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Filtres passifs

1 Les diagrammes de Bode

1.1 Fonction de transfert

De nombreux circuits lectriques peuvent tre reprsents par des quadriples. Une

caractristique importante dun quadriple est sa rponse en frquence. Un circuit dont la

rponse en fonction de la frquence nest pas constante est un filtre. En rgime sinusodal, on

le caractrise par safonction de transfertcomplexe qui est le quotient de la tension de sortie

vS* par la tension dentre vE* :

H*(j) = vS*/vE* H*(j) = G().ej()

G est la norme du gain en tension : G() = vS/ vEest le dphasage : () = Arg(vS*) Arg(vE*)

Un filtre passif rel dissipe toujours de lnergie et la puissance disponible la sortie est

toujours infrieure la puissance applique lentre.

1.2 Dcibels

En acoustique physiologique, on constate que la sensation est proportionnelle au

logarithme de la pression acoustique. Ceci a conduit la dfinition dchelles logarithmiques

pour la mesure des gains. Les gains en dcibelssont dfinis par :""""Gain en tension : G()dB= 20.Log10(G()).

""""Gain en puissance : P()dB= 10.Log10(P()).

VALEURS REMARQUABLES:

Soit G un gain en puissance gal 2. Le gain G correspondant en dcibels est :

G = 10.Log10(2) = 3,01 dB 3 dB.Si G = 4, G = 6,02 dB 6dB.Si G = , G = 3 dB

Une multiplication du gain par 2 correspond une augmentation de 3 dB.

Une division du gain par 2 correspond une diminution de 3 dB.Soit G un gain en puissance gal 10. G = 10.Log10(10) = 10 dB.

Si G = 106, G = 60 dB.

Si G = 103

, G = 30 dB...

Pour les tensions, une multiplication du gain par 2 correspond + 6 dB.

INTERET:

Les gains en tension sont souvent trs petits et lutilisation des dcibels permet demanipuler des nombres plus grands.

Soient deux tages en cascade de gains G1= P1/P0et G2= P2/P1; le gain total G = P2/P0

est donc gal au produit G1.G2des gains des tages. Si les gains sont exprims en dcibels,le gain total est la somme des gains :

G = G1 + G2

http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/cours2.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/cours2.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/cours2.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/cours2.html

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1.3 Frquence de coupure

On dfinit la frquence de coupureCdun systme comme tant celle pour laquelle legain maximum en tension est divis par 2 .

G(C) = GMax / 2Or Log( 2 ) = 0,1505 3/20. On peut donc aussi dfinir la frquence de coupure comme lafrquence qui correspond une diminution de 3 dB du gain maximum.

G(C) = GMax3 dB

1.4 Diagrammes de Bode

La gamme des frquences appliques aux montages lectriques tant trs large, lors du

trac des fonctions de transfert, on utilise une chelle logarithmique pour laxe des

frquences. Soit f0une frquence caractristique dun systme (par exemple une frquence de

coupure). Les diagrammes de Bodede ce systme sont les courbes du gain(en dB) et de la

phasede la fonction de transfert, en fonction de Log(f/f0) = Log(/0).La reprsentation de Bode utilise donc pour les abscisses une chelle logarithmique en

coordonnes rduites et pour les ordonnes une chelle en dcibels.Le trac rigoureux dune fonction de transfert est souvent une opration fastidieuse et dans

de nombreux cas une reprsentation approximative est suffisante. Les courbes sont en gnral

traces sous leur forme asymptotique.

1

0

Fig. 1

Les diagrammes de Bode prsentent galement un autre intrt. Partant dune fonction de

transfert donne, on la modifie pour lcrire sous la forme du produit H (j)= A.H1(j).H2(j)

dans lequel A est une constante et H1(j), H2(j)des fonctions simples dont le graphe de Bode

est connu. Les expressions du gain et de la phase deviennent :G Log A G GdB dB dB

A

( ) ( ) ( )( ) ...

.. .

= + + +

= + + +1 2

1 2

Le terme gnral tant la somme des termes de la dcomposition, il suffit pour obtenir le

graphe du systme tudi deffectuer la somme des divers graphes qui correspondent ces

termes. Comme dans beaucoup de cas, il est possible de dcomposer la fonction de transfert

du systme en un produit de fonctions de transfert du premier ordre, nous allons examinercelles-ci en dtail.

