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3. Tenseurs. - Géométrie Différentielle par le Calcul

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chap3_Tenseurs1
3. Tenseurs. 1. Exemple 1 : le tenseur métrique. Nous avons déjà rencontré un objet à deux indices, à savoir g!" dont les composantes sont les coefficients dans l’expression du produit scalaire de deux vecteurs
!u et !v :
n"1
# $=0
n"1
# u! v$ g!$ . Dans cette expression les g!" peuvent dépendre du point de
l’espace g!" (x) (voir par exemple l’expression de la métrique de l’espace euclidien à 3
dimensions en coordonnées sphériques). La norme d’un vecteur, le produit scalaire de deux vecteurs, sont des nombres qui ne doivent dépendre que des objets considérés et pas du système de repérage utilisé pour les décrire. Considérons donc deux systèmes de coordonnées que nous appellerons {xβ , 0≤β<n} et {yα , 0≤α<n}, les yα étant des fonctions des variables x! continues et suffisamment différentiables, et réciproquement. Pour deux points très proches M et M’ de coordonnées respectives x! et x! + dx! dans le premier système et y
! et y ! + dy! dans le second, nous
aurons : dy! =
"y!
"x# dx# . Dans la suite, pour simplifier les notations, nous utiliserons la
notation : A! " = #! y" =
#x! (1)
Maintenant nous pouvons considérer un vecteur !v d’origine M et de même direction
que MM ' ! "!!!!
: !v = ! MM '
!v se transformera
v! ( y) = "# y! v# (x) = A#
! v# (x) (2a) Là se pose un problème de notation : dans l’expression précédente v
! ( y) désigne la
composante α du vecteur !v exprimée dans le système de coordonnées
y!{ } , et v ! (x)
désigne la composante β du vecteur !v exprimée dans le système de coordonnées
x!{ } , mais
il s’agit toujours du même objet !v . Dans la suite, afin de ne pas alourdir inutilement les
notations, nous utiliserons les indices ! ," ,# ,$ ,% pour les coordonnées y et µ,! ,",# pour les coordonnées x. Ainsi nous écrirons :
v! ( y) = Aµ
! vµ (x) (2b) Nous prendrons cette loi de transformation pour exprimer l’effet d’un changement de coordonnées sur les composantes d’un vecteur. Maintenant revenons au produit scalaire du début de cette section. On doit avoir d’après ce que nous avons dit, et en omettant les signes de sommation :
!u.!v = u! v" g!" = uµ v# gµ# ,
cette expression sous-entend évidemment u! ( y) , gµ" (x) , etc. Et cette contrainte doit être
2
vraie quels que soient les vecteurs !u et
!v . Par conséquent on doit avoir lors d’un changement de coordonnées :
g!" ( y) = ( A#1)!
µ ( A#1)" $ gµ$ (x) (3)
Dans la suite, pour simplifier les notations, et lorsqu’il n’y aura pas d’ambiguïté, nous écrirons :
A!
g!" = A! µ A"
µ = # ! $ (4)
Ainsi nous commençons à voir comment se transforme un tenseur. 2. Exemple 2 : le gradient d’une fonction. Considérons un autre exemple. Soit une fonction réelle continue et différentiable f (x) des
coordonnées
x!{ } . La différentielle de f , qui exprime la variation de la valeur de la fonction pour une variation infinitésimale des coordonnées ne doit pas dépendre des coordonnées utilisées, c’est à dire :
df = !" f dy" = !µ f dxµ et ceci quels que soient les dxµ . Ceci
entraîne : !" f = ( A#1)"
µ !µ f = A" µ !µ f qui est la loi de transformation du gradient d’une
fonction f lors d’un changement de coordonnées. Le gradient d’une fonction est souvent « manipulé » comme un vecteur ordinaire et noté
! !f ,
cependant il faut être très prudent. Supposons que l’on veuille écrire ce gradient comme un vecteur colonne afin de le transformer à l’aide de matrices. Dans les notations que nous avons utilisées jusqu’à présent l’indice supérieur de
A! µ est le numéro de la ligne et celui du bas le
numéro de la colonne. Si on écrit !µ f comme un vecteur colonne, la place des indices est
inversée, et il faut écrire sous forme matricielle :
! ! ' f = ( A"1)T
! !f
où le signe T désigne la transposition, et où le signe « prime » indique le gradient dans le système de coordonnées
y!{ } . Si la transformation est une rotation alors A!1 = AT et on peut transformer le gradient comme un vecteur ordinaire, mais cela n’est pas une propriété générale. 3. Indices contravariants et covariants. Revenons au produit scalaire du début de cette section et posons :
u! = g!" u" = g"! u" (notez bien que conformément aux conventions usuelles nous avons omis le signe de sommation car ces expressions impliquent des indices répétés à des positions de hauteur différentes). Nous venons d’exprimer le vecteur
!u avec des indices covariants (section 2.1). On peut faire la même chose avec le vecteur
!v . Le produit scalaire s’écrit donc : !u.!v = u! v! = v" u" .
