12
1 3. Tenseurs. 1. Exemple 1 : le tenseur métrique. Nous avons déjà rencontré un objet à deux indices, à savoir g !" dont les composantes sont les coefficients dans l’expression du produit scalaire de deux vecteurs ! u et ! v : ! u . ! v = ! = 0 n "1 # $ = 0 n "1 # u ! v $ g !$ . Dans cette expression les g !" peuvent dépendre du point de l’espace g !" ( x ) (voir par exemple l’expression de la métrique de l’espace euclidien à 3 dimensions en coordonnées sphériques). La norme d’un vecteur, le produit scalaire de deux vecteurs, sont des nombres qui ne doivent dépendre que des objets considérés et pas du système de repérage utilisé pour les décrire. Considérons donc deux systèmes de coordonnées que nous appellerons {x β , 0≤β<n} et {y α , 0≤α<n}, les y α étant des fonctions des variables x ! continues et suffisamment différentiables, et réciproquement. Pour deux points très proches M et M’ de coordonnées respectives x ! et x ! + dx ! dans le premier système et y ! et y ! + dy ! dans le second, nous aurons : dy ! = "y ! "x # dx # . Dans la suite, pour simplifier les notations, nous utiliserons la notation : A ! " = # ! y " = #y " #x ! (1) Maintenant nous pouvons considérer un vecteur ! v d’origine M et de même direction que MM ' ! " !!!! : ! v = ! MM ' " ! """" . Dans le changement de coordonnées ! v se transformera comme MM ' ! " !!!! et donc comme : v ! ( y ) = " # y ! v # ( x ) = A # ! v # ( x ) (2a) Là se pose un problème de notation : dans l’expression précédente v ! ( y ) désigne la composante α du vecteur ! v exprimée dans le système de coordonnées y ! { } , et v ! ( x ) désigne la composante β du vecteur ! v exprimée dans le système de coordonnées x ! { } , mais il s’agit toujours du même objet ! v . Dans la suite, afin de ne pas alourdir inutilement les notations, nous utiliserons les indices ! , " , # ,$ , % pour les coordonnées y et μ,! , ",# pour les coordonnées x. Ainsi nous écrirons : v ! ( y ) = A μ ! v μ ( x ) (2b) Nous prendrons cette loi de transformation pour exprimer l’effet d’un changement de coordonnées sur les composantes d’un vecteur. Maintenant revenons au produit scalaire du début de cette section. On doit avoir d’après ce que nous avons dit, et en omettant les signes de sommation : ! u. ! v = u ! v " g !" = u μ v # g μ# , cette expression sous-entend évidemment u ! ( y ), g μ" ( x ) , etc. Et cette contrainte doit être

3. Tenseurs. - Géométrie Différentielle par le Calcul

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Page 1: 3. Tenseurs. - Géométrie Différentielle par le Calcul

1

3. Tenseurs. 1. Exemple 1 : le tenseur métrique. Nous avons déjà rencontré un objet à deux indices, à savoir g!" dont les composantes sont les coefficients dans l’expression du produit scalaire de deux vecteurs

!u et !v :

!u.!v =! =0

n"1

#$=0

n"1

# u! v$ g!$ . Dans cette expression les g!" peuvent dépendre du point de

l’espace g!" (x) (voir par exemple l’expression de la métrique de l’espace euclidien à 3

dimensions en coordonnées sphériques). La norme d’un vecteur, le produit scalaire de deux vecteurs, sont des nombres qui ne doivent dépendre que des objets considérés et pas du système de repérage utilisé pour les décrire. Considérons donc deux systèmes de coordonnées que nous appellerons {xβ , 0≤β<n} et {yα , 0≤α<n}, les yα étant des fonctions des variables x! continues et suffisamment différentiables, et réciproquement. Pour deux points très proches M et M’ de coordonnées respectives x! et x! + dx! dans le premier système et y

! et y! + dy! dans le second, nous

aurons : dy! =

"y!

"x# dx# . Dans la suite, pour simplifier les notations, nous utiliserons la

notation : A!" = #! y" =

#y"

#x! (1)

Maintenant nous pouvons considérer un vecteur !v d’origine M et de même direction

que MM '! "!!!!

: !v = ! MM '

" !"""". Dans le changement de coordonnées

!v se transformera

comme MM '! "!!!!

et donc comme :

v! ( y) = "# y! v# (x) = A#

! v# (x) (2a) Là se pose un problème de notation : dans l’expression précédente v

! ( y) désigne la

composante α du vecteur !v exprimée dans le système de coordonnées

y!{ } , et v! (x)

désigne la composante β du vecteur !v exprimée dans le système de coordonnées

x!{ } , mais

il s’agit toujours du même objet !v . Dans la suite, afin de ne pas alourdir inutilement les

notations, nous utiliserons les indices ! ," ,# ,$ ,% pour les coordonnées y et µ,! ,",# pour les coordonnées x. Ainsi nous écrirons :

v! ( y) = Aµ

! vµ (x) (2b) Nous prendrons cette loi de transformation pour exprimer l’effet d’un changement de coordonnées sur les composantes d’un vecteur. Maintenant revenons au produit scalaire du début de cette section. On doit avoir d’après ce que nous avons dit, et en omettant les signes de sommation :

!u.!v = u! v" g!" = uµ v# gµ# ,

cette expression sous-entend évidemment u! ( y) , gµ" (x) , etc. Et cette contrainte doit être

Page 2: 3. Tenseurs. - Géométrie Différentielle par le Calcul

2

vraie quels que soient les vecteurs !u et

!v . Par conséquent on doit avoir lors d’un changement de coordonnées :

g!" ( y) = ( A#1)!

