

⎛ ⎞ ′= = f kv--= f′ kv′

v2-------–=

f x( ) x3 x2 3+ +=

f x( ) 12-- x4 3x3 x2– 2x+ +=

f x( ) 12-- x3–

13-- x2 1

6-- x+ +=

f x( ) 34-- x3–

23-- x2 1

4-- x– 3+ +=

f′ x( ) 3x2 2x+=

f′ x( ) 42-- x3 9x2 2x– 2+ + 2x3 9x2 2x– 2+ += =

f′ x( ) 32-- x2–

23-- x 1

6--+ +=

f′ x( ) 94-- x2–

43-- x 1

4--–+=

f x( ) x x= f′ x( ) x 0>

u x( ) x= v x( ) x=

u′ x( ) 1= v′ x( ) 12 x----------=

uv( )′ u′v uv′+=

f′ x( ) x x 12 x----------⎝ ⎠

⎛ ⎞+=

f′ x( ) x x2

------+32-- x= = x 0>

x x( )′ 32-- x pour x 0 >=

Remarques

Exemple �

Exemple �



Énoncé

Calculer les fonctions dérivées des fonctions f suivantes :

a) b) c) .

Solution

a) Posons d’où .

Ainsi .

b) Posons d’où .

Ainsi .

c) Posons d’où .

Ainsi .

Dans cet exemple � on n’a pas tenu compte des ensembles de définition de f.

Énoncé

Calculer les fonctions dérivées des fonctions f suivantes :

a) b) c) .

(on ne s’occupera pas des ensembles de définition).

Solution

a) Posons d’où .

ainsi .

b) Posons d’où .

ainsi .

c) Posons d’où

ainsi .

f x( ) 1x2 1+--------------= f x( ) 1

x2– 2x+---------------------= f x( ) 1

x------=

v x( ) x2 1+= v′ x( ) 2x=

f′ x( ) 2xx2 1+( )2

---------------------–=

v x( ) x2– 2x+= v′ x( ) 2x– 2+=

f′ x( ) 2 x 1–( )x2– 2x+( )2

-----------------------------=

v x( ) x= v′ x( ) 12 x----------=

f′ x( )

12 x----------

x( )2--------------–= f′ x( ) 1

2x x------------–=

f x( ) x– 1+2x 3+----------------= f x( ) x2 1–

x2 1+--------------= f x( ) x

x2 x 1+ +-----------------------=

u x( ) x– 1+=

v x( ) 2x 3+=⎩⎨⎧ u′ x( ) 1–=

v′ x( ) 2=⎩⎨⎧

f′ x( ) 2x 3+( )– 2 x– 1+( )–2x 3+( )2

------------------------------------------------------ 5–2x 3+( )2

----------------------= = f′ x( ) 5–2x 3+( )2

----------------------=

u x( ) x2 1–=

v x( ) x2 1+=⎩⎨⎧ u′ x( ) 2x=

v′ x( ) 2x=⎩⎨⎧

f′ x( ) 2x x2 1+( ) 2x x2 1–( )–

x2 1+( )2-------------------------------------------------------- 4x

x2 1+( )2---------------------= = f′ x( ) 4x

x2 1+( )2---------------------=

u x( ) x=

v x( ) x2 x 1+ +=⎩⎨⎧ u′ x( ) 1=

v′ x( ) 2x 1+=⎩⎨⎧

f′ x( ) x2 x 1 x 2x 1+( )–+ +

x2 x 1+ +( )2---------------------------------------------------- 1 x2–

x2 x 1+ +( )2------------------------------= = f′ x( ) 1 x2–

x2 x 1+ +( )2------------------------------=

Exemple �

Remarque

Exemple �



� Dérivée de la fonction On admet la propriété suivante :

On peut aussi écrire : .

Énoncé

On donne pour x réel.

Déterminer en écrivant f comme une fonction composée.

Solution

La fonction u est définie sur et la fonction v est définie sur .

Pour tout x de I, on a bien car .

Ainsi est dérivable sur .

On sait que : et .

D’où .

Ce qui donne .

.

� Applications

Dérivée d’une fonction puissance

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et n un entier non nul.

Considérons la fonction .

� Cherchons l’ensemble de définition de f.

• Si , la fonction f est définie sur I.

• Si on peut poser avec .

.

La fonction f est alors définie sur tout intervalle de I où u ne s’annule pas.

Propriété

Si � u est dérivable sur un intervalle I.

� v est dérivable sur un intervalle J.

� pour tout x de I,

alors est dérivable sur I et pour tout x de I :

.

Dérivée d’une fonction composéeC

v � u

u x( ) J∈

f v � u=

f′ x( ) v � u( )′ x( ) v′ u x( )( ) u′ x( )×= =

v � u( )′ v′ � u( ) u′×=

f x( ) x2 1+=

f′ x( )

xu

x2 1+

Xv

X

xv � u

x2 1+

I �= J ]0 ; + ∞[=

u x( ) J∈ x2 1 0>+

f v � u= I �=

u′ x( ) 2x= v′ X( ) 12 X----------=

v′ u x( )( ) 1

2 x2 1+---------------------=

f′ x( ) v′ u x( )( ) u′ x( )× 1

2 x2 1+--------------------- 2x×= =

f′ x( ) x

x2 1+------------------=

f un=

n 1≥

n 1–≤ m n–= m 1≥

f un 1u n–-------- 1

um------= = =

Exemple �



� Cherchons à déterminer en se plaçant sur un intervalle où la dérivée existe.