Maintenant, comme nous l’avons déjà dit, le produit scalaire de deux vecteurs ne doit pas dépendre du système de coordonnées utilisées, et ceci quels que soient les vecteurs considérés, donc on doit avoir :
u! = A! µ uµ . Ce qui aurait pu aussi bien être obtenu en partant
de la définition de u! et en utilisant les lois de transformations de u! et de g!" . Le gradient
3
d’une fonction f (section précédente) apparaît donc, par la façon dont il se transforme lors d’un changement de variables, comme un vecteur écrit avec un indice covariant . 4. Définition d’un tenseur. Un tenseur est un objet à plusieurs indices, certains indices sont situés « en haut » on dit que ce sont des indices contravariants, et certains sont situés « en bas », on les appelle indices covariants. Leur place relative est importante sauf cas particulier, et sera indiquée par un point si nécessaire. Par exemple la notation
T !" µ est ambiguë et
T !" µ peut l’être si mal écrit. Nous
écrirons donc T .!"
µ ou T ! ."
µ etc… selon les cas. Mais ce qui fait qu’un objet à plusieurs indices est un tenseur est la manière dont il se transforme dans un changement de coordonnées. Considérons donc un objet contenant des indices covariants et contravariants tel que
T .!"
µ , pour que ce soit un tenseur il faut qu’il se transforme de la manière suivante :
T .!"
$ A" % T .$%
µ (x) (5) et on peut généraliser cette expression à tout type de tenseur. Nous avons vu ci dessus, que dans le cas d’un vecteur, on pouvait passer d’un indice contravariant à un indice covariant en utilisant le tenseur métrique, on peut évidemment faire l’inverse. Soit g
!" l’inverse de la métrique (considérée comme une matrice), c’est à dire satisfaisant :
g!"g"# = g"# g!" = $# ! ; alors comme on le vérifie facilement pour un vecteur
!u :
u! = g!"u" . D’une manière générale on passera d’un indice contravariant à un indice covariant en utilisant g!" , et on passera d’un indice covariant à un indice contravariant avec l’inverse g
!" de g!" .
Exemples : T !
T! . "
# = g!$ g#%T . % " $
Avec la définition de la transformation d’un tenseur dans un changement de coordonnées, et la transformation de g!" discutée dans la première section de ce chapitre, on vérifie aisément que la transformation d’un tenseur est cohérente, qu’on exprime celui-ci avec des indices contravariants ou covariants. 5. Contraction des indices. Considérons d’abord un exemple simple. Soient un vecteur V ! et un tenseur T !"# . On peut construire un autre objet en sommant sur des indices répétés occupant des positions différentes en hauteur : R
!" =V# T #!" . C’est une généralisation du produit scalaire de deux vecteurs. Cette opération s’appelle « contraction des indices ». On aurait pu contracter avec le second ou le troisième indice de T !"# pour former d’autres objets, par exemple :
Q!" =V# T !#" .
