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203-NYAChapitre 6:
Solutions à certains exercices
D’autres solutions peuvent s’ajouter sur demande: [email protected] ou 647-5967
E2
1 2
1
1 1
1 2 1
21 12 2
) 0 0
2 2
0.8 9.81 3.92
y
x s
s s
s s
s
a F N N mg
F ma f ma
f N
N N mg f mg ma
a g m s
mg
N1 N2
fs1
aav
mg
N1 N2
av
fs1 fs2
1 2
1 2
1 1 2 2
1 2 1 2
1 2
2
) 0 0
2 2
0.8 9.81 7.85
y
x s s
s s s s
s s s
s s s
s
b F N N mg
F ma f f ma
f N f N
N N mg f f mg
f f mg ma
a g m s
Comme le poids est réparti uniformément sur les 4 roues, on aura N1 = N2 = mg/2. Donc seulement la moitié du poids sur les roues motrices (à l’arrière) L’accélération maximale correspond à la force de frottement statique maximale fs1 = smg/2
Les 4 roues freinent, pas seulement les roues motrices. La force de frottement (de freinage) est donc doublée.
E3
xyx
y
T f2
m2g
N2
Tf 1
m1g
N 1
30o
y
x
1 1 1 1 2 2 2
1 1 1 2 2 2
1 1 2 2
1 1 1 2 2
1 1 2 1 2
1 1 2
2 1
sin
cos 0 0
sin cos
sin cos
sin cos 0
sin sin 30
cos
x x
y y
c c
c c
c c
c
o
c
F m a m g f T m a F m a T f m a
F m a N m g F m a N m g
f N f N
m g m g T m a T m g m a
m g m g T T m g m a m a
m g m m g
m m
2
1
0.395cos30 2 5
2 0.395 9.81 7.75
sin cos 5 9.81 sin 30 0.395 cos30 7.75
o
c
o oc
T m g N
T m g
v
E4
,max
,max
,max
.6 4
) sin ? 5.90 6.27
cos 0.8 1 9.81 cos37 6.27
sin 1 9.81 sin 37 5.90
) cos sin
sin cos 0
sin cos
40 sin 37 1 9.81 cos37 31.
s
s
c
s
s
os
o
c
c
o o
NYA Ch E
a mg f N N non
f N
f mg N
mg N
b F mg f ma
N F mg
f N
N F mg
N
2
9
0.6 31.9 19.1
cos sin
40 cos37 1 9.81 sin 37 19.1 1 6.90
cc
o o
N
f N N
a F mg f m
a m s
37o
37o
mg
Nfs
37o
37o
37o
mg
F
N
fc
a)
b)
x
x
y
y
E6y
F = 30 N
fsx
mg
N
F = 30 N
fc
x
mg
N
F = 30 N
fc
x
mg
Nv
v
max
) 0 0 30
0 0
Note: 0.7 5 9.81 34.3
x s s
y
s s s s
a F F f f F N
F N mg N mg
f f N mg N
2
)
0 0
30 5 0.5 9.81 10.9
x c
y
c c c
c c
b F ma F f ma
F N mg
f N mg
F mg ma a F m g m s
2
)
0 0
30 5 0.5 9.81 1.10
x c
y
c c c
c c
c F ma F f ma
F N mg
f N mg
F mg ma a F m g m s
La force de frottement statique prend la valeur de la force appliquée (30 N) mais sans dépasser le maximum (34 N).
E9x
y
N f c
53o
53o
mg
sin 5
3o
mg
mg cos 53 o
2
) sin 53
0 cos53 0
cos53
cos53
sin 53 cos53
sin 53 cos53 6.36
) sin 53
0 cos53 0
cos53
cos53
sin 53 cos
ox c
oy
c c
o
oc c
o oc
o oc
ox c
oy
c c
o
oc c
oc
a F ma mg f ma
F N mg
f N
N mg
f mg
mg mg ma
a g m s
b F ma mg f ma
F N mg
f N
N mg
f mg
mg mg
2
53
sin 53 cos53 9.31
) Même chose que )
o
o oc
ma
a g m s
c a
xy
Nf c
53o
53omg
vv
Avant de commencer a), il faut s’assurer que le bloc, initialement au repos, va vraiment descendre. Pour cela, il faut que la force de gravité selon le plan soit plus grande que la force de frottement statique maximale:
sin 53 cos53 ?o ocmg mg
E10a
fs
0 0
6 9.81 0.611
x s
y
s s
s s
s
s
F ma f ma
F N mg
f N
N mg
f mg
mg ma
a g
Camion
Caisse m
La caisse a la même accélération que le camion. Il faut une force pour accélérer la caisse. Cette force est la force de frottement statique que la plate-forme exerce sur la caisse. Le coefficient de frottement statique minimal (noté s) correspond à la force de frottement statique maximale (noté fs)
E15
200 N2
200
0 0
30 50 20 100
200 200 100 0.1 9.81 1.02
x t t
y t t
t
t A B C
t t
F m a f m a
F N m g N m g
f N m g
m m m m kg
m g m a a m s
2 2
2
0 0
50 20 70
70 0.1 9.81 1.02 140
x t t t t
y t t
t
t B C
t
F m a T f m a T m g m a
F N m g N m g
f N m g
m m m kg
T m g a N
2 2
2
0 0
20
20 0.1 9.81 1.02 40.0
x t t t t
y t t
t C t
t
F m a T f m a T m g m a
F N m g N m g
m m kg f N m g
T m g a N
a)
f
mtg
N
b) T2
f
mtg
N
c) T1
f
mtg
N
E19
0 0 0 0
0.25 9.81 2 5 17.2
Ax A s A Bx B s B
Ay A A By B B A
s s A
A A s B
s s A s A B s A B s
s A A s A B
s
F m a f m a F m a F f m a
F N m g F N m g N
f N
N m g F f m a
f m g F m g m a m g m g
m g m a F g m m
a g F N
fs
fs
F
mAg
mBg
NA
NAx
y
NB
a) Aucune force n’est nécessaire pour déplacer un objet à vitesse constante. Donc il n’y a aucun frottement en A et B.