2 Fonctions de transfert du premier ordre

2.1 Filtres lmentaires Filtres passe-bas

Pour le circuit non charg, la rsistance et le condensateur se

comportent comme un diviseur de tension idal et :Vs

Ve jRC=

+1

1

On pose C= 1/RC et x = /C.Fig. 2

La fonction de transfert du quadriple devient :

SE

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jx1

1

)/(j1

1

V

V

CE

S

+=

+=

On retrouve rapidement ce rsultat en remarquant que pour une frquence nulle le

condensateur a une impdance infinie : le gain vaut 1. Pour une frquence infinie, son

impdance est nulle : le gain vaut 0.

GVs

Ve x= =

+

1

1 2. Si x = 1 alors G = 1 2/

fc= 1/2RC est donc la frquence de coupure de ce circuitqui attnue les hautes frquences.

= ArcTg(x). Si x = 1 alors = 45Pour x = 0,1, = 6Pour x = 10, = 84Pour le diagramme asymptotique, on considre que la phase

varie de 0 90 sur deux dcades.Fig 3

En remplaant la rsistance par une inductance L, le condensateur par une rsistance et en

posant c= R/L, on obtient la mme fonction de transfert.

Filtres passe-haut

Pour le circuit non charg, on a :

Vs

Ve

jRC

jRC=

+

1

On pose c= 1/RC et x = /c.Fig 4

La fonction de transfert devient :x/j1

1

jx1

jx

)/(j1

)/(j

V

V

C

C

E

S

=

+=

+

=

En remplaant la rsistance par une inductance L, le condensateur par une rsistance R et en

posant c= R/L, on obtient la mme fonction de transfert.On obtient cette fois un filtre qui attnue les basses frquences. A frquence nulle

limpdance du condensateur est infinie : le gain est nul. Il est gal 1 pour une frquence

infinie.

2.2 Fonctions de transfert du premier ordreUn systme est dit du premier ordre si sa fonction de transfert ne contient que des

constantes et la premire puissance de . Pour caractriser laxe des frquences, on utilisesoit la dcade soit loctave.

Une dcadecorrespond une multiplication de la frquence par 10.

Une octavecorrespond un doublement de la frquence.

Rampe

Cest la plus simple des fonctions de transfert du premier:

H(j)= j/C G = /cet = /2.Son diagramme de Bode est une droite dont la pente est 20 dB par dcade.

En effet si 10alors G10= G+ 20 dB.Cette pente vaut aussi 6 dB par octave (G2= G+ 6 dB).

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Filtre passe-bas

Si x = /c la fonction de transfert est :

jx1

1)jx(H)j(H

+==

Fig 5

Pour x > 1 G(x) = 1/x.Le diagramme asymptotique se limite deux droitesde pentes 0 et 20 dB par dcade.

La phase varie de 0 pour x = 0,1 90 pour x = 10.

Elle est gale 45 pour la frquence de coupure.

Filtre passe-haut

Fig 6

En posant x = /c, la fonction de transfert scrit :

x/j1

1

jx1

jx)jx(H)j(H =+==

Pour x > 1 G(x) = 1.

Le diagramme asymptotique se limite deux droites de pentes 0 et + 20 dB par dcade. La

phase varie de 90 pour x = 0,1 0 pour x = 10. Elle est gale 45 pour la frquence de

coupure.

3 Fonctions de transfert du second ordre

Pour les systmes du second ordre, la fonction de transfert contient des termes en . Ontrouve trois fonctions fondamentales :

La fonction passe-bas :2b

)jx(Q/jx1

1A)j(H

++=

La fonction passe-haut :2

2

h)jx(Q/jx1

)jx(A)j(H

++=

La fonction passe-bande :2B

)jx(Q/jx1

Q/jxA)j(H

++=

Q est le coefficient de surtension et x = /0avec 0la pulsation propre.

Un phnomne de rsonance apparat, dautant plus marqu que Q est grand et les courbes

de gain peuvent scarter sensiblement des formes asymptotiques au voisinage de = 0.Ainsi pour le filtre passe-bas (Fig 7), la forme asymptotique nest utilisable que pour les

valeurs de Q infrieures 0,5. Dans ce cas, on a :

pour x > 1, G(x)A/x (pente de 40dB/dcade).

La phase vaut 90 pour x = 1 et varie de 0 pour x= 0 180 pour x infini.

Pour les amortissements trs forts, H(j) peut se dcomposer en un produit de fonctions detransfert du premier ordre. Le systme se comporte comme une cascade de cellules du

premier ordre ayant des frquences de coupures diffrentes.

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Q = 0,05

Q = 1

Fig 7

La courbe de rponse du filtre passe-haut est symtrique de la courbe du passe-bas par

rapport la droite x = 1. A titre dexercice, tracer la courbe asymptotique du gain pour un

filtre passe-bande du second ordre quand Q est petit et vrifier que les asymptotes ont des

pentes de +20 dB et 20 dB.