On sait que .

D’où

.

On écrit aussi .

� Dans le cas où , la fonction est définie en tout point de I où elle ne s’annule pas.

Si alors et .

La formule reste donc vraie pour .

� Dans le cas où , on retrouve une formule du paragraphe B. �, à savoir .

� Dans le cas où , on retrouve une formule connue en première :

, ce qui s’écrit aussi .

Dérivée de la fonction Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.

Considérons la fonction .

En écrivant f comme une fonction composée, on obtient :

On sait que .

D’où

.

On écrit aussi .

Propriété

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et n un entier relatif non nul.

La fonction est dérivable :

• pour tout lorsque

• pour tout tel que lorsque .

La dérivée est telle que .

Propriété �

Soit u une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.

La fonction est dérivable sur I et on a :

.

f′ x( )

xu

u x( )

Xv

Xn

xv � u

un x( )

v′ X( ) nXn 1–=

f′ x( ) v � u( )′ x( ) v′ u x( )( ) u′ x( )×= =

f′ x( ) nun 1– x( ) u′ x( )×=

f un=

x I∈ n 1≥

x I∈ u x( ) 0≠ n 1–≤

f′ x( ) nun 1– x( ) u′ x( )×=

un( )′ nun 1– u′×=

n 0= u0

u x( ) 0≠ u0 1= u0( )′ 0=

n 0=

n 2= u2( )′ 2uu′=

n 1–=

u 1–( )′ u 2–– u′=1u--⎝ ⎠

⎛ ⎞ ′ u′u2-----–=

u

f u=

xu

u x( )

Xv

X

xv � u

u x( )

v′ X( ) 12 X----------=

f′ x( ) v � u( )′ x( ) v′ u x( )( ) u′ x( )×= =

f′ x( ) 12 u x( )------------------ u′ x( )×=

f u=

f′ x( ) u′ x( )2 u x( )------------------=

u( )′ u′2 u----------=

Remarques



➠ Cas particulier

avec .

En posant , on peut écrire :

et

Ainsi (avec ).

Énoncé

Trouver les fonctions dérivées des fonctions f suivantes :

a) b) c) .

Solution

a) Posons d’où .

Ainsi .

b) Posons d’où .

Ainsi .

c) On peut encore écrire

posons d’où .

Ainsi . .

Énoncé

Déterminer les fonctions dérivées des fonctions f suivantes :

a) b) c) .

(on ne s’occupera pas des ensembles de définition).

Solution

a) On a .

b) Posons d’où .

Ainsi . .

c) Posons d’où .

Ainsi . .

f x( ) ax b+= ax b+ 0>

u x( ) ax b+=

u′ x( ) a= f′ x( ) u′ x( )2 u x( )------------------ a

2 ax b+----------------------= =

ax b+( )′ a2 ax b+----------------------= ax b+ 0>

f x( ) x2 2x+( )3= f x( ) 2x– 1+( )4= f x( ) 1x3 x– 1+-----------------------⎝ ⎠

⎛ ⎞ 3=

u x( ) x2 2x+= u′ x( ) 2x 2+ 2 x 1+( )= =

f′ x( ) 3 x2 2x+( )2 2 x 1+( )× 6 x 1+( ) x2 2x+( )2= = f′ x( ) 6 x 1+( ) x2 2x+( )2=

u x( ) 2x– 1+( )= u′ x( ) 2–=

f′ x( ) 4 2x– 1+( )3 2–( ) 8 2x– 1+( )3–= = f′ x( ) 8 2x– 1+( )3–=

f x( ) x3 x– 1+( ) 3–=

u x( ) x3 x– 1+= u′ x( ) 3x2 1–=

f′ x( ) 3 x3 x– 1+( ) 4–– 3x2 1–( ) 3 3x2 1–( )–

x3 x– 1+( )4------------------------------= = f′ x( ) 3 3x2 1–( )–

x3 x– 1+( )4------------------------------=

f x( ) 3x– 2+= f x( ) x2 2x 1–+= f x( ) 1 x2–=

f′ x( ) 3–

2 3x– 2+---------------------------=

u x( ) x2 2x 1–+= u′ x( ) 2x 2+ 2 x 1+( )= =

f′ x( ) 2 x 1+( )

2 x2 2x 1–+--------------------------------- x 1+

x2 2x 1–+------------------------------= = f′ x( ) x 1+

x2 2x 1–+------------------------------=

u x( ) 1 x2–= u′ x( ) 2x–=

f′ x( ) 2x–

2 1 x2–--------------------- x–

1 x2–------------------= = f′ x( ) x–

1 x2–------------------=

Exemple �

Exemple �



� Propriété fondamentale

� On parle de fonction croissante (ou décroissante) uniquement sur des intervalles.

� Une fonction qui est soit croissante, soit décroissante sur I est dite monotone sur I.

� Si à la place des inégalités larges ( ou ), on met des inégalités strictes ( ou ) onparle de fonction strictement croissante (ou strictement décroissante) sur I.

� Notion d’extremum localSoit � la courbe représentative d’une fonction f définie sur (voir figure 2).

On dit que : f a un maximum local en

f a un minimum local en 0

f a un maximum local en 1

f a un minimum local en 2.

