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3. Tenseurs. 1. Exemple 1 : le tenseur mtrique. Nous avons dj rencontr un objet deux indices, savoir g!" dont les composantes sont les coefficients dans lexpression du produit scalaire de deux vecteurs

!u et !v :

!u.!v =! =0

n"1

#$=0

n"1

# u! v$ g!$ . Dans cette expression les g!" peuvent dpendre du point de lespace

g!" (x) (voir par exemple lexpression de la mtrique de lespace euclidien 3 dimensions en coordonnes sphriques). La norme dun vecteur, le produit scalaire de deux vecteurs, sont des nombres qui ne doivent dpendre que des objets considrs et pas du systme de reprage utilis pour les dcrire. Considrons donc deux systmes de coordonnes que nous appellerons {x , 0

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vraie quels que soient les vecteurs !u et

!v . Par consquent on doit avoir lors dun changement de coordonnes :

g!" ( y) = ( A

#1)! ( A#1)"

$ g$ (x) (3) Dans la suite, pour simplifier les notations, et lorsquil ny aura pas dambigut, nous crirons :

A!

= A"1! . Par consquent avec ces notations :

g!" = A! A"

# g# , et :

A!

A"! = # "

, A$ A!

= # !$ (4)

Ainsi nous commenons voir comment se transforme un tenseur. 2. Exemple 2 : le gradient dune fonction. Considrons un autre exemple. Soit une fonction relle continue et diffrentiable f (x) des

coordonnes

x!{ } . La diffrentielle de f , qui exprime la variation de la valeur de la fonction pour une variation infinitsimale des coordonnes ne doit pas dpendre des coordonnes utilises, cest dire :

df = !" f dy

" = ! f dx et ceci quels que soient les dx . Ceci

entrane : !" f = ( A

#1)" ! f = A"

! f qui est la loi de transformation du gradient dune fonction f lors dun changement de coordonnes. Le gradient dune fonction est souvent manipul comme un vecteur ordinaire et not

!!f ,

cependant il faut tre trs prudent. Supposons que lon veuille crire ce gradient comme un vecteur colonne afin de le transformer laide de matrices. Dans les notations que nous avons utilises jusqu prsent lindice suprieur de

A! est le numro de la ligne et celui du bas le

numro de la colonne. Si on crit ! f comme un vecteur colonne, la place des indices est

inverse, et il faut crire sous forme matricielle :

!! ' f = ( A"1)T

!!f

o le signe T dsigne la transposition, et o le signe prime indique le gradient dans le systme de coordonnes

y!{ } . Si la transformation est une rotation alors A!1 = AT et on peut transformer le gradient comme un vecteur ordinaire, mais cela nest pas une proprit gnrale. 3. Indices contravariants et covariants. Revenons au produit scalaire du dbut de cette section et posons :

u! = g!" u" = g"! u

" (notez bien que conformment aux conventions usuelles nous avons omis le signe de sommation car ces expressions impliquent des indices rpts des positions de hauteur diffrentes). Nous venons dexprimer le vecteur

!u avec des indices covariants (section 2.1). On peut faire la mme chose avec le vecteur

!v . Le produit scalaire scrit donc : !u.!v = u! v

! = v" u" .

Maintenant, comme nous lavons dj dit, le produit scalaire de deux vecteurs ne doit pas dpendre du systme de coordonnes utilises, et ceci quels que soient les vecteurs considrs, donc on doit avoir :

u! = A! u . Ce qui aurait pu aussi bien tre obtenu en partant

de la dfinition de u! et en utilisant les lois de transformations de u! et de g!" . Le gradient

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dune fonction f (section prcdente) apparat donc, par la faon dont il se transforme lors dun changement de variables, comme un vecteur crit avec un indice covariant . 4. Dfinition dun tenseur. Un tenseur est un objet plusieurs indices, certains indices sont situs en haut on dit que ce sont des indices contravariants, et certains sont situs en bas , on les appelle indices covariants. Leur place relative est importante sauf cas particulier, et sera indique par un point si ncessaire. Par exemple la notation

T !" est ambigu et

T !" peut ltre si mal crit. Nous

crirons donc T .!"

ou T ! ."

etc selon les cas. Mais ce qui fait quun objet plusieurs indices est un tenseur est la manire dont il se transforme dans un changement de coordonnes. Considrons donc un objet contenant des indices covariants et contravariants tel que

T .!"

, pour que ce soit un tenseur il faut quil se transforme de la manire suivante :

T .!"

