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MINIATURES GÉOMÉTRIQUES
SUR
UN CARRÉ
ADDENDUM III
Jean - Louis AYME 1
A B
D C
F
Q
E
P
Résumé. L'auteur propose un addendum à l'article ''Miniatures sur un carré'' en présentant 39 nouvelles miniatures. Progressivement un thème de dégage et des sous-thèmes apparaissent… Les figures sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.
Abstract. The author offers an addendum to article "Miniatures on a square" presenting 39 new miniatures. Gradually a theme appears and sub-themes come up…
The figures are all in general position and all cited theorems can all be demonstrated synthetically.
1 St-Denis, Île de La Réunion (Océan Indien, France), le 30/11/2015 ; [email protected]
2
2
Sommaire
A. Un point de vue 3
B. Des miniatures 4 1. Une relation 2. Deux perpendiculaires 3. Deux segments égaux 4. Evaluation d'un angle 5. Deux parallèles 6. Deux perpendiculaires 7. Deux segments égaux 8. Maximum d'un rapport 9. Une relation ou the british flag theorem 10. Une relation 17
11. Une relation de Miguel Ochoa Sanchez 12. Deux aires égales 13. Deux perpendiculaires 14. Un rectangle 15. Deux angles égaux 16. Deux angles égaux 17. Un rapport aux RMO 1990 Problem 3 18. Droites concourantes sur une diagonale 19. Alignement avec un sommet 20. Droites concourantes sur un côté 34
21. Droites concourantes sur une diagonale 22. Perpendiculaire à un côté 23. Aire d'un carré 24. Deux segments égaux 25. Trois cercles concourants ; un point variable sur un côté 26. Minimum d'un rapport ; un point variable sur un arc * Produit de deux segments 27. Une longueur 28. Un triangle d'or 29. Trois points alignés ; un point variable 30. Deux perpendiculaires ; un point variable sur une diagonale 49
31. Deux cercles orthogonaux ; un point variable sur une diagonale 32. Cercle circonscrit à un carré ; un point variable sur le cercle circonscrit 33. Cercle inscrit à un carré ; un point variable sur le cercle inscrit 34. Evaluation d'un angle ; un point variable sur un côté 35. Un triangle isocèle 36. Une bissectrice 37. Droites concourantes sur une diagonale 38. Deux segments égaux 39. Quatre points cocycliques 1 ; un point variable 40. Quatre points cocycliques 2 ; un point variable 60
Lexique Français-Anglais
3
3
A. UN POINT DE VUE
Les figures présentées par l'auteur lui ont fait penser à des miniatures i.e. à des images participant à l'enluminure d'un manuscrit. Pour un géomètre sensible aux formes, la figure qui lui apparaît dans une vision est celle d'un Sujet qu'on appelait autrefois "être" géométrique. En dévoilant ses traits essentiels à son regard amical, le Sujet lui laisse gracieusement entrevoir une illumination, voire un théorème. Comme cela est souvent le cas, le géomètre réagit d'une façon belliqueuse en aiguisant son regard qui devient binoculaire. Agressé visuellement, le généreux Sujet se voile dans une configuration en abandonnant un donné inerte à la raison du géomètre. Ayant perdu la vision, celui-ci choisit alors un mode de raisonnement et une méthode géométrique qui lui permettent de visualiser comme un aveugle sa propre démarche. Avec l'aide de techniques particulières qui aplanissent son chemin, il progresse vers le donné qu'il désire s'approprier. Cette démarche raisonnée prend alors l'allure d'un schéma de démonstration i.e. d'une visualisation lorsque seuls les points principaux et les relations présentes dans la configuration, sont retenus. Ce schéma logico-déductif permet alors de comprendre le cheminement et le projet du géomètre dont le désir est de faire partager avec d'autres, le résultat auquel il est parvenu.
2
2 Ayme J.-L., Mosaïque dans un carré, G.G.G. vol. 20 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
4
4
B. DES MINIATURES
1. Une relation
VISION
Figure :
A B
D C
F
Q
E
P
Traits : ABCD un carré, E le point d'intersection de (AC) et (BD), F le pied de la C-bissectrice intérieure du triangle CDE, Q le point de [CD] tel que (BQ) soit perpendiculaire à (CF) et P le point d'intersection de (BQ) et (AC). Donné : DQ = 2.EP. 3
VISUALISATION
A B
D C
F
Q
E
P
R
• Notons R le point d'intersection de la parallèle à (AB) issue de E avec (BQ). • (CF) étant à la foi la C-bissectrice intérieure et la C-hauteur de CPQ, CPQ est C-isocèle. • Le triangle EPR ayant deux angles à base égaux est E-isocèle ; en conséquence, ER = EP • D'après Thalès ''La droite des milieux'' appliqué au triangle BDQ, DQ = 2.ER. 3 Challenging Geometry Problem, AoPS du 18/10/2015 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c4t48f4h1153127_challenging_geometry_problem
5
5
• Conclusion : par substitution, DQ = 2.PE. 2. Deux perpendiculaires
Point variable sur un côté
VISION Figure :
A B
D C
M
N
Traits : ABCD un carré, et M, N deux points resp. de [AB], [AD] tels que BM = AN. Donné : (CM) est perpendiculaire à (BN). 4
VISUALISATION
A B
D C
M
N
• D'après ''Le théorème c.a.c. '', les triangles rectangles ABN et BCM sont égaux. • Conclusion : ABN et BCM ayant deux couples de côtés homologues perpendiculaires, (CM) est perpendiculaire à (BN).