Filtre passe-bande bande large

Pour de nombreux systmes, la fonction de transfert peut scrire sous la forme :

+

+=

j.

j

jAH

M

M

m

)j(

Mm

m)j(

/j1

1.

/j1

/jAH

++

=

La fonction de transfert est le produit de trois

fonctions.

Le gain moyen A (constant).

Un passe-haut (coupure m). Un passe-bas (coupure M).La bande passante est donc : M m

Fig. 8

Le diagramme asymptotique est construit par addition de trois droites de pentes + 20 dB

par dcade, 0 et 20 dB par dcade. La partie horizontale du diagramme correspond au gain

moyen qui vaut 20.Log(A).

Si la frquence de coupure haute Mest beaucoup plus grande que la frquence de coupurebasse malors la bande passante est gale M.

4 Mthodes dtudes des filtres4.1 Mthode gnrale

Un certain nombre de filtres peuvent se dcomposer en quadriples lmentaires mis en

cascade: il est alors possible de calculer la matrice de transfert (T) du filtre et den dduire la

fonction de transfert. Pour les quadriples passifs, on a (T) = 1. La fonction de transfert dufiltre charg par limpdance ZUest alors donne par :

1222U

U

T.TZ

ZH

+=

Si ZU= (quadriple non charg) alors : H = 1 / T22.

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Si cette mthode est particulirement bien adapte au calcul numrique des filtres, elle est

souvent trs lourde mettre en uvre pour la dtermination de la forme littrale de la fonction

de transfert et on prfre souvent utiliser les mthodes utilises pour ltude des rseaux.

4.2 Exemple : filtres en treillisOn va montrer que ces deux structures de filtres sont quivalentes en calculant leurs matrices

impdances.

Z1

Z2 Z1

V2V1

I2I1 A B

C D

Z1

Z1

Z2 Z2

V2V1

I2I1 A B

C D

Z1

2

fig 9

Circuit en T :

Le courant qui circule dans limpdance (Z2 Z1) est I1+ I2.

Dans le circuit dentre, on a : V1= Z1I1+ (Z2 Z1).( I1+ I2)

Dans le circuit de sortie, on a : V2= Z1I2+ (Z2 Z1).( I1+ I2)

On tire : [ ]

++

=2112

1221

ZZZZ

ZZZZ

2

1Z

Treillis

1er

mthode.

Pour ce quadriple I1= I2et V1+ Z2.I1 V2+ Z2.I1= 0

Soit I1= (V1+ V2)/2Z2.

Et donc :

=

2

1

22

1

V

V

11

11

Z2

1

I

I

Pour le second quadriple, on a :

I1= I2et V1+ Z1.I1+ V2+ Z1.I1= 0

Lexpression de sa matrice admittance est :

=

2

1

12

1

V

V

11

11

Z2

1

I

I

fig 10

En reliant les deux quadriples en parallle, on obtient le treillis. La matrice admittance du

treillis est dont gale la somme des matrices admittances des deux quadriples associs soit :

[ ] [ ] [ ]

++

==

+

+=

2112

12211

2112

1221

ZZZZ

ZZZZ

2

1YZ

Z

1

Z

1

Z

1

Z

1

Z

1

Z

1

Z

1

Z

1

2

1Y

Vrifier que lexpression de la matrice de transfert est : [ ]

=

11

22

12 Z1

ZZ

Z

1T

On peut voir sur cet exemple que la mthode matricielle est lourde utiliser.

2

e

mthode.On redessine le treillis sous la forme dun pont.

Z2 Z2

V2V1

I2I1

Z1

V2V1

I2I1 Z1

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Si I3est le courant entre A et B, le courant entre A et C est

(I1 I3), le courant entre Cet D est (I1 I3 I2).

Entre B et D le courant est I3+ I2.

La ddp entre A et D scrit :

(en passant par C) V1= Z2. (I1 I3) + Z1.(I1 I3 I2)

(en passant par B) V1= Z1.I3+ Z2.(I3+ I2)

On tire : 2.I3= I1 I2Et : V1= (Z1+ Z2).I1+ (Z2Z1).I2V2= VB VC= (VB VA) + (VA VC) =

Z1.I3+ Z2.(I1 I3)fig 11

V2= .Z1.( I1 I2) + .Z2.( I1+ I2) V2= .(Z2 Z1).I1+ .(Z1+ Z2).I2Les deux quadriples ayant la mme matrice impdance sont quivalents.

4.3 Filtres en TLapplication de la mthode gnrale donne ici :

I1 Z1

T1 T2 T3

Z3

Z2U1 U2

I2

Fig. 12

[ ] [ ]

=

=

101T

10Z1T

2Z12

1

1

[ ]

+

+++=

2

1

2

2

3131

2

3

Eq

Z

Z1

Z

1

Z

ZZZZ

Z

Z1

T

Il faut noter que pour un filtre en T non charg, la valeur et la nature de Z3est sans effet.