Fig. 2

On appelle extremum local un maximum local ou un minimum local.

Conséquence graphique

Si une fonction f admet un extremum local en c, alors la tangente à la courbe � au point est horizontale.

Quand une courbe admet des tangentes horizontales, il faut les tracer.

Propriété �

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et sa fonction dérivée sur I.

� sur I équivaut à f est constante sur I.

� sur I équivaut à f est croissante sur I.

� sur I équivaut à f est décroissante sur I.

Propriété �

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle .

Si f admet un extremum local pour , avec c distinct de a et de b, alors .

Signe de la dérivée et variation de la fonctionD

f′

f′ x( ) 0=

f′ x( ) 0≥

f′ x( ) 0≤

0≥ 0≤ 0> 0<

I 2 ; 3– [ ]=

1–

O

C

i

j

A

–1

–2

B

D

32

1

�

I a ; b [ ]=

x c= f′ c( ) 0=

C c ; f c ( )( )

Remarques

Définition

�



� La réciproque de la propriété

� est fausse, c’est-à-dire que la dérivée d’une fonction peut s’annulersans qu’il y ait extremum. Montrons ceci sur un exemple.

Énoncé

Soit pour et

� sa courbe représentative.

Que peut-on dire de la courbe

� à l’origine ?

Solution

On a d’où .

Ainsi et pour , .

Dressons le tableau de variation de f.

Bien que , il n’y a pas d’extremum à l’origine.

On va traiter l’exemple suivant : .

On écrit l’expression de en :

� Détermination du nombre dérivé en aOn se propose de calculer, par exemple, , et .

pour « nettoyer » l’écran.

pour obtenir .

pour obtenir .

pour obtenir .

Pour éviter de taper sur l’écran trois expressions quasiment identiques, on peut rappeler la dernièreexpression saisie en utilisant la touche ENTRY (en faisant ).

Il reste à se déplacer avec le curseur pour modifier ce qui doit l’être.

Il est possible de calculer un nombre dérivé sans mettre l’expression de dans .On utilise nDeriv (expression, variable, point) c’est-à-dire nDeriv ( ).

pour obtenir .

x 0

0

0

f x( ) x3= x �∈

f x( ) x3= f′ x( ) 3x2=

f′ 0( ) 0= x 0≠ f′ x( ) 0>

∞– + ∞

f ′ x( ) + +

f x( )

∞–

+ ∞

f′ 0( ) 0=

Les dérivées sur calculatrice graphique : TI 82E

f x( ) x2 2x–=

f x( ) Y1 Y = X T �, , x2 – 2 X T �, ,

f′ 1–( ) f′ 0( ) f′ 1( )

2nd MODE CLEAR CLEAR

MATH 8 2nd VARS 1 1 , X T �, , , –( ) 1 ) ENTER f′ 1–( ) 4–=

MATH 8 2nd VARS 1 1 , X T �, , , 0 ) ENTER f′ 0( ) 2–=

MATH 8 2nd VARS 1 1 , X T �, , , 1 ) ENTER f′ 1( ) 0=

2nd ENTER

�

f x( ) Y1f x( ) x a, ,

MATH 8 X T �, , x2 – 2 X T �, , , X T �, , , –( ) 2 ) ENTER f′ 2–( ) 6–=

Remarque

Exemple �

Remarque

© Texas Instruments incorporated



� Tableaux de valeurs donnant et On va placer la fonction dérivée en (la fonction f étant dans )

On peut toujours choisir l’option auto ou l’option ask.

� Tracé de la courbe représentantla fonction dérivée Si la fonction dérivée n’est pas déjà en , on se place dans (la fonction f étant dans ).

On retrouve bien que l’équation de la droite est .

La dérivée est négative sur et positive sur .

� Utilisation d’un programmeOn peut écrire un programme, appelé VALDF, pour obtenir l’écran suivant.

Ce programme a été appliqué pour .

� Comme pour le programme VALF on peut rajouter une dernière ligne prgmVALDF en faisant (dans on inscrit le no du programme VALDF).

On peut afficher les résultats seulement en écriture décimale ou seulement en écriture fractionnaire sion le désire.

� Pour afficher le « prime » de on tape ( désigne en fait les minutes dans « angle »).

f x( ) f′ x( )Y2 Y1

Y = � MATH 8 2nd VARS 1 1 , X T �, , , X T �, , ) TRACE

f′Y2 Y2 Y1

Y = � MATH 8 2nd VARS 1 1 , X T �, , , X T �, , ) TRACE

2

y = –2x = 0

y 2x 2– f′ x( )= =

] ∞ ; 1 [– ]1 ; + ∞[

x 0 25,–=

PRGM � ENTER

F′ 2nd MATRX 2′

Remarques



Équation réduite de la tangente, en un point d’abscisse x, à la courbe définie en On peut écrire un programme, appelé TANGENTE, pour obtenir les écrans suivants :(attention : les deux dernières lignes du premier écran se retrouvent dans le second).

Si on veut connaître l’équation réduite de la tangente au point K d’abscisse , on fait :

(dans on inscrit le no du programme TANGENTE).

On obtient l’écran suivant qui nous donne l’équation de la tangente en .

Il suffit de taper de nouveau sur pour relancer le programme et obtenir une équation detangente pour une autre valeur de x (ici ).