µ ( A#1)"$ gµ$ (x) (3)

Dans la suite, pour simplifier les notations, et lorsqu’il n’y aura pas d’ambiguïté, nous écrirons :

A!

µ = A"1!µ . Par conséquent avec ces notations :

g!" = A!µ A"

# gµ# , et :

A!

µ A"! = # "

µ , Aµ$ A!

µ = # !$ (4)

Ainsi nous commençons à voir comment se transforme un tenseur. 2. Exemple 2 : le gradient d’une fonction. Considérons un autre exemple. Soit une fonction réelle continue et différentiable f (x) des

coordonnées

x!{ } . La différentielle de f , qui exprime la variation de la valeur de la fonction pour une variation infinitésimale des coordonnées ne doit pas dépendre des coordonnées utilisées, c’est à dire :

df = !" f dy" = !µ f dxµ et ceci quels que soient les dxµ . Ceci

entraîne : !" f = ( A#1)"

µ !µ f = A"µ !µ f qui est la loi de transformation du gradient d’une

fonction f lors d’un changement de coordonnées. Le gradient d’une fonction est souvent « manipulé » comme un vecteur ordinaire et noté

!!f ,

cependant il faut être très prudent. Supposons que l’on veuille écrire ce gradient comme un vecteur colonne afin de le transformer à l’aide de matrices. Dans les notations que nous avons utilisées jusqu’à présent l’indice supérieur de

A!µ est le numéro de la ligne et celui du bas le

numéro de la colonne. Si on écrit !µ f comme un vecteur colonne, la place des indices est

inversée, et il faut écrire sous forme matricielle :

!! ' f = ( A"1)T

!!f

où le signe T désigne la transposition, et où le signe « prime » indique le gradient dans le système de coordonnées

y!{ } . Si la transformation est une rotation alors A!1 = AT et on peut transformer le gradient comme un vecteur ordinaire, mais cela n’est pas une propriété générale. 3. Indices contravariants et covariants. Revenons au produit scalaire du début de cette section et posons :

u! = g!" u" = g"! u" (notez bien que conformément aux conventions usuelles nous avons omis le signe de sommation car ces expressions impliquent des indices répétés à des positions de hauteur différentes). Nous venons d’exprimer le vecteur

!u avec des indices covariants (section 2.1). On peut faire la même chose avec le vecteur

!v . Le produit scalaire s’écrit donc : !u.!v = u! v! = v" u" .

Maintenant, comme nous l’avons déjà dit, le produit scalaire de deux vecteurs ne doit pas dépendre du système de coordonnées utilisées, et ceci quels que soient les vecteurs considérés, donc on doit avoir :

u! = A!µ uµ . Ce qui aurait pu aussi bien être obtenu en partant

de la définition de u! et en utilisant les lois de transformations de u! et de g!" . Le gradient

Page 3: 3. Tenseurs. - Géométrie Différentielle par le Calcul

3

d’une fonction f (section précédente) apparaît donc, par la façon dont il se transforme lors d’un changement de variables, comme un vecteur écrit avec un indice covariant . 4. Définition d’un tenseur. Un tenseur est un objet à plusieurs indices, certains indices sont situés « en haut » on dit que ce sont des indices contravariants, et certains sont situés « en bas », on les appelle indices covariants. Leur place relative est importante sauf cas particulier, et sera indiquée par un point si nécessaire. Par exemple la notation

T !"µ est ambiguë et

T !"µ peut l’être si mal écrit. Nous

écrirons donc T .!"

µ ou T ! ."

µ etc… selon les cas. Mais ce qui fait qu’un objet à plusieurs indices est un tenseur est la manière dont il se transforme dans un changement de coordonnées. Considérons donc un objet contenant des indices covariants et contravariants tel que

T .!"

µ , pour que ce soit un tenseur il faut qu’il se transforme de la manière suivante :

T .!"