b) Il faut appliquer la 2e loi de Newton au deux blocs. Notez les deux paires action-réaction NA et fs. La force maximale F est déterminé par l’accélération maximale du bloc A qui est elle-même déterminée par la force de frottement statique maximale (notée fs)
E21
a)v
x
m1g
xy
N 2 T
f 2
37o
m2g
T
v
2 2 2 2 1 1 1
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 1 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
sin
0 cos 0
cos cos
sin cos
sin cos
sin cos
5 5 sin 37 0.sin cos
x x
y
o
F m a T m g f m a F m a m g T m a
F N m g
f N
N m g f m g
T m g m g m a
T m g m g m g T m a m a
g m m m m a
m ma g
m m
225 cos37
9.81 0.9745 5
o
m s
E21
b)v
x
m1g
xy
N 2 Tf 2
37o
m2g
Tv
2 2 2 2 1 1 1
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 1 1 2
1 2 1 2
1 2
1 2
sin
0 cos 0
cos cos
sin cos
sin cos
sin cos
5 5 sin 37 0.sin cos
x x
y
o
F m a T m g f m a F m a m g T m a
F N m g
f N
N m g f m g
T m g m g m a
T m g m g m g T m a m a
g m m m m a
m ma g
m m
225 cos37
9.81 2.935 5
o
m s
E21
c)v
x
m1g
xy
N 2 T
f 2
37o
m2g
T
v
2 2 2 2 1 1 1
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2 2
2 2 1 1 2
1 2 1 2
1 2
sin
0 cos 0
cos cos
sin cos
sin cos
sin cos 0
sin cos 6 sin 37 0.25 cos3
x x
y
o
F m a T m g f m a F m a m g T m a
F N m g
f N
N m g f m g
T m g m g m a
T m g m g m g T m a m a
g m m m m a
m m
1 1
1 2
7
4.81 si va vers le bas
2.41 si va vers le haut
o
m kg m
m kg m
La figure correspond à m1 qui se déplace vers le bas (signe du haut dans les équations).
E23
53om2g
x
yN
2
f253 o
T
x
y
N1
f1
T
m1g
F1 1 2 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 2
1
1 2
2
1 2 2)
sin 53
0 cos53 0
c
0
os53
cos53
sin 53 cos53
sin 53 co 3
0
s5
x x
o
o
o
y
o
y
o
o
o
F m a F m a
F F
a
F T f m a T m g f m a
N m g N m g
f N f N
N m g N m g
f m g f m g
F T m g m a
T m g m g m a
F T m g T m g m g
1 2
1 2 2 1 2
1 1 1
1 2 2
1 2
sin 53 cos53
0.5 4 5 sin 53 0.5 5 cos53 9.81 4 5 1 82.5
) 82.5 0.5 4 9.81 4 1 58.9
sin cos)
10 0.5 4 5 sin 53 0.5 5 cos53 9.810
4 5
o
o o
o o
o o
m a m a
F m m m g m m a
F N
b T F m g m a N
F m m m gc a
m m
a
2.578m s
Pour c), il faut inverser les sens de f1 et f2 sur le diagramme et changer les signes dans les équations.
a
E26
mg
N
f
va 0
2 20
2 20 0
2 220
2 220
108 30
0 0
2 0
2 2
30) 51.0
2 2 0.9 9.81
30) 153
2 2 0.3 9.81
x
y
s
s
s
s
s
s
s
v km h m s
F ma f ma
F N mg
f N
N mg
f mg
mg ma
a g
v v a x
v vx
a g
va x m s
g
va x m s
g
E29mg
mg
N
ar
ar
x
x
2max
min
2 2
)
0
9.81 20 14.0
)
1475 9.81 1470
20
r
r
r
r
r
a N mg ma
mg N ma
vmg m
r
v gr m s
b N mg ma
N mg ma
N m g a
vN m g N
r
La vitesse maximale correspond à l’état d’apesanteur (poids apparent nul: N = 0) pour cette trajectoire circulaire. Notez que le système de référence est choisi dans le sens de ar.