� Tracé de la tangente, en un point d’abscisse x,à la courbe définie en On utilise la fonction Tangent dans DRAW ( ).

� On adapte les paramètres de la fenêtre si besoin.

Déterminer dans chaque cas la fonction dérivée .

� sur .

� sur .

� sur .

� sur .

sur .

Y1

x 0=

PRGM ENTER

K 0 ; 0 ( )

ENTERx 1–=

Y12nd PRGM

2nd PRGM 5 2nd VARS 1 1 , –( ) 1 ) ENTER

Exercices d’apprentissage (Série 1)F

f′

f x( ) x4 x3– 3x2 x– 2+ +x

-------------------------------------------------= �*

f x( ) 2x– 1 3x 4–-----------–+= ] ∞ ; 4 [– ∪ ]4 ; + ∞[

f x( ) 2x 1–x 2+( )2

-------------------= ] ∞ ; 2– [– ∪ ] 2– ; + ∞[

f x( ) x 1–x 2+-----------⎝ ⎠

⎛ ⎞ 2= ] ∞ ; 2– [– ∪ ] 2– ; + ∞[

f x( ) 22x 1+--------------- 3

2x 1+( )2----------------------–= ∞ ; 1

2--–– ∪ 1

2--– ; + ∞

Remarque

Exercice

�



Soit f la fonction définie sur par .

� La fonction f est-elle dérivable en 0 ?

� Déterminer pour .

Donner une allure de la courbe représentative de f sur l’intervalle .

Soit la parabole d’équation .

Déterminer une équation cartésienne de la tangente à la courbe au point A d’abscisse 2.

Soit f la fonction définie sur par et sa courbe représentative dans un repère

.

� Déterminer les coordonnées des points de où la tangente est horizontale.

� Trouver l’équation de la tangente au point A de la courbe d’abscisse .

Montrer qu’il existe un autre point B de où la tangente est parallèle à .

Le coût total de production de q objets d’une entreprise est modélisé par la fonction.

Le coût est exprimé en euros.

� Exprimer, en fonction de q, le coût marginal défini par .

� Déterminer la dérivée .

Trouver l’erreur commise lorsqu’on remplace par . Calculer cette erreur pour

puis pour .

Le coût moyen unitaire est défini par , .

� Exprimer en fonction de q et déterminer le sens de variation de la fonction (pour ).

� Pour quelle valeur de q a-t-on minimal ?

�

� Déterminer et vérifier que .

� Vérifier que la tangente à la courbe représentative de la fonction « coût total » C, au point Ad’abscisse , passe par l’origine du repère.

� De la courbe au sens de variation

Énoncé

Sur l’écran d’une calculatrice graphique, on a obtenu la courbe représentative

� d’une fonction f (voirfigure 3).

Répondre, d’après la lecture du graphique, aux questions suivantes :

� Quel est l’ensemble de définition D de f ?

� Établir le tableau de variation de f.

0 ; + ∞[[ f x( ) x x=

f′ x( ) x ∈ ]0 ; + ∞[

0 ; 4 [ ]

P( ) y x2– 3x 1–+=

T( ) P( )

�* f x( ) x 1x--+= C( )

O ; i j ,( )

C( )

T( ) C( ) 2–

C( ) T′( ) T( )

C : q 0 02q3, 1 8q2,– 80q+ �

Cma q( ) Cma q( ) C q 1+( ) C q( )–=

C′ q( )

Cma q( ) C′ q( )

q 100= q 1 000=

CM q( ) C q( )q

-----------= q 0≠

CM q( ) CM q 0>

q0 CM q( )

C′ q( ) C′ q0( ) CM q0( )=

q0

Utilisation des représentations graphiquesG

Exercice

�

Exercice

Exercice

Exercice

�

Exemple

�



Fig. 3

Solution

� On a .

� On obtient le tableau de variation suivant :

� Savoir associer courbe et fonction

Énoncé

Voici 3 fonctions f, g et h définies par :

; ; .

Dire d’après le graphique de la figure 4 laquelle des trois fonctions est représentée sur cette figure.(On admet que la courbe est bien celle représentant l’une des 3 fonctions.)

x 0 1 2

0 0

1

y

i

j

1 20– 2 – 1

– 1

32

y '

x '

x

0,25

1

�

x =

4 3

D = ] ∞ ; 0 [– ∪ 0 ; 43-- ∪ 4

3-- ; + ∞

∞– 43-- + ∞

f ′ x( ) – – + + –

f x( )

14--

f x( ) x2 4x– 3+2 x–

--------------------------= g x( ) x2 4x– 3+x 2–

--------------------------= h x( ) x2 5x– 3+x 2–

--------------------------=

Exemple

�



Fig. 4

Solution

� Les trois fonctions ont le même ensemble de définition.

� Comme , la fonction f ne peut convenir.

� Comme , la fonction h ne peut convenir.

Seule la fonction g peut convenir (on ne demande pas de vérifier que g convient).

Dans cet exemple, on a procédé par élimination.

Énoncé

Soit f la fonction définie, pour , par .

Parmi les 3 courbes suivantes, une et une seulement représente la fonction f.

En procédant par élimination, trouver la courbe représentative de f.

