3.2 Possible ou impossible ?

Lors de Show Math, vous avez vu quelques œuvres de l’artiste Maurits Cornelis Escher. Dans plusieurs de ses œuvres, il explore l’espace et la perspective, jouant avec la représentation qu’il peut en faire sur ses toiles. Il est très connu pour ses pavages et pour les tableaux dans lesquels il représente des réalités impossibles. Bien qu’il n’ait pas uti-lisé de mathématiques avancées pour créer ses œuvres, celles-ci s’y retrouvent abondamment.

Avec cette activité, les élèves seront amenés à réfléchir sur des illu-sions d’optique. Les réalisations sont-elles possibles ou impossibles ? Quelle est la cause de l’anomalie ? Peut-on la corriger ?

Les élèves s’interrogeront donc sur différentes constructions et auront à discuter de différentes illusions d’optique. L’activité pourrait aussi être présentée en 4e TS pour développer la recherche d’anomalies.

Intentions de l’activité

•  Faire réfléchir les élèves sur différentes illusions d’optique

• Amener les élèves à confronter leur perception

•  Faire découvrir des anomalies de figures en trois dimensions dessinées dans le plan

•  Faire voir les limites de la représentation en deux dimensions d’un monde en trois dimensions

• Présentation de la séquence Technico-sciences

Forme de la production attendue

• Échanges en équipe et en grand groupe

• Réflexions sur les figures impossibles

Concepts utilisés

• Projection et perspective de figures en trois dimensions

•  Sens spatial et figures géométriques

• Description et construction d’objets en trois dimensions

Ressources matérielles

• Documentaire sur M.C. Escher (Zone Doc, Radio-Canada)

• Pour la construction du ruban de Möbius : papier, ciseaux et du ruban adhésif

• Ressources Internet 

• Objets impossibles : http://www.illusions-optique.fr/objets-impossibles.html

• Vidéo sur le triangle de Penrose : http://www.youtube.com/watch?v=W7rRk3GLNm4

• Œuvres contenant des illusions d’optique : http://im-possible.info/english/art/index.html

•  Figures ambigües : http://figuresambigues.free.fr/index.html

•  Le ruban de Möbius : http://www.mathcurve.com/surfaces/mobius/mobius.shtml http://xavier.hubaut.info/coursmath/3di/live/mobius.htm

• M.C. Escher : http://www.mcescher.com/

Présentation | 3.2 Possible ou impossible ?

Présentation | 3.2 Possible ou impossible ?

Déroulement

Préparation

•  Il peut être intéressant, à la fin de Show Math, de présenter des bribes du documentaire sur la vie de M.C. Escher. Les élèves pour-ront ainsi mieux connaître l’homme et ses créations.

• Par la suite, en petits groupes, les élèves doivent remplir le docu-ment de l’élève et réfléchir sur ce qu’ils voient.

Réalisation

• À la suite de leurs échanges, les élèves discutent en grand groupe des anomalies qu’ils ont obervées. Ils peuvent également faire part des divergences rencontrées lors de leurs discussions.

• Dans cette partie, l’enseignant sert de modérateur lors des échanges.

• Vous pouvez faire voir aux élèves qu’il existe plusieurs façons de voir et d’interpréter les figures.

Intégration

• En congruence avec les discussions du grand groupe, l’enseignant dirige la réflexion des élèves sur différentes pistes. Pour ce faire, il peut s’aider du corrigé mis à sa disposition.

• Vous pouvez leur faire voir que le cerveau interprète les images en 2D et les transpose en 3D. Cette interprétation peut parfois différer de la réalité.

Pistes de différenciation

•  Les élèves peuvent se rendre sur différents sites qui traitent des illusions d’optique.

• On peut leur demander de créer un ruban de Möbius. Ils peuvent en couper un à la moitié sur la longueur et ensuite un autre au tiers. Demander qu’ils essaient de deviner le résultat de ce dé-coupage avant de procéder.

• Cette activité peut être réin-vestie dans le cadre d’un cours d’art afin de discuter sur les di-verses façons d’interpréter les œuvres d’Escher.

Cahier de l’élève | 3.2 Possible ou impossible ? | 1

Figure 1 : Triangle de Penrose

3.2 Possible ou impossible ?

Nom : _________________________________________________________

Lors de Show Math, vous avez apprécié quelques œuvres d’Escher. Vous avez vu la mise en abîme de la Galerie d’estampes : une gravure qui n’a pas été complétée par l’artiste. Vous avez peut-être même détecté les anomalies dans d’autres œuvres d’Escher.

Voici quelques figures qui vous permettront de vous exercer à détecter et même à corriger des anomalies.

Tu as sûrement déjà vu des images qui te semblent impossibles ? Souvent, elles envoient des messages contradictoires difficiles à déceler. Es-tu capable d’en expliquer la cause ? Penses-tu que tu pourrais corriger ces images ?

Correction pour rendre le triangle possible

1.

2.

Commentez l’affirmation suivante.

« Les angles intérieurs du triangle de Penrose mesurent tous 90°. »

Quelle perspective est représentée ?

2 | Cahier de l’élève | 3.2 Possible ou impossible ?

Figure 2 : Le cube impossible Correction pour rendre le cube possible

Figure 3 : Le blivetCorrection pour rendre la figure possible

3.

4.

5.

6.

Pour vous aider, cachez différen-tes parties du dessin

Quelle est la face du devant, soit la face principale de cette figure ? Indiquez-la et comparez votre réponse avec celle de vos voisins.