Avec les règles de transformation des tenseurs, il est facile de vérifier que R!" et Q !" sont
des tenseurs.
4
On peut généraliser cela à n’importe quel type de contraction, par exemple : Q!" = R .#$
! T $"#
ou R! = T . . "
" ! . Il est facile de vérifier que l’objet résultant de la contraction est encore un tenseur, qu’il s’agisse de la contraction d’indices appartenant à deux tenseurs différents, ou appartenant au même tenseur. Lorsque tous les indices ont été contractés, on obtient une quantité qui ne porte plus aucun indice et que l’on appelle un scalaire. Un scalaire est une quantité invariante par changement de coordonnées. Ces quantités scalaires que l’on appelle aussi « invariants » jouent un rôle important car ils permettent d’écrire certaines relations indépendamment de tout système de coordonnées. 6. Exemple 3 : les dérivées d’un tenseur. Nous avons considéré le gradient d’une fonction réelle, mais il ne faudrait pas croire que prendre les dérivées partielles d’un tenseur mène nécessairement à un tenseur. En effet, soit un champ de vecteur
!v , chaque composante est une fonction réelle des coordonnées, d’où, d’après l’exemple 2 :
!"v# ( y) = A" µ !µv# ( y(x)) = A"
µ !µ A$ # v$%& '(
# v$
qui montre que !µv" n’est pas un tenseur. Par contre, considérons les dérivées des
composantes covariantes, on a :
µ !µ A# $ v$%& '(
$ ) v$
A! µ est l’inverse de
Aµ ! d’après (4). Nous pouvons donc écrire:
!µ A"
# .A$ " = %A"
De la même manière on peut calculer !"v# ( y) = A#
µ A" $ !$vµ % A"
tenu du fait que : !µ A"
# = !µ!" y# = !"!µ y# = !" Aµ # , on obtient :
!"v# ( y) $ !#v" ( y) = A"
µ A# % (!µv% (x) $ !%vµ (x))
qui montre que : Tµ! = ("µv! (x) # "!vµ (x)) est un tenseur. C’est un tenseur antisymétrique à
deux indices, ce qui veut dire que Tµ! = "T!µ . Dans un espace euclidien à trois dimensions on
reconnaît les composantes du rotationnel d’un vecteur. Nous appliquerons le résultat précédent au champ électromagnétique un peu plus loin.
5
En mécanique on définit la vitesse par
! v =
dt . Si l’on prend le point de vue relativiste,
v! =
dx!
dt n’est pas un vecteur, car bien que dx! se transforme comme un vecteur, dt n’est
pas un scalaire mais une des composantes de d !x . Pour une particule de masse non nulle, on
définit le temps propre ! par : c 2d! 2 = c2dt2 " d
! x 2 , où d
! x représente la partie purement
spatiale de d !x . ! est le temps dans le repère où la particule est immobile (d
! x = 0) . Par
dx!
d" est un vecteur de M 4 (puisque d! est un invariant), c’est la quadri vitesse
qui vérifie u!u! = 1 , car u!u! = (dx! dx! ) / (d" )2 = (d" )2 / (d" )2 = 1 . La quadri vitesse
s’écrit : u! =
dt 1
1" v2 / c2 , car d’après la définition de ! on peut écrire :
d! = dt 1"
c2
Finalement la quadri impulsion d’une particule ponctuelle de masse non nulle sera définie par
p ! = m u! , où m est la masse de la particule. Les quantités tensorielles utilisées en
mécanique relativiste seront exprimées en fonction de la quadri vitesse et non de la vitesse ordinaire. 8. Tenseurs symétriques, antisymétriques. On dit qu’un tenseur est antisymétrique par rapport à une paire d’indices donnés, si celui ci change de signe par l’échange de ces deux indices. De même on dit qu’un tenseur est symétrique par rapport à une paire d’indices, si celui-ci conserve sa valeur par l’échange de ces deux indices. Un exemple simple de tenseur symétrique est le tenseur construit à partir des composantes de deux vecteurs
!u, !v : T !" = u!v" + u"v! , la symétrie par échange des deux indices est évidente et il s’agit bien d’un tenseur puisque cet objet se transforme bien comme un tenseur lors d’un changement de coordonnées. Exercice 1. Montrez que si un tenseur est symétrique (antisymétrique) par rapport à une paire d’indices dans un système de coordonnées donné, il est symétrique (antisymétrique) par rapport à cette même paire dans n’importe quel système de coordonnées. C’est donc une propriété intrinsèque. Montrez que si un tenseur est symétrique (antisymétrique) par rapport à une paire d’indices contravariants donnée, il l’est également si on passe à des indices covariants (et vice versa). Montrez qu’un tenseur à 2 indices peut toujours être écrit comme la somme d’un tenseur symétrique et d’un tenseur antisymétrique.