Fig. 5 Fig. 6

y

i

j

0–1

–2

y '

1 2 3 4 xx'

1

2

3

x =

2

�

3—2

–

f 0( ) 32--=

h 1( ) 1=

x 1–≠ f x( ) x2 4x 1+ +x 1+( )2

--------------------------=

y

i

j

–1

–2

y'

1 xx'

1

0

�

–1

y

i

j

–1

–2

y'

1 xx '

1

2

0

�

–1

Remarque

Exemple

�



Fig. 7

Solution

� Sur les 3 figures l’ensemble de définition est bien .

� On a .

La figure 5 ne peut convenir car, sur cette figure, 1 a pour image 0.

� On a .

La figure 6 ne peut convenir car sur cette figure zéro a pour image 2.

La seule courbe possible est celle de la figure 7.

Savoir associer la courbe de f et la courbe de

Énoncé

On considère la fonction f dont la courbe représentative est donnée ci-dessous (figure 8).

Fig. 8

y'

–2

–1

–1 1

1

y

xx' 0 i

j

�

] ∞ ; 1 [–– ∪ ] 1 ; + ∞[–

f 1( ) 32--=

f 0( ) 1=

f′′′′

2 x

2

1

y

0

1

–1

�

Exemple

�



Parmi les 4 courbes suivantes, quelle est la seule qui soit susceptible de représenter la fonction dérivée de f ?

Fig. 9 Fig. 10

Fig. 11 Fig. 12

Solution

La fonction f est strictement décroissante sur et strictement croissante sur . De plus. On doit donc avoir une fonction telle que :

� sur .

� .

� sur .

Seule la courbe de la figure 10 vérifie les 3 conditions. C’est donc cette courbe qui est la seule sus-ceptible de représenter .

Énoncé

Deux fonctions f et g sont représentées par leurs courbes respectives et . L’une des fonctionspeut-elle être la dérivée de l’autre ? Dire quelle serait la courbe de la fonction dérivée.

Fig. 13

i

j

–1

1

1

y

x0 i

j

–1

1

1

y

x0

i

j

–1

1

1

y

x

0 i

j

– 1

1

1

y

x

0

]0 ; 2 [ ]2 ; + ∞[f′ 2( ) 0= f′

f′ 0< ]0 ; 2 [f′ 2( ) 0=

f′ 0> ]2 ; + ∞[

f′

Cf Cg

y

x

y'

x' 0

i j

1

2

Cg

Cf

2 31– 1

Exemple

�



Solution

� Sur , on a et f croissante.

Donc g ne peut pas être la dérivée de f.

� Voyons si f peut être la dérivée de g.

Sur , on a et g croissante.

Sur , on a et g décroissante.

Sur , on a et g croissante.

On a aussi . Aux points de d’abscisses 0 et 1, on a bien une tangente horizon-tale. Toutes les conditions sont donc vérifiées pour que f puisse être la dérivée de g.

La courbe de la fonction dérivée est donc .

Il faut bien voir que c’est le SIGNE de f qui donne la variation de g (le signe de g n’intervient pas).

Résolutions graphiques d’équationset d’inéquations

Énoncé

Voici la courbe

� représentant une fonction f (voir figure 14).

Fig. 14

� Résoudre graphiquement les équations ou inéquations suivantes : ; ;

; ; ; ; .

� Résoudre graphiquement les systèmes suivants :

; .

Solution

�

� . Les solutions de cette équation sont les abscisses des points d’intersection de

� avec

l’axe .

D’où .

] ∞– ; 1– [ g x( ) 0<

] ∞– ; 0 [ f x( ) 0>

]0 ; 1 [ f x( ) 0<

]1 ; + ∞[ f x( ) 0>

f 0( ) f 1( ) 0= = Cg

Cf

–1

y = –1

1

0 3 4

5

21

xx'

y

y'

j

i

– 4 3

x =

2

�

f x( ) 0= f x( ) 1–=

f x( ) 2–= f x( ) 43--–= f x( ) 0≤ f x( ) 0> f x( ) 1–<

1– f x( ) 0≤ ≤ 43--– f x( ) 1–< <

f x( ) 0=

O ; i ( )

S 1 ; 3– { }=

Remarque

Exemple

�



� . Les solutions de cette équation sont les abscisses des points d’intersection de

� avecla droite d’équation .

D’où .

� . On raisonne de même.

Ici il n’y a pas de solution d’où .

� . .

� . Les solutions de cette inéquation sont les abscisses des points de

� situés sous l’axe

ou sur .

D’où .

� . On raisonne de même.

.

� . .

�

� . Les solutions de ce système sont les abscisses des points de

� compris entre lesdroites d’équations et .

D’où .

� .

.

Pour les inéquations et les systèmes, il faut faire attention aux crochets. Ainsi pour on aurait.

À partir de cet exemple, on peut donner des résultats généraux pour les résolutions graphiques.

� Sur cette figure l’équation a 3 solutions.

.

� Pour on trouve :

.

Fig. 15

� Pour , les points de

� doivent être situés sous la droite d’équation (au sensstrict). Cela signifie que les points de la droite ne peuvent convenir.

� Pour , on remplacerait « sous » par « au-dessus de » dans la propriété

�.

Propriété

�

Les solutions de l’équation sont, si elles existent, les abscisses des points d’intersectionde

� avec la droite horizontale d’équation (voir figure 15).