Le poids apparent N est doublé.
E30
fs
N
mg
2
2
2 2
0 0
16.70.472
9.81 60
x r s r
y
s s
s s
s
s
F ma f ma mv r
F N mg
f N
N mg
f mg
mvmg
r
v
gr
y
x
ar
La force de frottement statique est la force centripète. C’est d’ailleurs la seule force horizontale. Le coefficient de frottement minimal requis correspond à la limite de dérapage où la force de frottement statique est égale à son maximum fs = fs,max = μsN.
E31N
mg
2
2
2
sin
0 cos 0 cos
sin
cos
x r r
y
F ma N ma mv r
F N mg N mg
N mv r
N mg
tg v rg
y
x
ar
La force normale N est inclinée d’un angle θ par rapport à la verticale car la chaussée est elle-même inclinée d’un angle θ par rapport à l’horizontale.
La composante verticale de N est équilibrée par le poids, mais pas la composante horizontale de N qui devient la force centripète.
θ
θ
mgN
mar
θ
E35N
mg
2
222 2 2 2 4 2
2 4 2
0 0
70 9.81 15 40 792
x r x r
y y x
x y
F ma N ma mv r
F N mg N mg
N N N mg mv r m g v r
N N
y
x
ar
La force normale N doit être inclinée par rapport à la verticale pour que la composante horizontale Nx soit la force centripète. La composante verticale Ny est équilibrée par le poids.
θ
mgN
mar
θ
Ny
Nx
E40
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2) 0.2 9.81 0.705
0.3
3,96) 0.2 9.81 12.4
0.3
3.14) 0.2 6.57
0.3
x r
x r
x r
mv va F ma T mg T m g N
r r
mv vb F ma T mg T m g N
r r
mv vc F ma T T m N
r r
x
mg
mg
mg
T
T
x
x
mar
mar
mar
T
mat
E42
2
2
2 2
2 1min2 2 0.15 45 0.707
min 60
0 0
0.7070.340
9.81 0.15
x r s r
y
s s
s s
s
s
r trv rf m s
T s
F ma f ma mv r
F N mg
f N
N mg
f mg
mvmg
r
v
gr
La force de frottement statique est la force centripète. C’est d’ailleurs la seule force horizontale. Le coefficient de frottement minimal requis correspond à la limite de décrochage où la force de frottement statique est égale à son maximum fs = fs,max = μsN.
E45
2
2 2
) 0
9.81 6.5 7.98
9.5) 40 9.81 163
6.5
r
r
r
r
r
N mg ma
N mg ma
a mg ma
vg a
r
v gr m s
vb N ma mg m g N
r
Nmg
x
Le poids apparent N est dirigé vers le bas et sa valeur minimale est 0.
E472
2 3
2 22 3 2 3
2
2 3
22 3
2 3
4
4 4
4
4
LuneT LuneT LuneJ LuneJTerre Jupiter
LuneT Terre LuneT
LuneJ LuneJ
Jupiter
JupiterLuneT LuneT
LuneJ Terre LuneJ
Jupiter LuneT
Terre LuneJ
T RGM
T R T RGM GM
T GM R
T RGM
MT R
T M R
M T
M T
2 3
32 5
5
2 3
27.3 6.7 10
3.5 3.84 10
27.3 6.7323
3.5 3.84
LuneJ
LuneT
Jupiter
Terre
Jupiter
Terre
R
R
M jours km
M jours km
M
M
E50
2
6
)
0 0
2)
2 22
2 6.37 10 9.81 5060 84.4min
r
r
r
rt
t
t
t tt
t
a mg N ma
mg ma N
g a
vg a
R
v gR
Rb v
TR R
T R gv gR
T s
mg
v
Rt
x
« près de la terre » signifie que son altitude est négligeable par rapport au rayon de la terre, que le rayon de son orbite est celui de la terre et que la gravité est la même que sur terre.
Le satellite étant en chute libre, en apesateur, celà signifie que son poids apparent N est nul. Le poids réel mg est la seule force agissant sur lui.
E51
2 3
2 3
2 3
23
25 53
22 3
32 82 327
22 11
)
4.22 10 3.55 1.77 6.71 10
4)
4 4.22 1041.90 10
6.67 10 1.77 24 60 60
Europe Europe
Io Io
Europe Io Europe Io
Europe
Io
Io
a T R
T R
T R
R R T T
R km jours jour km
b T RGM
RM kg
GT
Loi de Kepler