6
Exercice 2. Quel est le nombre de composantes non nulles d’un tenseur totalement antisymétrique de rang r dans un espace à n dimensions ? Pour connaître les propriétés d’un tenseur totalement antisymétrique, lire d’abord le premier paragraphe de la section suivante. Exercice 3. Quel est le nombre de composantes indépendantes d’un tenseur totalement symétrique de rang r dans un espace à n dimensions ? 9. Le tenseur totalement antisymétrique ! . Considérons un espace euclidien à n dimensions et des coordonnées cartésiennes orthonormées : x!i , 0 " ! i " n #1 . Le tenseur totalement antisymétrique
!"0 ,"1 ,...,"n#1
défini par : !"0 ,"1 ,.." i ," i+1 ..,"n#1
= #!"0 ,"1 ,.." i+1 ," i ..,"n#1 et par
!0,1,...,n"1 = 1 , c’est à dire que ce tenseur
change de signe par permutation de deux indices adjacents. Si deux indices adjacents ont même valeur les composantes du tenseur
!"0 ,"1 ,...,"n#1
sont donc nulles, et par permutation des
indices, on déduit que les composantes qui ont deux indices quelconques égaux sont nulles. Exemple : dans !3 , !012 = !201 = !120 = 1 ; !021 = !210 = !102 = "1 ; et toutes les autres composantes du tenseur totalement antisymétrique telles que !022 , !010 etc, sont nulles. Effectuons la contraction du tenseur ε avec n vecteurs
!v0 , ... , !vn!1 pour obtenir un scalaire :
S = !"0 ..." i" i+1 ..."n#1
v0 "0 ... vi
"n#1
!vi+1 on a :
S = !"0 ..." i" i+1 ..."n#1 v0 "0 ...vi+1
" i+1 vi " i ... vn#1
"n#1
= #!"0 ..." i+1" i ..."n#1 v0 "0 ...vi+1
" i+1 vi " i ... vn#1
"n#1
S = !"#0 ...# i# i+1 ...#n!1
v0 #0 ...vi+1
#n!1
S est donc une forme multilinéaire alternée, c’est à dire une forme linéaire pour chacun de ses arguments et qui change de signe par l’échange de deux arguments adjacents, et c’est le déterminant de la matrice :
V = v0
où chaque vecteur !vi correspond à une colonne.
Le déterminant dépend de l’ordre dans lequel sont rangés les vecteurs !vi . Si l’on appelle
det(V ) le déterminant de la matrice ci-dessus, avec les vecteurs rangés dans cet ordre, la quantité S sera pour un ordre quelconque :
S = det(V ) ! i0 i1 ... in"1
(6)
où le tenseur ε est présent pour indiquer dans quel ordre les vecteurs !vi ont été rangés.