3. Deux segments égaux
4 Geometry, AoPS du 04/06/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1097037_geometry
6
6
Point variable sur un côté
VISION Figure :
A B
D C
P
Q
R
S
Traits : ABCD un carré, P, Q, R trois points resp. de [AD], [AB, [BC] et S le point d'intersection de la perpendiculaire à (PR) issue de Q avec (CD). Donné : SQ = PR. 5
VISUALISATION
A B
D C
P
Q
R
S
X
Y
• Notons X le pied de la perpendiculaire à (AB) issue de S et Y le pied de la perpendiculaire à (BC) issue de P. • Scolies : (1) par ''Angles à côtés perpendiculaires'', <QSX = <RPY (2) par construction, SX = PY. • D'après ''Le théorème a.c.a. '', les triangles rectangles XSQ et YPR sont égaux, • Conclusion : SQ = PR. 4. Evaluation d'un angle
5 Prove this equality for a square, AoPS du 28/06/2015 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1120768_prove_this_equality_for_a_square
7
7
VISION
Figure :
A B
D C
P
Q
Traits : ABCD un carré et P, Q deux points resp. de [BC], [CD] tels que <BPA = <APQ. Donné : évaluer en degré <PAQ. 6
VISUALISATION
A B
D C
P
Q
I
• Notons I le centre de CPQ. • Scolies : (1) A est le C-excentre du triangle C-rectangle CPQ (2) le cercle de diamètre [IA] passe par P et Q. • Une chasse angulaire en radian : * le quadrilatère APIQ étant cyclique, <PAQ = π - <QIP * nous savons que <QIP = π/2 + ½.<QCP * par substitution, <PAQ = π/4. • Conclusion : <PAQ = 45°.
6 Geometry easy, AoPS du 13/06/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c4t48f4h1101261_geometry_easy
8
8
5. Deux parallèles
Bundeswettbewerb Mathematik (2019), Round 1 - Problem 3
Point variable sur un côté
VISION
Figure :
A B
D C
M
N
Q
P 0
45
Traits : ABCD un carré, 0 le cercle circonscrit à ABCD, M, N deux points resp. de [BC], [CD] tels que <MAN = 45° et P, Q les points d'intersection resp. de (AM), (AN) avec 0. Donné : (MN) est parallèle à (PQ). 7
VISUALISATION
A B
D C
M
N
Q
P 0
45
L
1
2
3
4
5
6
7 Geometry in a square , AoPS du 19/05/2015
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1091047_geometry_in_a_square Geometry with circle, square and parallel lines, AoPS du 05/08/2019 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1889221_geometry_with_circle_square_and_parallel_lines
9
9
• Notons L le point d'intersection de (BQ) et (DP). • D'après Pascal ''Hexagramma mysticum'' 8, (MLN) est la pascale de l'hexagone cyclique APDCBQA.
A B
D C
M
N
Q
P 0
45
L
• Scolie : PQ = CD • Le quadrilatère PCQD étant un trapèze, (PD) // (CQ) ; d'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', (CQ)⊥ (AQ) ; en conséquence, (PD)⊥ (AQ).
A B
D C
M
N
Q
P 0
45
L
• Mutatis mutandis, nous montrerions que (BQ)⊥ (AP). • Scolie : L est l'orthocentre du triangle APQ.
8 Ayme J.-L., Hexagramma mysticum, G.G.G. vol. 12 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
10
10
A B
D C
M
N
Q
P 0
45
L
X
• Notons X le symétrique de L par rapport à (PA).
A B
D C
M
N
Q
P 0
45
L
X 1
2 3
4
5
6
• D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', (CX)⊥ (AX) ; par construction, (AX)⊥ (PQ) ; d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (CX) // (PQ). • D'après Aubert-Pascal ''Hexagramma mysticum'', appliqué à l'hexagone cyclique XCBQPAX, (1) (ML) en est la pascale
(2) (ML) // (PQ). • Conclusion : (MN) est parallèle à (PQ).
11
11
6. Deux perpendiculaires
Point variable sur un arc
VISION
Figure :
A B
D C
O
P F
E
H
M
0
Traits : ABCD un carré, 0 le cercle circonscrit à ABCD, P un point sur l’arc AB ne contenant par C, E, F les points d’intersection resp. de (AP) et (BC), (BP) et (AD), H le pied de la perpendiculaire à (AB) issue de P et M le milieu de [PH]. Donné : (OM) est perpendiculaire à (EF). 9
VISUALISATION
9 Perpendicular, AoPS du 29/04/2015 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1083350_perpendicular
12
12
A B
D C
O
P F
E
H
0
• Considérons le triangle PEF et la droite (AB). • H, B et A étant les pieds des perpendiculaires à (AB) issues resp. de P, E et F, Nous sommes dans la situation ‘’Orthopôle’’étudiée par Joseph Neuberg. 10
A B
D C
O
P F
E
H
0
Q
• Notons Q l’antipôle de P relativement à 0. • D’après Thalès ‘’Triangle inscriptible dans un demi-cercle’’, (1) (QA) ⊥ (APE) (2) (QB)⊥ (BPF). • Conclusion partielle : (QH)⊥ (EF).
10 Ayme J.-L., Orthopôle d'une droite relativement à un triangle, G.G.G. vol. 8, p. 4-5 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
13
13
A B
D C
O
P F
E
H
M
0
Q
• D’après Thalès ‘’La droite des milieux’’ appliqué au triangle HPQ, (OM) // (QH) ; d’après l’axiome IVa des perpendculaires, (OM)⊥ (EF). • Conclusion : (OM) est perpendiculaire à (EF).
7. Deux segments égaux
Point variable sur un côté
VISION
Figure :
A B
D C P
Q
R
Traits : ABCD un carré, P un point de [CD], Q le point d'intersection de la B-bissectrice intérieure de <PBA avec (AD) et R le symétrique de P par rapport à (BQ). Donné : RP = QB. 11
11 Ayme J.-L.,
14
14
VISUALISATION
A B
D C P
Q
R S
• Scolies : (1) R est sur (AB)
(2) (RP)⊥ (BQ). • Notons S le pied de la perpendiculaire à (AB) issue de P. • Une chasse angulaire : * par ''Angle à côtés perpenciculaires'', <RPS = <QBA. • D'après ''Le théorème a.c.a. '', les triangles SPR et ABQ sont égaux. • Conclusion : RP = QB. 8. Maximum d'un rapport
Point variable sur un côté
VISION
Figure :
A B
D C P
Q
Traits : ABCD un carré, P un point de [CD] et Q le point d'intersection de la B-bissectrice intérieure de <PBA avec (AD).
