A 2001 Math MP 2

COLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSES.COLES NATIONALES SUPRIEURES DE LARONAUTIQUE ET DE LESPACE,

DE TECHNIQUES AVANCES, DES TLCOMMUNICATIONS,DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-TIENNE, DES MINES DE NANCY,

DES TLCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.COLE POLYTECHNIQUE (Filire STI).

CONCOURS DADMISSION 2001

PREUVE DE MATHMATIQUESDEUXIME PREUVE

Filire MP(Dure de lpreuve : 4 heures)

(Lusage dordinateur ou de calculette est interdit).

Sujet mis la disposition des concours :Cycle International, ENSTIM, ENSAE (Statistique), INT, TPE-EIVP.

Les candidats sont pris de mentionner de faon apparente sur la premire page de la copie :MATHMATIQUES 2-Filire MP.

Cet nonc comporte 7 pages de texte.Si, au cours de lpreuve, un candidat repre ce qui lui semble tre une erreur dnonc, il le

signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives quil estamen prendre.

Soit C lespace vectoriel norm des fonctions relles, dfinies sur le segment I = ?1,1,continues ; la norme de cet espace est la norme de la convergence uniforme, dfinie pour unefonction f de C par la relation :

qfq =x5I

sup |fx|.

Pour tout entier naturel n, lespace vectoriel des fonctions polynomiales relles de degrinfrieur ou gal n, est note En. Par abus de langage, la locution fonction polynomiale estremplace par polynme.

Premire partie

Il est admis que, pour une fonction f donne continue sur le segment I et un entier natureldonn n, il existe un polynme Pn, de degr infrieur ou gal n, tel que :

qf ? Pnq = Anf = infqf ? Pq P P 5 En.Le but de cette partie est dtudier lerreur commise lors de la meilleure approximation dune

fonction continue par une fonction polynomiale et de montrer le rsultat : si f est une fonctionk-fois continment drivable sur I = ?1,1, la meilleure approximation de la fonction f par unpolynme de degr infrieur ou gal n est telle que :

Anf = o 1nk

.

Soit j une fonction relle dfinie sur lintervalle I, borne (il existe une constante M telle

- 1/7 -

que, pour tout rel x de I, |jx| M). cette fonction j est associe la fonction gj

, ditemodule de continuit de j. Elle est dfinie sur la demi-droite ouverte 0,K de la maniresuivante :

tant donn un rel h strictement positif, gj

h est gal la borne suprieure des rels|jx ? jy| sachant que x et y sont deux rels de lintervalle I dont la valeur absolue de ladiffrence est majore par h :

gj

h = sup |jx ? jy| ; x, y 5 I2, |x ? y| h .

I-1. Proprits du module de continuit :Soit j une fonction relle dfinie et borne sur le segment I.a. Dmontrer que le module de continuit de cette fonction j est une fonction croissante

dfinie sur la demi-droite ouverte 0,K.

b. Soient h et h deux rels strictement positifs, dmontrer la proprit :

gj

h + h gj

h + gj

h.

Soient h et V deux rels strictement positifs, n un entier suprieur ou gal 1 ; dmontrer lesrelations suivantes :

gj

n h n gj

h ; gj

V h 1 + V gj

h.

c. Dmontrer que la fonction j est uniformment continue sur le segment I si et seulement sila limite du module de continuit gj

en 0 est nulle :

j est uniformment continue sur I h0lim gj

h = 0.

d. Dmontrer que, si la fonction j est continment drivable sur le segment I, il vient pourtout rel positif h :

gj

h h qjq.

I-2. Noyaux de Dirichlet et de Fejer :tant donn un entier n suprieur ou gal 1 n 1, soient Dn et Fn les fonctions dfinies

pour tout rel S par les relations suivantes :

DnS = >k=?n

n

ei k S ; FnS = 1n >k=0

n

DkS.

Il est admis que la fonction Fn vrifie les relations suivantes :

pour tout S diffrent de 2k^, k entier relatif, FnS = >k=?n+1

n?1

1 ? |k|n ei k S = 1nsin n S/2

sinS/2

2

.

Soit Kn la fonction dfinie dans lensemble R C 2^ Z par la relation suivante :

KnS = 1Vnsin n S/2

sinS/2

4

,

o le rel Vn est dfini par la condition :

- 2/7 -

12^ X0

2^KnS dS = 1.

a. Calculer le rel Vn et dterminer une constante C telle que ce rel soit quivalent linfini C n3. Rappel :

>k=1

n

k2 = 16 nn + 12n + 1.

b. Soit J la fonction dfinie sur lintervalle semi-ouvert 0,^/2 par la relation suivante :

Jt = 1sin4t

? 1t4

.