Les solutions de l’inéquation sont, si elles existent, les abscisses des points de

� situéssous la droite d’équation (au sens large).

f x( ) 1–=y 1–=

S 72--

⎩ ⎭⎨ ⎬⎧ ⎫

=

f x( ) 2–=

S ∅=

f x( ) 43--–= S 5{ }=

f x( ) 0≤O ; i ( ) O ; i ( )

S = ] ∞ ; 1 ]–– 3 ; + ∞[[∪

f x( ) 0>S = ] 1 ; 2 [– ∪ ]2 ; 3 [

f x( ) 1–< S =72-- ; + ∞

1– f x( ) 0≤ ≤y 1–= y 0=

S = ] ∞ ; 1 ]–– 3 ; 72-- ∪

43--– f x( ) 1–< <

S =72-- ; 5 ∪ ]5 ; + ∞[

f x( ) 0≥S 1 ; 2 [– [= ∪ ]2 ; 3 ]

f x( ) m=y m=

f x( ) m≤y m=

i

j

a b 0 c x

y = m...�

f x( ) m=

S a ; b ; c { }=

f x( ) m≤

S = ] ∞ ; a ]– b ; 0 [[∪ ∪ ]0 ; c ]

f x( ) m< y m=

f x( ) m≥

Remarque

Remarques



Le but de ce paragraphe est de savoir tracer à « main levée » la courbe représentant connaissant lacourbe représentant f.

Posons .

Pour que g soit définie, il faut d’abord que f soit définie et qu’ensuite f ne s’annule pas.

Ainsi .

Cherchons maintenant comment on peut trouver la variation de g connaissant celle de f.

Soit I un intervalle tel que :

Cela implique que f garde un signe constant sur I.

On sait que : .

Comme , alors et sont de signes contraires sur I. On en déduit que les fonc-tions g et f varient en sens contraires sur I.

Les fonctions f est ont le même signe sur I.

Énoncé

On donne sur la figure 16 trois courbes représentant trois fonctions f et, sur la figure 17, trois cour-

bes représentatives de leurs fonctions inverses .

Déterminer pour chaque fonction f quelle est la courbe de .

Fig. 16

I est un intervalle où f garde un signe constant

SI ALORS

f est croissante sur I est décroissante sur I

f est décroissante sur I est croissante sur I

Courbes représentatives des fonctions inversesH1f--

g 1f--=

g x( ) 1f x( )--------- existe si f x( ) existe et si f x( ) 0≠=

f x( ) existe pour tout x I∈f x( ) 0 pour tout x I.∈≠⎩

⎨⎧

g′ x( ) f′ x( )f2 x( )------------–=

f2 x( ) 0> g′ x( ) f′ x( )

1f--

1f--

1f--

1f--

1f--

i

j

x

y

–1

1

1

0

1

i

j x

y

–1

1

1

0

2

i

j x

y

–1

1

1

0

3

Remarque

Exemple �



Voici les 3 courbes de (voir figure 17).

Fig. 17

Solution

� Soit la fonction f définie en .

Comme alors n’est pas définie pour .

La fonction f étant croissante sur �, la fonction doit être décroissante sur et sur.

Seule la fonction de la figure convient.


Comme f est définie sur � et ne s’annule pas, alors est définie sur �.

On a f qui est décroissante sur et croissante sur .

Donc sera croissante sur et décroissante sur .

De plus sur �. Donc on doit aussi avoir sur �.



Comme f est définie sur �, strictement positive et strictement croissante sur �, alors sera définiesur �, strictement positive et strictement décroissante sur �.


Résumons les résultats dans un tableau.

f 1 2 3

b c a

1f--

i

j

x

y

–1

1

1

0

a

i

j

x

y

–1

1

1

0

b

i

j

x

y

–11

1

0

c

1

f 1( ) 0=1f-- x 1=

1f-- ] ∞ ; 1 [–

]1 ; + ∞ [

b

2

1f--

] ∞ ; 0 ]– 0 ; + ∞ [[

1f-- ] ∞ ; 0 ]– 0 ; + ∞ [[

f x( ) 0< 1f x( )--------- 0<

c

31f--

a

1f--



Sur l’écran d’une calculatrice graphique on a obtenu la courbe représentative

� d’une fonction f.

Fig. 18

Les tangentes à la courbe

� aux points O et B passent par A.

Répondre, d’après la lecture du graphique, aux questions suivantes :

� Quel est l’ensemble de définition D de f ?

� Donner les limites de f en et en . Donner l’équation de l’asymptote

Δ.

Donner l’équation des tangentes à

� aux points A, C, O et B.

Dresser le tableau de variation de f.

� Résoudre, d’après le graphique de la figure 18, les équations ou inéquations suivantes :

; ; ; ;

; ; ; .

� Résoudre, d’après le graphique de la figure 18, les systèmes :

; ; .

On considère la fonction f dont la courbe représentative est la courbe

� de la figure 18.

On pose .

� Préciser les intervalles où la fonction g est définie.

� Donner les variations de la fonction g.

Tracer une esquisse de la courbe représentative de g.

Soit f la fonction définie sur

� par et

� sa courbe représentative dans un repère

orthogonal .

On prendra pour unités 2 cm en abscisse et 4 cm en ordonnée.

� Montrer que la fonction f est impaire.

Que peut-on en déduire pour la courbe

� ?

� Déterminer la dérivée de f et le sens de variation de f.

Soit la tangente à

� au point O, origine du repère.