15
15
Donné : max BQ/PQ. 12
VISUALISATION
A B
D C P
Q
R
• Notons R le symétrique de P par rapport à (BQ). • Scolie : QP = QR. • D'après Problème 7, RP = QB. • Par une autre écriture : BQ/PQ = PR/PQ. • Une chasse d'inégalités : * par ''Inégalité triangulaire’'' appliqué au triangle QPR, PR ≤ PQ + QR * par substitution, PR ≤ 2.PQ * par transposition, PR/PQ ≤ 2. • Conclusion : max BQ/PQ = 2. Scolies : (1) position de Q
A B
D C
Q
P
R
a/2
x a
• Conclusion : l'égalité se réalise si Q est le milieu de [PR] ou encore de [AD].
12 Ayme J.-L., Searching a geometrical proof, AoPS du 28/10/2015 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1156773_searching_a_geometrical_proof
16
16
(2) Position de P
• Notons a, s les longueurs resp. de [AB], [AR]. • Par une relation métrique dans le triangle Q-rectangle QBR, AQ² = AR.AB par développement et simplification, a = 4x • Conclusion : sachant que AR = QP, P est le premier quart-point de [DC] à partir de D. 9. Une relation ou the british flag theorem
Point variable dans un carré
VISION Figure :
A B
D C
P
Traits : ABCD un carré et P un point. Donné : PA² + PC² = PB² + PD². 13
VISUALISATION
A B
D C
P
Y
X • Notons X, Y les points d'intersection de la parallèle à (AD) issue de P resp. avec (AB), (CD).
13 Geometry easy, AoPS du 13/06/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c4t48f4h1101261_geometry_easy Point in the interior of a square identity., AoPS du 09/07/2019 ;
https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1871557_point_in_the_interior_of_a_square_identity
17
17
• Conclusion : par application du théorème de Pythagore, PA² + PC² = PB² + PD². Scolie : le résultat reste inchangé si P est extérieur au carré. 10. Une relation
Point variable à l'extérieur du carré
VISION Figure :
C
A
O
D
B
P
Q
Traits : ABCD un carré, O le centre de ABCD, P un point extérieur à ABCD, et Q le pied de la perpendiculaire à (BD) issue de P. Donné : QD² - QB² = 4.OB.OQ. 14
VISUALISATION • Une chasse d'égalités :
* par la technique de la difference, QD – QB = 2.OB * par la technique de la somme, QD + QB = 2.QO.
• Conclusion : par identité remarquable, QD² - QB² = 4.OB.OQ. 14 Tudosi M., MN^2-PQ^2=4[ABCD], AoPS du 27/09/2015 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1145954_mn2pq24abcd
18
18
11. Une relation de Miguel Ochoa Sanchez
VISION Figure :
D
A B
C
M
P Q
N
Traits : ABCD un quadrilatère convexe, et APDM, CQBN deux carrés comme indiqués sur la figure. Donné : MN² - PQ² = 4.[ABCD]. 15 Commentaire : une preuve métrique peut être vue sur le site de l'auteur. 16 12. Deux aires égales
Baltic Way 2014, Problem 13
VISION
Figure :
15 Miguel Ochoa Sanchez, MN^2-PQ^2=4[ABCD], AoPS du 27/09/2015 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1145954_mn2pq24abcd 16 Ayme J.-L., Le résultat de Michel Ochoa Sanchez, G.G.G. vol. 32 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
19
19
A B
D C
M
G H
0
Traits : ABCD un carré, 0 le cercle circonscrit à ABCD, M le milieu de l'arc AB ne contenant pas C et H, G les points d'intersection resp. de (MC) et (BD), (MD) et (AC). Donné : [ABH] = [DHG]. 17
VISUALISATION
A B
D C
M
G H
X
Td0
1
2
3
4
5
6
• Notons Td la tangente à 0 en D et X le point d'intersection de (AB) et (MD). • Scolie : Td // (AC). • D'après Carnot ''Pentagramma mysticum'' appliqué à l'hexagone dégénéré ACMD Td BA, (1) (HX) en est la Pascale
17 Triangles with equal areas, AoPS du 11/11/2014 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h613451 areas in square, AoPS du 19/09/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1143343_areas_in_square
20
20
(2) (HX) // (AC).
A B
D C
M
G H
X
Td0
Tb
1
• Notons Tb la tangente à 0 en B. • Scolie : Tb, Tc et (HX) sont parallèles entre elles. • Le cercle 0, les points de base D et A, les moniennes naissantes (BDH) et (BAX), les parallèles Tb et (HX), conduisent au théorème 1'' de Reim ; en consequence, D, A, H et X sont cocycliques. • Notons 1 ce cercle de diametre [DX].
A B
D C
M
G H
X
0
1
• D''après ''Le théorème de l'angle inscrit'', <XAH = <XDH ou encore <BAH = <GDH
21
21
A B
D C
M
G H
X
0
Tm1
2
3
4
5
6
• Notons Tm la tangente à 0 en M. • Scolie : Tm // (AB). • D'après Carnot ''Pentagramma mysticum'' appliqué à l'hexagone dégénéré Tm CABDM, (1) (HG) en est la Pascale (2) (HG) // (AB). • D'après ''Le théorème des angles à côtés parallèles'', <ABH = <GHD. • Conclusion partielle : les triangle ABH et DHG sont semblables.
A B
D C
M
G H
X
0
1
• Scolies : (1) G est l'orthocentre du triangle DAH (2) G est sur la D-hauteur de DAH (3) DAH étant D-isocèle, DH =DA (= AB).
22
22
(4) les triangle semblables ABH et DHG ayant deux côtés égaux, sont égaux. • Conclusion : [ABH] = [DHG]. 13. Deux perpendiculaires
Point variable sur un côté
VISION Figure :
A B
D C
P
Q
H
Traits : ABCD un carré, P un point de [AB], Q le point de (BC) tel que Q, B, C soient dans cet ordre et BQ = BP et H le pied de la perpendiculaire à (CP) issue de Q. Donné : (HB) est perpendiculaire à (HD) 18.
VISUALISATION
18 Ayme J.-L., Two perpendicular lines in a square, AoPS du 08/11/2015 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1160654_two_perpendicular_lines_in_a_square
23
23
A B
D C
P
Q
H
0
1
2
45
45
• Notons 0 le cercle circonscrit à ABCD ; il a pour diameter [BD] ;
1 le cercle de diameter [CQ] ; il passé par H ; et 2 le cercle de diameter [PQ] ; il passé par B et H.