Cahier de l’élève | 3.2 Possible ou impossible ? | 3

Figure 4 : Ruban de Möbius

Figure 5 : Escalier de Penrose Selon vous, si on regarde l’escalier de Penrose du dessus, que voit-on ?

Au 19e siècle, le ruban de Möbius était utilisé dans le monde de l’industrie : les courroies des ma-chines pouvaient avoir cette forme afin de permettre une usure uni-forme des deux côtés.

7.

8.

9.

10.

Qu’y a-t-il de particulier avec cette image ? Est-elle possible ou impossible ?

Si un soldat monte la garde de cette forteresse, en se promenant sur cette tour, montera-t-il ou descendra-t-il l’escalier ?

Si on place une bille sur le coin supérieur droit de cette figure, dans quelle direction ira-t-elle ?

➞

4 | Cahier de l’élève | 3.2 Possible ou impossible ?

Figure 6 : Mouvement perpétuel

Maintenant que vous vous êtes exercés à trouver les anomalies dans diverses figures, voici le mouvement perpétuel d’Escher.

Pouvez-vous trouver les anomalies et les relier à une ou plusieurs des figures que vous venez de voir ?

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11.

Corrigé | 3.2 Possible ou impossible ? | 1

3.2 Possible ou impossible ?CorrigéN.B. Dans cette activité, il n’y a pas de bonnes ou de mauvaises réponses. L’intention est de faire discuter les jeunes sur les différentes perceptions qu’ils ont des images. Le présent corrigé n’est donc pas exhaustif, car l’imagination des jeunes n’a pas de limite !

Figure 1 : Triangle de PenroseCorrection pour rendre le triangle possible

1.

2.

Une façon de construire le triangle de Penrose est représentée par la fi-gure ci-contre. En changeant le point de vue, on peut facilement créer le triangle de Penrose. Dans cette image, tous les angles sont de 90° mais l’objet obtenu n’est pas un triangle.

http://www.illusions-optique.fr/objets-impossibles.html

Commentez l’affirmation suivante.

« Les angles intérieurs du triangle de Penrose mesurent tous 90°. »

(Page 1)

(Page 1)

Correction pour rendre la figure possible

6.

2 | Corrigé | 3.2 Possible ou impossible ?

Figure 2 : Le cube impossible

Figure 3 : Le blivet

Deux façons parmi d’autres de corriger le blivet.

Correction pour rendre le cube possible

3.

4.

5.

Quelle perspective est représentée ?

Quelle est la face du devant, soit la face principale de cette figure ? Indi-quez-la et comparez votre réponse avec celle de vos voisins.

Perspective cavalière : les fuyantes sont à 30°.

La face principale est identifiée par un carré noir dans la figure ci-dessus.

(Page 2)

(Page 2)

(Page 2)

(Page 2)

Corrigé | 3.2 Possible ou impossible ? | 3

Figure 4 : Ruban de Möbius

Retournez AB pour que A corresponde avec D et B avec C

Pour manipuler un modèle en 3D réalisé avec le logiciel Maple, allez voir le lien : http://xavier.hubaut.info/coursmath/3di/live/mobius.htm.

Également, on peut discuter avec les élèves de la possibilité de construire différents rubans de Möbius. En fait, en augmentant le nombre de demi-tours que l’on applique à la bande de papier, on peut effectivement construire des rubans plus complexes.

Finalement, on peut demander aux élèves s’ils connaissent des sigles ou des objets de la vie courante qui ont cette forme.

7.

Qu’y a-t-il de particulier avec cette image ? Est-elle possible ou impossible ?

Ce qu’il y a de particulier dans cette image c’est que le ruban n’a qu’une seule face. Cette image est possible à réaliser. En effet, on peut réaliser la construction avec une simple bande de papier, beaucoup plus longue que large.

(Page 3)

Vue de dessus

8.

4 | Corrigé | 3.2 Possible ou impossible ?

Figure 5 : Escalier de Penrose

Pour guider les élèves dans leur réflexion, on peut leur demander quelle est la valeur des angles intérieurs.

9.

10.

Si un soldat monte la garde de cette forteresse, en se promenant sur cette tour, montera-t-il ou descendra-t-il l’escalier ?

Si on place une bille sur le coin supérieur droit de cette figure, dans quelle direction ira-t-elle ?

Si le soldat se promène en sens horaire, on a l’impression qu’il descend. Si on considère qu’il se promène en sens antihoraire, on a l’impression qu’il monte.

On peut avoir l’impression qu’une bille placée à cet endroit retombera vers le centre de la tour. Or, si on regarde la perspective, on peut voir que c’est un escalier dont les marches sont horizontales. La bille ne devrait pas bouger.

➞

(Page 3)

(Page 3)

(Page 3)

Corrigé | 3.2 Possible ou impossible ? | 5

Cette œuvre est reliée au cube impossible. Ce qui rend cette figure im-possible, c’est la disposition des piliers soutenant la structure. Ils créent une illusion de « plafond » sur différentes parties du cours d’eau. Ainsi, on a l’impression que la structure monte. Sans les piliers, on pourrait croire que le plan d’eau descend. Par extension, on peut la relier à l’escalier de Penrose. Dans la figure, on peut voir aussi deux triangles de Penrose.

Figure 6 : Mouvement perpétuel

11.

Maintenant que vous vous êtes exercés à trouver les anomalies dans diverses figures, voici le mouvement perpétuel d’Escher.

Pouvez-vous trouver les anomalies et les relier à une ou plusieurs figures que vous venez de voir ?

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