Si Z1et Z3sont des condensateurs et Z2une rsistance, le filtre est un passe-haut.

Si Z1et Z3sont des rsistances et Z2un condensateur, le filtre est un passe-bas.

Cliquer ici pour accder au programme de visualisation des fonction de transfert.

4.4 Filtres en Pi

I1

Z1

T1 T2 T3

Z3

Z2

U1 U2

I2

Fig. 13

[ ] [ ]

=

=

10

Z1T

1

01T

2

2

Z11

1

[ ]

+++

+=

3

2

31

2

13

21

2

Eq

Z

Z1

ZZ

Z

Z

1

Z

1

ZZ

Z1

T

Remarques:

Le thorme de Kennelly permet de transformer le circuit en T (toile) en Pi (triangle) et

rciproquement.

Si Z1 est infinie, on obtient un filtre en L.

Vrifier que la matrice de transfert dun filtre en L est gale : [ ]

+=3

2

3

2

Eq

Z

Z1

Z

1

Z1

T

4.5 Filtres en double L

On associe en cascade deux cellules du premier ordre : deux passe-bas : on obtient un passe-bas du second ordre.

deux passe-haut : on obtient un passe-haut du second ordre.

Z1

A

B C

D

V1

I1

V2

I2

Z2

Z2 Z1

I3

http://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/filtres.htmlhttp://localhost/var/www/apps/conversion/tmp/scratch_4/filtres.html

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un passe-bas et un passe-haut : on obtient un passe-bande. Dans ce cas montrer que lordre

des deux filtres nest pas indiffrent.

I1 Z1 Z3

Z4U1 U2

I2

Z2

Fig. 14

Vrifier que pour le double L, la matrice de transfert est :

[ ]

+

++++

+++=

4

3

2

1

4

1

4242

2

3131

2

3

Eq

ZZ1

ZZ1

ZZ

ZZ1

Z1

Z1

Z

ZZZZ

Z

Z1

T

Il est souvent plus simple de faire le calcul direct de la fonction de transfert.

Etudier pour des filtres non chargs les cas suivants :

Z1= R, Z2= C1, Z3= C2, Z4= R.

Z1= C1, Z2= R, Z3= R, Z4= C2.

Envisager les deux cas si C1= C2, C1>> C2et C1

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4.7 Filtres en double T pont

I1

z6

z5

U1 U2

I2

z1

I1

ze

zc

zb

U1U2

I2

za

z3

z2

z4

zfzd

Fig. 16Avec le thorme de Kennelly, on peut transformer ltoile Z1, Z2, Z3en un triangle ZD, ZE,ZF

puis transformer ltoile Z4, Z5, Z6en un triangle ZA, ZB,ZC. En remplaant les paires ZA-ZD,

ZB-ZE, ZC-ZFpar les impdances quivalentes, on obtient finalement un Pi simple.

4.8 Filtres de structure Hartley-Colpitts

I1 Z1 Z3

Z4U1 U2

I2

Z2

Fig. 17

Dans les deux cas Z1est une rsistance.

Pour le filtre de Colpitts, Z2 est une inductance L, Z3 et Z4

deux condensateurs de capacits C1et C2.

On pose :C = C1C2/(C1+ C2), K = C/C2, 0= 1/LC, Q = RC0.

Vrifier que :)//(jQ1

KH

00 +=

Pour le filtre de Hartley, Z2est une capacit C, Z3et Z4deux inductances L1et L2.

On pose :

L = L1 + L2, K = L2/L, 0= 1/LC, Q = RC0. Vrifier que lexpression de la fonction detransfert est identique celle du filtre de Colpitts.

4.9 Filtre de structure Wien

I1 R

RCU1 U2

I2C

Fig. 18

On pose : x = RC. Montrer que la fonction de transfert est :

( )( )xjk1xjk1jx

xjx31

jxH

212 ++

=+

=

on a : k1k2= 1 = P et k1+ k2= 3 = S.

k1et k2sont solution de lquation u - Su +P = 0.

On tire : 5321k,5321k 21 =+= On peut dcomposer la fonction de transfert de ce filtre (passe-bande du second ordre)

comme le produit dune fonction passe-bas 1/(1 + jk1x) par une fonction passe-haut jx/(1 +

jk2x). Les frquences de coupures basse et haute sont donnes par 1/k1RC et 1/k2RC.

Cliquer ici pour accder au programme de visualisation des fonction de transfert.

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