• Scolies : <DBA = 45° et <BQP = 45°. • D'après ''Le théorème de la tangente'', (DB) est tangente à 2 en B. • D'après Miquel ''Le théorème du pivot'' 19 appliqué au triangle BCD et aux cercles 2, 1 et 0, 0 passe par H. • Conclusion : d'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', (HB) est perpendiculaire à (HD). 14. Un rectangle
Point variable sur le cercle circonscrit
VISION Figure :
19 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 4-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
24
24
A B
D C
O M
0
Q
R
P
S
T
Traits : ABCD un carré, 0 le cercle circonscrit à ABCD, O le centre de 0, M un point de 0, Q, R les points d'intersection de (MC) resp. avec (AB), (DB), P, S les points d'intersection de (MD) resp. avec (AC), (AB), et T les points d'intersection de (SR) et (PQ). Donné : le quadrilatère OPTR est un rectangle. 20
VISUALISATION
A B
D C
O M
0
Q
R
P
S
T
Tc
1
2
3
4
5
6
• Notons Tc la tangent à 0 en C.
20 Help with geometry, AoPS du 24/05/2015 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c4t48f4h1093206_help_with_geometry
25
25
• D'après Aubert-Carnot ''Pentagramma mysticum'' appliqué à l'hexagone dégénéré AC Tc MDBA, (1) (PQ) en est la pascale (2) (PQ) // (BD).
A B
D C
O M
0
Q
R
P
S
T
Td
1
2
3 4
5
6
• Notons Td la tangente à 0 en D. • D'après Aubert-Carnot ''Pentagramma mysticum'' appliqué à l'hexagone dégénéré ACMD Td BA, (1) (RS) en est la pascale (2) (RS) // (AC). • Conclusion : (AC) étant perpendiculaire à (BD), le quadrilatère OPTR est un rectangle. 15. Deux angles égaux
Point variable sur une diagonale
VISION
Figure :
A B
D C
O
M
S
X
26
26
Traits : ABCD un carré, O le point d'intersection de [AC] et [BD], M un point de [OB], S le point de [AB] tel que <SMB = <BAM et X le milieu de [SC]. Donné : <XMC = <SMB 21.
VISUALISATION
A B
D C
O
M
S
X
1
• Notons 1 le cercle circonscrit au triangle AMS. • D'après ''Le théorème de la tangente'', 1 est tangent à (BD) en M.
A B
D C
O
M
S
X
1
2
Y
Z
• Notons 2 le cercle circonscrit au triangle CMS et Y, Z les seconds points d'intersection de (AB), (BD) avec 2. • Les cercles 1 et 2, les points de base S et M, les moniennes (ASY) et (MMZ), conduisent au théorème 3 de Reim ; il s'en suit que (AM) // (YZ).
21 geo. Square, AoPS du 01/06/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1096044_geo_square
27
27
• Une chasse angulaire : * par symétrie d'axe (BD), <ZMC = <AMZ * par ''Angles alterne-interne'', <AMZ = <YZM * par transitivité de =, <ZMC = <YZM. • Le quadrilatère MZYC cyclique étant un trapeze isocèle, (CY) //(MZ). • Scolie : le triangle BCY est B-rectangle isocèle.
A B
D C
O
M
S
X
1
2
U
Tc
Ts
Y
T
1
2
3
4 5
6
• Notons Tc, Ts les tangents à 2 resp. en C, S, U le point d'intersection de Tc et Ts, et T le second point d'intersection de (BC) avec 2.
• Le triangle BCY étant B-rectangle isocèle, le quadrilatère cyclique CSTY est un trapèze ; en consequence, (ST) // (CY). • D'après Aubert-MacLaurin ''Tetragramma mysticum'' appliqué à l'hexagone dégénéré Tc YS Ts YC, (1) (BU) en est la pascale (2) (BU) // (CY) i.e. (BU) // (BD) (3) U est sur (BD). • Par definition d'une symédiane, (MB) est la M-symédiane de MCS.
A B
D C
O
M
S
X
28
28
• Conclusion : <XMC = <SMB. 16. Deux angles égaux (bis)
Point variable sur une diagonale
VISION Figure :
A B
D C
M
S
F 1
Traits : ABCD un carré, M un point de [BD], 1 le cercle passant par A et tangent à (BD) en M S le second point d'intersection de 1 avec (AB) et F le milieu de [CS]. Donné : <BAM = <FMC. 22 Commentaire : une variante dans la visualisation
VISUALISATION
22 square problem, AoPS du 10/12/2015 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t46222f6h1172453_square_problem
29
29
A B
D C
M
S
F 1
• D'après ''le théorème de la tangente'', <SMB = <BAM.
A B
D C
M
S
F 1
N
• Notons N le symétrique de C par rapport à M. • Par symétrie d’axe (BD), MA = MC ; par hypothèse, MC = MN : par transitivité de =, MA = MN. • Le triangle ACN étant A-rectangle, (AN) ⊥ (AC) ; par hypothèse, (AC) ⊥ (BMD) ; d'après l'axiome IVa des perpendiculaires, (AN ) // (BMD). • Conclusion partielle : N est sur 1. • D'après Thalès ''La droite des milieux'' appliqué au triangle CNS, (NS) // (MF).
30
30
A B
D C
M
S
F 1
N
• Une chasse angulaire :
* par une autre écriture, <BAM = <SAM * par ''le théorème de l'angle inscrit'', <SAM = <SNM * par ''Angles correspondants'', <SNM = <FMC.
• Conclusion : par transitivité de =, <BAM = <FMC Scolie : une symédiane
A B
D C
M
S
F 1
N
• Nous avons : <SMB = <FMC. • Conclusion : par définition, (MB) est la M-symédiane du triangle MCS.