# ( y) = Aµ# A!

$ A"% T .$%

µ (x) (5) et on peut généraliser cette expression à tout type de tenseur. Nous avons vu ci dessus, que dans le cas d’un vecteur, on pouvait passer d’un indice contravariant à un indice covariant en utilisant le tenseur métrique, on peut évidemment faire l’inverse. Soit g

!" l’inverse de la métrique (considérée comme une matrice), c’est à dire satisfaisant :

g!"g"# = g"# g!" = $#! ; alors comme on le vérifie facilement pour un vecteur

!u :

u! = g!"u" . D’une manière générale on passera d’un indice contravariant à un indice covariant en utilisant g!" , et on passera d’un indice covariant à un indice contravariant avec l’inverse g

!" de g!" .

Exemples : T !

" . # = g!$ T " $ # ; T" . ..!# = g!$ g#% T"$ % ;

T! . "

# = g!$ g#%T . % "$

Avec la définition de la transformation d’un tenseur dans un changement de coordonnées, et la transformation de g!" discutée dans la première section de ce chapitre, on vérifie aisément que la transformation d’un tenseur est cohérente, qu’on exprime celui-ci avec des indices contravariants ou covariants. 5. Contraction des indices. Considérons d’abord un exemple simple. Soient un vecteur V ! et un tenseur T !"# . On peut construire un autre objet en sommant sur des indices répétés occupant des positions différentes en hauteur : R

!" =V# T #!" . C’est une généralisation du produit scalaire de deux vecteurs. Cette opération s’appelle « contraction des indices ». On aurait pu contracter avec le second ou le troisième indice de T !"# pour former d’autres objets, par exemple :

Q!" =V# T !#" .

Avec les règles de transformation des tenseurs, il est facile de vérifier que R!" et Q!" sont

des tenseurs.

Page 4: 3. Tenseurs. - Géométrie Différentielle par le Calcul

4

On peut généraliser cela à n’importe quel type de contraction, par exemple : Q!" = R .#$

! T $"#

ou R! = T . . "

" ! . Il est facile de vérifier que l’objet résultant de la contraction est encore un tenseur, qu’il s’agisse de la contraction d’indices appartenant à deux tenseurs différents, ou appartenant au même tenseur. Lorsque tous les indices ont été contractés, on obtient une quantité qui ne porte plus aucun indice et que l’on appelle un scalaire. Un scalaire est une quantité invariante par changement de coordonnées. Ces quantités scalaires que l’on appelle aussi « invariants » jouent un rôle important car ils permettent d’écrire certaines relations indépendamment de tout système de coordonnées. 6. Exemple 3 : les dérivées d’un tenseur. Nous avons considéré le gradient d’une fonction réelle, mais il ne faudrait pas croire que prendre les dérivées partielles d’un tenseur mène nécessairement à un tenseur. En effet, soit un champ de vecteur

!v , chaque composante est une fonction réelle des coordonnées, d’où, d’après l’exemple 2 :

!"v# ( y) = A"µ !µv# ( y(x)) = A"

µ !µ A$# v$%& '(

= A"µ A$

# !µv$ + A"µ !µ A$

# v$

qui montre que !µv" n’est pas un tenseur. Par contre, considérons les dérivées des

composantes covariantes, on a :

!"v# ( y) = A"µ !µv# ( y(x)) = A"

µ !µ A#$ v$%& '(

= A"µ A#

$ !µv$ + ( A"µ !µ A#

$ ) v$

D’autre part nous avons : A!" A#

! = $#" , où nous avons utilisé le fait que

A!µ est l’inverse de

Aµ! d’après (4). Nous pouvons donc écrire:

!µ A"

# .A$" = %A"

# !µ A$" , soit encore :

!µ A"

# = $A"% A&

# !µ A%& , d’où :

!"v# ( y) = A"

µ A#$ !µv$ % A"

µ A#& A'

$ !µ A&' v$

De la même manière on peut calculer !"v# ( y) = A#

µ A"$ !$vµ % A"

µ A#& A'

$ !µ A&' v$ et compte

tenu du fait que : !µ A"

# = !µ!" y# = !"!µ y# = !" Aµ# , on obtient :

!"v# ( y) $ !#v" ( y) = A"

µ A#% (!µv% (x) $ !%vµ (x))

qui montre que : Tµ! = ("µv! (x) # "!vµ (x)) est un tenseur. C’est un tenseur antisymétrique à

deux indices, ce qui veut dire que Tµ! = "T!µ . Dans un espace euclidien à trois dimensions on

reconnaît les composantes du rotationnel d’un vecteur. Nous appliquerons le résultat précédent au champ électromagnétique un peu plus loin.