# ( y) = A# A!

$ A"% T .$%

(x) (5) et on peut gnraliser cette expression tout type de tenseur. Nous avons vu ci dessus, que dans le cas dun vecteur, on pouvait passer dun indice contravariant un indice covariant en utilisant le tenseur mtrique, on peut videmment faire linverse. Soit g

!" linverse de la mtrique (considre comme une matrice), cest dire satisfaisant :

g!"g"# = g"# g!" = $#

! ; alors comme on le vrifie facilement pour un vecteur !u :

u! = g!"u" . Dune manire gnrale on passera dun indice contravariant un indice covariant en utilisant g!" , et on passera dun indice covariant un indice contravariant avec linverse g

!" de g!" .

Exemples : T !

" . # = g!$ T" $ # ; T" . .

.!# = g!$ g#% T"$ % ; T! . "

# = g!$ g#%T . % "

$ Avec la dfinition de la transformation dun tenseur dans un changement de coordonnes, et la transformation de g!" discute dans la premire section de ce chapitre, on vrifie aisment que la transformation dun tenseur est cohrente, quon exprime celui-ci avec des indices contravariants ou covariants. 5. Contraction des indices. Considrons dabord un exemple simple. Soient un vecteur V ! et un tenseur T !"# . On peut construire un autre objet en sommant sur des indices rpts occupant des positions diffrentes en hauteur : R

!" =V# T#!" . Cest une gnralisation du produit scalaire de deux

vecteurs. Cette opration sappelle contraction des indices . On aurait pu contracter avec le second ou le troisime indice de T !"# pour former dautres objets, par exemple :

Q!" =V# T

!#" .

Avec les rgles de transformation des tenseurs, il est facile de vrifier que R!" et Q!" sont

des tenseurs.

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On peut gnraliser cela nimporte quel type de contraction, par exemple : Q!" = R .#$

! T $"#

ou R! = T . . "

" ! . Il est facile de vrifier que lobjet rsultant de la contraction est encore un tenseur, quil sagisse de la contraction dindices appartenant deux tenseurs diffrents, ou appartenant au mme tenseur. Lorsque tous les indices ont t contracts, on obtient une quantit qui ne porte plus aucun indice et que lon appelle un scalaire. Un scalaire est une quantit invariante par changement de coordonnes. Ces quantits scalaires que lon appelle aussi invariants jouent un rle important car ils permettent dcrire certaines relations indpendamment de tout systme de coordonnes. 6. Exemple 3 : les drives dun tenseur. Nous avons considr le gradient dune fonction relle, mais il ne faudrait pas croire que prendre les drives partielles dun tenseur mne ncessairement un tenseur. En effet, soit un champ de vecteur

!v , chaque composante est une fonction relle des coordonnes, do, daprs lexemple 2 :

!"v# ( y) = A"

!v# ( y(x)) = A"

! A$# v$%& '(

= A" A$

# !v$ + A"

! A$# v$

qui montre que !v

" nest pas un tenseur. Par contre, considrons les drives des composantes covariantes, on a :

!"v# ( y) = A" !v# ( y(x)) = A"

! A#$ v$%& '(

= A" A#

$ !v$ + ( A" ! A#

$ ) v$

Dautre part nous avons : A!" A#

! = $#" , o nous avons utilis le fait que

A! est linverse de

A! daprs (4). Nous pouvons donc crire:

! A"

# .A$" = %A"

# ! A$" , soit encore :

! A"

# = $A"% A&

# ! A%& , do :

!"v# ( y) = A"

A#$ !v$ % A"

A#& A'

$ ! A&' v$

De la mme manire on peut calculer !"v# ( y) = A#

A"$ !$v % A"

A#& A'

$ ! A&' v$ et compte

tenu du fait que : ! A"

# = !!" y# = !"! y

# = !" A# , on obtient :

!"v# ( y) $ !#v" ( y) = A"

A#% (!v% (x) $ !%v (x))

qui montre que : T! = ("v! (x) # "!v (x)) est un tenseur. Cest un tenseur antisymtrique

deux indices, ce qui veut dire que T! = "T! . Dans un espace euclidien trois dimensions on

reconnat les composantes du rotationnel dun vecteur. Nous appliquerons le rsultat prcdent au champ lectromagntique un peu plus loin.

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7. Application de ces considrations la mcanique.

En mcanique on dfinit la vitesse par

!v =

d!x

dt . Si lon prend le point de vue relativiste,

v! =

dx!

dt nest pas un vecteur, car bien que dx! se transforme comme un vecteur, dt nest

pas un scalaire mais une des composantes de d!x . Pour une particule de masse non nulle, on

dfinit le temps propre ! par : c2d! 2 = c2dt2 " d

!x 2 , o d

!x reprsente la partie purement

spatiale de d!x . ! est le temps dans le repre o la particule est immobile (d

!x = 0) . Par

contre, u! =

dx!

d" est un vecteur de M 4 (puisque d! est un invariant), cest la qu