31
31
17. Un rapport aux RMO 1990 Problem 3
VISION Figure :
A B
D C M
P
Traits : ABCD un carré, M le milieu [CD] et P le point d'intersection de la médiatrice de [BM] avec [BC]. Donné : PB/PC = 5/3. 23
VISUALISATION
A B
D C M
P
• Conclusion : en se referant au triangle rectangle 3-4-5 et au théorème de la médiatrice, PB/PC = 5/3. 23 RMO 1990 Problem 3, AopS du 14/10/2005 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h56050_folding
32
32
18. Trois droites concourantes ou intersection sur une diagonale
Point variable sur un côté
VISION Figure :
A B
D C
P X
E
Traits : ABCD un carré, P un point de [AD] et E, X les pieds des perpendiculaires à (PC), (BC) issues resp. de B, P. Donné : (PX), (BE) et (AC) sont concourantes. 24
VISUALISATION
A B
D C
P X
J
E
I
1
2
3
4
5
6
• Notons I, J les points d'intersection resp. de (PC) et (BD), (DX) et (AC). • Scolie : (CA) est le C-hauteur du triangle IBC. • D'après Pappus ''La proposition 139'' 25, appliqué à l'hexagone ABDXPC. (1) (IJ) en est la pappusienne (2) (IJ) // (PX).
24 Ayme J.-L., Three concurrent lines in a square, AoPS du 06/02/2016 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1195109_three_concurrent_lines_in_a_square 25 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 9-16 : http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
33
33
A B
D C
P X
J
E
I
• (IJ) étant le I-hauteur de IBC, J est l'orthocentre de IBC ; en consequence, (1) (BJ) est la B-hauteur de IBC (2) (BJ) passé par E. • Conclusion : (PX), (BE) et (AC) sont concourantes en J. 19. Alignement avec un sommet
Point variable sur un côté
VISION Figure :
A B
D C
P
E
H
Q
Traits : ABCD un carré, P un point de [AD], H l'orthocentre du triangle PBC,
E le pied de la B-hauteur de PBC, et Q le point d'intersection de (DE) et [BC]. Donné : A, H et Q sont alignés. 26
VISUALISATION
26 Geometry, AoPS du 04/02/2016 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1194075_geometry Trois points alignés dans un carré ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1214187
34
34
A B
D C
P
E
H
Q J
X
1 2
3
4
5 6
• Notons J le point d'intersection de (DX) et (AC) et X le pied de la P-hauteur de PBC. • D'après Problème 18, J est sur (BE). • Scolie : H est sur (BE).
• D'après Pappus ''La proposition 139'' 27, (JE) est la pappusienne de l'hexagone QACPXDQ. • Conclusion : A, H et Q sont alignés. 20. Droites concourantes sur un côté
Point variable sur un côté
VISION Figure :
A B
D C
P
E
H
Q
Z
Traits : ABCD un carré, P un point de [AD], H l'orthocentre du triangle PBC,
E le pied de la B-hauteur de PBC, Q le point d'intersection de (DE) et [BC], et Z le pied de la perpendiculaire à (CD) issue de H. Donné : (ZQ) et (DH) concourent sur (AB). 28
27 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 9-16 : http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 28 Ayme J.-L., Intersection on a side of a square, AoPS du 11/02/2016 ;
35
35
VISUALISATION
A B
D C
P
E
H
Q
Z
X
Y
• Notons X le pied de la P-hauteur de PBC et Y le point d'intersection de (HZ) et (AB).
A B
D C
P
E
H
Q
Z
X
Y • D'après Pappus ''Une figure plus esthétique'' 29, (AZ), (BH) et (PC) concourent en E.
A B
D C
P
E
H
Q
Z
U
1 2 3 4
5
6
• Notons U le point d'intersection de (ZQ) et (DH). • D'après Pappus ''La proposition 139'' 30, (UBA) est la pappusienne de l'hexagone ZQ (QC) (AD) HEZ de frontières (HZ) et (DQ). • Conclusion : (ZQ) et (DH) concourent sur (AB).
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1197223_intersection_on_a_side_of_a_square
29 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 21 : http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 30 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 18 : http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
36
36
21. Droites concourantes sur une diagonale
Point variable sur un côté
VISION Figure :
A B
D C
P H
Z
Y
X
Traits : ABCD un carré, P un point de [AD], H l'orthocentre du triangle PBC,
E le pied de la B-hauteur de PBC, Q le point d'intersection de (DE) et [BC], X le pied de la P-hauteur de PBC et Z, Y les pieds des perpendiculaires à (CD), (AB) issue de H Donné : (PY), (XZ) et (BD) sont concourantes.
VISUALISATION • Conclusion : d'après Pappus ''Une figure plus esthétique'' 31, (PY), (XZ) et (BD) sont concourantes. 22. Perpendiculaire à un côté
Point variable sur un côté
VISION Figure :
31 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 21 : http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
37
37
A B
D C
P
E
H
Q
Z
U Y
V Traits : ABCD un carré, P un point de [AD], H l'orthocentre du triangle PBC,
E le pied de la B-hauteur de PBC, Q le point d'intersection de (DE) et [BC], Z, Y les pieds des perpendiculaires à (CD), (AB) issue de H et U, V les points d'intersection de (ZQ) et (AB), (PY) et (BD). Donné : (UV) est perpendiculaire à (AB). 32
VISUALISATION
A B
D C
P H
Z
Y
V
X
• Notons X le pied de la P-hauteur de PBC • D'après Problème 21, (XZ) passé par U.
32 Ayme J.-L., Perpendicular to a side of a square, AoPS du 14/02/2016 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1198284_perpendicular_to_a_side_of_a_square Les-Mathématiques.net ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1217065
38
38
A B
D C
P
E
H
Q
Z
U Y
V
X
• D'après Problème 19, A, H et Q sont alignés. • D'après Desargues ''Le théorème des deux triangles'' 33 appliqué aux triangles perspectifs UVY et QXH de centre Z, (PA) en est l’arguésienne. • (PA) étant parallèle à (QX), (UV) // (QX) ; par hypothèse, (QX)⊥ (AB) ; en conséquence, (UV)⊥ (AB). • Conclusion : (UV) est perpendiculaire à (AB). 23. Aire d’un carré
VISION Figure :
A B
D C
P
Traits : ABCD un carré et P le point intérieur à ABCD tel que PA = 2, PC = 4, PD = 3. Donné : aire de ABCD. 34
33 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 40-43 : http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
39
39
VISUALISATION
A B
D C
P
• D'après Problème 9, PB² = 11.
A B
D C
P Q
• Notons Q le point d'intersection de la parallèle à (PA) issue de B avec la parallèle à (PD) issue de C.