Page 5: 3. Tenseurs. - Géométrie Différentielle par le Calcul

5

7. Application de ces considérations à la mécanique.

En mécanique on définit la vitesse par

!v =

d!x

dt . Si l’on prend le point de vue relativiste,

v! =

dx!

dt n’est pas un vecteur, car bien que dx! se transforme comme un vecteur, dt n’est

pas un scalaire mais une des composantes de d!x . Pour une particule de masse non nulle, on

définit le temps propre ! par : c2d! 2 = c2dt2 " d

!x 2 , où d

!x représente la partie purement

spatiale de d!x . ! est le temps dans le repère où la particule est immobile (d

!x = 0) . Par

contre, u! =

dx!

d" est un vecteur de M 4 (puisque d! est un invariant), c’est la quadri vitesse

qui vérifie u!u! = 1 , car u!u! = (dx! dx! ) / (d" )2 = (d" )2 / (d" )2 = 1 . La quadri vitesse

s’écrit : u! =

dx!

dt1

1" v2 / c2 , car d’après la définition de ! on peut écrire :

d! = dt 1"

d!x

2

c2dt2 = dt 1"v2

c2

Finalement la quadri impulsion d’une particule ponctuelle de masse non nulle sera définie par

p! = m u! , où m est la masse de la particule. Les quantités tensorielles utilisées en

mécanique relativiste seront exprimées en fonction de la quadri vitesse et non de la vitesse ordinaire. 8. Tenseurs symétriques, antisymétriques. On dit qu’un tenseur est antisymétrique par rapport à une paire d’indices donnés, si celui ci change de signe par l’échange de ces deux indices. De même on dit qu’un tenseur est symétrique par rapport à une paire d’indices, si celui-ci conserve sa valeur par l’échange de ces deux indices. Un exemple simple de tenseur symétrique est le tenseur construit à partir des composantes de deux vecteurs

!u, !v : T !" = u!v" + u"v! , la symétrie par échange des deux indices est évidente et il s’agit bien d’un tenseur puisque cet objet se transforme bien comme un tenseur lors d’un changement de coordonnées. Exercice 1. Montrez que si un tenseur est symétrique (antisymétrique) par rapport à une paire d’indices dans un système de coordonnées donné, il est symétrique (antisymétrique) par rapport à cette même paire dans n’importe quel système de coordonnées. C’est donc une propriété intrinsèque. Montrez que si un tenseur est symétrique (antisymétrique) par rapport à une paire d’indices contravariants donnée, il l’est également si on passe à des indices covariants (et vice versa). Montrez qu’un tenseur à 2 indices peut toujours être écrit comme la somme d’un tenseur symétrique et d’un tenseur antisymétrique.

Page 6: 3. Tenseurs. - Géométrie Différentielle par le Calcul

6

Exercice 2. Quel est le nombre de composantes non nulles d’un tenseur totalement antisymétrique de rang r dans un espace à n dimensions ? Pour connaître les propriétés d’un tenseur totalement antisymétrique, lire d’abord le premier paragraphe de la section suivante. Exercice 3. Quel est le nombre de composantes indépendantes d’un tenseur totalement symétrique de rang r dans un espace à n dimensions ? 9. Le tenseur totalement antisymétrique ! . Considérons un espace euclidien à n dimensions et des coordonnées cartésiennes orthonormées : x!i , 0 " ! i " n #1 . Le tenseur totalement antisymétrique

!"0 ,"1 ,...,"n#1

est

défini par : !"0 ,"1 ,.." i ," i+1 ..,"n#1

= #!"0 ,"1 ,.." i+1 ," i ..,"n#1 et par

!0,1,...,n"1 = 1 , c’est à dire que ce tenseur

change de signe par permutation de deux indices adjacents. Si deux indices adjacents ont même valeur les composantes du tenseur

!"0 ,"1 ,...,"n#1

sont donc nulles, et par permutation des

indices, on déduit que les composantes qui ont deux indices quelconques égaux sont nulles. Exemple : dans !3 , !012 = !201 = !120 = 1 ; !021 = !210 = !102 = "1 ; et toutes les autres composantes du tenseur totalement antisymétrique telles que !022 , !010 etc, sont nulles. Effectuons la contraction du tenseur ε avec n vecteurs

!v0 , ... , !vn!1 pour obtenir un scalaire :

S = !"0 ..." i" i+1 ..."n#1

v0"0 ... vi

" i vi+1" i+1 ... vn#1

"n#1

Si on échange les places de !vi et

!vi+1 on a :

S = !"0 ..." i" i+1 ..."n#1v0"0 ...vi+1

" i+1 vi" i ... vn#1

"n#1

= #!"0 ..." i+1" i ..."n#1v0"0 ...vi+1

" i+1 vi" i ... vn#1

"n#1

changeons le nom des indices de coordonnées:

S = !"#0 ...# i# i+1 ...#n!1

v0#0 ...vi+1

# i vi# i+1 ... vn!1

#n!1

S est donc une forme multilinéaire alternée, c’est à dire une forme linéaire pour chacun de ses arguments et qui change de signe par l’échange de deux arguments adjacents, et c’est le déterminant de la matrice :

V =v0

0 vi0 vn!1

0

... ... ...v0

n!1 vin!1 vn!1

n!1

"

#

$$$

%

&

'''

où chaque vecteur !vi correspond à une colonne.

Le déterminant dépend de l’ordre dans lequel sont rangés les vecteurs !vi . Si l’on appelle

det(V ) le déterminant de la matrice ci-dessus, avec les vecteurs rangés dans cet ordre, la quantité S sera pour un ordre quelconque :

S = det(V ) ! i0 i1 ... in"1

(6)

où le tenseur ε est présent pour indiquer dans quel ordre les vecteurs !vi ont été rangés.