Dmontrer quil existe une constante A1 telle que la fonction J soit quivalente en 0 A1 t?2.En dduire que la fonction t t3 Jt est borne sur lintervalle 0,^/2. Soit A2 un majorant decette fonction sur lintervalle 0,^/2.

Soient In et Jn les deux intgrales suivantes :

In = X0

^/2 sin4ntt3

dt ; Jn = X0

^/2t Jt sin4ntdt.

Dmontrer les deux proprits suivantes :

lorsque lentier n tend vers linfini, In i n2. X0

K

sin4tt3

dt ;

pour tout entier naturel n, n 1, Jn A2 n X0

K

sin4tt2

dt.

c. Dmontrer lexistence dune constante M0 telle que, pour tout entier n suprieur ou gal 1, il vienne :

0 1^ X0^

1 + n t Knt dt M0.

I-3. Polynme jng :Soit g une fonction paire dfinie sur la droite relle priodique et de priode 2^ ; tant donn

un entier n suprieur ou gal 1, soit jng la fonction dfinie par la relation suivante :

jngS = 12^ X?^

^

gS ? t Knt dt.

a. Dmontrer que la fonction jng est paire et est un polynme de degr au plus gal 2n ? 2.

b. Vrifier les ingalits suivantes :

|gS ? gS ? t| gg|t| 1 + n |t| gg 1n ,puis, en utilisant les rsultats des questions prcdentes, dmontrer la majoration :

|gS ? jngS| M0 gg 1n .

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Dans la suite lentier n est suppos suprieur ou gal 3 ; lentier n est associ lentier p gal la partie entire du rel n/2. Lentier vrifie les ingalits :

p n/2 < p + 1.

I-4. Polynme associ une fonction de lespace C :Soit f une fonction de lespace C. cette fonction f est associe la fonction g priodique de

priode 2^, dfinie, pour tout rel S, par la relation :

gS = fcosS.Soit Pn la fonction dfinie sur lintervalle I = ?1,1 par la relation : pour tout rel x de I,

Pnx = jp+1gArc cosx.Lentier p est la partie entire de n/2 dfinie ci-dessus.

a. Dmontrer que la fonction Pn est un polynme (une fonction polynomiale) de degr auplus gal n. Il est admis que, pour tout entier naturel k, la fonction x cos k Arc cosx est unpolynme de degr k.

b. Dmontrer, pour toute fonction f de lespace C et tout entier n n 3, la relation suivante:

Anf 2 M0 gf 1n .

La constante M0 a t introduite la question I-2.c et Anf dans lintroduction de la partie I.c. tablir le rsultat prliminaire : soit f une fonction de lespace C ; pour tout polynme Q

de degr infrieur ou gal n, il vient :

Anf = Anf ? Q.Dmontrer, pour toute fonction f continment drivable sur le segment I = ?1,1 et tout entiern, la relation ci-dessous entre Anf et An?1 f :

Anf 2 M0n An?1 f .

d. tant donn un entier k suprieur ou gal 1 k 1, soit f une fonction k-foiscontinment drivable ; dduire du rsultat prcdent une majoration, pour tout entier nsuprieur strictement k n > k, de Anf en fonction de An?k f k .

En dduire que, si f est une fonction k-fois continment drivable et n un entier croissantindfiniment, lexpression Anf est un infiniment petit dordre suprieur 1/nk.

Anf = o 1nk

.

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SECONDE PARTIE

Le but de cette partie est, pour une fonction f donne dans C, de construire une suite depolynmes Inf, qui, lorsque la fonction f est continment drivable, converge uniformmentvers la fonction f.

Dans cette partie, lentier n est fix et est suprieur ou gal 3 n 3. Soit En0 lesous-espace de En constitu des polynmes (fonctions polynomiales) nulles en ?1 et en 1.

II-1. Lespace prhilbertien En0 :a. Quelle est la dimension de lespace vectoriel En0 ? Soit ek2kn la suite de polynmes

dfinie par la relation :

pour tout entier k, 2 k n, ekx = xk ? xk?2.