• Scolie : le quadrilatère PBQC est en anglais ''a midsquare quadrilatéral'' 35 i.e. vérifiant BC = PQ.
34 Find area of quare, AoPS du 09/03/2016 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c4t48f4h1209325_find_area_of_quare Aire d’un carré, Les-Mathematiques.net ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/list.php an easy geometric problem, AoPS du 31/03/2015 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t130f6h1072211_an_easy_geometric_problem
35 https://en.wikipedia.org/wiki/Equidiagonal_quadrilateral#Relation_to_other_types_of_quadrilaterals
40
40
A B
D C
P Q
a b
c d
x
x
• Notons PB = a, BQ = b, QC = c, CP = d, BC = x. • D'après la formule de Josefsson Martin 36, 4. Aire (ABCD) = a² + c² + √ [4(a²c² + b²d²) – (a² + c²)²] • Conclusion : par substitution, Aire (ABCD) = 5 + 3√7. 24. Deux segments égaux
VISION Figure :
B
D C
A
E
F
Traits : ABCD un carré, E le milieu de [AD], et F le pied de la perpendiculaire à (CE) issue de B.
Donné : AF = AB. 37
VISUALISATION
36 Josefsson, Martin, "Properties of equidiagonal quadrilaterals", Forum Geometricorum, 14 (2014), 129-144 ; http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201412.pdf 37 Geometry problems, AoPS du 10/05/2016 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1240622_geometry_problems
41
41
B
D C
A
E
F
X
• Notons X le point d'intersection de (CE) et (AB). • Scolie : A est le milieu de [BX]. • Conclusion : le triangle FBX étant F-rectangle, AF = AB. 25. Trois cercles concourants
Telv Cohl
Un point variable sur un côté
VISION
Figure :
M
A B
D C
O
Traits : ABC un carré, O le centre de ABCD, M un point de [CD] et 1, 2, 3 les cercles circonscrits resp. aux triangles MAD, MBC, OAB. Donné : 1, 2 et 3 sont concourants. 38 38 Telv Cohl, (XYZ) and (AD) are tangent, AoPS du 29/04/2015 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1083361_xyz_and_ad_are_tangent
42
42
Commentaire : un résultat immédiat.
VISUALISATION
• Scolie : 3 a pour diamètre [AB]. • Conclusion : d'après Miquel ''Le théorème du pivot'' 39 appliqué au triangle CDO avec M sur (CD), A sur (DO), B sur (OC),
1, 2 et 3 sont concourants. 26. Minimum d'un rapport
Un point variable sur un arc * Produit de deux segments
VISION Figure :
A B
D C
M
0
Traits : ABCD un carré, 0 le cercle circonscrit à ABCD, et M un point de l'arc AB. Donné : minimum de (MC.MD)/(MA.MB). 40
VISUALISATION
39 Ayme J.-L., Auguste Miquel, vol. 13, p. 4-6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 40 Panagiote Ligoura, Problema J286, Mathematical Reflection 6 (2013) ; https://www.awesomemath.org/mathematical-reflections/
43
43
A B
D C
O
M
0
P
Q
R
• Notons O le centre de 0 et P, Q les pieds des perpendiculaires à (AB), (CD) issues de M. • Une chasse de longueurs : * MC.MD = 2.MO.MQ. (Cf. ?????) * MA.MB = 2.MO.MP * (MC.MD)/(MA.MB) = MQ/MP. * MQ/MP = 1 + PQ/MP. • Conclusion : PQ étant constant et égal au côté de ABCD,
MQ/MP est minimum lorsque M est le milieu de l'arc AB. 27. Une longueur
VISION Figure :
A B
D C
P
2 1
Traits : ABCD un carré, 1 le cercle de diamètre [AD], 2 le quart de cercle de centre C limité par B et D, et P le second point d'intersection de 1 et 2.
44
44
Donné : PB = √2.PA. 41 Commentaire :
VISUALISATION
A B
D C
2
1
P
E
Te
• Notons E le second point d'intersection de (CD) avec le cercle 2,
et Te la tangente à 2 en E • Scolie : (AD) // Te. • Les cercles 1 et 2, les points de base D et P, la monienne (DDE), les parallèles (AD) et Te, conduisent au théorème 1' de Reim ; en conséquence, A, P et E sont alignés.
A B
D C
2
1
P
E
Te
45
45
41 Abdilkadir Altintas, Problema 3745, Mathematics teacher, Emirdag, Turquie
45
45
• D'après ''Le théorème de l'angle inscrit'', <BPE = <BDE ; par une autre écriture, <BDE = <BDC ; par transitivité de =, <BPE = <BDC (= 45°).
A B
D C
2
1
P
E
Te
45
Q X
• Notons X le milieu de [BC] et Q le pied de la perpendiculaire à (AP) issue de B.
• Scolie : (AP) passe par X. • Conclusion partielle : le triangle QPB étant Q-rectangle et isocèle, d'après ''le théorème de Pythagore'', PB = √2.PQ.
A B
D C
2
1
P
E
Te
45
Q X
Y
• Notons Y le milieu de [AB]. • D'après Problème 2, (DP) passe par Y.
46
46
• D'après Thalès ''La droite des milieux'' appliqué au triangle ABQ, P est le milieu de [AQ] ; en conséquence, PQ = PA. • Conclusion : par substitution, PB = √2.PA. 28. Un triangle d'or
VISION Figure :
A B
D C
P
Q
T
Traits : ABCD un carré tel que AB = 2√5, P, Q les milieux resp. de [AB], [BC] et T le point d'intersection de (CP) et (DQ). Donné : le triangle TDP est d'or. 42 Commentaire : une variante de 2. Problème 8
VISUALISATION
A B
D C
P
Q
T
• D'après Problème 2, TDP est T-rectangle.