Jusqu’à présent, dans cette section, nous avons choisi un repère orthonormé, faisons un changement de coordonnées quelconque et écrivons comme au début de ce chapitre :

Page 7: 3. Tenseurs. - Géométrie Différentielle par le Calcul

7

v! = Aµ

! vµ , où les indices ! , " se rapportent au repère orthonormé. Nous appellerons

!"0 ,"1 ,...,"n#1

le tenseur ε défini ci-dessus lorsqu’il se rapporte à une base orthonormée. Ceci ne

sera pas fait systématiquement mais quand il s’agit de clarifier et de bien distinguer les différents cas. On peut écrire :

S = !"0 ..."i ..."n#1

v0"0 ... vi

"i ... vn#1"n#1

S = !"0 ..."i ..."n#1Aµ0

"0 ... Aµi

"i ... Aµn#1

"n#1 v0µ0 ... vi

µi ... vn#1µn#1 = det( AV )

= det( A) !µ0 ... µi ... µn#1v0µ0 ... vi

µi ... vn#1µn#1

= det( A) det(V )

(7)

Posons :

!µ0 ... µi ... µn"1

= !#0 ...#i ...#n"1Aµ0

#0 ... Aµi

#i ... Aµn"1

#n"1 (8)

ce qui fait de ε un tenseur par construction. On écrit donc :

S = !µ0 ... µi ... µn"1

v0µ0 ... vi

µi ... vn"1µn"1

D’après l’exercice 1, !µ0 ... µi ... µn"1

est un tenseur totalement antisymétrique. Le module de

ses composantes est det( A) .

Maintenant introduisons !"0 ,"1 ,...,"n#1 défini par rapport à une base orthonormée et qui vaut ±1

si tous ses indices sont différents, et 0 autrement. Si nous écrivons

! (vi0

, ... , vin"1) = #µ0 ... µ j ... µn"1

vi0

µ0 ... vij

µ j ... vin"1

µn"1 # i0 ...i j ...in"1 , cette quantité ne

dépend pas de l’ordre dans lequel les vecteurs !v0 , ... , !vn!1 ont été rangés. Mais on peut aussi

bien l’interpréter comme étant le déterminant de la matrice formée par les vecteurs

!v0 , ... , !vn!1 transposée. Donc : det(V + ) = det(V ) . Si nous choisissons pour les vecteurs

!v0 , ... , !vn!1 , les vecteurs !e1, ... , !en , qui ont été définis à

la section 2.9 et qui sont tels que !ei .!ej = gij . Nous pourrons définir :

!µ0 ... µi ... µn"1

= !#0 ...#i ...#n"1eµ0

#0 ... eµi

#i ... eµn"1

#n"1 = !µ0 ... µi ... µn"1det(e)

et nous verrons au chapitre suivant que l’on peut écrire :

!µ0 ... µi ... µn"1

= !µ0 ... µi ... µn"1det(gµ# )

De la même façon on peut définir (avec g = det(g!" ) ):

!"1 ..."n = g"1#1 ... g"n#n !#1 ...#n= g"1#1 ... g"n#n g !#1 ...#n

= det(g"# ) g ! "1 ..."n =1g! "1 ..."n

(9)

Exercice 4. Dans un espace à 4 dimensions muni de coordonnées cartésiennes orthonormées, c’est a dire d’une métrique !"# de signature quelconque mais diagonale, démontrez la relation :

!µ"#µ$%& #"'!# =

1!

!$'!%!!&# ( !$'!%#!&! ( !$!!%'!&# +!$!!%#!&' +!$#!%'!&! ( !$#!%!!&')* +,

Page 8: 3. Tenseurs. - Géométrie Différentielle par le Calcul

8

où ! est le déterminant de la matrice !"# . 10. Deux exemples : le champ électromagnétique, le vecteur tourbillon . Nous allons appliquer toutes les notions précédentes au champ électromagnétique. Nous avons vu, dans notre brève description de la relativité que l’espace-temps était un espace pseudo euclidien à 4 dimensions appelé espace de Minkowski. Considérons donc l’espace M 4 muni de coordonnées cartésiennes orthonormées. Rappelons nous d’abord que étant donné un potentiel ! et un potentiel vecteur

!A , le champ

électrique !E et le champ magnétique

!B sont respectivement donnés par :

!E = !grad

" !""""" !

#!A#t

;!B = Rot" !"" !