Jusqu’à présent, dans cette section, nous avons choisi un repère orthonormé, faisons un changement de coordonnées quelconque et écrivons comme au début de ce chapitre :
7
v! = Aµ
! vµ , où les indices ! , " se rapportent au repère orthonormé. Nous appellerons
!"0 ,"1 ,...,"n#1
le tenseur ε défini ci-dessus lorsqu’il se rapporte à une base orthonormée. Ceci ne
sera pas fait systématiquement mais quand il s’agit de clarifier et de bien distinguer les différents cas. On peut écrire :
S = !"0 ..."i ..."n#1
v0 "0 ... vi
S = !"0 ..."i ..."n#1 Aµ0
"0 ... Aµi
µi ... vn#1 µn#1 = det( AV )
= det( A) !µ0 ... µi ... µn#1 v0 µ0 ... vi
µi ... vn#1 µn#1
= det( A) det(V )
#0 ... Aµi
#i ... Aµn"1
#n"1 (8)
ce qui fait de ε un tenseur par construction. On écrit donc :
S = !µ0 ... µi ... µn"1
ses composantes est det( A) .
Maintenant introduisons ! "0 ,"1 ,...,"n#1 défini par rapport à une base orthonormée et qui vaut ±1
si tous ses indices sont différents, et 0 autrement. Si nous écrivons
! (vi0
vi0
µn"1 # i0 ...i j ...in"1 , cette quantité ne
dépend pas de l’ordre dans lequel les vecteurs !v0 , ... , !vn!1 ont été rangés. Mais on peut aussi
bien l’interpréter comme étant le déterminant de la matrice formée par les vecteurs
!v0 , ... , !vn!1 transposée. Donc : det(V + ) = det(V ) . Si nous choisissons pour les vecteurs
!v0 , ... , !vn!1 , les vecteurs !e1, ... , !en , qui ont été définis à
la section 2.9 et qui sont tels que !ei . !ej = gij . Nous pourrons définir :
!µ0 ... µi ... µn"1
#n"1 = !µ0 ... µi ... µn"1 det(e)
et nous verrons au chapitre suivant que l’on peut écrire :
!µ0 ... µi ... µn"1
De la même façon on peut définir (avec g = det(g!" ) ):
!"1 ..."n = g"1#1 ... g"n#n !#1 ...#n = g"1#1 ... g"n#n g !#1 ...#n
= det(g"# ) g ! "1 ..."n = 1 g ! "1 ..."n
(9)
Exercice 4. Dans un espace à 4 dimensions muni de coordonnées cartésiennes orthonormées, c’est a dire d’une métrique !"# de signature quelconque mais diagonale, démontrez la relation :
!µ"#µ$%& #"'!# =
8
où ! est le déterminant de la matrice !"# . 10. Deux exemples : le champ électromagnétique, le vecteur tourbillon . Nous allons appliquer toutes les notions précédentes au champ électromagnétique. Nous avons vu, dans notre brève description de la relativité que l’espace-temps était un espace pseudo euclidien à 4 dimensions appelé espace de Minkowski. Considérons donc l’espace M 4 muni de coordonnées cartésiennes orthonormées. Rappelons nous d’abord que étant donné un potentiel ! et un potentiel vecteur
! A , le champ
! B sont respectivement donnés par :
! E = !grad
A
Soit le champ de quadrivecteurs W ! dont la première composante est W 0 = ! , et dont les composantes spatiales sont les composantes du potentiel vecteur
! A ( W 1 = Ax , W 2 = Ay
, W 3 = Az ). Considérons maintenant le tenseur antisymétrique F!" = #!W" $ #"W! . Nous
pouvons facilement vérifier l’identification suivante :
Ei = F0i , Bi = ! 1
! W µ ) et du tenseur F!" (
F!" = A! µ A"
# Fµ# ) nous montrent donc comment se transforment les potentiels et les champs électrique et magnétique lors d’un changement de repère. Le second exemple concerne le vecteur tourbillon d’un fluide. Soit un fluide de densité !(x) dont le champ de vitesse est v
! (x) . En dynamique des fluides
intervient le vecteur tourbillon défini par : ! !" = Rot ! "!!
(v " ) . En fait le rotationnel est un pseudo-
vecteur, et non un vecteur proprement dit, car par symétrie par rapport à un point, il ne change pas de signe. De même la symétrie par rapport à un plan le laisse invariant. Malgré cela on dira, par abus de langage, que le rotationnel est…