Déterminer une équation de .

Exercices d’apprentissage (Série 2)I

i

j

y

3

2

1

x' x

y'

Δ y = 2

0 2 3

3—2

3

4 5−1

B

C

A

�

√

3√

∞– + ∞

f x( ) 0= f x( ) 1= f x( ) 2= f x( ) 3=

f x( ) 0≤ f x( ) 1≤ f x( ) 2≥ f x( ) 3<

0 f x( ) 1≤ ≤ 1 f x( ) 2< < 0 f x( ) 3≤ ≤

g 1f--=

C( )

f x( ) x1 x2+--------------=

O ; i j ,( )

T( )

T( )

Exercice

�

Exercice

�

Exercice

�

Exercice

�



On admet que .

Que peut-on dire de ?

En déduire que la courbe

� possède une asymptote dont on précisera l’équation.

Dresser le tableau de variation de f et tracer et

�.

� Déterminer les positions relatives de

� et de .

Méthode :

� a pour équation .

a pour équation .

On cherche le signe de .

f x( )x + ∞→

lim 0=

f x( )x ∞–→

lim

T( )

T( )

y f x( )=

T( ) y mx p+=

f x( ) mx p+( )–


Synthèse

58 Séquence 2 – MA01

�

Nombre dérivé

• f est dérivable en a si .

• Le coefficient directeur de la tangente au point d’une courbe

� est égal à .

Une équation de la tangente est de la forme .

Pour trouver la valeur de p, on écrit que passe par le point .

• Dire que la tangente en est parallèle à l’axe des abscisses équivaut à dire que.

�

Fonction dérivée

�

Fonction composée

�

Sens de variation

fonction dérivée fonction dérivée

signe de variation de f

sur I f est croissante sur I

sur I f est décroissante sur I

sur I f est constante sur I

f a h+( ) f a( )–h

----------------------------------h 0→lim f x( ) f a( )–

x a–-------------------------

x a→lim f′ a( )= =

T( ) A a ; f a ( )( ) f′ a( )

T( ) y f′ a( ) x× p+=

T( ) a ; f a ( )( )

A a ; f a ( )( )f′ a( ) 0=

f x( ) k= f ′ x( ) 0= f u v+= f ′ u ′ v ′+=

f x( ) x= f ′ x( ) 1= f uv= f ′ u ′v uv ′+=

f x( ) xn= f ′ x( ) nxn 1–= f ku= f ′ ku ′=

f x( ) 1x--= f ′ x( ) 1

x2-----–= f 1

v--= f ′ v ′

v2-----–=

f x( ) x= f ′ x( ) 12 x----------= f u

v--= f ′ u ′v uv ′–

v2---------------------=

f un= f ′ nun 1– u ′×=

f u= f ′ u ′2 u----------=

f kv--= f ′ kv ′

v2--------–=

v � u( )′ x( ) v ′ u x( )( ) u ′ x( )×= v � u( )′ v ′ � u( ) u ′×=

f ′

f ′ x( ) 0≥

f ′ x( ) 0≤

f ′ x( ) 0=



� Résolutions graphiques• Les solutions de l’équation sont les abscisses des points d’intersection de la courbe �représentant f avec la droite d’équation .

• Les solutions de l’inéquation (respectivement ) sont les abscisses des pointsde la courbe � représentant f situés en dessous (respectivement au-dessus) de la droite d’équation

ou sur la droite.

� Fonction inverseSoit f une fonction définie sur un ensemble E et .

• La fonction g existe si

• g et f varient en sens contraires sur tout intervalle où elles sont toutes les deux définies.

• g et f ont le même signe sur tout intervalle où elles sont toutes les deux définies.

� Positions relatives de deux courbesSoit d’équation et d’équation .

• Si , alors est en dessous de .

• Si , alors est au-dessus de .

• Si , alors et ont un point commun.

f x( ) m=y m=

f x( ) m≤ f x( ) m≥

y m=

g 1f--=

x E∈f x( ) 0.≠⎩

⎨⎧

�f y f x( )= �g y g x( )=

f x( ) g x( )– 0< �f �g

f x( ) g x( )– 0> �f �g

f x( ) g x( )– 0= �f �g


Exercices d’entraînement


Soit f la fonction définie sur � par .

Déterminer les trois réels a, b et c pour que la courbe � représentative de f passe par le point

et admette au point une tangente horizontale.

Soit f la fonction définie par pour .

On pose .

On appelle � la courbe représentative de f dans un repère orthonormal (unité : 1 cm).

� On admet que et .

Donner les équations des asymptotes à �.

� Déterminer les variations de f.

Montrer que � coupe l’axe des abscisses en deux points.

Déterminer en chacun de ces points une équation de la tangente à �.

Tracer les asymptotes, les deux tangentes précédentes et la courbe �.

Le plan étant muni d’un repère

orthonormal nous allonsdéterminer l’aire maximale d’untriangle isocèle inscrit dans un cercle� de rayon R. Par raison de symétrieon peut supposer le cercle � centréen O et le sommet principal A situé

sur l’axe (voir figure 19).

Fig. 19

� Le triangle ABC étant isocèle en A et inscrit dans �, démontrer que est la médiatrice du seg-

ment .

� La droite coupe en un point H d’abscisse x.

Montrer que et que l’aire du triangle ABC est égale à .