A

Soit le champ de quadrivecteurs W ! dont la première composante est W 0 = ! , et dont les composantes spatiales sont les composantes du potentiel vecteur

!A ( W 1 = Ax , W 2 = Ay

, W 3 = Az ). Considérons maintenant le tenseur antisymétrique F!" = #!W" $ #"W! . Nous

pouvons facilement vérifier l’identification suivante :

Ei = F0i , Bi = ! 1

2 "ijk Fjk

Les transformations du vecteur W ! ( W ! = Aµ

! W µ ) et du tenseur F!" (

F!" = A!µ A"

# Fµ# ) nous montrent donc comment se transforment les potentiels et les champs électrique et magnétique lors d’un changement de repère. Le second exemple concerne le vecteur tourbillon d’un fluide. Soit un fluide de densité !(x) dont le champ de vitesse est v

!(x) . En dynamique des fluides

intervient le vecteur tourbillon défini par : !!"= Rot! "!!

(v") . En fait le rotationnel est un pseudo-

vecteur, et non un vecteur proprement dit, car par symétrie par rapport à un point, il ne change pas de signe. De même la symétrie par rapport à un plan le laisse invariant. Malgré cela on dira, par abus de langage, que le rotationnel est un vecteur. Nous allons d’abord utiliser un argument classique pour justifier la dénomination de vecteur tourbillon, puis nous utiliserons, comme modèle simple, un fluide dont le mouvement est à symétrie axiale. Cela permettra d’appliquer les techniques vues jusqu’à présent. Pour décrire un élément du fluide, ainsi que son voisinage, on choisit des coordonnées cartésiennes dont l’origine O est le centre de l’élément. Le moment angulaire de cet élément est : M ! = dV" (x # $ v)! , où l’intégrale est prise sur le volume de l’élément. Si ce dernier est suffisamment petit, on fera un développement limité de la densité et de la vitesse au voisinage de l’origine. Avec l’indice 0 servant à noter les valeurs prises à l’origine on a, en se limitant au premier ordre : (x ! " v)# = $%&# x% " v& = $%&# x% "0 v0

& + $%&# x% x' "0 ('v0& + $%&# x% x' v0

& ('"0 + ... Si on considère que l’élément de volume est un petit cube centré en O , le premier terme est nul par symétrie et les termes suivants ne sont non nuls que si ! = " . On s’intéresse au moment angulaire propre de l’élément de fluide, comme s’il s’agissait d’une toupie. Pour cela on se place dans le système du centre de masse de l’élément, alors : v0

! = 0 , et :

M ! = ("#$! %#v0$ ) &0 dV' x# x#

Page 9: 3. Tenseurs. - Géométrie Différentielle par le Calcul

9

et pour un cube, cette formule montre que le moment angulaire propre de l’élément de fluide est proportionnel au rotationnel du champ de vitesse. Maintenant considérons un fluide dont le mouvement possède la symétrie cylindrique (symétrie axiale). L’axe de symétrie sera l’axe Oz des coordonnées cartésiennes et des coordonnées cylindriques (r,!, z) . Ces dernières sont reliées aux coordonnées cartésiennes par : x = r cos! , y = r sin! et comme à la section 2.6 , la distance entre deux points très proches sera données par : ds2 = dr2 + r2d! 2 + dz2 qui donne les composantes du tenseur métrique. Le champ de vecteurs vitesse aura pour composantes (vr ,v! ,vz ) et le passage vers les coordonnées cartésiennes (vx ,vy ,vz ) , ou l’inverse, se fera selon (2). On pose : F!" = #!v" $ #"v! qui est un tenseur d’après la section 6. En coordonnées cartésiennes, dans

l’espace euclidien à 3 dimensions, le rotationnel est : Rot(v!)! = "#$! %#v

$ , que l’on peut

écrire : Rot(v!)! = 1

2 "#$! F#$ avec : F!" = g!# g"$ F#$ . Cette dernière expression permet d’effectuer facilement un changement de coordonnées. Soient µ,!,",# les indices des coordonnées cartésiennes, et !," ,#,$ ceux des coordonnées cylindriques. Le passage des unes aux autres se fait selon : A!

" Rot(v!)" = 1

2 # µ$ ! Fµ$ = 12 # µ$ ! A%

µ A&$ F%& , soit :

Rot(v!)! = 1

2 " µ# $ A!$ A%

µ A&# F%& , et d’après la section 9 : Rot(v

!)! = 1

2 "!#$ det(A!% )F#$ . En

coordonnées cylindriques cela donne, avec det(A!" ) = r :

Rot(v!)r = r g

!! gzz F! z = 1r ("!vz # "zv! )

Rot(v!)! = r g

rr gzz Fzr = r ("zvr # "rvz )

Rot(v!)z = r g

rr g!! F! z = 1r ("rv! # "!vr )