42 Paul Yiu, Problema 695, Recreational Mathematics (2003) 435
47
47
A B
D C
P
Q
T
• Par symétrie d'axe (BD), DP = DQ. • D'après Pythagore appliqué au triangle C-rectangle CDQ, DQ = 5. • Conclusion partielle : DP = 5. • D'après une relation métrique appliqué au triangle C-rectangle CDQ, DC² = DT.DQ. • Conclusion partielle : DT = 4. • D'après Pythagore appliqué au triangle T-rectangle TDP, PT = 3. • Conclusion : le triangle TDP est d'or. 29. Trois points alignés
St. Petersburg MO 1996, 3rd Round, 11th grade
Un point variable
VISION Figure :
48
48
A B
D C
A'
C'
K
L
M
Traits : ABCD un carré, A', C' deux points de (BD) tels que (AA') soit parallèle à (CC'), K un point de (A'C), L le point d'intersection de (AK) et (CC'), et M le point d'intersection de la parallèle à (BC) issue de K
et de la parallèle à (BD) issue de C. Donné : D, M et L sont alignés. 43
VISUALISATION
A B
D C
A'
C'
K
L
M
43 A parallelogram and three collinear points, AoPS du 12/04/2016 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1226583_a_parallelogram_and_three_collinear_points
49
49
• Scolie : les triangles KCM et AC'D sont homothétiques et non égaux. • Conclusion : d'après Thalès ''Le théorème faible'' 44 appliqué aux triangle homothétiques KCM et AC’D, D, M et L sont alignés 30. Deux perpendiculaires
Un point variable sur une diagonale
VISION Figure :
A B
D C
M 1
N
Traits : ABCD un carré, M un point de [BD], 1 le cercle centré en M, passant par A et N le point d'intersection de 1 et (BC). Donné : (MN) est perpendiculaire à (MA). 45
VISUALISATION
44 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus, G.G.G. vol. 6, p. 6-10 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 45 Deux perpendiculaires dans un carré, Les-Mathematiques.net du 17/05/2016 ;
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1272027 Two perpendicular in a square, AoPS du 17/05/2016 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1243752_two_perpendicular_in_a_square
50
50
A B
D C
M 1
N
45
• Scolie : <ACB = 45° i.e. <ACN = 45°. • D'après ''Angle au centre et angle inscrit'', <AMN = 2.<ACN. • Conclusion : (MN) est perpendiculaire à (MA). 31. Deux cercles orthogonaux
Un point variable sur une diagonale * Deux cercles orthogonaux
VISION Figure :
A B
D C
M
K
N
1
2
Traits : ABCD un carré, M un point de [BD], K, N les points d'intersection de (AM) resp. avec (CD), (BC), 1 le cercle de centre M passant par A et 2 le cercle circonscrit au triangle KCN.
51
51
Donné : 2 est orthogonal à 1. 46
VISUALISATION
A B
D C
M
K
N
P
1
2
X
Y
3
Pm
• Notons P le second point d'intersection de 1 et 2, Pm la perpendiculaire à (AK) en M, X le point d'intersection de Pm et (BC), 3 le cercle de diamètre [KX] ; il passe par M ; et Y le second point d'intersection de Pm avec 1. • D'après Auguste Miquel ''Le théorème du pivot'' 47
appliqué au triangle YMN de pivot C avec X sur (YM), K sur (MN) et P sur (NY), Y, P et N sont alignés. • Conclusion : [XY] étant un diamètre de 1,
d'après Nathan Court-Altshiller 48, 2 est orthogonal à 1. 32. Cercle circonscrit à un carré
Un résultat de l'auteur ; un point variable sur le cercle circonscrit
VISION
Figure :
46 Parallelogram Geo, AoPS du 13/02/2016 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c4t48f4h1197881_parallelogram_geo 47 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 4-7 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 48 Altshiller-Curt N., Note on the orthocentric tetrahedron, American Mathematical Monthly (34) 500-501
52
52
A B
D C
M
0
Traits : ABCD un carré, 0 le cercle circonscrit à ABCD, R le rayon de 0 et M un point de 0. Donné : MA².MC² + MB².MD² = 4.R^4. 49
Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 50 33. Cercle inscrit à un carré
un point variable sur le cercle inscrit
VISION
Figure :
A B
D C M
1
Traits : ABCD un carré, 1 le cercle inscrit à ABCD, r le rayon de 1 49 Geometry with square, AoPS du 19/02//2016 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1200685_geometry_with_square 50 Ayme J.-L., Cercles circonscrit et inscrit à un carré, G.G.G. vol. 27, p. 2-4 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
53
53
et M un point de 1. Donné : MA².MC² + MB².MD² = 10.r^4. 51 Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 52 34. Deux segment égaux
Un point variable sur un côté
VISION Figure :
A B
D C
E
G
F
K
Traits : ABCD un carré, E un point de [BC], G le point d'intersection de [AE] et [BD], F le point d'intersection de la perpendiculaire à (AE) en G avec (CD) et K le point d'intersection de (GF) et (AB). Donné : AK = EF.
VISUALISATION
A B
D C
E
G
F
K
1
51 Geometry with square, AoPS du 19/02//2016 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1200685_geometry_with_square Aide pour une évaluation, Les-Mathématiques.net ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/list.php?8
52 Ayme J.-L., Cercles circonscrit et inscrit à un carré, G.G.G. vol. 27, p. 2-4 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
54
54
• D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', la quadrilatère ADFG est cyclique. • Notons 1 ce cercle.
A B
D C
E
G
F
K
1
2
• Notons 2 le cercle circonscrit au triangle GBK. • Scolie : (DF) // (BK). • Le cercle 1, le point de base G, les moniennes naissantes (DGB) et (FGK), les parallèles (DF) et (BK), conduisent au théorème 7'' de Reim ; en conséquence, 2 est tangent à 1 en G. • D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', le quadrilatère BEDK est cyclique ; en conséquence, 2 passe par E.
A B
D C
E
G
F
K
1
2
• Les cercles 1 et 2, le point de base G, les moniennes (AGE) et (FGK), conduisent au théorème 7 de Reim ; il s'en suit que (AF) // (EK).
A B
D C
E
G
F
K
1
2
• D'après ''Le théorème de l'angle inscrit'', <AFG = <ADG (= 45°) ; en conséquence, le trapèze AFEK est isocèle.
55
55
• Conclusion : AK = EF. Scolie : <EKF = 45°.
35. Un triangle isocèle
VISION
Figure :
D
A
C
B
E
F
Traits : ABCD un carré, E le point intérieur à ABCD tel que le triangle BCE soit équilatéral, et F le point d'intersection de (AE) et (BD).
