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G.Decourt document.doc 30/10/22 1er contrôle pour BTS 1ère année nota : distances en m précision du mm, angles en grades précision du mgr, surface en m² précision du cm² 1) Câble entre 2 pylônes : On veut tendre un câble entre 2 pylônes A et E. a) Définir la distance horizontale AE passant au dessus de 2 villas. 2) Surface d'une parcelle : TS topographie Page 1/8

4 exercices sur les rappels mathématiques utiles en topo (1)

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1er contrôle pour BTS 1ère année

nota : distances en m précision du mm, angles en grades précision du mgr, surface en m² précision du cm²

1) Câble entre 2 pylônes :On veut tendre un câble entre 2 pylônes A et E.

a) Définir la distance horizontale AE passant au dessus de 2 villas.

2) Surface d'une parcelle :

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Point i Xi (m) Yi (m) DHSi (m) Lect. Angle horiz. (gr)A -29,065 -58,985 134,921 173,659B 47,003 -104,465 110,448 128,281C 169,663 -31,759 79,900 21,963D 184,182 45,725 102,931 367,381E 87,220 66,517 71,723 293,544

Les angles ont été relevés dans le sens horaire.a) Calculer(dans un tableau) la surface de la parcelle à l'aide des coordonnées rectangulaires de 2 manières .b) Calculer(dans un tableau) la surface de la parcelle à l'aide des valeurs topographiques relevées sur place .c) Conclusions (moyenne, écart absolu, écart relatif, commentaires).

3) Plate-forme :Sur un terrain en pente régulière de 30%, on veut réaliser une plate-forme de 10m de large. Pour ne pas avoir à apporter ou à évacuer de la terre quelle doit être la cote x ?

4) Coordonnées des sommets d'une parcelle :

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Dans un seul tableau définir :- les coordonnées rectangulaires des sommets de la parcelle

dans les repères X2-D-Y2 et X3-D-Y3- les coordonnées polaires topographiques, c’est à dire :

- distances D-point i- angles axe y3-D-point i dans le sens horaire (gisement)

rappel : formules de rotation de repère :x' = xcos + ysiny' = ycos - xsin

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CORRIGE

1) Câble entre 2 pylônes :a) Définir la distance horizontale AE passant au dessus de 2 villas.

AC= racine(50.126² + 61.423² - 2 x 50.126 x 61.423 x cos62.457)AC= 53.487m

CE= racine(56.971² + 35.040² - 2 x 56.971 x 35.040 x cos69.807)CE= 51.480m

angle (A-C-E)= sin-1(50.126 x sin62.457 / 53.487) + 58.431 + sin-1(35.040 x sin69.807 / 51.480)

angle (A-C-E)= 156.680gr

AE= racine(53.487² + 51.480² - 2 x 53.487 x 51.480 x cos156.68)AE= 98.952m

b) équation du cercle :de la forme (X-xo)² + (Y-yo)² = R² avec :

xo= 98.952 / 2 = 49.476 mR= 250.000m

pour X= 0 Y= 16 donc (0 - 49.476)² + (16 - yo)² = 250² d'ou yo = 261.055m(X - 49.476)² + (Y - 261.055)² = 250²

c) coordonnées de M :xM= 49.746myM= yo - R = 261.055 - 250 yM= 11.055m

d) hauteur libre sous le câble :11.055m

2) Surface d'une parcelle :a) à l'aide des coordonnées rectangulaires :

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b) à l'aide des valeurs relevées sur le terrain :

Point i DH Si (en m) Lect. Angle horiz. (gr) Angle i-1 S i+1 Surface triangleA 134,921 173,659

45,378 4872,5129B 110,448 128,281

106,318 4390,6862C 79,900 21,963

54,582 3109,2582D 102,931 367,381

73,837 3379,1884E 71,623 293,544

119,885 4597,9316A 134,921

S en m2 20349,5774

c) conclusions :moyenne : 20349.5001m²écart absolu entre les 2 méthodes : 0.1546m²écart relatif entre les 2 méthodes par rapport à la moyenne : 0,00075%commentaires écart insignifiant, la moyenne est représentative

3) Plate-forme :On a 6 inconnues (a,b,h,h',x et y) on doit donc écrire 6 équations :1) égalité des surfaces de remblai, déblai : 4) relation de h, a et x avec la

pente du T.N. :x.h/2 = y.h'/2 30/100 = h/(a+x)

2) relation de h et a avec la pente du déblai : 5) relation de h', b et y avec la pente du T.N. :

3/1 = h/a 30/100 = h'/(y+b)3) relation de h' et b avec la pente du remblai : 6) somme de x et y :

1/1 = h'/b x + y = 10

Méthode de résolution :a) de 2) on exprime a fonction de hb) de 4) avec a) on exprime h fonction de xc) de 3) on exprime b fonction de h'd) de 5) et c) on exprime h' fonction de ye) de 1) b) et c) on exprime x en fonction de yf) de 6) on exprime y en fonction de xg) de e) et f) on obtient une équation du 2ème degré en x :

x² - 90x + 450 = 0 qui à 2 solutions x = 84.187m et x = 5.314m seule la 2ème correspond au problème

x=5.314m

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4) Coordonnées des sommets d'une parcelle :

angle ou angle (X2-D-X3) = angle (C-D-axe Y2 zone négative) =tg-1 (13.603/18.246) = 40.784gr

toutes les valeurs du tableau sont en mètre

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