On dit qu’un système est à symétrie axiale si les observables ne dépendent pas de l’angle ! . Maintenant on considère un champ de vitesse hélicoïdal, c’est à dire on suppose : vr = 0 ,

vz = Cte , v! = d!dt

=" = Cte , d’où : v! = g!! v! = r2" et donc : Rot(v

!)r = Rot(v

!)! = 0 et

Rot(v!)z = 2! . Le rotationnel représente donc le double de la vitesse angulaire et est aligné

avec l’axe de rotation. Bien sûr ce résultat aurait été obtenu beaucoup plus rapidement en restant en coordonnées cartésiennes avec pour champ de vitesse : vx = !y" , vy = x! ,

vz = Cte , qui signifie simplement v!. r!= 0 et v = (r! )2 + (vz )2 ( où r

!= (x, y,0) ) , mais

l’exemple illustre la méthode générale. Dans cet exemple, le respect de la position des indices est crucial. Dans l’espace euclidien cela n’a pas d’importance, et d’ailleurs, nous avons pris des libertés pour mettre l’expression du rotationnel sous une forme indépendante du choix des coordonnées. Dans certains ouvrages de physique, les conventions sur les indices ne sont pas établies clairement, certains notent les composantes d’un vecteur avec des indices « en bas », cela n’est qu’une question de choix, mais il faut rester très prudent lorsqu’on utilise des coordonnées autres que les coordonnées cartésiennes. De plus, il n’est pas toujours évident de savoir si les quantités exprimées le sont par rapport aux coordonnées comme ci-dessus, ou par rapport à des repères orthonormés locaux (section 1.9). Ce dernier point apparaîtra plus clairement à la section 8.1. Donc, même si l’exemple utilisé a pu paraître inutilement compliqué, il permet de comprendre comment utilisé mécaniquement les techniques exposées sans qu’il y ait d’ambiguïté sur la signification du résultat.

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11. Exemple de tenseur symétrique : le tenseur d’énergie-impulsion d’un fluide parfait. Le tenseur d’énergie-impulsion d’un fluide parfait est [Landau, Lifschitz]: T

µ! = "uµu! + # µ! où le vecteur (de l’espace-temps) uµ a été défini à la section 7 ci dessus, et représente la vitesse d’un élément de volume infinitésimal, ! est la densité d’énergie de cet élément de volume dans le référentiel qui lui est attaché, et ! µ" est le tenseur de pression. La meilleure façon de justifier cette expression est d’utiliser la théorie cinétique [Israel, Vardalas], mais cela sort du cadre de ces notes et nous admettrons cette expression. Le fait que T µ! soit un tenseur découle directement du fait que ! est une fonction scalaire et que uµ est un vecteur, et d’autre part, nous avons défini ! µ" comme étant un tenseur. Nous rencontrerons plus tard, dans le cadre de la théorie classique des champs, d’autres expressions du tenseur d’énergie-impulsion qui ne seront pas forcément symétrique. En coordonnées cartésiennes T µ! satisfait les équations : !" T µ" = ( forces externes)µ qui traduisent la conservation de l’énergie et de l’impulsion (voir au chapitre 4 la notion de charge conservée). Ce sont les équations de l’hydrodynamique relativiste d’un fluide parfait, qui dans la limite des très petites vitesses redonnent les équations d’Euler de l’hydrodynamique. 12. Changement de coordonnées dans le cas complexe. Soit un espace à n dimensions dont les coordonnées sont des nombres complexes

z i{ } , et

soit une transformation : !zi = f i (z j ) , on écrit :

z i = xi + i yi ; !z i = !x i + i !y i

!z i = f i (z j ) = Pi (x j , y j ) + i Qi (x j , y j )

On peut considérer la transformation comme ayant lieu dans un espace à 2n dimensions :

X a = xa ; 1! a ! n

X a = ya"n ; n +1! a ! 2n

On peut donc écrire de manière schématique en suivant la règle de transformation des tenseurs:

(d !X ) = "P / "xi "P / "yi

"Q / "xi "Q / "yi

#$%

&'(

(dX )

où (dX ) =

dxi

dy j

!

"#$

%& est un vecteur colonne à 2n lignes dont les n premières sont constituées par

les

dxi{ } et les n lignes suivantes par les dyi{ } . On écrira :

P

, xi = !P !xi etc.

Donc pour un vecteur Vi = ui + i vi , on pourra écrire d’après la transformation dans l’espace

à 2n dimensions (on omet les indices, les multiplications matricielles étant sous entendues) :

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!V = !u + i !v = P,x u + P, y v"# $% + i Q,x u + Q, y v"# $%= P,x u + Q, y i v"# $% + i Q,x u & P, y i v"# $%

Si les fonctions fi sont holomorphes par rapport à chaque variable, alors pour chaque

composante on a : P,x = Q, y et

P, y = !Q,x , d’où :

!V = P,x V + iQ,x V = f,x V or pour une fonction holomorphe : !f / !z = !f / !x , donc : !V i = ("f i / "z j ) V j En conclusion, pour des fonctions de transformation complexes holomorphes, un vecteur complexe se transforme comme dans le cas réel. Solution de l’exercice 1. Soit un tenseur symétrique par rapport à deux indices contravariants situés respectivement aux places i et j dans l’ordre des indices : T

...!i ...! j ... = T ...! j ...!i ... . Effectuons un changement de coordonnées, et n’oublions pas que les équations ci dessous sous entendent des sommes sur les indices répétés :

T ...!i ...! j ... = ... Aµi

!i ... Aµ j

! j ...T ... µi ... µ j ...