Donné : le triangle DEF est D-isocèle. 53 Commentaire : une simple chasse angulaire permet d'obtenir le résultat.
36. Une bissectrice
VISION
Figure :
53 Ayme J.-L., Geometry problem, AoPS du 10/05/2016 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1240448_geometry_problem
56
56
B
D C
A
1b
1c1d
G
M
Traits : ABCD un carré, 1b, 1c, 1d trois cercles centrés en B, C, D passant resp. par C, B, A et G, M les seconds points d'intersection de 1c resp. avec 1b, 1d.
Donné : (CM) est la C-bissectrice intérieure du triangle CBG. 54 Commentaire : la symétrie d'axe (AC) permet d'obtenir le résultat. 37. Droites concourantes sur une diagonale
VISION Figure :
B
D C
A
1b
1c1d
G
M
Traits : ABCD un carré, 1b, 1c, 1d trois cercles centrés en B, C, D passant resp. par C, B, A et G, M les seconds points d'intersection de 1c resp. avec 1b, 1d.
Donné : (BG), (DM) et (AC) sont concourantes. 55 54 Ayme J.-L., A bissector, AoPS du 11/05/2016 ; http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1240917_a_bissector 55 Ayme J.-L., In a square , prove or disprove
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h1240943_in_a_square_prove_or_disprove
57
57
Commentaire : la symétrie d'axe (AC) permet d'obtenir le résultat. 38. Deux segments égaux
VISION Figure :
A B
D C
G
E
F
1a
Traits : ABCD un carré, G le point intérieur à ABCD tel que le triangle BCG soit équilatéral, 1a le cercle de centre A passant par C, E le second point d'intersection de (AG) avec 1a, et F le point d'intersection de (BG) et (AC).
Donné : BF = CE. 56
VISUALISATION
A B
D C
G
E
F
1a
H
56 Geometry problem, AoPS du 10/05/2016 ;
http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1240448_geometry_problem Deux segments égaux dans un carré, Les-Mathematiques.net ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1269431
58
58
• Notons H le point d'intersection de (BD) et (CG). • D'après Problème 35, les triangles AFG, DHG sont resp. A, D-isocèles, voire égaux ; en conséquence, GF = GH.
A B
D C
G
E
F
1a
H
• Le triangle GFH étant équilatéral, (AH) est l’axe de symétrie du trapèze isocèle GFCE ; en conséquence, (FH) passe par E.
A B
D C
G
E
F
1a
H
• Le trapèze BFHC étant isocèle, BF = CH ; • Le trapèze GFCE étant isocèle, CH = EH ; le triangle HCE étant équilatéral, CH = CE • Conclusion : par transitivité de la relation =, BF = CE. 39. Quatre points cocycliques 1
un point variable
VISION
59
59
Figure :
B
D C
A
O M
A'
B'
C'
D'
Traits : ABCD un carré, O le centre de ABCD, M un point et A', B', C', D' les pieds des perpendiculaires à (MB), (MC), (MD), MA)
issues resp. de A, B, C, D.
Donné : A', B', C', D' et O sont cocycliques. 57
VISUALISATION
B
D C
A
O M
A'
B'
C'
D'N
• Notons N le point d'intersection de (AA') et (CC'). • D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', A' et C' sont sur le cercle de diamètre [MN]. • Notons 1 ce cercle. • D'après Thalès ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', B' et D' sont sur 1.
57 Poulbot, Un carré et deux cercles, Les-Mathematiques.net ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1270179
60
60
• Notons 2, 3 les cercles de diamètre resp. [AB], [BC]. • Scolie : 2 et 3 passent par O. • D'après Auguste Miquel ''Le théorème du pivot'' 58 appliqué au triangle NAB avec A' sur (NA), B sur (AB) et B' sur (BN), 1, 2 et 3 sont concourant en O. • Conclusion : A', B', C', D' et O sont cocycliques. 40. Quatre points cocycliques 2
un point variable
VISION Figure :
58 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 4-7 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/
61
61
A B
D C
O M
A"
B''C''
D''
Traits : ABCD un carré, O le centre de ABCD, M un point, et A'', B'', C'', D'' les pieds des perpendiculaires à (MD), (MA), (MB), MC)
issues resp. de A, B, C, D,
Donné : A'', B'', C'', D'' et O sont cocycliques. 59
VISUALISATION
A B
D C
O M
A"
B'' C''
D''1*
P
• Notons P le point d'intersection de (AA'') et (CC''), et 1* le cercle de diamètre de [MP]. • Conclusion : d'après Problème 39,
mutatis mutandis, nous montrerions que A'', B'', C'', D'' et O sont sur 1*.
59 Poulbot, Un carré et deux cercles, Les-Mathematiques.net ; http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?8,1270179
62
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LEXIQUE
FRANÇAIS - ANGLAIS A aligné collinear annexe annex axiome axiom appendice appendix adjoint associate a propos by the way btw acutangle acute angle axiome axiom B bissectrice bisector bande strip C centre incenter centre du cercle circonscrit circumcenter cercle circonscrit circumcircle cévienne cevian colinéaire collinear concourance concurrence coincide coincide confondu coincident côté side par conséquence consequently commentaire comment D d'après according to donc therefore droite line d'où hence distinct de different from
E extérieur external F figure figure H hauteur altitude hypothèse hypothesis I intérieur internal identique identical i.e. namely incidence incidence L lemme lemma lisibilité legibility M mediane median médiatrice perpendicular bissector milieu midpoint
N Notons name nécessaire necessary note historique historic note O orthocentre orthocenter ou encore otherwise P parallèle parallel parallèles entre elles parallel to each other parallélogramme parallelogram pédal pedal perpendiculaire perpendicular pied foot point de vue point of view postulat postulate point point pour tout for any Q quadrilatère quadrilateral R remerciements thanks reconnaissance acknowledgement respectivement respectively rapport ratio répertorier to index S semblable similar sens clockwise in this order segment segment Sommaire summary symédiane symmedian suffisante sufficient sommet (s) vertex (vertice) T trapèze trapezium tel que such as théorème theorem triangle triangle triangle de contact contact triangle triangle rectangle right-angle triangle