Dmontrer que la suite de ces polynmes est une base B de lespace vectoriel En0.

b. Soit n lendomorphisme de lespace vectoriel En0 dfini par la relation suivante :

pour tout polynme P de En0, nPx = 1 ? x2 Px.

Dmontrer que la matrice Mn associe lendomorphisme n dans la base B est une matricetriangulaire suprieure ; dterminer les lments de la diagonale de cette matrice.

En dduire lexistence dune base B dfinie par une suite de polynmes Qk2kn quivrifient les relations suivantes :

pour tout entier k, 2 k n, 1 ? x2 Qkx = Wk Qk.

Ces polynmes sont supposs unitaires (le coefficient du terme de plus haut degr est gal 1). Prciser les coefficients Wk, 2 k n et le degr des polynmes Qk.

c. deux polynmes quelconques P et Q appartenant lespace vectoriel En0 est associelintgrale JP,Q dfinie par la relation suivante :

JP,Q = X?1

1 Px Qx1 ? x2

dx.

Dmontrer que cette intgrale existe ; quelle condition sur le polynme P lexpressionJP,P est-elle nulle ?

Il est admis dans la suite que lapplication P,Q JP,Q de En0 En0 dans R est unproduit scalaire. Dans la suite le produit scalaire est not . P . :

P P Q = X?1

1 Px Qx1 ? x2

dx.

d. Dmontrer que la base B = Qk2kn est orthogonale dans lespace prhilbertienEn0, . P ..

II-2. Racines du polynme Qn :a. Un rsultat prliminaire : dmontrer que le polynme Qn possde la proprit : pour tout

polynme P de degr infrieur ou gal n ? 3, lintgrale K ci-dessous est nulle :

K = X?1

1Px Qnx dx = 0.

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b. Deux cas sont considrs :i. Le polynme Qn admet des racines, dordre de multiplicit impair, situes dans lintervalle

ouvert I = ?1,1. Soient x1, x2, ...,xp, ces racines (lentier p est strictement positif).Soit R1 le polynme dfini par la relation :

R1x =k=0

n

fyk Lkx.

o Lk est le polynme dfini par la relation :

Lkx =Qn+1x

x ? yk Qn+1yk.

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c. Dmontrer, pour tout polynme P appartenant En, lingalit :

pour tout rel x de I, |fx ? Infx| 1 +>k=0

n

|Lkx| qf ? Pq.

II-4. Majoration de >k=0n |Lkx| :

Soit f une fonction continue appartenant lespace C : f : I R.a. Soit vn lapplication de lespace vectoriel E2n+1 dans R2n+2 dfinie par la relation suivante :

vnP = Py0, Py1, ...,Pyn, Py0, Py1, ...,Pyn .

Dmontrer que lapplication vn est un isomorphisme de lespace vectoriel E2n+1 sur R2n+2.En dduire qu une fonction f donne dans C est associ un seul polynme Hnf

appartenant E2n+1, vrifiant les relations suivantes :

pour tout entier k, 0 k n, Hnfyk = fyk, Hnfyk = f yk.Que vaut Hn1 ?

Il est admis que le polynme Hnf est dfini par la relation suivante :

Hnfx = >k=0

n

f yk x ? yk Lkx2 +>k=0

n

fyk 1 ? 2x ? ykLkyk Lkx2.

b. Calcul des drives Lkyk.Dterminer lexpression, pour tout entier k compris entre 0 et n 0 k n, de la drive

Lkyk en fonction des drives premire et seconde Qn+1yk et Qn+1yk.En utilisant lquation diffrentielle vrifie par le polynme Qn+1 (question II-1.b)

dterminer les valeurs de Lkyk lorsque lentier k est compris entre 1 et n ? 1 1 k n ? 1.Calculer ensuite L0y0 et Lnyn.

c. En dduire les ingalits :

pour tout rel x du segment I, >k=0

n

Lkx2 1, >k=0

n

|Lkx| n + 1 .

II-5 Estimation de lapproximation :Dmontrer que, pour toute fonction continue appartenant lespace C, pour tout entier n

suprieur ou gal 3, la norme de la diffrence entre la fonction f et le polynme Inf estmajore par le produit 2 n Anf :

qf ? Infq 2 n Anf.En particulier dmontrer que, si la fonction f est continment drivable sur I, la suite des

polynmes Inf converge uniformment, lorsque lentier n tend vers linfini, vers la fonction f.Que dire de la convergence lorsque la fonction f est indfiniment continment drivable ?

FIN DU PROBLME

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