= ... Aµi

!i ... Aµ j

! j ... T ... µ j ... µi ...

= ... Aµ j

! j ... Aµi

!i ... T ... µ j ... µi ...

= T ...! j ...!i ...

Nous aurions fait la même chose avec des indices covariants ou un tenseur antisymétrique par rapport à une paire d’indices donnée. Maintenant supposons T

...! i ...! j ... = T ...! j ...! i ... , et passons à des indices covariants :

T...!i ...! j ......• ... • ... = g!i" i

g! j" jT ... • ...• ...

..." i ... " j ...

= g!i" ig! j" j

T ... • ...• ......" j ... " i ...

= g! j" jg!i" i

T ... • ...• ......" j ... " i ...

= T...! j ...!i ......• ... • ...

Donc si un tenseur est symétrique par rapport à une paire d’indices contravariants, il l’est encore si l’on passe à des indices covariants, et réciproquement en faisant le même type de calcul dans l’autre sens. Enfin il est facile de traiter de la même façon le cas d’un tenseur antisymétrique par rapport à une paire d’indices.

Soit un tenseur T !" , posons S!" =

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(T !" + T "! ) et A!" =

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(T !" # T "! ) , S!" est un tenseur

symétrique par construction, et de même A!" est un tenseur antisymétrique. On a T !" = S!" + A!" . Solution de l’exercice 2. Soit un tenseur totalement antisymétrique de rang r dans un espace à n dimensions. Pour choisir le premier indice on a n possibilités, pour le second indice on a n-1 possibilités, car il

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doit être différent du premier, etc. On a donc n (n !1) ... (n ! r +1) possibilités. Mais deux ensembles d’indices sont équivalents s’ils se déduisent l’un de l’autre par permutations. Pour le rang r il y a r! permutations possibles. Le nombre de composantes indépendantes d’un

tenseur totalement antisymétrique est donc :

n!(n ! r)! r!

= C nr .

Solution de l’exercice 3. Par définition d’un tenseur totalement symétrique, deux composantes qui auront les mêmes indices mais rangés dans un ordre différent auront la même valeur. Ecrivons le tenseur sous la forme

Ti1i2 ...ir

. Puisque le tenseur est totalement symétrique on peut ranger tous les indices de

même valeur les uns à la suite des autres, par exemple : T11133 , et on peut même ranger ces indices dans l’ordre croissant. Il faut donc créer des séquences P0, P1, … Pn-1, où P0 désigne le nombre d’indices 0, P1 le nombre d’indices 1, etc. On peut représenter chaque composante du tenseur par une chaîne constituée de 0 et de 1 de la manière suivante : on écrit autant de 1 que l’indice 0 apparaît de fois, puis on écrit 0 qui joue le rôle de séparateur, puis on écrit autant de 1 que l’indice 1 apparaît de fois, puis on écrit 0 pour séparer, etc. Il faut donc placer r chiffres 1 et n-1 séparateurs 0, dans un total de n+r-1 cases. Les 0 sont placés de manière aléatoire, si deux 0 apparaissent consécutivement, cela veut dire qu’un indice est absent, comme l’indice 2 dans l’exemple T11133 . Le nombre de combinaisons possibles est donc le nombre de possibilités pour ranger (n+r-1) objets (des 0 et des 1) dans (n+r-1) cases soit : (n+r-1) !, mais tous les 0 sont équivalents, et de même pour les 1, donc le nombre de combinaisons est :

(n + r !1)!r! (n !1)!

et c’est le nombre de composantes d’un tenseur totalement symétrique de rang r dans un espace à n dimensions. Solution de l’exercice 4. Si nous commençons à écrire explicitement la quantité

E = !µ"#µ$%& #"'!# les termes possibles sont ceux pour lesquels µ = ! . Par conséquent les termes que nous pourrons écrire auront ! = " ou ! = " ou ! = " , et de même pour les autres indices, ils iront par paire mais avec un ordre quelconque. Ceci suggère pour E une expression constituée de produits triples de !"# . Posons :

E = a !"#!$!!%& + b!"#!$&!%! + c !"!!$#!%& + d !"!!$&!%# + e!"&!$#!%! + f !"&!$!!%# On veut que E soit antisymétrique par échange de ! et ! , cela impose c = !a , e = !b et

f = !d . De la même manière l’antisymétrie par échange de ! et ! , impose b = !a , d = !c et f = !e , enfin l’ antisymétrie par échange de ! et ! , impose f = !a , d = !b et e = !c . L’échange des indices ρ, η, ε fournit les mêmes contraintes. On a donc :

E = a !"#!$!!%& ' !"#!$&!%! ' !"!!$#!%& + !"!!$&!%# + !"&!$#!%! ' !"&!$!!%#

() *+

une façon de déterminer a est de calculer explicitement le premier terme de E.