En déduire pour quelle valeur de x l’aire de ABC est maximale et construire alors le triangle ABC.

Le coût total de fabrication pour une entreprise s’exprime en fonction du nombre q d’objets produits.On le note .

Le coût moyen de production est tel que .

Le coût marginal de production est défini à partir de la dérivée c’est-à-dire que . Onsuppose qu’il existe un niveau de production qui réalise le coût moyen minimum.

� Démontrer alors que pour le coût moyen est égal au coût marginal.

� Soit K le point de la courbe « coût total » dont l’abscisse est . Montrer que la tangente à la

courbe « coût total » au point K passe par l’origine.

f x( ) ax2 bx c+ +=

A 2 ; 2 ( ) B 3 ; 52-- ⎝ ⎠

⎛ ⎞

f x( ) x2 4x–x 1+( )2

-------------------= x 1–≠

E = ] ∞– ; 1– [ ∪ ] 1– ; + ∞[O ; i j ,( )

f x( )x ∞–→

lim f x( )x + ∞→

lim 1= = f x( )x 1–→

lim + ∞=

i

j

A O

�O ; i j ,( )

O ; i ( )

AO( )BC[ ]

BC( ) AO( )R– x R≤ ≤ � x( ) R x+( ) R2 x2–=

C q( )CM q( ) C q( )

q-----------=

Cma q( ) C′ q( )=q0

q q0=

q0

Exercice

�

Exercice

�

Exercice

�

Exercice

�



Deux fonctions g et h sont représentées par leurs courbes respectives sur la figure 20. On sait quel’une des fonctions est la dérivée de l’autre. Déterminer la courbe représentant la fonction et cellereprésentant la dérivée.

Fig. 20

� Soit f la fonction définie sur � par et sa courbe représentative dans

un repère orthonormal (unité : 2 cm).

Faire l’étude de f et tracer la courbe .

� Soit . Quel est l’ensemble de définition de g ?

Déduire de la question � le sens de variation de g.

Déterminer les limites de g.

Dresser le tableau de variation de g.

� Tracer la courbe � représentative de g dans le même repère.

� Résoudre graphiquement l’équation puis vérifier par le calcul.

� Soit f la fonction définie sur � par et sa courbe représentative dans un

repère orthogonal (unités : 2 cm sur et 1 cm sur ).

Faire l’étude de f et tracer la courbe .

� Soit . Quel est l’ensemble de définition de g ?

Déduire de la question � le sens de variation de g.

Déterminer les limites de g. Préciser les asymptotes à la courbe � représentative de g.

Dresser le tableau de variation de g.

� Tracer, dans le repère précédent, la courbe �.

j

x = – 2

�

�

C

C

y = x – 1

y = 1

– 5x' x– 4 – 3 – 2 – 1 1 2 3 4

3

2

1

0

– 1

– 2

– 3

– 4

– 5

y

y'

i

f x( ) 12-- x2 2x– 2+( )= C( )

O ; i j ,( )C( )

g 1f--=

f x( ) g x( )=

f x( ) x2 2x– 3–= C( )

O ; i j ,( ) O ; i ( ) O ; j ( )

C( )

g 1f--=

Exercice

�

Exercice

�

Exercice

�


Aideaux exercices d’entraînement


Écrire un système de trois équations à trois inconnues a, b et c. Penser que .

Appliquer la formule .

� Revenir à l’une des définitions de la médiatrice.

� Pour calculer AH, il faut savoir que .

Pour calculer BH, penser au théorème de Pythagore.

s’écrit sous la forme où .

� vérifie .

Déterminer alors en fonction de et de .

Montrer enfin que .

� Montrer que la tangente en K a une équation de la forme .

On peut commencer par chercher un intervalle où l’une des fonctions est négative et l’autre croissante(ou bien l’une positive et l’autre décroissante).

On peut choisir pour observer ce qui se passe : cela permet de voir que la courbe C ne peutpas être celle de la dérivée.

Reste à démontrer que la courbe

� peut être celle de la dérivée.

� est une parabole.

� Remarquer que sur

�.

g et f varient en sens contraires sur

�.

� Pas de problème.

� Les solutions se devinent aisément sur le graphique.

� est une parabole.

� Il faut voir que f s’annule pour 2 valeurs. Ces 2 valeurs ne font pas partie du domaine de g.

Il faut chercher la variation de g sur 4 intervalles (car f s’annule 2 fois et change de variation en 1).

Les limites de g en et en 3 sont infinies.

Le tableau de variation permet de dire quand c’est et quand c’est .

Faire attention à la cohérence du tableau.

� Beaucoup de points de � sont assez proches de l’axe ce qui ne rend pas son tracé trèsfacile. ■

f′ 3( ) 0=

uv--⎝ ⎠

⎛ ⎞ ′ u′v uv′–v2

---------------------=

AH xH xA–=

� x( ) u x( )v x( ) v x( ) R2 x2–=

q0 CM q0( ) 0=′

q0 C q0( ) C′ q0( )

CM q0( ) Cma q0( ) C′ q0( )= =

y mq=

1 ; 0– [ ]

C( )

f x( ) 0>

C( )

1–

+ ∞ ∞–

O ; i ( )

Exercice

�

Exercice

�

Exercice

�

Exercice

�

Exercice

�

Exercice

�

Exercice

�


Documents

202010514 es-maths-cned-sequence-02-derivation